Kasrli ratsional tenglamalarni yechish usullari. Butun va kasrli ratsional tenglamalarni yechish

Bugun biz qanday hal qilishni aniqlaymiz kasrli ratsional tenglamalar.

Keling, ko'rib chiqaylik: tenglamalardan

(1) 2x + 5 = 3(8 - x),

(3)

(4)

kasr ratsional tenglamalar faqat (2) va (4), (1) va (3) esa butun tenglamalardir.

Men (4) tenglamani echishni va keyin qoidani shakllantirishni taklif qilaman.

Tenglama kasr bo'lgani uchun umumiy maxrajni topishimiz kerak. Bu tenglamada bu ifoda 6 (x - 12) (x - 6) ga teng. Keyin tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko'paytiramiz:

Qisqartirilgandan so'ng biz butun tenglamani olamiz:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6).

Ushbu tenglamani yechib, olingan ildizlar asl tenglamadagi kasrlarning maxrajlarini nolga aylantirganligini tekshirish kerak.

Qavslarni kengaytirish:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, biz tenglamani soddalashtiramiz: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

Tenglamaning ildizlarini topish
D=6084, √D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 va x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

x = 8,4 va 24 da umumiy maxraj 6(x - 12)(x - 6) ≠ 0 ga teng, ya’ni bu sonlar (4) tenglamaning ildizi hisoblanadi.

Javob: 8,4; 24.

Taklif etilgan tenglamani yechib, biz quyidagilarga erishamiz qoidalari:

1) Biz umumiy maxrajni topamiz.

2) Tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko'paytiring.

3) Olingan butun tenglamani yechamiz.

4) Ildizlardan qaysi biri umumiy maxrajni nolga aylantirishini tekshiramiz va ularni yechimdan chiqaramiz.

Keling, olingan pozitsiyalar qanday ishlashiga misol keltiraylik.

Tenglamani yeching:

1) Umumiy maxraj: x 2 - 1

2) Biz tenglamaning ikkala qismini umumiy maxrajga ko'paytiramiz, biz butun tenglamani olamiz: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) Biz tenglamani yechamiz: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 va x 2 = 2

4) x \u003d -1 bo'lganda, umumiy maxraj x 2 - 1 \u003d 0. -1 raqami ildiz emas.

X \u003d 2 uchun umumiy maxraj x 2 - 1 ≠ 0. 2 raqami tenglamaning ildizidir.

Javob: 2.

Ko'rib turganingizdek, bizning qoidalarimiz ishlaydi. Qo'rqmang, muvaffaqiyatga erishasiz! Eng asosiysi umumiy maxrajni to‘g‘ri toping va o'zgarishlarni ehtiyotkorlik bilan bajaring. Umid qilamizki, kasrli ratsional tenglamalarni yechishda siz doimo to'g'ri javoblarni olasiz. Agar sizda biron bir savol bo'lsa yoki bunday tenglamalarni echishni mashq qilmoqchi bo'lsangiz, ushbu maqola muallifi, repetitor Valentina Galinevskaya bilan darslarga yoziling.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechish

Yordam yoʻriqnomasi

Ratsional tenglamalar chap va o'ng tomonlari ratsional ifodalar bo'lgan tenglamalardir.

(Esingizda bo'lsin: ratsional ifodalar - bu radikalsiz butun va kasrli ifodalar, shu jumladan qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish amallari - masalan: 6x; (m - n) 2; x / 3y va boshqalar)

Kasr-ratsional tenglamalar, qoida tariqasida, quyidagi shaklga keltiriladi:

Qayerda P(x) va Q(x) polinomlardir.

Bunday tenglamalarni yechish uchun tenglamaning ikkala tomonini Q(x) ga ko‘paytiring, bu esa begona ildizlarning paydo bo‘lishiga olib kelishi mumkin. Shuning uchun kasr ratsional tenglamalarni yechishda topilgan ildizlarni tekshirish kerak.

Ratsional tenglama, agar o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifodaga bo'linmasa, butun son yoki algebraik deb ataladi.

Butun ratsional tenglamaga misollar:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Agar ratsional tenglamada (x) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifodaga bo'linish bo'lsa, u holda tenglama kasr ratsional deb ataladi.

Kasrli ratsional tenglamaga misol:

15
x + - = 5x - 17
x

Kasr ratsional tenglamalar odatda quyidagicha yechiladi:

1) kasrlarning umumiy maxrajini toping va tenglamaning ikkala qismini unga ko'paytiring;

2) olingan butun tenglamani yechish;

3) kasrlarning umumiy maxrajini nolga aylantiradiganlarni uning ildizidan chiqarib tashla.

Butun va kasrli ratsional tenglamalarni yechishga misollar.

Misol 1. Butun tenglamani yeching

x - 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Yechim:

Eng kichik umumiy maxrajni topish. Bu 6. 6 ni maxrajga bo'ling va natijani har bir kasrning soniga ko'paytiring. Biz shunga o'xshash tenglamani olamiz:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Chap va o'ng tomonlarda maxraj bir xil bo'lgani uchun uni tashlab yuborish mumkin. Keyin biz oddiyroq tenglamaga ega bo'lamiz:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Biz buni qavslarni ochish va shunga o'xshash atamalarni qisqartirish orqali hal qilamiz:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Misol hal qilindi.

2-misol. Kasrli ratsional tenglamani yeching

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Biz umumiy maxrajni topamiz. Bu x(x - 5). Shunday qilib:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Endi biz yana maxrajdan qutulamiz, chunki u barcha iboralar uchun bir xil. Biz shunga o'xshash hadlarni kamaytiramiz, tenglamani nolga tenglashtiramiz va kvadrat tenglamani olamiz:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Kvadrat tenglamani yechib, uning ildizlarini topamiz: -2 va 5.

Keling, bu raqamlar asl tenglamaning ildizlari ekanligini tekshiramiz.

x = –2 uchun umumiy maxraj x(x – 5) yo’qolmaydi. Demak, -2 asl tenglamaning ildizidir.

X = 5 bo'lsa, umumiy maxraj yo'qoladi va uchta ifodadan ikkitasi o'z ma'nosini yo'qotadi. Demak, 5 raqami asl tenglamaning ildizi emas.

Javob: x = -2

Ko'proq misollar

1-misol

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Javob: -2,2; 6.

2-misol

Mavzu bo'yicha taqdimot va dars: "Ratsional tenglamalar. Ratsional tenglamalarni yechish algoritmi va misollar".

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

8-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Darslik uchun qo'llanma Makarychev Yu.N. Darslik uchun qo'llanma Mordkovich A.G.

Irratsional tenglamalar bilan tanishtirish

Bolalar, biz kvadrat tenglamalarni yechish usullarini bilib oldik. Ammo matematika ular bilan chegaralanib qolmaydi. Bugun biz ratsional tenglamalarni yechishni o'rganamiz. Ratsional tenglamalar tushunchasi ko'p jihatdan ratsional sonlar tushunchasiga o'xshaydi. Faqat raqamlarga qo'shimcha ravishda, endi biz $x$ o'zgaruvchisini kiritdik. Shunday qilib, biz qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish va butun son darajaga ko'tarish amallari mavjud bo'lgan ifodani olamiz.

$r(x)$ bo'lsin ratsional ifodalash. Bunday ifoda $x$ oʻzgaruvchisidagi oddiy koʻphad yoki koʻphadlar nisbati boʻlishi mumkin (ratsional sonlarga nisbatan boʻlish amali kiritilgan).
$r(x)=0$ tenglamasi deyiladi ratsional tenglama.
$p(x)$ va $q(x)$ ratsional ifodalar boʻlgan $p(x)=q(x)$ koʻrinishdagi har qanday tenglama ham shunday boʻladi. ratsional tenglama.

Ratsional tenglamalarni yechish misollarini ko'rib chiqing.

1-misol
Tenglamani yeching: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Yechim.
Keling, barcha ifodalarni chap tomonga o'tkazamiz: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Agar oddiy sonlar tenglamaning chap tomonida tasvirlangan bo'lsa, biz ikkita kasrni umumiy maxrajga keltiramiz.
Keling, buni qilaylik: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Biz tenglamani oldik: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Agar kasrning soni nolga teng bo'lsa va maxraji nolga teng bo'lmasa, kasr nolga teng. Keyin alohida raqamni nolga tenglashtiring va hisobning ildizlarini toping.
$3(x^2+2x-3)=0$ yoki $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Endi kasrning maxrajini tekshiramiz: $(x-3)*x≠0$.
Bu raqamlarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, ikkita raqamning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi. Keyin: $x≠0$ yoki $x-3≠0$.
$x≠0$ yoki $x≠3$.
Numerator va denominatorda olingan ildizlar mos kelmaydi. Shunday qilib, javob sifatida biz numeratorning ikkala ildizini yozamiz.
Javob: $x=1$ yoki $x=-3$.

Agar to'satdan hisoblagichning ildizlaridan biri maxrajning ildiziga to'g'ri kelgan bo'lsa, uni chiqarib tashlash kerak. Bunday ildizlar begona deb ataladi!

Ratsional tenglamalarni yechish algoritmi:

1. Tenglamadagi barcha ifodalarni tenglik belgisining chap tomoniga o'tkazing.
2. Tenglamaning bu qismini ga aylantiring algebraik kasr: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Olingan payni nolga tenglashtiring, ya’ni $p(x)=0$ tenglamani yeching.
4. Maxrajni nolga tenglashtiring va hosil bo‘lgan tenglamani yeching. Agar maxrajning ildizlari hisoblagichning ildizlariga to'g'ri kelgan bo'lsa, ular javobdan chiqarib tashlanishi kerak.

2-misol
Tenglamani yeching: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Yechim.
Algoritmning nuqtalariga ko'ra hal qilamiz.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Numeratorni nolga tenglashtiring: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Maxrajni nolga tenglashtiring:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ va $x=-1$.
Ildizlardan biri $x=1$ numeratorning ildiziga to'g'ri keldi, keyin uni javob sifatida yozmaymiz.
Javob: $x=-1$.

Ratsional tenglamalarni o‘zgaruvchilarni o‘zgartirish usuli yordamida yechish qulay. Keling, buni namoyish qilaylik.

3-misol
Tenglamani yeching: $x^4+12x^2-64=0$.

Yechim.
Biz almashtirishni kiritamiz: $t=x^2$.
Keyin bizning tenglamamiz quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
$t^2+12t-64=0$ oddiy kvadrat tenglama.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Teskari almashtirishni kiritamiz: $x^2=4$ yoki $x^2=-16$.
Birinchi tenglamaning ildizlari $x=±2$ sonlar juftligidir. Ikkinchisining ildizi yo'q.
Javob: $x=±2$.

4-misol
Tenglamani yeching: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Yechim.
Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz: $t=x^2+x+1$.
Keyin tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: $t=\frac(15)(t+2)$.
Keyinchalik, biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - ildizlar mos kelmaydi.
Biz teskari almashtirishni kiritamiz.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Keling, har bir tenglamani alohida yechamiz:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - yoʻq ildizlar.
Va ikkinchi tenglama: $x^2+x-2=0$.
Bu tenglamaning ildizlari $x=-2$ va $x=1$ raqamlari boʻladi.
Javob: $x=-2$ va $x=1$.

5-misol
Tenglamani yeching: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Yechim.
Biz almashtirishni kiritamiz: $t=x+\frac(1)(x)$.
Keyin:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ yoki $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Biz tenglamani oldik: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Ushbu tenglamaning ildizlari juftlikdir:
$t=-3$ va $t=2$.
Teskari almashtirishni kiritamiz:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Biz alohida qaror qilamiz.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Ikkinchi tenglamani yechamiz:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Bu tenglamaning ildizi $x=1$ sonidir.
Javob: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

Tenglamalarni yechish:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Kasr tenglamalari. ODZ.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ko'p ..." bo'lganlar uchun)

Biz tenglamalarni o'zlashtirishda davom etamiz. Biz allaqachon chiziqli va kvadrat tenglamalar bilan ishlashni bilamiz. Oxirgi ko'rinish qoladi kasr tenglamalari. Yoki ularni ancha mustahkam deb ham atashadi - kasrli ratsional tenglamalar. Bu xuddi shunday.

Kasr tenglamalari.

Nomidan ko'rinib turibdiki, bu tenglamalar, albatta, kasrlarni o'z ichiga oladi. Lekin faqat kasrlar emas, balki kasrlar ham bor maxrajda noma'lum. Hech bo'lmaganda bittasida. Masalan:

Sizga eslatib o'taman, agar faqat denominatorlarda bo'lsa raqamlar, bu chiziqli tenglamalar.

Qanday qaror qilish kerak kasr tenglamalari? Avvalo, kasrlardan xalos bo'ling! Shundan so'ng, tenglama ko'pincha chiziqli yoki kvadratik tenglamaga aylanadi. Va keyin nima qilish kerakligini bilamiz... Ba'zi hollarda u 5=5 kabi identifikatsiyaga yoki 7=2 kabi noto'g'ri ifodaga aylanishi mumkin. Ammo bu kamdan-kam hollarda bo'ladi. Quyida men buni eslatib o'taman.

Ammo kasrlardan qanday qutulish mumkin!? Juda onson. Barcha bir xil o'zgarishlarni qo'llash.

Biz butun tenglamani bir xil ifoda bilan ko'paytirishimiz kerak. Shunday qilib, barcha maxrajlar kamayadi! Hamma narsa darhol osonroq bo'ladi. Men misol bilan tushuntiraman. Aytaylik, tenglamani yechishimiz kerak:

Boshlang'ich maktabda ular qanday o'qitilgan? Biz hamma narsani bir yo'nalishda o'tkazamiz, uni umumiy maxrajga qisqartiramiz va hokazo. Qanday yomon tushni unuting! Kasrli iboralarni qo'shish yoki ayirish paytida buni qilish kerak. Yoki tengsizliklar bilan ishlang. Tenglamalarda esa ikkala qismni darhol barcha maxrajlarni (ya'ni, mohiyatan umumiy maxrajga) kamaytirish imkoniyatini beradigan ifoda bilan ko'paytiramiz. Va bu ifoda nima?

Chap tomonda, denominatorni kamaytirish uchun siz ko'paytirishingiz kerak x+2. O'ng tomonda esa 2 ga ko'paytirish kerak, shuning uchun tenglamani ko'paytirish kerak. 2(x+2). Biz ko'paytiramiz:

Bu kasrlarning odatiy ko'payishi, lekin men batafsil yozaman:

E'tibor bering, men hali qavsni ochmayapman. (x + 2)! Shunday qilib, men uni to'liq yozaman:

Chap tomonda u butunlay kamayadi (x+2), va o'ngda 2. Zarur bo'lganda! Qisqartirilgandan keyin biz olamiz chiziqli tenglama:

Har kim bu tenglamani yecha oladi! x = 2.

Keling, yana bir misolni hal qilaylik, biroz murakkabroq:

Agar 3 = 3/1 ekanligini eslasak va 2x = 2x/ 1 yozilishi mumkin:

Va yana biz o'zimizga yoqmaydigan narsalardan - kasrlardan xalos bo'lamiz.

Ko'ramizki, maxrajni x bilan kamaytirish uchun kasrni ga ko'paytirish kerak (x - 2). Va birliklar bizga to'sqinlik qilmaydi. Xo'sh, ko'paytiraylik. Hammasi chap tomoni va hammasi o'ng tomon:

Yana qavslar (x - 2) Men oshkor qilmayman. Men qavs bilan bir butun sifatida ishlayman, xuddi bitta raqam! Buni har doim qilish kerak, aks holda hech narsa kamaymaydi.

Chuqur qoniqish hissi bilan biz kesib tashladik (x - 2) va biz hech qanday kasrsiz tenglamani o'lchagichda olamiz!

Va endi biz qavslarni ochamiz:

Biz shunga o'xshashlarni beramiz, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz va olamiz:

Ammo bundan oldin biz boshqa muammolarni hal qilishni o'rganamiz. Qiziqish uchun. Aytgancha, bu tırmıklar!

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Biz gaplashishni davom ettiramiz tenglamalar yechimi. Ushbu maqolada biz e'tiborni qaratamiz ratsional tenglamalar va bitta o'zgaruvchili ratsional tenglamalarni yechish tamoyillari. Birinchidan, qanday turdagi tenglamalar ratsional deb ataladiganligini aniqlaymiz, butun sonli ratsional va kasr ratsional tenglamalarga ta'rif beramiz va misollar keltiramiz. Keyinchalik, biz ratsional tenglamalarni echish algoritmlarini olamiz va, albatta, barcha kerakli tushuntirishlar bilan tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Olingan ta'riflarga asoslanib, biz ratsional tenglamalarga bir nechta misollar keltiramiz. Masalan, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , barcha ratsional tenglamalardir.

Ko'rsatilgan misollardan ko'rinib turibdiki, ratsional tenglamalar, shuningdek, boshqa turdagi tenglamalar bitta o'zgaruvchili yoki ikki, uch va hokazo bo'lishi mumkin. o'zgaruvchilar. Keyingi paragraflarda biz bitta o'zgaruvchidagi ratsional tenglamalarni yechish haqida gapiramiz. Ikki o‘zgaruvchili tenglamalarni yechish va ularning ko'pligi alohida e'tiborga loyiqdir.

Ratsional tenglamalarni noma'lum o'zgaruvchilar soniga bo'lishdan tashqari, ular butun va kasrga ham bo'linadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Ratsional tenglama deyiladi butun, agar uning chap va o'ng qismlari butun sonli ratsional ifodalar bo'lsa.

Ta'rif.

Agar ratsional tenglama qismlaridan kamida bittasi kasr ifodasi bo'lsa, bunday tenglama deyiladi. kasr jihatdan oqilona(yoki kasr ratsional).

Ko'rinib turibdiki, butun sonli tenglamalarda o'zgaruvchiga bo'linish mavjud emas, aksincha, kasrli ratsional tenglamalar o'zgaruvchiga (yoki maxrajdagi o'zgaruvchiga) bo'linishni o'z ichiga oladi. Demak, 3 x+2=0 va (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 butun ratsional tenglamalar, ularning ikkala qismi ham butun sonli ifodalardir. A va x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 kasr ratsional tenglamalarga misoldir.

Ushbu paragrafni yakunlab, ushbu momentga ma'lum bo'lgan chiziqli tenglamalar va kvadrat tenglamalar butun ratsional tenglamalar ekanligiga e'tibor qarataylik.

Butun tenglamalarni yechish

Butun tenglamalarni echishning asosiy usullaridan biri ularni ekvivalentga qisqartirishdir algebraik tenglamalar. Buni har doim tenglamaning quyidagi ekvivalent o'zgarishlarini bajarish orqali amalga oshirish mumkin:

• birinchidan, asl butun son tenglamaning o'ng tomonidagi ifoda o'ng tomonda nol olish uchun qarama-qarshi belgi bilan chap tomonga o'tkaziladi;
• shundan so'ng, tenglamaning chap tomonida, natijada standart shakl.

Natijada asl butun tenglamaga ekvivalent bo'lgan algebraik tenglama hosil bo'ladi. Shunday qilib, eng oddiy hollarda butun tenglamalar yechimi chiziqli yoki kvadrat tenglamalar yechimiga, umumiy holatda esa n darajali algebraik tenglamaning yechimiga keltiriladi. Aniqlik uchun misolning yechimini tahlil qilaylik.

Misol.

Butun tenglamaning ildizlarini toping 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Yechim.

Bu butun tenglamaning yechimini ekvivalent algebraik tenglamaning yechimiga keltiraylik. Buning uchun, birinchi navbatda, biz ifodani o'ngdan chapga o'tkazamiz, natijada biz tenglamaga erishamiz. 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Ikkinchidan, chap tomonda hosil bo'lgan ifodani kerakli amallarni bajarib, standart shakldagi ko'phadga aylantiramiz: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Shunday qilib, asl butun sonli tenglamaning yechimi x 2 −5·x−6=0 kvadrat tenglamaning yechimiga keltiriladi.

Uning diskriminantini hisoblang D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, bu musbat, ya'ni tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi bor, biz ularni kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi orqali topamiz:

To'liq ishonch hosil qilish uchun, qilaylik tenglamaning topilgan ildizlarini tekshirish. Birinchidan, biz ildiz 6 ni tekshiramiz, uni asl butun tenglamadagi x o'zgaruvchisi o'rniga almashtiramiz: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, bu bir xil, 63=63 . Bu haqiqiy raqamli tenglama, shuning uchun x = 6 tenglamaning ildizidir. Endi biz ildizni tekshiramiz -1 , bizda bor 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, qaerdan, 0=0 . x=−1 uchun dastlabki tenglama ham haqiqiy sonli tenglikka aylandi, shuning uchun x=−1 ham tenglamaning ildizi hisoblanadi.

Javob:

6 , −1 .

Bu erda yana shuni ta'kidlash kerakki, "butun tenglamaning kuchi" atamasi butun tenglamani algebraik tenglama shaklida ifodalash bilan bog'liq. Tegishli ta'rifni beramiz:

Ta'rif.

Butun tenglamaning darajasi algebraik tenglamaning darajasini unga ekvivalent deb ataymiz.

Ushbu ta'rifga ko'ra, oldingi misoldagi barcha tenglama ikkinchi darajaga ega.

Buni butun ratsional tenglamalarni yechish bilan yakunlash mumkin, agar bitta bo'lmasa, lekin .... Ma'lumki, ikkinchidan yuqori darajali algebraik tenglamalarni echish sezilarli qiyinchiliklar bilan bog'liq va to'rtinchi darajadan yuqori darajali tenglamalar uchun umuman ildizlar uchun umumiy formulalar mavjud emas. Shunday qilib, uchinchi, to'rtinchi va boshqalarning butun tenglamalarini echish uchun yuqori darajalar tez-tez hal qilishning boshqa usullariga murojaat qilish kerak.

Bunday hollarda ba'zan butun ratsional tenglamalarni yechishga asoslangan yondashuv faktorizatsiya usuli. Shu bilan birga, quyidagi algoritmga amal qilinadi:

• avval ular tenglamaning o'ng tomonida nolga ega bo'lishga intiladi, buning uchun ular ifodani butun tenglamaning o'ng tomonidan chapga o'tkazadilar;
• keyin, chap tomonda hosil bo'lgan ifoda bir nechta omillarning mahsuloti sifatida taqdim etiladi, bu sizga bir nechta oddiy tenglamalar to'plamiga o'tish imkonini beradi.

Yuqoridagi barcha tenglamani faktorizatsiya orqali yechish algoritmi misol yordamida batafsil tushuntirishni talab qiladi.

Misol.

Butun tenglamani yeching (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Yechim.

Birinchidan, odatdagidek, biz ifodani tenglamaning o'ng tomonidan chap tomoniga o'tkazamiz, belgini o'zgartirishni unutmaymiz, biz olamiz (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Bu erda aniq ko'rinib turibdiki, hosil bo'lgan tenglamaning chap tomonini standart ko'rinishdagi polinomga aylantirish maqsadga muvofiq emas, chunki bu shaklning to'rtinchi darajasidagi algebraik tenglamani beradi. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, ularning yechimi qiyin.

Boshqa tomondan, ko'rinib turibdiki, x 2 −10·x+13 hosil bo'lgan tenglamaning chap tomonida topilishi va shu bilan uni mahsulot sifatida ifodalashi mumkin. Bizda ... bor (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Olingan tenglama asl butun tenglamaga ekvivalent bo'lib, u o'z navbatida ikkita kvadrat tenglamalar to'plami bilan almashtirilishi mumkin x 2 −10·x+13=0 va x 2 −2·x−1=0 . Diskriminant orqali ma'lum ildiz formulalari yordamida ularning ildizlarini topish qiyin emas, ildizlar teng. Ular asl tenglamaning kerakli ildizlaridir.

Javob:

U butun ratsional tenglamalarni yechish uchun ham foydalidir. yangi o'zgaruvchini kiritish usuli. Ba'zi hollarda darajasi asl butun son tenglamaning darajasidan past bo'lgan tenglamalarga o'tishga imkon beradi.

Misol.

Ratsional tenglamaning haqiqiy ildizlarini toping (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Yechim.

Ushbu butun ratsional tenglamani algebraik tenglamaga qisqartirish, yumshoq qilib aytganda, unchalik yaxshi fikr emas, chunki bu holda biz ratsional ildizlarga ega bo'lmagan to'rtinchi darajali tenglamani yechish zaruratiga duch kelamiz. Shuning uchun siz boshqa yechim izlashingiz kerak bo'ladi.

Bu erda siz yangi y o'zgaruvchisini kiritishingiz va u bilan x 2 +3 x ifodasini almashtirishingiz mumkinligini ko'rish oson. Bunday almashtirish bizni butun tenglamaga olib keladi (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , bu −2 (y−4) ifodani chap tomonga o‘tkazgandan so‘ng va u yerda hosil bo‘lgan ifodani keyinchalik o‘zgartirib bo‘ladi. , y 2 +4 y+3=0 tenglamaga qisqartiradi. Bu y=−1 va y=−3 tenglamaning ildizlarini topish oson, masalan, ularni Vyeta teoremasining teskari teoremasi asosida topish mumkin.

Endi yangi o'zgaruvchini kiritish usulining ikkinchi qismiga, ya'ni teskari almashtirishni amalga oshirishga o'tamiz. Teskari almashtirishni amalga oshirgandan so'ng, biz x 2 +3 x=−1 va x 2 +3 x=−3 ikkita tenglamani olamiz, ularni x 2 +3 x+1=0 va x 2 +3 x+3 shaklida qayta yozish mumkin. =0. Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasiga asosan birinchi tenglamaning ildizlarini topamiz. Ikkinchi kvadrat tenglama esa haqiqiy ildizlarga ega emas, chunki uning diskriminanti manfiy (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Javob:

Umuman olganda, biz yuqori darajadagi butun tenglamalar bilan shug'ullanayotganda, biz ularni echish uchun nostandart usul yoki sun'iy texnikani izlashga doimo tayyor bo'lishimiz kerak.

Kasrli ratsional tenglamalarni yechish

Birinchidan, p (x) va q (x) ratsional butun sonli ifodalar bo'lgan shakldagi kasrli ratsional tenglamalarni qanday echish kerakligini tushunish foydali bo'ladi. Va keyin biz qolgan kasrli ratsional tenglamalarning yechimini ko'rsatilgan shakldagi tenglamalar yechimiga qanday kamaytirishni ko'rsatamiz.

Tenglamani yechish usullaridan biri quyidagi fikrga asoslanadi: u/v sonli kasr, bu yerda v nolga teng bo'lmagan son (aks holda biz duch kelamiz, bu aniqlanmagan) nolga teng bo'ladi, agar va faqat bo'lsa. uning numeratori nolga teng bo'lsa, agar u=0 bo'lsa, bo'ladi. Ushbu bayonot tufayli tenglamaning yechimi p(x)=0 va q(x)≠0 ikkita shartning bajarilishiga keltiriladi.

Ushbu xulosa quyidagi fikrlarga mos keladi kasrli ratsional tenglamani yechish algoritmi. Shaklning kasr ratsional tenglamasini yechish

• p(x)=0 butun ratsional tenglamani yeching;
• va har bir topilgan ildiz uchun q(x)≠0 sharti qanoatlantirilishini tekshiring
• agar rost bo'lsa, bu ildiz asl tenglamaning ildizidir;
• bo'lmasa, bu ildiz begona, ya'ni asl tenglamaning ildizi emas.

Kasrli ratsional tenglamani yechishda ovozli algoritmdan foydalanish misolini tahlil qilaylik.

Misol.

Tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Bu ko‘rinishdagi kasrli ratsional tenglama bo‘lib, p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0.

Bunday turdagi kasrli ratsional tenglamalarni yechish algoritmiga ko‘ra, avvalo 3·x−2=0 tenglamani yechishimiz kerak. bu chiziqli tenglama, uning ildizi x=2/3 .

Bu ildizning mavjudligini tekshirish, ya'ni 5·x 2 -2≠0 shartni qanoatlantirishini tekshirish qoladi. 5 x 2 −2 ifodasiga x o‘rniga 2/3 sonini qo‘yamiz, ni olamiz. Shart bajarildi, shuning uchun x=2/3 asl tenglamaning ildizidir.

Javob:

2/3 .

Kasr ratsional tenglamaning yechimiga biroz boshqacha pozitsiyadan yondashish mumkin. Bu tenglama dastlabki tenglamaning x o‘zgaruvchisi bo‘yicha butun p(x)=0 tenglamaga ekvivalentdir. Ya'ni, siz bunga amal qilishingiz mumkin kasrli ratsional tenglamani yechish algoritmi :

• p(x)=0 tenglamani yeching;
• ODZ o'zgaruvchisini toping x ;
• ruxsat etilgan qiymatlar mintaqasiga tegishli ildizlarni oling - ular asl kasrli ratsional tenglamaning kerakli ildizlaridir.

Masalan, kasrli ratsional tenglamani shu algoritm yordamida yechamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Yechim.

Birinchidan, x 2 −2·x−11=0 kvadrat tenglamani yechamiz. Uning ildizlarini teng ikkinchi koeffitsient uchun ildiz formulasi yordamida hisoblash mumkin, bizda bor D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, va .

Ikkinchidan, dastlabki tenglama uchun x o'zgaruvchisining ODZ ni topamiz. U x 2 +3 x≠0 ga teng bo'lgan barcha sonlardan iborat bo'lib, bu bir xil x (x+3)≠0 , bundan x≠0 , x≠−3 .

Birinchi bosqichda topilgan ildizlarning ODZga kiritilganligini tekshirish qoladi. Shubhasiz ha. Demak, dastlabki kasrli ratsional tenglama ikkita ildizga ega.

Javob:

E'tibor bering, agar ODZ osongina topilsa, bu yondashuv birinchisidan ko'ra foydaliroqdir va p(x)=0 tenglamaning ildizlari irratsional bo'lsa, masalan, , yoki ratsional bo'lsa, lekin juda katta bo'lsa, ayniqsa foydalidir. numerator va/yoki maxraj, masalan, 127/1101 va -31/59 . Buning sababi shundaki, bunday hollarda q(x)≠0 shartni tekshirish katta hisoblash harakatlarini talab qiladi va ODZdan begona ildizlarni chiqarib tashlash osonroq bo'ladi.

Boshqa hollarda, tenglamani yechishda, ayniqsa, p(x)=0 tenglamaning ildizlari butun son bo‘lganda, yuqoridagi algoritmlarning birinchisidan foydalanish qulayroqdir. Ya'ni, darhol p(x)=0 butun tenglamaning ildizlarini topib, so'ngra ular uchun q(x)≠0 sharti qanoatlantirilishini tekshirib, ODZni topmay, keyin tenglamani yechish maqsadga muvofiqdir. Ushbu ODZda p(x)=0 . Buning sababi shundaki, bunday hollarda odatda ODZni topishdan ko'ra tekshirishni amalga oshirish osonroq.

Belgilangan nuanslarni ko'rsatish uchun ikkita misolning echimini ko'rib chiqing.

Misol.

Tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Avval butun tenglamaning ildizlarini topamiz (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, kasr soni yordamida tuzilgan. Bu tenglamaning chap tomoni ko'paytma, o'ng tomoni esa nolga teng, shuning uchun tenglamalarni faktorizatsiya yo'li bilan yechish usuliga ko'ra, bu tenglama to'rtta tenglamalar to'plamiga ekvivalentdir 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Bu tenglamalardan uchtasi chiziqli, biri kvadratik, biz ularni yecha olamiz. Birinchi tenglamadan x=1/2, ikkinchidan - x=6, uchinchidan - x=7, x=−2, to'rtinchidan - x=−1 ni topamiz.

Topilgan ildizlar bilan ularni dastlabki tenglamaning chap tomonida joylashgan kasrning maxraji yo'qolib ketmasligini tekshirish juda oson va ODZni aniqlash unchalik oson emas, chunki buni hal qilish kerak bo'ladi. beshinchi darajali algebraik tenglama. Shuning uchun, biz ildizlarni tekshirish foydasiga ODZni topishdan bosh tortamiz. Buning uchun ifodadagi x o'zgaruvchisi o'rniga ularni navbat bilan almashtiramiz x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, almashtirishdan keyin olingan va ularni nol bilan taqqoslang: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Shunday qilib, 1/2, 6 va −2 asl kasrli ratsional tenglamaning kerakli ildizlari, 7 va −1 esa begona ildizlardir.

Javob:

1/2 , 6 , −2 .

Misol.

Kasrli ratsional tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Avval tenglamaning ildizlarini topamiz (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Bu tenglama ikkita tenglamalar toʻplamiga ekvivalentdir: kvadrat 5·x 2 −7·x−1=0 va chiziqli x−2=0 . Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasiga ko‘ra ikkita ildiz topamiz va ikkinchi tenglamadan x=2 ga ega bo‘lamiz.

X ning topilgan qiymatlarida maxraj yo'qolmasligini tekshirish juda yoqimsiz. Va asl tenglamada x o'zgaruvchisining qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ini aniqlash juda oddiy. Shuning uchun biz ODZ orqali harakat qilamiz.

Bizning holatimizda dastlabki kasrli ratsional tenglamaning x o‘zgaruvchisining ODZ i x 2 +5·x−14=0 sharti qanoatlantirilgandan tashqari barcha sonlardan tuzilgan. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari x=−7 va x=2 bo‘lib, undan ODZ haqida xulosa qilamiz: u barcha x dan shunday tuzilganki, .

Topilgan ildizlar va x = 2 ruxsat etilgan qiymatlar mintaqasiga tegishli yoki yo'qligini tekshirish qoladi. Ildizlar - tegishli, shuning uchun ular dastlabki tenglamaning ildizlari va x=2 tegishli emas, shuning uchun u begona ildizdir.

Javob:

Shaklning kasrli ratsional tenglamasi hisoblagichdagi sonni o'z ichiga olgan, ya'ni p (x) qandaydir son bilan ifodalangan holatlarga alohida to'xtalib o'tish ham foydali bo'ladi. Qayerda

• agar bu raqam noldan farq qiladigan bo'lsa, u holda tenglamaning ildizlari yo'q, chunki kasr nolga teng, agar uning numeratori nolga teng bo'lsa;
• agar bu raqam nolga teng bo'lsa, u holda tenglamaning ildizi ODZ dan istalgan raqamdir.

Misol.

Yechim.

Tenglamaning chap tomonidagi kasrning numeratorida nolga teng bo'lmagan son mavjud bo'lgani uchun hech qanday x uchun bu kasrning qiymati nolga teng bo'lishi mumkin emas. Shuning uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q.

Javob:

ildizlari yo'q.

Misol.

Tenglamani yeching.

Yechim.

Ushbu kasr ratsional tenglamaning chap tomonidagi kasrning soni nolga teng, shuning uchun bu kasrning qiymati mantiqiy bo'lgan har qanday x uchun nolga teng. Boshqacha qilib aytganda, bu tenglamaning yechimi bu o'zgaruvchining DPV dan x ning istalgan qiymati hisoblanadi.

Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini aniqlash uchun qoladi. U x 4 +5 x 3 ≠0 bo'lgan barcha x qiymatlarini o'z ichiga oladi. x 4 +5 x 3 \u003d 0 tenglamasining yechimlari 0 va −5, chunki bu tenglama x 3 (x + 5) \u003d 0 tenglamasiga ekvivalentdir va u o'z navbatida kombinatsiyaga ekvivalentdir. ikkita tenglamaning x 3 \u003d 0 va x +5=0 , bu ildizlar ko'rinadigan joydan. Shuning uchun qabul qilinadigan qiymatlarning istalgan diapazoni x=0 va x=−5 dan tashqari har qanday x dir.

Shunday qilib, kasrli ratsional tenglama cheksiz ko'p echimlarga ega, ular nol va minus beshdan tashqari har qanday raqamlardir.

Javob:

Nihoyat, ixtiyoriy kasrli ratsional tenglamalarni yechish haqida gapirish vaqti keldi. Ularni r(x)=s(x) shaklida yozish mumkin, bunda r(x) va s(x) ratsional ifodalar va ulardan kamida bittasi kasrdir. Oldinga qarab, ularning yechimi bizga allaqachon tanish bo'lgan shakldagi tenglamalarni echishga qisqartirilganligini aytamiz.

Ma’lumki, hadning tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga qarama-qarshi ishorali o‘tkazilishi ekvivalent tenglamaga olib keladi, shuning uchun r(x)=s(x) tenglama r(x)−s tenglamaga ekvivalentdir. (x)=0 .

Biz shuni ham bilamizki, har qanday bu ifodaga bir xil teng bo'lishi mumkin. Shunday qilib, biz har doim r(x)−s(x)=0 tenglamaning chap tomonidagi ratsional ifodani shaklning bir xil teng ratsional kasrga aylantira olamiz.

Shunday qilib, biz dastlabki kasr ratsional tenglamadan r(x)=s(x) tenglamaga o'tamiz va uning yechimi, yuqorida bilib olganimizdek, p(x)=0 tenglamani yechishga qisqartiradi.

Ammo bu erda shuni hisobga olish kerakki, r(x)−s(x)=0 ni , keyin esa p(x)=0 bilan almashtirganda x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni kengayishi mumkin. .

Demak, biz yetib kelgan dastlabki r(x)=s(x) tenglama va p(x)=0 tenglama ekvivalent bo‘lmasligi mumkin va p(x)=0 tenglamani yechish orqali biz ildizlarni olishimiz mumkin. Bu r(x)=s(x) tenglamaning tashqi ildizlari bo'ladi. Javobga begona ildizlarni tekshirish yoki ularning dastlabki tenglamaning ODZ ga tegishliligini tekshirish orqali aniqlash va kiritmaslik mumkin.

Biz ushbu ma'lumotni jamlaymiz kasr ratsional tenglamani yechish algoritmi r(x)=s(x). r(x)=s(x) kasr ratsional tenglamani yechish uchun kerak

• Qarama-qarshi belgi bilan ifodani o'ng tomondan siljitish orqali o'ng tomonda nolga erishing.
• Tenglamaning chap tomonidagi kasrlar va ko'phadlar bilan amallarni bajaring va shu bilan uni shaklning ratsional kasriga aylantiring.
• p(x)=0 tenglamani yeching.
• Chet ildizlarni aniqlang va chiqarib tashlang, bu ularni dastlabki tenglamaga almashtirish yoki ularning dastlabki tenglamaning ODZ ga tegishliligini tekshirish orqali amalga oshiriladi.

Aniqroq bo'lishi uchun biz kasrli ratsional tenglamalarni echishning butun zanjirini ko'rsatamiz:
.

Keling, berilgan ma'lumotlar blokini aniqlashtirish uchun yechimni batafsil tushuntirish bilan bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kasrli ratsional tenglamani yeching.

Yechim.

Biz yangi olingan yechim algoritmiga muvofiq harakat qilamiz. Va birinchi navbatda biz atamalarni tenglamaning o'ng tomonidan chap tomonga o'tkazamiz, natijada biz tenglamaga o'tamiz.

Ikkinchi bosqichda hosil bo'lgan tenglamaning chap tomonidagi kasr ratsional ifodasini kasr shakliga o'tkazishimiz kerak. Buning uchun ratsional kasrlarni umumiy maxrajga keltirishni bajaramiz va olingan ifodani soddalashtiramiz: . Shunday qilib, biz tenglamaga keldik.

Keyingi bosqichda −2·x−1=0 tenglamasini yechishimiz kerak. x=−1/2 ni toping.

Topilgan −1/2 soni asl tenglamaning begona ildizi ekanligini tekshirish qoladi. Buning uchun siz dastlabki tenglamaning ODZ o'zgaruvchisi x ni tekshirishingiz yoki topishingiz mumkin. Keling, ikkala yondashuvni ham ko'rsatamiz.

Chek bilan boshlaylik. Dastlabki tenglamaga x oʻzgaruvchisi oʻrniga −1/2 sonini qoʻyamiz, − ni olamiz, bu bir xil, −1=−1. O'zgartirish to'g'ri sonli tenglikni beradi, shuning uchun x=−1/2 asl tenglamaning ildizidir.

Endi biz algoritmning oxirgi bosqichi ODZ orqali qanday bajarilishini ko'rsatamiz. Dastlabki tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni -1 va 0 dan tashqari barcha raqamlar to'plamidir (x=−1 va x=0 bo'lganda, kasrlarning maxrajlari yo'qoladi). Oldingi bosqichda topilgan x=−1/2 ildiz ODZga tegishli, shuning uchun x=−1/2 asl tenglamaning ildizi hisoblanadi.

Javob:

−1/2 .

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Biz kasrli ratsional tenglamani yechishimiz kerak, keling, algoritmning barcha bosqichlarini ko'rib chiqamiz.

Birinchidan, biz atamani o'ng tomondan chapga o'tkazamiz, biz olamiz.

Ikkinchidan, chap tomonda hosil bo'lgan ifodani o'zgartiramiz: . Natijada x=0 tenglamaga kelamiz.

Uning ildizi aniq - u nolga teng.

To'rtinchi bosqichda, topilgan ildiz asl kasrli ratsional tenglama uchun tashqi emas yoki yo'qligini aniqlash qoladi. Dastlabki tenglamaga almashtirilsa, ifoda olinadi. Shubhasiz, bu mantiqiy emas, chunki u nolga bo'linishni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, biz 0 - begona ildiz degan xulosaga keldik. Shuning uchun asl tenglamaning ildizlari yo'q.

7, bu tenglamaga olib keladi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, chap tomonning maxrajidagi ifoda o'ng tomondan teng bo'lishi kerak, ya'ni . Endi uchlikning ikkala qismidan ayirib chiqamiz: . O'xshatish bo'yicha, qaerdan va undan keyin.

Tekshirish shuni ko'rsatadiki, ikkala topilgan ildiz ham dastlabki kasr ratsional tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob:

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2009. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-021134-5.