Regressiya tahlili. Regressiya tahlili

Regressiya tahlili ma'lum miqdorning boshqa miqdorga yoki bir nechta boshqa miqdorlarga bog'liqligini tekshiradi. Regression tahlil asosan o'rta muddatli prognozlashda, shuningdek uzoq muddatli prognozlashda qo'llaniladi. O'rta va uzoq muddatli davrlar biznes muhitida o'zgarishlarni aniqlash va ushbu o'zgarishlarning o'rganilayotgan ko'rsatkichga ta'sirini hisobga olish imkonini beradi.

Regressiya tahlilini o'tkazish uchun quyidagilar zarur:

o'rganilayotgan ko'rsatkichlar bo'yicha yillik ma'lumotlarning mavjudligi;

bir martalik prognozlar mavjudligi, ya'ni. yangi ma'lumotlar bilan yaxshilanmaydigan prognozlar.

Regression tahlil odatda investitsiyalar hajmi, foyda, sotish hajmi va boshqalar kabi murakkab, ko'p omilli xususiyatga ega bo'lgan ob'ektlar uchun amalga oshiriladi.

Da me'yoriy prognozlash usuli maqsad qilib olingan hodisaning mumkin bo'lgan holatlariga erishish yo'llari va muddatlari aniqlanadi. Gap oldindan belgilangan me'yorlar, ideallar, rag'batlantirishlar va maqsadlar asosida hodisaning istalgan holatiga erishishni bashorat qilish haqida ketmoqda. Bunday prognoz savolga javob beradi: kerakli narsaga qanday yo'llar bilan erishish mumkin? Normativ usul ko'proq dasturiy yoki maqsadli prognozlar uchun qo'llaniladi. Standartning miqdoriy ifodasi ham, baholash funktsiyasi imkoniyatlarining ma'lum bir shkalasi ham qo'llaniladi.

Miqdoriy ifodadan, masalan, aholining turli guruhlari uchun mutaxassislar tomonidan ishlab chiqilgan ma'lum oziq-ovqat va nooziq-ovqat mahsulotlarini iste'mol qilishning fiziologik va oqilona me'yorlaridan foydalanilganda, ushbu tovarlarning iste'mol darajasini aniqlash mumkin. belgilangan me'yorga erishishdan oldingi yillar. Bunday hisoblar interpolyatsiya deb ataladi. Interpolyatsiya - o'rnatilgan munosabatlarga asoslangan holda, hodisaning vaqt qatorida etishmayotgan ko'rsatkichlarni hisoblash usuli. Dinamik qatorning ekstremal a'zolari sifatida ko'rsatkichning haqiqiy qiymatini va uning standartlari qiymatini hisobga olgan holda, ushbu seriya ichidagi qiymatlarning kattaligini aniqlash mumkin. Shuning uchun interpolyatsiya normativ usul hisoblanadi. Ekstrapolyatsiyada qo'llanilgan ilgari berilgan (4) formuladan interpolyatsiyada foydalanish mumkin, bunda y n endi haqiqiy ma'lumotlarni emas, balki indikatorning standartini xarakterlaydi.

Normativ usulda baholash funktsiyasi imkoniyatlari shkalasidan (maydon, spektr), ya'ni afzalliklarni taqsimlash funktsiyasidan foydalanilganda, taxminan quyidagi gradatsiya ko'rsatiladi: nomaqbul - kamroq istalmagan - ko'proq ma'qul - eng kerakli - optimal (standart).

Normativ prognozlash usuli ob'ektivlik darajasini va shuning uchun qarorlarning samaradorligini oshirish bo'yicha tavsiyalar ishlab chiqishga yordam beradi.

Modellashtirish, ehtimol, eng qiyin prognozlash usuli. Matematik modellashtirish deganda iqtisodiy hodisani matematik formulalar, tenglamalar va tengsizliklar orqali tasvirlash tushuniladi. Matematik apparat prognoz fonini aniq aks ettirishi kerak, garchi bashorat qilingan ob'ektning butun chuqurligi va murakkabligini to'liq aks ettirish juda qiyin. "Model" atamasi lotincha modelus so'zidan olingan bo'lib, "o'lchov" degan ma'noni anglatadi. Shuning uchun modellashtirishni prognozlash usuli sifatida emas, balki modeldagi o'xshash hodisani o'rganish usuli sifatida ko'rib chiqish to'g'riroq bo'ladi.

Keng ma'noda modellar o'rganilayotgan ob'ektning o'rnini bosuvchi deb ataladi, ular ob'ekt haqida yangi bilimlarni olishga imkon beradi. Modelni ob'ektning matematik tavsifi sifatida ko'rib chiqish kerak. Bunday holda, model o'rganilayotgan ob'ekt bilan qandaydir mos keladigan va tadqiqot jarayonida uning o'rnini bosa oladigan, ob'ekt to'g'risidagi ma'lumotlarni taqdim etuvchi hodisa (mavzu, o'rnatish) sifatida aniqlanadi.

Modelni torroq tushunish bilan u prognozlash ob'ekti sifatida qaraladi, uni o'rganish ob'ektning kelajakdagi mumkin bo'lgan holatlari va ushbu holatlarga erishish yo'llari haqida ma'lumot olishga imkon beradi. Bunday holda, bashoratli modelning maqsadi ob'ekt haqida umuman emas, balki faqat uning kelajakdagi holatlari haqida ma'lumot olishdir. Keyin, modelni qurishda uning ob'ektga mos kelishini to'g'ridan-to'g'ri tekshirishning iloji bo'lmasligi mumkin, chunki model faqat kelajakdagi holatini ifodalaydi va ob'ektning o'zi hozirda mavjud bo'lmasligi yoki boshqa mavjud bo'lishi mumkin.

Modellar moddiy va ideal bo'lishi mumkin.

Iqtisodiyotda ideal modellar qo'llaniladi. Ijtimoiy-iqtisodiy (iqtisodiy) hodisani miqdoriy tavsiflash uchun eng mukammal ideal model raqamlar, formulalar, tenglamalar, algoritmlar yoki grafik tasvirlardan foydalanadigan matematik modeldir. Iqtisodiy modellar yordamida quyidagilarni aniqlang:

turli iqtisodiy ko'rsatkichlar o'rtasidagi bog'liqlik;

ko'rsatkichlarga qo'yilgan turli xil cheklovlar;

jarayonni optimallashtirish mezonlari.

Ob'ektning mazmunli tavsifi uning rasmiylashtirilgan sxemasi ko'rinishida ifodalanishi mumkin, bu kerakli qiymatlarni hisoblash uchun qaysi parametrlar va dastlabki ma'lumotlarni to'plash kerakligini ko'rsatadi. Matematik model, rasmiylashtirilgan sxemadan farqli o'laroq, ob'ektni tavsiflovchi aniq raqamli ma'lumotlarni o'z ichiga oladi.Matematik modelni ishlab chiqish ko'p jihatdan prognozchining modellashtirilayotgan jarayonning mohiyati haqidagi g'oyasiga bog'liq. O'z g'oyalariga asoslanib, u ishlaydigan gipotezani ilgari suradi, uning yordamida formulalar, tenglamalar va tengsizliklar ko'rinishida modelning analitik yozuvi tuziladi. Tenglamalar sistemasini yechish natijasida funksiyaning o'ziga xos parametrlari olinadi, ular vaqt o'tishi bilan kerakli o'zgaruvchilarning o'zgarishini tavsiflaydi.

Prognozlashni tashkil etish elementi sifatida ish tartibi va ketma-ketligi qo'llaniladigan prognozlash usuliga qarab belgilanadi. Odatda bu ish bir necha bosqichda amalga oshiriladi.

1-bosqich - bashoratli retrospektsiya, ya'ni prognozlash ob'ekti va prognoz fonini o'rnatish. Birinchi bosqichda ish quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiriladi:

ob'ektni oldindan prognozlash tahlilini, uning parametrlarini, ularning ahamiyatini va o'zaro munosabatlarini baholashni o'z ichiga olgan o'tmishdagi ob'ektning tavsifini shakllantirish;

axborot manbalarini aniqlash va baholash, ular bilan ishlash tartibi va tashkil etish, retrospektiv axborotni to‘plash va joylashtirish;

tadqiqot maqsadlarini belgilash.

Bashoratli retrospektsiya vazifalarini bajarib, prognozchilar ob'ektning rivojlanish tarixini va ularning tizimli tavsifini olish uchun prognoz fonini o'rganadilar.

2-bosqich - bashoratli diagnostika, uning davomida prognozlash ob'ektining tizimli tavsifi va prognozlash fonining rivojlanish tendentsiyalarini aniqlash va prognozlash modellari va usullarini tanlash uchun o'rganiladi. Ish quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiriladi:

ob'ektning rasmiylashtirilgan tavsifini o'z ichiga olgan prognoz ob'ekti modelini ishlab chiqish, modelning ob'ektga muvofiqlik darajasini tekshirish;

bashorat qilish usullarini tanlash (asosiy va yordamchi), algoritm va ish dasturlarini ishlab chiqish.

3-bosqich - homiylik, ya'ni prognozni keng qamrovli ishlab chiqish jarayoni, shu jumladan: 1) ma'lum bir etakchilik davri uchun prognoz qilingan parametrlarni hisoblash; 2) prognozning alohida komponentlarini sintez qilish.

4-bosqich - prognozni baholash, shu jumladan uni tekshirish, ya'ni ishonchlilik, aniqlik va asoslilik darajasini aniqlash.

Qidiruv va baholash jarayonida oldingi bosqichlar asosida prognozlash vazifalari va uni baholash hal qilinadi.

Ko'rsatilgan bosqichma-bosqich taxminiy va asosiy prognozlash usuliga bog'liq.

Prognoz natijalari sertifikat, hisobot yoki boshqa materiallar shaklida tuziladi va mijozga taqdim etiladi.

Prognozlashda prognozning ob'ektning haqiqiy holatidan og'ishini ko'rsatish mumkin, bu prognoz xatosi deb ataladi, bu formula bilan hisoblanadi:

;
;
. (9.3)

Prognozlashdagi xatolar manbalari

Asosiy manbalar quyidagilar bo'lishi mumkin:

1. Ma'lumotlarni o'tmishdan kelajakka oddiy o'tkazish (ekstrapolyatsiya qilish) (masalan, kompaniyada boshqa prognoz variantlari mavjud emas, savdo hajmining 10% ga oshishi bundan mustasno).

2. Hodisa sodir bo‘lish ehtimoli va uning o‘rganilayotgan ob’ektga ta’sirini to‘g‘ri aniqlay olmaslik.

3. Rejani amalga oshirishga ta'sir qiluvchi kutilmagan qiyinchiliklar (buzuvchi hodisalar), masalan, savdo bo'limi boshlig'ini to'satdan ishdan bo'shatish.

Umuman olganda, bashorat qilishning aniqligi prognozlashda tajriba to'plash va uning usullarini ishlab chiqish bilan ortadi.

Regressiya tahlili

regressiya (chiziqli) tahlil- bir yoki bir nechta mustaqil o'zgaruvchilarning bog'liq o'zgaruvchiga ta'sirini o'rganishning statistik usuli. Mustaqil o'zgaruvchilar boshqacha tarzda regressorlar yoki bashorat qiluvchilar, bog'liq o'zgaruvchilar esa mezonlar deb ataladi. Terminologiya qaram va mustaqil o'zgaruvchilar faqat o'zgaruvchilarning matematik bog'liqligini aks ettiradi ( Soxta korrelyatsiyaga qarang), sabab-oqibat munosabatlari emas.

Regressiya tahlilining maqsadlari

1. Mezon (bog'liq) o'zgaruvchining o'zgarishining determinizm darajasini bashorat qiluvchilar (mustaqil o'zgaruvchilar) tomonidan aniqlash.
2. Mustaqil o'zgaruvchi(lar) yordamida bog'liq o'zgaruvchining qiymatini bashorat qilish
3. Bog'liqning o'zgarishiga individual mustaqil o'zgaruvchilarning hissasini aniqlash

O'zgaruvchilar o'rtasida bog'liqlik mavjudligini aniqlash uchun regressiya tahlilidan foydalanish mumkin emas, chunki bunday munosabatning mavjudligi tahlilni qo'llash uchun zaruriy shartdir.

Regressiyaning matematik ta'rifi

Qattiq regressiv qaramlikni quyidagicha aniqlash mumkin. Berilgan qo'shma ehtimollik taqsimoti bilan tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin. Agar har bir qiymat to'plami uchun shartli kutish aniqlansa

(umumiy regressiya tenglamasi),

keyin funksiya chaqiriladi regressiya Y qiymatlari qiymatlari va uning grafigi - regressiya chizig'i tomonidan, yoki regressiya tenglamasi.

ga bog'liqlik o'zgarganda Y ning o'rtacha qiymatlarining o'zgarishida namoyon bo'ladi. Har bir sobit qiymatlar to'plami uchun miqdor ma'lum bir dispersiyaga ega tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib qoladi.

Regressiya tahlili Y ning o'zgarishi bilan o'zgarishini qanchalik aniq baholashi haqidagi savolga aniqlik kiritish uchun Y dispersiyasining o'rtacha qiymati turli qiymatlar to'plami uchun ishlatiladi (aslida, biz dispersiya o'lchovi haqida gapiramiz. regressiya chizig'i atrofidagi qaram o'zgaruvchi).

Eng kichik kvadratlar usuli (koeffitsientlarni hisoblash)

Amalda, regressiya chizig'i ko'pincha shaklda qidiriladi chiziqli funksiya(chiziqli regressiya) kerakli egri chiziqqa eng yaxshi yaqinlashadi. Bu eng kichik kvadratlar usuli yordamida, haqiqatda kuzatilgan taxminlardan kvadratik og'ishlarning yig'indisi minimallashtirilganda amalga oshiriladi (kerakli regressiyaga bog'liqlikni ifodalovchi to'g'ri chiziqdan foydalangan holda hisob-kitoblarni anglatadi):

(M - namuna hajmi). Ushbu yondashuv asoslanadi ma'lum fakt yuqoridagi ifodada ko'rinadigan yig'indi, qachon bo'lsa, aniq minimal qiymatni oladi.

Eng kichik kvadratlar usuli bilan regressiya tahlili muammosini hal qilish uchun kontseptsiya kiritilgan qoldiq funktsiyalari:

Qoldiq funksiyaning minimal sharti:

Natijada paydo bo'lgan tizim tizimdir chiziqli tenglamalar noma'lum bilan

Tenglamalarning chap tomonining erkin hadlarini matritsa orqali ifodalasak

va matritsaning o'ng tomonidagi noma'lumlar koeffitsientlari

keyin matritsa tenglamasini olamiz: , bu Gauss usuli bilan oson yechiladi. Olingan matritsa regressiya chizig'i tenglamasining koeffitsientlarini o'z ichiga olgan matritsa bo'ladi:

Eng yaxshi baholarni olish uchun LSM shartlarini (Gauss-Markov shartlari) bajarish kerak. Ingliz adabiyotida bunday baholar BLUE (Best Linear Unbiased Estimators) - eng yaxshi chiziqli xolis baholar deb ataladi.

Regressiya parametrlarini talqin qilish

Parametrlar qisman korrelyatsiya koeffitsientlari; qolgan bashorat qiluvchilarning ta'sirini aniqlash orqali tushuntirilgan Y dispersiyasining nisbati sifatida talqin etiladi, ya'ni Y ni tushuntirishga individual hissasini o'lchaydi. Korrelyatsiya qilingan bashoratchilarda, taxminlarda noaniqlik muammosi mavjud. , ular bashorat qiluvchilarni modelga kiritish tartibiga bog'liq bo'ladi. Bunday hollarda korrelyatsiya va bosqichli regressiya tahlilining tahlil usullarini qo'llash kerak.

Regressiya tahlilining chiziqli bo'lmagan modellari haqida gap ketganda, biz mustaqil o'zgaruvchilarda chiziqli bo'lmaganlik (rasmiy nuqtai nazardan, chiziqli regressiyaga osonlikcha tushiriladi) yoki taxmin qilingan parametrlarda chiziqli bo'lmaganlik haqida ketayotganiga e'tibor berish kerak. (hisoblashda jiddiy qiyinchiliklarga olib keladi). Birinchi turdagi nochiziqlik bilan, mazmunli nuqtai nazardan, shakl a'zolarining modelidagi ko'rinishini ajratib ko'rsatish muhimdir , , xususiyatlar o'rtasidagi o'zaro ta'sirlar mavjudligini ko'rsatadi va hokazo (qarang Multikollinearlik).

Shuningdek qarang

Havolalar

• www.kgafk.ru - "Regression tahlil" mavzusidagi ma'ruza
• www.basegroup.ru - regressiya modellarida o'zgaruvchilarni tanlash usullari

Adabiyot

• Norman Draper, Garri Smit Amaliy regressiya tahlili. Ko'p regressiya= Amaliy regressiya tahlili. - 3-nashr. - M .: "Dialektika", 2007. - S. 912. - ISBN 0-471-17082-8
• Statistik modellarni baholashning barqaror usullari: Monografiya. - K. : PP "Sansparelle", 2005. - S. 504. - ISBN 966-96574-0-7, UDC: 519.237.5: 515.126.2, LBC 22.172 + 22.152
• Radchenko Stanislav Grigorevich, Regressiya tahlili metodologiyasi: Monografiya. - K. : "Korniychuk", 2011. - S. 376. - ISBN 978-966-7599-72-0

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Regressiya nima?

Ikkita uzluksiz o'zgaruvchini ko'rib chiqing x=(x 1 , x 2 , .., x n), y=(y 1 , y 2 , ..., y n).

Keling, nuqtalarni 2D tarqalish grafigiga joylashtiramiz va bizda bor deylik chiziqli munosabat agar ma'lumotlar to'g'ri chiziq bilan yaqinlashsa.

Agar shunday deb taxmin qilsak y ga bog'liq x, va dagi o'zgarishlar y dagi oʻzgarishlar natijasida yuzaga keladi x, biz regressiya chizig'ini aniqlashimiz mumkin (regressiya y ustida x), bu ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi to'g'ri chiziqli munosabatni eng yaxshi tavsiflaydi.

"Regressiya" so'zining statistik ishlatilishi ser Frensis Galton (1889) tomonidan aytilgan o'rtachaga regressiya deb nomlanuvchi hodisadan kelib chiqqan.

U baland bo'yli otalar odatda uzun bo'yli o'g'illarga ega bo'lishsa-da, o'g'illarning o'rtacha bo'yi baland bo'yli otalarinikidan kichikroq ekanligini ko'rsatdi. O'g'illarning o'rtacha bo'yi aholining barcha otalarining o'rtacha bo'yi darajasiga "regress" va "orqaga ko'chdi". Shunday qilib, o'rtacha, baland bo'yli otalarning o'g'illari pastroq (lekin baribir uzun bo'yli), past bo'yli otalarning esa balandroq (lekin hali ham ancha past) o'g'illari bor.

regressiya chizig'i

Oddiy (juftlik) chiziqli regressiya chizig'ini baholovchi matematik tenglama:

x mustaqil o'zgaruvchi yoki bashoratchi deb ataladi.

Y qaram yoki javob o'zgaruvchisidir. Bu biz kutgan qiymatdir y(o'rtacha) agar biz qiymatni bilsak x, ya'ni. bashorat qilingan qiymatdir y»

• a- baholash chizig'ining erkin a'zosi (kesish); bu qiymat Y, qachon x=0(1-rasm).
• b- taxminiy chiziqning qiyaligi yoki gradienti; bu qancha miqdorda Y ko'paytirsak o'rtacha ortadi x bir birlik uchun.
• a va b taxminiy chiziqning regressiya koeffitsientlari deb ataladi, garchi bu atama ko'pincha faqat uchun ishlatiladi b.

Juftlik chiziqli regressiya bir nechta mustaqil o‘zgaruvchilarni qamrab olish uchun kengaytirilishi mumkin; bu holda u sifatida tanilgan ko'p regressiya.

1-rasm. a va qiyalik b ning kesishishini ko'rsatadigan chiziqli regressiya chizig'i (x bir birlikka oshganida Y ning o'sish miqdori)

Eng kichik kvadrat usuli

Biz kuzatuvlar namunasi yordamida regressiya tahlilini o'tkazamiz a va b- populyatsiyada (umumiy populyatsiyada) chiziqli regressiya chizig'ini aniqlaydigan haqiqiy (umumiy) parametrlarning namunaviy baholari, a va b .

Koeffitsientlarni aniqlashning eng oddiy usuli a va b hisoblanadi eng kichik kvadrat usuli(MNK).

Moslik qoldiqlarni hisobga olgan holda baholanadi (har bir nuqtaning chiziqdan vertikal masofasi, masalan, qoldiq = kuzatiladigan y- bashorat qilingan y, Guruch. 2).

Eng yaxshi mos keladigan chiziq qoldiq kvadratlarining yig'indisi minimal bo'lishi uchun tanlanadi.

Guruch. 2. Har bir nuqta uchun tasvirlangan qoldiqlar (vertikal nuqtali chiziqlar) bilan chiziqli regressiya chizig'i.

Chiziqli regressiya taxminlari

Demak, har bir kuzatilgan qiymat uchun qoldiq farq va mos keladigan bashorat qilingan qiymatga teng bo'ladi.Har bir qoldiq ijobiy yoki manfiy bo'lishi mumkin.

Chiziqli regressiya ortidagi quyidagi taxminlarni tekshirish uchun qoldiqlardan foydalanishingiz mumkin:

• Qoldiqlar odatda nol o'rtacha bilan taqsimlanadi;

Agar chiziqlilik, normallik va/yoki doimiy dispersiyaning taxminlari shubhali bo'lsa, biz ushbu taxminlar qondiriladigan yangi regressiya chizig'ini o'zgartirishimiz yoki hisoblashimiz mumkin (masalan, logarifmik o'zgartirishdan foydalaning va hokazo).

Anormal qiymatlar (chiqibiy qiymatlar) va ta'sir nuqtalari

"Ta'sirli" kuzatuv, agar o'tkazib yuborilsa, bir yoki bir nechta model parametrlarini o'zgartiradi (ya'ni, qiyalik yoki kesishish).

Chiqib ketish (ma'lumotlar to'plamidagi aksariyat qiymatlarga zid bo'lgan kuzatish) "ta'sirli" kuzatuv bo'lishi mumkin va 2D tarqalish yoki qoldiqlar syujetini ko'rib chiqishda vizual tarzda yaxshi aniqlanishi mumkin.

Chetdan tashqari ko'rsatkichlar uchun ham, "ta'sirli" kuzatuvlar (nuqtalar) uchun ham modellar qo'shilgan holda ham, ularsiz ham qo'llaniladi, smetadagi o'zgarishlarga (regressiya koeffitsientlari) e'tibor bering.

Tahlil o'tkazayotganda, avtomatik ravishda chetlab o'tish yoki ta'sir nuqtalarini tashlamang, chunki ularni e'tiborsiz qoldirish natijalarga ta'sir qilishi mumkin. Har doim bu cheklashlarning sabablarini o'rganing va ularni tahlil qiling.

Chiziqli regressiya gipotezasi

Chiziqli regressiyani qurishda regressiya chizig'ining b umumiy qiyaligi nolga teng degan nol gipoteza tekshiriladi.

Agar chiziqning qiyaligi nolga teng bo'lsa, va o'rtasida chiziqli bog'liqlik yo'q: o'zgarish ta'sir qilmaydi

Haqiqiy qiyalik nolga teng degan nol gipotezani tekshirish uchun siz quyidagi algoritmdan foydalanishingiz mumkin:

Koeffitsientning standart xatosi erkinlik darajasi bilan taqsimlanishga bo'ysunadigan nisbatga teng test statistikasini hisoblang.

,

- qoldiqlarning dispersiyasini baholash.

Odatda, agar ahamiyatlilik darajasi erishilgan bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi.

bu erda ikki dumli sinov ehtimolini beradigan erkinlik darajalari bilan taqsimlanishning foiz nuqtasi

Bu 95% ehtimollik bilan umumiy nishabni o'z ichiga olgan oraliq.

Katta namunalar uchun biz 1,96 qiymatini taxmin qilishimiz mumkin (ya'ni, test statistikasi odatda taqsimlanadi)

Chiziqli regressiya sifatini baholash: aniqlash koeffitsienti R 2

Chiziqli munosabatlar tufayli va biz bu o'zgarishlar sifatida o'zgarishini kutamiz , va biz buni regressiya bilan bog'liq yoki tushuntirilgan o'zgarish deb ataymiz. Qolgan o'zgarish imkon qadar kichik bo'lishi kerak.

Agar shunday bo'lsa, u holda o'zgarishlarning aksariyati regressiya bilan izohlanadi va nuqtalar regressiya chizig'iga yaqin joylashgan bo'ladi, ya'ni. chiziq ma'lumotlarga yaxshi mos keladi.

Regressiya bilan izohlanadigan umumiy dispersiyaning ulushi deyiladi aniqlash koeffitsienti, odatda foiz sifatida ifodalanadi va belgilanadi R2(juftlangan chiziqli regressiyada bu qiymat r2, korrelyatsiya koeffitsientining kvadrati), regressiya tenglamasining sifatini sub'ektiv baholash imkonini beradi.

Farqi regressiya bilan izohlab bo'lmaydigan dispersiya foizidir.

Baholash uchun rasmiy test mavjud bo'lmaganda, biz regressiya chizig'ining muvofiqligi sifatini aniqlash uchun sub'ektiv mulohazaga tayanishga majburmiz.

Prognozga regressiya chizig'ini qo'llash

Siz kuzatilgan diapazondagi qiymatdan qiymatni bashorat qilish uchun regressiya chizig'idan foydalanishingiz mumkin (hech qachon bu chegaralardan tashqariga ekstrapolyatsiya qilmang).

Biz ma'lum qiymatga ega bo'lgan kuzatilishi mumkin bo'lgan o'rtacha qiymatni regressiya chizig'i tenglamasiga almashtirish orqali taxmin qilamiz.

Shunday qilib, agar bashorat qilsak, biz ushbu bashorat qilingan qiymatdan va uning standart xatosidan haqiqiy populyatsiya o'rtacha ishonch oralig'ini baholash uchun foydalanamiz.

Ushbu protsedurani turli qiymatlar uchun takrorlash ushbu chiziq uchun ishonch chegaralarini yaratishga imkon beradi. Bu, masalan, 95% ishonchlilik darajasi bilan, haqiqiy chiziqni o'z ichiga olgan tarmoqli yoki maydon.

Oddiy regressiya rejalari

Oddiy regressiya dizaynlarida bitta doimiy bashoratchi mavjud. Agar 7, 4 va 9 kabi bashorat qiluvchi qiymatlari P bo'lgan 3 ta holat mavjud bo'lsa va dizayn birinchi darajali effekt P ni o'z ichiga olsa, X dizayn matritsasi bo'ladi.

va X1 uchun P dan foydalangan holda regressiya tenglamasi o'xshaydi

Y = b0 + b1 P

Agar oddiy regressiya dizayni P ga kvadratik effekt kabi yuqori tartibli effektni o'z ichiga olsa, u holda dizayn matritsasidagi X1 ustunidagi qiymatlar ikkinchi darajaga ko'tariladi:

va tenglama shaklni oladi

Y = b0 + b1 P2

Sigma-cheklangan va ortiqcha parametrlangan kodlash usullari oddiy regressiya dizaynlari va faqat uzluksiz bashorat qiluvchilarni o'z ichiga olgan boshqa dizaynlarga taalluqli emas (chunki toifali bashorat qiluvchilar mavjud emas). Tanlangan kodlash usulidan qat'i nazar, uzluksiz o'zgaruvchilarning qiymatlari tegishli quvvat bilan oshiriladi va X o'zgaruvchilari uchun qiymatlar sifatida ishlatiladi. Bunday holda, konvertatsiya amalga oshirilmaydi. Bundan tashqari, regressiya rejalarini tavsiflashda siz X reja matritsasiga e'tibor bermaslik va faqat regressiya tenglamasi bilan ishlashingiz mumkin.

Misol: Oddiy regressiya tahlili

Ushbu misol jadvalda keltirilgan ma'lumotlardan foydalanadi:

Guruch. 3. Dastlabki ma'lumotlar jadvali.

Ma'lumotlar tasodifiy tanlangan 30 ta okrugda 1960 va 1970 yillardagi aholini ro'yxatga olish natijalarini taqqoslashga asoslangan. Tuman nomlari kuzatish nomlari sifatida ifodalanadi. Har bir o'zgaruvchiga oid ma'lumotlar quyida keltirilgan:

Guruch. 4. O'zgaruvchan spetsifikatsiyalar jadvali.

Tadqiqot maqsadi

Ushbu misol uchun qashshoqlik darajasi va kambag'allik chegarasidan past bo'lgan oilalar foizini bashorat qiluvchi kuch o'rtasidagi bog'liqlik tahlil qilinadi. Shuning uchun biz 3 o'zgaruvchiga (Pt_Poor ) qaram o'zgaruvchi sifatida qaraymiz.

Farazni ilgari surish mumkin: aholi sonining o'zgarishi va qashshoqlik chegarasidan past bo'lgan oilalar foizi o'zaro bog'liq. Qashshoqlik aholining chiqib ketishiga olib keladi, deb kutish o'rinli ko'rinadi, shuning uchun kambag'allik chegarasidan past bo'lgan odamlar foizi va aholi o'zgarishi o'rtasida salbiy bog'liqlik bo'ladi. Shuning uchun biz 1 o'zgaruvchini (Pop_Chng) bashorat qiluvchi o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqamiz.

Natijalarni ko‘rish

Regressiya koeffitsientlari

Guruch. 5. Pop_Chng bo'yicha Pt_Poor regressiya koeffitsientlari.

Pop_Chng qatori va Param kesishmasida. Pop_Chng bo'yicha Pt_Poor regressiyasi uchun standartlashtirilmagan koeffitsient -0,40374 ni tashkil qiladi. Demak, aholining har bir birligi kamayishi uchun qashshoqlik darajasi .40374 ga oshadi. Ushbu standartlashtirilmagan koeffitsient uchun yuqori va pastki (standart) 95% ishonch chegaralari nolni o'z ichiga olmaydi, shuning uchun regressiya koeffitsienti p darajasida muhim ahamiyatga ega.<.05 . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на.65.

O'zgaruvchilarni taqsimlash

Agar ma'lumotlarda katta chegaralar mavjud bo'lsa, korrelyatsiya koeffitsientlari sezilarli darajada oshirib yuborilishi yoki kam baholanishi mumkin. Pt_Poor bog'liq o'zgaruvchining okruglar bo'yicha taqsimlanishini ko'rib chiqamiz. Buning uchun biz Pt_Poor o'zgaruvchisining gistogrammasini tuzamiz.

Guruch. 6. Pt_Poor o'zgaruvchisining gistogrammasi.

Ko'rib turganingizdek, bu o'zgaruvchining taqsimlanishi normal taqsimotdan sezilarli darajada farq qiladi. Biroq, hatto ikkita okrug (o'ngdagi ikkita ustun) odatdagi taqsimotda kutilganidan kambag'allik chegarasidan pastroq bo'lgan oilalarning yuqori foiziga ega bo'lsa-da, ular "diapazon ichida" ko'rinadi.

Guruch. 7. Pt_Poor o'zgaruvchisining gistogrammasi.

Bu hukm biroz sub'ektivdir. Asosiy qoida shundan iboratki, agar kuzatuv (yoki kuzatuvlar) intervalga to'g'ri kelmasa (o'rtacha ± 3 baravar standart og'ish). Bunday holda, ular aholi a'zolari o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikka jiddiy ta'sir qilmasligiga ishonch hosil qilish uchun tahlilni chetlab o'tilgan va ularsiz takrorlash arziydi.

Tarqalish chizmasi

Agar gipotezalardan biri berilgan o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlik to'g'risida apriori bo'lsa, u holda uni mos keladigan tarqalish sxemasi bo'yicha tekshirish foydali bo'ladi.

Guruch. 8. Tarqalish sxemasi.

Tarqalish sxemasi ikkita o'zgaruvchi o'rtasida aniq salbiy korrelyatsiyani (-.65) ko'rsatadi. Bundan tashqari, regressiya chizig'i uchun 95% ishonch oralig'ini ko'rsatadi, ya'ni 95% ehtimollik bilan regressiya chizig'i ikkita chiziqli egri chiziq orasidan o'tadi.

Muhimlik mezonlari

Guruch. 9. Muhimlik mezonlarini o'z ichiga olgan jadval.

Pop_Chng regressiya koeffitsienti testi Pop_Chng ning Pt_Poor, p bilan kuchli bog'liqligini tasdiqlaydi.<.001 .

Natija

Ushbu misol oddiy regressiya rejasini qanday tahlil qilishni ko'rsatdi. Shuningdek, standartlashtirilmagan va standartlashtirilgan regressiya koeffitsientlarining talqini taqdim etildi. Bog'liq o'zgaruvchining javob taqsimotini o'rganishning ahamiyati muhokama qilinadi va bashoratchi va qaram o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatlarning yo'nalishi va kuchini aniqlash texnikasi ko'rsatiladi.

Regressiya va korrelyatsion tahlil - statistik tadqiqot usullari. Bu parametrning bir yoki bir nechta mustaqil o'zgaruvchilarga bog'liqligini ko'rsatishning eng keng tarqalgan usullari.

Quyida, aniq amaliy misollardan foydalanib, iqtisodchilar orasida juda mashhur bo'lgan ushbu ikkita tahlilni ko'rib chiqamiz. Ularni birlashtirganda natijalarni olish misolini ham keltiramiz.

Excelda regressiya tahlili

Ba'zi qiymatlarning (mustaqil, mustaqil) qaram o'zgaruvchiga ta'sirini ko'rsatadi. Masalan, iqtisodiy faol aholi soni qanday korxonalar soniga, ish haqiga va boshqa parametrlarga bog'liq. Yoki: xorijiy investitsiyalar, energiya narxlari va boshqalar YaIM darajasiga qanday ta'sir qiladi.

Tahlil natijasi sizga ustuvorlik berishga imkon beradi. Va asosiy omillarga asoslanib, ustuvor yo'nalishlarni rivojlantirishni bashorat qilish, rejalashtirish, boshqaruv qarorlarini qabul qilish.

Regressiya sodir bo'ladi:

• chiziqli (y = a + bx);
• parabolik (y = a + bx + cx 2);
• eksponensial (y = a * exp(bx));
• quvvat (y = a*x^b);
• giperbolik (y = b/x + a);
• logarifmik (y = b * 1n(x) + a);
• eksponentsial (y = a * b^x).

Excelda regressiya modelini yaratish va natijalarni sharhlash misolini ko'rib chiqing. Regressiyaning chiziqli turini olaylik.

Vazifa. 6 ta korxona bo‘yicha o‘rtacha oylik ish haqi va ishdan ketgan xodimlar soni tahlil qilindi. Pensiyaga chiqqan xodimlar sonining o'rtacha ish haqiga bog'liqligini aniqlash kerak.

Chiziqli regressiya modeli quyidagi shaklga ega:

Y \u003d a 0 + a 1 x 1 + ... + a k x k.

Bu erda a - regressiya koeffitsientlari, x - ta'sir qiluvchi o'zgaruvchilar va k - omillar soni.

Bizning misolimizda Y - ishdan bo'shatilgan ishchilar ko'rsatkichi. Ta'sir etuvchi omil - bu ish haqi (x).

Excelda chiziqli regressiya modelining parametrlarini hisoblash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan o'rnatilgan funktsiyalar mavjud. Ammo Analysis ToolPak plaginlari buni tezroq bajaradi.

Kuchli tahliliy vositani faollashtiring:

Faollashtirilgandan so'ng, plagin Ma'lumotlar yorlig'ida mavjud bo'ladi.

Endi biz to'g'ridan-to'g'ri regressiya tahlili bilan shug'ullanamiz.

Avvalo, biz R-kvadrat va koeffitsientlarga e'tibor beramiz.

R-kvadrat - determinatsiya koeffitsienti. Bizning misolimizda u 0,755 yoki 75,5% ni tashkil qiladi. Bu shuni anglatadiki, modelning hisoblangan parametrlari o'rganilayotgan parametrlar orasidagi bog'liqlikni 75,5% ga tushuntiradi. Determinatsiya koeffitsienti qanchalik yuqori bo'lsa, model shunchalik yaxshi bo'ladi. Yaxshi - 0,8 dan yuqori. Yomon - 0,5 dan kam (bunday tahlilni oqilona deb hisoblash qiyin). Bizning misolimizda - "yomon emas".

64.1428 koeffitsienti ko'rib chiqilayotgan modeldagi barcha o'zgaruvchilar 0 ga teng bo'lsa Y qanday bo'lishini ko'rsatadi. Ya'ni modelda tavsiflanmagan boshqa omillar ham tahlil qilinayotgan parametr qiymatiga ta'sir qiladi.

-0,16285 koeffitsienti X o'zgaruvchisining Y bo'yicha og'irligini ko'rsatadi. Ya'ni, ushbu model doirasidagi o'rtacha oylik ish haqi -0,16285 og'irlikdagi ishdan bo'shaganlar soniga ta'sir qiladi (bu kichik ta'sir darajasi). "-" belgisi salbiy ta'sirni ko'rsatadi: ish haqi qanchalik yuqori bo'lsa, ishdan bo'shatish shunchalik kam bo'ladi. Qaysi adolatli.



Excelda korrelyatsiya tahlili

Korrelyatsiya tahlili bir yoki ikkita namunadagi ko'rsatkichlar o'rtasida bog'liqlik mavjudligini aniqlashga yordam beradi. Masalan, mashinaning ishlash muddati va ta'mirlash xarajatlari, uskunaning narxi va ishlash muddati, bolalarning bo'yi va vazni va boshqalar.

Agar munosabatlar mavjud bo'lsa, unda bir parametrning o'sishi ikkinchisining o'sishiga (ijobiy korrelyatsiya) yoki kamayishiga (salbiy) olib keladimi. Korrelyatsiya tahlili tahlilchiga bir ko'rsatkichning qiymati boshqasining mumkin bo'lgan qiymatini bashorat qila oladimi yoki yo'qligini aniqlashga yordam beradi.

Korrelyatsiya koeffitsienti r bilan belgilanadi. +1 dan -1 gacha o'zgaradi. Turli sohalar uchun korrelyatsiyalarning tasnifi har xil bo'ladi. Koeffitsient qiymati 0 bo'lsa, namunalar o'rtasida chiziqli bog'liqlik yo'q.

Korrelyatsiya koeffitsientini topish uchun Exceldan qanday foydalanishni ko'rib chiqing.

CORREL funksiyasi juftlashgan koeffitsientlarni topish uchun ishlatiladi.

Vazifa: stanokning ish vaqti va unga texnik xizmat ko'rsatish xarajatlari o'rtasida bog'liqlik mavjudligini aniqlang.

Kursorni istalgan katakchaga qo'ying va fx tugmasini bosing.

1. "Statistika" toifasida CORREL funksiyasini tanlang.
2. Argument "1-massiv" - qiymatlarning birinchi diapazoni - mashinaning vaqti: A2: A14.
3. Argument "2-massiv" - qiymatlarning ikkinchi diapazoni - ta'mirlash narxi: B2: B14. OK tugmasini bosing.

Ulanish turini aniqlash uchun siz koeffitsientning mutlaq soniga qarashingiz kerak (har bir faoliyat sohasi o'z shkalasiga ega).

Bir nechta parametrlarni (2 dan ortiq) korrelyatsion tahlil qilish uchun "Ma'lumotlarni tahlil qilish" ("Analiz paketi" qo'shimchasi) dan foydalanish qulayroqdir. Ro'yxatda siz korrelyatsiyani tanlashingiz va massivni belgilashingiz kerak. Hammasi.

Olingan koeffitsientlar korrelyatsiya matritsasida ko'rsatiladi. Bu kabi:

Korrelyatsiya-regressiya tahlili

Amalda, bu ikki usul ko'pincha birgalikda qo'llaniladi.

Misol:

Endi regressiya tahlili ma'lumotlari ko'rinadi.

1. Birinchi marta «regressiya» atamasi biometrika asoschisi F.Galton (XIX asr) tomonidan kiritilgan bo‘lib, uning g‘oyalari uning izdoshi K.Pirson tomonidan ishlab chiqilgan.

Regressiya tahlili- bir yoki bir nechta sabablar (omil belgilari) va oqibat (samarali belgi) o'rtasidagi bog'liqlikni o'lchash imkonini beruvchi statistik ma'lumotlarni qayta ishlash usuli.

belgisi- bu o'rganilayotgan hodisa yoki jarayonning asosiy farqlovchi belgisi, xususiyati.

Samarali belgi - tekshirilgan ko'rsatkich.

Faktor belgisi- samarali xususiyatning qiymatiga ta'sir qiluvchi ko'rsatkich.

Regressiya tahlilining maqsadi samarali xususiyatning o'rtacha qiymatining funktsional bog'liqligini baholashdir ( da) faktorial ( x 1, x 2, ..., x n), sifatida ifodalanadi regressiya tenglamalari

da= f(x 1, x 2, ..., x n). (6.1)

Ikki xil regressiya mavjud: juftlik va ko'p.

Juftlangan (oddiy) regressiya- shakl tenglamasi:

da= f(x). (6.2)

Juftlik regressiyadagi natijaviy xususiyat bitta argumentning funktsiyasi sifatida qaraladi, ya'ni. bitta omil.

Regressiya tahlili quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:

funksiya turini aniqlash;

regressiya koeffitsientlarini aniqlash;

Samarali xususiyatning nazariy qiymatlarini hisoblash;

Regressiya koeffitsientlarining statistik ahamiyatini tekshirish;

Regressiya tenglamasining statistik ahamiyatini tekshirish.

Ko'p regressiya- shakl tenglamasi:

da= f(x 1, x 2, ..., x n). (6.3)

Natijada paydo bo'lgan xususiyat bir nechta argumentlarning funktsiyasi sifatida qaraladi, ya'ni. ko'p omillar.

2. Funksiya turini to’g’ri aniqlash uchun nazariy ma’lumotlarga tayangan holda bog’lanish yo’nalishini topish kerak.

Bog'lanish yo'nalishi bo'yicha regressiya quyidagilarga bo'linadi:

· to'g'ridan-to'g'ri regressiya, mustaqil qiymatning oshishi yoki kamayishi bilan yuzaga keladigan " X" bog'liq miqdorning qiymatlari " da" ham mos ravishda oshirish yoki kamaytirish;

· teskari regressiya, mustaqil qiymatning oshishi yoki kamayishi sharti bilan yuzaga keladi "X" bog'liq qiymat " da" mos ravishda kamayadi yoki ortadi.

Munosabatlarni tavsiflash uchun juftlashgan regressiya tenglamalarining quyidagi turlari qo'llaniladi:

· y=a+bx– chiziqli;

· y=e ax + b – eksponensial;

· y=a+b/x – giperbolik;

· y=a+b 1 x+b 2 x 2 – parabolik;

· y=ab x – eksponensial va boshq.

qayerda a, b 1, b 2- tenglamaning koeffitsientlari (parametrlari); da- samarali belgi; X- omil belgisi.

3. Regressiya tenglamasini qurish uning koeffitsientlarini (parametrlarini) baholashga qisqartiriladi, buning uchun ular foydalanadilar. eng kichik kvadrat usuli(MNK).

Eng kichik kvadratlar usuli sizga samarali xususiyatning haqiqiy qiymatlarining kvadratik og'ishlari yig'indisi bo'lgan parametrlarning bunday baholarini olish imkonini beradi. da»nazariydan» y x» minimal, ya'ni

Regressiya tenglamalari variantlari y=a+bx Eng kichik kvadratlar usuli bilan quyidagi formulalar yordamida baholanadi:

qayerda a - erkin koeffitsient, b- regressiya koeffitsienti, natija belgisi qanchalik o'zgarishini ko'rsatadi y» omil atributini o'zgartirganda « x» o'lchov birligi uchun.

4. Regressiya koeffitsientlarining statistik ahamiyatini baholash uchun Student t-testidan foydalaniladi.

Regressiya koeffitsientlarining ahamiyatini tekshirish sxemasi:

1) H 0: a=0, b=0 - regressiya koeffitsientlari noldan unchalik farq qilmaydi.

H 1: a≠ 0, b≠ 0 - regressiya koeffitsientlari noldan sezilarli darajada farq qiladi.

2) R=0,05 – ahamiyatlilik darajasi.

qayerda m b,m a- tasodifiy xatolar:

; . (6.7)

4) t jadvali(R; f),

qayerda f=n-k- 1 - erkinlik darajalari soni (jadval qiymati), n- kuzatishlar soni, k X".

5) Agar , keyin chetga chiqadi, ya'ni. muhim koeffitsient.

Agar , keyin qabul qilinadi, ya'ni. koeffitsienti ahamiyatsiz.

5. Tuzilgan regressiya tenglamasining to'g'riligini tekshirish uchun Fisher mezoni qo'llaniladi.

Regressiya tenglamasining ahamiyatini tekshirish sxemasi:

1) H 0: regressiya tenglamasi ahamiyatli emas.

H 1: regressiya tenglamasi muhim ahamiyatga ega.

2) R=0,05 – ahamiyatlilik darajasi.

3) , (6.8)

kuzatishlar soni qayerda; k- o'zgaruvchilar bilan tenglamadagi parametrlar soni " X"; da- samarali xususiyatning haqiqiy qiymati; y x- samarali xususiyatning nazariy qiymati; - juft korrelyatsiya koeffitsienti.

4) F jadvali(R; f 1 ; f2),

qayerda f 1 \u003d k, f 2 \u003d n-k-1- erkinlik darajalari soni (jadval qiymatlari).

5) Agar F calc >F jadvali, keyin regressiya tenglamasi to'g'ri tanlanadi va amaliyotda qo'llanilishi mumkin.

Agar a F hisob , keyin regressiya tenglamasi noto'g'ri tanlangan.

6. Regressiya tahlilining sifati o'lchovini aks ettiruvchi asosiy ko'rsatkich hisoblanadi aniqlash koeffitsienti (R 2).

Aniqlash koeffitsienti qaram o'zgaruvchining qancha qismini ko'rsatadi " da» tahlil qilishda hisobga olinadi va tahlilga kiritilgan omillar ta’siridan kelib chiqadi.

Aniqlash koeffitsienti (R2) diapazondagi qiymatlarni oladi. Agar regressiya tenglamasi sifatli hisoblanadi R2 ≥0,8.

Aniqlash koeffitsienti korrelyatsiya koeffitsientining kvadratiga teng, ya'ni.

6.1-misol. Quyidagi ma'lumotlarga asoslanib, regressiya tenglamasini tuzing va tahlil qiling:

Yechim.

1) Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang: . Belgilar o'rtasidagi munosabat to'g'ridan-to'g'ri va mo''tadil.

2) Juftlangan chiziqli regressiya tenglamasini tuzing.

2.1) Hisoblash jadvalini tuzing.

№	X	da	Hu	x 2	y x		(y-y x) 2
					55,89	47,54	65,70
					45,07	15,42	222,83
					54,85	34,19	8,11
					51,36	5,55	11,27
					42,28	45,16	13,84
					47,69	1,71	44,77
					45,86	9,87	192,05
so'm						159,45	558,55
O'rtacha				77519,6		22,78	79,79	2990,6

,

Juftlangan chiziqli regressiya tenglamasi: y x \u003d 25,17 + 0,087x.

3) Nazariy qiymatlarni toping " y x» regressiya tenglamasiga haqiqiy qiymatlarni almashtirish orqali « X».

4) Haqiqiy "grafiklarni chizing" da" va nazariy qadriyatlar " y x» samarali xususiyat (6.1-rasm): r xy =0,47) va oz sonli kuzatishlar.

7) Determinatsiya koeffitsientini hisoblang: R2=(0,47) 2 =0,22. Tuzilgan tenglama sifatsiz.

Chunki regressiya tahlili paytida hisob-kitoblar juda katta, maxsus dasturlardan foydalanish tavsiya etiladi ("Statistica 10", SPSS va boshqalar).

6.2-rasmda "Statistica 10" dasturi yordamida o'tkazilgan regressiya tahlili natijalari bilan jadval ko'rsatilgan.

6.2-rasm. "Statistica 10" dasturi yordamida amalga oshirilgan regression tahlil natijalari

5. Adabiyot:

1. Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika: Proc. Universitetlar uchun qo'llanma / V.E. Gmurman. - M.: Oliy maktab, 2003. - 479 b.

2. Qo‘ychubekov B.K. Biostatistika: darslik. - Olmaota: Evero, 2014. - 154 b.

3. Lobotskaya N.L. Oliy matematika. / N.L. Lobotskaya, Yu.V. Morozov, A.A. Dunaev. - Minsk: Oliy maktab, 1987. - 319 p.

4. Shifokor V.A., Tokmachev M.S., Baliqchi B.B. Tibbiyot va biologiya bo'yicha statistika: qo'llanma. 2 jildda / Ed. Yu.M. Komarov. T. 1. Nazariy statistika. - M .: Tibbiyot, 2000. - 412 p.

5. Aholi salomatligi va sog'liqni saqlashni o'rganish uchun statistik tahlil usullarini qo'llash: darslik / ed. Kucherenko V.Z. - 4-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. va qo'shimcha - M.: GEOTAR - Media, 2011. - 256 b.