http//:www.svkspb.nm.ru

Düz bölümlerin geometrik özellikleri

Kare: , dF - temel platform.

Bir alan elemanının statik momentidF 0x eksenine göre
- alan elemanının 0x ekseninden "y" uzaklığına göre çarpımı: dS x = ydF

Bu tür ürünleri şeklin tüm alanı boyunca topladıktan (entegre ettikten) sonra şunu elde ederiz: Statik anlar y ve x eksenlerine göre:
;
[cm3, m3, vb.].

Ağırlık merkezi koordinatları:
. Statik anlar göreceli merkezi eksenler(kesitin ağırlık merkezinden geçen eksenler) sıfıra eşittir. Karmaşık bir şeklin statik momentlerini hesaplarken, bilinen alanlar F i ve ağırlık merkezlerinin koordinatları x i, y i ile basit parçalara bölünür.Tüm şeklin alanının statik momenti = toplamı her bir parçasının statik momentleri:
.

Karmaşık bir şeklin ağırlık merkezinin koordinatları:

M
Bölüm eylemsizlik momentleri

eksenel(ekvator) bölüm atalet momenti- dF temel alanlarının çarpımlarının eksene olan mesafelerinin kareleriyle toplamı.

;
[cm 4, m 4, vb.].

Bir bölümün belirli bir noktaya (kutup) göre kutupsal atalet momenti, temel alanların çarpımlarının bu noktadan uzaklıklarının kareleriyle toplamıdır.
; [cm 4, m 4, vb.]. J y + J x = J p .

Bölümün merkezkaç atalet momenti- temel alanların çarpımlarının toplamı ve bunların karşılıklı iki dik eksene olan mesafeleri.
.

Biri veya her ikisi de simetri eksenleriyle çakışan eksenlere göre bölümün merkezkaç atalet momenti sıfıra eşittir.

Eksenel ve kutupsal atalet momentleri her zaman pozitiftir; merkezkaç atalet momentleri pozitif, negatif veya sıfır olabilir.

Karmaşık bir şeklin eylemsizlik momenti, onu oluşturan parçaların eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir.

Basit şekilli kesitlerin eylemsizlik momentleri

P
dikdörtgen kesitli daire

İLE


yüzük

T
üçgen

R
izofemoral

Dikdörtgen

T
üçgen

H çeyrek daire

J y =J x =0,055R 4

J xy =0,0165R 4

incirde. (-)

Yarım daire

M

Standart profillerin atalet momentleri ürün çeşidi tablolarından bulunur:

D
vutavr Kanal Köşe

M

Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri:

J x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

herhangi bir eksene göre atalet momenti, verilen eksene paralel merkezi eksene göre atalet momentinin artı şeklin alanı ile eksenler arasındaki mesafenin karesinin çarpımına eşittir. J y1x1 =J yx + abF; (“a” ve “b” işaretleri dikkate alınarak formülde değiştirilir).

Arasındaki bağımlılık eksenleri döndürürken atalet momentleri:

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Eski koordinat sisteminden yenisine geçiş saat yönünün tersine gerçekleşirse açı >0. J y1 + J x1 = J y + J x

Atalet momentlerinin aşırı (maksimum ve minimum) değerlerine denir ana atalet momentleri. Eksenel atalet momentlerinin aşırı değerlere sahip olduğu eksenlere denir ana atalet eksenleri. Ataletin ana eksenleri karşılıklı olarak diktir. Ana eksenlere göre merkezkaç atalet momentleri = 0, yani. ana atalet eksenleri - merkezkaç atalet momentinin = 0 olduğu eksenler. Eksenlerden biri çakışırsa veya her ikisi de simetri ekseniyle çakışırsa, bunlar ana eksenlerdir. Ana eksenlerin konumunu tanımlayan açı:
, eğer  0 >0  eksenler saat yönünün tersine dönüyorsa. Maksimum eksen, eylemsizlik momentinin daha büyük olduğu eksenlere göre her zaman daha küçük bir açı yapar. Ağırlık merkezinden geçen ana eksenlere ne ad verilir? ataletin ana merkezi eksenleri. Bu eksenlere göre eylemsizlik momentleri:

J maks + J min = J x + J y . Ataletin ana merkezi eksenlerine göre merkezkaç atalet momenti 0'a eşittir. Ana atalet momentleri biliniyorsa, döndürülmüş eksenlere geçiş formülleri şöyledir:

J x1 =J maks cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J maks cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J maks - J min)sin2;

Kesitin geometrik özelliklerini hesaplamanın nihai amacı, ana merkezi atalet momentlerini ve ana merkezi atalet eksenlerinin konumunu belirlemektir. R eylemsizlik yarıçapı -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Eğer J x ve J y ana atalet momentleri ise, o zaman i x ve i y - ana atalet yarıçapı. Yarı eksenlerde olduğu gibi ana eylemsizlik yarıçapları üzerine inşa edilen bir elips denir. eylemsizlik elipsi. Atalet elipsini kullanarak, herhangi bir x1 ekseni için atalet i x1 yarıçapını grafiksel olarak bulabilirsiniz. Bunu yapmak için elipse x1 eksenine paralel bir teğet çizmeniz ve bu eksenden teğete olan mesafeyi ölçmeniz gerekir. Atalet yarıçapını bilerek, bölümün x 1 eksenine göre atalet momentini bulabilirsiniz:
. İkiden fazla simetri eksenine sahip kesitler için (örneğin: daire, kare, halka vb.), tüm merkezi eksenlere göre eksenel atalet momentleri birbirine eşittir, J xy = 0, atalet elipsi a'ya dönüşür. eylemsizlik çemberi.

Direniş anları.

Eksenel direnç momenti- eksene göre atalet momentinin ondan bölümün en uzak noktasına olan mesafeye oranı.
[cm3, m3]

Ana merkezi eksenlere göre direnç momentleri özellikle önemlidir:

dikdörtgen:
; daire: W x =W y =
,

boru kesiti (halka): W x =W y =
, burada = d N / d B .

Polar direnç momenti - kutupsal atalet momentinin kutuptan bölümün en uzak noktasına olan mesafeye oranı:
.

Bir daire için W р =
.

Bir bölümün belirli bir eksene göre eksenel (veya ekvator) atalet momenti, tüm alanı F üzerinde alınan temel alanların bu eksene olan mesafelerinin kareleri ile çarpımının toplamıdır, yani;

Bir bölümün belirli bir noktaya (kutup) göre kutupsal atalet momenti, tüm alanı F üzerinde alınan temel alanların bu noktadan uzaklıklarının kareleri ile çarpımının toplamıdır;

Bir bölümün karşılıklı olarak dik iki eksene göre merkezkaç atalet momenti, tüm F alanı boyunca alınan temel alanların çarpımlarının ve bunların bu eksenlere olan mesafelerinin toplamıdır;

Atalet momentleri vb. ile ifade edilir.

Eksenel ve kutupsal atalet momentleri her zaman pozitiftir, çünkü integral işaretleri altındaki ifadeleri alanların değerlerini (her zaman pozitif) ve bu alanların belirli bir eksen veya direğe olan mesafelerinin karelerini içerir.

İncirde. Şekil 9.5'te a, F alanına sahip bir kesiti gösterir ve y ve z eksenlerini gösterir. Bu bölümün y eksenlerine göre eksenel atalet momentleri:

Bu eylemsizlik momentlerinin toplamı

ve bu nedenle

Dolayısıyla, bir bölümün karşılıklı olarak dik iki eksene göre eksenel atalet momentlerinin toplamı, bu eksenlerin kesişme noktasına göre bu bölümün kutupsal atalet momentine eşittir.

Merkezkaç atalet momentleri pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen bölümün merkezkaç atalet momenti. 9.5, a, y ve eksenlere göre pozitiftir, çünkü bu bölümün ilk çeyrekte yer alan ana kısmı için değerleri ve dolayısıyla pozitiftir.

Y ekseninin pozitif yönünü veya ters yönünü değiştirirseniz (Şekil 9.5, b) veya bu eksenlerin her ikisini de 90° döndürürseniz (Şekil 9.5, c), o zaman merkezkaç atalet momenti negatif olacaktır (Şekil 9.5, b) mutlak değer değişmeyecektir), çünkü ana kısım kesit daha sonra y koordinatlarının pozitif ve z koordinatlarının negatif olduğu bir çeyrek daireye yerleştirilecektir. Her iki eksenin pozitif yönlerini zıt yönde değiştirirseniz, bu durum merkezkaç atalet momentinin ne işaretini ne de büyüklüğünü değiştirmeyecektir.

Bir veya daha fazla eksene göre simetrik olan bir şekil düşünelim (Şekil 10.5). Eksenleri, en az biri (bu durumda y ekseni) şeklin simetri eksenine denk gelecek şekilde çizelim. Bu durumda eksenin sağında yer alan her bir platform, ilkine simetrik olarak ancak y ekseninin solunda yer alan aynı platforma karşılık gelir. Bu tür simetrik olarak yerleştirilmiş platformların her bir çiftinin merkezkaç atalet momenti şuna eşittir:

Buradan,

Böylece kesitin biri veya her ikisi de simetri eksenleriyle çakışan eksenlere göre merkezkaç atalet momenti sıfıra eşittir.

Karmaşık bir bölümün belirli bir eksene göre eksenel atalet momenti, onu oluşturan parçaların aynı eksene göre eksenel atalet momentlerinin toplamına eşittir.

Benzer şekilde, karmaşık bir bölümün karşılıklı olarak dik olan herhangi iki eksene göre merkezkaç atalet momenti, onu oluşturan parçaların aynı eksenlere göre merkezkaç atalet momentlerinin toplamına eşittir. Ayrıca, karmaşık bir bölümün belirli bir noktaya göre kutupsal atalet momenti, onu oluşturan parçaların aynı noktaya göre kutupsal atalet momentlerinin toplamına eşittir.

Farklı eksenler ve noktalara göre hesaplanan atalet momentlerinin toplanamayacağı unutulmamalıdır.

Yapı parçalarının mukavemetini kontrol ederken, eylemsizlik momentini dikdörtgen ve daire için kullandığımız kadar basit bir şekilde hesaplamanın imkansız olduğu oldukça karmaşık şekillerdeki bölümlerle karşılaşmak zorundayız.

Böyle bir bölüm örneğin bir T çubuğu olabilir (Şek. 5) A) bükülmeye maruz kalan bir borunun dairesel kesiti (uçak yapıları) (Şekil 5, B), şaft muylusunun halka şeklindeki bölümü veya daha karmaşık bölümleri. Tüm bu bölümler dikdörtgenler, üçgenler, daireler vb. gibi basit bölümlere ayrılabilir. Böylesine karmaşık bir şeklin eylemsizlik momentinin, onu böldüğümüz parçaların eylemsizlik momentlerinin toplamı olduğu gösterilebilir.

Şekil 5. T tipi bölümler - a) ve halka b)

Herhangi bir şeklin eksene göre eylemsizlik momentinin olduğu bilinmektedir. en— en eşittir:

Nerede z- temel pedlerin eksene olan mesafesi en—en.

Alınan alanı dört parçaya bölelim: , , ve . Artık eylemsizlik momentini hesaplarken, seçilen dört alanın her biri için ayrı ayrı toplama yapacak şekilde integrand fonksiyonundaki terimleri gruplandırabilir ve ardından bu toplamları ekleyebilirsiniz. Bu integralin değerini değiştirmez.

İntegralimiz her biri alanlardan birini kapsayacak dört integrale bölünecek ve:

Bu integrallerin her biri, alanın ilgili kısmının eksene göre eylemsizlik momentini temsil eder. en— en; Bu yüzden

eksene göre eylemsizlik momenti nerede en — en alan, - alan için de aynısı vb.

Elde edilen sonuç şu şekilde formüle edilebilir: Karmaşık bir şeklin eylemsizlik momenti, onu oluşturan parçaların eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir. Bu nedenle herhangi bir şeklin kendi düzleminde yer alan herhangi bir eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayabilmemiz gerekir.

Bu sorunun çözümü bu ve bundan sonraki iki röportajın içeriğidir.

Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri.

Herhangi bir şeklin herhangi bir eksene göre atalet momentini hesaplamak için en basit formülleri elde etme görevi birkaç adımda çözülecektir. Birbirine paralel bir dizi eksen alırsak, şeklin ağırlık merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momentini bilerek, bir şeklin bu eksenlerden herhangi birine göre eylemsizlik momentlerini kolayca hesaplayabileceğimiz ortaya çıkar. Seçilen eksenlere paralel.

Şekil 1. Paralel eksenler için eylemsizlik momentlerinin belirlenmesine yönelik hesaplama modeli.

Ağırlık merkezinden geçen eksenlere diyeceğiz merkezi eksenler. (Şekil 1) keyfi bir rakam alalım. Merkezi ekseni çizelim kuruluş birimi, bu eksene göre eylemsizlik momenti diyeceğiz. Şekil düzleminde bir eksen çizelim paralel eksenler en ondan uzakta. Eksene göre eylemsizlik momenti ile arasındaki ilişkiyi bulalım. Bunu yapmak için ve için ifadeler yazacağız. Şeklin alanını alanlara bölelim; bu tür platformların her birinin eksenlere olan mesafeleri en ve arayalım ve . Daha sonra

Şekil 1'den elimizde:

Bu üç integralden ilki merkez eksene göre eylemsizlik momentidir. kuruluş birimi. İkincisi aynı eksene göre statik momenttir; sıfıra eşittir çünkü eksen enşeklin ağırlık merkezinden geçer. Son olarak üçüncü integral şeklin alanına eşittir F. Böylece,

(1)

yani, herhangi bir eksene göre atalet momenti, verilen eksene paralel merkezi eksene göre atalet momentinin artı şeklin alanı ile eksenler arasındaki mesafenin karesinin çarpımına eşittir.

Bu, görevimizin artık yalnızca merkezi atalet momentlerini hesaplamaya indirgendiği anlamına gelir; eğer bunları bilirsek herhangi bir eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayabiliriz. Formül (1)'den şu sonuç çıkıyor: merkezi eylemsizlik momenti en küçük paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri arasında ve bunun için şunu elde ederiz:

Eğer biliniyorsa, merkezi eksenlere paralel eksenlere göre merkezkaç eylemsizlik momentini de bulalım (Şekil 1). Tanım gereği

nerede: , sonra şu şekilde olur

Son iki integral merkezi eksenlere göre alanın statik momentlerini temsil ettiğinden kuruluş birimi Ve Oz sonra ortadan kaybolurlar ve bu nedenle:

(2)

Merkezi eksenlere paralel karşılıklı dik eksenlerden oluşan bir sisteme göre merkezkaç atalet momenti, bu merkezi eksenlere göre merkezkaç atalet momenti artı şeklin alanı ve ağırlık merkezinin koordinatlarının çarpımına eşittir. yeni eksenlere göre.

Eksenleri döndürürken eylemsizlik momentleri arasındaki ilişki.

İstediğiniz kadar merkezi eksen çizebilirsiniz. Bir veya iki merkez eksen etrafındaki eylemsizlik momentine bağlı olarak eylemsizlik momentini herhangi bir merkezi eksene göre ifade etmenin mümkün olup olmadığı sorusu ortaya çıkıyor. kesin eksenler. Bunu yapmak için, bir açıyla döndürüldüklerinde karşılıklı dik iki eksen etrafında eylemsizlik momentlerinin nasıl değişeceğini görelim.

Bir şekil alalım ve onu ağırlık merkezi boyunca çizelim HAKKINDA karşılıklı iki dik eksen kuruluş birimi Ve Oz(İncir. 2).

İncir. 2. Döndürülmüş eksenler için atalet momentlerinin belirlenmesine yönelik hesaplama modeli.

Bu eksenlere göre eksenel atalet momentlerini ve merkezkaç atalet momentini bize bildirin. Birinciye belli bir açıyla eğimli ikinci bir koordinat eksenleri sistemi çizelim; eksenleri nokta etrafında döndürürken bu açının pozitif yönünü dikkate alacağız HAKKINDA saat yönünün tersine. Menşei HAKKINDA kaydetmek. İkinci koordinat eksenleri sistemine göre momentleri bilinen atalet momentleri ve ile ifade edelim.

Bu eksenlere göre eylemsizlik momentleri için ifadeler yazalım:

Aynı şekilde:

Sorunları çözmek için, merkezkaç atalet momenti için bir eksenden diğerine geçiş formüllerine ihtiyacınız olabilir. Eksenleri döndürürken (Şekil 2) elimizde:

nerede ve formüller (14.10) kullanılarak hesaplanır; Daha sonra

Dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

(7)

Dolayısıyla, herhangi bir merkezi eksene göre eylemsizlik momentini hesaplamak için, karşılıklı olarak dik olan herhangi iki merkezi eksene ait sistemin eylemsizlik momentlerini bilmeniz gerekir. kuruluş birimi Ve Oz, aynı eksenlere göre merkezkaç atalet momenti ve eksenin eksene eğim açısı en.

Değerleri hesaplamak için >eksenleri bu şekilde seçmeniz gerekiyor en Ve z ve şeklin alanını bu hesaplamayı yapabilecek şekilde bileşen parçalarına bölün, yalnızca bileşen parçalarının her birinin merkezi eksenlerinden onlara paralel eksenlere geçiş için formüller kullanın. Bunun pratikte nasıl yapılacağı aşağıda bir örnek kullanılarak gösterilecektir. Bu hesaplamada, karmaşık rakamların, eğer mümkünse, karşılıklı dik eksenler sistemine göre merkezi atalet momentlerinin değerlerinin bilindiği temel parçalara bölünmesi gerektiğini unutmayın.

Koordinatların orijini kesitin ağırlık merkezinde değil de başka bir noktada alınmış olsaydı, türetme ilerlemesinin ve elde edilen sonuçların değişmeyeceğine dikkat edin. HAKKINDA. Dolayısıyla formüller (6) ve (7), merkezi eksenler olup olmadığına bakılmaksızın, karşılıklı olarak dik eksenlerden oluşan bir sistemden belirli bir açıyla döndürülmüş bir diğerine geçiş için formüllerdir.

Formül (6)'dan eksenlerin döndürülmesi sırasındaki eylemsizlik momentleri arasında başka bir ilişki elde edilebilir. İçin ifadeleri ekleyerek şunu elde ederiz:

yani herhangi bir karşılıklı dik eksene göre eylemsizlik momentlerinin toplamı en Ve z döndürüldüğünde değişmez. ve değerleri yerine son ifadeyi yerine koyarsak şunu elde ederiz:

sitelerin uzaklığı nerede dF noktadan HAKKINDA. Miktar, bilindiği gibi, kesitin noktaya göre kutupsal atalet momentidir. HAKKINDA.

Böylece, bir bölümün herhangi bir noktaya göre kutupsal atalet momenti, bu noktadan geçen karşılıklı dik eksenlere göre eksenel atalet momentlerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla eksenler döndürüldüğünde bu toplam sabit kalır. Bu bağımlılık (14.16), eylemsizlik momentlerinin hesaplanmasını basitleştirmek için kullanılabilir.

Yani bir daire için:

Bir daire için simetriye göre o zaman

yukarıda entegrasyon yoluyla elde edilmiştir.

Benzer şekilde, ince duvarlı halka şeklinde bir bölüm için aşağıdakiler elde edilebilir:

Asal atalet eksenleri ve asal atalet momentleri.

Zaten bilindiği gibi, merkezi atalet momentlerini bilerek ve belirli bir şekil için, diğer herhangi bir eksene göre atalet momentini hesaplayabilirsiniz.

Bu durumda formüllerin önemli ölçüde basitleştirildiği böyle bir sistemi ana eksen sistemi olarak almak mümkündür. Yani merkezkaç atalet momentinin sıfıra eşit olduğu bir koordinat eksenleri sistemi bulmak mümkündür. Aslında atalet momentleri pozitif terimlerin toplamı gibi her zaman pozitiftir ancak merkezkaç momenti

terimler hem olumlu hem de olumsuz olabilir zydF işaretlere bağlı olarak farklı işaretlerde olabilir z Ve en bir site veya diğeri için. Bu, sıfıra eşit olabileceği anlamına gelir.

Merkezkaç atalet momentinin ortadan kalktığı eksenlere ne ad verilir? ana eksenler eylemsizlik. Böyle bir sistemin başlangıcı şeklin ağırlık merkezine yerleştirilirse bunlar ana merkezi eksenler. Bu eksenleri göstereceğiz ve; onlar için

Ana eksenlerin merkezi eksenler y ve z'ye hangi açıda eğimli olduğunu bulalım (Şekil 198).

Şekil 1. Ana atalet eksenlerinin konumunu belirlemek için hesaplama modeli.

Eksenlerden hareket etmek için iyi bilinen ifadede yz eksenlere, merkezkaç atalet momenti için açıya değer veririz; daha sonra eksenler ve ana olanlarla çakışacak ve merkezkaç atalet momenti sıfıra eşit olacaktır:

(1)

Bu denklem, aralarında 180° fark bulunan iki değer veya 90° farkla iki değerle sağlanır. Yani bu denklem bize konumu veriyor iki eksen, birbirleriyle dik açı oluşturur. Bunlar ana merkezi eksenler olacak ve bunun için .

Bu formülü kullanarak bilinenleri kullanarak ana atalet momentleri ve ana atalet momentleri için formüller elde edebilirsiniz. Bunu yapmak için yine genel konum eksenel atalet momentleri için ifadeler kullanırız. Değerleri onlar belirliyor ve yerine koyarsak

(2)

Ortaya çıkan ilişkiler sorunları çözmek için kullanılabilir. Ataletin ana momentlerinden biri diğeridir.

Formüller (2), değerinden arınmış bir forma dönüştürülebilir. Değerlerini ilk formül (2)'de ifade ederek ve değiştirerek, aynı anda formül (1)'den değiştirmeyi yaparken elde ederiz:

Burada formül (1)'deki kesirin yerine

aldık

(3)

İkinci formül (3)'te de benzer bir dönüşüm yapılarak aynı ifadeye ulaşılabilir.

Birinin diğerine geçebileceği merkezi eksenlerin ana sistemi için şunlar alınabilir: kuruluş birimi Ve Oz, ve ana eksenler ve; bu durumda merkezkaç atalet momenti () formüllerde görünmeyecektir. Eksenin (Şekil 2) ana eksenle yaptığı açıyı ile gösterelim. Ve hesaplamak için, ve eksenlerinden hareket ederek, daha önce bulunan , ve , ve , ve ifadelerinde , a ve arasındaki açıyı değiştirmeniz gerekir. Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Görünüşte bu formüller, iki yönde gerilmeye maruz kalan bir elemandaki karşılıklı dik iki alan boyunca normal ve kayma gerilmeleri için kullanılan formüllere tamamen benzer. Yalnızca ilk ana eksenin sapmasına karşılık gelen iki açı değeri arasından seçim yapmamıza izin veren bir formül göstereceğiz (maksimum değeri verir) J) eksenin başlangıç ​​konumundan itibaren en:

Artık bir şeklin herhangi bir eksene göre eylemsizlik momentini en basit şekilde hesaplayabilmek için yapılması gerekenleri nihayet formüle edebiliriz. Şeklin ağırlık merkezinden eksenler çizmek gerekir kuruluş birimi Ve Oz böylece şekli en basit parçalarına ayırarak ağırlık merkezinden belli bir mesafeden geçen momentleri (Şekil 2) kolayca hesaplayabiliriz:

Çoğu durumda şeklin ana eksenlerini hemen çizmek mümkündür; bir şeklin simetri ekseni varsa, bu ana eksenlerden biri olacaktır. Aslında formülü türetirken, kesitin eksenlere göre merkezkaç atalet momenti olan integrali zaten ele almıştık. en Ve z; eksenin eğer olduğu kanıtlanmıştır Oz simetri ekseni ise bu integral yok olur.

Dolayısıyla bu durumda eksenler kuruluş birimi Ve Ozöyle ana bölümün merkezi atalet eksenleri. Böylece, simetri ekseni- her zaman ana merkezi eksen; ikinci Ev merkezi eksen ağırlık merkezinden simetri eksenine dik olarak geçer.

Örnek. Dikdörtgenin (Şekil 3) eksenlere göre eylemsizlik momentlerini bulun ve şuna eşittir:

Eksenlere göre eylemsizlik momentleri şuna eşittir:

Merkezkaç atalet momenti eşittir.

Karmaşık bölümlerin atalet momentlerini hesaplama yöntemi, herhangi bir integralin integrallerin toplamı olarak değerlendirilebileceği ve dolayısıyla herhangi bir bölümün atalet momentinin, o bölümün atalet momentlerinin toplamı olarak hesaplanabileceği gerçeğine dayanmaktadır. bireysel parçaları.

Bu nedenle, atalet momentlerini hesaplamak için karmaşık bir bölüm, geometrik özellikleri bilinen formüller kullanılarak hesaplanabilecek veya özel referans tabloları kullanılarak bulunabilecek şekilde bir dizi basit parçaya (şekillere) bölünür.

Bazı durumlarda sayıyı azaltmak veya şeklini basitleştirmek için basit şekillere bölerken karmaşık bölümün bazı alanlarla desteklenmesi tavsiye edilir. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen bölümün geometrik özelliklerini belirlerken. 22.5, a'da, onu bir dikdörtgene eklemeniz ve ardından eklenen parçanın özelliklerini bu dikdörtgenin geometrik özelliklerinden çıkarmanız önerilir. Delikler varsa aynısını yapın (Şekil 22.5, b).

Karmaşık bir bölümü basit parçalara böldükten sonra, her biri için karşılık gelen parçanın atalet momentlerinin belirlenmesi gereken dikdörtgen bir koordinat sistemi seçilir. Bu tür koordinat sistemlerinin tümü birbirine paralel olarak alınır, böylece eksenlerin paralel ötelenmesiyle tüm karmaşık bölümün ortak koordinat sistemine göre tüm parçaların eylemsizlik momentlerinin hesaplanması mümkün olur.

Kural olarak, her basit şeklin koordinat sisteminin merkezi olduğu varsayılır, yani. kökeni bu şeklin ağırlık merkezi ile çakışır. Bu durumda, diğer paralel eksenlere geçiş sırasında atalet momentlerinin müteakip hesaplanması basitleştirilmiştir, çünkü merkezi eksenlerden geçiş formülleri merkezi olmayan eksenlerden daha basit bir forma sahiptir.

Bir sonraki adım, her basit şeklin alanlarının yanı sıra kendisi için seçilen koordinat sisteminin eksenlerine göre eksenel ve merkezkaç atalet momentlerini hesaplamaktır. Bu eksenler etrafındaki statik momentler kural olarak sıfıra eşittir, çünkü bu eksenler kesitin her bir parçası için genellikle merkezidir. Bunların merkezi olmayan eksenler olduğu durumlarda statik momentlerin hesaplanması gerekir.

Polar atalet momenti, hazır formüller kullanılarak yalnızca dairesel (katı veya dairesel) bir bölüm için hesaplanır; diğer şekillerin bölümleri için bu geometrik özelliğin hesaplamalarda kullanılmaması nedeniyle herhangi bir önemi yoktur.

Her basit şeklin koordinat sisteminin eksenlerine göre eksenel ve merkezkaç atalet momentleri, böyle bir şekil için mevcut formüller veya tablolar kullanılarak hesaplanır. Bazı şekiller için mevcut formüller ve tablolar gerekli eksenel ve merkezkaç atalet momentlerini belirlememize izin vermez; bu durumlarda yeni eksenlere geçiş için formüllerin kullanılması gerekir (genellikle eksenlerin dönmesi durumunda).

Çeşitler tabloları, açılar için merkezkaç atalet momentlerinin değerlerini göstermez. Bu tür eylemsizlik momentlerini belirleme yöntemi örnek 4.5'te tartışılmaktadır.

Çoğu durumda, bir kesitin geometrik özelliklerini hesaplamanın nihai amacı, onun ana merkezi atalet momentlerini ve ana merkezi atalet eksenlerinin konumunu belirlemektir. Bu nedenle, hesaplamanın bir sonraki aşaması, belirli bir bölümün ağırlık merkezinin koordinatlarını bazı keyfi (rastgele) koordinat sistemlerinde [formüller (6.5) ve (7.5) kullanarak] belirlemektir. yardımcı (ana değil) merkezi eksenler, basit şekillerin koordinat sisteminin eksenlerine paralel olarak çizilir.

Daha sonra, paralel eksenler için eylemsizlik momentleri arasındaki ilişkileri kuran formüller kullanılarak (bkz. § 5.5), her basit şeklin yardımcı, merkezi eksenlere göre eylemsizlik momentleri belirlenir. eksenlere göre, tüm karmaşık bölümün bu eksenlere göre atalet momentleri belirlenir; bu durumda deliklerin veya eklenen pedlerin eylemsizlik momentleri çıkarılır.

Bölümlerin eylemsizlik momentlerine aşağıdaki biçimdeki integraller denir:

en;

– kesitin eksene göre eksenel atalet momenti z;

– bölümün merkezkaç atalet momenti;

– bölümün kutupsal atalet momenti.

3.2.1. Kesit atalet momentlerinin özellikleri

Atalet momentlerinin boyutu [uzunluk 4], genellikle [ M 4 ] veya [ santimetre 4 ].

Eksenel ve kutupsal atalet momentleri her zaman pozitiftir. Merkezkaç atalet momenti pozitif, negatif veya sıfır olabilir.

Merkezkaç atalet momentinin sıfır olduğu eksenlere ne ad verilir? ana atalet eksenleri bölümler.

Simetri eksenleri her zaman ana eksenlerdir. Karşılıklı iki eksenden en az biri simetri ekseni ise, her iki eksen de asal eksendir.

Bileşik bir bölümün atalet momenti, bu bölümün elemanlarının atalet momentlerinin toplamına eşittir.

Polar atalet momenti, eksenel atalet momentlerinin toplamına eşittir.

Son özelliği kanıtlayalım. Alanlı bölümde A ilköğretim sitesi için dA yarıçap vektörü ρ ve koordinatlar en Ve z(Şekil 6) Pisagor teoremine göre bağlanmıştır: ρ 2 = en 2 + z 2. Daha sonra

Pirinç. 6. Kutupsal ve Kartezyen koordinatlar arasındaki ilişki

ilkokul sitesi

3.2.2. En basit şekillerin eylemsizlik momentleri

İÇİNDE dikdörtgen bölüm(Şekil 7) bir temel platform seçin dA koordinatlarla sen Ve z ve alan dA = dydz.

Pirinç. 7. Dikdörtgen kesit

Eksen etrafında eksenel atalet momenti en

.

Benzer şekilde eksene göre eylemsizlik momentini de elde ederiz. z:

Çünkü en Ve z– simetri ekseni, ardından merkezkaç momenti D zy = 0.

İçin daireçap D Dairesel simetriyi hesaba katarsak ve kutupsal koordinatları kullanırsak hesaplamalar basitleşir. Temel platform olarak yarıçapı ρ olan ve kalınlığı sonsuz derecede ince olan bir halkayı ele alalım. Dρ (Şek. 8). Alanı dA= 2πρ Dρ. O halde kutupsal eylemsizlik momenti:

.

Pirinç. 8. Yuvarlak bölüm

Yukarıda gösterildiği gibi herhangi bir merkezi eksene göre eksenel atalet momentleri aynı ve eşittir

.

Atalet momenti yüzükler iki dairenin eylemsizlik momentleri arasındaki farkı buluruz - dıştaki (çaplı) D) ve iç (çaplı) D):

Atalet momenti BEN z üçgen bunu ağırlık merkezinden geçen eksene göre tanımlayacağız (Şekil 9). Açıkçası, belirli bir mesafede bulunan temel şeridin genişliği en eksenden z, eşittir

Buradan,

Pirinç. 9. Üçgen kesit

3.3. Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri arasındaki bağımlılıklar

Eksenlere göre eylemsizlik momentlerinin bilinen değerleri ile z Ve en diğer eksenlere göre eylemsizlik momentlerini belirleyelim z 1 ve sen Verilenlere 1 paralel. Eksenel atalet momentleri için genel formülü kullanarak şunu buluruz:

Eğer eksenler z Ve sen o zaman merkezi
, Ve

Elde edilen formüllerden merkezi eksenlere göre eylemsizlik momentlerinin (zaman
) diğer paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleriyle karşılaştırıldığında en küçük değerlere sahiptir.

3.4. Asal eksenler ve asal atalet momentleri

Eksenler α açısı kadar döndürüldüğünde merkezkaç atalet momenti şuna eşit olur:

.

Ana asal eylemsizlik eksenlerinin konumunu belirleyelim. sen, v hangisiyle ilgili

,

burada α 0 eksenlerin döndürülmesi gereken açıdır sen Ve z böylece onlar ana olanlar haline gelir.

Formül iki açı değeri verdiğinden Ve
ise birbirine dik iki asal eksen vardır. Maksimum eksen her zaman daha küçük bir açı yapar ( ) eksenlerinkiyle ( z veya sen), buna göre eksenel atalet momenti daha büyük önem taşır. Pozitif açıların eksenden ayrıldığını hatırlayın z saat yönünün tersine.

Asal eksenlere göre eylemsizlik momentlerine denir ana atalet momentleri. Onların olduğu gösterilebilir

.

İkinci terimin önündeki artı işareti maksimum atalet momentini, eksi işareti ise minimumu ifade eder.