Modulni o'z ichiga olgan chiziqli funktsiyani chizish. Modulli tenglamalarni qanday yechish mumkin: asosiy qoidalar

, "Dars uchun taqdimot" tanlovi

Dars uchun taqdimot

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Darsning maqsadi:

• modul belgisini o'z ichiga olgan funksiyalar grafiklarini qurishni takrorlash;
• chiziqli-bo'lakli funksiya grafigini qurishning yangi usuli bilan tanishish;
• tuzatmoq yangi usul muammolarni hal qilishda.

Uskunalar:

• multimedia proyektori,
• plakatlar.

Darslar davomida

Bilimlarni yangilash

Ekranda taqdimotdan 1-slayd.

y=|x| funksiyaning grafigi nimadan iborat ? (2-slayd).

(1 va 2 koordinata burchaklarining bissektrisalari to'plami)

Funktsiyalar va grafiklar o'rtasidagi yozishmalarni toping, tanlovingizni tushuntiring (3-slayd).

1-rasm

y=|f(x)| ko'rinishdagi funksiyalar grafiklarini qurish algoritmini ayting. y=|x 2 -2x-3| funksiyasi misolida (slayd 4)

Talaba: ushbu funktsiyaning grafigini qurish uchun sizga kerak

y=x 2 -2x-3 parabolani tuzing

2-rasm

3-rasm

y=x 2 -2|x|-3 funksiya misolida y=f(|x|) ko`rinishdagi funksiyalar grafiklarini qurish algoritmini ayting (6-slayd).

Parabola yasang.

Grafikning x 0 qismi saqlanadi va y o'qiga nisbatan simmetriyada ko'rsatiladi (7-slayd)

4-rasm

y=|f(|x|)| ko'rinishdagi funksiyalar grafiklarini qurish algoritmini ayting. y=|x 2 -2|x|-3| funksiyasi misolida (8-slayd).

Talaba: Ushbu funktsiyaning grafigini yaratish uchun sizga kerak bo'ladi:

Siz y \u003d x 2 -2x-3 parabolani qurishingiz kerak

Biz y \u003d x 2 -2 | x | -3 ni quramiz, grafikning bir qismini saqlaymiz va uni OTga nisbatan nosimmetrik tarzda ko'rsatamiz.

Biz OX ustidagi qismni saqlaymiz va pastki qismini OXga nisbatan nosimmetrik tarzda ko'rsatamiz (slayd 9)

5-rasm

Keyingi vazifa daftarlarga yoziladi.

1. y=|x+2|+|x-1|-|x-3| chiziqli qismli funksiya grafigini chizing.

Doskada fikr bildirayotgan talaba:

Biz submodul ifodalarining nollarini topamiz x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3

O'qni intervallarga bo'lish

Har bir interval uchun funksiyani yozamiz

x da< -2, у=-х-4

-2 x da<1, у=х

1 x da<3, у = 3х-2

x 3 da, y \u003d x + 4

Chiziqli bo‘lakli funksiya grafigini tuzamiz.

Biz modul taʼrifi yordamida funksiya grafigini qurdik (slayd 10).

6-rasm

Men sizning e'tiboringizga chiziqli-bo'lakli funktsiyani chizish imkonini beruvchi "vertex usuli" ni keltiraman (slayd 11). Bolalar qurilish algoritmini daftarga yozadilar.

Verteks usuli

Algoritm:

1. Har bir submodul ifodasining nollarini toping
2. Jadval tuzamiz, unda nolga qo'shimcha ravishda chap va o'ng tomonlarga argumentning bitta qiymatini yozamiz.
3. Nuqtalarni koordinata tekisligiga qo‘yib, ularni ketma-ket bog‘laymiz

2. Ushbu usulni bir xil funktsiya bo'yicha tahlil qilamiz y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

O'qituvchi doskada, bolalar daftarlarida.

Vertex usuli:

Har bir submodul ifodasining nollarini toping;

Jadval tuzamiz, unda nolga qo'shimcha ravishda chap va o'ng tomonlarga argumentning bitta qiymatini yozamiz.

Nuqtalarni koordinata tekisligiga qo‘yib, ularni ketma-ket bog‘laymiz.

Chiziqli bo‘lakli funksiya grafigi cheksiz ekstremal bog‘lanishlarga ega siniq chiziqdir (12-slayd).

7-rasm

Qaysi usul grafikni tezroq va osonlashtiradi?

3. Ushbu usulni tuzatish uchun men quyidagi vazifani bajarishni taklif qilaman:

y=|x-2|-|x+1| funksiya x ning qaysi qiymatlari uchun bajaradi eng katta qiymatni oladi.

Biz algoritmga amal qilamiz; doskadagi talaba.

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3, nuqtalarni ketma-ket ulang.

4. Qo'shimcha vazifa

a ning qaysi qiymatlari uchun ||4+x|-|x-2||=a tenglamasi ikkita ildizga ega.

5. Uyga vazifa

a) X ning qaysi qiymatlari uchun y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| eng kichik qiymatni oladi.

b) y=||x-1|-2|-3| funksiya grafigini tuzing .

, "Dars uchun taqdimot" tanlovi

Dars uchun taqdimot

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Darsning maqsadi:

• modul belgisini o'z ichiga olgan funksiyalar grafiklarini qurishni takrorlash;
• chiziqli-bo'lakli funksiya grafigini qurishning yangi usuli bilan tanishish;
• muammolarni hal qilishda yangi usulni birlashtirish.

Uskunalar:

• multimedia proyektori,
• plakatlar.

Darslar davomida

Bilimlarni yangilash

Ekranda taqdimotdan 1-slayd.

y=|x| funksiyaning grafigi nimadan iborat ? (2-slayd).

(1 va 2 koordinata burchaklarining bissektrisalari to'plami)

Funktsiyalar va grafiklar o'rtasidagi yozishmalarni toping, tanlovingizni tushuntiring (3-slayd).

1-rasm

y=|f(x)| ko'rinishdagi funksiyalar grafiklarini qurish algoritmini ayting. y=|x 2 -2x-3| funksiyasi misolida (slayd 4)

Talaba: ushbu funktsiyaning grafigini qurish uchun sizga kerak

y=x 2 -2x-3 parabolani tuzing

2-rasm

3-rasm

y=x 2 -2|x|-3 funksiya misolida y=f(|x|) ko`rinishdagi funksiyalar grafiklarini qurish algoritmini ayting (6-slayd).

Parabola yasang.

Grafikning x 0 qismi saqlanadi va y o'qiga nisbatan simmetriyada ko'rsatiladi (7-slayd)

4-rasm

y=|f(|x|)| ko'rinishdagi funksiyalar grafiklarini qurish algoritmini ayting. y=|x 2 -2|x|-3| funksiyasi misolida (8-slayd).

Talaba: Ushbu funktsiyaning grafigini yaratish uchun sizga kerak bo'ladi:

Siz y \u003d x 2 -2x-3 parabolani qurishingiz kerak

Biz y \u003d x 2 -2 | x | -3 ni quramiz, grafikning bir qismini saqlaymiz va uni OTga nisbatan nosimmetrik tarzda ko'rsatamiz.

Biz OX ustidagi qismni saqlaymiz va pastki qismini OXga nisbatan nosimmetrik tarzda ko'rsatamiz (slayd 9)

5-rasm

Keyingi vazifa daftarlarga yoziladi.

1. y=|x+2|+|x-1|-|x-3| chiziqli qismli funksiya grafigini chizing.

Doskada fikr bildirayotgan talaba:

Biz submodul ifodalarining nollarini topamiz x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3

O'qni intervallarga bo'lish

Har bir interval uchun funksiyani yozamiz

x da< -2, у=-х-4

-2 x da<1, у=х

1 x da<3, у = 3х-2

x 3 da, y \u003d x + 4

Chiziqli bo‘lakli funksiya grafigini tuzamiz.

Biz modul taʼrifi yordamida funksiya grafigini qurdik (slayd 10).

6-rasm

Men sizning e'tiboringizga chiziqli-bo'lakli funktsiyani chizish imkonini beruvchi "vertex usuli" ni keltiraman (slayd 11). Bolalar qurilish algoritmini daftarga yozadilar.

Verteks usuli

Algoritm:

1. Har bir submodul ifodasining nollarini toping
2. Jadval tuzamiz, unda nolga qo'shimcha ravishda chap va o'ng tomonlarga argumentning bitta qiymatini yozamiz.
3. Nuqtalarni koordinata tekisligiga qo‘yib, ularni ketma-ket bog‘laymiz

2. Ushbu usulni bir xil funktsiya bo'yicha tahlil qilamiz y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

O'qituvchi doskada, bolalar daftarlarida.

Vertex usuli:

Har bir submodul ifodasining nollarini toping;

Jadval tuzamiz, unda nolga qo'shimcha ravishda chap va o'ng tomonlarga argumentning bitta qiymatini yozamiz.

Nuqtalarni koordinata tekisligiga qo‘yib, ularni ketma-ket bog‘laymiz.

Chiziqli bo‘lakli funksiya grafigi cheksiz ekstremal bog‘lanishlarga ega siniq chiziqdir (12-slayd).

7-rasm

Qaysi usul grafikni tezroq va osonlashtiradi?

3. Ushbu usulni tuzatish uchun men quyidagi vazifani bajarishni taklif qilaman:

y=|x-2|-|x+1| funksiya x ning qaysi qiymatlari uchun bajaradi eng katta qiymatni oladi.

Biz algoritmga amal qilamiz; doskadagi talaba.

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3, nuqtalarni ketma-ket ulang.

4. Qo'shimcha vazifa

a ning qaysi qiymatlari uchun ||4+x|-|x-2||=a tenglamasi ikkita ildizga ega.

5. Uyga vazifa

a) X ning qaysi qiymatlari uchun y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| eng kichik qiymatni oladi.

b) y=||x-1|-2|-3| funksiya grafigini tuzing .

y=|x| ko'rinishdagi funksiya.
Intervaldagi funktsiya grafigi - y \u003d -x funktsiyasi grafigi bilan.

Avval eng oddiy holatni - y=|x| funksiyasini ko'rib chiqing. Modulning ta'rifiga ko'ra, bizda:

Shunday qilib, x≥0 uchun y=|x| funksiyasi y \u003d x funksiyasiga to'g'ri keladi va x uchun Ushbu tushuntirishdan foydalanib, y \u003d | x | funktsiyasini chizish oson (1-rasm).

Ko'rinib turibdiki, bu grafik y \u003d x funksiya grafigining OX o'qidan past bo'lmagan qismi bilan OX o'qi atrofida oynada aks ettirish natijasida olingan chiziq, uning o'sha qismi, OX o'qi ostida joylashgan.
Bu usul y=|kx+b| funksiya grafigini chizish uchun ham mos keladi.
Agar y=kx+b funksiyaning grafigi 2-rasmda ko'rsatilgan bo'lsa, u holda y=|kx+b| 3-rasmda ko'rsatilgan chiziq.

(!LANG: 1-misol. y=||1-x 2 |-3| funksiya grafigini tuzing.
y=1-x 2 funksiya grafigini tuzamiz va unga “modul” amalini qo‘llaymiz (grafaning OX o‘qi ostida joylashgan qismi OX o‘qiga nisbatan simmetrik tarzda aks ettirilgan).

Keling, jadvalni 3 ga pastga siljitamiz.

“modul” amalini qo‘llaymiz va y=||1-x 2 |-3| funksiyaning yakuniy grafigini olamiz.

2-misol y=||x 2 -2x|-3| funksiya grafigini tuzing.
O'zgartirish natijasida y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1| ni olamiz. y=(x-1) 2 -1 funksiyaning grafigini tuzamiz: y=x 2 parabolani tuzamiz va 1 ga o‘ngga va 1 ga pastga siljiymiz.

Unga "modul" amalini qo'llaymiz (grafaning OX o'qi ostida joylashgan qismi OX o'qiga nisbatan simmetrik tarzda aks ettirilgan).

Grafikni 3 ga pastga siljitamiz va "modul" operatsiyasini qo'llaymiz, natijada biz yakuniy grafikni olamiz.

3-misol Funktsiyani chizing.
Modulni kengaytirish uchun ikkita holatni ko'rib chiqishimiz kerak:
1)x>0, keyin modul "+" = belgisi bilan ochiladi
2) x =

Birinchi holat uchun grafik tuzamiz.

Grafikning x bo'lgan qismini tashlaylik

Keling, ikkinchi holat uchun grafik tuzamiz va shunga o'xshash x>0 bo'lgan qismni olib tashlaylik, natijada biz olinadi.

Keling, ikkita grafikni birlashtirib, oxirgisini olamiz.

4-misol Funktsiyani chizing.
Avval funksiya grafigini tuzamiz.Buning uchun butun son qismini tanlash qulay, olamiz. Qiymatlar jadvaliga asoslanib, biz grafikni olamiz.

Modul amalini qo‘llaymiz (grafaning OX o‘qi ostida joylashgan qismi OX o‘qiga nisbatan simmetrik tarzda aks ettirilgan). Yakuniy jadvalni olamiz

5-misol y=|-x 2 +6x-8| funksiya grafigini tuzing. Birinchidan, funktsiyani y=1-(x-3) 2 ga soddalashtiramiz va uning grafigini tuzamiz

Endi biz "modul" operatsiyasini qo'llaymiz va grafikning OX o'qi ostidagi qismini OX o'qiga nisbatan aks ettiramiz.

6-misol y=-x 2 +6|x|-8 funksiya grafigini tuzing. Shuningdek, funktsiyani y=1-(x-3) 2 ga soddalashtiramiz va uning grafigini tuzamiz

Endi biz "modul" operatsiyasini qo'llaymiz va grafikning oY o'qining o'ng tomonidagi, chap tomonidagi qismini aks ettiramiz.

7-misol Funktsiyani chizing . Keling, funktsiyani chizamiz

Keling, funktsiyani chizamiz

Keling, o'ngga va 2 ta yuqoriga 3 birlik segmentlari bilan parallel uzatishni amalga oshiramiz. Grafik quyidagicha ko'rinadi:

“modul” amalini qo‘llaymiz va grafikning x=3 to‘g‘ri chiziqning o‘ng tomonidagi qismini chap yarim tekislikka aks ettiramiz.

Modul belgisi, ehtimol, matematikadagi eng qiziqarli hodisalardan biridir. Shu munosabat bilan ko'plab maktab o'quvchilarida modulni o'z ichiga olgan funktsiyalar grafiklarini qanday qurish kerakligi haqida savol tug'iladi. Keling, ushbu masalani batafsil ko'rib chiqaylik.

1. Modulni o'z ichiga olgan funksiyalarni chizish

1-misol

y = x 2 – 8|x| funksiya grafigini tuzing + 12.

Yechim.

Funktsiyaning paritetini aniqlaylik. y(-x) ning qiymati y(x) qiymati bilan bir xil, shuning uchun bu funksiya juft. U holda uning grafigi Oy o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi. Biz x ≥ 0 uchun y \u003d x 2 - 8x + 12 funktsiyasining grafigini quramiz va manfiy x uchun Oy ga nisbatan grafikni nosimmetrik tarzda ko'rsatamiz (1-rasm).

2-misol

Keyingi grafik y = |x 2 – 8x + 12|.

– Taklif etilayotgan funksiyaning diapazoni qanday? (y ≥ 0).

- Grafik qanday? (X o'qi ustida yoki tegib).

Bu shuni anglatadiki, funktsiya grafigi quyidagicha olinadi: ular y \u003d x 2 - 8x + 12 funktsiyasini chizadilar, grafikning Ox o'qi ustidagi qismini o'zgarishsiz va grafikning ostidagi qismini qoldiradilar. abscissa o'qi Ox o'qiga nisbatan nosimmetrik tarzda ko'rsatiladi (2-rasm).

3-misol

y = |x 2 – 8|x| funksiya grafigini tuzish uchun + 12| transformatsiyalar kombinatsiyasini amalga oshiring:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Javob: 3-rasm.

Ko'rib chiqilgan o'zgartirishlar barcha turdagi funktsiyalar uchun amal qiladi. Keling, jadval tuzamiz:

2. Formulada "ichiga joylashtirilgan modullar" mavjud bo'lgan funktsiyalarni chizish

Biz allaqachon modulli kvadratik funktsiyaga misollar bilan, shuningdek, y = f(|x|), y = |f(x)| ko'rinishdagi funksiyalar grafiklarini qurishning umumiy qoidalari bilan tanishdik. va y = |f(|x|)|. Ushbu o'zgarishlar bizga quyidagi misolni ko'rib chiqishda yordam beradi.

4-misol

y = |2 – |1 – |x||| ko'rinishdagi funksiyani ko'rib chiqaylik. Funktsiyani belgilaydigan iborada "ichki modullar" mavjud.

Yechim.

Biz geometrik o'zgarishlar usulidan foydalanamiz.

Keling, ketma-ket o'zgarishlar zanjirini yozamiz va tegishli chizmani tuzamiz (4-rasm):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Simmetriya va parallel tarjima o'zgarishlari chizmachilikning asosiy usuli bo'lmagan holatlarni ko'rib chiqaylik.

5-misol

y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 ko'rinishdagi funktsiya grafigini tuzing.

Yechim.

Grafikni qurishdan oldin biz funktsiyani aniqlaydigan formulani o'zgartiramiz va funktsiyaning yana bir analitik ta'rifini olamiz (5-rasm).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Modulni denominatorda kengaytiramiz:

x > -2 uchun y = x - 2, x uchun esa< -2, y = -(x – 2).

Domen D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

E(y) = (-4; +∞) diapazoni.

Grafikning koordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalari: (0; -2) va (2; 0).

Funktsiya (-∞; -2) oraliqdan boshlab barcha x uchun kamayadi, x uchun -2 dan +∞ gacha ortadi.

Bu erda biz modulning ishorasini ochishimiz va har bir holat uchun funktsiyani chizishimiz kerak edi.

6-misol

y = |x + 1| funksiyasini ko'rib chiqaylik – |x – 2|.

Yechim.

Modul belgisini kengaytirib, submodul ifodalari belgilarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini ko'rib chiqish kerak.

To'rtta mumkin bo'lgan holatlar mavjud:

(x + 1 - x + 2 = 3, x ≥ -1 va x ≥ 2 bilan;

(-x - 1 + x - 2 = -3, x bilan< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, x ≥ -1 va x uchun< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, x bilan< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Keyin asl funktsiya quyidagicha ko'rinadi:

(3, x ≥ 2 uchun;

y = (-3, x da< -1;

(2x – 1, -1 ≤ x bilan< 2.

Biz qisman berilgan funksiyani oldik, uning grafigi 6-rasmda ko'rsatilgan.

3. Shakl funksiyalarining grafiklarini qurish algoritmi

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + bolta + b.

Oldingi misolda modul belgilarini kengaytirish oson edi. Agar modullarning yig'indisi ko'proq bo'lsa, unda submodul ifodalari belgilarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini ko'rib chiqish muammoli. Bu holda funksiyaning grafigini qanday tuzishimiz mumkin?

E'tibor bering, grafik ko'p chiziqli bo'lib, nuqtalarda uchlari -1 va 2 abscissalarga ega. X = -1 va x = 2 uchun submodul ifodalari nolga teng. Amaliy jihatdan biz bunday grafiklarni qurish qoidasiga yaqinlashdik:

y = a 1 |x – x 1 | ko`rinishdagi funksiya grafigi + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b - cheksiz so'nggi bog'lanishlarga ega siniq chiziq. Bunday poliliniyani qurish uchun uning barcha cho'qqilarini (cho'qqi abscissalari submodul ifodalarining nolga teng) va chap va o'ng cheksiz bog'lanishlarda bittadan nazorat nuqtasini bilish kifoya.

Vazifa.

y = |x| funksiyasining grafigini tuzing + |x – 1| + |x + 1| va uning eng kichik qiymatini toping.

Yechim:

Submodul ifodalarining nollari: 0; - bitta; 1. Ko‘p chiziqning uchlari (0; 2); (-13); (13). Nazorat nuqtasi o'ngda (2; 6), chapda (-2; 6). Biz grafik quramiz (7-rasm). min f(x) = 2.

Savollaringiz bormi? Modulli funktsiyani qanday grafik qilishni bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.