การสร้างเส้นโค้งลวดลายทำได้ดังนี้:

ขั้นแรก จุดที่เป็นของเส้นโค้งจะถูกกำหนด จากนั้นจึงเชื่อมต่อโดยใช้รูปแบบ เส้นโค้งรูปแบบรวมถึงส่วนที่เรียกว่าส่วนทรงกรวยของพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา วงรีที่ได้จากการตัดกรวยทรงกลมด้วยระนาบ ม้วนเข้า ไซนัสอยด์ และอื่นๆ

1. การสร้างวงรี

2. โฟกัสวงรี

3. การสร้างพาราโบลา

6. การวาดลวดลายเส้นโค้ง

วงรีเป็นส่วนรูปกรวยที่อยู่ในส่วนที่เรียกว่าเส้นโค้งรูปแบบ วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลาได้มาจากการตัดกรวยทรงกลมด้วยระนาบ ไซนัสอยด์ แบบม้วน และเส้นโค้งอื่นๆ

รูปที่ 41. จุดตัดของกรวยด้วยระนาบไปตามวงรี (a) และวงรี (b)

ในการสร้างเส้นโค้งรูปแบบ (พาราโบลา วงรี ไฮเปอร์โบลา) จุดที่เป็นของเส้นโค้งจะถูกกำหนด จากนั้นจุดทั้งหมดจะเชื่อมต่อกันโดยใช้รูปแบบ ในกรณีที่พื้นผิวของกรวยทรงกลมถูกตัดด้วยระนาบเอียง -P โดยที่ระนาบเอียงตัดกับลักษณะทั่วไปของกรวยทรงกลมทั้งหมด จากนั้นวงรีจะถูกสร้างขึ้นในระนาบหน้าตัด (ดูรูปที่ 41, a ).

วงรีคือเส้นโค้งปิดแบนซึ่งผลรวมของระยะทางของแต่ละจุด - M ถึงสองจุดที่กำหนด F1 และ F2 - เป็นค่าคงที่ ค่าคงที่นี้เท่ากับแกนหลักของวงรี MF1 + MF2 = AB แกนรองของวงรี CD และแกนหลัก AB จะตั้งฉากกัน และแกนหนึ่งแบ่งอีกครึ่งหนึ่ง

รูปที่ 42 การสร้างวงรีตามแนวแกน


ดังนั้นแกนจะแบ่งเส้นโค้งวงรีออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กันแบบสมมาตรคู่ ถ้าจากปลาย CD แกนรอง จากจุดศูนย์กลาง เราอธิบายส่วนโค้งของวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของแกนเอกของวงรี R=OA=OB แล้วมันจะตัดกันที่จุด F1 และ F2 ซึ่งเรียกว่าโฟกัส

รูปที่ 42 แสดงตัวอย่างการสร้างวงรีตามแกนของมัน บนแกน AB และ CD ที่กำหนด เราสร้างวงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกันสองวงโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O เราแบ่งวงกลมใหญ่ออกเป็นส่วนๆ ตามจำนวนที่ต้องการแล้วเชื่อมต่อ จุดผลลัพธ์ที่มีเส้นตรงถึงจุดศูนย์กลาง O

จากทางแยกจุด 1; 2; 3; 4; ด้วยวงกลมเสริมเราวาดส่วนของเส้นแนวนอนและแนวตั้งจนกระทั่งพวกมันตัดกันที่จุด E, F, K, M ซึ่งอยู่ในวงรี ถัดไป เมื่อใช้รูปแบบ จุดที่สร้างของเส้นโค้งเรียบจะเชื่อมต่อกัน และผลลัพธ์ที่ได้คือวงรี

การสร้างเส้นโค้งลวดลาย พาราโบลา

รูปที่ 43. จุดตัดของกรวยด้วยระนาบตามแนวพาราโบลา การสร้างพาราโบลาโดยใช้โฟกัสและไดเรกตริกซ์

หากคุณตัดกรวยทรงกลมขนานกับระนาบ P แล้วพาราโบลาจะถูกสร้างขึ้นในระนาบส่วน (ดูรูปที่ 43 ก) พาราโบลาคือเส้นโค้งแบนเปิด จุดแต่ละจุดของพาราโบลาอยู่ห่างจากเส้นตรงที่กำหนด -MN และจากโฟกัส -F ที่ระยะห่างเท่ากัน

เส้นตรง MN เป็นตัวนำทางและตั้งฉากกับแกนของพาราโบลา ระหว่างเส้นบอกแนว -MN และจุดโฟกัส -F จุดยอดของพาราโบลา A จะตั้งอยู่ตรงกลาง เพื่อสร้างพาราโบลาโดยใช้ โฟกัสและเส้นบอกแนวที่กำหนด ผ่านจุดโฟกัส -F ให้วาดแกนของพาราโบลา -X เส้นบอกแนวตั้งฉาก -MN

แบ่ง Segment-EF ออกเป็นสองส่วนแล้วได้จุดยอดของพาราโบลา-A จากจุดยอดของพาราโบลาที่ระยะห่างใดๆ ก็ตาม ให้ลากเส้นตรงตั้งฉากกับแกนของพาราโบลา จากจุด -F ที่มีรัศมีเท่ากับระยะทาง -L จากเส้นตรงที่สอดคล้องกันไปยังเส้นบอกแนว เช่น CB เราจะสร้างเส้นตรงถึงสิ่งนี้ ในกรณีนี้ จุด C และ B

เมื่อสร้างจุดสมมาตรหลายคู่แล้ว เราจึงวาดเส้นโค้งเรียบๆ ผ่านจุดเหล่านั้นโดยใช้รูปแบบ รูปที่ (43 c) แสดงตัวอย่างการสร้างพาราโบลาแทนเจนต์กับเส้นตรงสองเส้น OA และ OB ที่จุด A และ B ส่วนของ OA และ OB จะถูกแบ่งออกเป็นจำนวนเท่ากันของส่วนที่เท่ากัน (เช่น แบ่งออกเป็นแปดส่วน) หลังจากนั้นคะแนนการแบ่งผลลัพธ์จะถูกกำหนดหมายเลขและเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง 1-1 2-2; 3-3 (ดูรูปที่ 43,ค) และอื่นๆ เส้นเหล่านี้สัมผัสกับเส้นโค้งพาราโบลา จากนั้น เส้นโค้งแทนเจนต์พาราโบลาที่เรียบจะถูกเขียนลงในเส้นขอบที่เกิดจากเส้นตรง

หากคุณตัดกรวยตรงและย้อนกลับด้วยระนาบขนานกับยีนทั้งสองหรือในกรณีเฉพาะขนานกับแกน คุณจะได้ไฮเพอร์โบลาที่ประกอบด้วยกิ่งสมมาตรสองกิ่งในระนาบส่วน (ดูรูปที่ 45, a) .

รูปที่ 45. จุดตัดของกรวยด้วยระนาบไปตามไฮเปอร์โบลา (a) และการสร้างไฮเปอร์โบลา (b)

ไฮเปอร์โบลา (รูปที่ 45,b) เป็นเส้นโค้งแบนซึ่งความแตกต่างในระยะทางจากแต่ละจุดไปยังจุดที่กำหนดสองจุด F1 และ F2 เรียกว่าจุดโฟกัส เป็นค่าคงที่และเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดยอด a และ b เช่น SF1-SF2=ab ไฮเปอร์โบลามีแกนสมมาตรสองแกน - AB จริงและซีดีจินตภาพ

เส้นตรงสองเส้น KL และ K1 L1 ที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง O ของไฮเปอร์โบลาและแตะกิ่งก้านของมันที่ระยะอนันต์เรียกว่าเส้นกำกับ ไฮเปอร์โบลาสามารถสร้างขึ้นได้จากจุดยอด a และ b และจุดโฟกัส F1 และ F2 ที่กำหนด เรากำหนดจุดยอดของไฮเปอร์โบลาโดยเขียนสี่เหลี่ยมในวงกลมที่สร้างขึ้นที่ทางยาวโฟกัส (ส่วน F1 และ F2) เช่นเดียวกับเส้นผ่านศูนย์กลาง

บนแกนจริง AB ทางด้านขวาของโฟกัส F2 เราทำเครื่องหมาย 1, 2, 3, 4, ... จากโฟกัส F1 และ F2 เราวาดส่วนโค้งของวงกลม ขั้นแรกด้วยรัศมี a-1 จากนั้น b-1 จนกระทั่ง จุดตัดกันทั้งสองข้างของแกนจริงของไฮเปอร์โบลา ต่อไป เราจะทำการตัดร่วมกันของส่วนโค้งคู่ถัดไปด้วยรัศมี a-2 และ b-2 (จุด S) เป็นต้น

จุดตัดที่เกิดขึ้นของส่วนโค้งจะอยู่ในสาขาด้านขวาของไฮเปอร์โบลา จุดของกิ่งด้านซ้ายจะสมมาตรกับจุดที่สร้างขึ้นโดยสัมพันธ์กับแกนจินตภาพ CD

ไซนัสอยด์คือการฉายภาพวิถีของจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเกลียวทรงกระบอกบนระนาบขนานกับแกนทรงกระบอก การเคลื่อนที่ของจุดประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ (รอบแกนของกระบอกสูบ) และการเคลื่อนที่แบบแปลนสม่ำเสมอ (ขนานกับกระบอกสูบ)

รูปที่ 46 การสร้างไซนัสอยด์

คลื่นไซน์เป็นเส้นโค้งแบนที่แสดงการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์ ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงขนาดของมุม เพื่อสร้างไซนัสอยด์ (รูปที่ 46) ผ่านจุดศูนย์กลาง O ของวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง D ให้วาดเส้นตรง OX แล้วลากส่วน O1 A เท่ากับความยาวของวงกลม π ดี- เราแบ่งส่วนนี้และวงกลมออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน จากจุดที่ได้รับและหมายเลขที่เราวาดเส้นตรงตั้งฉากกัน เราจะเชื่อมต่อจุดตัดที่เกิดขึ้นของเส้นเหล่านี้โดยใช้รูปแบบเส้นโค้งเรียบ

การวาดเส้นโค้งลวดลาย

เส้นโค้งรูปแบบถูกสร้างขึ้นตามจุด จุดเหล่านี้เชื่อมต่อกันโดยใช้รูปแบบ ขั้นแรกให้วาดเส้นโค้งด้วยมือ หลักการเชื่อมต่อแต่ละจุดของเส้นโค้งมีดังนี้:

เราเลือกส่วนของส่วนโค้งของรูปแบบที่ตรงกับจำนวนจุดที่ใหญ่ที่สุดของเส้นโค้งที่ร่างไว้มากที่สุด ต่อไป เราจะไม่วาดส่วนโค้งทั้งหมดของเส้นโค้งที่ตรงกับรูปแบบ แต่จะวาดเฉพาะส่วนตรงกลางเท่านั้น หลังจากนี้ เราจะเลือกส่วนอื่นของรูปแบบ แต่เพื่อให้ส่วนนี้แตะประมาณหนึ่งในสามของเส้นโค้งที่วาด และอย่างน้อยสองจุดที่ตามมาของเส้นโค้ง ไปเรื่อยๆ เพื่อให้แน่ใจว่าการเปลี่ยนผ่านระหว่างส่วนโค้งแต่ละส่วนของเส้นโค้งเป็นไปอย่างราบรื่น

เราขอแนะนำให้คุณโพสต์บทความบนโซเชียลเน็ตเวิร์กอีกครั้ง!

การสร้างวงรี

วงรีคือเส้นโค้งนูนแบนแบบปิด ผลรวมของระยะทางของแต่ละจุดถึงจุดที่กำหนดสองจุด เรียกว่า จุดโฟกัส ซึ่งวางอยู่บนแกนเอกจะคงที่และเท่ากับความยาวของแกนเอก การสร้างวงรีตามสองแกน (รูปที่ 23) ดำเนินการดังนี้:

• - วาดเส้นแกนซึ่งส่วน AB และ CD ซึ่งเท่ากับแกนหลักและแกนรองของวงรีวางแบบสมมาตรจากจุดตัด O
• - สร้างวงกลมสองวงโดยมีรัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของแกนของวงรี โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดตัดของแกน
• - แบ่งวงกลมออกเป็นสิบสองส่วนเท่าๆ กัน การแบ่งวงกลมดำเนินการตามที่แสดงในย่อหน้าที่ 2.3
• - รังสีเส้นผ่านศูนย์กลางถูกดึงผ่านจุดที่ได้รับ
• - เส้นตรงถูกลากจากจุดตัดกันของรังสีโดยมีวงกลมที่สอดคล้องกันขนานกับแกนของวงรีจนกระทั่งพวกมันตัดกันที่จุดที่อยู่บนวงรี
• - จุดผลลัพธ์จะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้งเรียบโดยใช้ลวดลาย เมื่อสร้างเส้นโค้งรูปแบบ จำเป็นต้องเลือกและวางตำแหน่งรูปแบบเพื่อให้เชื่อมต่อกันอย่างน้อยสี่ถึงห้าจุด

มีวิธีอื่นในการสร้างวงรี

การสร้างพาราโบลา

พาราโบลาเป็นเส้นโค้งแบน ซึ่งแต่ละจุดมีระยะห่างเท่ากันจากไดเรกตริกซ์ DD 1 ซึ่งเป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนสมมาตรของพาราโบลา และจากโฟกัส F ซึ่งเป็นจุดที่อยู่บนแกนสมมาตร ระยะห่าง KF ระหว่างไดเรกตริกซ์และโฟกัสเรียกว่าพารามิเตอร์พาราโบลา พี.

รูปที่ 24 แสดงตัวอย่างการวาดพาราโบลาตามจุดยอด O แกน OK และคอร์ดซีดี การก่อสร้างดำเนินการดังนี้:

• - วาดเส้นตรงแนวนอนที่จุดยอด O ถูกทำเครื่องหมายและพล็อตแกน OK
• - ผ่านจุด K วาดเส้นตั้งฉากซึ่งความยาวของคอร์ดของพาราโบลาถูกพล็อตขึ้นและลงอย่างสมมาตร
• - สร้างสี่เหลี่ยม ABCD โดยด้านหนึ่งเท่ากับแกน และอีกด้านเท่ากับคอร์ดของพาราโบลา
• - ด้าน BC แบ่งออกเป็นหลายส่วนเท่า ๆ กัน และแบ่ง KC ออกเป็นจำนวนส่วนเท่า ๆ กัน
• - จากจุดยอดของพาราโบลา O รังสีจะถูกลากผ่านจุดที่ 1, 2 ฯลฯ และผ่านจุดที่ 1 1, 2 1 เป็นต้น
• - ลากเส้นตรงขนานกับแกนและกำหนดจุดตัดของรังสีด้วยเส้นขนานที่สอดคล้องกันเช่นจุดตัดของรังสี O1 กับเส้นตรง O1 1 ซึ่งเป็นของพาราโบลา
• - จุดผลลัพธ์จะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้งเรียบใต้รูปแบบ กิ่งที่สองของพาราโบลาก็สร้างในลักษณะเดียวกัน

มีวิธีอื่นในการสร้างพาราโบลา

จะสร้างพาราโบลาได้อย่างไร? มีหลายวิธีในการสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสอง แต่ละคนมีข้อดีและข้อเสีย ลองพิจารณาสองวิธี

เริ่มต้นด้วยการพล็อตฟังก์ชันกำลังสองของรูปแบบ y=x²+bx+c และ y= -x²+bx+c

ตัวอย่าง.

สร้างกราฟฟังก์ชัน y=x²+2x-3

สารละลาย:

y=x²+2x-3 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากจุดยอด (-1;-4) เราสร้างกราฟของพาราโบลา y=x² (จากจุดกำเนิดของพิกัด แทนที่จะเป็น (0;0) - จุดยอด (-1;-4) จาก (-1; -4) ไปทางขวา 1 หน่วยขึ้นไป 1 หน่วยจากนั้นไปทางซ้าย 1 และขึ้น 1; จากนั้น: 2 - ขวา, 4 - ขึ้น, 2 - ซ้าย, 3 - ขึ้น, 3 - ซ้าย 9 แต้ม ถ้า 7 แต้มนี้ไม่พอ ให้ 4 แต้มทางขวา 16 แต้มบน เป็นต้น)

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y= -x²+bx+c คือพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ลง ในการสร้างกราฟ เราจะมองหาพิกัดของจุดยอด จากนั้นสร้างพาราโบลา y= -x²

ตัวอย่าง.

สร้างกราฟฟังก์ชัน y= -x²+2x+8

สารละลาย:

y= -x²+2x+8 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จากด้านบนเราสร้างพาราโบลา y= -x² (1 - ไปทางขวา, 1- ลง; 1 - ซ้าย, 1 - ลง; 2 - ขวา, 4 - ลง; 2 - ซ้าย, 4 - ลง ฯลฯ ):

วิธีนี้ช่วยให้คุณสร้างพาราโบลาได้อย่างรวดเร็วและไม่ทำให้เกิดปัญหาหากคุณรู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชัน y=x² และ y= -x² ข้อเสีย: หากพิกัดของจุดยอดเป็นตัวเลขเศษส่วนจะสร้างกราฟได้ไม่สะดวกนัก หากคุณต้องการทราบค่าที่แน่นอนของจุดตัดของกราฟด้วยแกน Ox คุณจะต้องแก้สมการเพิ่มเติม x²+bx+c=0 (หรือ -x²+bx+c=0) แม้ว่าจุดเหล่านี้สามารถกำหนดได้โดยตรงจากภาพวาดก็ตาม

อีกวิธีในการสร้างพาราโบลาคือการใช้จุด กล่าวคือ คุณสามารถหาจุดต่างๆ บนกราฟแล้ววาดพาราโบลาผ่านจุดเหล่านั้นได้ (โดยคำนึงว่าเส้นตรง x=xₒ คือแกนสมมาตร) โดยปกติแล้วจะใช้จุดยอดของพาราโบลาซึ่งเป็นจุดตัดของกราฟที่มีแกนพิกัดและจุดเพิ่มเติมอีก 1-2 จุด

วาดกราฟของฟังก์ชัน y=x²+5x+4

สารละลาย:

y=x²+5x+4 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น พิกัดจุดยอดพาราโบลา

นั่นคือ จุดยอดของพาราโบลาคือจุด (-2.5; -2.25)

กำลังมองหา . ณ จุดตัดกับแกน Ox y=0: x²+5x+4=0 รากของสมการกำลังสอง x1=-1, x2=-4 นั่นคือเราได้จุดสองจุดบนกราฟ (-1; 0) และ (-4; 0)

ที่จุดตัดของกราฟด้วยแกน Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4 เราได้ประเด็นแล้ว (0; 4)

หากต้องการชี้แจงกราฟ คุณสามารถค้นหาจุดเพิ่มเติมได้ สมมติว่า x=1 จากนั้น y=1²+5∙1+4=10 นั่นคืออีกจุดบนกราฟคือ (1; 10) เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนระนาบพิกัด เมื่อคำนึงถึงความสมมาตรของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับเส้นที่ผ่านจุดยอดของมัน เราจะทำเครื่องหมายอีกสองจุด: (-5; 6) และ (-6; 10) และวาดพาราโบลาผ่านพวกมัน:

สร้างกราฟฟังก์ชัน y= -x²-3x

สารละลาย:

y= -x²-3x เป็นฟังก์ชันกำลังสอง กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา พิกัดจุดยอดพาราโบลา

จุดยอด (-1.5; 2.25) คือจุดแรกของพาราโบลา

ที่จุดตัดของกราฟกับแกน x y=0 นั่นคือ เราจะแก้สมการ -x²-3x=0 รากของมันคือ x=0 และ x=-3 นั่นคือ (0;0) และ (-3;0) - อีกสองจุดบนกราฟ จุด (o; 0) ยังเป็นจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัดอีกด้วย

ที่ x=1 y=-1²-3∙1=-4 นั่นคือ (1; -4) เป็นจุดเพิ่มเติมสำหรับการวางแผน

การสร้างพาราโบลาจากจุดต่างๆ เป็นวิธีการที่ต้องใช้แรงงานมากกว่าเมื่อเทียบกับวิธีแรก ถ้าพาราโบลาไม่ตัดกับแกน Ox จะต้องมีจุดเพิ่มเติม

ก่อนที่จะสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบ y=ax²+bx+c ต่อไป ให้เราพิจารณาการสร้างกราฟของฟังก์ชันโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิตก่อน วิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y=x²+c โดยใช้การแปลงแบบใดแบบหนึ่งคือการแปลแบบขนาน

หมวดหมู่: |

การสร้างพาราโบลาเป็นหนึ่งในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดี บ่อยครั้งที่มีการใช้ไม่เพียงเพื่อจุดประสงค์ทางวิทยาศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้เพื่อการใช้งานจริงด้วย มาดูวิธีดำเนินการตามขั้นตอนนี้โดยใช้เครื่องมือแอปพลิเคชัน Excel

พาราโบลาคือกราฟของฟังก์ชันกำลังสองประเภทต่อไปนี้ ฉ(x)=ขวาน^2+bx+ค- คุณสมบัติที่น่าทึ่งประการหนึ่งคือความจริงที่ว่าพาราโบลามีรูปแบบของรูปร่างสมมาตรซึ่งประกอบด้วยชุดของจุดที่ห่างจากไดเรกตริกซ์เท่ากัน โดยรวมแล้ว การสร้างพาราโบลาใน Excel ไม่ได้แตกต่างจากการสร้างกราฟอื่นๆ ในโปรแกรมนี้มากนัก

การสร้างตาราง

ก่อนอื่น ก่อนที่คุณจะเริ่มสร้างพาราโบลา คุณควรสร้างตารางบนพื้นฐานของพาราโบลาที่จะถูกสร้างขึ้น ตัวอย่างเช่น ลองสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน ฉ(x)=2x^2+7.

พล็อตกราฟ

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ตอนนี้เราต้องสร้างกราฟขึ้นมาเอง

การแก้ไขแผนภูมิ

ตอนนี้คุณสามารถแก้ไขกราฟผลลัพธ์ได้เล็กน้อย

นอกจากนี้ คุณสามารถทำการแก้ไขพาราโบลาผลลัพธ์ประเภทอื่นๆ ได้ รวมถึงการเปลี่ยนชื่อและชื่อของแกนด้วย เทคนิคการแก้ไขเหล่านี้ไม่ได้อยู่นอกเหนือขอบเขตของการทำงานใน Excel กับไดอะแกรมประเภทอื่น

อย่างที่คุณเห็น การสร้างพาราโบลาใน Excel ไม่มีความแตกต่างโดยพื้นฐานจากการสร้างกราฟหรือไดอะแกรมประเภทอื่นในโปรแกรมเดียวกัน การดำเนินการทั้งหมดจะดำเนินการบนพื้นฐานของตารางที่สร้างไว้ล่วงหน้า นอกจากนี้ คุณต้องคำนึงว่าแผนภาพกระจายเหมาะสมที่สุดสำหรับการสร้างพาราโบลา

วงรีหากคุณตัดพื้นผิวของกรวยทรงกลมด้วยระนาบเอียง ร เพื่อให้มันตัดกันเครื่องกำเนิดทั้งหมด จากนั้นจะได้วงรีในระนาบส่วน (รูปที่ 65)

รูปที่ 65

วงรี(รูปที่ 66) – เส้นโค้งปิดแบนซึ่งผลรวมของระยะทางจากจุดใดจุดหนึ่ง (เช่น จากจุดหนึ่ง ม ) มากถึงสองคะแนนที่กำหนด ฉ 1 และ ฉ 2 – จุดโฟกัสของวงรี – มีค่าคงที่เท่ากับความยาวของแกนเอก เอบี (ตัวอย่างเช่น, เอฟ 1 ม + ฉ 2 ม = เอบี ).ส่วนของเส้น เอบี เรียกว่าแกนเอกของวงรี และเซ็กเมนต์ ซีดี - แกนรองของมัน แกนของวงรีตัดกันที่จุด โอ- ศูนย์กลางของวงรี และขนาดจะเป็นตัวกำหนดความยาวของแกนหลักและแกนรอง คะแนน ฉ 1 และ ฉ 2 ตั้งอยู่บนแกนหลัก เอบี สมมาตรเกี่ยวกับจุด โอ และถูกลบออกจากปลายแกนไมเนอร์ (จุด กับ และ ดี ) โดยมีระยะห่างเท่ากับครึ่งหนึ่งของแกนเอกของวงรี .

รูปที่ 66

มีหลายวิธีในการสร้างวงรี วิธีที่ง่ายที่สุดคือสร้างวงรีตามแกนทั้งสองของมันโดยใช้วงกลมเสริม (รูปที่ 67) ในกรณีนี้มีการระบุจุดศูนย์กลางของวงรี - จุด โอ และมีเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันถูกลากผ่าน (รูปที่ 67, a) จากจุด เกี่ยวกับ อธิบายวงกลมสองวงที่มีรัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของแกนหลักและแกนรอง วงกลมใหญ่แบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน และจุดแบ่งเชื่อมกับจุดนั้น เกี่ยวกับ - เส้นที่ลากจะแบ่งวงกลมเล็กๆ ออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน จากนั้น เส้นแนวนอน (หรือเส้นตรงขนานกับแกนหลักของวงรี) จะถูกลากผ่านจุดแบ่งของวงกลมเล็ก และเส้นแนวตั้ง (หรือเส้นตรงขนานกับแกนรองของวงรี) จะถูกลากผ่านจุดแบ่ง ของวงกลมที่ใหญ่กว่า จุดตัดกัน (เช่น จุด ม ) อยู่ในวงรี โดยการเชื่อมต่อจุดผลลัพธ์กับเส้นโค้งเรียบจะได้วงรี (รูปที่ 67, b)

รูปที่ 67

พาราโบลาหากกรวยกลมถูกตัดด้วยระนาบ ร ขนานกับยีนตัวใดตัวหนึ่ง จะได้พาราโบลาในระนาบส่วน (รูปที่ 68)

รูปที่ 68

พาราโบลา(รูปที่ 69) – เส้นโค้งแบน ซึ่งแต่ละจุดมีระยะห่างจากเส้นตรงที่กำหนดเท่ากัน ดีดี 1 , เรียกว่า ครูใหญ่และคะแนน เอฟ – จุดโฟกัสของพาราโบลา- ตัวอย่างเช่นสำหรับจุดหนึ่ง ม เซ็กเมนต์ มน (เว้นระยะห่างถึงอาจารย์ใหญ่) และ ม.ฟ. (ระยะโฟกัส) เท่ากัน กล่าวคือ มน = ม.ฟ. .

พาราโบลามีรูปร่างเป็นเส้นโค้งเปิดโดยมีแกนสมมาตรหนึ่งแกนซึ่งผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา - จุด เอฟ และตั้งฉากกับผู้อำนวยการ ดีดี 1 .แม่นยำ ก นอนอยู่ตรงกลางส่วน ของ , เรียกว่า จุดยอดของพาราโบลา- ระยะห่างจากโฟกัสถึงไดเรกทริกซ์ - ส่วน ของ = 2'โอเอ – แสดงด้วยตัวอักษร ร และโทร พารามิเตอร์พาราโบลา- ยิ่งพารามิเตอร์มีขนาดใหญ่เท่าไร ร ยิ่งกิ่งก้านของพาราโบลาเคลื่อนออกจากแกนมากเท่าไร ส่วนที่อยู่ระหว่างจุดสองจุดของพาราโบลาซึ่งมีสัมพัทธ์กับแกนของพาราโบลาแบบสมมาตร เรียกว่า ส่วนที่อยู่ระหว่างจุดสองจุดของพาราโบลา คอร์ด(เช่น คอร์ด เอ็มเค ).

รูปที่ 69

การสร้างพาราโบลาจากไดเรกตริกซ์ DD 1 และโฟกัส F(รูปที่ 70 ก) . ผ่านจุด เอฟ วาดแกนของพาราโบลาตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์จนกระทั่งมันตัดกับไดเรกตริกซ์ที่จุดนั้น เกี่ยวกับ. ส่วนของเส้น ของ = พี แบ่งครึ่งก็ได้แต้ม เอ – ด้านบนของพาราโบลา บนแกนของจุดพาราโบลา ก วางส่วนที่เพิ่มขึ้นทีละน้อยทีละน้อย ผ่านจุดแบ่งแยก 1, 2, 3 มัน. ง. ลากเส้นตรงขนานกับไดเรกตริกซ์ โดยให้พาราโบลาเป็นจุดศูนย์กลาง โดยอธิบายส่วนโค้งที่มีรัศมี ร 1 =ล 1 1 ,รัศมี R2 = L2 จนกระทั่งมันตัดเส้นผ่านจุดหนึ่ง 2 ฯลฯ จุดผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นของพาราโบลา ขั้นแรกให้เชื่อมต่อกันด้วยเส้นเรียบบางๆ ด้วยมือ จากนั้นลากไปตามลวดลาย

การสร้างพาราโบลาตามแนวแกน จุดยอด A และจุดกึ่งกลาง M(รูปที่ 70 ข) ผ่านด้านบน ก ลากเส้นตรงตั้งฉากกับแกนของพาราโบลาแล้วลากผ่านจุด เอ็ม – เส้นตรงขนานกับแกน เส้นทั้งสองตัดกันที่จุดหนึ่ง บี - เซ็กเมนต์ เอบี และ บี.เอ็ม. แบ่งออกเป็นจำนวนส่วนเท่า ๆ กัน และจุดแบ่งจะมีหมายเลขกำกับตามทิศทางที่ลูกศรระบุ ผ่านด้านบน ก และจุด 1 , 2 , 3 , 4 นำรังสีและจากจุดต่างๆ ฉัน , ครั้งที่สอง , สาม ,IV – เส้นตรงขนานกับแกนของพาราโบลา ที่จุดตัดของเส้นที่มีตัวเลขเท่ากันจะมีจุดที่เป็นพาราโบลา พาราโบลาทั้งสองกิ่งเหมือนกัน ดังนั้นอีกกิ่งหนึ่งจึงถูกสร้างขึ้นอย่างสมมาตรกับกิ่งแรกโดยใช้คอร์ด

รูปที่ 70

การสร้างพาราโบลาแทนเจนต์กับเส้นตรง OA และ OB สองเส้นที่จุด A และ B ที่ให้ไว้(รูปที่ 71 ข) เซ็กเมนต์ โอเอ และ อ.บ แบ่งเป็นจำนวนเท่าๆ กัน (เช่น แบ่งเป็น 8 ส่วน) คะแนนการแบ่งผลลัพธ์จะมีหมายเลขและคะแนนที่มีชื่อเดียวกันเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง 1–1 , 2 –2 , 3 –3 ฯลฯ . ง . เส้นเหล่านี้สัมผัสกับเส้นโค้งพาราโบลา จากนั้น เส้นโค้งแทนเจนต์เรียบๆ (พาราโบลา) จะถูกเขียนลงในเส้นขอบที่เกิดจากเส้นตรง .

รูปที่ 71

ไฮเปอร์โบลาหากคุณตัดกรวยตรงและย้อนกลับด้วยระนาบขนานกับยีนทั้งสองหรือในบางกรณีขนานกับแกน คุณจะได้ไฮเปอร์โบลาที่ประกอบด้วยกิ่งสมมาตรสองกิ่งในระนาบส่วน (รูปที่ 72, a)

อติพจน์(รูปที่ 72, b) เรียกว่าเส้นโค้งระนาบเปิดซึ่งเป็นเซตของจุด ผลต่างของระยะห่างจากจุดที่กำหนดสองจุดจะเป็นค่าคงที่

รูปที่ 72

คะแนนคงที่ ฉ 1 และ ฉ 2 ถูกเรียก เทคนิค , และระยะห่างระหว่างพวกเขาก็คือ ความยาวโฟกัส . ส่วนของเส้น ( เอฟ 1 ม และ เอฟ 2 ม ), เชื่อมต่อจุดใดก็ได้ ( ม ) เรียกว่าเส้นโค้งที่มีจุดโฟกัส เวกเตอร์รัศมีอติพจน์ . ความแตกต่างระหว่างระยะจุดและระยะโฟกัส ฉ 1 และ ฉ 2 เป็นค่าคงที่และเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดยอด ก และ ข อติพจน์; ตัวอย่างเช่นสำหรับจุดหนึ่ง ม จะมี: ฉ 1 ม. -F 2 ม = ก. ไฮเปอร์โบลาประกอบด้วยกิ่งก้านเปิดสองกิ่งและมีแกนตั้งฉากกันสองแกน - ถูกต้อง เอบี และ จินตภาพ ซีดี. โดยตรง หน้า และ อาร์เอส ผ่านศูนย์กลาง โอ ,ถูกเรียกว่า เส้นกำกับ .

การสร้างไฮเปอร์โบลาโดยใช้เส้นกำกับเหล่านี้ หน้า และ อาร์เอส เทคนิค ฉ 1 และ ฉ 2 แสดงในรูปที่ 72 ข.

แกนจริง เอบี ไฮเปอร์โบลาคือเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่เกิดจากเส้นกำกับ แกนจินตภาพ ซีดี ตั้งฉาก เอบี และผ่านจุดนั้นไป เกี่ยวกับ. มีทริค ฉ 1 และ F2, กำหนดจุดยอด ก และ ข ไฮเปอร์โบลา ทำไมจึงอยู่ในเซกเมนต์ ฟ 1 ฟ 2 สร้างครึ่งวงกลมที่ตัดเส้นกำกับที่จุดต่างๆ ม และ ป. จากจุดเหล่านี้ตั้งฉากจะลดลงบนแกน เอบี และที่จุดตัดกับมัน เราจะได้จุดยอด ก และ ข อติพจน์

เพื่อสร้างกิ่งด้านขวาของไฮเปอร์โบลาบนเส้นตรง เอบี ทางด้านขวาของโฟกัส ฉ 1 ทำเครื่องหมายจุดโดยพลการ 1 , 2 , 3 , ..., 5. คะแนน วี และ V1 จะได้ไฮเปอร์โบลาถ้าเราหาส่วนนั้น ก5 เกินรัศมีและจากจุด F2 วาดส่วนโค้งของวงกลมซึ่งทำเครื่องหมายไว้จากจุดนั้น ฉ 1 รัศมีเท่ากับ ข5 จุดที่เหลือของไฮเปอร์โบลาถูกสร้างขึ้นโดยการเปรียบเทียบกับจุดที่อธิบายไว้

บางครั้งคุณต้องสร้างไฮเปอร์โบลาที่มีเส้นกำกับ โอ้ และ โอ้ ตั้งฉากกัน (รูปที่ 73) ในกรณีนี้ แกนจริงและแกนจินตภาพจะเป็นทวิ กับ ectrices ของมุมขวา ในการสร้างจุดใดจุดหนึ่งของไฮเปอร์โบลาจะถูกระบุ เช่น จุด ก.

รูปที่ 73

ผ่านจุด ก ดำเนินการโดยตรง อลาสก้า และ เช้า. ขนานกับแกน โอ้ และ คุณ .จากจุด โอ อีกครั้ง กับ แนวคิดเกี่ยวกับ กับ พวกเขาให้เธอโดยตรง กับ เส้นตรง เช้า. และ อลาสก้า ที่จุด 1 , 2 , 3 , 4 และ 1" , 2" , 3" , 4" - ถัดไป ส่วนแนวตั้งและแนวนอนจะถูกดึงจากจุดตัดกันด้วยเส้นเหล่านี้จนกระทั่งตัดกันที่จุดนั้น ฉัน, II, III, IV เป็นต้น จุดผลลัพธ์ของไฮเปอร์โบลาเชื่อมต่อกันโดยใช้รูปแบบ . คะแนน 1, 2, 3, 4 ที่ตั้งอยู่บนเส้นแนวตั้งจะถูกถ่ายโดยพลการ .

ม้วนเป็นวงกลมหรือการพัฒนาของวงกลม ม้วนเป็นวงกลมเรียกว่าเส้นโค้งแบนซึ่งอธิบายโดยแต่ละจุดของเส้นตรง ถ้าเส้นตรงนี้ถูกกลิ้งโดยไม่เลื่อนไปตามวงกลมที่อยู่นิ่ง (วิถีของจุดของวงกลมที่เกิดจากการเคลื่อนตัวและการยืดตรง) (รูปที่ 74)

หากต้องการสร้างส่วนที่ไม่ม้วนก็เพียงพอที่จะระบุเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ดี และตำแหน่งเริ่มต้นของจุด ก (จุด เอ 0 - ผ่านจุด เอ 0 วาดเส้นสัมผัสกันของวงกลมแล้วพล็อตความยาวของวงกลมที่กำหนดลงไป ดี - ส่วนที่เป็นผลลัพธ์และวงกลมจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนจำนวนเท่ากันและแทนเจนต์จะถูกลากไปในทิศทางเดียวผ่านจุดแบ่งของวงกลม ในแต่ละแทนเจนต์ ส่วนที่นำมาจากเส้นแนวนอนและเท่ากันจะถูกวางตามลำดับ 1A 1 = ก 0 1 , 2A 2 = VA 0 2 , 3A 3 = ก 0 3 ฯลฯ.; จุดผลลัพธ์จะเชื่อมต่อกันตามรูปแบบ

รูปที่ 74

เกลียวอาร์คิมิดีส- เส้นโค้งแบนที่อธิบายโดยจุด ก หมุนรอบจุดคงที่อย่างสม่ำเสมอ – เสา เกี่ยวกับ และในขณะเดียวกันก็เคลื่อนตัวออกห่างจากมันอย่างสม่ำเสมอ (รูปที่ 75) ระยะทางที่เดินทางโดยจุดหนึ่งเมื่อหมุนเส้นตรง 360° เรียกว่า พิทช์เกลียว จุดที่เป็นของเกลียวอาร์คิมิดีสถูกสร้างขึ้นตามคำจำกัดความของเส้นโค้ง โดยระบุขั้นตอนและทิศทางของการหมุน

การสร้างเกลียวอาร์คิมิดีสโดยใช้ระยะพิทช์ที่กำหนด (ส่วน OA) และทิศทางการหมุนตามเข็มนาฬิกา(ภาพที่ 75).ผ่านจุด เกี่ยวกับ วาดเส้นตรงและทำเครื่องหมายระยะพิทช์เกลียวบนนั้น โอเอ และเมื่อพิจารณาเป็นรัศมีแล้วจึงบรรยายถึงวงกลม วงกลมและส่วน โอเอ แบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน รัศมีถูกลากผ่านจุดหารของวงกลม O1 , O2 , O3 ฯลฯ และต่อพวกเขาจากจุดนั้น เกี่ยวกับ วางโดยใช้ส่วนโค้ง 1/12, 2/12, 3/12 ฯลฯ ของรัศมีของวงกลมตามลำดับ จุดที่เกิดจะเชื่อมต่อกันตามรูปแบบที่มีเส้นโค้งเรียบ

เกลียวอาร์คิมิดีสเป็นเส้นโค้งเปิด และหากจำเป็น คุณสามารถสร้างการหมุนกี่ครั้งก็ได้ หากต้องการสร้างโค้งที่สอง ให้อธิบายวงกลมที่มีรัศมี ร = 2 โอเอ และทำซ้ำสิ่งก่อสร้างก่อนหน้าทั้งหมด

รูปที่ 75

คลื่นไซน์คลื่นไซน์เรียกว่าการฉายภาพวิถีการเคลื่อนที่ของจุด กับ ฉันเป็นคนทรงกระบอก กับ ซึ่งเป็นเกลียวบนระนาบขนานกับแกนทรงกระบอก . การเคลื่อนที่ของจุดประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ (รอบแกนกระบอกสูบ) และการเคลื่อนที่แบบแปลนสม่ำเสมอ (ขนานกับแกนกระบอกสูบ) . คลื่นไซน์เป็นเส้นโค้งแบนที่แสดงการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์ ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของมุม .

เพื่อสร้างไซนัสอยด์ (รูปที่ 76) ผ่านตรงกลาง เกี่ยวกับ เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม ดี ดำเนินการโดยตรง โอ้ และมีส่วนหนึ่งวางอยู่บนนั้น โอ 1 ก เท่ากับเส้นรอบวง ดี. ส่วนนี้และวงกลมแบ่งออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน เส้นตรงตั้งฉากซึ่งกันและกันจะถูกดึงมาจากจุดที่ได้รับและจุดที่มีหมายเลข จุดตัดที่เกิดขึ้นของเส้นเหล่านี้เชื่อมต่อกันโดยใช้รูปแบบเส้นโค้งเรียบ

รูปที่ 76

คาร์ดิโอด์. คาร์ดิโอด์(รูปที่ 77) โทร กับ ฉันเป็นวิถีปิดของจุดหนึ่งในวงกลม กับ ที่กลิ้งไปโดยไม่ลื่นไถลไปตามวงกลมที่อยู่นิ่งในรัศมีเดียวกัน .

รูปที่ 77

จากศูนย์กลาง เกี่ยวกับ วาดวงกลมที่มีรัศมีที่กำหนดแล้วเลือกจุดที่ต้องการ ม. ชุดของเส้นตัดถูกลากผ่านจุดนี้ ในแต่ละเส้นตัดทั้งสองด้านของจุดตัดกับวงกลมจะมีการวางส่วนที่เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ม1. ใช่แล้ว ซีแคนท์ III3МIII 1 ตัดวงกลมที่จุดหนึ่ง 3 ;เซ็กเมนต์จะถูกปลดออกจากจุดนี้ 3III และ 3III 1, เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง ม1. คะแนน สาม และ ที่สาม 1 , เป็นของ cardioid . ในทำนองเดียวกัน กับ ปัจจุบัน IV4MIV 1 อีกครั้ง กับ วงกลม ณ จุดหนึ่ง 4; ส่วนต่างๆ จะถูกวางจากจุดนี้ IV4 และ 4IV 1, เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง M1, รับคะแนน IV และ IV 1 ฯลฯ

จุดที่พบจะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้ง ดังแสดงในรูปที่ 77

เส้นโค้งไซโคลลอยด์. ไซโคลลอยด์ – เส้นโค้งระนาบ อธิบายโดยจุดที่เป็นของวงกลมที่กลิ้งโดยไม่เลื่อนไปตามเส้นตรงหรือวงกลม . หากวงกลมหมุนเป็นเส้นตรง จุดนั้นจะอธิบายเส้นโค้งที่เรียกว่า ไซโคลิด.

ถ้าวงกลมม้วนไปตามวงกลมอีกวงหนึ่ง โดยอยู่ด้านนอก (ตามส่วนนูน) จุดนั้นจะอธิบายเส้นโค้งที่เรียกว่า เอพิไซคลอยด์ .

หากวงกลมม้วนไปตามวงกลมอีกวงหนึ่ง โดยอยู่ภายในวงกลมนั้น (ตามแนวส่วนเว้า) จุดนั้นจะอธิบายเส้นโค้งที่เรียกว่า ไฮโปไซคลอยด์ . วงกลมที่จุดนั้นตั้งอยู่นั้นเรียกว่า การผลิต . เส้นที่เรียกว่าม้วนวงกลม แนะนำ .

เพื่อสร้างไซโคลิด(รูปที่ 78) วาดวงกลมตามรัศมีที่กำหนด ร - ใช้จุดเริ่มต้นกับมัน ก และวาดเส้นบอกแนว เอบี, ไปตามที่วงกลมกลิ้งไป .

รูปที่ 78

แบ่งวงกลมที่กำหนดออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน (คะแนน 1" , 2" , 3" , ..., 12"). ถ้าตรงประเด็น ก เปลี่ยน กับ หัวนม กับ ฉันอยู่ในตำแหน่ง เอ 12 จากนั้นส่วน อเอ 12 จะเท่ากับความยาวเส้นรอบวงที่กำหนด กับ คุณคือ . วาดเส้นตรงกลาง โอ – โอ 12 ผลิตเป็นเส้นรอบวง กับ ti, เท่ากัน , และแบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน รับคะแนน โอ 1 ,O2 ,โอ 3 ,..., โอ 12 ซึ่งเป็นศูนย์กลางของวงกลมกำเนิด กับ คุณ . จากจุดเหล่านี้ให้วาดเป็นวงกลม กับ ty (หรือส่วนโค้งรอบ ๆ กับ tey) ของรัศมีที่กำหนด ร ซึ่งแตะเส้น เอบี ที่จุด 1,2, 3, ..., 12. หากจากจุดสัมผัสแต่ละจุด เราสร้างความยาวส่วนโค้งบนวงกลมที่สอดคล้องกันเท่ากับจำนวนที่จุดนั้นเคลื่อนที่ ก จากนั้นเราจะได้คะแนนที่เป็นของไซโคลิด เช่นเพื่อให้ได้ประเด็น เอ 5 ไซโคลิดตามมาจากศูนย์กลาง โอ 5 วาดวงกลมจากจุดสัมผัส 5 วางส่วนโค้งรอบเส้นรอบวง A5, เท่ากับ A5", หรือจากจุด 5" วาดเส้นตรงขนานกัน เอบี, ถึงทางแยกตรงจุด เอ 5 ด้วยวงกลมที่วาดไว้ . จุดอื่นๆ ทั้งหมดของไซโคลิดมีโครงสร้างคล้ายกัน .

เอพิไซคลอยด์ถูกสร้างขึ้นดังนี้รูปที่ 79 แสดงรัศมีวงกลมกำเนิด กับ ก ร มีศูนย์กลาง โอ 0 , จุดเริ่ม ก บนนั้นและส่วนโค้งของไกด์รอบ ๆ กับ คุณวิทยุ กับ ก ร 1 ซึ่งมันกลิ้งไปตามนั้น กับ ฉันเป็นวงกลม การสร้างเอพิไซคลอยด์นั้นคล้ายคลึงกับการสร้างไซโคลิด กล่าวคือ แบ่งวงกลมที่กำหนดออกเป็น 12 ส่วนเท่า ๆ กัน (คะแนน 1" , 2" , 3" , ...,12"), แต่ละส่วนของวงกลมนี้ถูกปลดออกจากจุดหนึ่ง ก ตามส่วนโค้ง เอบี 12 ครั้ง (จุด 1 , 2 , 3 , ..., 12) และได้ความยาวส่วนโค้ง อเอ 12 - ความยาวนี้สามารถกำหนดได้โดยใช้มุม .

เพิ่มเติมจากศูนย์กลาง เกี่ยวกับ รัศมีเท่ากับ โอ้ 0 ให้ลากเส้นศูนย์กลางของวงกลมกำเนิดและวาดรัศมี 01 , 02 , 03 , ...,012 ต่อเนื่องกันจนตัดกับเส้นศูนย์รับจุดศูนย์กลาง โอ 1, โอ 2, ..., โอ 12 วงกลมกำเนิด . จากศูนย์กลางเหล่านี้มีรัศมีเท่ากับ ร วาดวงกลมหรือส่วนโค้งของวงกลมที่พวกเขาสร้างขึ้นและ กับ จุดใดของเส้นโค้ง ดังนั้นเพื่อให้ได้ประเด็น เอ 4 ส ควรตรวจสอบ กับ ส่วนโค้งไปรอบ ๆ กับ รัศมีที O4" จนกระทั่งตัดกับวงกลมที่ลากมาจากศูนย์กลาง O4. จุดอื่นๆ ก็ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน ซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้งเรียบ .

รูปที่ 79

ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.