Algebraik kasrning qiymati nima deyiladi. Asosiy tushunchalar
O‘quvchi o‘rta maktabga kirganda, matematika ikki fanga bo‘linadi: algebra va geometriya. Tushunchalar ko'payib bormoqda, vazifalar tobora qiyinlashmoqda. Ba'zi odamlar kasrlarni tushunishda qiynaladi. Ushbu mavzu bo'yicha birinchi darsni o'tkazib yubordim va voila. kasrlar? Maktab hayotim davomida qiynaladigan savol.
Algebraik kasr haqida tushuncha
Keling, ta'rifdan boshlaylik. ostida algebraik kasr P/Q iboralariga ishora qiladi, bu erda P son va Q maxrajdir. Harf yozuvi ostida raqam, raqamli ifoda yoki raqamli-alfavit ifodasi yashirin bo'lishi mumkin.
Algebraik kasrlarni qanday yechish haqida savol berishdan oldin, avvalo, bunday ifoda butunning bir qismi ekanligini tushunishingiz kerak.
Qoida tariqasida, butun son 1 ga teng. Maxrajdagi raqam birlik necha qismga bo'linganligini ko'rsatadi. Numerator nechta element olinganligini bilish uchun kerak. Kasr satri bo'linish belgisiga mos keladi. Kasrli ifodani “Bo‘lish” matematik amali sifatida yozishga ruxsat beriladi. Bunday holda, hisoblagich dividend, maxraj bo'luvchi bo'ladi.
Oddiy kasrlarning asosiy qoidasi
Talabalar maktabda ushbu mavzuni o'rganayotganda, ularni mustahkamlash uchun misollar keltiriladi. Ularni to'g'ri yechish va murakkab vaziyatlardan chiqishning turli yo'llarini topish uchun kasrlarning asosiy xossasini qo'llash kerak.
Bu shunday bo'ladi: agar siz ayirma va maxrajni bir xil son yoki ifodaga (noldan tashqari) ko'paytirsangiz, umumiy kasrning qiymati o'zgarmaydi. Bu qoidaning alohida holati ifodaning ikkala tomonini bir xil son yoki ko‘phadga bo‘lishdir. Bunday o'zgarishlar bir xil tenglik deb ataladi.
Quyida algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish, kasrlarni ko'paytirish, bo'lish va kamaytirishni qanday yechish kerakligini ko'rib chiqamiz.
Kasrlar bilan matematik amallar
Keling, algebraik kasrning qanday yechilishini, asosiy xossasini va uni amalda qo‘llashni ko‘rib chiqamiz. Agar siz ikkita kasrni ko'paytirishingiz, qo'shishingiz, bir-biriga bo'lishingiz yoki ayirishingiz kerak bo'lsa, har doim qoidalarga amal qilishingiz kerak.
Shunday qilib, qo'shish va ayirish amallari uchun ifodalarni umumiy maxrajga keltirish uchun qo'shimcha omil topilishi kerak. Agar kasrlar dastlab bir xil Q iboralar bilan berilgan bo'lsa, u holda bu bandni olib tashlash kerak. Umumiy maxraj topilgach, algebraik kasrlarni qanday yechish mumkin? Numeratorlarni qo'shish yoki ayirish kerak. Lekin! Shuni esda tutish kerakki, agar kasr oldida "-" belgisi bo'lsa, hisoblagichdagi barcha belgilar teskari bo'ladi. Ba'zan hech qanday almashtirish yoki matematik operatsiyalarni bajarmasligingiz kerak. Kasr oldidagi belgini o'zgartirish kifoya.
Kontseptsiya ko'pincha sifatida ishlatiladi kasrlarni kamaytirish. Bu quyidagilarni bildiradi: agar pay va maxraj bittadan farqli ifodaga bo'linsa (har ikkala qism uchun ham bir xil), u holda yangi kasr olinadi. Dividend va bo'luvchi avvalgidan kichikroq, ammo kasrlarning asosiy qoidasi tufayli ular dastlabki misolga teng bo'lib qoladi.
Ushbu operatsiyadan maqsad yangi qisqartirilmaydigan ifodani olishdir. Numerator va maxrajni eng katta umumiy omilga kamaytirish orqali bu muammoni hal qilishingiz mumkin. Amaliyot algoritmi ikki nuqtadan iborat:
- Kasrning har ikki tomoni uchun gcd ni topish.
- Numerator va maxrajni topilgan ifodaga bo'lish va oldingisiga teng kamaytirilmaydigan kasrni olish.
Quyida formulalar ko'rsatilgan jadval mavjud. Qulaylik uchun siz uni chop etishingiz va daftarda o'zingiz bilan olib yurishingiz mumkin. Biroq, kelajakda test yoki imtihonni yechishda algebraik kasrlarni qanday echish masalasida hech qanday qiyinchiliklar bo'lmasligi uchun ushbu formulalarni yoddan o'rganish kerak.
Yechimlari bilan bir nechta misollar
Nazariy nuqtai nazardan, algebraik kasrlarni qanday yechish masalasi ko'rib chiqiladi. Maqolada keltirilgan misollar materialni yaxshiroq tushunishga yordam beradi.
1. Kasrlarni aylantiring va ularni umumiy maxrajga keltiring.
2. Kasrlarni aylantiring va ularni umumiy maxrajga keltiring.
Nazariy qismni o'rganib, amaliy qismni ko'rib chiqqandan so'ng, boshqa savollar tug'ilmasligi kerak.
Bu dars algebraik kasr tushunchasini qamrab oladi. Odamlar eng oddiy hayotiy vaziyatlarda kasrlarga duch kelishadi: ob'ektni bir necha qismlarga bo'lish kerak bo'lganda, masalan, kekni o'n kishiga teng ravishda kesish kerak. Shubhasiz, har bir kishi tortning bir qismini oladi. Bunday holda, biz sonli kasr tushunchasiga duch kelamiz, lekin ob'ekt noma'lum sonli qismlarga, masalan, x ga bo'linganida vaziyat mumkin. Bunday holda kasrli ifoda tushunchasi paydo bo'ladi. Siz 7-sinfda butun iboralar (o'zgaruvchili iboralarga bo'linish mavjud emas) va ularning xususiyatlari bilan allaqachon tanishgansiz. Keyinchalik biz ratsional kasr tushunchasini, shuningdek o'zgaruvchilarning maqbul qiymatlarini ko'rib chiqamiz.
Mavzu:Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar
Dars:Asosiy tushunchalar
1. Algebraik kasrlarning ta’rifi va misollari
Ratsional ifodalar ga bo'linadi butun va kasrli ifodalar.
Ta'rif. Ratsional kasr shaklining kasr ifodasidir, bu erda ko'phadlar. - sanoqli maxraj.
Misollar ratsional ifodalar:
- kasrli ifodalar; - butun ifodalar. Birinchi ifodada, masalan, sanoqchi , maxraji esa .
Ma'nosi algebraik kasr har kim kabi algebraik ifoda, unga kiritilgan o'zgaruvchilarning raqamli qiymatiga bog'liq. Xususan, birinchi misolda kasrning qiymati o'zgaruvchilarning qiymatlariga va , ikkinchi misolda esa faqat o'zgaruvchining qiymatiga bog'liq.
2. Algebraik kasrning qiymatini hisoblash va ikkita asosiy kasr masalasi
Keling, birinchi tipik vazifani ko'rib chiqaylik: qiymatni hisoblash ratsional kasr da turli ma'nolar unga kiritilgan o'zgaruvchilar.
1-misol. a) , b) , c) uchun kasr qiymatini hisoblang.
Yechim. O'zgaruvchilarning qiymatlarini ko'rsatilgan kasrga almashtiramiz: a) , b) , c) - mavjud emas (chunki siz nolga bo'linmaysiz).
Javob: 3; 1; mavjud emas.
Ko'rib turganimizdek, ikkitasi bor tipik vazifalar har qanday kasr uchun: 1) kasrni hisoblash, 2) topish haqiqiy va noto'g'ri qiymatlar harf o'zgaruvchilari.
Ta'rif. Yaroqli o'zgaruvchan qiymatlar- ifoda mantiqiy bo'lgan o'zgaruvchilar qiymatlari. O'zgaruvchilarning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami deyiladi ODZ yoki domen.
3. Bir o'zgaruvchiga ega bo'lgan kasrlardagi o'zgaruvchilarning qabul qilinadigan (ADV) va qabul qilib bo'lmaydigan qiymatlari
Agar ushbu qiymatlardagi kasrning maxraji nolga teng bo'lsa, harfiy o'zgaruvchilarning qiymati yaroqsiz bo'lishi mumkin. Boshqa barcha holatlarda, o'zgaruvchilarning qiymatlari haqiqiydir, chunki kasrni hisoblash mumkin.
2-misol. O'zgaruvchining qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.
Yechim. Bu ifodaning ma'noli bo'lishi uchun kasrning maxraji nolga teng bo'lmasligi zarur va etarli. Shunday qilib, o'zgaruvchining faqat maxraji nolga teng bo'lgan qiymatlari yaroqsiz bo'ladi. Kasrning maxraji ga teng, shuning uchun chiziqli tenglamani yechamiz:
Shuning uchun, o'zgaruvchining qiymatini hisobga olgan holda, kasr hech qanday ma'noga ega emas.
Misol yechimidan o'zgaruvchilarning noto'g'ri qiymatlarini topish qoidasi quyidagicha bo'ladi - kasrning maxraji nolga teng va tegishli tenglamaning ildizlari topiladi.
Keling, bir nechta shunga o'xshash misollarni ko'rib chiqaylik.
3-misol. O'zgaruvchining qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.
Yechim. .
Javob. .
4-misol. O'zgaruvchining qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.
Yechim..
Ushbu muammoning boshqa formulalari mavjud - toping domen yoki qabul qilinadigan ifoda qiymatlari diapazoni (APV). Bu o'zgaruvchilarning barcha haqiqiy qiymatlarini topishni anglatadi. Bizning misolimizda bularning barchasi bundan mustasno. Raqamlar o'qida aniqlanish sohasini tasvirlash qulay.
Buni amalga oshirish uchun rasmda ko'rsatilganidek, biz undan bir nuqtani kesib tashlaymiz:
Shunday qilib, kasrni aniqlash sohasi 3 dan tashqari barcha raqamlar bo'ladi.
Javob..
5-misol. O'zgaruvchining qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.
Yechim..
Olingan yechimni raqamli o'qda tasvirlaymiz:
Javob..
4. O'zgaruvchilarning qabul qilinadigan (AP) va qabul qilinishi mumkin bo'lmagan qiymatlari maydonining kasrlardagi grafik tasviri
6-misol. O'zgaruvchilarning qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.
Yechish.. Ikki o‘zgaruvchining tengligini oldik, sonli misollar keltiramiz: yoki, va hokazo.
Keling, ushbu yechimni Dekart koordinata tizimidagi grafikda tasvirlaymiz:
Guruch. 3. Funksiya grafigi.
Ushbu grafikda joylashgan har qanday nuqtaning koordinatalari qabul qilinadigan kasr qiymatlari oralig'iga kiritilmagan.
Javob. .
5. «Nolga bo`lish» tipidagi holat
Ko'rib chiqilgan misollarda biz nolga bo'linish sodir bo'lgan vaziyatga duch keldik. Endi ko'proq vaqtni ko'rib chiqing qiziqarli holat bo'linish turi bilan.
7-misol. O'zgaruvchilarning qaysi qiymatlarida kasr mantiqiy emasligini aniqlang.
Yechim..
Ma'lum bo'lishicha, kasr da hech qanday ma'noga ega emas. Ammo bu shunday emas, deb bahslashish mumkin, chunki: 
.
Ko'rinishidan, agar yakuniy ifoda 8 da ga teng bo'lsa, unda asl ifodani ham hisoblash mumkin va shuning uchun da mantiqiy bo'ladi. Ammo, agar biz uni asl iboraga almashtirsak, biz tushunamiz - bu hech qanday ma'noga ega emas.
Javob..
Ushbu misolni batafsilroq tushunish uchun quyidagi masalani hal qilaylik: ko'rsatilgan kasr qaysi qiymatlarda nolga teng?
(kasr uning numeratori nolga teng bo'lsa, nolga teng) 
. Lekin asl tenglamani kasr bilan yechish kerak va buning ma'nosi yo'q, chunki o'zgaruvchining bu qiymatida maxraj nolga teng. Bu shuni anglatadiki, bu tenglama faqat bitta ildizga ega.
6. ODZni topish qoidasi
Shunday qilib, biz kasrning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini topishning aniq qoidasini shakllantirishimiz mumkin: topish ODZkasrlar uning maxrajini nolga tenglashtirish va hosil bo‘lgan tenglamaning ildizlarini topish zarur va yetarlidir.
Biz ikkita asosiy vazifani ko'rib chiqdik: kasrning qiymatini hisoblash o'zgaruvchilarning belgilangan qiymatlari uchun va kasrning qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ini topish.
Keling, kasrlar bilan ishlashda yuzaga kelishi mumkin bo'lgan yana bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.
7. Turli vazifalar va xulosalar
8-misol. O'zgaruvchining har qanday qiymatlari uchun kasr ekanligini isbotlang.
Isbot. Numerator ijobiy raqamdir. . Natijada, hisoblagich ham, maxraj ham musbat sonlar, shuning uchun kasr ijobiy sondir.
Tasdiqlangan.
9-misol. Ma'lumki , toping.
Yechim. Kasr hadini hadga ajratamiz. Berilgan kasr uchun noto'g'ri o'zgaruvchan qiymat nima ekanligini hisobga olgan holda, biz tomonidan kamaytirish huquqiga egamiz.
Javob..
Ushbu darsda biz kasrlar bilan bog'liq asosiy tushunchalarni ko'rib chiqdik. Keyingi darsda biz ko'rib chiqamiz kasrning asosiy xossasi.
Adabiyotlar ro'yxati
1.Bashmakov M.I.Algebra 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2004 yil.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar Algebra 8. - 5-nashr. - M.: Ta'lim, 2010 yil.
3. Nikolskiy S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8-sinf. Umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik. - M.: Ta'lim, 2006 yil.
1. Pedagogik g'oyalar festivali.
2. Eski maktab.
3. lib2.podelise internet portali. ru.
Uy vazifasi
1. No 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar Algebra 8. - 5-nashr. - M.: Ta'lim, 2010 yil.
2. Aniqlanish sohasi: a) to‘plam, b) to‘plam, v) butun son qatori bo‘lgan ratsional kasrni yozing.
3. O'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun kasrning qiymati manfiy emasligini isbotlang.
4. Ifoda sohasini toping. Ko'rsatmalar: ikkita holatni alohida ko'rib chiqing: pastki kasrning maxraji nolga teng bo'lganda va asl kasrning maxraji nolga teng bo'lganda.
42-§da aytilganki, agar ko'phadlarning bo'linishini to'liq bajarib bo'lmasa, u holda bo'linma kasr ifodasi shaklida yoziladi, bunda dividend soni va bo'linmasi maxrajdir.
Kasrli ifodalarga misollar:
Kasrli ifodaning ayiruvchisi va maxrajining o'zi kasr ifodalari bo'lishi mumkin, masalan:
Kasrli algebraik ifodalar ichida siz ko'pincha hisoblagich va maxraj polinom bo'lganlar bilan shug'ullanishingiz kerak (xususan, monomlar). Har bir bunday ifoda algebraik kasr deyiladi.
Ta'rif. Numeratori va maxraji ko'p nomli kasr bo'lgan algebraik ifoda algebraik kasr deyiladi.
Arifmetikadagi kabi algebraik kasrning soni va maxraji kasrning hadlari deyiladi.
Kelajakda algebraik kasrlar ustida amallarni o'rganib chiqib, biz har qanday kasr ifodasini bir xil transformatsiyalar yordamida algebraik kasrga aylantira olamiz.
Algebraik kasrlarga misollar:
E'tibor bering, butun ifodani, ya'ni ko'phadni kasr shaklida yozish mumkin, buning uchun bu ifodani ayiruvchiga, maxrajiga esa 1 ni yozish kifoya.Masalan:
2. Qabul qilinadigan harf qiymatlari.
Faqat hisoblagichga kiritilgan harflar har qanday qiymatni olishi mumkin (agar muammoning sharti bilan qo'shimcha cheklovlar kiritilmagan bo'lsa).
Maxrajga kiritilgan harflar uchun faqat maxrajni nolga aylantirmaydigan qiymatlar amal qiladi. Shuning uchun, biz har doim algebraik kasrning maxraji nolga teng emas deb faraz qilamiz.