กำหนดคำจำกัดความของกรวยที่ถูกตัดทอนขององค์ประกอบต่างๆ ฟรัสตัม

พื้นผิวทรงกรวยคือ พื้นผิวที่เกิดจากเส้นตรงทั้งหมดที่ผ่านแต่ละจุดของเส้นโค้งที่กำหนดและจุดนอกเส้นโค้ง (รูปที่ 32)

เส้นโค้งนี้เรียกว่า แนะนำ , ตรง - การขึ้นรูป , จุด - สูงสุด พื้นผิวทรงกรวย

พื้นผิวทรงกรวยกลมตรงคือ พื้นผิวที่เกิดจากเส้นตรงทั้งหมดที่ผ่านแต่ละจุดของวงกลมที่กำหนด และจุดบนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบของวงกลมแล้วผ่านจุดศูนย์กลาง ต่อไปนี้เราจะเรียกพื้นผิวนี้ว่าสั้นๆ พื้นผิวทรงกรวย (รูปที่ 33)

กรวย (กรวยกลมตรง ) เป็นวัตถุรูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกรวยและระนาบที่ขนานกับระนาบของวงกลมนำ (รูปที่ 34)

ข้าว. รูปที่ 32 รูปที่ 33 34

กรวยถือได้ว่าเป็นวัตถุที่ได้จากการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบแกนที่มีขาข้างหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม

วงกลมที่ล้อมรอบกรวยเรียกว่ามัน พื้นฐาน - เรียกว่าจุดยอดของพื้นผิวทรงกรวย สูงสุด กรวย ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของกรวยกับศูนย์กลางของฐานเรียกว่า ความสูง กรวย เรียกว่าส่วนที่สร้างพื้นผิวทรงกรวย การขึ้นรูป กรวย แกน ของกรวยคือเส้นตรงที่ลากผ่านส่วนบนของกรวยและจุดศูนย์กลางของฐาน ส่วนตามแนวแกน เรียกว่าส่วนที่ผ่านแกนของกรวย การพัฒนาพื้นผิวด้านข้าง กรวยเรียกว่าเซกเตอร์ ซึ่งมีรัศมีเท่ากับความยาวของเจเนราทริกซ์ของกรวย และความยาวของส่วนโค้งของเซกเตอร์เท่ากับเส้นรอบวงของฐานของกรวย

สูตรที่ถูกต้องสำหรับกรวยคือ:

ที่ไหน ร– รัศมีฐาน

ชม- ความสูง;

ล– ความยาวของเจเนราทริกซ์

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

ด้านเอส

สเต็มเลย

วี– ปริมาตรของกรวย

กรวยที่ถูกตัดทอนเรียกว่าส่วนของกรวยที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบการตัดขนานกับฐานของกรวย (รูปที่ 35)

กรวยที่ถูกตัดทอนถือได้ว่าเป็นวัตถุที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมรอบแกนที่มีด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูตั้งฉากกับฐาน

วงกลมสองวงที่ล้อมรอบกรวยเรียกว่ามัน เหตุผล . ความสูง ของกรวยที่ถูกตัดทอนคือระยะห่างระหว่างฐาน ส่วนที่สร้างพื้นผิวทรงกรวยของกรวยที่ถูกตัดทอนเรียกว่า การขึ้นรูป - เรียกว่าเส้นตรงที่ลากผ่านศูนย์กลางฐาน แกน กรวยที่ถูกตัดทอน ส่วนตามแนวแกน เรียกว่าส่วนที่ผ่านแกนของกรวยที่ถูกตัดทอน

สำหรับกรวยที่ถูกตัดทอน สูตรที่ถูกต้องคือ:

(8)

ที่ไหน ร– รัศมีของฐานล่าง

ร– รัศมีของฐานบน

ชม– ความสูง, l – ความยาวของเจเนราทริกซ์

ด้านเอส– พื้นที่ผิวด้านข้าง

สเต็มเลย– พื้นที่ผิวทั้งหมด

วี– ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน

ตัวอย่างที่ 1ภาพตัดขวางของกรวยขนานกับฐานแบ่งความสูงเป็นอัตราส่วน 1:3 นับจากด้านบน ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนหากรัศมีของฐานและความสูงของกรวยเท่ากับ 9 ซม. และ 12 ซม.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 36)

ในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (8) ลองหารัศมีของฐานกัน ประมาณ 1 กและ ประมาณ 1 โวลต์และการขึ้นรูป เอบี

พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน SO2Bและ ดังนั้น 1 ก, ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงแล้ว

จากที่นี่

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนเท่ากับ:

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 2รัศมีหนึ่งในสี่ของวงกลมพับเป็นพื้นผิวทรงกรวย หารัศมีของฐานและความสูงของกรวย

สารละลาย.ควอแดรนท์ของวงกลมคือการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวย มาแสดงกันเถอะ ร– รัศมีของฐาน ชม -ความสูง. ลองคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างโดยใช้สูตร: . เท่ากับพื้นที่วงกลมหนึ่งในสี่: . เราได้สมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว รและ ล(เป็นรูปกรวย) ในกรณีนี้ เจเนราทริกซ์จะเท่ากับรัศมีของวงกลมควอเตอร์ รซึ่งหมายความว่าเราได้สมการต่อไปนี้: โดยที่เมื่อทราบรัศมีของฐานและเครื่องกำเนิดเราจะพบความสูงของกรวย:

คำตอบ: 2 ซม.

ตัวอย่างที่ 3สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมที่มีมุมแหลม 45 O ฐานเล็กกว่า 3 ซม. และด้านเอียงเท่ากับ หมุนรอบด้านที่ตั้งฉากกับฐาน ค้นหาปริมาตรของวัตถุการหมุนที่เกิดขึ้น

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 37)

จากการหมุนเราได้กรวยที่ถูกตัดทอนเพื่อหาปริมาตรเราจะคำนวณรัศมีของฐานและความสูงที่ใหญ่กว่า ในราวสำหรับออกกำลังกาย โอ 1 โอ 2 เอบีเราจะดำเนินการ เอซี^โอ 1 บ- B เรามี: หมายความว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นหน้าจั่ว เอ.ซี.=บี.ซี.=3 ซม.

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4สามเหลี่ยมที่มีด้าน 13 ซม., 37 ซม. และ 40 ซม. หมุนรอบแกนภายนอกซึ่งขนานกับด้านที่ใหญ่กว่าและอยู่ห่างจากแกนนั้น 3 ซม. (แกนจะอยู่ในระนาบของรูปสามเหลี่ยม) ค้นหาพื้นที่ผิวของวัตถุการหมุนที่เกิดขึ้น

สารละลาย . มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 38)

พื้นผิวของวัตถุที่เกิดการปฏิวัติประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนสองอันและพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอก ในการคำนวณพื้นที่เหล่านี้ จำเป็นต้องทราบรัศมีของฐานของกรวยและทรงกระบอก ( เป็นและ โอ.ซี.) ขึ้นรูปกรวย ( บี.ซี.และ เอ.ซี.) และความสูงของกระบอกสูบ ( เอบี- สิ่งเดียวที่ไม่รู้จักคือ บจก. นี่คือระยะห่างจากด้านข้างของสามเหลี่ยมถึงแกนการหมุน เราจะพบ กระแสตรง- พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ด้านหนึ่งเท่ากับผลคูณของครึ่งหนึ่งของด้าน AB และระดับความสูงที่วาดลงไป กระแสตรงในทางกลับกัน เมื่อรู้ทุกด้านของสามเหลี่ยมแล้ว เราก็คำนวณพื้นที่ของมันโดยใช้สูตรของนกกระสา

การแนะนำ

ข้าว. 1. วัตถุจากสิ่งมีชีวิตที่มีรูปร่างเหมือนโคนุสาที่ถูกตัดทอน

คุณคิดว่าตัวเลขใหม่ๆ ในเรขาคณิตมาจากไหน ทุกอย่างง่ายมาก: บุคคลในชีวิตกลายเป็นวัตถุที่คล้ายกันและเข้ามาราวกับเรียกพวกเขา เรามาดูตู้ที่มีสิงโตในละครสัตว์นั่ง แครอทชิ้นหนึ่งที่ถูกเก็บเกี่ยวเมื่อเราใกล้จะถึงส่วนหนึ่งของตู้นั้น ภูเขาไฟที่ยังคุกรุ่นอยู่ และตัวอย่าง แสงจากโฟ-นา-ริ- คะ (ดูรูปที่ 1)

กรวยที่ถูกตัดทอน องค์ประกอบ และส่วนตามแนวแกน

ข้าว. 2. จีโอ-เมต-รี-เช-ฟี-กู-รี

เราเห็นว่าตัวเลขเหล่านี้มีรูปร่างคล้ายกัน - ทั้งจากด้านล่างและด้านบนถูกล้อมรอบด้วยวงกลม แต่จะแคบไปทางด้านบน ( ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 3. จากส่วนบนของโคนุสา

ดูเหมือนกรวย แค่ปิดปากเงียบอย่างเดียวไม่พอ เราจินตนาการในใจว่าเราเอากรวยแล้วเอาส่วนบนออกด้วยการแกว่งดาบคมเพียงครั้งเดียว (ดูรูปที่ 3)

ข้าว. 4. กรวยที่ถูกตัดทอน

นี่คือรูปของเราจริงๆ เรียกว่ากรวยที่ถูกตัดทอน (ดูรูปที่ 4)

ข้าว. 5. เซเชนี ขนานออส-โน-วา-นิยู โค-นู-ซา

ให้กรวยได้รับ เรามาสร้างระนาบซึ่งเป็นระนาบขนานของแกนของ co-nu-sa นี้และกรวยตัดขวาง (ดูรูปที่ 5)

มันจะแยกกรวยออกเป็นสองส่วน: หนึ่งในนั้นเป็นกรวยที่มีขนาดเล็กกว่าและอันที่สองเรียกว่ากรวยที่ถูกตัดทอน ( ดูรูปที่ 6)

ข้าว. 6. ได้รับร่างในส่วนขนาน

ดังนั้นกรวยที่ถูกตัดทอนจึงเป็นส่วนหนึ่งของกรวยที่เชื่อมต่อระหว่างตัวหลักกับตัวหลักที่ขนานกัน แต่แบน เช่นเดียวกับในกรณีของกรวย กรวยที่ถูกตัดปลายสามารถมีวงกลมเป็นฐานได้ - ในกรณีนี้เรียกว่าวงกลม ถ้ากรวยเดิมเป็นเส้นตรง กรวยที่ถูกตัดปลายจะเรียกว่าเป็นเส้นตรง เช่นเดียวกับในกรณีของ ko-nu-sa-mi เราจะดูที่กุญแจ แต่ ko-nu-s sy ที่ถูกตัดเป็นวงกลมตรง หากไม่ได้ระบุอย่างชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึง co-nu-se ที่ถูกตัดทอนทางอ้อม หรือพื้นฐานแล้วไม่มีวงกลม

ข้าว. 7. การหมุนของกับดักสี่เหลี่ยม

ธีมระดับโลกของเราคือเนื้อหาแห่งการหมุนเวียน กรวยที่ถูกตัดทอนก็ไม่มีข้อยกเว้น! ขอให้เราจำไว้ว่าเพื่อที่จะได้ co-nu-sa เรา smo-mat-ri-va-li เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วหมุนมันรอบ ka-te-ta? หากกรวยผลลัพธ์ถูกตัดโดยระนาบขนานกับแกน จะไม่มีเส้นตรงเหลือจากสามเหลี่ยม -mo-coal-trape-tion การหมุนรอบด้านที่เล็กกว่าจะทำให้เราได้กรวยที่ถูกตัดทอน ให้เราทราบอีกครั้งว่าเห็นได้ชัดว่าเรากำลังพูดถึงเฉพาะ co-nu-se แบบวงกลมโดยตรงเท่านั้น (ดูรูปที่ 7)

ข้าว. 8. ออส-โน-วา-นิยะ ตัด-โน-โก โค-นุ-สะ

ฉันจะเตรียมการบางอย่าง พื้นฐานของครึ่งโคนุสาและวงกลม ครึ่งชะยูเชย์ ในส่วนของแฟลตโคนุสา ซึ่งเรียกว่า ออส-โน-วา-นิ-ยะ-มิ ตัดทอน โค-นุ-สะ (ล่างและบน) (ดูรูปที่ 8)

ข้าว. 9. Ob-ra-zu-yu-schi ตัด ko-nu-sa

จากการตัดครึ่ง ra-zu-yu-shih ของ co-nu-sa ซึ่งเชื่อมต่อระหว่าง os-but-va-ni-mi ที่ถูกตัดทอน-แต่- go ko-nu-sa พวกเขาเรียกว่า about-ra- zu-yu-schi-mi ตัดทอน-โน-โก โค-นู-ซา เนื่องจากผลลัพธ์ทางการศึกษาทั้งหมดเท่ากันและผลลัพธ์ทางการศึกษาทั้งหมดมาจากที่เดียวกันเท่ากัน ดังนั้น ob-ra-zu-yu ที่ถูกตัดทอน co-nu-sa จึงเท่ากัน (อย่าสับสนระหว่างที่ถูกตัดทอนและที่ถูกตัดทอน!) จากที่นี่จะเป็นไปตามความเท่าเทียมกันของ tra-pe-tion ของแกนของส่วน (ดูรูปที่ 9)

จากแกนการหมุนซึ่งอยู่ภายในโค-นู-สาที่ถูกตัดทอน เรียกมันว่าแกนของแกนที่ถูกตัดทอน โค-นู-สะ ra-zu-me-et-sya ที่ตัดใหม่นี้ เป็นการรวมศูนย์กลางของปัจจัยพื้นฐานเข้าด้วยกัน (ดูรูปที่ 10)

ข้าว. 10. แกนโคนุสาที่ถูกตัดทอน

โยโสตะ โค-นุ-สะ ที่ถูกตัดทอนเป็นคำต่อปากกา-ดิ-กุ-ลยาร์ ซึ่งพิสูจน์แล้วจากจุดหนึ่งของออส-โน-วนิยะไปยังอีกฐานหนึ่ง บ่อยครั้งในด้านคุณภาพของคุณ คุณได้ตัดแกนของมันออก

ข้าว. 11. โอเซ-โวเอ เซ-เช-นี ตัดทอน-โน-โก-โค-นู-ซา

ส่วนตามแนวแกนของ co-nu-sa ที่ถูกตัดทอนคือส่วนที่ผ่านแกนของมัน มันมีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูอีกไม่นานเราจะแสดงความเท่าเทียมกัน (ดูรูปที่ 11)

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและพื้นผิวทั้งหมดของกรวยที่ถูกตัดทอน

ข้าว. 12. กรวยพร้อมสัญลักษณ์ที่แนะนำ

ลองหาพื้นที่ของโบโควอยบนโคนุสาที่ถูกตัดทอน ปล่อยให้ฐานของ co-nu-sa ที่ถูกตัดทอนมีรัศมี และ และให้ ob-ra-zu-yu เท่ากัน (ดูรูปที่ 12)

ข้าว. 13. การแต่งตั้ง ob-ra-zu-yu-shchei จาก-se-chen-no-th ko-nu-sa

ลองหาพื้นที่โบโกวอยบนโคนุสาที่ถูกตัดทอนเป็นค่าต่างของพื้นที่โบโควอยบนโคนูซาที่ถูกตัดทอน โค-นู-ซา และจาก-เซ-เฉิน-โน-โก เพื่อทำเช่นนี้ เราแสดงผ่านการก่อตัวของโค-นุ-สะ (ดูรูปที่ 13)

แล้วก็-โค-เมย์

ข้าว. 14. สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สิ่งที่เหลืออยู่ให้คุณคิดออก

โปรดทราบว่าจาก po-do-biy tri-corn-ni-kov จาก-ถึง-ใช่ (ดูรูปที่ 14)

เป็นไปได้ที่จะแสดงมันออกมาโดยการหารมันเป็นส่วนต่างระหว่างรัศมี แต่เราไม่ต้องการสิ่งนี้ เพราะในนิพจน์ มันเป็น fi- gu-ri-ru-et pro-iz-ve- ที่แม่นยำ เดอนี่ แทนที่มัน ในที่สุดเราก็ได้: .

ตอนนี้การได้รูปทรงสำหรับพื้นที่ผิวเต็มไม่ใช่เรื่องยาก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มพื้นที่ของวงกลมทั้งสองวงของฐานให้ตรงกัน: .

งาน

ข้าว. 15. Illu-stration ถึง for-da-che

ปล่อยให้กรวยที่ถูกตัดทอนหมุนด้วยกับดักสี่เหลี่ยมรอบๆ ความสูงของกรวย เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับ และด้านที่ใหญ่กว่าเท่ากับ (ดูรูปที่ 15) หาพื้นที่ของโบโควอยบนยอดโนสติของโคนุสาที่ถูกตัดทอน

สารละลาย

จากสูตรเรารู้แล้วว่า .

การก่อตัวของโค-นุ-สะจะเป็นขบวนการต่อเนื่องขนาดใหญ่นับร้อยครั้ง นั่นคือ ระ-ดี-อู-ซี โก-เวล-สะ - นี่คือพื้นฐานของการเดินทาง เพ-ชั่น เราไม่พบพวกเขา แต่เราไม่ต้องการมัน: เราต้องการแค่ผลรวมของมันเท่านั้น และผลรวมของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นใหญ่เป็นสองเท่าของเส้นกึ่งกลางของมัน นั่นคือ มันเท่ากับ แล้ว .

ความคล้ายคลึงกันระหว่างกรวยที่ถูกตัดทอนกับปิรามิด

ให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเมื่อเราพูดถึง co-nu-se เราพูดถึงมันระหว่างเขากับ pi -ra-mi-doy - สูตรมีความคล้ายคลึงกัน ที่นี่ก็เหมือนกัน เพราะกรวยที่ถูกตัดทอนนั้นคล้ายกับปิรามิดูที่ถูกตัดทอนมาก ดังนั้นสูตรสำหรับพื้นที่จึงมีขนาดใหญ่และโค-นุ-สะและปิ-รา-มีที่ถูกตัดยอดไม่สมบูรณ์ -dy (และเร็วๆ นี้จะมีสูตรสำหรับปริมาตร) analog-lo-gic- us

งาน

ข้าว. 1. Illu-strat-tion ถึง for-da-che

ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa เท่ากับ และ และ ob-ra-zu-yu-shchaya เท่ากับ ค้นหา co-nu-sa ที่ถูกตัดทอนและพื้นที่ของแกน (ดูรูปที่ 1)

ซึ่งเล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง (ยอดกรวย) และทะลุผ่านพื้นผิวเรียบ

มันเกิดขึ้นที่กรวยเป็นส่วนหนึ่งของวัตถุที่มีปริมาตรจำกัด และได้มาจากการรวมแต่ละส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดและจุดของพื้นผิวเรียบเข้าด้วยกัน อย่างหลังในกรณีนี้คือ ฐานของกรวยและกล่าวกันว่ากรวยวางอยู่บนฐานนี้

เมื่อฐานของกรวยเป็นรูปหลายเหลี่ยม แสดงว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมแล้ว ปิรามิด .

กรวยกลม- คือตัวที่ประกอบด้วยวงกลม (ฐานของกรวย) จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของวงกลมนี้ (ส่วนบนของกรวยและทุกส่วนที่เชื่อมต่อด้านบนของกรวยกับจุดของ ฐาน). เรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของกรวยกับจุดของวงกลมฐาน เป็นรูปกรวย- พื้นผิวของกรวยประกอบด้วยฐานและพื้นผิวด้านข้าง

พื้นที่ผิวด้านข้างถูกต้อง n-ปิรามิดคาร์บอนถูกจารึกไว้ในกรวย:

ส n = ½P n n n,

ที่ไหน พี- เส้นรอบวงของฐานปิรามิด และ ฉัน- ระยะกึ่งกลาง

ตามหลักการเดียวกัน: สำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนและมีรัศมีฐาน ร 1, ร 2และการขึ้นรูป ลเราได้รับสูตรต่อไปนี้:

ส=(ร 1 +ร 2)ล.

กรวยกลมตรงและเฉียง มีฐานและความสูงเท่ากัน วัตถุเหล่านี้มีปริมาตรเท่ากัน:

คุณสมบัติของกรวย

• เมื่อพื้นที่ฐานมีขีดจำกัดก็หมายความว่าปริมาตรของกรวยก็มีขีดจำกัดเช่นกันและเท่ากับส่วนที่สามผลคูณของความสูงและพื้นที่ฐาน

ที่ไหน ส- พื้นที่ฐาน ชม- ความสูง.

ดังนั้น กรวยแต่ละอันที่วางอยู่บนฐานนี้และมีจุดยอดที่อยู่บนระนาบขนานกับฐานจะมีปริมาตรเท่ากัน เนื่องจากความสูงของกรวยเท่ากัน

• จุดศูนย์ถ่วงของกรวยแต่ละอันที่มีปริมาตรจำกัดจะอยู่ที่หนึ่งในสี่ของความสูงจากฐาน
• มุมตันที่จุดยอดของกรวยกลมด้านขวาสามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้:

ที่ไหน α - มุมเปิดกรวย

• พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยดังกล่าว สูตร:

และพื้นที่ผิวทั้งหมด (นั่นคือผลรวมของพื้นที่ผิวข้างและฐาน) สูตร:

S=πR(ล+อาร์)

ที่ไหน ร- รัศมีของฐาน ล- ความยาวของเจเนราทริกซ์

• ปริมาตรของกรวยกลม สูตร:

• สำหรับกรวยที่ถูกตัดทอน (ไม่ใช่แค่ตรงหรือเป็นวงกลม) ปริมาตร สูตร:

ที่ไหน ส 1และ เอส 2- พื้นที่ฐานบนและล่าง

ชม.และ ชม- ระยะห่างจากระนาบของฐานบนและล่างถึงด้านบน

• จุดตัดของระนาบที่มีกรวยกลมด้านขวาเป็นส่วนที่มีรูปทรงกรวยด้านหนึ่ง

เรขาคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างในอวกาศและความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านั้น ในทางกลับกัน มันยังประกอบด้วยส่วนต่าง ๆ และหนึ่งในนั้นคือสามมิติ เป็นการศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขสามมิติที่อยู่ในอวกาศ เช่น ลูกบาศก์ ปิรามิด ลูกบอล กรวย ทรงกระบอก ฯลฯ

กรวยคือวัตถุในปริภูมิแบบยุคลิดที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกรวยและระนาบที่ปลายของเครื่องกำเนิดตั้งอยู่ การก่อตัวของมันเกิดขึ้นระหว่างการหมุนของสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขาของมัน ดังนั้นมันจึงเป็นของร่างแห่งการปฏิวัติ

ส่วนประกอบของกรวย

กรวยมีหลายประเภทดังต่อไปนี้: เฉียง (หรือเอียง) และกรวยตรง เฉียงคือแกนที่แกนไม่ตัดกับศูนย์กลางของฐานเป็นมุมฉาก ด้วยเหตุนี้ ความสูงของกรวยจึงไม่ตรงกับแกน เนื่องจากเป็นส่วนที่หย่อนจากด้านบนของลำตัวถึงระนาบของฐานที่มุม 90°

กรวยที่มีแกนตั้งฉากกับฐานเรียกว่ากรวยตรง แกนและความสูงในตัวเรขาคณิตนั้นเกิดขึ้นพร้อมกันเนื่องจากจุดยอดนั้นอยู่เหนือศูนย์กลางของเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน

กรวยประกอบด้วยองค์ประกอบดังต่อไปนี้:

1. วงกลมที่เป็นฐานของมัน
2. พื้นผิวด้านข้าง
3. จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน เรียกว่า จุดยอดของกรวย
4. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดของวงกลมฐานของตัวเรขาคณิตและจุดยอดของมัน

ส่วนต่างๆ ทั้งหมดนี้เป็นเครื่องกำเนิดกรวย พวกมันเอียงไปที่ฐานของตัวเรขาคณิต และในกรณีของกรวยด้านขวา เส้นโครงของพวกมันจะเท่ากัน เนื่องจากจุดยอดมีระยะห่างเท่ากันจากจุดของวงกลมของฐาน ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าในกรวยปกติ (ตรง) เครื่องกำเนิดไฟฟ้าจะเท่ากันนั่นคือพวกมันมีความยาวเท่ากันและสร้างมุมเดียวกันกับแกน (หรือความสูง) และฐาน

เนื่องจากในตัวของการหมุนที่เอียง (หรือเอียง) จุดยอดจะเลื่อนสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของระนาบฐาน เครื่องกำเนิดไฟฟ้าในตัวดังกล่าวจึงมีความยาวและเส้นโครงที่แตกต่างกัน เนื่องจากแต่ละอันมีระยะห่างที่แตกต่างจากจุดสองจุดใดๆ ของ วงกลมของฐาน นอกจากนี้มุมระหว่างพวกเขากับความสูงของกรวยก็จะแตกต่างกันด้วย

ความยาวของยีนในกรวยตรง

ตามที่เขียนไว้ก่อนหน้านี้ ความสูงในตัวเรขาคณิตที่ถูกต้องของการปฏิวัติจะตั้งฉากกับระนาบของฐาน ดังนั้นเจเนราทริกซ์ ความสูง และรัศมีของฐานจึงสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากในกรวย

นั่นคือเมื่อทราบรัศมีฐานและความสูงโดยใช้สูตรจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสคุณสามารถคำนวณความยาวของเจเนราทริกซ์ซึ่งจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของรัศมีฐานและความสูง:

l 2 = r 2 + h 2 หรือ l = √r 2 + h 2

โดยที่ l คือเครื่องกำเนิด

r - รัศมี;

ชั่วโมง - ความสูง

เครื่องกำเนิดไฟฟ้าในกรวยเอียง

จากความจริงที่ว่าในกรวยเฉียงหรือเอียงเครื่องกำเนิดไฟฟ้ามีความยาวไม่เท่ากันจะไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีการก่อสร้างและการคำนวณเพิ่มเติม

ก่อนอื่น คุณต้องทราบความสูง ความยาวแกน และรัศมีฐาน

r 1 = √k 2 - ชั่วโมง 2

โดยที่ r 1 เป็นส่วนหนึ่งของรัศมีระหว่างแกนกับความสูง

k - ความยาวแกน

ชั่วโมง - ความสูง

อันเป็นผลมาจากการเพิ่มรัศมี (r) และส่วนที่อยู่ระหว่างแกนและความสูง (r 1) คุณสามารถค้นหา generatrix ที่สร้างขึ้นโดยสมบูรณ์ของกรวยความสูงและส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลาง:

โดยที่ R คือขาของสามเหลี่ยมที่เกิดจากความสูงตัวกำเนิดและส่วนหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน

r - รัศมีของฐาน

r 1 - ส่วนหนึ่งของรัศมีระหว่างแกนและความสูง

เมื่อใช้สูตรเดียวกันจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณสามารถหาความยาวของเจเนราทริกซ์ของกรวยได้:

ล. = √ชั่วโมง 2 + ร 2

หรือโดยไม่ต้องคำนวณ R แยกกัน ให้รวมสูตรทั้งสองเป็นสูตรเดียว:

ลิตร = √ชั่วโมง 2 + (r + r 1) 2.

ไม่ว่ากรวยจะเป็นเส้นตรงหรือเฉียงและข้อมูลอินพุตเป็นเท่าใด วิธีการทั้งหมดในการค้นหาความยาวของเจเนราทริกซ์จะมีผลลัพธ์เดียวเสมอ นั่นคือการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ส่วนกรวย

Axial คือระนาบที่เคลื่อนไปตามแกนหรือความสูงของมัน ในกรวยตรง ส่วนดังกล่าวจะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดยความสูงของรูปสามเหลี่ยมคือความสูงของลำตัว ด้านข้างคือตัวกำเนิด และฐานคือเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน ในตัวเรขาคณิตด้านเท่า ส่วนตามแนวแกนเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เนื่องจากในกรวยนี้เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานและเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเท่ากัน

ระนาบของส่วนตามแนวแกนในกรวยตรงคือระนาบสมมาตร เหตุผลก็คือส่วนบนของมันอยู่เหนือศูนย์กลางของฐาน นั่นคือระนาบของส่วนแนวแกนแบ่งกรวยออกเป็นสองส่วนที่เหมือนกัน

เนื่องจากความสูงและแกนไม่ตรงกันในตัวปริมาตรที่เอียง ระนาบส่วนตามแนวแกนจึงอาจไม่รวมความสูงด้วย หากสามารถสร้างส่วนตามแนวแกนได้หลายส่วนในกรวยดังกล่าวเนื่องจากต้องตรงตามเงื่อนไขเดียวเท่านั้น - ต้องผ่านแกนเท่านั้น ดังนั้นจึงสามารถวาดส่วนตามแนวแกนของระนาบซึ่งมีความสูงของกรวยนี้ได้เท่านั้น หนึ่ง เนื่องจากจำนวนของเงื่อนไขเพิ่มขึ้น และอย่างที่ทราบกันดีว่า เส้นตรงสองเส้น (รวมกัน) สามารถเป็นของระนาบเดียวได้

พื้นที่หน้าตัด

ส่วนตามแนวแกนของกรวยที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้เป็นรูปสามเหลี่ยม จากนี้พื้นที่ของมันสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม:

S = 1/2 * d * h หรือ S = 1/2 * 2r * h

โดยที่ S คือพื้นที่หน้าตัด

d - เส้นผ่านศูนย์กลางฐาน

r - รัศมี;

ชั่วโมง - ความสูง

ในกรวยเฉียงหรือเอียง หน้าตัดตามแนวแกนก็เป็นรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน ดังนั้นพื้นที่หน้าตัดในกรวยจึงคำนวณในลักษณะเดียวกัน

ปริมาณ

เนื่องจากกรวยเป็นรูปสามมิติในพื้นที่สามมิติ จึงสามารถคำนวณปริมาตรได้ ปริมาตรของกรวยคือตัวเลขที่แสดงลักษณะเฉพาะของวัตถุนี้ในหน่วยปริมาตร นั่นคือในหน่วย m3 การคำนวณไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเป็นเส้นตรงหรือเฉียง (เฉียง) เนื่องจากสูตรสำหรับวัตถุทั้งสองประเภทนี้ไม่แตกต่างกัน

ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ การก่อตัวของกรวยด้านขวาเกิดขึ้นเนื่องจากการหมุนของสามเหลี่ยมมุมฉากตามขาข้างใดข้างหนึ่ง กรวยเอียงหรือเฉียงนั้นก่อตัวแตกต่างกันเนื่องจากความสูงของมันเลื่อนออกจากศูนย์กลางของระนาบของฐานของร่างกาย อย่างไรก็ตามความแตกต่างในโครงสร้างดังกล่าวไม่ส่งผลกระทบต่อวิธีการคำนวณปริมาตร

การคำนวณปริมาณ

กรวยใด ๆ มีลักษณะดังนี้:

วี = 1/3 * π * ชั่วโมง * ร 2

โดยที่ V คือปริมาตรของกรวย

ชั่วโมง - ความสูง;

r - รัศมี;

π เป็นค่าคงที่เท่ากับ 3.14

ในการคำนวณความสูงของวัตถุ คุณจำเป็นต้องรู้รัศมีของฐานและความยาวของเจเนราทริกซ์ของมัน เนื่องจากรัศมี ความสูง และเครื่องกำเนิดไฟฟ้ารวมกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (a 2 + b 2 = c 2 หรือในกรณีของเรา h 2 + r 2 = l 2 โดยที่ l คือเครื่องกำเนิด) ความสูงจะคำนวณโดยการหารากที่สองของความแตกต่างระหว่างกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาอีกข้าง:

ก = √ค 2 - ข 2

นั่นคือความสูงของกรวยจะเท่ากับค่าที่ได้รับหลังจากหารากที่สองของความแตกต่างระหว่างกำลังสองของความยาวของเจเนราทริกซ์และกำลังสองของรัศมีของฐาน:

ชั่วโมง = √ล 2 - ร 2

เมื่อคำนวณความสูงโดยใช้วิธีนี้และทราบรัศมีของฐาน คุณจะสามารถคำนวณปริมาตรของกรวยได้ เครื่องกำเนิดมีบทบาทสำคัญในในกรณีนี้เนื่องจากทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบเสริมในการคำนวณ

ในทำนองเดียวกัน ถ้าทราบความสูงของวัตถุและความยาวของเจเนราทริกซ์ เราสามารถหารัศมีของฐานได้โดยการหารากที่สองของความแตกต่างระหว่างกำลังสองของเจเนราทริกซ์กับความสูงกำลังสอง:

r = √ล 2 - ชั่วโมง 2

จากนั้นใช้สูตรเดียวกับข้างบนคำนวณปริมาตรของกรวย

ปริมาตรของกรวยเอียง

เนื่องจากสูตรสำหรับปริมาตรของกรวยจะเหมือนกันสำหรับวัตถุที่หมุนทุกประเภท ความแตกต่างในการคำนวณคือการค้นหาความสูง

เพื่อที่จะหาความสูงของกรวยเอียง ข้อมูลอินพุตจะต้องประกอบด้วยความยาวของเจเนราทริกซ์ รัศมีของฐาน และระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของฐานกับจุดตัดของความสูงของวัตถุกับระนาบ ของฐานของมัน เมื่อทราบสิ่งนี้แล้ว คุณสามารถคำนวณส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางฐานที่จะเป็นฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างง่ายดาย (เกิดจากความสูง เจเนราทริกซ์ และระนาบของฐาน) จากนั้นใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกครั้ง คำนวณความสูงของกรวย แล้วตามด้วยปริมาตร

ข้าว. 1. วัตถุจากสิ่งมีชีวิตที่มีรูปร่างเป็นกรวยที่ถูกตัดทอน

คุณคิดว่ารูปทรงใหม่ๆ มาจากไหนในเรขาคณิต ทุกอย่างง่ายมาก: คน ๆ หนึ่งเจอวัตถุที่คล้ายกันในชีวิตและตั้งชื่อให้กับสิ่งเหล่านั้น ลองพิจารณาขาตั้งที่มีสิงโตนั่งอยู่ในละครสัตว์ ซึ่งเป็นแครอทชิ้นหนึ่งที่ได้รับเมื่อเราตัดมันเพียงบางส่วน ภูเขาไฟที่ยังคุกรุ่นอยู่ และตัวอย่างเช่น แสงจากไฟฉาย (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 2. รูปทรงเรขาคณิต

เราเห็นว่าตัวเลขเหล่านี้มีรูปร่างคล้ายกัน - ทั้งด้านล่างและด้านบนถูกจำกัดด้วยวงกลม แต่จะเรียวขึ้น (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 3. ตัดส่วนบนของกรวยออก

ดูเหมือนกรวย ด้านบนขาดเพียง.. ลองนึกภาพในใจว่าเราเอากรวยแล้วตัดส่วนบนออกด้วยการแกว่งดาบอันแหลมคมเพียงครั้งเดียว (ดูรูปที่ 3)

ข้าว. 4. กรวยที่ถูกตัดทอน

ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปร่างของเราอย่างแน่นอน เรียกว่ากรวยที่ถูกตัดทอน (ดูรูปที่ 4)

ข้าว. 5. ส่วนขนานกับฐานกรวย

ให้กรวยได้รับ ให้เราวาดระนาบขนานกับระนาบของฐานของกรวยนี้แล้วตัดกรวย (ดูรูปที่ 5)

มันจะแยกกรวยออกเป็นสองส่วน: หนึ่งในนั้นเป็นกรวยที่เล็กกว่าและอันที่สองเรียกว่ากรวยที่ถูกตัดทอน (ดูรูปที่ 6)

ข้าว. 6. ผลที่ได้มีส่วนขนานกัน

ดังนั้น กรวยที่ถูกตัดทอนจึงเป็นส่วนหนึ่งของกรวยที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบที่ขนานกับฐาน เช่นเดียวกับกรวย กรวยที่ถูกตัดปลายสามารถมีวงกลมที่ฐานได้ ในกรณีนี้จะเรียกว่าทรงกลม ถ้ากรวยเดิมเป็นเส้นตรง กรวยที่ถูกตัดปลายจะเรียกว่าเป็นเส้นตรง เช่นเดียวกับในกรณีของกรวย เราจะพิจารณาเฉพาะกรวยที่ถูกตัดทอนเป็นวงกลมตรง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นพิเศษว่าเรากำลังพูดถึงกรวยที่ถูกตัดทอนทางอ้อมหรือฐานของกรวยไม่ใช่วงกลม

ข้าว. 7. การหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

หัวข้อระดับโลกของเราคือเนื้อความแห่งการปฏิวัติ กรวยที่ถูกตัดทอนก็ไม่มีข้อยกเว้น! ให้เราจำไว้ว่าเพื่อให้ได้กรวยเราถือว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วหมุนรอบขา? หากกรวยที่ได้นั้นตัดกันด้วยระนาบขนานกับฐาน สามเหลี่ยมนั้นจะยังคงเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า การหมุนรอบด้านที่เล็กกว่าจะทำให้เราได้กรวยที่ถูกตัดทอน ให้เราทราบอีกครั้งว่า แน่นอนว่า เรากำลังพูดถึงเฉพาะกรวยกลมตรงเท่านั้น (ดูรูปที่ 7)

ข้าว. 8. ฐานของกรวยที่ถูกตัดทอน

มาแสดงความคิดเห็นกันหน่อย ฐานของกรวยที่สมบูรณ์และวงกลมที่เกิดจากส่วนของกรวยโดยระนาบเรียกว่าฐานของกรวยที่ถูกตัดทอน (ล่างและบน) (ดูรูปที่ 8)

ข้าว. 9. เครื่องกำเนิดกรวยที่ถูกตัดทอน

ส่วนของเครื่องกำเนิดกรวยที่สมบูรณ์ซึ่งอยู่ระหว่างฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนเรียกว่าเครื่องกำเนิดกรวยที่ถูกตัดทอน เนื่องจากตัวกำเนิดทั้งหมดของกรวยดั้งเดิมมีค่าเท่ากัน และเครื่องกำเนิดทั้งหมดของกรวยที่ตัดออกมีค่าเท่ากัน ดังนั้น ตัวกำเนิดของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากัน (อย่าสับสนระหว่างตัวตัดและตัวตัดทอน!) นี่หมายความว่าส่วนแกนของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว (ดูรูปที่ 9)

ส่วนของแกนการหมุนที่อยู่ภายในกรวยที่ถูกตัดทอนเรียกว่าแกนของกรวยที่ถูกตัดทอน แน่นอนว่าส่วนนี้เชื่อมต่อศูนย์กลางของฐาน (ดูรูปที่ 10)

ข้าว. 10. แกนของกรวยที่ถูกตัดทอน

ความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอนนั้นตั้งฉากกับฐานอีกฐานหนึ่งไปยังฐานอีกฐานหนึ่ง ส่วนใหญ่แล้วความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอนจะถือเป็นแกนของมัน

ข้าว. 11. ส่วนตามแนวแกนของกรวยที่ถูกตัดทอน

ส่วนตามแนวแกนของกรวยที่ถูกตัดทอนคือส่วนที่ผ่านแกนของมัน มันมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูอีกไม่นานเราจะพิสูจน์ว่ามันเป็นหน้าจั่ว (ดูรูปที่ 11)

ข้าว. 12. กรวยพร้อมสัญลักษณ์แนะนำ

ให้เราหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอน ปล่อยให้ฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนมีรัศมี และ และเจเนราทริกซ์มีค่าเท่ากัน (ดูรูปที่ 12)

ข้าว. 13. การกำหนด generatrix ของกรวยที่ตัดออก

ให้เราหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนเป็นความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยเดิมกับส่วนที่ถูกตัดออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เราแสดงด้วย generatrix ของกรวยที่ตัดออก (ดูรูปที่ 13)

แล้วสิ่งที่คุณกำลังมองหา

ข้าว. 14. สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแสดงออก

โปรดทราบว่าจากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมมาจากไหน (ดูรูปที่ 14)

เป็นไปได้ที่จะแสดง โดยหารด้วยผลต่างของรัศมี แต่เราไม่ต้องการสิ่งนี้ เนื่องจากผลิตภัณฑ์ที่เรากำลังมองหาปรากฏในนิพจน์ที่เรากำลังมองหา การทดแทน ในที่สุดเราก็มี: .

ตอนนี้การหาสูตรสำหรับพื้นที่ผิวรวมเป็นเรื่องง่ายแล้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงเพิ่มพื้นที่ของวงกลมทั้งสองวงของฐาน: .

ข้าว. 15. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

ให้กรวยที่ถูกตัดทอนได้มาโดยการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมรอบๆ ความสูงของกรวย เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับ และด้านข้างขนาดใหญ่เท่ากับ (ดูรูปที่ 15) ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนที่เกิดขึ้น

สารละลาย

จากสูตรเรารู้แล้วว่า .

เจเนราทริกซ์ของกรวยจะเป็นด้านที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมูเดิม นั่นคือรัศมีของกรวยคือฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู เราไม่พบพวกเขา แต่เราไม่ต้องการมัน: เราต้องการแค่ผลรวมของมันเท่านั้น และผลรวมของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นใหญ่เป็นสองเท่าของเส้นกึ่งกลางของมัน นั่นคือ มันเท่ากับ แล้ว .

โปรดทราบว่าเมื่อเราพูดถึงกรวย เราได้วาดเส้นขนานระหว่างมันกับปิรามิด - สูตรมีความคล้ายคลึงกัน ในกรณีนี้ก็เหมือนกัน เนื่องจากกรวยที่ถูกตัดทอนนั้นคล้ายกับปิรามิดที่ถูกตัดทอนมาก ดังนั้นสูตรสำหรับพื้นที่ด้านข้างและพื้นผิวรวมของกรวยและปิรามิดที่ถูกตัดทอน (และเร็วๆ นี้จะมีสูตรสำหรับปริมาตร) จึงคล้ายกัน

ข้าว. 1. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

รัศมีของฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับ และ และเจเนราทริกซ์เท่ากับ . ค้นหาความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอนและพื้นที่ของส่วนตามแนวแกน (ดูรูปที่ 1)