الصيغ المثلثية كيفية حل. المعادلات المثلثية - الصيغ ، الحلول ، الأمثلة

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من هيئات الدولة في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك !!!

تسمى المساواة التي تحتوي على مجهول تحت علامة الدالة المثلثية (`sin x ، cos x ، tg x` أو` ctg x`) بالمعادلة المثلثية ، وسننظر في صيغها بشكل أكبر.

أبسط المعادلات هي `sin x = a ، cos x = a ، tg x = a ، ctg x = a` ، حيث` x` هي الزاوية المطلوب إيجادها ، `a` هو أي رقم. دعنا نكتب صيغ الجذر لكل منهم.

1. المعادلة `sin x = a`.

بالنسبة لـ `| a |> 1` ليس لها حلول.

باستخدام `| a | \ leq 1` له عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n، n \ in Z`

2. المعادلة `cos x = a`

بالنسبة لـ `| a |> 1` - كما في حالة الجيب ، لا توجد حلول بين الأعداد الحقيقية.

باستخدام `| a | \ leq 1` له عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n، n \ in Z`

حالات خاصة للجيب وجيب التمام في الرسوم البيانية.

3. المعادلة `tg x = a`

لديه عدد لا حصر له من الحلول لأية قيم لـ `أ`.

صيغة الجذر: `x = arctg a + \ pi n، n \ in Z`

4. المعادلة `ctg x = a`

كما أن لديها عددًا لا نهائيًا من الحلول لأي قيم لـ "أ".

صيغة الجذر: `x = arcctg a + \ pi n، n \ in Z`

صيغ لجذور المعادلات المثلثية في الجدول

للجيوب الأنفية:
لجيب التمام:
للظل والظل:
صيغ حل المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية:

طرق حل المعادلات المثلثية

يتكون حل أي معادلة مثلثية من مرحلتين:

• استخدامها لتحويلها إلى أبسط ؛
• حل المعادلة البسيطة الناتجة باستخدام الصيغ أعلاه للجذور والجداول.

دعنا نفكر في الطرق الرئيسية للحل باستخدام الأمثلة.

الطريقة الجبرية.

في هذه الطريقة ، يتم استبدال المتغير واستبداله بالمساواة.

مثال. حل المعادلة: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

"2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0` ،

استبدل: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y` ، ثم` 2y ^ 2-3y + 1 = 0` ،

نجد الجذور: `y_1 = 1 ، y_2 = 1 / 2` ، والتي تتبع منها حالتان:

1. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`،` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`، `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`،` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`، `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ فارك \ بي 6 + 2 \ بي ن`.

الإجابة: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n` ،` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

التخصيم.

مثال. حل المعادلة: `sin x + cos x = 1`.

حل. انقل إلى اليسار جميع شروط المساواة: `sin x + cos x-1 = 0`. باستخدام ، نقوم بتحويل وعوامل الجانب الأيسر:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0` ،

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0` ،

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0` ،

1. `sin x / 2 = 0` ،` x / 2 = \ pi n` ، `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0` ،` tg x / 2 = 1` ، `x / 2 = arctg 1+ \ pi n` ،` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` ، `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

الإجابة: `x_1 = 2 \ pi n` ،` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

الاختزال إلى معادلة متجانسة

أولاً ، عليك إحضار هذه المعادلة المثلثية إلى أحد الشكلين:

`a sin x + b cos x = 0` (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى) أو` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

ثم قسّم كلا الجزأين على `cos x \ ne 0` للحالة الأولى ، وعلى` cos ^ 2 x \ ne 0` للحالة الثانية. نحصل على معادلات `tg x`:` a tg x + b = 0` و `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0` ، والتي يجب حلها باستخدام الطرق المعروفة.

مثال. حل المعادلة: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

حل. لنكتب الجانب الأيمن كـ `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` sin ^ 2 x + cos ^ 2 x` ،

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

هذه معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية ، تقسم جانبيها الأيمن والأيسر على `cos ^ 2 x \ ne 0` ، نحصل على:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. لنقدم البديل `tg x = t` كنتيجة لذلك` t ^ 2 + t - 2 = 0`. جذور هذه المعادلة هي "t_1 = -2" و "t_2 = 1". ثم:

1. `tg x = -2` ،` x_1 = arctg (-2) + \ pi n` ، `n \ in Z`
2. `tg x = 1` ،` x = arctg 1+ \ pi n` ، `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n` ،` n \ in Z`.

إجابة. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n` ،` n \ in Z` ، `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n` ،` n \ in Z`.

اذهب إلى Half Corner

مثال. حل المعادلة: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

حل. بتطبيق صيغ الزاوية المزدوجة ، تكون النتيجة: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =" 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

"4 tg ^ 2 x / 2-11 tg x / 2 + 6 = 0`

بتطبيق الطريقة الجبرية الموصوفة أعلاه نحصل على:

1. `tg x / 2 = 2` ،` x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n` ، `n \ in Z` ،
2. `tg x / 2 = 3 / 4` ،` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n` ، `n \ in Z`.

إجابة. `x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n، n \ in Z`،` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n`، `n \ in Z`.

مقدمة من زاوية مساعدة

في المعادلة المثلثية `a sin x + b cos x = c` ، حيث a ، b ، c معاملات و x متغير ، نقسم كلا الجزأين على` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

"\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +" \ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = "\ frac c (sqrt (a ^ 2) + ب ^ 2)) `.

المعاملات على الجانب الأيسر لها خصائص الجيب وجيب التمام ، أي أن مجموع مربعاتها يساوي 1 ومعاملها ليس أكبر من 1. قم بالإشارة إليها على النحو التالي: `\ frac a (sqrt (a ^ 2 +) ب ^ 2)) = cos \ varphi`، `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi` ،` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C` ، ثم:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على المثال التالي:

مثال. حل المعادلة: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

حل. بقسمة طرفي المعادلة على `` الجذر التربيعي (3 ^ 2 + 4 ^ 2) '' نحصل على:

"\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +" \ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = "\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

"3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5".

تشير إلى `3/5 = cos \ varphi` ،` 4/5 = sin \ varphi`. نظرًا لأن `sin \ varphi> 0` ،` cos \ varphi> 0` ، فإننا نأخذ `\ varphi = arcsin 4 / 5` كزاوية مساعدة. ثم نكتب مساواتنا بالشكل:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

بتطبيق صيغة مجموع زوايا الجيب ، نكتب مساواتنا بالشكل التالي:

"الخطيئة (س + \ فارفي) = 2/5" ،

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n` ،` n \ in Z` ،

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + \ pi n` ، `n \ in Z`.

إجابة. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + \ pi n` ، `n \ in Z`.

المعادلات المثلثية الكسرية المنطقية

هذه معادلات مع كسور ، في البسط والمقام التي توجد بها دوال مثلثية.

مثال. حل المعادلة. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

حل. اضرب واقسم الجانب الأيمن من المعادلة على `(1 + cos x)`. نتيجة لذلك ، نحصل على:

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) "

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) `

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) "

"\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

بالنظر إلى أن المقام لا يمكن أن يكون صفراً ، نحصل على `1 + cos x \ ne 0` ،` cos x \ ne -1` ، `x \ ne \ pi + 2 \ pi n ، n \ in Z`.

مساواة بسط الكسر بالصفر: `sin x-sin ^ 2 x = 0` ،` sin x (1-sin x) = 0`. ثم `sin x = 0` أو` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0` ،` x = \ pi n` ، `n \ in Z`
2. `1-sin x = 0` ،` sin x = -1` ، `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n ، n \ in Z`.

بالنظر إلى أن `x \ ne \ pi + 2 \ pi n ، n \ in Z` ، فإن الحلول هي` x = 2 \ pi n ، n \ in Z` و `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` ، `n \ في Z`.

إجابة. `x = 2 \ pi n`،` n \ in Z`، `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`،` n \ in Z`.

يتم استخدام علم المثلثات والمعادلات المثلثية على وجه الخصوص في جميع مجالات الهندسة والفيزياء والهندسة تقريبًا. تبدأ الدراسة في الصف العاشر ، وهناك دائمًا مهام للاختبار ، لذا حاول أن تتذكر جميع صيغ المعادلات المثلثية - فهي بالتأكيد ستكون في متناول يديك!

ومع ذلك ، لا تحتاج حتى إلى حفظها ، فالشيء الرئيسي هو فهم الجوهر والقدرة على الاستنتاج. الأمر ليس صعبًا كما يبدو. انظر بنفسك من خلال مشاهدة الفيديو.

عند حل الكثير مسائل حسابية، خاصةً تلك التي تحدث قبل الصف العاشر ، يتم تحديد ترتيب الإجراءات التي ستؤدي إلى الهدف بوضوح. تتضمن هذه المشكلات ، على سبيل المثال ، المعادلات الخطية والتربيعية ، وعدم المساواة الخطية والتربيعية ، معادلات كسريةوالمعادلات التي تختزل إلى التربيعي. مبدأ الحل الناجح لكل من المهام المذكورة هو كما يلي: من الضروري تحديد نوع المشكلة التي يتم حلها ، وتذكر التسلسل الضروري للإجراءات التي ستؤدي إلى النتيجة المرجوة ، أي أجب واتبع هذه الخطوات.

من الواضح أن النجاح أو الفشل في حل مشكلة معينة يعتمد بشكل أساسي على مدى دقة تحديد نوع المعادلة التي يتم حلها ، ومدى استنساخ تسلسل جميع مراحل حلها بشكل صحيح. بالطبع ، في هذه الحالة ، من الضروري امتلاك المهارات اللازمة لإجراء عمليات تحويل وحسابات متطابقة.

يحدث موقف مختلف مع المعادلات المثلثية.ليس من الصعب إثبات حقيقة أن المعادلة مثلثية. تنشأ الصعوبات عند تحديد تسلسل الإجراءات التي من شأنها أن تؤدي إلى الإجابة الصحيحة.

يصعب أحيانًا تحديد نوعه من خلال ظهور المعادلة. وبدون معرفة نوع المعادلة ، يكاد يكون من المستحيل اختيار المعادلة الصحيحة من عدة عشرات من الصيغ المثلثية.

لحل المعادلة المثلثية ، يجب أن نحاول:

1. إحضار جميع الوظائف المدرجة في المعادلة إلى "نفس الزوايا" ؛
2. إحضار المعادلة إلى "نفس الوظائف" ؛
3. تحليل الجانب الأيسر من المعادلة ، إلخ.

يعتبر الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية.

1. اختزال لأبسط المعادلات المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.عبر عن الدالة المثلثية من حيث المكونات المعروفة.

الخطوة 2ابحث عن وسيطة دالة باستخدام الصيغ:

كوس س = أ ؛ س = ± arccos a + 2πn ، n ЄZ.

الخطيئة س = أ ؛ x \ u003d (-1) n arcsin a + πn ، n Є Z.

تان س = أ ؛ x \ u003d arctg a + πn ، n Є Z.

ctg x = أ ؛ x \ u003d arcctg a + πn، n Є Z.

الخطوه 3ابحث عن متغير غير معروف.

مثال.

2 كوس (3 س - π / 4) = -2.

حل.

1) كوس (3 س - π / 4) = -2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn ، n Є Z ؛

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn ، n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + / 4 + 2πn ، n Є Z ؛

س = ± 3π / 12 + / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z ؛

س = ± π / 4 + / 12 + 2πn / 3 ، ن Є Z.

الجواب: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z.

ثانيًا. استبدال متغير

مخطط الحل

الخطوة 1.أحضر المعادلة إلى صيغة جبرية فيما يتعلق بإحدى الدوال المثلثية.

الخطوة 2قم بالإشارة إلى الوظيفة الناتجة بواسطة المتغير t (إذا لزم الأمر ، أدخل قيودًا على t).

الخطوه 3اكتب وحل المعادلة الجبرية الناتجة.

الخطوة 4قم بإجراء استبدال عكسي.

الخطوة الخامسةحل أبسط معادلة مثلثية.

مثال.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

حل.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0 ؛

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) دع الخطيئة (x / 2) = t ، حيث | t | ≤ 1.

3) 2 طن 2 + 5 طن + 3 = 0 ؛

t = 1 أو e = -3/2 لا يفي بالشرط | t | ≤ 1.

4) الخطيئة (س / 2) = 1.

5) س / 2 = / 2 + 2πn ، n Є Z ؛

س = π + 4πn ، ن Є Z.

الجواب: x = π + 4πn، n Є Z.

ثالثا. طريقة تخفيض ترتيب المعادلة

مخطط الحل

الخطوة 1.استبدل هذه المعادلة بمعادلة خطية باستخدام صيغ تقليل الطاقة:

الخطيئة 2 x \ u003d 1/2 (1 - cos 2x) ؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x) ؛

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

الخطوة 2حل المعادلة الناتجة باستخدام الطريقتين الأولى والثانية.

مثال.

cos2x + cos2x = 5/4.

حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4 ؛

3/2 cos 2x = 3/4 ؛

2x = ± π / 3 + 2πn ، n Є Z ؛

س = ± π / 6 + πn ، ن Є Z.

الإجابة: س = ± π / 6 + n ، n Є Z.

رابعا. معادلات متجانسة

مخطط الحل

الخطوة 1.أحضر هذه المعادلة إلى النموذج

أ) خطيئة س + ب كوس س = 0 (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى)

أو وجهة النظر

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

الخطوة 2اقسم طرفي المعادلة على

أ) cos x 0 ؛

ب) cos 2 × ≠ 0 ؛

واحصل على معادلة tg x:

أ) أ tg x + b = 0 ؛

ب) أ tg 2 x + b arctg x + c = 0.

الخطوه 3حل المعادلة بالطرق المعروفة.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0 ؛

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0 ؛

الخطيئة 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \ u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) دع tg x = t ، إذن

ر 2 + 3 طن - 4 = 0 ؛

ر = 1 أو ر = -4 ، إذن

tg x = 1 أو tg x = -4.

من المعادلة الأولى س = π / 4 + πn ، n Є Z ؛ من المعادلة الثانية x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

الإجابة: س = π / 4 + πn ، n Є Z ؛ س \ u003d -arctg 4 + πk ، ك Є Z.

V. طريقة تحويل معادلة باستخدام الصيغ المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.باستخدام جميع أنواع الصيغ المثلثية ، أحضر هذه المعادلة إلى معادلة يمكن حلها بالطرق الأول والثاني والثالث والرابع.

الخطوة 2حل المعادلة الناتجة باستخدام الطرق المعروفة.

مثال.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

حل.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0 ؛

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) الخطيئة 2x (2cos x + 1) = 0 ؛

الخطيئة 2x = 0 أو 2cos x + 1 = 0 ؛

من المعادلة الأولى 2 س = π / 2 + n ، n Є Z ؛ من المعادلة الثانية cos x = -1/2.

لدينا x = π / 4 + πn / 2 ، n Є Z ؛ من المعادلة الثانية x = ± (π - π / 3) + 2πk، k Є Z.

نتيجة لذلك ، x \ u003d π / 4 + n / 2 ، n Є Z ؛ س = ± 2π / 3 + 2π ك ، ك Є Z.

الإجابة: س \ u003d π / 4 + n / 2 ، n Є Z ؛ س = ± 2π / 3 + 2π ك ، ك Є Z.

القدرة والمهارات على حل المعادلات المثلثية للغاية من المهم أن تطويرهم يتطلب جهدًا كبيرًا ، سواء من جانب الطالب والمعلم.

ترتبط العديد من مشكلات القياس الفراغي والفيزياء وما إلى ذلك بحل المعادلات المثلثية ، وتحتوي عملية حل مثل هذه المشكلات ، كما كانت ، على العديد من المعارف والمهارات التي يتم اكتسابها عند دراسة عناصر علم المثلثات.

تحتل المعادلات المثلثية مكانة مهمة في عملية تدريس الرياضيات وتنمية الشخصية بشكل عام.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل المعادلات المثلثية؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

علم المثلثات نشأ في الشرق القديم. تم تطوير النسب المثلثية الأولى بواسطة علماء الفلك لإنشاء تقويم دقيق وتوجيه النجوم. كانت هذه الحسابات مرتبطة بعلم المثلثات الكروية ، بينما في دورة مدرسيةادرس نسبة أضلاع وزاوية المثلث المسطح.

علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع خصائص الدوال المثلثية والعلاقة بين أضلاع وزوايا المثلثات.

خلال ذروة الثقافة والعلوم في الألفية الأولى بعد الميلاد ، انتشرت المعرفة من الشرق القديم إلى اليونان. لكن الاكتشافات الرئيسية لعلم المثلثات هي ميزة رجال الخلافة العربية. على وجه الخصوص ، قدم العالم التركماني المرازفي وظائف مثل الظل والظل ، وقام بتجميع الجداول الأولى لقيم الجيب والظل والظل. تم تقديم مفهوم الجيب وجيب التمام من قبل العلماء الهنود. تم تكريس الكثير من الاهتمام لعلم المثلثات في أعمال شخصيات عظيمة من العصور القديمة مثل إقليدس وأرخميدس وإراتوستينس.

الكميات الأساسية لعلم المثلثات

الدوال المثلثية الأساسية للحجة العددية هي الجيب وجيب التمام والظل والظل. لكل منها رسم بياني خاص به: الجيب وجيب التمام والظل والظل.

تعتمد الصيغ لحساب قيم هذه الكميات على نظرية فيثاغورس. من المعروف بشكل أفضل لتلاميذ المدارس في الصياغة: "سروال فيثاغورس ، متساوٍ في جميع الاتجاهات" ، حيث يتم تقديم الدليل على مثال مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين.

ينشئ الجيب وجيب التمام والتبعيات الأخرى علاقة بين الزوايا الحادة وجوانب أي مثلث قائم الزاوية. نعطي الصيغ لحساب هذه الكميات للزاوية A وتتبع علاقة الدوال المثلثية:

كما ترى ، فإن tg و ctg وظائف معكوسة. إذا قمنا بتمثيل الضلع a على أنه حاصل ضرب sin A والوتر c ، والساق b كـ cos A * c ، فإننا نحصل على الصيغ التالية لـ tangent و cotangent:

الدائرة المثلثية

بيانيا ، يمكن تمثيل نسبة الكميات المذكورة على النحو التالي:

تمثل الدائرة ، في هذه الحالة ، جميع القيم الممكنة للزاوية α - من 0 درجة إلى 360 درجة. كما يتضح من الشكل ، تأخذ كل دالة قيمة سالبة أو موجبة حسب الزاوية. على سبيل المثال ، ستكون sin α بعلامة "+" إذا كانت α تنتمي إلى الربعين الأول والثاني من الدائرة ، أي أنها في النطاق من 0 درجة إلى 180 درجة. مع α من 180 درجة إلى 360 درجة (الربع الثالث والرابع) ، يمكن أن تكون sin α قيمة سالبة فقط.

دعنا نحاول بناء جداول مثلثية لزوايا معينة ومعرفة معنى الكميات.

تسمى قيم α التي تساوي 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة و 90 درجة و 180 درجة وما إلى ذلك بالحالات الخاصة. يتم حساب قيم الدوال المثلثية وتقديمها في شكل جداول خاصة.

لم يتم اختيار هذه الزوايا بالصدفة. التعيين π في الجداول هو للراديان. راد هي الزاوية التي يتطابق عندها طول القوس الدائري مع نصف قطره. تم تقديم هذه القيمة من أجل إنشاء علاقة عالمية ؛ عند الحساب بالراديان ، لا يهم الطول الفعلي لنصف القطر بالسنتيمتر.

تتوافق الزوايا الموجودة في جداول الدوال المثلثية مع القيم الراديان:

لذلك ، ليس من الصعب تخمين أن 2π عبارة عن دائرة كاملة أو 360 درجة.

خواص الدوال المثلثية: الجيب وجيب التمام

من أجل دراسة ومقارنة الخصائص الأساسية للجيب وجيب التمام والظل والظل ، من الضروري رسم وظائفها. يمكن القيام بذلك في شكل منحنى يقع في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد.

ضع في اعتبارك جدولًا مقارنًا لخصائص الموجة الجيبية وموجة جيب التمام:

جيبي	موجة جيب التمام
ص = الخطيئة س	y = cos x
ODZ [-1 ؛ 1]	ODZ [-1 ؛ 1]
sin x = 0 ، من أجل x = πk ، حيث k ϵ Z	cos x = 0 ، من أجل x = π / 2 + k ، حيث k ϵ Z
sin x = 1 ، لـ x = π / 2 + 2πk ، حيث k ϵ Z	cos x = 1 ، من أجل x = 2πk ، حيث k ϵ Z
sin x = - 1 ، عند x = 3π / 2 + 2πk ، حيث k ϵ Z	cos x = - 1 ، من أجل x = π + 2πk ، حيث k ϵ Z
sin (-x) = - sin x ، أي دالة فردية	cos (-x) = cos x ، أي أن الوظيفة زوجية
	الوظيفة دورية ، أصغر فترة هي 2π
sin x ›0 ، حيث x تنتمي إلى الربعين الأول والثاني أو من 0 درجة إلى 180 درجة (2πk ، π + 2πk)	cos x ›0 ، حيث تنتمي x إلى الربعين الأول والرابع أو من 270 درجة إلى 90 درجة (- π / 2 + 2πk ، π / 2 + 2πk)
sin x ‹0 ، حيث x تنتمي إلى الربعين الثالث والرابع أو من 180 درجة إلى 360 درجة (π + 2πk ، 2π + 2πk)	cos x ‹0 ، حيث x تنتمي إلى الربعين الثاني والثالث أو من 90 درجة إلى 270 درجة (π / 2 + 2πk ، 3π / 2 + 2πk)
يزيد على الفترة [- / 2 + 2πk، π / 2 + 2πk]	يزيد على الفترة [-+ 2πk، 2πk]
ينخفض ​​على فترات [/ 2 + 2πk، 3π / 2 + 2πk]	ينخفض ​​في فترات
المشتق (sin x) '= cos x	المشتق (cos x) '= - sin x

تحديد ما إذا كانت الوظيفة زوجية أم لا أمر بسيط للغاية. يكفي تخيل دائرة مثلثية بها علامات الكميات المثلثية و "طي" ذهنيًا الرسم البياني بالنسبة لمحور OX. إذا كانت العلامات هي نفسها ، فإن الوظيفة تكون زوجية ؛ وإلا فإنها تكون فردية.

يسمح لنا إدخال الراديان وتعداد الخصائص الرئيسية لموجة الجيب وجيب التمام بإحضار النمط التالي:

من السهل جدًا التحقق من صحة الصيغة. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى x = π / 2 ، فإن الجيب يساوي 1 ، كما هو الحال بالنسبة لـ x = 0.

خواص المماس و cotangentoid

تختلف الرسوم البيانية لوظائف الظل والظل اختلافًا كبيرًا عن الموجة الجيبية وجيب التمام. القيمتان tg و ctg معكوستان.

1. ص = tgx.
2. يميل الظل إلى قيم y عند x = π / 2 + k ، لكنه لا يصل إليها أبدًا.
3. أصغر فترة موجبة من الظل هو π.
4. Tg (- x) \ u003d - tg x ، أي الوظيفة فردية.
5. Tg x = 0 ، بالنسبة إلى x = πk.
6. الوظيفة تتزايد.
7. Tg x ›0 ، من أجل x ϵ (πk، π / 2 + k).
8. Tg x ‹0 ، بالنسبة إلى x ϵ (- / 2 + k، k).
9. المشتق (tg x) '= 1 / cos 2 ⁡x.

ضع في اعتبارك التمثيل الرسومي لـ cotangentoid أدناه في النص.

الخصائص الرئيسية لـ cotangentoid:

1. ص = ctgx.
2. على عكس دوال الجيب وجيب التمام ، في المماس يمكن أن يأخذ Y قيم مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.
3. يميل cotangentoid إلى قيم y عند x = πk ، لكنه لا يصل إليها أبدًا.
4. أصغر فترة موجبة من cotangentoid هي π.
5. Ctg (- x) \ u003d - ctg x ، أي الوظيفة غريبة.
6. Ctg x = 0 ، من أجل x = π / 2 + k.
7. الوظيفة تتناقص.
8. Ctg x ›0 ، من أجل x ϵ (πk، π / 2 + k).
9. Ctg x ‹0 ، بالنسبة إلى x ϵ (/ 2 + k، k).
10. المشتق (ctg x) '= - 1 / sin 2 ⁡x Fix

مفهوم حل المعادلات المثلثية.

• لحل المعادلة المثلثية ، قم بتحويلها إلى واحدة أو أكثر من المعادلات المثلثية الأساسية. ينتهي حل المعادلة المثلثية في النهاية إلى حل المعادلات المثلثية الأساسية الأربعة.

حل المعادلات المثلثية الأساسية.

• هناك 4 أنواع من المعادلات المثلثية الأساسية:
• الخطيئة س = أ ؛ كوس س = أ
• تان س = أ ؛ ctg x = أ
• يتضمن حل المعادلات المثلثية الأساسية النظر إلى مواضع x المختلفة على دائرة الوحدة ، بالإضافة إلى استخدام جدول تحويل (أو آلة حاسبة).
• مثال 1. sin x = 0.866. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) ، تحصل على الإجابة: x = π / 3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: 2π / 3. تذكر: جميع الدوال المثلثية دورية ، أي أن قيمها تتكرر. على سبيل المثال ، دورية كل من sin x و cos x هي 2πn ، ودورية tg x و ctg x هي n. إذن الجواب مكتوب على النحو التالي:
• x1 = π / 3 + 2πn ؛ x2 = 2π / 3 + 2πn.
• مثال 2 cos x = -1/2. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) ، تحصل على الإجابة: x = 2π / 3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: -2π / 3.
• x1 = 2π / 3 + 2π ؛ x2 = -2π / 3 + 2π.
• مثال 3. tg (x - π / 4) = 0.
• الجواب: س \ u003d π / 4 + πn.
• مثال 4. ctg 2x = 1.732.
• الجواب: س \ u003d π / 12 + πn.

التحويلات المستخدمة في حل المعادلات المثلثية.

• لتحويل المعادلات المثلثية ، يتم استخدام التحويلات الجبرية (التحليل ، تقليل المصطلحات المتجانسة ، إلخ) والهويات المثلثية.
• مثال 5. باستخدام المتطابقات المثلثية ، يتم تحويل المعادلة sin x + sin 2x + sin 3x = 0 إلى المعادلة 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. وهكذا ، فإن المعادلات المثلثية الأساسية التالية تحتاج إلى حل: cos x = 0 ؛ الخطيئة (3x / 2) = 0 ؛ كوس (س / 2) = 0.

• إيجاد الزوايا من القيم المعروفة للوظائف.

  • قبل أن تتعلم كيفية حل المعادلات المثلثية ، عليك أن تتعلم كيفية إيجاد الزوايا من القيم المعروفة للوظائف. يمكن القيام بذلك باستخدام جدول تحويل أو آلة حاسبة.
  • مثال: cos x = 0.732. ستعطي الآلة الحاسبة الإجابة س = 42.95 درجة. ستعطي دائرة الوحدة زوايا إضافية ، وجيب تمامها يساوي أيضًا 0.732.

• ضع المحلول على دائرة الوحدة جانبًا.

  • يمكنك وضع حلول للمعادلة المثلثية على دائرة الوحدة. حلول المعادلة المثلثية على دائرة الوحدة هي رؤوس المضلع المنتظم.
  • مثال: الحلول x = π / 3 + n / 2 على دائرة الوحدة هي رؤوس المربع.
  • مثال: الحلول x = π / 4 + n / 3 على دائرة الوحدة هي رؤوس شكل سداسي منتظم.

• طرق حل المعادلات المثلثية.

  • إذا كانت المعادلة المثلثية تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط ، فقم بحل هذه المعادلة باعتبارها معادلة مثلثية أساسية. إذا تضمنت معادلة معينة وظيفتين أو أكثر من الوظائف المثلثية ، فهناك طريقتان لحل هذه المعادلة (اعتمادًا على إمكانية تحويلها).
    • طريقة 1
  • حول هذه المعادلة إلى معادلة بالشكل: f (x) * g (x) * h (x) = 0 ، حيث f (x) ، g (x) ، h (x) هي المعادلات المثلثية الأساسية.
  • مثال 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • حل. باستخدام صيغة الزاوية المزدوجة sin 2x = 2 * sin x * cos x ، استبدل sin 2x.
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
  • مثال 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية ، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: cos 2x (2cos x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
  • مثال 8. sin x - sin 3x \ u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية ، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0.
    • الطريقة الثانية
  • حول المعادلة المثلثية المعطاة إلى معادلة تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط. ثم استبدل هذه الدالة المثلثية ببعضها غير المعروفة ، على سبيل المثال ، t (sin x = t ؛ cos x = t ؛ cos 2x = t ، tg x = t ؛ tg (x / 2) = t ، إلخ).
  • مثال 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • حل. في هذه المعادلة ، استبدل (cos ^ 2 x) بـ (1 - sin ^ 2 x) (حسب الهوية). تبدو المعادلة المحولة كما يلي:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. استبدل sin x بـ t. تبدو المعادلة الآن كما يلي: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. هذه معادلة من الدرجة الثانية بجذرين: t1 = -1 و t2 = 9/5. لا يفي الجذر الثاني t2 بنطاق الوظيفة (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • مثال 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
  • حل. استبدل tg x بـ t. أعد كتابة المعادلة الأصلية كما يلي: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. الآن أوجد t ثم أوجد x لـ t = tg x.