http//:www.svkspb.nm.ru

Yassi kesimlarning geometrik xarakteristikalari

Kvadrat: , dF - elementar platforma.

Hudud elementining statik momentidF 0x o'qiga nisbatan
- maydon elementining 0x o'qidan "y" masofasiga ko'paytmasi: dS x = ydF

Shaklning butun maydoni bo'ylab bunday mahsulotlarni yig'ib (integratsiyalashgan) biz olamiz statik momentlar y va x o'qlariga nisbatan:
;
[sm 3, m 3 va boshqalar].

Og'irlik markazi koordinatalari:
. Statik momentlar nisbatan markaziy o'qlar(kesimning og'irlik markazidan o'tadigan o'qlar) nolga teng. Murakkab figuraning statik momentlarini hisoblashda u F i maydonlari ma'lum bo'lgan oddiy qismlarga bo'linadi va tortishish markazlarining koordinatalari x i, y i. Butun figura maydonining statik momenti = yig'indisi. uning har bir qismining statik momentlari:
.

Murakkab figuraning og'irlik markazining koordinatalari:

M
Kesim inertsiya momentlari

Eksenel(ekvatorial) kesma inersiya momenti- elementar maydonlarning dF ko'paytmalarining o'qqa bo'lgan masofalari kvadratlari bo'yicha yig'indisi.

;
[sm 4, m 4 va boshqalar].

Kesmaning ma'lum bir nuqtaga (qutbga) nisbatan qutbli inersiya momenti elementar maydonlar ko'paytmalarining shu nuqtadan masofalarining kvadratlari yig'indisidir.
; [sm 4, m 4 va boshqalar]. J y + J x = J p.

Kesimning markazdan qochma inersiya momenti- elementar maydonlar ko'paytmalari yig'indisi va ularning ikkita o'zaro perpendikulyar o'qlardan masofalari.
.

Bir yoki ikkalasi simmetriya o'qlariga to'g'ri keladigan o'qlarga nisbatan kesmaning markazdan qochma inersiya momenti nolga teng.

Eksenel va qutbli inersiya momentlari har doim ijobiy, markazdan qochma inertsiya momentlari musbat, manfiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin.

Kompleks figuraning inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining inersiya momentlari yig'indisiga teng.

Oddiy shakldagi kesmalarning inersiya momentlari

P
to'rtburchaklar kesim doira

TO


uzuk

T
uchburchak

R
izofemoral

To'rtburchak

T
uchburchak

H chorak doira

J y =J x =0,055R 4

J xy =0,0165R 4

rasmda. (-)

Yarim doira

M

Standart profillarning inertsiya momentlari assortiment jadvallaridan topilgan:

D
vutavr Kanal Burchak

M

Parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari:

J x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

har qanday o'qga nisbatan inersiya momenti berilganga parallel bo'lgan markaziy o'qga nisbatan inersiya momentiga, shuningdek, rasmning maydoni va o'qlar orasidagi masofa kvadratining ko'paytmasiga teng. J y1x1 =J yx + abF; ("a" va "b" formulaga ularning belgisini hisobga olgan holda almashtiriladi).

O'rtasidagi bog'liqlik o'qlarni aylantirganda inersiya momentlari:

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Burchak >0, agar eski koordinatalar tizimidan yangisiga o'tish soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'lsa. J y1 + J x1 = J y + J x

Inersiya momentlarining ekstremal (maksimal va minimal) qiymatlari deyiladi inertsiyaning asosiy momentlari. Eksenel inersiya momentlari haddan tashqari qiymatlarga ega bo'lgan o'qlar deyiladi inertsiyaning asosiy o'qlari. Asosiy inersiya o'qlari o'zaro perpendikulyar. Asosiy o'qlarga nisbatan markazdan qochma inertsiya momentlari = 0, ya'ni. asosiy inersiya o'qlari - markazdan qochma inersiya momenti = 0 bo'lgan o'qlar. Agar o'qlardan biri simmetriya o'qiga to'g'ri kelsa yoki ikkalasi ham mos kelsa, ular asosiy hisoblanadi. Asosiy o'qlarning o'rnini belgilovchi burchak:
, agar  0 >0  bo'lsa, o'qlar soat sohasi farqli ravishda aylanadi. Maksimal o'q har doim inersiya momenti kattaroq qiymatga ega bo'lgan o'qlarga nisbatan kichikroq burchak hosil qiladi. Og'irlik markazidan o'tadigan asosiy o'qlar deyiladi inertsiyaning asosiy markaziy o'qlari. Ushbu o'qlarga nisbatan inersiya momentlari:

J max + J min = J x + J y. Bosh markaziy inersiya oʻqlariga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti 0 ga teng.Agar asosiy inersiya momentlari maʼlum boʻlsa, u holda aylanuvchi oʻqlarga oʻtish formulalari:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

Kesimning geometrik xarakteristikalarini hisoblashning yakuniy maqsadi inertsiyaning asosiy markaziy momentlarini va asosiy markaziy inersiya o'qlarining holatini aniqlashdir. R inertsiya radiusi -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Agar J x va J y inertsiyaning asosiy momentlari bo'lsa, u holda i x va i y - bosh inersiya radiuslari. Yarim o'qlarda bo'lgani kabi asosiy inersiya radiuslari ustiga qurilgan ellips deyiladi inersiya ellipsi. Inersiya ellipsi yordamida har qanday o'q x1 uchun inersiya radiusi i x1 ni grafik tarzda topish mumkin. Buning uchun ellipsga x1 o'qiga parallel bo'lgan tangens chizish va bu o'qdan tangensgacha bo'lgan masofani o'lchash kerak. Inersiya radiusini bilib, x 1 o'qiga nisbatan kesimning inersiya momentini topishingiz mumkin:
. Simmetriya o‘qi ikkidan ortiq bo‘lgan kesmalar uchun (masalan: aylana, kvadrat, halqa va boshqalar) barcha markaziy o‘qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari teng, J xy =0, inersiya ellipsi inersiya doirasiga aylanadi. .

Qarshilik momentlari.

Qarshilikning eksenel momenti- o'qqa nisbatan inersiya momentining undan kesmaning eng uzoq nuqtasigacha bo'lgan masofaga nisbati.
[sm 3, m 3]

Asosiy markaziy o'qlarga nisbatan qarshilik momentlari ayniqsa muhimdir:

to'rtburchak:
; aylana: W x =W y =
,

quvurli qism (halqa): W x =W y =
, bu erda = d N / d B.

Qarshilikning qutb momenti - qutb inertsiya momentining qutbdan uchastkaning eng uzoq nuqtasigacha bo'lgan masofaga nisbati:
.

Aylana uchun W r =
.

Kesmaning ma'lum bir o'qqa nisbatan eksenel (yoki ekvatorial) inersiya momenti uning butun F maydoni bo'ylab ushbu o'qdan masofalar kvadratlari bilan olingan elementar maydonlar mahsulotining yig'indisidir, ya'ni.

Kesmaning ma'lum bir nuqtaga (qutbga) nisbatan qutbli inersiya momenti uning butun F maydoni bo'ylab olingan elementar maydonlarning ushbu nuqtadan masofalarining kvadratlari bo'yicha yig'indisidir, ya'ni.

Ba'zi ikkita o'zaro perpendikulyar o'qlarga nisbatan kesmaning markazdan qochma inersiya momenti uning butun F maydoni bo'ylab olingan elementar maydonlar mahsuloti yig'indisi va ularning bu o'qlardan masofalari, ya'ni.

Inersiya momentlari va hokazolarda ifodalanadi.

Eksenel va qutbli inertsiya momentlari har doim ijobiy bo'ladi, chunki ularning integral belgilari ostidagi ifodalari maydonlarning qiymatlarini (har doim ijobiy) va ushbu maydonlarning ma'lum o'q yoki qutbdan masofalarining kvadratlarini o'z ichiga oladi.

Shaklda. 9.5, a F maydoni bo'lgan kesimni ko'rsatadi va y va z o'qlarini ko'rsatadi. Ushbu kesimning y o'qlariga nisbatan eksenel inersiya momentlari:

Ushbu inersiya momentlarining yig'indisi

va shuning uchun

Shunday qilib, kesmaning ikkita o'zaro perpendikulyar o'qga nisbatan eksenel inersiya momentlarining yig'indisi ushbu o'qlarning kesishish nuqtasiga nisbatan ushbu kesimning qutbli inersiya momentiga tengdir.

Santrifüj inertsiya momentlari ijobiy, manfiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin. Masalan, rasmda ko'rsatilgan kesimning markazdan qochma inersiya momenti. 9.5, a, y va o'qlarga nisbatan ijobiy, chunki birinchi kvadrantda joylashgan ushbu bo'limning asosiy qismi uchun ning qiymatlari va shuning uchun ijobiydir.

Agar siz y o'qining musbat yo'nalishini yoki teskari yo'nalishini o'zgartirsangiz (9.5-rasm, b) yoki bu o'qlarning ikkalasini 90 ° ga aylantirsangiz (9.5-rasm, c), u holda markazdan qochma inertsiya momenti manfiy bo'ladi (uning mutlaq qiymat o'zgarmaydi), chunki asosiy qism bo'lim keyinchalik y koordinatalari musbat va z koordinatalari manfiy bo'lgan kvadrantda joylashgan bo'ladi. Agar siz ikkala o'qning ijobiy yo'nalishlarini teskari tomonga o'zgartirsangiz, bu markazdan qochma inertsiya momentining belgisini ham, kattaligini ham o'zgartirmaydi.

Bir yoki bir nechta o'qlarga nisbatan simmetrik bo'lgan figurani ko'rib chiqaylik (10.5-rasm). O'qlarni shunday chizamizki, ulardan kamida bittasi (bu holda y o'qi) figuraning simmetriya o'qiga to'g'ri keladi. Bunday holda, o'qning o'ng tomonida joylashgan har bir platforma birinchisiga simmetrik tarzda joylashgan bir xil platformaga mos keladi, lekin y o'qining chap tomonida. Bunday nosimmetrik joylashgan platformalarning har bir juftining markazdan qochma inertsiya momenti quyidagilarga teng:

Demak,

Shunday qilib, bir yoki ikkalasi uning simmetriya o'qlariga to'g'ri keladigan o'qlarga nisbatan kesmaning markazdan qochma inersiya momenti nolga teng.

Murakkab kesimning ma'lum bir o'qqa nisbatan eksenel inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining bir xil o'qqa nisbatan eksenel inersiya momentlari yig'indisiga teng.

Xuddi shunday, murakkab kesimning har qanday ikkita o'zaro perpendikulyar o'qga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining bir xil o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momentlari yig'indisiga teng. Shuningdek, kompleks kesmaning ma'lum nuqtaga nisbatan qutb inersiya momenti uni tashkil etuvchi qismlarining bir xil nuqtaga nisbatan qutb inersiya momentlari yig'indisiga teng.

Shuni yodda tutish kerakki, turli o'qlar va nuqtalar bo'yicha hisoblangan inersiya momentlarini yig'ib bo'lmaydi.

Tuzilmalar qismlarining mustahkamligini tekshirishda biz juda murakkab shakldagi bo'limlarga duch kelishimiz kerak, ular uchun inertsiya momentini to'rtburchaklar va aylana uchun ishlatganimizdek oddiy tarzda hisoblash mumkin emas.

Bunday bo'lim, masalan, T-bar bo'lishi mumkin (5-rasm). A) egilishga duchor bo'lgan quvurning halqali qismi (samolyot konstruktsiyalari) (5-rasm, b), milya jurnalining halqali qismi yoki undan ham murakkab bo'limlar. Ushbu bo'limlarning barchasini to'rtburchaklar, uchburchaklar, doiralar va boshqalar kabi oddiy qismlarga bo'lish mumkin. Ko'rsatish mumkinki, bunday murakkab figuraning inersiya momenti biz uni ajratadigan qismlarning inersiya momentlari yig'indisidir.

5-rasm. T tipidagi bo'limlar - a) va halqa b)

Ma'lumki, har qanday figuraning o'qqa nisbatan inersiya momenti da— da teng:

Qayerda z— elementar prokladkalarning o'qgacha bo'lgan masofasi da—da.

Olingan maydonni to'rt qismga ajratamiz: , , va . Endi, inertsiya momentini hisoblashda, tanlangan to'rtta maydonning har biri uchun yig'indini alohida bajarish uchun integratsiya funktsiyasidagi atamalarni guruhlashingiz va keyin bu summalarni qo'shishingiz mumkin. Bu integralning qiymatini o'zgartirmaydi.

Bizning integralimiz to'rtta integralga bo'linadi, ularning har biri sohalardan birini qamrab oladi, va:

Ushbu integrallarning har biri o'qga nisbatan maydonning tegishli qismining inersiya momentini ifodalaydi. da— da; Shunung uchun

o'qga nisbatan inersiya momenti qayerda da — da maydon, - maydon uchun bir xil va hokazo.

Olingan natijani quyidagicha shakllantirish mumkin: murakkab figuraning inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining inersiya momentlari yig'indisiga teng. Shunday qilib, biz har qanday figuraning uning tekisligida yotgan har qanday o'qqa nisbatan inersiya momentini hisoblay olishimiz kerak.

Ushbu muammoning yechimi - bu va keyingi ikkita suhbatning mazmuni.

Parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari.

Har qanday figuraning har qanday o'qqa nisbatan inersiya momentini hisoblash uchun eng oddiy formulalarni olish vazifasi bir necha bosqichda hal qilinadi. Agar biz bir-biriga parallel bo'lgan bir qator o'qlarni olsak, figuraning og'irlik markazidan o'tadigan o'qqa nisbatan uning inersiya momentini bilgan holda, biz ushbu o'qlarning istalganiga nisbatan figuraning inersiya momentlarini osongina hisoblashimiz mumkin. tanlangan o'qlarga parallel.

1-rasm. Parallel o'qlar uchun inersiya momentlarini aniqlash uchun hisoblash modeli.

Biz og'irlik markazidan o'tadigan o'qlarni chaqiramiz markaziy o'qlar. Keling, (1-rasm) ixtiyoriy raqamni olaylik. Keling, markaziy o'qni chizamiz OU, bu o'qga nisbatan inersiya momentini chaqiramiz. Shakl tekisligida o'qni chizamiz parallel boltalar da undan uzoqda. va - o'qga nisbatan inersiya momenti o'rtasidagi munosabat topilsin. Buning uchun va uchun ifodalarni yozamiz. Keling, rasmning maydonini hududlarga ajratamiz; har bir bunday platformaning o'qlarga bo'lgan masofalari da va qo'ng'iroq qilaylik va . Keyin

1-rasmdan bizda:

Ushbu uchta integraldan birinchisi markaziy o'qqa nisbatan inersiya momentidir OU. Ikkinchisi - bir xil eksa bo'yicha statik moment; u nolga teng, chunki o'q da figuraning og'irlik markazidan o'tadi. Nihoyat, uchinchi integral rasmning maydoniga teng F. Shunday qilib,

(1)

ya'ni har qanday o'qga nisbatan inersiya momenti berilganga parallel bo'lgan markaziy o'qga nisbatan inersiya momentiga, shuningdek, shakl maydoni va o'qlar orasidagi masofa kvadratining ko'paytmasiga teng.

Bu shuni anglatadiki, bizning vazifamiz endi faqat markaziy inersiya momentlarini hisoblashga qisqartirildi; agar biz ularni bilsak, boshqa har qanday o'qga nisbatan inersiya momentini hisoblashimiz mumkin. (1) formuladan shunday xulosa kelib chiqadi markaziy inersiya momenti eng kichigi parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari orasida va buning uchun biz olamiz:

Agar ma'lum bo'lsa, markaziy o'qlarga parallel bo'lgan o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momentini ham topamiz (1-rasm). Ta'rif bo'yicha

bu yerda: , keyin u keladi

Chunki oxirgi ikkita integral markaziy o'qlar atrofidagi maydonning statik momentlarini ifodalaydi OU Va Oz keyin ular yo'qoladi va shuning uchun:

(2)

Markaziy o'qlarga parallel bo'lgan o'zaro perpendikulyar o'qlar tizimiga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti ushbu markaziy o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momentiga va rasmning maydoni va uning og'irlik markazi koordinatalarining ko'paytmasiga teng. yangi o'qlarga nisbatan.

O'qlarni burishda inersiya momentlari o'rtasidagi munosabat.

Siz xohlagancha markaziy o'qlarni chizishingiz mumkin. Har qanday markaziy o'qqa nisbatan inersiya momentini bir yoki ikkitaga nisbatan inersiya momentiga qarab ifodalash mumkinmi degan savol tug'iladi. aniq boltalar. Buning uchun ikkita o'zaro perpendikulyar o'qni burchak bilan aylantirganda inersiya momentlari qanday o'zgarishini ko'rib chiqamiz.

Keling, figurani olib, uning og'irlik markazi orqali chizamiz HAQIDA ikkita o'zaro perpendikulyar o'q OU Va Oz(2-rasm).

2-rasm. Aylanadigan o'qlar uchun inersiya momentlarini aniqlash uchun hisoblash modeli.

Ushbu o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlarini, shuningdek, markazdan qochma inersiya momentini bilib olaylik. Koordinata o'qlarining ikkinchi tizimini chizamiz va burchak ostida birinchisiga moyil; o'qlarni nuqta atrofida aylantirganda bu burchakning ijobiy yo'nalishini ko'rib chiqamiz HAQIDA soat miliga teskari. Kelib chiqishi HAQIDA saqlash. Koordinata o'qlarining ikkinchi sistemasiga nisbatan momentlarni va ma'lum inersiya momentlari orqali ifodalaymiz va .

Ushbu o'qlarga nisbatan inersiya momentlari uchun ifodalarni yozamiz:

Xuddi shunday:

Muammolarni hal qilish uchun markazdan qochma inertsiya momenti uchun bir o'qdan boshqasiga o'tish uchun formulalar kerak bo'lishi mumkin. O'qlarni aylantirganda (2-rasm) bizda:

bu erda va formulalar (14.10) yordamida hisoblanadi; Keyin

O'zgarishlardan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

(7)

Shunday qilib, har qanday markaziy o'qqa nisbatan inersiya momentini hisoblash uchun siz har qanday ikkita o'zaro perpendikulyar markaziy o'qlar tizimiga nisbatan inersiya momentlarini bilishingiz kerak. OU Va Oz, bir xil o'qlarga nisbatan markazdan qochma inertsiya momenti va o'qning o'qqa moyillik burchagi da.

Qiymatlarni hisoblash uchun >, shunga o'xshash o'qlarni tanlashingiz kerak da Va z va har bir tarkibiy qismning markaziy o'qlaridan ularga parallel bo'lgan o'qlarga o'tish uchun formulalardan foydalanib, ushbu hisob-kitobni amalga oshirish uchun shaklning maydonini shunday tarkibiy qismlarga bo'ling. Buni amalda qanday qilish, quyida misol yordamida ko'rsatiladi. E'tibor bering, ushbu hisob-kitobda murakkab raqamlar shunday elementar qismlarga bo'linishi kerak, ular uchun iloji bo'lsa, o'zaro perpendikulyar o'qlar tizimiga nisbatan markaziy inersiya momentlarining qiymatlari ma'lum bo'ladi.

E'tibor bering, agar koordinatalarning kelib chiqishi kesmaning og'irlik markazida emas, balki boshqa har qanday nuqtada olinganida, chiqarish jarayoni va olingan natijalar o'zgarmas edi. HAQIDA. Shunday qilib, (6) va (7) formulalar o'zaro perpendikulyar o'qlarning bir tizimidan ikkinchisiga o'tish uchun formulalar bo'lib, ular markaziy o'qlar yoki yo'qligidan qat'i nazar, ma'lum bir burchak bilan aylantiriladi.

(6) formulalardan o'qlarni burishda inersiya momentlari orasidagi boshqa munosabatni olish mumkin. uchun ifodalarni qo'shish va biz olamiz

ya'ni har qanday o'zaro perpendikulyar o'qlarga nisbatan inersiya momentlari yig'indisi da Va z ular aylantirilganda o'zgarmaydi. O'rniga oxirgi ifodani va ularning qiymatlarini almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

saytlarning masofasi qayerda dF nuqtadan HAQIDA. Miqdor, allaqachon ma'lum bo'lganidek, nuqtaga nisbatan kesimning qutbli inersiya momentidir HAQIDA.

Shunday qilib, kesmaning har qanday nuqtaga nisbatan qutbli inersiya momenti shu nuqtadan o‘tuvchi o‘zaro perpendikulyar o‘qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi. Shuning uchun o'qlar aylantirilganda bu yig'indi doimiy bo'lib qoladi. Ushbu bog'liqlik (14.16) inersiya momentlarini hisoblashni soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin.

Shunday qilib, doira uchun:

Chunki aylana uchun simmetriya bo'yicha

yuqorida integratsiya orqali olingan.

Xuddi shunday, yupqa devorli halqali qism uchun quyidagilar olinishi mumkin:

Bosh inersiya o‘qlari va bosh inersiya momentlari.

Ma'lumki, inertsiyaning markaziy momentlarini bilish va ma'lum bir raqam uchun siz boshqa har qanday o'qga nisbatan inersiya momentini hisoblashingiz mumkin.

Bunday holda, asosiy o'qlar tizimi sifatida formulalar sezilarli darajada soddalashtirilgan bunday tizimni olish mumkin. Ya'ni, markazdan qochma inersiya momenti nolga teng bo'lgan koordinata o'qlari tizimini topish mumkin. Darhaqiqat, inersiya momentlari har doim ijobiy hadlar yig'indisi kabi ijobiydir, lekin markazdan qochma moment

shartlardan beri ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin zydF belgilariga qarab har xil belgiga ega bo'lishi mumkin z Va da u yoki bu sayt uchun. Bu nolga teng bo'lishi mumkinligini anglatadi.

Markazdan qochma inertsiya momenti yo'qoladigan o'qlar deyiladi asosiy o'qlar inertsiya. Agar bunday tizimning boshlanishi raqamning og'irlik markaziga joylashtirilsa, unda bular bo'ladi asosiy markaziy o'qlar. Bu o'qlarni belgilaymiz va ; ular uchun

Bosh o’qlar y va z markaziy o’qlarga qanday burchak ostida qiyaligini topamiz (198-rasm).

1-rasm. Asosiy inersiya o'qlarining holatini aniqlash uchun hisoblash modeli.

O'qlardan harakatlanish uchun taniqli iborada yz o'qlarga, markazdan qochma inersiya momenti uchun burchakka qiymat beramiz; u holda o'qlar va asosiylari bilan mos keladi va markazdan qochma inertsiya momenti nolga teng bo'ladi:

(1)

Bu tenglama 180° ga farq qiluvchi ning ikkita qiymati yoki 90° ga farq qiluvchi ning ikkita qiymati bilan qanoatlantiriladi. Shunday qilib, bu tenglama bizga pozitsiyani beradi ikki eksa, bir-biri bilan to'g'ri burchak hosil qiladi. Bu asosiy markaziy o'qlar bo'ladi va, buning uchun.

Ushbu formuladan foydalanib, siz ma'lum bo'lganlardan foydalanib, asosiy inersiya momentlari formulalarini olishingiz mumkin va . Buning uchun biz yana inersiyaning umumiy pozitsiyali eksenel momentlari uchun ifodalardan foydalanamiz. Ular qiymatlarni aniqlaydi va agar biz almashtirsak

(2)

Olingan munosabatlar muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin. Inersiyaning asosiy momentlaridan biri ikkinchisi.

Formulalar (2) qiymatidan xoli shaklga aylantirilishi mumkin. Birinchi formula (2) ga ularning qiymatlarini ifodalash va almashtirish orqali biz bir vaqtning o'zida (1) formuladan almashtirishni olamiz:

Bu erda (1) formuladagi kasr bilan almashtiriladi

olamiz

(3)

Xuddi shu ifodaga ikkinchi formulani (3) o'xshash o'zgartirish orqali erishish mumkin.

Har qanday boshqasiga o'tish mumkin bo'lgan markaziy o'qlarning asosiy tizimi uchun birini olish mumkin OU Va Oz, va asosiy o'qlar va ; u holda markazdan qochma inersiya momenti () formulalarda ko'rinmaydi. Asosiy o'q bilan , (2-rasm) o'qi tomonidan qilingan burchakni , bilan belgilaymiz. Hisoblash uchun va , o'qlardan harakatlanayotganda va , va , va , va , va uchun ilgari topilgan iboralarda orqali burchakni almashtirish kerak. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

Tashqi ko'rinishiga ko'ra, bu formulalar ikki yo'nalishda kuchlanishga duchor bo'lgan elementdagi ikkita o'zaro perpendikulyar maydon bo'ylab normal va kesish kuchlanishlari formulalariga to'liq o'xshaydi. Biz faqat ikkita burchak qiymatidan birinchi asosiy o'qning og'ishiga to'g'ri keladiganini tanlashga imkon beradigan formulani ko'rsatamiz (maks. J) o'qning dastlabki holatidan da:

Endi biz har qanday o'qga nisbatan figuraning inersiya momentini eng oddiy tarzda hisoblash imkoniyatiga ega bo'lish uchun nima qilish kerakligini nihoyat shakllantirishimiz mumkin. Shaklning og'irlik markazi orqali o'qlarni chizish kerak OU Va Oz Shunday qilib, figurani eng oddiy qismlarga ajratib, biz og'irlik markazidan uzoqda (2-rasm) o'tadigan momentlarni osongina hisoblashimiz mumkin:

Ko'p hollarda darhol rasmning asosiy o'qlarini chizish mumkin; agar figuraning simmetriya o'qi bo'lsa, bu asosiy o'qlardan biri bo'ladi. Aslida, formulani olishda biz allaqachon integralni ko'rib chiqdik, bu kesmaning o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti. da Va z; o'qi bo'lsa, deb isbotlangan Oz simmetriya o'qi bo'lsa, bu integral yo'qoladi.

Shuning uchun, bu holda o'qlar OU Va Oz bor asosiy kesimning markaziy inertsiya o'qlari. Shunday qilib, simmetriya o'qi- har doim asosiy markaziy o'q; ikkinchi uy markaziy o'q simmetriya o'qiga perpendikulyar og'irlik markazidan o'tadi.

Misol. To'rtburchakning (3-rasm) o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini toping va quyidagilarga teng:

O'qlarga nisbatan inersiya momentlari va quyidagilarga teng:

Markazdan qochma inersiya momenti ga teng.

Murakkab kesmalarning inersiya momentlarini hisoblash usuli shundan iboratki, har qanday integralni integrallar yig‘indisi deb hisoblash mumkin va shuning uchun har qanday kesmaning inersiya momentini inersiya momentlari yig‘indisi sifatida hisoblash mumkin. uning alohida qismlari.

Shuning uchun inersiya momentlarini hisoblash uchun murakkab kesma bir qancha oddiy qismlarga (figuralarga) shunday bo’linadiki, ularning geometrik xarakteristikalarini ma’lum formulalar yordamida hisoblash yoki maxsus mos yozuvlar jadvallari yordamida topish mumkin.

Ba'zi hollarda, sonni kamaytirish yoki ularning shaklini soddalashtirish uchun oddiy raqamlarga bo'linganda, murakkab qismni ba'zi joylar bilan to'ldirish tavsiya etiladi. Shunday qilib, masalan, rasmda ko'rsatilgan qismning geometrik xususiyatlarini aniqlashda. 22.5, a, uni to'rtburchakka qo'shish va keyin qo'shilgan qismning xususiyatlarini ushbu to'rtburchakning geometrik xususiyatlaridan olib tashlash tavsiya etiladi. Teshiklar bo'lsa, xuddi shunday qiling (22.5-rasm, b).

Murakkab kesma oddiy qismlarga bo'lingandan so'ng, ularning har biri uchun to'rtburchaklar koordinatalar tizimi tanlanadi, unga nisbatan tegishli qismning inersiya momentlari aniqlanishi kerak. Bunday koordinata tizimlarining barchasi bir-biriga parallel qilib olinadi, shunda o'qlarni parallel ko'chirish orqali butun kompleks kesim uchun umumiy bo'lgan koordinata tizimiga nisbatan barcha qismlarning inersiya momentlarini hisoblash mumkin bo'ladi.

Qoida tariqasida, har bir oddiy raqam uchun koordinatalar tizimi markaziy hisoblanadi, ya'ni uning kelib chiqishi ushbu raqamning og'irlik markaziga to'g'ri keladi. Bunday holda, boshqa parallel o'qlarga o'tishda inersiya momentlarini keyingi hisoblash soddalashtiriladi, chunki markaziy o'qlardan o'tish formulalari markaziy bo'lmagan o'qlarga qaraganda oddiyroq shaklga ega.

Keyingi qadam har bir oddiy figuraning maydonlarini, shuningdek, uning uchun tanlangan koordinata tizimining o'qlariga nisbatan eksenel va markazdan qochma inersiya momentlarini hisoblashdir. Ushbu o'qlar bo'yicha statik momentlar, qoida tariqasida, nolga teng, chunki uchastkaning har bir qismi uchun bu o'qlar odatda markaziy bo'ladi. Bu markaziy bo'lmagan o'qlar bo'lgan hollarda, statik momentlarni hisoblash kerak.

Inersiyaning qutb momenti faqat dumaloq (qattiq yoki halqali) kesim uchun tayyor formulalar yordamida hisoblanadi; boshqa shakllarning kesimlari uchun bu geometrik xarakteristikaning hech qanday ahamiyati yo'q, chunki u hisob-kitoblarda ishlatilmaydi.

Har bir oddiy figuraning koordinata tizimining o'qlariga nisbatan eksenel va markazdan qochma inertsiya momentlari bunday raqam uchun mavjud formulalar yoki jadvallar yordamida hisoblanadi. Ba'zi raqamlar uchun mavjud formulalar va jadvallar bizga kerakli eksenel va markazdan qochma inertsiya momentlarini aniqlashga imkon bermaydi; bu holatlarda yangi o'qlarga o'tish uchun formulalardan foydalanish kerak (odatda o'qlarning aylanishi uchun).

Assortiment jadvallarida burchaklar uchun markazdan qochma inertsiya momentlarining qiymatlari ko'rsatilmagan. Bunday inersiya momentlarini aniqlash usuli 4.5-misolda ko'rib chiqiladi.

Aksariyat hollarda kesmaning geometrik xususiyatlarini hisoblashning yakuniy maqsadi uning asosiy markaziy inersiya momentlarini va asosiy markaziy inersiya o'qlarining holatini aniqlashdir. Demak, hisoblashning keyingi bosqichi berilgan kesmaning og‘irlik markazining koordinatalarini [(6.5) va (7.5) formulalar yordamida] qandaydir ixtiyoriy (tasodifiy) koordinatalar sistemasida aniqlashdan iborat.Ushbu kesmaning og‘irlik markazi orqali. , yordamchi (asosiy emas) markaziy o'qlar oddiy figuralar koordinata tizimining o'qlariga parallel ravishda chiziladi.

So‘ngra parallel o‘qlar uchun inersiya momentlari orasidagi bog‘lanishlarni o‘rnatuvchi formulalar yordamida (5.5-bandga qarang) har bir oddiy figuraning yordamchi, markaziy o‘qlarga nisbatan inersiya momentlari aniqlanadi.Har bir oddiy figuraning nisbatan inersiya momentlarini yig‘ish yo‘li bilan. o'qlarga, bu o'qlarga nisbatan butun kompleks kesimning inersiya momentlari aniqlanadi; bu holda teshiklar yoki qo'shilgan yostiqlarning inertsiya momentlari chiqariladi.

Kesimlarning inersiya momentlari quyidagi ko'rinishdagi integrallar deyiladi:

da;

– kesmaning o‘qqa nisbatan eksenel inersiya momenti z;

– kesmaning markazdan qochma inersiya momenti;

– kesimning qutb inersiya momenti.

3.2.1. Kesim inersiya momentlarining xossalari

Inersiya momentlarining o'lchami [uzunligi 4], odatda [ m 4 ] yoki [ sm 4 ].

Inertsiyaning eksenel va qutb momentlari doimo ijobiydir. Santrifüj inertsiya momenti ijobiy, manfiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin.

Markazdan qochma inertsiya momenti nolga teng bo'lgan o'qlar deyiladi inertsiyaning asosiy o'qlari bo'limlar.

Simmetriya o'qlari doimo asosiy hisoblanadi. Agar ikkita o'zaro perpendikulyar o'qdan kamida bittasi simmetriya o'qi bo'lsa, u holda ikkala o'q ham asosiy hisoblanadi.

Kompozit kesimning inersiya momenti ushbu kesim elementlarining inersiya momentlari yig'indisiga teng.

Inersiyaning qutb momenti eksenel inersiya momentlarining yig’indisiga teng.

Keling, oxirgi xususiyatni isbotlaylik. Hudud bilan bo'limda A boshlang'ich sayt uchun dA radius vektor r va koordinatalar da Va z(6-rasm) Pifagor teoremasi bo'yicha ulanadi: r 2 = da 2 + z 2. Keyin

Guruch. 6. Qutb va dekart koordinatalari o'rtasidagi bog'liqlik

boshlang'ich sayt

3.2.2. Eng oddiy figuralarning inersiya momentlari

IN to'rtburchaklar kesim(7-rasm) elementar platformani tanlang dA koordinatalari bilan y Va z va maydon dA = dydz.

Guruch. 7. To'rtburchaklar kesim

O'qga nisbatan eksenel inersiya momenti da

.

Xuddi shunday, biz o'qga nisbatan inersiya momentini olamiz z:

Chunki da Va z– simmetriya o‘qi, keyin markazdan qochma moment D zy = 0.

Uchun doira diametri d Agar dumaloq simmetriyani hisobga olsak va qutbli koordinatalardan foydalansak, hisob-kitoblar soddalashtiriladi. Elementar platforma sifatida radiusi r va qalinligi cheksiz yupqa halqani olaylik. d r (8-rasm). Uning maydoni dA= 2p d r. U holda qutb inersiya momenti:

.

Guruch. 8. Dumaloq qism

Yuqorida ko'rsatilganidek, har qanday markaziy o'qqa nisbatan eksenel inersiya momentlari bir xil va tengdir

.

Inersiya momenti halqalar Biz ikkita doiraning inersiya momentlari orasidagi farqni topamiz - tashqi (diametri bilan) D) va ichki (diametri bilan d):

Inersiya momenti I z uchburchak biz uni og'irlik markazidan o'tadigan o'qga nisbatan aniqlaymiz (9-rasm). Shubhasiz, masofada joylashgan elementar chiziqning kengligi da o'qdan z, teng

Demak,

Guruch. 9. Uchburchak kesim

3.3. Parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari orasidagi bog'liqliklar

O'qlarga nisbatan inersiya momentlarining ma'lum qiymatlari bilan z Va da boshqa o’qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz z 1 va y Berilganlarga 1 parallel. Eksenel inersiya momentlarining umumiy formulasidan foydalanib, topamiz

Agar o'qlar z Va y markaziy, keyin
, Va

Olingan formulalardan ko'rinib turibdiki, markaziy o'qlarga nisbatan inersiya momentlari (qachon
) boshqa parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlariga nisbatan eng kichik qiymatlarga ega.

3.4. Bosh o'qlar va bosh inersiya momentlari

O'qlar a burchak ostida aylantirilganda markazdan qochma inersiya momenti ga teng bo'ladi.

.

Bosh bosh inersiya o'qlarining o'rnini aniqlaylik u, v qaysi haqida

,

bu erda a 0 - o'qlarni aylantirish kerak bo'lgan burchak y Va z shunday qilib, ular asosiy bo'ladi.

Chunki formula ikkita burchak qiymatini beradi Va
, keyin ikkita o'zaro perpendikulyar bosh o'q mavjud. Maksimal o'q har doim kichikroq burchak hosil qiladi ( ) o'qlar bilan ( z yoki y), unga nisbatan eksenel inersiya momenti kattaroq ahamiyatga ega. Eslatib o'tamiz, musbat burchaklar o'qdan yotqizilgan z soat miliga teskari.

Bosh o'qlarga nisbatan inersiya momentlari deyiladi asosiy inersiya momentlari. Ko'rsatish mumkinki, ular

.

Ikkinchi muddat oldidagi ortiqcha belgisi inersiyaning maksimal momentini, minus belgisi esa minimalni bildiradi.