Konu 6 Aritmetik polinomlar. Tek değişkenli polinomlar

MBOU Smolensk şehrinin "2 No'lu Açık (vardiyalı) okulu"

Bağımsız iş

konuyla ilgili: "Polinomlar"

7. sınıf

Gerçekleştirildi

matematik öğretmeni

Mishchenkova Tatyana Vladimirovna

Sözlü bağımsız çalışma No. 1 (hazırlık)

(öğrencileri “Polinom ve standart formu” konusunda yeni bilgilere hakim olmaya hazırlamak amacıyla yapılmıştır)

Seçenek 1.

a) 1,4a + 1– a 2 – 1,4 + B 2 ;

b) bir 3 – 3a +B + 2 ab – X;

c) 2aB + X – 3 ba – X.

Cevabınızı gerekçelendirin.

A) 2 A – 3 A +7 A;

b) 3x – 1+2x+7;

c) 2x– 3y+3X+2 sen.

a) 8xx;G) – 2a 2 ba

B) 10 nm;D) 5p 2 * 2p;

3'teaab; e) – 3 P * 1,5 P 3 .

seçenek 2

1. Aşağıdaki ifadelerdeki benzer terimleri adlandırın:

a) 8,3x – 7 – x 2 + 4 + yıl 2 ;

B)B 4 - 6 A +5 B 2 +2 A – 3 B 4 :

3'texy + sen – 2 xy – sen.

Cevabınızı gerekçelendirin.

2. İfadelerde benzer terimleri verin:

A) 10 D – 3 D – 19 D ;

b) 5x – 8 +4x + 12;

c) 2x – 4y + 7x + 3y.

3. Tek terimlileri standart forma indirgeyin ve tek terimlinin derecesini belirtin:

a) 10aaa;

B) 7 milyon;

V) 3 cca;

d) – 5X 2 yx;

8Q 2 * 3 Q;

e) – 7P * 0>5 Q 4 .

Sözlü bağımsız çalışma şartı ekranda veya panoda sunulur ancak bağımsız çalışma başlamadan önce metin kapalı tutulur.

Dersin başında bağımsız çalışma yapılır. Çalışma tamamlandıktan sonra bilgisayar veya kara tahta kullanılarak kendi kendine test yapılır.

Bağımsız çalışma No. 2

(öğrencilerin bir polinomu standart forma getirme ve polinomun derecesini belirleme becerilerini güçlendirmek amacıyla gerçekleştirilir)

seçenek 1

1. Polinomu standart forma indirgeyin:

a)x 2 y + yxy;

B) 3x 2 6 yıl 2 – 5x 2 7y;

11'deA 5 – 8 A 5 +3 A 5 + A 5 ;

d) 1,9X 3 – 2,9 X 3 – X 3 .

a) 3t 2 – 5 ton 2 – 11 ton – 3 ton 2 + 5t +11;

B)X 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x – 13.

4 X 2 – 1 saatX = 2.

4. Ek görev.

Yerine * Beşinci dereceden bir polinom elde etmek için böyle bir terim yazın.

X 4 + 2 X 3 – X 2 + 1 + *

seçenek 2

a) baba + bir 2 B;

B) 5x 2 8 yaşında 2 + 7x 2 3 yıl;

2'deM 6 + 5 M 6 – 8 M 6 – 11 M 6 ;

d) – 3.1sen 2 +2,1 sen 2 – sen 2. .

2. Benzer terimleri verin ve polinomun derecesini belirtin:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5;

B) 3 saat 2 +5hc – 7c 2 + 12 saat 2 – 6 saat.

3. Polinomun değerini bulun:

2 X 3 + 4 saatX=1.

4. Ek görev.

Yerine* Altıncı dereceden bir polinom elde etmek için böyle bir terim yazın.

X 3 – X 2 + X + * .

Seçenek 3

1. Polinomları standart forma indirgeyin:

a) 2aa 2 3b + a8b;

B) 8x3y (–5y) – 7x 2 4y;

20'dexy + 5 yx – 17 xy;

8ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Benzer terimleri verin ve polinomun derecesini belirtin:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3y 2 ;

B) 4b 2 + bir 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. Polinomun değerini bulun:

– 4 sen 5 – 3 saatsen= –1.

4. Ek görev.

Bir değişken içeren üçüncü dereceden bir polinom oluşturun.

Sözlü bağımsız çalışma No. 3 (hazırlık)

(öğrencileri “Polinomlarda toplama ve çıkarma” konusunda yeni bilgilere hakim olmaya hazırlamak amacıyla yapılmıştır)

seçenek 1

A) iki ifadenin toplamı 3A+ 1 veA – 4;

b) iki ifadenin farkı 5X– 2 ve 2X + 4.

3. Parantezleri genişletin:

A) sen – ( sen+ z);

B) (X – sen) + ( sen+ z);

V) (A – B) – ( C – A).

4. İfadenin değerini bulun:

A) 13,4 + (8 – 13,4);

b) – 1,5 – (4 – 1,5);

V) (A – B) – ( C – A).

seçenek 2

1. Bir ifade olarak yazın:

A) iki ifadenin toplamı 5A– 3 veA + 2;

b) iki ifadenin farkı 8sen– 1 ve 7sen + 1.

2. Başına “+” veya “–” işaretleri gelen parantezlerin açılması için bir kural oluşturun.

3. Genişletmekparantez:

a) a – (b+c);

B) (a – b) + (b+a);

V) (X – sen) – ( sen – z).

4. İfadenin değerini bulun:

A) 12,8 + (11 – 12,8);

b) – 8.1 – (4 – 8.1);

c) 10,4 + 3X – ( X+10.4) enX=0,3.

Çalışma tamamlandıktan sonra bilgisayar veya kara tahta kullanılarak kendi kendine test yapılır.

Bağımsız çalışma No. 4

(Polinomlarda toplama ve çıkarma becerilerini güçlendirmek amacıyla gerçekleştirilir)

seçenek 1

A) 5 X– 15u ve 8sen – 4 X;

7)X 2 – 5 X+3 ve 7X 2 – 5 X.

2. İfadeyi basitleştirin:

A) (2 A + 5 B) + (8 A – 11 B) – (9 B – 5 A);

* b) (8C 2 + 3 C) + (– 7 C 2 – 11 C + 3) – (–3 C 2 – 4).

3. Ek görev.

3x + 1 polinomuyla toplamı şuna eşit olacak bir polinom yazın

9x – 4.

seçenek 2

1. Polinomların toplamını ve farkını derleyin ve bunları standart forma getirin:

a) 21y – 7xVe8x – 4y;

B) 3 A 2 + 7a – 5Ve3 A 2 + 1.

2. İfadeyi basitleştirin:

A) (3 B 2 + 2 B) + (2 B 2 – 3 B - 4) – (– B 2 +19);

* b) (3B 2 + 2 B) + (2 B 2 – 3 B – 4) – (– B 2 + 19).

3. Ek görev.

4x – 5 polinomuyla toplamı şuna eşit olacak bir polinom yazın

9x – 12.

Seçenek 3

1. Polinomların toplamını ve farkını derleyin ve bunları standart forma getirin:

A) 0,5 X+ 6у ve 3X – 6 sen;

2)sen 2 +8 sen– 11 ve 3sen 2 – 6 sen + 3.

2. İfadeyi basitleştirin:

A) (2 X + 3 sen – 5 z) – (6 X –8 sen) + (5 X – 8 sen);

* B) (A 2 – 3 ab + 2 B 2 ) – (– 2 A 2 – 2 ab – B 2 ).

3. Ek görev.

7x + 3 polinomuyla toplamı şuna eşit olacak bir polinom yazınX 2 + 7 X – 15.

Seçenek 4

1. Polinomların toplamını ve farkını derleyin ve bunları standart forma getirin:

A) 0,3 X + 2 Bve 4X – 2 B;

5)sen 2 – 3 senve 8sen 2 + 2 sen – 11.

2. İfadeyi basitleştirin:

a) (3x – 5y – 8z) – (2x + 7y) + (5z – 11x);

* B) (2 kere 2 –xy + y 2 ) - (X 2 – 2xy – y 2 ).

3. Ek görev.

Polinomla toplamı 2 olacak şekilde bir polinom yazınX 2 + X+3 ve eşitti 2 X + 3.

Dersin sonunda bağımsız çalışma yapılır. Öğretmen, bu konu üzerinde ek olarak çalışmanın gerekli olup olmadığını belirleyerek çalışmayı kontrol eder.

Bağımsız çalışma No. 5

(bir polinomu parantez içine alma becerilerini geliştirmek amacıyla gerçekleştirilir)

seçenek 1

A ve diğeri onu içermiyor:

a) balta + ay + x + y;

B)balta 2 + x + a + 1.

Örnek çözümler:

m + am + n – an = (m+n) + (am – an).

B

a) bm – bn – m – n;

B) bx + by + x –y.

Örnek çözümler:

ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).

seçenek 2

1. Bir polinomun iki polinomun toplamı olduğunu düşünün; bunlardan biri şu harfi içerir:B ve diğeri onu içermiyor:

a) bx + x +2x + 2y;

B)bx 2 – x + a – b.

Örnek çözüm:

2 M + BM 3 + 3 – B = (2 M+3) + (BM 3 – B).

2. Bir polinomu, ilki harfini içeren iki polinomun farkı olarak düşünün.A , diğeri ise değil (parantezleri zihinsel olarak açarak sonucu kontrol edin):

a) ac – ab – c + b;

B) am + an + m – n;

Örnek çözümler:

x + ay – y – ax = (ay – ax) – (–x + y) = (ay – ay) – (y–x).

Seçenek 3

1. Bir polinomun iki polinomun toplamı olduğunu düşünün; bunlardan biri şu harfi içerir:B ve diğeri onu içermiyor:

a) b 3 -B 2 – b+3y – 1;

B) - B 2 -A 2 – 2ab + 2.

Örnek çözüm:

– 2 B 2 – M 2 – 3 BM + 7 = (–2 B 2 – 3 BM) + (– M 2 + 7) = (–2 B 2 – 3 BM) + (7– M 2 ).

2. Bir polinomu, ilki harfini içeren iki polinomun farkı olarak düşünün.B , diğeri ise değil (parantezleri zihinsel olarak açarak sonucu kontrol edin):

a) ab + ac – b – c;

B) 2b + a 2 -B 2 –1;

Örnek çözüm:

3 B + M – 1 – 2 B 2 = (3 B – 2 B 2 ) – (1– M).

Seçenek 4

(güçlü öğrenciler için örnek çözüm olmadan verilir)

1. Pozitif katsayılı iki polinomun toplamı olarak bir polinom düşünün:

a) balta + ile – c – d;

B) 3x –3 yıl +z – a.

2. İfadeleri bir şekilde iki terimli ve üç terimli arasındaki fark olarak sunun:

a)x 4 - 2 kere 3 – 3x 2 + 5x – 4;

B) 3 A 5 – 4a 3 + 5a 2 –3a +2.

Dersin sonunda bağımsız çalışma yapılır. Çalışma tamamlandıktan sonra anahtar kullanılarak kendi kendine test ve işin öz değerlendirmesi kullanılır. Görevi bağımsız olarak tamamlayan öğrenciler defterlerini kontrol için öğretmene verirler.

C bağımsız çalışma No. 6

(bir monomunun bir polinomla çarpılmasına ilişkin bilgi ve becerilerin pekiştirilmesi ve uygulanması amacıyla gerçekleştirilir)

seçenek 1

1. Çarpmayı gerçekleştirin:

A) 3 B 2 (B –3);

5)X (X 4 + X 2 – 1).

2. İfadeleri basitleştirin:

a) 4 (x+1) +(x+1);

B) 3a(a – 2) – 5a(a+3).

3. Karar vermek denklem:

20 +4(2 X–5) =14 X +12.

4. Ek görev.

(M+ N) * * = mk + nk.

seçenek 2

1. Çarpmayı gerçekleştirin:

A) - 4 X 2 (X 2 –5);

b) -5A (A 2 - 3 A – 4).

2. İfadeleri basitleştirin:

A) (A–2) – 2(A–2);

3)X (8 sen +1) – 8 X(3 sen–5).

3. Denklemi çözün:

3(7 X–1) – 2 =15 X –1.

4. Ek görev.

Eşitliğin sağlanması için * işareti yerine hangi tek terim girilmelidir:

(B+ C – M) * * = ab + AC – ben.

Seçenek 3

1. Çarpmayı gerçekleştirin:

A) – 7 X 3 (X 5 +3);

2)M 4 (M 5 - M 3 – 1).

2. İfadeleri basitleştirin:

a) (x–3) – 3(x–3);

B) 3c (c + d) + 3d (c–d).

3. Denklemi çözün:

9 X – 6(X – 1) =5(X +2).

4. Ek görev.

Eşitliğin sağlanması için * işareti yerine hangi tek terim girilmelidir:

* * (X 2 – xy) = X 2 sen 2 – xy 3 .

Seçenek 4

1. Çarpmayı gerçekleştirin:

A) – 5 X 4 (2 X – X 3 );

B)X 2 (X 5 – X 3 + 2 X);

2. İfadeleri basitleştirin:

A) 2 X(X+1) – 4 X(2– X);

5)B (3 A – B) – 3 A(5 B+ A).

3. Denklemi çözün:

-8(11 – 2 X) +40 =3(5 X - 4).

4. Ek görev.

Eşitliğin sağlanması için * işareti yerine hangi tek terim girilmelidir:

(X – 1) * * = X 2 sen 2 – xy 2 .

C bağımsız çalışma No. 7

(Denklem ve problem çözme becerilerini geliştirmek amacıyla yapılır)

seçenek 1

Denklemi çözün:

+ = 6

Çözüm:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 X – 4(X – 1) =120,

5 X – 4 X + 4=120,

X=120 – 4,

X=116.

Cevap: 116.

Denklemi çözün:

+ = 4

2. Sorunu çözün:

Araba köyden istasyona yolculukta bisikletçiye göre 1 saat daha az zaman harcadı. Araba ortalama 60 km/saat hızla gidiyorsa, köyden istasyona olan mesafeyi bulun. Ve bisikletçi 20 km/saattir.

seçenek 2

1. Örnek çözümü kullanarak görevi tamamlayın.

Denklemi çözün:

– = 1

Çözüm:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 X - (X – 3) =8,

2 X – 4 X + 3=8,

X = 8 – 3,

X=5.

Cevap: 5.

Denklemi çözün:

+ = 2

2. Sorunu çözün:

Usta, çırağa göre saatte 8 parça daha fazla üretir. Çırak 6 saat, usta ise 8 saat çalıştı ve birlikte 232 parça yaptılar. Öğrenci saatte kaç parça üretti?

Çözüm için talimatlar:

a) tabloyu doldurun;

8 parça daha

b) bir denklem yazın;

c) denklemi çözün;

d) cevabı kontrol edin ve yazın.

Seçenek 3

(Güçlü öğrenciler için örneksiz verilmiştir)

1. Denklemi çözün:

– = 2

2. Sorunu çözün:

Patatesler 3 kg'lık torbalara konularak yemek odasına getirildi. 5 kg'lık torbalarda paketlenseydi 8 torba daha az gerekirdi. Kantine kaç kilo patates getirildi?

Dersin sonunda bağımsız çalışma yapılır. Çalışmayı tamamladıktan sonra anahtarı kullanarak kendi kendine test kullanılır.

Ev ödevi olarak öğrencilere yaratıcı bağımsız çalışmalar sunulur:

Denklemi kullanarak çözülebilecek bir problem düşünün

30 X = 60(X– 4) ve çözün.

Bağımsız çalışma No. 8

(ortak faktörü parantez dışına çıkaracak beceri ve yeteneklerin geliştirilmesi amacıyla gerçekleştirilir)

seçenek 1

A)mx + Benim; D)X 5 – X 4 ;

5)ab – 5 B; e 4X 3 – 8 X 2 ;

V) – 4 dk + n; *Ve) 2c 3 + 4c 2 + c;

G) 7ab – 14a 2 ; * H)balta 2 + bir 2 .

2. Ek görev.

2 – 2 18 14'e bölünebilir.

seçenek 2

1. Ortak faktörü parantezlerden çıkarın (hareketlerinizi çarparak kontrol edin):

A) 10x + 10y;D)A 4 + bir 3 ;

B) 4x + 20y;e) 2 kere 6 – 4x 3 ;

V) 9ab + 3b; *Ve)y 5 + 3 yıl 6 + 4 yıl 2 ;

G) 5xy 2 + 15y; *H) 5bc 2 +bc.

2. Ek görev.

İfadenin değerinin 8 olduğunu kanıtlayın 5 – 2 11 17'ye bölünebilir.

Seçenek 3

1. Ortak faktörü parantezlerden çıkarın (hareketlerinizi çarparak kontrol edin):

A) 18ay + 8ax;D) M 6 +m 5 ;

B) 4ab - 16a;e) 5z 4 – 10z 2 ;

4'temilyon + 5 N; * g) 3X 4 – 6 X 3 + 9 X 2 ;

3X 2 sen– 9 X; * H)xy 2 +4 xy.

2. Ek görev.

İfadenin değerinin 79 olduğunu kanıtlayın 2 + 79 * 11 sayısı 30'a bölünür.

Seçenek 4

1. Ortak faktörü parantezlerden çıkarın (hareketlerinizi çarparak kontrol edin):

a) – 7xy + 7 sen; D)sen 7 - sen 5 ;

8)milyon + 4 N; 16z 5 – 8 z 3 ;

20'deA 2 + 4 balta; * g) 4X 2 – 6 X 3 + 8 X 4 ;

5X 2 sen 2 + 10 X; * H)xy +2 xy 2 .

2. Ek görev.

İfadenin değerinin 313 olduğunu kanıtlayın * 299 – 313 2 7'ye bölünebilir.

CDersin başında bağımsız çalışma yapılır. İş tamamlandıktan sonra anahtar kontrolü kullanılır.

Yazışma okulu 7. sınıf. Görev No.2.

Metodolojik kılavuz No. 2.

Temalar:

    Polinomlar. Polinomların toplamı, farkı ve çarpımı;

    Denklem ve problemlerin çözümü;

    Polinomların çarpanlarına ayrılması;

    Kısaltılmış çarpma formülleri;

    Bağımsız çözüm için problemler.

    Polinomlar. Polinomların toplamı, farkı ve çarpımı.

Tanım. Polinom monomların toplamı denir.

Tanım. Bir polinomu oluşturan monomlara denir polinomun üyeleri.

Tek terimliyi polinomla çarpmak .

    Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.

Bir polinomun bir polinomla çarpılması .

    Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini başka bir polinomun her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.

Problem çözme örnekleri:

    Ifadeyi basitleştir:

Çözüm.

Çözüm:

Çünkü koşula göre, katsayı sıfıra eşit olmalı, o zaman

Cevap: -1.

    Denklemleri ve problemleri çözme.

Tanım . Değişken içeren eşitliğe denir tek değişkenli denklem veya bir bilinmeyenli denklem.

Tanım . Bir denklemin kökü (bir denklemin çözümü) denklemin doğru olduğu değişkenin değeridir.

Bir denklemi çözmek, birçok kök bulmak anlamına gelir.

Tanım. Formun denklemi
, Nerede X değişken, A Ve B – bazı sayılara tek değişkenli doğrusal denklemler denir.

Tanım.

Bir demet Doğrusal bir denklemin kökleri şunları yapabilir:


Problem çözme örnekleri:

    Verilen 7 sayısı denklemin kökü müdür:

Çözüm:

Dolayısıyla x=7 denklemin köküdür.

Cevap: Evet.

    Denklemleri çözün:

Çözüm:

Cevap: -12

Cevap: -0,4

    İskeleden saatte 12 km hızla bir tekne, yarım saat sonra da saatte 20 km hızla bir vapur bu yöne doğru hareket etti. Vapur şehre tekneden 1,5 saat önce varırsa iskeleden şehre olan mesafe ne kadar olur?

Çözüm:

İskeleden şehre olan mesafeyi x ile gösterelim.

Hız (km/saat)

Zaman (H)

Yol (km)

Bot

Vapur

Sorunun koşullarına göre tekne vapurdan 2 saat daha fazla zaman harcadı (gemi yarım saat sonra iskeleden ayrılıp tekneden 1,5 saat önce şehre vardığı için).

Denklemi oluşturup çözelim:

60 km – iskeleden şehre olan mesafe.

Cevap: 60 km.

    Dikdörtgenin uzunluğu 4 cm azaltılarak alanı dikdörtgenin alanından 12 cm² daha az olan bir kare elde edildi. Dikdörtgenin alanını bulun.

Çözüm:

Dikdörtgenin bir kenarı x olsun.

Uzunluk

Genişlik

Kare

Dikdörtgen

x(x-4)

Kare

(x-4)(x-4)

Problemin koşullarına göre karenin alanı dikdörtgenin alanından 12 cm² küçüktür.

Denklemi oluşturup çözelim:

Dikdörtgenin uzunluğu 7 cm'dir.

(cm²) – dikdörtgenin alanı.

Cevap: 21 cm².

    Turistler planlanan rotayı üç günde kat etti. İlk gün planlanan rotanın %35'ini, ikinci günde birinciden 3 km daha fazlasını ve üçüncü günde kalan 21 km'yi kat ettiler. Güzergah ne kadar sürüyor?

Çözüm:

Tüm güzergahın uzunluğu x olsun.

1 gün

2. gün

3 gün

Yol uzunluğu

0,35x+3

Yolun toplam uzunluğu x km idi.

Böylece denklemi oluşturup çözüyoruz:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

Rotanın tamamı 70 km uzunluğunda.

Cevap: 70 km.

    Polinomların çarpanlarına ayrılması.

Tanım . Bir polinomun iki veya daha fazla polinomun çarpımı olarak temsil edilmesine çarpanlara ayırma denir.

    Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak .

Örnek :

    Gruplama yöntemi .

Gruplama her grubun ortak bir çarpanı olacak şekilde yapılmalı; ayrıca her gruptaki ortak çarpan parantezlerden çıkarıldıktan sonra ortaya çıkan ifadelerin de ortak bir çarpanı olmalıdır.

Örnek :

    Kısaltılmış çarpma formülleri.

    İki ifadenin farkının toplamı ile çarpımı bu ifadelerin karelerinin farkına eşittir.

    İki ifadenin toplamının karesi, birinci ifadenin karesi artı birinci ve ikinci ifadelerin çarpımının iki katı artı ikinci ifadenin karesine eşittir. çözümler. 1. Bölmenin kalanını bulun polinom x6 – 4x4 + x3 ... yok çözümler, A kararlar ikincisi (1; 2) ve (2; 1) çiftleridir. Cevap: (1; 2) , (2; 1). Görevler İçin bağımsız çözümler. Sistemi çözün...

  • 10-11. Sınıflar için cebir ve temel analize yönelik yaklaşık müfredat (profil düzeyi) Açıklayıcı not

    programı

    Her paragraf gerekli miktarı verir görevler İçin bağımsız çözümler artan zorluk sırasına göre. ...ayrıştırma algoritması polinom binom kuvvetlerine göre; polinomlar karmaşık katsayılarla; polinomlar geçerli...

  • Seçmeli ders “Standart dışı problemlerin çözümü. 9. sınıf" Bir matematik öğretmeni tarafından tamamlandı

    Seçmeli ders

    Denklem P(x) = Q(X) denklemine eşdeğerdir; burada P(x) ve Q(x) polinomlar tek değişkenli x. Q(x)'i sol tarafa aktarıyoruz... = . CEVAP: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. GÖREVLER İÇİN BAĞIMSIZ ÇÖZÜMLER. Aşağıdaki denklemleri çözün: x4 – 8x...

  • 8. sınıf matematik seçmeli programı

    programı

    Cebir teoremi, Vieta teoremi İçin ikinci dereceden üç terimli ve İçin polinom keyfi derece, rasyonel... malzeme üzerine teorem. Bu sadece bir liste değil görevler İçin bağımsız çözümler ama aynı zamanda bir kalkınma modeli oluşturma görevi de...

Tanım 3.3. Tek terimli sayıların, değişkenlerin ve doğal üslü kuvvetlerin çarpımı olan bir ifadedir.

Örneğin, ifadelerin her biri,
,
bir monomiyaldir.

Monomiyalin sahip olduğunu söylüyorlar standart görünüm , ilk etapta yalnızca bir sayısal faktör içeriyorsa ve içindeki özdeş değişkenlerin her çarpımı bir derece ile temsil ediliyorsa. Standart formda yazılan bir monomiyalin sayısal faktörüne denir monom katsayısı . Monomiyalin gücü adına tüm değişkenlerinin üslerinin toplamı denir.

Tanım 3.4. Polinom monomların toplamı denir. Bir polinomun oluşturulduğu monomlara denirpolinomun üyeleri .

Benzer terimlere (bir polinomdaki tek terimlilere) denir polinomun benzer terimleri .

Tanım 3.5. Standart formun polinomu tüm terimlerin standart formda yazıldığı ve benzer terimlerin verildiği polinom denir.Standart formdaki bir polinomun derecesi içerdiği monomların kuvvetlerinin en büyüğü olarak adlandırılır.

Örneğin, dördüncü derecenin standart formunun bir polinomudur.

Tek terimli ve polinomlarla ilgili eylemler

Polinomların toplamı ve farkı standart formda bir polinom haline dönüştürülebilir. İki polinom toplanırken tüm terimleri yazılır ve benzer terimler verilir. Çıkarma işlemi sırasında, çıkarılan polinomun tüm terimlerinin işaretleri tersine çevrilir.

Örneğin:

Bir polinomun terimleri gruplara ayrılabilir ve parantez içine alınabilir. Bu, parantezlerin açılmasının tersi olan özdeş bir dönüşüm olduğundan, aşağıdaki denklem kurulur: basamaklama kuralı: parantezlerin önüne artı işareti konulursa parantez içindeki tüm terimler işaretleriyle birlikte yazılır; Parantezlerin önüne eksi işareti konulursa parantez içindeki tüm terimler zıt işaretlerle yazılır.

Örneğin,

Bir polinomu bir polinomla çarpma kuralı: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini başka bir polinomun her terimiyle çarpmak ve elde edilen çarpımları eklemek yeterlidir.

Örneğin,

Tanım 3.6. Tek değişkenli polinom derece formun ifadesi denir

Nerede
- aranan herhangi bir numara polinom katsayıları , Ve
,– negatif olmayan tamsayı.

Eğer
, o zaman katsayı isminde polinomun baş katsayısı
, tek terimli
- onun Kıdemli Üye , katsayı – Ücretsiz Üye .

Bir değişken yerine bir polinoma
gerçek sayıyı değiştir , sonuç gerçek bir sayı olacaktır
buna denir polinomun değeri
en
.

Tanım 3.7. Sayı ismindepolinomun kökü
, Eğer
.

Bir polinomu bir polinoma bölmeyi düşünün;
Ve - tamsayılar. Polinom temettüsünün derecesi ise bölme mümkündür
bölen polinomun derecesinden az değil
, yani
.

Bir polinomu bölme
bir polinoma
,
, böyle iki polinomun bulunması anlamına gelir
Ve
, ile

Bu durumda polinom
derece
isminde polinom bölümü ,
– kalan ,
.

Açıklama 3.2. Bölen ise
–sıfır polinom değilse bölme
Açık
,
, her zaman mümkündür ve bölüm ve kalan benzersiz bir şekilde belirlenir.

Açıklama 3.3. Durumunda
herkesin önünde , yani

bunun bir polinom olduğunu söylüyorlar
tamamen bölünmüş(veya paylaşımlar)bir polinoma
.

Polinomların bölünmesi, çok basamaklı sayıların bölünmesine benzer şekilde gerçekleştirilir: önce, bölen polinomunun baş terimi, bölen polinomunun baş terimine bölünür, daha sonra bu terimlerin bölümünden elde edilen bölüm, bölüm polinomunun baş terimi bölen polinom ile çarpılır ve elde edilen ürün, bölen polinomundan çıkarılır. Sonuç olarak, bir polinom elde edilir - bölen polinomuna benzer şekilde bölünen ilk kalan ve bölüm polinomunun ikinci terimi bulunur. Bu işleme sıfır kalan elde edilene veya kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük olana kadar devam edilir.

Bir polinomu bir binoma bölerken Horner şemasını kullanabilirsiniz.

Horner şeması

Diyelim ki bir polinomu bölmek istiyoruz

binom ile
. Bölme bölümünü bir polinom olarak gösterelim

ve geri kalanı . Anlam , polinom katsayıları
,
ve geri kalanı Bunu aşağıdaki formda yazalım:

Bu şemada katsayıların her biri
,
,
, …,alt satırdaki önceki sayının sayıyla çarpılmasıyla elde edilir ve ortaya çıkan sonuca, istenen katsayının üzerindeki üst satırda karşılık gelen sayının eklenmesi. Herhangi bir derece varsa polinomda yoksa karşılık gelen katsayı sıfırdır. Katsayıları verilen şemaya göre belirledikten sonra bölümü yazıyoruz.

ve bölmenin sonucu ise
,

veya ,

Eğer
,

Teorem 3.1. İndirgenemez bir kesir elde etmek için (

,

)polinomun köküydü
tamsayı katsayıları ile sayının olması gerekir serbest terimin böleniydi ve numara - baş katsayının böleni .

Teorem 3.2. (Bezout'un teoremi ) Kalan bir polinomun bölünmesinden
binom ile
polinomun değerine eşit
en
, yani
.

Bir polinomu bölerken
binom ile
eşitliğimiz var

Bu özellikle şu durumlarda doğrudur:
, yani
.

Örnek 3.2. Bölünür
.

Çözüm. Horner'ın şemasını uygulayalım:

Buradan,

Örnek 3.3. Bölünür
.

Çözüm. Horner'ın şemasını uygulayalım:

Buradan,

,

Örnek 3.4. Bölünür
.

Çözüm.

Sonuç olarak elde ederiz

Örnek 3.5. Bölmek
Açık
.

Çözüm. Polinomları sütunlara bölelim:

Sonra alırız

.

Bazen bir polinomu iki veya daha fazla polinomun eşit çarpımı olarak temsil etmek yararlı olabilir. Böyle bir kimlik dönüşümüne denir bir polinomu çarpanlarına ayırma . Bu tür ayrıştırmanın ana yöntemlerini ele alalım.

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarıyoruz. Ortak çarpanı parantezlerden çıkararak bir polinomu çarpanlara ayırmak için şunları yapmalısınız:

1) ortak çarpanı bulun. Bunun için polinomun tüm katsayıları tam sayı ise, polinomun tüm katsayılarının en büyük modulo ortak böleni ortak faktörün katsayısı olarak kabul edilir ve polinomun tüm terimlerinde yer alan her değişken en büyüğü ile alınır. bu polinomdaki üssü;

2) belirli bir polinomu ortak bir faktöre bölme bölümünü bulun;

3) Genel faktörün çarpımını ve ortaya çıkan bölümü yazın.

Üyelerin gruplandırılması. Gruplandırma yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlara ayırırken, terimleri iki veya daha fazla gruba bölünür, böylece her biri bir çarpıma dönüştürülebilir ve sonuçta ortaya çıkan çarpımların ortak bir çarpanı olur. Daha sonra yeni dönüştürülen terimlerin ortak çarpanlarının parantez içine alınması yöntemine geçilir.

Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması. Polinomun genişletileceği durumlarda çarpanlara ayırma, herhangi bir kısaltılmış çarpma formülünün sağ tarafı biçimindedir; çarpanlarına ayırma, farklı bir sırada yazılan karşılık gelen formül kullanılarak elde edilir.

İzin vermek

, o zaman aşağıdakiler doğrudur kısaltılmış çarpma formülleri:

İçin

:

Eğer garip (

):

Newton binom:

Nerede
– kombinasyon sayısı İle .

Yeni yardımcı elemanların tanıtılması. Bu yöntem, bir polinomun, kendisine tamamen eşit olan ancak farklı sayıda terim içeren başka bir polinomla değiştirilmesinden, iki zıt terimin getirilmesinden veya herhangi bir terimin benzer tek terimlilerin aynı eşit toplamı ile değiştirilmesinden oluşur. Değiştirme, terimleri gruplandırma yönteminin elde edilen polinoma uygulanabileceği şekilde yapılır.

Örnek 3.6..

Çözüm. Bir polinomun tüm terimleri ortak bir faktör içerir
. Buradan,.

Cevap: .

Örnek 3.7.

Çözüm. Katsayıyı içeren terimleri ayrı ayrı gruplandırıyoruz ve içeren terimler . Grupların ortak çarpanlarını parantez dışında alırsak şunu elde ederiz:

.

Cevap:
.

Örnek 3.8. Bir polinomu çarpanlara ayırın
.

Çözüm. Uygun kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Cevap: .

Örnek 3.9. Bir polinomu çarpanlara ayırın
.

Çözüm. Gruplandırma yöntemini ve karşılık gelen kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

.

Cevap: .

Örnek 3.10. Bir polinomu çarpanlara ayırın
.

Çözüm. Değiştireceğiz Açık
, terimleri gruplandırın, kısaltılmış çarpma formüllerini uygulayın:

.

Cevap:
.

Örnek 3.11. Bir polinomu çarpanlara ayırın

Çözüm.Çünkü ,
,
, O

Cebir 7. sınıfın bu bölümünde “Polinomlar” konulu okul derslerini çalışabilirsiniz. Polinomlar üzerinde aritmetik işlemler."

Cebir 7. sınıf “Polinomlar” üzerine eğitici video dersleri. Polinomlarda aritmetik işlemler" dersi Logos LV okulunun öğretmeni Valentin Alekseevich Tarasov tarafından verilmektedir. Cebirdeki diğer konuları da inceleyebilirsiniz

Bir polinomun özel durumu olarak derece

Bu derste temel kavramlar ve tanımlar tartışılacak, karmaşık ve hacimli bir konunun incelenmesi için temel hazırlanacak, yani: dereceler - tanımlar, özellikler, teoremler ile ilgili teorik materyali hatırlayacağız ve tekniği pekiştirmek için birkaç örnek çözeceğiz .

Polinomların standart forma indirgenmesi. Tipik görevler

Bu derste, bu konunun temel tanımlarını hatırlayacağız ve bazı tipik problemleri ele alacağız, yani bir polinomu standart bir forma indirgemek ve değişkenlerin verilen değerleri için sayısal bir değer hesaplamak. Çeşitli problem türlerini çözmek için standart forma indirgemenin kullanılacağı birkaç örnek çözeceğiz.

Polinomların toplanması ve çıkarılması. Tipik görevler

Bu derste polinomlarda toplama ve çıkarma işlemleri incelenecek, toplama ve çıkarma kuralları formüle edilecektir. Örnekler dikkate alınır ve bazı tipik problemler ve denklemler çözülür ve bu işlemleri gerçekleştirme becerileri pekiştirilir.

Bir polinomun bir tek terimle çarpılması. Tipik görevler

Bu derste, polinomların çarpımını incelemenin temeli olan bir polinomu bir tek terimle çarpma işlemini inceleyeceğiz. Çarpmanın dağılım yasasını hatırlayalım ve herhangi bir polinomu bir tek terimle çarpma kuralını formüle edelim. Derecelerin bazı özelliklerini de hatırlayalım. Ek olarak, çeşitli örnekler uygulanırken tipik hatalar formüle edilecektir.

Binomların çarpılması. Tipik görevler

Bu derste en basit polinomları (binomları) çarpma işlemiyle tanışacağız ve bunların çarpım kuralını formüle edeceğiz. Bu işlemi kullanarak kısaltılmış çarpma için bazı formüller türetelim. Ek olarak, çok sayıda örneği ve tipik problemleri, yani bir ifadeyi basitleştirme problemini, bir hesaplama problemini ve denklemleri çözeceğiz.

Trinomiallerin çarpılması. Tipik görevler

Bu derste üç terimli sayıları çarpma işlemine bakacağız, üç terimli sayıları çarpma kuralını çıkaracağız ve aslında genel olarak polinomları çarpma kuralını formüle edeceğiz. Polinomların çarpımına daha detaylı geçebilmek için bu konuyla ilgili birkaç örnek çözelim.

Bir polinomun bir polinomla çarpılması

Bu derste polinomlarla çarpma konusunda öğrendiğimiz her şeyi hatırlayacağız, bazı sonuçları özetleyeceğiz ve genel bir kural formüle edeceğiz. Bundan sonra polinomlarla çarpma tekniğini güçlendirmek için bir dizi örnek uygulayacağız.

Sözlü problemlerde polinomların çarpılması

Bu derste matematiksel modelleme yöntemini hatırlayacağız ve onun yardımıyla problemleri çözeceğiz. Bir metin probleminin koşullarından polinomlar ve onlarla ifadeler oluşturmayı ve bu problemleri çözmeyi öğreneceğiz; bu, polinomlar hakkında edinilen bilgilerin daha karmaşık çalışma türlerinde uygulanması anlamına gelir.

Geometri elemanlarıyla ilgili problemlerde polinomların çarpılması

Bu derste matematiksel modelleme yöntemini kullanarak geometri unsurlarıyla sözlü problemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Bunu yapmak için öncelikle temel geometrik gerçekleri ve problem çözme aşamalarını hatırlayalım.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Kare toplamı ve kare farkı

Bu derste toplamın karesi ve farkın karesi formüllerini tanıyıp bunları türeteceğiz. Toplamın karesi formülünü geometrik olarak ispatlayalım. Ayrıca bu formülleri kullanarak birçok farklı örneği çözeceğiz.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Karelerin farkı

Bu dersimizde daha önce öğrendiğimiz kısaltılmış çarpma formüllerini yani toplamın karesi ve farkın karesini hatırlayacağız. Kareler farkının formülünü türetelim ve bu formülü kullanarak birçok farklı tipik problemi çözelim. Ayrıca çeşitli formüllerin karmaşık uygulamasını içeren problemleri çözeceğiz.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Küp farkı ve küp toplamı

Bu dersimizde kısaltılmış çarpma formüllerini incelemeye devam edeceğiz, yani küp formüllerinin farkı ve toplamına bakacağız. Ayrıca bu formülleri kullanarak çeşitli tipik problemleri çözeceğiz.

Kısaltılmış çarpma formüllerinin ortak kullanımı

Bu video dersi, "Kısaltılmış çarpma formüllerinin birleşik uygulaması" konusunu bağımsız olarak incelemek isteyenler için faydalı olacaktır. Bu video dersiyle önceki derslerde edindiğiniz bilgileri özetleyebilecek, derinleştirebilecek ve sistematik hale getirebileceksiniz. Öğretmen size kısaltılmış çarpma formüllerinin birlikte nasıl kullanılacağını öğretecektir.

Artan karmaşıklıktaki problemlerde kısaltılmış çarpma formülleri. Bölüm 1

Bu derste oldukça karmaşık bir geometrik problemi çözmek için polinomlar ve kısaltılmış çarpma formülleri hakkındaki bilgimizi uygulayacağız. Bu, polinomlarla çalışma becerilerimizi güçlendirmemize olanak tanıyacaktır.

Artan karmaşıklıktaki problemlerde kısaltılmış çarpma formülleri. Bölüm 2

Bu dersimizde kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak karmaşık problemlere bakacağız ve tekniği pekiştirmek için birçok farklı örnek uygulayacağız.

Kısaltılmış çarpma formülünü kullanan paralel yüzlü geometrik problem

Bu video dersinde herkes "Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak paralel yüzlü geometrik problem" konusunu çalışabilecek. Bu aktivitede öğrenciler paralelyüzlü için kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak pratik yapacaklar. Özellikle öğretmen, paralel boru üzerinde sökülüp çözülmesi gereken geometrik bir problem verecektir.

Bir polinomun tek terimliye bölünmesi

Bu derste, bir tek terimliyi bir tek terimliye bölme kuralını hatırlayacağız ve temel destekleyici gerçekleri formüle edeceğiz. Halihazırda bilinenlere biraz teorik bilgi ekleyelim ve bir polinomu tek terimliye bölme kuralını türetelim. Bundan sonra, bir polinomu bir tek terime bölme tekniğinde ustalaşmak için değişen karmaşıklıktaki birkaç örneği uygulayacağız.

Hedefler: kapsanan materyalin genelleştirilmesi ve pekiştirilmesi: polinom kavramını, bir polinomu bir polinomla çarpma kuralını tekrarlayın ve test çalışması sırasında bu kuralı pekiştirin, denklemleri ve denklemleri kullanarak problemleri çözme becerilerini pekiştirin.

Teçhizat: poster “Genç yaşlardan itibaren kendisi için düşünen ve düşünen kişi daha sonra daha güvenilir, daha güçlü, daha akıllı olur” (V. Shukshin). Tepegöz, manyetik tahta, bulmaca, test kartları.

Ders planı.

1. Organizasyon anı.
2. Ödevleri kontrol etmek.
3. Sözlü alıştırmalar (bulmaca).
4. Konuyla ilgili alıştırmaların çözülmesi.
5. “Polinomlar ve bunlar üzerindeki işlemler” konusunu test edin (4 seçenek).
6. Ders özeti.
7. Ödev.

Dersler sırasında

I. Organizasyon anı

Sınıftaki öğrenciler 4-5 kişilik gruplara ayrılır, grubun en büyüğü seçilir.

II. Ödev kontrol ediliyor.

Öğrenciler ödevlerini evde bir karta hazırlarlar. Her öğrenci çalışmalarını tepegöz aracılığıyla kontrol eder. Öğretmen, öğrencinin ödevini kendisi değerlendirmeyi teklif eder ve değerlendirme kriterini belirterek rapor sayfasına bir not koyar: “5” ─ görev doğru ve bağımsız olarak tamamlandı; “4” ─ görev doğru ve eksiksiz bir şekilde tamamlandı, ancak ebeveynlerin veya sınıf arkadaşlarının yardımıyla; Görev tamamlanırsa diğer tüm durumlarda “3” ─. Görev tamamlanmadıysa bir çizgi koyabilirsiniz.

III. Sözlü egzersizler.

1) Teorik soruları gözden geçirmek için öğrencilere bir bulmaca sunulur. Bulmaca grup tarafından sözlü olarak çözülür ve cevaplar farklı gruplardan öğrenciler tarafından verilir. Derecelendirmeler veriyoruz: “5” ─ 7 doğru kelime, “4” ─ 5,6 doğru kelime, “3” ─ 4 doğru kelime.

Bulmaca soruları: (bkz. Ek 1)

  1. Bir tek terimliyi bir polinomla çarparken kullanılan çarpma özelliği;
  2. bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemi;
  3. değişkenin herhangi bir değeri için doğru olan bir eşitlik;
  4. tek terimlilerin toplamını temsil eden bir ifade;
  5. harf kısmı aynı olan terimler;
  6. denklemin gerçek eşitliğe dönüştüğü değişkenin değeri;
  7. Tek terimlilerin sayısal faktörü.

2) Şu adımları izleyin:

3. Dikdörtgenin uzunluğu 4 cm azaltılır ve genişliği 7 cm artırılırsa alanı dikdörtgenin alanından 100 cm2 daha büyük olacak bir kare elde edersiniz. Meydanın kenarını belirleyin. (Karenin bir kenarı 24 cm'dir.)

Öğrenciler görevleri gruplar halinde çözerler, tartışırlar ve birbirlerine yardım ederler. Gruplar görevi tamamladıktan sonra tahtaya yazılan çözümlerle kontrol edilir. Kontrolden sonra notlar verilir: bu çalışma için öğrencilere iki not verilir: öz değerlendirme ve grup değerlendirmesi. Değerlendirme kriteri: “5” ─ her şeyi doğru çözdü ve yoldaşlarına yardım etti, “4” ─ çözerken hatalar yaptı ancak bunları yoldaşlarının yardımıyla düzeltti, “3” ─ çözümle ilgilendi ve her şeyi yardımıyla çözdü sınıf arkadaşları.

V. Test çalışması.

Seçenek I

1. 3a – 5a∙a – 5 + 2a 2 – 5a +3 polinomunu standart biçimde sunun.

3. 2x 2 – x + 2 ve ─ 3x 2 ─2x + 1 polinomlarının farkını bulun.

5. İfadeyi bir polinom olarak gösterin: 2 – (3a – 1)(a + 5).

Seçenek II

1. 5x 2 – 5 + 4x ─ 3x∙x + 2 – 2x polinomunu standart biçimde sunun.

3. 4y 2 – 2y + 3 ve - 2y 2 + 3y +2 polinomlarının farkını bulun.

5. Denklemi çözün: ─3x 2 + 5x = 0.

1) x =
3) x = 0 ve x = ─

2) x = 0 ve x =
4) x = 0

6. Ürün olarak mevcut: 5a 3 – 3a 2 – 10a + 6.

Seçenek III

1. а = ─, b=─3 ile ─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) polinomunun değerini bulun.


1)

2. İfadeyi basitleştirin: ─8x – (5x – (3x – 7)).

4. Çarpın: ─3x∙(─ 2x 2 + x – 3)

6. Çarpım olarak sunun: 3x 3 – 2x 2 – 6x + 4.

1) (x 2 + 2)(3x + 2)
3) (x 2 + 2)(3x – 2)

2) (x 2 – 2)(3x + 2)
4) (x 2 – 2)(3x – 2)

7. İfadeyi bir çarpım olarak gösterin: a(x – y) ─2b(y – x)

1) (x – y)(a ─ 2b)
3) (x – y)(a + 2b)

2) (y – x)(a ─ 2b)
4) (y – x)(a + 2)

IV seçeneği

1. a= ─, x= ─ 2 olan ─ 8a 2 – 2ax – x 2 – (─4a 2 – 2ax – x 2) polinomunun değerini bulun.

2. İfadeyi basitleştirin: ─ 5a – (2a – (3a – 5)).

4. Çarpmayı yapın: ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1).

6. Bunu bir polinom olarak ifade edin: (3x – 2)(─x 2 + x – 4).

1) ─3x 3 + 5x 2 – 10x – 8
3) ─3x 3 + 3x 2 – 14x + 8

2) ─3x3 + 3x2 – 12x
4) ─3x3 + 5x2 – 14x +8

7. İfadeyi bir çarpım olarak gösterin: 2c(b – a) – d(a – b)

1) (a – b)(2c – d)
3) (b – a)(2c – d)

2) (b – a)(2c + d)
4) (a – b)(2c + d)

İş No.

Seçenek No.

VI. Ders özeti

Ders sırasında her öğrenci çeşitli notlar alır. Öğrenci kendi bilgisini başkalarının bilgileriyle karşılaştırarak değerlendirir. Grup değerlendirmesi daha etkilidir çünkü değerlendirme tüm grup üyeleri tarafından tartışılmaktadır. Adamlar grup üyelerinin çalışmalarındaki eksikliklere ve eksikliklere dikkat çekiyorlar. Tüm notlar grup lideri tarafından çalışma kartına işlenir.

Öğretmen final notunu verir ve bunu tüm sınıfa duyurur.

VII. Ev ödevi:

1. Şu adımları izleyin:

a) (a 2 + 3аb─b 2)(2а – b);
b) (x 2 + 2xy – 5y 2)(2x 2 – 3y).

2. Denklemi çözün:

a) (3x – 1)(2x + 7) ─ (x + 1)(6x – 5) = 16;
b) (x – 4)(2x2 – 3x + 5) + (x2 – 5x + 4)(1 – 2x) = 20.

3. Karenin bir tarafı 1,2 m, diğer tarafı 1,5 m azaltılırsa, ortaya çıkan dikdörtgenin alanı verilen karenin alanından 14,4 m2 daha az olacaktır. Meydanın kenarını belirleyin.