หัวข้อที่ 6 พหุนามเลขคณิต พหุนามในตัวแปรเดียว

MBOU "โรงเรียนเปิด (กะ) หมายเลข 2" แห่งเมือง Smolensk

ทำงานอิสระ

ในหัวข้อ: "พหุนาม"

ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7

ดำเนินการแล้ว

ครูคณิตศาสตร์

มิชเชนโควา ทัตยานา วลาดิมีรอฟนา

งานอิสระช่องปากหมายเลข 1 (เตรียมการ)

(ดำเนินการโดยมีวัตถุประสงค์เพื่อเตรียมนักเรียนให้เชี่ยวชาญความรู้ใหม่ ในหัวข้อ “พหุนามและรูปแบบมาตรฐาน”)

ตัวเลือกที่ 1.

ก) 1.4a + 1–ก 2 – 1,4 + ข 2 ;

ข) ก 3 – 3เอ +ข + 2 เกี่ยวกับ – x;

ค) 2กข + x – 3 บริติชแอร์เวย์ – x.

ชี้แจงคำตอบของคุณ

ก) 2 ก – 3 ก +7 ก;

ข) 3x – 1+2x+7;

ค) 2x– 3y+3x+2 ย.

ก) 8xx;ช) – 2ก 2 บริติชแอร์เวย์

ข) 10nmm;ง) 5 น 2 * 2p;

เวลา 3อร๊าย; จ) – 3 พี * 1,5 พี 3 .

ตัวเลือกที่ 2

1. ตั้งชื่อคำที่คล้ายกันในนิพจน์ต่อไปนี้:

ก) 8.3x – 7 – x 2 + 4 + ปี 2 ;

ข)ข 4 - 6 ก +5 ข 2 +2 ก – 3 ข 4 :

เวลา 3เอ็กซ์ซี + ย – 2 เอ็กซ์ซี – ย.

ชี้แจงคำตอบของคุณ

2. ให้คำที่คล้ายกันในสำนวน:

ก) 10 ง – 3 ง – 19 ง ;

ข) 5x – 8 +4x + 12;

ค) 2x – 4ปี + 7x + 3ปี

3. ลด monomial ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานและระบุระดับของ monomial:

ก) 10aaa;

ข) 7 ล้าน ;

วี) 3 ซีซีเอ;

ง) – 5x 2 ใช่;

จ) 8ถาม 2 * 3 ถาม;

จ) – 7พี * 0>5 ถาม 4 .

มีการเสนอเงื่อนไขสำหรับงานอิสระด้วยวาจาบนหน้าจอหรือบนกระดาน แต่ข้อความจะถูกปิดไว้ก่อนที่จะเริ่มงานอิสระ

งานอิสระจะดำเนินการในช่วงเริ่มต้นของบทเรียน หลังจากเสร็จสิ้นงาน จะใช้การทดสอบตัวเองโดยใช้คอมพิวเตอร์หรือกระดานดำ

งานอิสระหมายเลข 2

(ดำเนินการโดยมีวัตถุประสงค์เพื่อเสริมสร้างทักษะของนักเรียนในการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐานและกำหนดระดับของพหุนาม)

ตัวเลือกที่ 1

1. ลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

ขวาน 2 y + yxy;

ข) 3x 2 6ปี 2 – 5x 2 7ป;

เวลา 11ก 5 – 8 ก 5 +3 ก 5 + ก 5 ;

ง) 1.9x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

ก) 3ต 2 – 5 ตัน 2 – 11 ตัน – 3 ตัน 2 + 5t +11;

ข)x 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 +4x – 13.

4 x 2 – 1 ณx = 2.

4. งานเพิ่มเติม

แทน * เขียนคำศัพท์ดังกล่าวเพื่อให้ได้พหุนามระดับที่ 5

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

ตัวเลือกที่ 2

ก) บับ + ก 2 ข;

ข) 5x 2 8ปี 2 +7x 2 3ปี;

เวลา 2ม 6 + 5 ม 6 – 8 ม 6 – 11 ม 6 ;

ง) – 3.1ย 2 +2,1 ย 2 – ย 2. .

2. ให้คำที่คล้ายกันและระบุระดับของพหุนาม:

ก) 8ข 3 – 3บี 3 + 17b – 3b 3 – 8ข – 5;

ข) 3 ชม 2 +5hc – 7c 2 + 12 ชม 2 – 6 ชม.

3. ค้นหาค่าของพหุนาม:

2 x 3 +4 ที่x=1.

4. งานเพิ่มเติม

แทน* เขียนคำศัพท์ดังกล่าวเพื่อให้ได้พหุนามระดับที่หก

x 3 – x 2 + x + * .

ตัวเลือกที่ 3

1. ลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

ก) 2เอเอ 2 3b + a8b;

ข) 8x3ป (–5ป) – 7x 2 4ปี;

ใน 20เอ็กซ์ซี + 5 ใช่ – 17 เอ็กซ์ซี;

ง) 8เกี่ยวกับ 2 –3 เกี่ยวกับ 2 – 7 เกี่ยวกับ 2. .

2. ให้คำที่คล้ายกันและระบุระดับของพหุนาม:

ก) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3y 2 ;

ข) 4ข 2 + ก 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. ค้นหาค่าของพหุนาม:

– 4 ย 5 – 3 ที่ย= –1.

4. งานเพิ่มเติม

สร้างพหุนามดีกรีที่สามที่มีตัวแปรหนึ่งตัว

งานอิสระช่องปากหมายเลข 3 (เตรียมการ)

(ดำเนินการโดยมีจุดประสงค์เพื่อเตรียมนักเรียนให้เชี่ยวชาญความรู้ใหม่ ในหัวข้อ “การบวกและการลบพหุนาม”)

ตัวเลือกที่ 1

ก) ผลรวมของสองนิพจน์ 3ก+1 และก – 4;

b) ความแตกต่างของสองสำนวน 5x– 2 และ 2x + 4.

3. ขยายวงเล็บ:

ก) ย – ( ย+ z);

ข) (x – ย) + ( ย+ z);

วี) (ก – ข) – ( ค – ก).

4. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ก) 13,4 + (8 – 13,4);

ข) – 1.5 – (4 – 1.5)

วี) (ก – ข) – ( ค – ก).

ตัวเลือกที่ 2

1. เขียนเป็นนิพจน์:

ก) ผลรวมของสองนิพจน์ 5ก– 3 และก + 2;

b) ความแตกต่างของสองสำนวน 8ย– 1 และ 7ย + 1.

2. กำหนดกฎสำหรับวงเล็บเปิดที่นำหน้าด้วยเครื่องหมาย “+” หรือ “–”

3. ขยายวงเล็บ:

ก) ก – (ข+ค);

ข) (ก – ข) + (ข+ก);

วี) (x – ย) – ( ย – z).

4. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ก) 12,8 + (11 – 12,8);

ข) – 8.1 – (4 – 8.1)

ค) 10.4 + 3x – ( x+10.4) ที่x=0,3.

หลังจากเสร็จสิ้นงาน จะใช้การทดสอบตัวเองโดยใช้คอมพิวเตอร์หรือกระดานดำ

งานอิสระหมายเลข 4

(ดำเนินการโดยมีจุดประสงค์เพื่อเสริมสร้างทักษะและความสามารถในการบวกและการลบพหุนาม)

ตัวเลือกที่ 1

ก) 5 x– 15у และ 8ย – 4 x;

ข) 7x 2 – 5 x+3 และ 7x 2 – 5 x.

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) (2 ก + 5 ข) + (8 ก – 11 ข) – (9 ข – 5 ก);

* ข) (8ค 2 + 3 ค) + (– 7 ค 2 – 11 ค + 3) – (–3 ค 2 – 4).

3. งานเพิ่มเติม

เขียนพหุนามโดยให้ผลบวกกับพหุนาม 3x + 1 เท่ากับ

9x – 4.

ตัวเลือกที่ 2

1. รวบรวมผลรวมและผลต่างของพหุนามแล้วนำมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

ก) 21ป – 7xและ8x – 4ป;

ข) 3ก 2 + 7ก – 5และ3ก 2 + 1.

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) (3 ข 2 + 2 ข) + (2 ข 2 – 3 ข - 4) – (– ข 2 +19);

* ข) (3ข 2 + 2 ข) + (2 ข 2 – 3 ข – 4) – (– ข 2 + 19).

3. งานเพิ่มเติม

เขียนพหุนามโดยให้ผลบวกกับพหุนาม 4x – 5 เท่ากับ

9x – 12.

ตัวเลือกที่ 3

1. รวบรวมผลรวมและผลต่างของพหุนามแล้วนำมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

ก) 0,5 x+ 6у และ 3x – 6 ย;

ข) 2ย 2 +8 ย– 11 และ 3ย 2 – 6 ย + 3.

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) (2 x + 3 ย – 5 z) – (6 x –8 ย) + (5 x – 8 ย);

* ข) (ก 2 – 3 เกี่ยวกับ + 2 ข 2 ) – (– 2 ก 2 – 2 เกี่ยวกับ – ข 2 ).

3. งานเพิ่มเติม

เขียนพหุนามโดยให้ผลบวกกับพหุนาม 7x + 3 เท่ากับx 2 + 7 x – 15.

ตัวเลือกที่ 4

1. รวบรวมผลรวมและผลต่างของพหุนามแล้วนำมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

ก) 0,3 x + 2 ขและ 4x – 2 ข;

ข) 5ย 2 – 3 ยและ 8ย 2 + 2 ย – 11.

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) (3x – 5ป – 8z) – (2x + 7ป) + (5z – 11x);

* ข) (2x 2 –xy + y 2 ) – (x 2 – 2xy – ย 2 ).

3. งานเพิ่มเติม

เขียนพหุนามโดยให้ผลบวกกับพหุนามเป็น 2x 2 + x+3 และก็เท่ากัน 2 x + 3.

งานอิสระจะดำเนินการในตอนท้ายของบทเรียน ครูตรวจสอบงานโดยระบุว่าจำเป็นต้องศึกษาเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือไม่

งานอิสระหมายเลข 5

(ดำเนินการโดยมีจุดมุ่งหมายเพื่อพัฒนาทักษะในการใส่พหุนามในวงเล็บ)

ตัวเลือกที่ 1

ก และอีกอันไม่มี:

ก) ขวาน + ay + x + y;

ข)ขวาน 2 + x + ก + 1.

ตัวอย่าง โซลูชั่น:

ม. + น + n – อัน = (ม.+n) ​​+ (น. – อัน)

ข

ก) bm – bn – m – n;

ข) bx + โดย + x –y

ตัวอย่าง โซลูชั่น:

ab – บีซี – x – y = (ab – บีซี) – (x + y)

ตัวเลือกที่ 2

1. ลองนึกภาพพหุนามเป็นผลรวมของพหุนามสองตัว โดยหนึ่งในนั้นมีตัวอักษรอยู่ด้วยข และอีกอันไม่มี:

ก) bx + โดย +2x + 2y;

ข)บีเอ็กซ์ 2 – x + ก – ข.

โซลูชันตัวอย่าง:

2 ม + บีเอ็ม 3 + 3 – ข = (2 ม+3) + (บีเอ็ม 3 – ข).

2. ลองนึกภาพพหุนามซึ่งเป็นผลต่างของพหุนามสองตัว โดยอันแรกประกอบด้วยตัวอักษรก และอีกอันไม่ใช่ (ตรวจสอบผลลัพธ์โดยเปิดวงเล็บในใจ):

ก) ac – ab – c + b;

ข) น. + อัน + ม. – n;

ตัวอย่าง โซลูชั่น:

x + ใช่ – y – ขวาน = (เอย์ – ขวาน) – (–x + y) = (เอย์ – ใช่) – (y–x)

ตัวเลือกที่ 3

1. ลองนึกภาพพหุนามเป็นผลรวมของพหุนามสองตัว โดยหนึ่งในนั้นมีตัวอักษรอยู่ด้วยข และอีกอันไม่มี:

ก) ข 3 –ข 2 – ข+3ป – 1;

ข) – ข 2 -ก 2 – 2ab + 2.

โซลูชันตัวอย่าง:

– 2 ข 2 – ม 2 – 3 บีเอ็ม + 7 = (–2 ข 2 – 3 บีเอ็ม) + (– ม 2 + 7) = (–2 ข 2 – 3 บีเอ็ม) + (7– ม 2 ).

2. ลองนึกภาพพหุนามซึ่งเป็นผลต่างของพหุนามสองตัว โดยอันแรกประกอบด้วยตัวอักษรข และอีกอันไม่ใช่ (ตรวจสอบผลลัพธ์โดยเปิดวงเล็บในใจ):

ก) ab + ac – b – c;

ข) 2b + ก 2 –ข 2 –1;

โซลูชันตัวอย่าง:

3 ข + ม – 1 – 2 ข 2 = (3 ข – 2 ข 2 ) – (1– ม).

ตัวเลือกที่ 4

(สำหรับนักเรียนที่เข้มแข็ง ไม่ได้รับตัวอย่างคำตอบ)

1. ลองนึกภาพพหุนามเป็นผลรวมของพหุนามสองตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวก:

ก) ขวาน + โดย - ซีดี;

ข) 3x –3ป +z – ก.

2. นำเสนอนิพจน์ในทางใดทางหนึ่งว่าเป็นความแตกต่างของทวินามและตรีโนเมียล:

ขวาน 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x – 4;

ข) 3ก 5 – 4ก 3 + 5ก 2 –3a +2.

งานอิสระจะดำเนินการในตอนท้ายของบทเรียน หลังจากเสร็จสิ้นงาน จะใช้การทดสอบตัวเองโดยใช้คีย์และการประเมินตนเองของงาน นักเรียนที่ทำภารกิจเสร็จด้วยตนเองจะมอบสมุดบันทึกให้ครูตรวจดู

ค งานอิสระหมายเลข 6

(ดำเนินการโดยมีจุดมุ่งหมายเพื่อรวบรวมและใช้ความรู้และทักษะในการคูณ monomial ด้วยพหุนาม)

ตัวเลือกที่ 1

1. ทำการคูณ:

ก) 3 ข 2 (ข –3);

ข) 5x (x 4 + x 2 – 1).

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) 4 (x+1) +(x+1);

ข) 3a (ก – 2) – 5a(ก+3)

3. ตัดสินใจ สมการ:

20 +4(2 x–5) =14 x +12.

4. งานเพิ่มเติม

(ม+ n) * * = ม.ค + ไม่เป็นไร.

ตัวเลือกที่ 2

1. ทำการคูณ:

ก) - 4 x 2 (x 2 –5);

ข) -5ก (ก 2 - 3 ก – 4).

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) (ก–2) – 2(ก–2);

ข) 3x (8 ย +1) – 8 x(3 ย–5).

3. แก้สมการ:

3(7 x–1) – 2 =15 x –1.

4. งานเพิ่มเติม

ควรป้อน monomial ใดแทนเครื่องหมาย * เพื่อทำให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

(ข+ ค – ม) * * = เกี่ยวกับ + เครื่องปรับอากาศ – เช้า.

ตัวเลือกที่ 3

1. ทำการคูณ:

ก) – 7 x 3 (x 5 +3);

ข) 2ม 4 (ม 5 - ม 3 – 1).

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) (x–3) – 3(x–3);

ข) 3c (ค + ง) + 3d (ค–ดี)

3. แก้สมการ:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. งานเพิ่มเติม

ควรป้อน monomial ใดแทนเครื่องหมาย * เพื่อทำให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

* * (x 2 – เอ็กซ์ซี) = x 2 ย 2 – เอ็กซ์ซี 3 .

ตัวเลือกที่ 4

1. ทำการคูณ:

ก) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

ข)x 2 (x 5 – x 3 + 2 x);

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) 2 x(x+1) – 4 x(2– x);

ข) 5ข (3 ก – ข) – 3 ก(5 ข+ ก).

3. แก้สมการ:

-8(11 – 2 x) +40 =3(5 x - 4).

4. งานเพิ่มเติม

ควรป้อน monomial ใดแทนเครื่องหมาย * เพื่อทำให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

(x – 1) * * = x 2 ย 2 – เอ็กซ์ซี 2 .

ค งานอิสระหมายเลข 7

(ดำเนินการโดยมีวัตถุประสงค์เพื่อพัฒนาทักษะในการแก้สมการและปัญหา)

ตัวเลือกที่ 1

แก้สมการ:

+ = 6

สารละลาย:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x=120 – 4,

x=116.

คำตอบ: 116.

แก้สมการ:

+ = 4

2. แก้ไขปัญหา:

รถใช้เวลาเดินทางจากหมู่บ้านไปยังสถานีน้อยกว่านักปั่นจักรยาน 1 ชั่วโมง จงหาระยะทางจากหมู่บ้านถึงสถานี หากรถวิ่งด้วยความเร็วเฉลี่ย 60 กม./ชม. และนักปั่นจักรยานอยู่ที่ 20 กม./ชม.

ตัวเลือกที่ 2

1. ดำเนินงานให้เสร็จสิ้นโดยใช้โซลูชันตัวอย่าง

แก้สมการ:

– = 1

สารละลาย:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x=5.

คำตอบ: 5.

แก้สมการ:

+ = 2

2. แก้ไขปัญหา:

นายผลิตได้ 8 ส่วนต่อชั่วโมงมากกว่าเด็กฝึกงาน เด็กฝึกงานทำงาน 6 ชั่วโมง และเจ้านาย 8 ชั่วโมง และพวกเขาร่วมกันสร้างชิ้นส่วน 232 ชิ้น นักเรียนผลิตได้กี่ชิ้นต่อชั่วโมง?

แนวทางแก้ไข:

ก) กรอกตาราง;

อีก 8 ส่วน

b) เขียนสมการ;

c) แก้สมการ;

d) ตรวจสอบและจดคำตอบ

ตัวเลือกที่ 3

(สำหรับนักเรียนที่เข้มแข็ง แจกโดยไม่มีตัวอย่าง)

1. แก้สมการ:

– = 2

2. แก้ไขปัญหา:

นำมันฝรั่งมาที่ห้องอาหาร บรรจุถุงละ 3 กก. หากบรรจุในถุงขนาด 5 กก. ก็จะต้องใช้น้อยลง 8 ถุง มันฝรั่งถูกนำไปที่โรงอาหารกี่กิโลกรัม?

งานอิสระจะดำเนินการในตอนท้ายของบทเรียน หลังจากเสร็จสิ้นงานแล้ว จะใช้การทดสอบตัวเองโดยใช้กุญแจ

เป็นการบ้าน นักเรียนจะได้รับงานอิสระเชิงสร้างสรรค์:

คิดถึงปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการ

30 x = 60(x– 4) และแก้ไขมัน

งานอิสระหมายเลข 8

(ดำเนินการโดยมีจุดมุ่งหมายเพื่อพัฒนาทักษะและความสามารถเพื่อนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ)

ตัวเลือกที่ 1

ก)ม + ของฉัน- ง)x 5 – x 4 ;

ข) 5เกี่ยวกับ – 5 ข- จ) 4x 3 – 8 x 2 ;

วี) – 4 นาที + น; -และ) 2ค 3 +4ค 2 + ค ;

ช) 7ab – 14ก 2 ; * ชม.)ขวาน 2 + ก 2 .

2. งานเพิ่มเติม

2 – 2 18 หารด้วย 14.

ตัวเลือกที่ 2

1. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ (ตรวจสอบการกระทำของคุณด้วยการคูณ):

ก) 10x + 10y;ง)ก 4 + ก 3 ;

ข) 4x + 20ป;จ) 2x 6 – 4x 3 ;

วี) 9 เอบี + 3บี; -และ)ป 5 + 3ป 6 + 4ป 2 ;

ช) 5xy 2 + 15ป; -ชม.) 5 ปีก่อนคริสตกาล 2 +บีซี

2. งานเพิ่มเติม

พิสูจน์ว่าค่าของนิพจน์คือ 8 5 – 2 11 หารด้วย 17.

ตัวเลือกที่ 3

1. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ (ตรวจสอบการกระทำของคุณด้วยการคูณ):

ก) 18ay + 8ax;ง) ม 6 +ม 5 ;

ข) 4ab - 16a;จ) 5z 4 – 10z 2 ;

เวลา 4นาที + 5 n- * ช) 3x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

ง) 3x 2 ย– 9 x- * ชม)เอ็กซ์ซี 2 +4 เอ็กซ์ซี.

2. งานเพิ่มเติม

พิสูจน์ว่าค่าของนิพจน์คือ 79 2 + 79 * 11 หารด้วย 30 ลงตัว.

ตัวเลือกที่ 4

1. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ (ตรวจสอบการกระทำของคุณด้วยการคูณ):

ก) – 7เอ็กซ์ซี + 7 ย- ง)ย 7 - ย 5 ;

ข) 8นาที + 4 n- จ) 16z 5 – 8 z 3 ;

ใน 20ก 2 + 4 ขวาน- * ช) 4x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

ง) 5x 2 ย 2 + 10 x- * ชม)เอ็กซ์ซี +2 เอ็กซ์ซี 2 .

2. งานเพิ่มเติม

พิสูจน์ว่าค่าของนิพจน์คือ 313 * 299 – 313 2 หารด้วย 7 ลงตัว.

คงานอิสระจะดำเนินการในช่วงเริ่มต้นของบทเรียน หลังจากงานเสร็จสิ้นจะใช้การตรวจสอบคีย์

โรงเรียนสารบรรณชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ภารกิจที่ 2

คู่มือระเบียบวิธีฉบับที่ 2

ธีมส์:

    พหุนาม ผลรวม ผลต่าง และผลคูณของพหุนาม

    การแก้สมการและปัญหา

    แยกตัวประกอบพหุนาม

    สูตรคูณแบบย่อ

    ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ

    พหุนาม ผลรวม ผลต่าง และผลคูณของพหุนาม

คำนิยาม. พหุนามเรียกว่าผลรวมของเอกนาม

คำนิยาม. เรียกว่า monomials ที่ใช้ประกอบพหุนาม สมาชิกของพหุนาม.

การคูณเอกนามด้วยพหุนาม .

    หากต้องการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลนี้ด้วยแต่ละเทอมของพหุนามแล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

การคูณพหุนามด้วยพหุนาม .

    ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของพหุนามอื่น แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

ตัวอย่างการแก้ปัญหา:

    ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

สารละลาย.

สารละลาย:

เนื่องจากตามเงื่อนไขสัมประสิทธิ์ที่ จะต้องเท่ากับศูนย์แล้ว

คำตอบ: -1.

    การแก้สมการและปัญหา

คำนิยาม - ความเท่าเทียมกันที่มีตัวแปรเรียกว่า สมการกับตัวแปรหนึ่งตัวหรือ สมการกับสิ่งหนึ่งที่ไม่รู้จัก.

คำนิยาม . รากของสมการ (การแก้สมการ)คือค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการมีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

การแก้สมการหมายถึงการหารากจำนวนมาก

คำนิยาม. สมการของแบบฟอร์ม
, ที่ไหน เอ็กซ์ ตัวแปร, ก และ ข – จำนวนบางตัวเรียกว่าสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว

คำนิยาม.

พวงของรากของสมการเชิงเส้นสามารถ:


ตัวอย่างการแก้ปัญหา:

    หมายเลข 7 ที่กำหนดเป็นรากของสมการหรือไม่:

สารละลาย:

ดังนั้น x=7 คือรากของสมการ.

คำตอบ: ใช่.

    แก้สมการ:

สารละลาย:

คำตอบ: -12

คำตอบ: -0.4

    เรือลำหนึ่งออกจากท่าเรือไปยังเมืองด้วยความเร็ว 12 กม./ชม. และครึ่งชั่วโมงต่อมาเรือกลไฟลำหนึ่งแล่นไปในทิศทางนี้ด้วยความเร็ว 20 กม./ชม. ระยะทางจากท่าเรือถึงเมืองคือเท่าไรหากเรือกลไฟมาถึงเมือง 1.5 ชั่วโมงก่อนเรือ?

สารละลาย:

ให้เราแสดงด้วย x ระยะทางจากท่าเรือถึงเมือง

ความเร็ว (กม./ชม)

เวลา (ชม.)

เส้นทาง (กม.)

เรือ

เรือกลไฟ

ตามเงื่อนไขของปัญหา เรือใช้เวลามากกว่าเรือกลไฟ 2 ชั่วโมง (เนื่องจากเรือออกจากท่าเรือครึ่งชั่วโมงต่อมาและมาถึงในเมือง 1.5 ชั่วโมงก่อนเรือ).

มาสร้างและแก้สมการกัน:

60 กม. – ระยะทางจากท่าเรือถึงตัวเมือง

คำตอบ: 60 กม.

    ความยาวของสี่เหลี่ยมลดลง 4 ซม. และได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่น้อยกว่าพื้นที่สี่เหลี่ยม 12 ซม. ² ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม

สารละลาย:

ให้ x เป็นด้านของสี่เหลี่ยม

ความยาว

ความกว้าง

สี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมผืนผ้า

เอ็กซ์(x-4)

สี่เหลี่ยม

(x-4)(x-4)

ตามเงื่อนไขของปัญหา พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะน้อยกว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส 12 ตารางเซนติเมตร

มาสร้างและแก้สมการกัน:

7 ซม. คือความยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

(cm²) – พื้นที่สี่เหลี่ยม

คำตอบ: 21 ซม.².

    นักท่องเที่ยวครอบคลุมเส้นทางที่วางแผนไว้ภายในสามวัน ในวันแรกพวกเขาครอบคลุม 35% ของเส้นทางที่วางแผนไว้ ในวันที่สอง - มากกว่าวันแรก 3 กม. และในวันที่สาม - ส่วนที่เหลือ 21 กม. เส้นทางยาวเท่าไร?

สารละลาย:

ให้ x เป็นความยาวของเส้นทางทั้งหมด

1 วัน

วันที่ 2

วันที่ 3

ความยาวเส้นทาง

0.35x+3

ความยาวเส้นทางทั้งหมด x กม.

ดังนั้นเราจึงสร้างและแก้สมการ:

0.35x+0.35x+21=x

0.7x+21=x

0.3x=21

ความยาว 70 กม. ตลอดเส้นทาง

คำตอบ: 70 กม.

    แยกตัวประกอบพหุนาม

คำนิยาม - การแทนพหุนามเป็นผลคูณของพหุนามตั้งแต่สองตัวขึ้นไปเรียกว่าการแยกตัวประกอบ

    นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ .

ตัวอย่าง :

    วิธีการจัดกลุ่ม .

การจัดกลุ่มจะต้องทำเพื่อให้แต่ละกลุ่มมีตัวประกอบร่วม นอกจากนี้ เมื่อนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บในแต่ละกลุ่มแล้ว นิพจน์ผลลัพธ์จะต้องมีตัวประกอบร่วมด้วย

ตัวอย่าง :

    สูตรคูณแบบย่อ

    ผลคูณของผลต่างของสองนิพจน์และผลรวมเท่ากับผลต่างของกำลังสองของนิพจน์เหล่านี้

    ผลรวมของสองนิพจน์กำลังสองจะเท่ากับกำลังสองของนิพจน์แรกบวกสองเท่าของผลคูณของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สอง บวกด้วยกำลังสองของนิพจน์ที่สอง โซลูชั่น- 1. หาเศษที่เหลือของการหาร พหุนาม x6 – 4x4 + x3 ... ไม่มี โซลูชั่น, ก การตัดสินใจอันที่สองคือคู่ (1; 2) และ (2; 1) คำตอบ: (1; 2) , (2; 1). งาน สำหรับ เป็นอิสระ โซลูชั่น- แก้ระบบ...

  • หลักสูตรโดยประมาณสำหรับพีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้นสำหรับเกรด 10-11 (ระดับโปรไฟล์) คำอธิบาย

    โปรแกรม

    แต่ละย่อหน้าให้จำนวนเงินที่ต้องการ งาน สำหรับ เป็นอิสระ โซลูชั่นเพื่อเพิ่มความยากลำบาก ...อัลกอริทึมการสลายตัว พหุนามโดยยกกำลังทวินาม; พหุนามมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน พหุนามด้วยความถูกต้อง...

  • วิชาเลือก “การแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9" จบโดยครูคณิตศาสตร์

    วิชาเลือก

    สมการนี้เทียบเท่ากับสมการ P(x) = Q(X) โดยที่ P(x) และ Q(x) มีค่าเท่ากับ พหุนามโดยมีตัวแปร x ตัวเดียว กำลังถ่ายโอน Q(x) ไปทางซ้าย... = คำตอบ: x1=2, x2=-3, xs=, x4= งาน สำหรับ เป็นอิสระ โซลูชั่น- แก้สมการต่อไปนี้: x4 – 8x...

  • วิชาเลือกวิชาคณิตศาสตร์ สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

    โปรแกรม

    ทฤษฎีบทพีชคณิต ทฤษฎีบทของเวียตา สำหรับตรีโกณมิติกำลังสองและ สำหรับ พหุนามปริญญาตามอำเภอใจ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเหตุผล... วัสดุ มันไม่ใช่แค่รายการ งาน สำหรับ เป็นอิสระ โซลูชั่นแต่ยังรวมถึงงานการสร้างแบบจำลองการพัฒนาด้วย...

คำจำกัดความ 3.3 เอกพจน์ เป็นนิพจน์ที่เป็นผลคูณของตัวเลข ตัวแปร และกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

ตัวอย่างเช่น แต่ละนิพจน์
,
เป็นแบบเอกพจน์

พวกเขาบอกว่า monomial มี มุมมองมาตรฐาน หากประกอบด้วยตัวประกอบที่เป็นตัวเลขเพียงตัวเดียวในตอนแรก และผลิตภัณฑ์แต่ละตัวที่มีตัวแปรที่เหมือนกันในตัวนั้นจะแสดงด้วยระดับ ตัวประกอบเชิงตัวเลขของ monomial ที่เขียนในรูปแบบมาตรฐานเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomial . ด้วยอำนาจแห่งเอกภาพ เรียกว่าผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวแปรทั้งหมด

คำจำกัดความ 3.4 พหุนาม เรียกว่าผลรวมของเอกนาม เรียกว่า monomials ที่ใช้ประกอบพหุนามสมาชิกของพหุนาม .

คำที่คล้ายกัน - monomials ในพหุนาม - เรียกว่า เงื่อนไขที่คล้ายกันของพหุนาม .

คำจำกัดความ 3.5 พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน เรียกว่าพหุนามซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดเขียนในรูปแบบมาตรฐานและมีเงื่อนไขที่คล้ายกันระดับของพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน เรียกว่าเป็นผู้มีอำนาจสูงสุดในบรรดาเอกราชที่รวมอยู่ในนั้น

ตัวอย่างเช่น เป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานของดีกรีที่ 4

การกระทำกับ monomial และพหุนาม

ผลรวมและผลต่างของพหุนามสามารถแปลงเป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้ เมื่อบวกพหุนามสองตัว เงื่อนไขทั้งหมดจะถูกเขียนลงไปและให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน เมื่อลบออก เครื่องหมายของพจน์ทั้งหมดของพหุนามที่ถูกลบจะกลับกัน

ตัวอย่างเช่น:

เงื่อนไขของพหุนามสามารถแบ่งออกเป็นกลุ่มและอยู่ในวงเล็บ เนื่องจากนี่คือการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันผกผันกับการเปิดวงเล็บ จึงได้กำหนดสิ่งต่อไปนี้ขึ้นมา กฎการถ่ายคร่อม: หากใส่เครื่องหมายบวกไว้หน้าวงเล็บ คำศัพท์ทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมาย หากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ คำศัพท์ทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

ตัวอย่างเช่น,

กฎสำหรับการคูณพหุนามด้วยพหุนาม: ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม ก็เพียงพอที่จะคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของพหุนามอื่นแล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

ตัวอย่างเช่น,

คำจำกัดความ 3.6 พหุนามในตัวแปรเดียว องศา เรียกว่า การแสดงออกของรูป

ที่ไหน
- หมายเลขใด ๆ ที่ถูกเรียก ค่าสัมประสิทธิ์พหุนาม , และ
,– จำนวนเต็มไม่เป็นลบ

ถ้า
แล้วค่าสัมประสิทธิ์ เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ชั้นนำของพหุนาม
, เอกพจน์
- ของเขา สมาชิกอาวุโส , ค่าสัมประสิทธิ์ – สมาชิกฟรี .

ถ้าแทนที่จะเป็นตัวแปร เป็นพหุนาม
แทนจำนวนจริง แล้วผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจริง
ซึ่งถูกเรียกว่า ค่าของพหุนาม
ที่
.

คำจำกัดความ 3.7 ตัวเลข เรียกว่ารากของพหุนาม
, ถ้า
.

ลองพิจารณาการหารพหุนามด้วยพหุนาม โดยที่
และ - จำนวนเต็ม การหารเป็นไปได้หากระดับของการจ่ายเงินปันผลพหุนามเป็น
ไม่น้อยกว่าดีกรีของพหุนามตัวหาร
, นั่นคือ
.

หารพหุนาม
เป็นพหุนาม
,
หมายถึงการค้นหาพหุนามสองตัวดังกล่าว
และ
, ถึง

ในกรณีนี้คือพหุนาม
องศา
เรียกว่า พหุนาม-เชาวน์ ,
– ส่วนที่เหลือ ,
.

หมายเหตุ 3.2. ถ้าตัวหาร
–ไม่เป็นพหุนามศูนย์แล้วจึงหาร
บน
,
เป็นไปได้เสมอ และผลหารและเศษจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน

หมายเหตุ 3.3. เผื่อ
ต่อหน้าทุกคน , นั่นคือ

พวกเขาบอกว่ามันเป็นพหุนาม
แบ่งแยกโดยสิ้นเชิง(หรือหุ้น)เป็นพหุนาม
.

การหารพหุนามจะดำเนินการคล้ายกับการหารตัวเลขหลายหลัก: ขั้นแรก เทอมนำหน้าของพหุนามเงินปันผลจะถูกหารด้วยเทอมนำหน้าของพหุนามตัวหาร จากนั้นผลหารจากการหารเทอมเหล่านี้ ซึ่งจะเป็น เทอมนำหน้าของพหุนามผลหารจะถูกคูณด้วยพหุนามตัวหารและผลคูณที่ได้จะถูกลบออกจากพหุนามเงินปันผล เป็นผลให้ได้พหุนาม - ส่วนที่เหลือแรกซึ่งหารด้วยพหุนามตัวหารในลักษณะเดียวกันและพบเทอมที่สองของพหุนามผลหาร กระบวนการนี้ดำเนินต่อไปจนกว่าจะได้เศษเหลือเป็นศูนย์ หรือดีกรีของพหุนามส่วนที่เหลือน้อยกว่าดีกรีของพหุนามตัวหาร

เมื่อหารพหุนามด้วยทวินาม คุณสามารถใช้แบบแผนของฮอร์เนอร์ได้

แผนการของฮอร์เนอร์

สมมติว่าเราต้องการหารพหุนาม

โดยทวินาม
- ให้เราแสดงว่าผลหารของการหารเป็นพหุนาม

และส่วนที่เหลือก็คือ - ความหมาย , สัมประสิทธิ์พหุนาม
,
และส่วนที่เหลือ ลองเขียนมันในรูปแบบต่อไปนี้:

ในโครงการนี้แต่ละค่าสัมประสิทธิ์
,
,
, …,ได้มาจากตัวเลขก่อนหน้าในบรรทัดล่างสุดโดยการคูณตัวเลข และเพิ่มจำนวนที่สอดคล้องกันในบรรทัดบนสุดเหนือค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการลงในผลลัพธ์ผลลัพธ์ ถ้าเรียนปริญญาไหน. ไม่มีอยู่ในพหุนาม ดังนั้นสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันจะเป็นศูนย์ เมื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ตามรูปแบบที่กำหนดแล้วให้เขียนผลหาร

และผลการหารถ้า
,

หรือ ,

ถ้า
,

ทฤษฎีบท 3.1 เพื่อให้เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ (

,

)เป็นรากของพหุนาม
ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มจำเป็นต้องมีจำนวนนั้น เป็นตัวหารของพจน์อิสระ และหมายเลข - ตัวหารของสัมประสิทธิ์นำหน้า .

ทฤษฎีบท 3.2 (ทฤษฎีบทของเบซูต์ ) ที่เหลือ จากการหารพหุนาม
โดยทวินาม
เท่ากับค่าของพหุนาม
ที่
, นั่นคือ
.

เมื่อทำการหารพหุนาม
โดยทวินาม
เรามีความเท่าเทียมกัน

นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะเมื่อ
, นั่นคือ
.

ตัวอย่างที่ 3.2หารด้วย
.

สารละลาย.ลองใช้แผนของฮอร์เนอร์:

เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 3.3หารด้วย
.

สารละลาย.ลองใช้แผนของฮอร์เนอร์:

เพราะฉะนั้น,

,

ตัวอย่างที่ 3.4หารด้วย
.

สารละลาย.

เป็นผลให้เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 3.5แบ่ง
บน
.

สารละลาย.ลองแบ่งพหุนามตามคอลัมน์:

แล้วเราก็ได้

.

บางครั้ง การแสดงพหุนามเป็นผลคูณที่เท่ากันของพหุนามตั้งแต่สองตัวขึ้นไปก็มีประโยชน์ การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ดังกล่าวเรียกว่า แยกตัวประกอบพหุนาม - ให้เราพิจารณาวิธีการหลักของการสลายตัวดังกล่าว

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ หากต้องการแยกตัวประกอบพหุนามโดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ คุณต้อง:

1) ค้นหาปัจจัยร่วม ในการทำเช่นนี้ หากสัมประสิทธิ์ของพหุนามทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม ตัวหารร่วมแบบโมดูโลที่ใหญ่ที่สุดของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามจะถือเป็นสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบร่วม และแต่ละตัวแปรที่รวมอยู่ในเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามจะถูกนำมาใช้ด้วยค่าที่ใหญ่ที่สุด เลขชี้กำลังที่มีอยู่ในพหุนามนี้

2) ค้นหาผลหารของการหารพหุนามที่กำหนดด้วยตัวประกอบร่วม

3) เขียนผลคูณของปัจจัยทั่วไปและความฉลาดทางผลลัพธ์

การรวมกลุ่มของสมาชิก เมื่อแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้วิธีการจัดกลุ่ม เงื่อนไขจะถูกแบ่งออกเป็นสองกลุ่มขึ้นไป เพื่อให้แต่ละกลุ่มสามารถแปลงเป็นผลคูณได้ และผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์ที่ได้จะมีปัจจัยร่วม หลังจากนั้นจะใช้วิธีการวงเล็บเหลี่ยมปัจจัยร่วมของคำที่แปลงใหม่

การใช้สูตรคูณแบบย่อ ในกรณีที่ต้องขยายพหุนาม เป็นปัจจัย มีรูปแบบทางด้านขวาของสูตรการคูณแบบย่อใดๆ โดยการใช้สูตรที่สอดคล้องกันซึ่งเขียนในลำดับที่ต่างกัน

อนุญาต

แล้วสิ่งต่อไปนี้เป็นจริง สูตรคูณแบบย่อ:

สำหรับ

:

ถ้า แปลก (

):

นิวตันทวินาม:

ที่ไหน
– จำนวนชุดค่าผสมของ โดย .

การแนะนำสมาชิกสมทบใหม่ วิธีการนี้ประกอบด้วยการแทนที่พหุนามด้วยพหุนามอีกอันหนึ่งที่เท่ากัน แต่มีจำนวนพจน์ต่างกัน โดยการใส่พจน์ที่ตรงกันข้ามกัน 2 พจน์ หรือแทนที่พจน์ใดๆ ด้วยผลรวมของโมโนเมียลที่คล้ายกันที่เท่ากัน การแทนที่จะทำในลักษณะที่สามารถประยุกต์วิธีการจัดกลุ่มคำศัพท์กับพหุนามผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างที่ 3.6.

สารละลาย.เงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามมีตัวประกอบร่วม
- เพราะฉะนั้น,.

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 3.7

สารละลาย.เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์แยกกัน และคำศัพท์ที่มี - เมื่อนำปัจจัยร่วมของกลุ่มออกจากวงเล็บ เราจะได้:

.

คำตอบ:
.

ตัวอย่างที่ 3.8แยกตัวประกอบพหุนาม
.

สารละลาย.เมื่อใช้สูตรการคูณแบบย่อที่เหมาะสม เราจะได้:

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 3.9แยกตัวประกอบพหุนาม
.

สารละลาย.โดยใช้วิธีการจัดกลุ่มและสูตรการคูณแบบย่อที่สอดคล้องกันเราได้รับ:

.

คำตอบ: .

ตัวอย่าง 3.10.แยกตัวประกอบพหุนาม
.

สารละลาย.เราจะมาแทนที่ บน
จัดกลุ่มคำศัพท์ ใช้สูตรคูณแบบย่อ:

.

คำตอบ:
.

ตัวอย่างที่ 3.11แยกตัวประกอบพหุนาม

สารละลาย.เพราะ ,
,
, ที่

ในส่วนนี้ของพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 คุณสามารถเรียนบทเรียนของโรงเรียนในหัวข้อ "พหุนาม" การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับพหุนาม"

บทเรียนวิดีโอเพื่อการศึกษาเกี่ยวกับพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 “พหุนาม การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับพหุนาม" สอนโดย Valentin Alekseevich Tarasov อาจารย์ของโรงเรียน Logos LV คุณยังสามารถศึกษาหัวข้ออื่น ๆ ในพีชคณิตได้

ปริญญาเป็นกรณีพิเศษของพหุนาม

ในบทนี้ จะกล่าวถึงแนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ โดยจะเตรียมพื้นฐานสำหรับการศึกษาหัวข้อที่ซับซ้อนและกว้างขวาง กล่าวคือ เราจะจำเนื้อหาทางทฤษฎีเกี่ยวกับองศา - คำจำกัดความ คุณสมบัติ ทฤษฎีบท และแก้ตัวอย่างต่างๆ เพื่อรวมเทคนิค .

การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน งานทั่วไป

ในบทนี้ เราจะจำคำจำกัดความพื้นฐานของหัวข้อนี้และพิจารณาปัญหาทั่วไปบางประการ กล่าวคือ การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน และการคำนวณค่าตัวเลขสำหรับค่าตัวแปรที่กำหนด เราจะแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างซึ่งจะใช้การลดขนาดเป็นรูปแบบมาตรฐานเพื่อแก้ไขปัญหาประเภทต่างๆ

การบวกและการลบพหุนาม งานทั่วไป

ในบทนี้ จะศึกษาการดำเนินการของการบวกและการลบพหุนาม และกฎสำหรับการบวกและการลบจะถูกกำหนด มีการพิจารณาตัวอย่างและปัญหาและสมการทั่วไปบางอย่างได้รับการแก้ไข และทักษะในการดำเนินการเหล่านี้จะถูกรวมเข้าด้วยกัน

การคูณพหุนามด้วยโมโนเมียล งานทั่วไป

ในบทนี้ เราจะศึกษาการดำเนินการของการคูณพหุนามด้วย monomial ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาการคูณพหุนาม ขอให้เรานึกถึงกฎการกระจายของการคูณและกำหนดกฎสำหรับการคูณพหุนามใดๆ ด้วยเอกพจน์ ให้เรานึกถึงคุณสมบัติบางอย่างขององศาด้วย นอกจากนี้ ข้อผิดพลาดทั่วไปจะถูกกำหนดเมื่อดำเนินการตัวอย่างต่างๆ

การคูณทวินาม งานทั่วไป

ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับการดำเนินการคูณพหุนามที่ง่ายที่สุด - ทวินาม และกำหนดกฎสำหรับการคูณ ขอให้เราได้สูตรสำหรับการคูณแบบย่อโดยใช้การดำเนินการนี้ นอกจากนี้ เราจะแก้ตัวอย่างและปัญหาทั่วไปจำนวนมาก เช่น ปัญหาการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ปัญหาการคำนวณ และสมการ

การคูณตรีโกณมิติ งานทั่วไป

ในบทนี้ เราจะดูการดำเนินการของการคูณตรีนาม อนุมานกฎสำหรับการคูณตรีนาม และอันที่จริง จะกำหนดกฎสำหรับการคูณพหุนามโดยทั่วไป เรามาแก้ตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้กันดีกว่า เพื่อไปสู่การคูณพหุนามโดยละเอียดยิ่งขึ้น

การคูณพหุนามด้วยพหุนาม

ในบทนี้ เราจะจำทุกสิ่งที่เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับการคูณพหุนาม สรุปผลลัพธ์บางส่วน และกำหนดกฎทั่วไป หลังจากนี้ เราจะแสดงชุดตัวอย่างเพื่อเสริมเทคนิคการคูณพหุนาม

การคูณพหุนามในโจทย์ปัญหาคำ

ในบทนี้เราจะจำวิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และแก้ปัญหาด้วยความช่วยเหลือ เราจะเรียนรู้การเขียนพหุนามและสำนวนจากเงื่อนไขของปัญหาข้อความและแก้ไขปัญหาเหล่านี้ซึ่งหมายถึงการใช้ความรู้ที่ได้รับเกี่ยวกับพหุนามในงานประเภทที่ซับซ้อนมากขึ้น

การคูณพหุนามในปัญหากับองค์ประกอบทางเรขาคณิต

ในบทนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาคำศัพท์ที่มีองค์ประกอบทางเรขาคณิตโดยใช้วิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ในการทำเช่นนี้ ให้เรานึกถึงข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตพื้นฐานและขั้นตอนของการแก้ปัญหาก่อน

สูตรคูณแบบย่อ ผลรวมกำลังสองและผลต่างกำลังสอง

ในบทนี้ เราจะมาทำความคุ้นเคยกับสูตรกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่างแล้วหาค่ามา ให้เราพิสูจน์สูตรกำลังสองของผลรวมทางเรขาคณิตกัน นอกจากนี้ เราจะแก้ตัวอย่างต่างๆ มากมายโดยใช้สูตรเหล่านี้

สูตรคูณแบบย่อ ความแตกต่างของกำลังสอง

ในบทนี้ เราจะนึกถึงสูตรการคูณแบบย่อที่เราเรียนไปก่อนหน้านี้ ซึ่งได้แก่ กำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่าง ลองใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองและแก้ปัญหาทั่วไปต่างๆ โดยใช้สูตรนี้ นอกจากนี้ เราจะแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการใช้สูตรหลายสูตรที่ซับซ้อน

สูตรคูณแบบย่อ ความแตกต่างของลูกบาศก์และผลรวมของลูกบาศก์

ในบทนี้ เราจะศึกษาสูตรการคูณแบบย่อต่อไป กล่าวคือ เราจะพิจารณาผลต่างและผลรวมของสูตรลูกบาศก์ นอกจากนี้ เราจะแก้ไขปัญหาทั่วไปต่างๆ โดยใช้สูตรเหล่านี้

การใช้สูตรคูณแบบย่อร่วมกัน

บทเรียนวิดีโอนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับทุกคนที่ต้องการศึกษาหัวข้อ "การประยุกต์ใช้สูตรคูณแบบย่อแบบรวม" อย่างอิสระ ด้วยวิดีโอบรรยายนี้ คุณจะสามารถสรุป เจาะลึก และจัดระบบความรู้ที่ได้รับจากบทเรียนก่อนหน้าได้ ครูจะสอนวิธีใช้สูตรคูณแบบย่อร่วมกัน

สูตรการคูณแบบย่อในปัญหาความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น ส่วนที่ 1

ในบทนี้ เราจะใช้ความรู้เกี่ยวกับพหุนามและสูตรการคูณแบบย่อเพื่อแก้ปัญหาเรขาคณิตที่ค่อนข้างซับซ้อน สิ่งนี้จะช่วยให้เราเสริมทักษะในการทำงานกับพหุนามได้

สูตรการคูณแบบย่อในปัญหาความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น ส่วนที่ 2

ในบทนี้ เราจะดูปัญหาที่ซับซ้อนโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ และทำตัวอย่างต่างๆ มากมายเพื่อเสริมเทคนิคนี้

ปัญหาเรขาคณิตบนเส้นขนานโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ

ในบทเรียนวิดีโอนี้ ทุกคนจะสามารถศึกษาหัวข้อ “ปัญหาเรขาคณิตบนเส้นขนานโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ” ในกิจกรรมนี้ นักเรียนจะได้ฝึกใช้สูตรคูณแบบย่อสำหรับรูปขนาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งครูจะให้โจทย์เรขาคณิตบนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งจะต้องถอดประกอบและแก้ไข

การหารพหุนามด้วยโมโนเมียล

ในบทนี้ เราจะจำกฎสำหรับการแบ่ง monomial ด้วย monomial และกำหนดข้อเท็จจริงพื้นฐานที่สนับสนุน เรามาเพิ่มข้อมูลทางทฤษฎีให้กับสิ่งที่ทราบอยู่แล้วและหากฎสำหรับการหารพหุนามด้วยโมโนเมียล หลังจากนี้ เราจะแสดงตัวอย่างจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับความซับซ้อนที่แตกต่างกันเพื่อฝึกฝนเทคนิคการหารพหุนามด้วยโมโนเมียล

เป้าหมาย:การวางนัยทั่วไปและการรวมวัสดุที่ครอบคลุม: ทำซ้ำแนวคิดของพหุนาม กฎการคูณพหุนามด้วยพหุนามและรวมกฎนี้ระหว่างการทดสอบ รวบรวมทักษะการแก้สมการและปัญหาโดยใช้สมการ

อุปกรณ์:โปสเตอร์ “ ใครก็ตามที่ทำและคิดเองตั้งแต่อายุยังน้อยจะมีความน่าเชื่อถือมากขึ้นแข็งแกร่งขึ้นฉลาดขึ้น” (V. Shukshin) เครื่องฉายเหนือศีรษะ กระดานแม่เหล็ก ปริศนาอักษรไขว้ บัตรทดสอบ

แผนการเรียน.

1. ช่วงเวลาขององค์กร
2. ตรวจการบ้าน.
3. แบบฝึกหัดช่องปาก (ปริศนาอักษรไขว้)
4. แก้แบบฝึกหัดในหัวข้อ
5. ทดสอบในหัวข้อ: “พหุนามและการปฏิบัติการกับพวกมัน” (4 ตัวเลือก)
6. สรุปบทเรียน
7. การบ้าน.

ในระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

นักเรียนในชั้นเรียนแบ่งออกเป็นกลุ่มละ 4-5 คน โดยเลือกคนโตในกลุ่ม

ครั้งที่สอง ตรวจการบ้าน.

นักเรียนเตรียมการบ้านลงในการ์ดที่บ้าน นักเรียนแต่ละคนตรวจสอบงานของตนเองผ่านเครื่องฉายเหนือศีรษะ ครูเสนอให้ประเมินการบ้านของนักเรียนเองและให้คะแนนในรายงานโดยระบุเกณฑ์การประเมิน: "5" ─งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้องและเป็นอิสระ; “ 4” ─งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้องและสมบูรณ์ แต่ด้วยความช่วยเหลือจากผู้ปกครองหรือเพื่อนร่วมชั้น “3” ─ ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด หากงานเสร็จสิ้น หากงานไม่เสร็จสิ้นคุณสามารถใส่เส้นประได้

สาม. การออกกำลังกายในช่องปาก

1) เพื่อทบทวนคำถามเชิงทฤษฎี นักเรียนจะได้รับปริศนาอักษรไขว้ ปริศนาอักษรไขว้ได้รับการแก้ไขด้วยวาจาโดยกลุ่ม และนักเรียนจากกลุ่มต่างๆ จะได้รับคำตอบ เราให้คะแนน: "5" ─ 7 คำที่ถูกต้อง, "4" ─ 5.6 คำที่ถูกต้อง, "3" ─ 4 คำที่ถูกต้อง

คำถามสำหรับคำไขว้: (ดู ภาคผนวก 1)

  1. คุณสมบัติของการคูณที่ใช้เมื่อคูณ monomial ด้วยพหุนาม
  2. วิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม
  3. ความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร
  4. สำนวนที่แสดงถึงผลรวมของ monomials
  5. คำที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน
  6. ค่าของตัวแปรที่สมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง
  7. ตัวประกอบเชิงตัวเลขของ monomials

2) ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

3. หากความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าลดลง 4 ซม. และความกว้างเพิ่มขึ้น 7 ซม. คุณจะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่มากกว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 100 ซม. 2 กำหนดด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส. (ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาว 24 ซม.)

นักเรียนแก้ปัญหาเป็นกลุ่ม พูดคุยและช่วยเหลือซึ่งกันและกัน เมื่อกลุ่มทำงานเสร็จสิ้นแล้ว พวกเขาจะถูกตรวจสอบกับวิธีแก้ปัญหาที่เขียนไว้บนกระดาน หลังจากการตรวจสอบ จะมีการกำหนดเกรด สำหรับงานนี้ นักเรียนจะได้รับสองเกรด: การประเมินตนเองและการประเมินกลุ่ม เกณฑ์การประเมิน: "5" ─แก้ไขทุกอย่างถูกต้องและช่วยเหลือสหายของเขา "4" ─ทำผิดพลาดเมื่อแก้ไข แต่แก้ไขด้วยความช่วยเหลือจากสหายของเขา "3" ─สนใจในวิธีแก้ปัญหาและแก้ไขทุกอย่างด้วยความช่วยเหลือของ เพื่อนร่วมชั้น.

V. ทดสอบงาน.

ตัวเลือกที่ 1

1. แสดงในรูปมาตรฐานของพหุนาม 3a – 5a∙a – 5 + 2a 2 – 5a +3

3. ค้นหาผลต่างของพหุนาม 2x 2 – x + 2 และ ─ 3x 2 ─2x + 1

5. นำเสนอนิพจน์ในรูปแบบพหุนาม: 2 – (3a – 1)(a + 5)

ตัวเลือกที่สอง

1. แสดงในรูปแบบมาตรฐานของพหุนาม 5x 2 – 5 + 4x ─ 3x∙x + 2 – 2x

3. ค้นหาผลต่างของพหุนาม 4y 2 – 2y + 3 และ - 2y 2 + 3y +2

5. แก้สมการ: ─3x 2 + 5x = 0

1) x =
3) x = 0 และ x = ─

2) x = 0 และ x =
4) x = 0

6. นำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์: 5a 3 – 3a 2 – 10a + 6

ตัวเลือกที่สาม

1. ค้นหาค่าของพหุนาม─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) โดย а = ─, b=─3


1)

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์: ─8x – (5x – (3x – 7))

4. คูณ: ─3x∙(─ 2x 2 + x – 3)

6. นำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์: 3x 3 – 2x 2 – 6x + 4

1) (x 2 + 2)(3x + 2)
3) (x 2 + 2)(3x – 2)

2) (x 2 – 2)(3x + 2)
4) (x 2 – 2)(3x – 2)

7. นำเสนอนิพจน์ในรูปผลคูณ: a(x – y) ─2b(y – x)

1) (x – y)(ก ─ 2b)
3) (x – y)(ก + 2b)

2) (y – x)(ก ─ 2b)
4) (ย – x)(ก + 2)

ตัวเลือกที่สี่

1. ค้นหาค่าของพหุนาม─ 8a 2 – 2ax – x 2 – (─4a 2 – 2ax – x 2) โดยมี a= ─, x= ─ 2

2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์: ─ 5a – (2a – (3a – 5))

4. ทำการคูณ: ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1)

6. เขียนเป็นพหุนาม: (3x – 2)(─x 2 + x – 4)

1) ─3x 3 + 5x 2 – 10x – 8
3) ─3x 3 + 3x 2 – 14x + 8

2) ─3x 3 + 3x 2 – 12x
4) ─3x 3 + 5x 2 – 14x + 8

7. นำเสนอนิพจน์ในรูปผลคูณ: 2c(b – a) – d(a – b)

1) (ก – ข)(2ค – ง)
3) (ข – ก)(2c – ง)

2) (ข – ก)(2c + ง)
4) (ก – ข)(2c + ง)

หมายเลขงาน

ตัวเลือกหมายเลข

วี. สรุปบทเรียน

ในระหว่างบทเรียน นักเรียนแต่ละคนจะได้รับหลายเกรด นักเรียนประเมินความรู้ของตนเองโดยเปรียบเทียบกับความรู้ของผู้อื่น การประเมินแบบกลุ่มมีประสิทธิผลมากขึ้นเนื่องจากสมาชิกในกลุ่มทุกคนจะหารือเกี่ยวกับการประเมิน พวกเขาชี้ให้เห็นข้อบกพร่องและข้อบกพร่องในการทำงานของสมาชิกกลุ่ม ผู้นำกลุ่มจะป้อนเกรดทั้งหมดลงในบัตรงาน

ครูให้เกรดสุดท้ายเพื่อสื่อสารกับทั้งชั้นเรียน

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การบ้าน:

1. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

ก) (ก 2 + 3аb─b 2)(2а – b);
b) (x 2 + 2xy – 5ป 2)(2x 2 – 3ป)

2. แก้สมการ:

ก) (3x – 1)(2x + 7) ─ (x + 1)(6x – 5) = 16;
ข) (x – 4)(2x2 – 3x + 5) + (x2 – 5x + 4)(1 – 2x) = 20

3. หากด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสลดลง 1.2 ม. และอีกด้านหนึ่ง 1.5 ม. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่ได้จะน้อยกว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กำหนด 14.4 ม. 2 กำหนดด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส.