Trigonometrik formüller nasıl çözülür. Trigonometrik Denklemler - Formüller, Çözümler, Örnekler

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekli olması durumunda - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen taleplere dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Sorununuza detaylı çözüm siparişi verebilirsiniz!!!

Bir trigonometrik fonksiyonun ('sin x, cos x, tg x' veya 'ctg x') işareti altında bilinmeyen içeren bir eşitliğe trigonometrik denklem denir ve formüllerini daha sonra ele alacağız.

En basit denklemler "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a"dır, burada "x" bulunacak açıdır, "a" herhangi bir sayıdır. Her biri için kök formülleri yazalım.

1. Denklem "sin x=a".

`|a|>1` için çözümü yoktur.

`|a| ile \leq 1` sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formül: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Denklem "cos x=a"

`|a|>1' için - sinüs durumunda olduğu gibi, gerçek sayılar arasında çözüm yoktur.

`|a| ile \leq 1` sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formül: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklerde sinüs ve kosinüs için özel durumlar.

3. Denklem tg x=a

Herhangi bir "a" değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formül: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Denklem "ctg x=a"

Ayrıca herhangi bir "a" değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formül: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Tablodaki trigonometrik denklemlerin kökleri için formüller

Sinüs için:
kosinüs için:
Teğet ve kotanjant için:
Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemleri çözmek için formüller:

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri

Herhangi bir trigonometrik denklemin çözümü iki aşamadan oluşur:

• kullanarak en basitine dönüştürmek için;
• Elde edilen basit denklemi yukarıdaki kökler ve tablolar için formülleri kullanarak çözün.

Örnekleri kullanarak ana çözüm yöntemlerini ele alalım.

cebirsel yöntem.

Bu yöntemde, bir değişkenin yer değiştirmesi ve eşitliğe ikamesi yapılır.

Örnek. Denklemi çözün: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0'

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0',

değiştirme yapın: "cos(x+\frac \pi 6)=y", ardından "2y^2-3y+1=0",

"y_1=1, y_2=1/2" köklerini buluruz, buradan iki durum gelir:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Yanıt: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktoring.

Örnek. Denklemi çözün: `sin x+cos x=1'.

Çözüm. Tüm eşitlik koşullarını sola taşıyın: `sin x+cos x-1=0`. kullanarak, sol tarafı dönüştürür ve çarpanlara ayırırız:

`sin x - 2sin^2 x/2=0',

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0',

1. "sin x/2 =0", "x/2 =\pi n", "x_1=2\pi n".
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=yay 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Yanıt: "x_1=2\pi n", "x_2=\pi/2+ 2\pi n".

Homojen bir denkleme indirgeme

Öncelikle, bu trigonometrik denklemi iki formdan birine getirmeniz gerekir:

"a sin x+b cos x=0" (birinci dereceden homojen denklem) veya "a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0" (ikinci dereceden homojen denklem).

Sonra her iki parçayı da birinci durum için "cos x \ne 0"a ve ikinci durum için "cos^2 x \ne 0"a bölün. Bilinen yöntemlerle çözülmesi gereken "tg x": "a tg x+b=0" ve "a tg^2 x + b tg x +c =0" denklemlerini elde ederiz.

Örnek. Denklemi çözün: "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1".

Çözüm. Sağ tarafı `1=sin^2 x+cos^2 x` şeklinde yazalım:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0'.

Bu, sol ve sağ taraflarını "cos^2 x \ne 0" ile bölen, ikinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemdir, şunu elde ederiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Sonuç olarak "t^2 + t - 2=0" olarak değiştirilen "tg x=t"yi tanıtalım. Bu denklemin kökleri "t_1=-2" ve "t_2=1"dir. Daha sonra:

1. "tg x=-2", "x_1=yay (-2)+\pi n", "n \in Z"
2. "tg x=1", "x=arctg 1+\pi n", "x_2=\pi/4+\pi n", "n \in Z".

Cevap. "x_1=arctg (-2)+\pi n", "n \in Z", "x_2=\pi/4+\pi n", "n \in Z".

Yarım Köşeye Git

Örnek. Denklemi çözün: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Çözüm. Çift açı formüllerini uygulayarak sonuç şu şekildedir: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` ` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Yukarıda açıklanan cebirsel yöntemi uygulayarak şunu elde ederiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=yay 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cevap. `x_1=2 yay 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=yay 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yardımcı açının tanıtılması

a,b,c'nin katsayılar ve x'in bir değişken olduğu 'a sin x + b cos x =c' trigonometrik denkleminde, her iki parçayı da 'sqrt (a^2+b^2)' ile böleriz:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))'.

Sol taraftaki katsayılar sinüs ve kosinüs özelliklerine sahiptir, yani karelerinin toplamı 1'e eşittir ve modülleri 1'den büyük değildir. Bunları aşağıdaki gibi gösterin: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, ardından:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım:

Örnek. Denklemi çözün: "3 sin x+4 cos x=2".

Çözüm. Denklemin her iki tarafını da `sqrt (3^2+4^2)' ile bölerek şunu elde ederiz:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)'

"3/5 günah x+4/5 çünkü x=2/5".

"3/5 = cos \varphi", "4/5=sin \varphi" olarak belirtin. "sin \varphi>0", "cos \varphi>0" olduğundan, yardımcı açı olarak "\varphi=yay 4/5" alırız. Ardından eşitliğimizi şu şekilde yazıyoruz:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinüs için açıların toplamı formülünü uygulayarak eşitliğimizi aşağıdaki biçimde yazıyoruz:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cevap. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kesirli-rasyonel trigonometrik denklemler

Bunlar, payları ve paydaları trigonometrik fonksiyonları olan kesirli eşitliklerdir.

Örnek. Denklemi çözün. "\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x".

Çözüm. Denklemin sağ tarafını `(1+cos x)` ile çarpın ve bölün. Sonuç olarak, şunu elde ederiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0'

Paydanın sıfır olamayacağı göz önüne alındığında, `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` elde ederiz.

Kesrin payını sıfıra eşitleyin: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Sonra "sin x=0" veya "1-sin x=0".

1. "sin x=0", "x=\pi n", "n \in Z"
2. "1-sin x=0", "sin x=-1", "x=\pi /2+2\pi n, n \in Z".

"x \ne \pi+2\pi n, n \in Z" verildiğinde, çözümler "x=2\pi n, n \in Z" ve "x=\pi /2+2\pi n" şeklindedir. , `n \in Z`.

Cevap. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometri ve özellikle trigonometrik denklemler geometri, fizik ve mühendisliğin hemen her alanında kullanılmaktadır. Çalışma 10. sınıfta başlar, sınav için her zaman görevler vardır, bu nedenle trigonometrik denklemlerin tüm formüllerini hatırlamaya çalışın - kesinlikle sizin için kullanışlı olacaklar!

Ancak bunları ezberlemenize bile gerek yok, asıl mesele özü anlamak ve çıkarım yapabilmek. Göründüğü kadar zor değil. Videoyu izleyerek kendiniz görün.

Çözerken birçok Matematik problemleri, özellikle 10. sınıftan önce meydana gelenler, amaca götürecek gerçekleştirilen eylemlerin sırası açıkça tanımlanmıştır. Bu tür problemler, örneğin, doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri, doğrusal ve ikinci dereceden eşitsizlikleri, kesirli denklemler ve ikinci dereceden olan denklemler. Bahsedilen görevlerin her birinin başarılı bir şekilde çözülmesi ilkesi şu şekildedir: Çözülmekte olan sorunun hangi türe ait olduğunu belirlemek, istenen sonuca götürecek gerekli eylem sırasını hatırlamak, yani. yanıtlayın ve bu adımları izleyin.

Açıkçası, belirli bir sorunu çözmedeki başarı veya başarısızlık, esas olarak çözülen denklemin türünün ne kadar doğru belirlendiğine, çözümünün tüm aşamalarının sırasının ne kadar doğru yeniden üretildiğine bağlıdır. Elbette bu durumda birebir dönüşümleri ve hesaplamaları yapabilme becerisine sahip olunması gerekmektedir.

ile farklı bir durum ortaya çıkar. trigonometrik denklemler. Denklemin trigonometrik olduğunu tespit etmek zor değil. Doğru cevaba götürecek eylemlerin sırasını belirlerken zorluklar ortaya çıkar.

Bir denklemin görünümü ile türünü belirlemek bazen zordur. Ve denklemin türünü bilmeden, birkaç düzine trigonometrik formülden doğru olanı seçmek neredeyse imkansızdır.

Trigonometrik denklemi çözmek için şunu denemeliyiz:

1. denklemde yer alan tüm fonksiyonları "aynı açılara" getirin;
2. denklemi "aynı fonksiyonlara" getirin;
3. Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırın, vb.

Dikkate almak trigonometrik denklemleri çözmek için temel yöntemler.

I. En basit trigonometrik denklemlere indirgeme

Çözüm şeması

Aşama 1. Trigonometrik fonksiyonu bilinen bileşenler cinsinden ifade eder.

Adım 2 Formülleri kullanarak işlev bağımsız değişkenini bulun:

çünkü x = bir; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

günah x = a; x \u003d (-1) n arksin a + πn, n Є Z.

tan x = bir; x \u003d arktg a + πn, n Є Z.

ctg x = bir; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Aşama 3 Bilinmeyen bir değişken bulun.

Örnek.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Çözüm.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n - Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n - Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n - Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n - Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n - Z.

Yanıt: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Değişken ikamesi

Çözüm şeması

Aşama 1. Denklemi trigonometrik fonksiyonlardan birine göre cebirsel bir forma getirin.

Adım 2 Ortaya çıkan işlevi t değişkeni ile gösterin (gerekirse, t üzerinde kısıtlamalar getirin).

Aşama 3 Ortaya çıkan cebirsel denklemi yazın ve çözün.

Adım 4 Ters değiştirme yapın.

Adım 5 En basit trigonometrik denklemi çözün.

Örnek.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Çözüm.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) sin (x/2) = t olsun, burada |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 veya e = -3/2 |t| koşulunu karşılamıyor ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n - Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Cevap: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Denklem sırası azaltma yöntemi

Çözüm şeması

Aşama 1. Güç azaltma formüllerini kullanarak bu denklemi doğrusal bir denklemle değiştirin:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

çünkü 2 x = 1/2 (1 + çünkü 2x);

tan 2 x = (1 - çünkü 2x) / (1 + çünkü 2x).

Adım 2 Ortaya çıkan denklemi yöntem I ve II'yi kullanarak çözün.

Örnek.

cos2x + cos2x = 5/4.

Çözüm.

1) çünkü 2x + 1/2 (1 + çünkü 2x) = 5/4.

2) çünkü 2x + 1/2 + 1/2 çünkü 2x = 5/4;

3/2 çünkü 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n - Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Yanıt: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. homojen denklemler

Çözüm şeması

Aşama 1. Bu denklemi forma getir

a) a sin x + b cos x = 0 (birinci dereceden homojen denklem)

veya görünüme

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci dereceden homojen denklem).

Adım 2 Denklemin her iki tarafını da şuna bölün:

a) çünkü x ≠ 0;

b) çünkü 2 x ≠ 0;

ve tg x için denklemi elde edin:

a) bir tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arktg x + c = 0.

Aşama 3 Bilinen yöntemleri kullanarak denklemi çözün.

Örnek.

5sin 2 x + 3sin x çünkü x - 4 = 0.

Çözüm.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

günah 2 x + 3sin x çünkü x - 4cos 2 x \u003d 0 / çünkü 2 x ≠ 0.

2) tg 2x + 3tgx - 4 = 0.

3) tg x = t olsun, o zaman

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 veya t = -4, yani

tg x = 1 veya tg x = -4.

İlk denklemden x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci denklemden x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Yanıt: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Trigonometrik formüller kullanarak bir denklemi dönüştürme yöntemi

Çözüm şeması

Aşama 1. Her türlü trigonometrik formülü kullanarak, bu denklemi yöntemler I, II, III, IV ile çözülebilecek bir denkleme getirin.

Adım 2 Ortaya çıkan denklemi bilinen yöntemlerle çözün.

Örnek.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Çözüm.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x çünkü x + sin 2x = 0.

2) günah 2x (2cos x + 1) = 0;

günah 2x = 0 veya 2cos x + 1 = 0;

Birinci denklemden 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinci denklemden cos x = -1/2.

x = π/4 + πn/2, n Є Z'ye sahibiz; ikinci denklemden x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Sonuç olarak, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k - Z.

Cevap: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k - Z.

Trigonometrik denklemleri çözme yeteneği ve becerileri çok Önemli olan, gelişimleri hem öğrenci hem de öğretmen açısından büyük çaba gerektirir.

Stereometri, fizik vb. birçok problem trigonometrik denklemlerin çözümü ile ilişkilidir.Bu tür problemleri çözme süreci, olduğu gibi, trigonometrinin unsurlarını incelerken edinilen birçok bilgi ve beceriyi içerir.

Trigonometrik denklemler, genel olarak matematik öğretimi ve kişilik gelişimi sürecinde önemli bir yer tutar.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenin yardımını almak için - kayıt olun.
İlk ders ücretsiz!

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Bir bilim olarak trigonometri, Eski Doğu'da ortaya çıktı. İlk trigonometrik oranlar, gökbilimciler tarafından doğru bir takvim oluşturmak ve yıldızlara göre yön belirlemek için geliştirildi. Bu hesaplamalar küresel trigonometri ile ilgiliyken, okul kursu Düz bir üçgenin kenarlarının oranını ve açısını inceleyin.

Trigonometri, trigonometrik fonksiyonların özelliklerini ve üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiyi inceleyen bir matematik dalıdır.

MS 1. binyılda kültür ve bilimin altın çağında, bilgi Antik Doğu'dan Yunanistan'a yayıldı. Ancak trigonometrinin ana keşifleri, Arap Halifeliği adamlarının erdemidir. Özellikle, Türkmen bilim adamı el-Marazvi, teğet ve kotanjant gibi işlevleri tanıttı, sinüsler, teğetler ve kotanjantlar için ilk değer tablolarını derledi. Sinüs ve kosinüs kavramı Hintli bilim adamları tarafından tanıtıldı. Öklid, Arşimet ve Eratosthenes gibi antik çağın büyük figürlerinin eserlerinde trigonometriye çok dikkat edilir.

Temel trigonometri miktarları

Sayısal bir argümanın temel trigonometrik fonksiyonları sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanttır. Her birinin kendi grafiği vardır: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant.

Bu niceliklerin değerlerini hesaplama formülleri Pisagor teoremine dayanmaktadır. Okul çocukları tarafından şu formülasyonda daha iyi bilinir: "Pisagor pantolonu, her yöne eşit", çünkü kanıt bir ikizkenar dik üçgen örneğinde verilmiştir.

Sinüs, kosinüs ve diğer bağımlılıklar, herhangi bir dik üçgenin keskin açıları ve kenarları arasında bir ilişki kurar. A açısı için bu miktarları hesaplamak için formüller veriyoruz ve trigonometrik fonksiyonların ilişkisini izliyoruz:

Gördüğünüz gibi, tg ve ctg ters fonksiyonlardır. A ayağını günah A ve hipotenüs c'nin ürünü olarak ve bacak b'yi cos A * c olarak temsil edersek, teğet ve kotanjant için aşağıdaki formülleri elde ederiz:

trigonometrik daire

Grafiksel olarak, belirtilen miktarların oranı aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Daire, bu durumda, α açısının 0° ila 360° arasındaki tüm olası değerlerini temsil eder. Şekilden de görülebileceği gibi, her fonksiyon açıya bağlı olarak negatif veya pozitif bir değer almaktadır. Örneğin sin α, eğer α dairenin I ve II çeyreklerine aitse, yani 0° ile 180° aralığındaysa “+” işaretli olacaktır. α ile 180° ila 360° (III ve IV çeyrekler), sin α yalnızca negatif bir değer olabilir.

Belirli açılar için trigonometrik tablolar oluşturmaya çalışalım ve miktarların anlamını bulalım.

α'nın 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ve benzeri değerlere eşit olması özel durumlar olarak adlandırılır. Onlar için trigonometrik fonksiyonların değerleri hesaplanır ve özel tablolar şeklinde sunulur.

Bu açılar tesadüfen seçilmedi. Tablolardaki π gösterimi radyan içindir. Rad, dairesel bir yayın uzunluğunun yarıçapına karşılık geldiği açıdır. Bu değer, evrensel bir ilişki kurmak için verilmiştir; radyan cinsinden hesaplanırken, cm cinsinden yarıçapın gerçek uzunluğu önemli değildir.

Trigonometrik fonksiyonlar için tablolardaki açılar radyan değerlere karşılık gelir:

Dolayısıyla 2π'nin tam daire veya 360° olduğunu tahmin etmek zor değil.

Trigonometrik fonksiyonların özellikleri: sinüs ve kosinüs

Sinüs ve kosinüs, teğet ve kotanjantın temel özelliklerini dikkate almak ve karşılaştırmak için fonksiyonlarını çizmek gerekir. Bu, iki boyutlu bir koordinat sisteminde bulunan bir eğri şeklinde yapılabilir.

Sinüs dalgası ve kosinüs dalgası için karşılaştırmalı bir özellik tablosu düşünün:

sinüzoidal	kosinüs dalgası
y = günah x	y = çünkü x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, x = πk için, burada k ϵ Z	cos x = 0, x = π/2 + πk için, burada k ϵ Z
sin x = 1, x = π/2 + 2πk için, burada k ϵ Z	cos x = 1, x = 2πk için, burada k ϵ Z
sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk'de, burada k ϵ Z	cos x = - 1, x = π + 2πk için, burada k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, yani tek fonksiyon	cos (-x) = cos x, yani fonksiyon çifttir
	fonksiyon periyodiktir, en küçük periyot 2π'dir
sin x › 0, x çeyrek I ve II'ye ait veya 0° ila 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x çeyrek I ve IV'e ait veya 270° ila 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, x, çeyrek III ve IV'e ait veya 180° ila 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x ile çeyrek II ve III'e ait veya 90° ila 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
[- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] aralığında artar	[-π + 2πk, 2πk] aralığında artar
[ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] aralıklarında azalır	aralıklarla azalır
türev (sin x)' = cos x	türev (cos x)' = - sin x

Bir fonksiyonun çift olup olmadığını belirlemek çok basittir. Trigonometrik nicelik işaretleri olan bir trigonometrik daire hayal etmek ve grafiği OX eksenine göre zihinsel olarak "katlamak" yeterlidir. İşaretler aynı ise fonksiyon çift, aksi halde tektir.

Radyanların tanıtılması ve sinüzoidal ve kosinüs dalgasının ana özelliklerinin sıralanması, aşağıdaki modeli getirmemize izin verir:

Formülün doğruluğunu kontrol etmek çok kolaydır. Örneğin, x = π/2 için sinüs, x = 0'ın kosinüsü gibi 1'e eşittir. Verilen değerler için tablolara bakarak veya fonksiyon eğrilerini izleyerek kontrol yapılabilir.

Tanjantoid ve kotangentoidin özellikleri

Teğet ve kotanjant fonksiyonların grafikleri, sinüzoidal ve kosinüs dalgasından önemli ölçüde farklıdır. tg ve ctg değerleri birbirine terstir.

1. Y = tgx.
2. Teğet, y'nin x = π/2 + πk'deki değerlerine yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz.
3. Tanjantoidin en küçük pozitif periyodu π'dir.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, yani işlev tektir.
5. Tg x = 0, x = πk için.
6. Fonksiyon artıyor.
7. Tg x › 0, x ϵ için (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ için (— π/2 + πk, πk).
9. Türev (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Metinde aşağıdaki kotanjantoidin grafik gösterimini düşünün.

Kotanjantoidin ana özellikleri:

1. Y = ctgx.
2. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından farklı olarak tanjantoidde Y, tüm gerçek sayılar kümesinin değerlerini alabilir.
3. Kotanjantoid, x = πk'deki y değerlerine yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz.
4. Kotanjantoidin en küçük pozitif periyodu π'dir.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, yani işlev tektir.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk için.
7. Fonksiyon azalıyor.
8. Ctg x › 0, x ϵ için (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ için (π/2 + πk, πk).
10. Türev (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Sabit

Trigonometrik denklemleri çözme kavramı.

• Bir trigonometrik denklemi çözmek için, onu bir veya daha fazla temel trigonometrik denkleme dönüştürün. Trigonometrik denklemi çözmek, nihayetinde dört temel trigonometrik denklemi çözmeye gelir.

Temel trigonometrik denklemlerin çözümü.

• 4 tür temel trigonometrik denklem vardır:
• günah x = a; çünkü x = bir
• tan x = bir; ctg x = bir
• Temel trigonometrik denklemleri çözmek, birim çember üzerindeki çeşitli x konumlarına bakmanın yanı sıra bir dönüştürme tablosu (veya hesap makinesi) kullanmayı içerir.
• Örnek 1. sin x = 0.866. Bir dönüştürme tablosu (veya hesap makinesi) kullanarak şu yanıtı alırsınız: x = π/3. Birim çember başka bir cevap verir: 2π/3. Unutmayın: tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir, yani değerleri tekrarlanır. Örneğin, sin x ve cos x'in periyodikliği 2πn'dir ve tg x ve ctg x'in periyodikliği πn'dir. Yani cevap şöyle yazılır:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Örnek 2 cos x = -1/2. Bir dönüştürme tablosu (veya hesap makinesi) kullanarak şu yanıtı alırsınız: x = 2π/3. Birim çember başka bir cevap verir: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Örnek 3. tg (x - π/4) = 0.
• Cevap: x \u003d π / 4 + πn.
• Örnek 4. ctg 2x = 1.732.
• Cevap: x \u003d π / 12 + πn.

Trigonometrik denklemlerin çözümünde kullanılan dönüşümler.

• Trigonometrik denklemleri dönüştürmek için cebirsel dönüşümler (faktoring, homojen terimlerin indirgenmesi vb.) ve trigonometrik özdeşlikler kullanılır.
• Örnek 5. Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak, sin x + sin 2x + sin 3x = 0 denklemi, 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 denklemine dönüştürülür. Böylece, aşağıdaki temel trigonometrik denklemler çözülmesi gerekiyor: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Fonksiyonların bilinen değerlerinden açı bulma.

  • Trigonometrik denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrenmeden önce, bilinen fonksiyon değerlerinden açıların nasıl bulunacağını öğrenmeniz gerekir. Bu, bir dönüşüm tablosu veya hesap makinesi kullanılarak yapılabilir.
  • Örnek: çünkü x = 0,732. Hesap makinesi x = 42.95 derece cevabını verecektir. Birim daire, kosinüsü de 0,732'ye eşit olan ek açılar verecektir.

• Çözümü birim çember üzerinde bir kenara koyun.

  • Birim çember üzerinde trigonometrik denklemin çözümlerini koyabilirsiniz. Birim çember üzerindeki trigonometrik denklemin çözümleri, düzgün bir çokgenin köşeleridir.
  • Örnek: Birim çember üzerindeki x = π/3 + πn/2 çözümleri karenin köşeleridir.
  • Örnek: Birim çember üzerindeki x = π/4 + πn/3 çözümleri düzgün bir altıgenin köşeleridir.

• Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.

  • Verilen trigonometrik denklem sadece bir trigonometrik fonksiyon içeriyorsa, bu denklemi temel bir trigonometrik denklem olarak çözün. Belirli bir denklem iki veya daha fazla trigonometrik fonksiyon içeriyorsa, böyle bir denklemi çözmek için 2 yöntem vardır (dönüşüm olasılığına bağlı olarak).
    • Yöntem 1
  • Bu denklemi şu formun denklemine dönüştürün: f(x)*g(x)*h(x) = 0, burada f(x), g(x), h(x) temel trigonometrik denklemlerdir.
  • Örnek 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Çözüm. Sin 2x = 2*sin x*cos x çift açılı formülünü kullanarak sin 2x'i değiştirin.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Şimdi iki temel trigonometrik denklemi çözün: cos x = 0 ve (sin x + 1) = 0.
  • Örnek 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Çözüm: Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak, bu denklemi şu formun denklemine dönüştürün: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Şimdi iki temel trigonometrik denklemi çözün: cos 2x = 0 ve (2cos x + 1) = 0.
  • Örnek 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Çözüm: Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak, bu denklemi şu formun denklemine dönüştürün: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Şimdi iki temel trigonometrik denklemi çözün: cos 2x = 0 ve (2sin x + 1) = 0.
    • Yöntem 2
  • Verilen trigonometrik denklemi sadece bir trigonometrik fonksiyon içeren bir denkleme dönüştürün. Sonra bu trigonometrik fonksiyonu bazı bilinmeyenlerle değiştirin, örneğin, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, vb.).
  • Örnek 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Çözüm. Bu denklemde (cos^2 x)'i (1 - sin^2 x) (özdeşliğe göre) ile değiştirin. Dönüştürülen denklem şuna benzer:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x'i t ile değiştirin. Şimdi denklem şuna benzer: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Bu, iki köklü ikinci dereceden bir denklemdir: t1 = -1 ve t2 = 9/5. İkinci kök t2, fonksiyonun aralığını karşılamıyor (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Örnek 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Çözüm. tg x'i t ile değiştirin. Orijinal denklemi şu şekilde yeniden yazın: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Şimdi t'yi ve ardından t = tg x için x'i bulun.