http//:www.svkspb.nm.ru

ลักษณะทางเรขาคณิตของส่วนแบน

สี่เหลี่ยม: , dF - แพลตฟอร์มระดับประถมศึกษา

โมเมนต์คงที่ขององค์ประกอบพื้นที่ดีเอฟสัมพันธ์กับแกน 0x
- ผลคูณขององค์ประกอบพื้นที่ด้วยระยะห่าง "y" จากแกน 0x: dS x = ydF

เมื่อเราได้ผลรวม (บูรณาการ) ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวทั่วทั้งพื้นที่ของร่างแล้ว ช่วงเวลาที่คงที่สัมพันธ์กับแกน y และ x:
;
[ซม. 3 ม. 3 ฯลฯ ]

พิกัดจุดศูนย์ถ่วง:
. ช่วงเวลาคงที่สัมพันธ์กัน แกนกลาง(แกนที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วน) มีค่าเท่ากับศูนย์ เมื่อคำนวณโมเมนต์คงที่ของรูปที่ซับซ้อนจะแบ่งออกเป็นส่วนง่าย ๆ โดยมีพื้นที่ที่ทราบ F i และพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง x i, y i โมเมนต์คงที่ของพื้นที่ของรูปทั้งหมด = ผลรวมของ โมเมนต์คงที่ของแต่ละส่วน:
.

พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุเชิงซ้อน:

ม
โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วน

ตามแนวแกน(เส้นศูนย์สูตร) โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วน- ผลรวมของผลคูณของพื้นที่เบื้องต้น dF ด้วยกำลังสองของระยะทางถึงแกน

;
[ซม. 4 ม. 4 ฯลฯ ]

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของส่วนที่สัมพันธ์กับจุดใดจุดหนึ่ง (ขั้ว) คือผลรวมของผลคูณของพื้นที่เบื้องต้นด้วยกำลังสองของระยะห่างจากจุดนี้
; [ซม. 4 ม. 4 ฯลฯ ] เจ + เจ x = เจ พี .

โมเมนต์แรงเหวี่ยงของความเฉื่อยของส่วน- ผลรวมของผลคูณของพื้นที่เบื้องต้นและระยะห่างจากแกนสองแกนตั้งฉากกัน
.

โมเมนต์แรงเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน ซึ่งแกนใดแกนหนึ่งหรือทั้งสองแกนตรงกับแกนสมมาตร มีค่าเท่ากับศูนย์

โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนและเชิงขั้วจะเป็นค่าบวกเสมอ โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงอาจเป็นค่าบวก ลบ หรือศูนย์ก็ได้

โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปเชิงซ้อนเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่เป็นส่วนประกอบ

โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปทรงเรียบง่าย

ป
วงกลมส่วนสี่เหลี่ยม

ถึง


แหวน

ต
สามเหลี่ยม

ร
มีศีลธรรม

สี่เหลี่ยม

ต
สามเหลี่ยม

ชม วงกลมไตรมาส

เจ =เจ x =0.055R 4

เจ xy =0.0165R 4

ในรูป (-)

ครึ่งวงกลม

ม

โมเมนต์ความเฉื่อยของโปรไฟล์มาตรฐานจะพบได้จากตารางการแบ่งประเภท:

ดี
วูทาฟร์ ช่อง มุม

ม

โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนขนาน:

เจ x1 =เจ x + ก 2 F;

เจ y1 =เจ ย + ข 2 F;

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนใดๆ เท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนกลางขนานกับแกนที่กำหนด บวกกับผลคูณของพื้นที่ของรูปและกำลังสองของระยะห่างระหว่างแกน เจ y1x1 =เจ yx + abF; (“a” และ “b” ถูกแทนที่ด้วยสูตรโดยคำนึงถึงเครื่องหมาย)

การพึ่งพาระหว่าง โมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อหมุนแกน:

เจ x1 =J x cos 2  + J y บาป 2  - J xy sin2; J y1 = J y cos 2  + J x บาป 2  + J xy sin2;

เจ x1y1 =(เจ x - เจ y)sin2 + เจ xy cos2 ;

มุม >0 หากการเปลี่ยนจากระบบพิกัดเก่าไปเป็นระบบพิกัดใหม่เกิดขึ้นทวนเข็มนาฬิกา J y1 + J x1 = J y + J x

เรียกว่าค่าโมเมนต์ความเฉื่อยสูงสุด (สูงสุดและต่ำสุด) ช่วงเวลาสำคัญของความเฉื่อย. แกนที่โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนมีค่ามากเรียกว่า แกนหลักของความเฉื่อย. แกนหลักของความเฉื่อยตั้งฉากกัน โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงรอบแกนหลัก = 0 เช่น แกนหลักของความเฉื่อย - แกนที่โมเมนต์แรงเฉื่อย = 0 หากแกนใดแกนหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันหรือทั้งสองตรงกับแกนสมมาตรแสดงว่าแกนเหล่านั้นเป็นแกนหลัก มุมที่กำหนดตำแหน่งของแกนหลัก:
, ถ้า  0 >0  แกนหมุนทวนเข็มนาฬิกา แกนสูงสุดจะทำให้มุมของแกนเล็กลงเสมอโดยสัมพันธ์กับโมเมนต์ความเฉื่อยที่มีค่ามากกว่า แกนหลักที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงเรียกว่า แกนกลางหลักของความเฉื่อย. โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนเหล่านี้:

J สูงสุด + J นาที = J x + J y . โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงที่สัมพันธ์กับแกนกลางหลักของความเฉื่อยมีค่าเท่ากับ 0 หากทราบโมเมนต์ความเฉื่อยหลักของสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้แกนที่หมุนคือ:

J x1 =J สูงสุด cos 2  + J นาที บาป 2 ; J y1 =J สูงสุด cos 2  + J นาที บาป 2 ; J x1y1 =(J สูงสุด - J นาที)sin2;

เป้าหมายสูงสุดของการคำนวณลักษณะทางเรขาคณิตของส่วนคือการกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยที่จุดศูนย์กลางหลักและตำแหน่งของแกนความเฉื่อยส่วนกลางหลัก ร รัศมีความเฉื่อย -
; เจ x =Fฉัน x 2 , เจ =Fฉัน และ 2 .

ถ้า J x และ J y เป็นโมเมนต์หลักของความเฉื่อย แล้ว i x และ i y - รัศมีหลักของความเฉื่อย. วงรีที่สร้างขึ้นบนรัศมีหลักของความเฉื่อยเช่นเดียวกับที่อยู่บนกึ่งแกนเรียกว่า วงรีของความเฉื่อย. เมื่อใช้วงรีของความเฉื่อย คุณสามารถค้นหารัศมีของความเฉื่อย i x1 สำหรับแกนใดๆ x1 ในรูปแบบกราฟิกได้ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องวาดเส้นสัมผัสกันไปที่วงรี ซึ่งขนานกับแกน x1 และวัดระยะห่างจากแกนนี้ถึงเส้นสัมผัสกัน เมื่อทราบรัศมีของความเฉื่อย คุณสามารถค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน x 1 ได้:
. สำหรับส่วนที่มีแกนสมมาตรมากกว่าสองแกน (เช่น วงกลม สี่เหลี่ยมจัตุรัส วงแหวน ฯลฯ) โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนรอบแกนกลางทั้งหมดจะเท่ากัน J xy = 0 วงรีของความเฉื่อยจะเปลี่ยนเป็น a วงกลมแห่งความเฉื่อย

ช่วงเวลาแห่งการต่อต้าน

โมเมนต์แนวต้าน- อัตราส่วนของโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนต่อระยะห่างจากจุดนั้นไปยังจุดที่ไกลที่สุดของส่วน
[ซม. 3, ม. 3]

สิ่งสำคัญอย่างยิ่งคือช่วงเวลาของการต่อต้านที่สัมพันธ์กับแกนกลางหลัก:

สี่เหลี่ยมผืนผ้า:
; วงกลม: W x = W y =
,

ส่วนท่อ (วงแหวน): W x = W y =
โดยที่ = d N / d B .

โมเมนต์ความต้านทานเชิงขั้ว - อัตราส่วนของโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วต่อระยะห่างจากขั้วไปยังจุดที่ห่างไกลที่สุดของส่วน:
.

สำหรับวงกลม W р =
.

โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกน (หรือเส้นศูนย์สูตร) ​​ของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนใดแกนหนึ่งคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของพื้นที่พื้นฐานที่ยึดพื้นที่ทั้งหมด F โดยกำลังสองของระยะห่างจากแกนนี้ เช่น

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของส่วนที่สัมพันธ์กับจุดใดจุดหนึ่ง (ขั้ว) คือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของพื้นที่เบื้องต้นที่ยึดพื้นที่ทั้งหมด F โดยกำลังสองของระยะทางจากจุดนี้ เช่น

โมเมนต์แรงเฉื่อยของจุดศูนย์กลางที่สัมพันธ์กับแกนตั้งฉากกันสองแกนคือผลรวมของผลคูณของพื้นที่เบื้องต้นที่ยึดพื้นที่ F ทั้งหมด และระยะห่างจากแกนเหล่านี้ กล่าวคือ

โมเมนต์ความเฉื่อยแสดงออกมาเป็น ฯลฯ

โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนและขั้วจะเป็นค่าบวกเสมอเนื่องจากการแสดงออกภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลนั้นรวมถึงค่าของพื้นที่ (บวกเสมอ) และกำลังสองของระยะทางของพื้นที่เหล่านี้จากแกนหรือขั้วที่กำหนด

ในรูป ในแผนภูมิ 9.5 a แสดงส่วนที่มีพื้นที่ F และแสดงแกน y และ z โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนนี้สัมพันธ์กับแกน y:

ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยเหล่านี้

และดังนั้นจึง

ดังนั้น ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนที่ตั้งฉากกันสองแกนจะเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของส่วนนี้สัมพันธ์กับจุดตัดของแกนเหล่านี้

โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงอาจเป็นค่าบวก ลบ หรือศูนย์ก็ได้ ตัวอย่างเช่น โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงของส่วนที่แสดงในรูปที่ 1 9.5, a สัมพันธ์กับ y และแกนเป็นบวก เนื่องจากสำหรับส่วนหลักของส่วนนี้ ซึ่งอยู่ในจตุภาคแรก ค่าของ และดังนั้นจึงเป็นบวก

หากคุณเปลี่ยนทิศทางบวกของแกน y หรือทิศทางตรงกันข้าม (รูปที่ 9.5, b) หรือหมุนทั้งสองแกนนี้ 90° (รูปที่ 9.5, c) โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงจะกลายเป็นลบ ( ค่าสัมบูรณ์จะไม่เปลี่ยนแปลง) เนื่องจากส่วนหลักส่วนนั้นจะอยู่ในจตุภาคที่พิกัด y เป็นบวกและพิกัด z เป็นลบ หากคุณเปลี่ยนทิศทางบวกของแกนทั้งสองไปในทางตรงกันข้าม เครื่องหมายหรือขนาดของโมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงจะไม่เปลี่ยน

ลองพิจารณาตัวเลขที่สมมาตรประมาณหนึ่งแกนขึ้นไป (รูปที่ 10.5) ลองวาดแกนเพื่อให้อย่างน้อยหนึ่งแกน (ในกรณีนี้คือแกน y) ตรงกับแกนสมมาตรของรูป ในกรณีนี้ แต่ละแท่นที่อยู่ทางด้านขวาของแกนจะสอดคล้องกับแท่นเดียวกันซึ่งอยู่ที่แท่นแรกอย่างสมมาตร แต่อยู่ทางด้านซ้ายของแกน y โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงของแต่ละคู่ของแพลตฟอร์มที่มีตำแหน่งสมมาตรนั้นมีค่าเท่ากับ:

เพราะฉะนั้น,

ดังนั้น โมเมนต์แรงเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน ซึ่งแกนใดแกนหนึ่งหรือทั้งสองแกนตรงกับแกนสมมาตรจะเท่ากับศูนย์

โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนที่ซับซ้อนสัมพันธ์กับแกนใดแกนหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนประกอบที่สัมพันธ์กับแกนเดียวกัน

ในทำนองเดียวกัน โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงของส่วนที่ซับซ้อนสัมพันธ์กับแกนตั้งฉากสองแกนใดๆ ก็ตามจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงของส่วนที่เป็นส่วนประกอบสัมพันธ์กับแกนเดียวกัน นอกจากนี้ โมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของส่วนที่ซับซ้อนสัมพันธ์กับจุดหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของส่วนที่เป็นส่วนประกอบซึ่งสัมพันธ์กับจุดเดียวกัน

โปรดทราบว่าไม่สามารถสรุปโมเมนต์ความเฉื่อยที่คำนวณเกี่ยวกับแกนและจุดที่ต่างกันได้

เมื่อตรวจสอบความแข็งแรงของส่วนต่างๆ ของโครงสร้าง เราต้องเผชิญกับส่วนที่มีรูปร่างค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยด้วยวิธีง่ายๆ เหมือนที่เราใช้กับสี่เหลี่ยมและวงกลม

ส่วนดังกล่าวอาจเป็นเช่น T-bar (รูปที่ 5) ก) ส่วนวงแหวนของท่อที่มีการดัดงอ (โครงสร้างเครื่องบิน) (รูปที่ 5, ข) ส่วนรูปวงแหวนของเจอร์นัลเพลาหรือส่วนที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น ส่วนทั้งหมดนี้สามารถแบ่งออกเป็นส่วนง่ายๆ ได้ เช่น สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม วงกลม ฯลฯ แสดงให้เห็นว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของตัวเลขที่ซับซ้อนนั้นคือผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนต่างๆ ที่เราแบ่งมันออกไป

รูปที่ 5ส่วนประเภท T - a) และวงแหวน b)

เป็นที่ทราบกันว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของรูปใดๆ สัมพันธ์กับแกน ที่— ที่เท่ากับ:

ที่ไหน z- ระยะห่างของแผ่นอิเล็กโทรดเบื้องต้นถึงแกน ที่—ที่.

ลองแบ่งพื้นที่ที่ถ่ายออกเป็นสี่ส่วน: , , และ . ตอนนี้ เมื่อคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย คุณสามารถจัดกลุ่มคำศัพท์ในฟังก์ชันปริพันธ์เพื่อทำการบวกแยกกันสำหรับแต่ละพื้นที่ทั้งสี่ที่เลือก จากนั้นบวกผลรวมเหล่านี้ นี่จะไม่เปลี่ยนค่าของอินทิกรัล

อินทิกรัลของเราจะแบ่งออกเป็นอินทิกรัลสี่ตัว ซึ่งแต่ละอันจะครอบคลุมพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่ง และ:

อินทิกรัลแต่ละอันแสดงถึงโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่สอดคล้องกันของพื้นที่สัมพันธ์กับแกน ที่— ที่; นั่นเป็นเหตุผล

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนอยู่ที่ไหน ที่ — ที่พื้นที่ - เช่นเดียวกับพื้นที่ ฯลฯ

ผลลัพธ์ที่ได้สามารถกำหนดได้ดังนี้: โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปเชิงซ้อนเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่เป็นส่วนประกอบ ดังนั้น เราจำเป็นต้องสามารถคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของรูปใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับแกนใดๆ ที่อยู่ในระนาบของมันได้

วิธีแก้ปัญหานี้คือเนื้อหาของการสัมภาษณ์ครั้งนี้และการสัมภาษณ์สองครั้งถัดไป

โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนขนาน

งานในการรับสูตรที่ง่ายที่สุดในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของตัวเลขใด ๆ ที่สัมพันธ์กับแกนใด ๆ จะได้รับการแก้ไขในหลายขั้นตอน หากเราใช้ชุดแกนขนานกันปรากฎว่าเราสามารถคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของรูปเกี่ยวกับแกนเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายโดยรู้โมเมนต์ความเฉื่อยของมันเกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของรูป ขนานกับแกนที่เลือก

รูปที่ 1.แบบจำลองการคำนวณเพื่อกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับแกนขนาน

เราจะเรียกแกนที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วง แกนกลาง. ลองใช้ (รูปที่ 1) ตัวเลขตามใจชอบ ลองวาดแกนกลางกัน อู๋เราจะเรียกโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนนี้ ให้เราวาดแกนในระนาบของรูป ขนานแกน ที่อยู่ห่างไกลจากเธอ เรามาค้นหาความสัมพันธ์ระหว่าง และ - โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะเขียนนิพจน์สำหรับ และ มาแบ่งพื้นที่ของรูปออกเป็นส่วน ๆ กัน ระยะทางของแต่ละแพลตฟอร์มดังกล่าวถึงแกน ที่และมาโทรกันและ แล้ว

จากรูปที่ 1 เรามี:

อินทิกรัลตัวแรกจากทั้งสามนี้คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนกลาง อู๋. ประการที่สองคือโมเมนต์คงที่รอบแกนเดียวกัน มันเท่ากับศูนย์ตั้งแต่แกน ที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของร่าง สุดท้ายอินทิกรัลตัวที่สามจะเท่ากับพื้นที่ของรูป เอฟ. ดังนั้น,

(1)

นั่นคือ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนใดๆ เท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนกลางขนานกับแกนที่กำหนด บวกด้วยผลคูณของพื้นที่ของรูปและกำลังสองของระยะห่างระหว่างแกน

ซึ่งหมายความว่าตอนนี้งานของเราลดลงเหลือเพียงการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยส่วนกลางเท่านั้น ถ้าเรารู้จักมัน เราก็สามารถคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนอื่นได้ จากสูตร (1) จะได้ว่า ศูนย์กลางโมเมนต์ความเฉื่อยคือ ที่เล็กที่สุดในช่วงเวลาของความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนขนาน และด้วยเหตุนี้เราจึงได้:

ให้เราค้นหาโมเมนต์แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงรอบแกนที่ขนานกับแกนกลางด้วย หากทราบ (รูปที่ 1) เนื่องจากตามคำนิยาม

โดยที่: จากนั้นจะตามมา

เนื่องจากอินทิกรัลสองตัวสุดท้ายแสดงถึงโมเมนต์คงที่ของพื้นที่รอบแกนกลาง อู๋และ ออนซ์แล้วมันก็สูญสลายไป ดังนี้.

(2)

โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงที่สัมพันธ์กับระบบของแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันขนานกับแกนกลางนั้นเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงที่สัมพันธ์กับแกนกลางเหล่านี้บวกกับผลคูณของพื้นที่ของรูปและพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง สัมพันธ์กับแกนใหม่

ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อหมุนแกน

คุณสามารถวาดแกนกลางได้มากเท่าที่คุณต้องการ คำถามเกิดขึ้นว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะแสดงโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนกลางใดๆ ขึ้นอยู่กับโมเมนต์ความเฉื่อยประมาณหนึ่งหรือสอง แน่ใจแกน ในการทำเช่นนี้ เรามาดูกันว่าโมเมนต์ความเฉื่อยจะเปลี่ยนไปอย่างไรประมาณสองแกนตั้งฉากกันเมื่อพวกมันถูกหมุนเป็นมุม

ลองวาดรูปแล้ววาดผ่านจุดศูนย์ถ่วงของมัน เกี่ยวกับสองแกนตั้งฉากกัน อู๋และ ออนซ์(รูปที่ 2)

รูปที่ 2.แบบจำลองการคำนวณเพื่อกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับแกนที่หมุน

แจ้งให้เราทราบโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนเกี่ยวกับแกนเหล่านี้ รวมถึงโมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยง ลองวาดระบบที่สองของแกนพิกัดและเอียงไปที่แกนแรกเป็นมุม เราจะพิจารณาทิศทางบวกของมุมนี้เมื่อหมุนแกนรอบจุด เกี่ยวกับทวนเข็มนาฬิกา ต้นทาง เกี่ยวกับบันทึก. ให้เราแสดงช่วงเวลาที่สัมพันธ์กับระบบที่สองของแกนพิกัด และ ผ่านช่วงเวลาที่ทราบของความเฉื่อย และ .

ให้เราเขียนนิพจน์สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนเหล่านี้:

เช่นเดียวกัน:

ในการแก้ปัญหา คุณอาจต้องใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนจากแกนหนึ่งไปยังแกนอื่นสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยง เมื่อหมุนแกน (รูปที่ 2) เรามี:

ที่ไหน และ คำนวณโดยใช้สูตร (14.10) แล้ว

หลังจากการเปลี่ยนแปลงเราได้รับ:

(7)

ดังนั้น ในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนกลางใดๆ คุณจำเป็นต้องรู้โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับระบบของแกนกลางสองแกนที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน อู๋และ ออนซ์โมเมนต์แรงเหวี่ยงของความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนเดียวกันและมุมเอียงของแกนกับแกน ที่.

ในการคำนวณค่า > คุณต้องเลือกแกนแบบนี้ ที่และ zและแบ่งพื้นที่ของรูปออกเป็นส่วนประกอบต่าง ๆ เพื่อให้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเฉพาะในการเปลี่ยนจากแกนกลางของส่วนประกอบแต่ละส่วนเป็นแกนที่ขนานกัน วิธีการทำเช่นนี้ในทางปฏิบัติจะแสดงไว้ด้านล่างโดยใช้ตัวอย่าง โปรดทราบว่าในการคำนวณนี้จะต้องแบ่งตัวเลขที่ซับซ้อนออกเป็นส่วนพื้นฐานซึ่งถ้าเป็นไปได้จะทราบค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยกลางที่สัมพันธ์กับระบบของแกนตั้งฉากซึ่งกันและกัน

โปรดทราบว่าความคืบหน้าของการได้มาและผลลัพธ์ที่ได้จะไม่เปลี่ยนแปลงหากที่มาของพิกัดไม่ได้อยู่ที่จุดศูนย์ถ่วงของส่วน แต่อยู่ที่จุดอื่นใด เกี่ยวกับ. ดังนั้น สูตร (6) และ (7) จึงเป็นสูตรสำหรับการเปลี่ยนจากระบบหนึ่งของแกนที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันไปยังอีกระบบหนึ่ง โดยหมุนด้วยมุมที่กำหนด ไม่ว่าแกนกลางจะเป็นแกนกลางหรือไม่ก็ตาม

จากสูตร (6) เราสามารถรับความสัมพันธ์อื่นระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อหมุนแกน เพิ่มนิพจน์ for และเราได้รับ

กล่าวคือ ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนตั้งฉากซึ่งกันและกัน ที่และ zไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อหมุน แทนที่นิพจน์สุดท้ายแทนและค่า เราจะได้:

ระยะทางของไซต์อยู่ที่ไหน ดีเอฟจากจุด เกี่ยวกับ. ตามที่ทราบอยู่แล้ว ปริมาณคือโมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับจุด เกี่ยวกับ.

ดังนั้น โมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ จะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนที่สัมพันธ์กับแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันที่ผ่านจุดนี้ ดังนั้นผลรวมนี้จึงคงที่เมื่อหมุนแกน การพึ่งพานี้ (14.16) สามารถใช้เพื่อทำให้การคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยง่ายขึ้น

ดังนั้นสำหรับวงกลม:

เนื่องจากโดยความสมมาตรของวงกลมแล้ว

ซึ่งได้มาจากการรวมเข้าด้วยกันข้างต้น

ในทำนองเดียวกัน สำหรับส่วนรูปวงแหวนที่มีผนังบาง เราสามารถได้รับ:

แกนหลักของความเฉื่อยและโมเมนต์ความเฉื่อยหลัก

ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าทราบโมเมนต์ความเฉื่อยตรงกลาง และสำหรับตัวเลขที่กำหนดคุณสามารถคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนอื่น ๆ ได้

ในกรณีนี้ อาจใช้เป็นระบบหลักของแกนได้ เช่น ระบบที่ทำให้สูตรง่ายขึ้นอย่างมาก กล่าวคือ มีความเป็นไปได้ที่จะค้นหาระบบของแกนพิกัดที่โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเท่ากับศูนย์ ในความเป็นจริง โมเมนต์ความเฉื่อยจะเป็นค่าบวกเสมอ เช่นเดียวกับผลรวมของเทอมบวก แต่เป็นโมเมนต์แรงเหวี่ยง

อาจเป็นได้ทั้งบวกและลบเนื่องจากเงื่อนไข ซิดเอฟอาจมีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับสัญญาณ zและ ที่สำหรับไซต์ใดไซต์หนึ่ง ซึ่งหมายความว่าสามารถเท่ากับศูนย์ได้

แกนที่เรียกโมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงหายไป แกนหลักความเฉื่อย ถ้าจุดเริ่มต้นของระบบดังกล่าวถูกวางไว้ที่จุดศูนย์ถ่วงของรูป สิ่งเหล่านั้นก็จะเป็นเช่นนั้น แกนกลางหลัก. เราจะแสดงแกนเหล่านี้และ ; สำหรับพวกเขา

ให้เราค้นหามุมที่แกนหลักเอียงกับแกนกลาง y และ z (รูปที่ 198)

รูปที่ 1.แบบจำลองการคำนวณเพื่อกำหนดตำแหน่งของแกนหลักของความเฉื่อย

ในสำนวนที่รู้จักกันดีสำหรับการย้ายจากขวาน yzไปที่แกนสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเราจะให้ค่ามุม จากนั้นแกนจะตรงกับแกนหลักและโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงจะเท่ากับศูนย์:

(1)

สมการนี้เป็นไปตามค่าสองค่าของ ต่างกัน 180° หรือสองค่าของ ต่างกัน 90° สมการนี้ให้ตำแหน่งแก่เรา สองแกนทำให้เกิดเป็นมุมฉากกัน สิ่งเหล่านี้จะเป็นแกนกลางหลัก และ ซึ่ง .

เมื่อใช้สูตรนี้ คุณสามารถใช้สูตรที่ทราบเพื่อหาสูตรสำหรับโมเมนต์หลักของความเฉื่อย และ ในการทำเช่นนี้ เราใช้นิพจน์สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของตำแหน่งทั่วไปในแนวแกนอีกครั้ง พวกเขากำหนดค่าและถ้าเราทดแทน

(2)

ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นสามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาได้ ช่วงเวลาสำคัญของความเฉื่อยคืออีกช่วงเวลาหนึ่ง

สูตร (2) สามารถแปลงเป็นรูปแบบที่ไม่มีค่าได้ เราได้รับการแสดงออกและผ่านและการแทนที่ค่าของพวกเขาลงในสูตรแรก (2) ในขณะเดียวกันก็ทำการทดแทนจากสูตร (1):

แทนที่เศษส่วนจากสูตร (1) ที่นี่ด้วย

เราได้รับ

(3)

นิพจน์เดียวกันนี้สามารถทำได้โดยการแปลงสูตรที่สอง (3) ที่คล้ายกัน

สำหรับระบบหลักของแกนกลางซึ่งสามารถเคลื่อนย้ายไปยังแกนอื่นได้ อู๋และ ออนซ์และแกนหลักและ ; โมเมนต์แรงเฉื่อย () จะไม่ปรากฏในสูตร ให้เราแสดงมุมที่สร้างโดยแกน , (รูปที่ 2) กับแกนหลัก , โดย . ในการคำนวณ และ การเคลื่อนที่จากแกน และ คุณต้องแทนที่มุมผ่าน , a และในนิพจน์ที่พบก่อนหน้านี้สำหรับ , และ , และ และ และ เป็นผลให้เราได้รับ:

ในลักษณะที่ปรากฏ สูตรเหล่านี้จะคล้ายคลึงกับสูตรสำหรับความเค้นปกติและแรงเฉือนตามแนวพื้นที่ตั้งฉากกันสองจุดในองค์ประกอบที่ได้รับแรงดึงในสองทิศทาง เราจะระบุเฉพาะสูตรที่ให้เราเลือกจากค่ามุมสองค่าที่สอดคล้องกับค่าเบี่ยงเบนของแกนหลักแรก (ให้ค่าสูงสุด เจ) จากตำแหน่งเริ่มต้นของแกน ที่:

ในที่สุดเราก็สามารถกำหนดสิ่งที่ต้องทำเพื่อให้สามารถคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของตัวเลขที่สัมพันธ์กับแกนใดๆ ด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด จำเป็นต้องวาดแกนผ่านจุดศูนย์ถ่วงของร่าง อู๋และ ออนซ์เพื่อให้แบ่งร่างออกเป็นส่วนที่ง่ายที่สุด เราสามารถคำนวณช่วงเวลาที่ผ่านไปในระยะทาง (รูปที่ 2) จากจุดศูนย์ถ่วงได้อย่างง่ายดาย:

ในหลายกรณี คุณสามารถวาดแกนหลักของรูปได้ทันที ถ้ารูปมีแกนสมมาตร นี่ก็จะเป็นหนึ่งในแกนหลัก ในความเป็นจริง เมื่อได้สูตร เราได้จัดการกับอินทิกรัลแล้ว ซึ่งเป็นโมเมนต์แรงเหวี่ยงของความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน ที่และ z; ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าถ้าแกน ออนซ์คือแกนสมมาตร อินทิกรัลนี้จะหายไป

ดังนั้นในกรณีนี้แกน อู๋และ ออนซ์เป็น หลักแกนกลางของความเฉื่อยของส่วน ดังนั้น, แกนสมมาตร- เป็นแกนกลางหลักเสมอ ที่สอง บ้านแกนกลางผ่านจุดศูนย์ถ่วงที่ตั้งฉากกับแกนสมมาตร

ตัวอย่าง.ค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของสี่เหลี่ยม (รูปที่ 3) สัมพันธ์กับแกนและเท่ากับ:

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน และ เท่ากับ:

โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเท่ากับ

วิธีการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่ซับซ้อนนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าอินทิกรัลใดๆ ถือได้ว่าเป็นผลรวมของปริพันธ์ ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนใดๆ จึงสามารถคำนวณเป็นผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของ แต่ละส่วนของมัน

ดังนั้น ในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย ส่วนที่ซับซ้อนจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนง่ายๆ (ตัวเลข) จำนวนหนึ่ง ในลักษณะที่สามารถคำนวณลักษณะทางเรขาคณิตได้โดยใช้สูตรที่รู้จักหรือพบโดยใช้ตารางอ้างอิงพิเศษ

ในบางกรณี เมื่อแบ่งออกเป็นตัวเลขง่ายๆ เพื่อลดจำนวนหรือทำให้รูปร่างง่ายขึ้น แนะนำให้เสริมบางพื้นที่ในส่วนที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดลักษณะทางเรขาคณิตของส่วนที่แสดงในรูปที่ ตามตาราง 22.5, a แนะนำให้เพิ่มลงในสี่เหลี่ยม แล้วลบลักษณะของส่วนที่เพิ่มออกจากลักษณะทางเรขาคณิตของสี่เหลี่ยมนี้ ทำเช่นเดียวกันหากมีรู (รูปที่ 22.5, b)

หลังจากแบ่งส่วนที่ซับซ้อนออกเป็นส่วน ๆ อย่างง่ายแล้ว ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมจะถูกเลือกสำหรับแต่ละส่วน ซึ่งสัมพันธ์กับช่วงเวลาความเฉื่อยของส่วนที่เกี่ยวข้องซึ่งจะต้องถูกกำหนด ระบบพิกัดดังกล่าวทั้งหมดขนานกัน ดังนั้นโดยการแปลแกนแบบขนาน จึงเป็นไปได้ที่จะคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของทุกส่วนสัมพันธ์กับระบบพิกัดร่วมของส่วนที่ซับซ้อนทั้งหมด

ตามกฎแล้วระบบพิกัดสำหรับรูปธรรมดาแต่ละรูปจะถือว่าเป็นศูนย์กลางนั่นคือ ต้นกำเนิดของมันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์ถ่วงของรูปนี้ ในกรณีนี้ การคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยในภายหลังเมื่อเปลี่ยนไปใช้แกนขนานอื่นจะง่ายขึ้น เนื่องจากสูตรสำหรับการเปลี่ยนจากแกนกลางมีรูปแบบที่ง่ายกว่าจากแกนที่ไม่ใช่แกนกลาง

ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณพื้นที่ของแต่ละรูปอย่างง่าย รวมถึงโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนและแรงเหวี่ยงที่สัมพันธ์กับแกนของระบบพิกัดที่เลือกไว้ โมเมนต์คงที่เกี่ยวกับแกนเหล่านี้ ตามกฎแล้วจะเท่ากับศูนย์ เนื่องจากสำหรับแต่ละส่วนของส่วน แกนเหล่านี้มักจะอยู่ตรงกลาง ในกรณีที่แกนเหล่านี้ไม่ใช่แกนกลาง จำเป็นต้องคำนวณโมเมนต์คงที่

โมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยคำนวณเฉพาะส่วนที่เป็นวงกลม (ของแข็งหรือวงแหวน) โดยใช้สูตรสำเร็จรูป สำหรับส่วนของรูปทรงอื่นๆ คุณลักษณะทางเรขาคณิตนี้ไม่มีความสำคัญใดๆ เนื่องจากไม่ได้ใช้ในการคำนวณ

โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนและแรงเหวี่ยงของแต่ละรูปอย่างง่ายสัมพันธ์กับแกนของระบบพิกัดนั้นคำนวณโดยใช้สูตรหรือตารางที่มีสำหรับรูปดังกล่าว สำหรับตัวเลขบางรูป สูตรและตารางที่มีอยู่ไม่อนุญาตให้เราระบุโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนและแรงเหวี่ยงที่ต้องการ ในกรณีเหล่านี้ มีความจำเป็นต้องใช้สูตรในการเปลี่ยนไปใช้แกนใหม่ (โดยปกติจะเป็นกรณีของการหมุนแกน)

ตารางการแบ่งประเภทไม่ได้ระบุค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงสำหรับมุม วิธีการหาโมเมนต์ความเฉื่อยดังกล่าวมีอธิบายไว้ในตัวอย่างที่ 4.5

ในกรณีส่วนใหญ่ เป้าหมายสูงสุดในการคำนวณคุณลักษณะทางเรขาคณิตของส่วนคือการกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยที่จุดศูนย์กลางหลักและตำแหน่งของแกนความเฉื่อยส่วนกลางหลัก ดังนั้นขั้นต่อไปของการคำนวณคือการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนที่กำหนด [โดยใช้สูตร (6.5) และ (7.5)] ในระบบพิกัดที่กำหนด (สุ่ม) บางระบบ โดยผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนี้ , แกนกลางเสริม (ไม่ใช่แกนหลัก) จะถูกลากขนานกับแกนของระบบพิกัดของตัวเลขอย่างง่าย

จากนั้น ใช้สูตรที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับแกนขนาน (ดู § 5.5) โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปธรรมดาแต่ละรูปสัมพันธ์กับแกนเสริมและแกนกลางจะถูกกำหนด โดยการสรุปโมเมนต์ความเฉื่อยของรูปธรรมดาแต่ละรูปที่สัมพันธ์กัน สำหรับแกนจะพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่ซับซ้อนทั้งหมดที่สัมพันธ์กับแกนเหล่านี้ ในกรณีนี้ โมเมนต์ความเฉื่อยของรูหรือแผ่นอิเล็กโทรดที่เพิ่มจะถูกลบออก

โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนต่างๆ เรียกว่าอินทิกรัลในรูปแบบต่อไปนี้:

ที่;

– โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน z;

– โมเมนต์แรงเหวี่ยงของความเฉื่อยของส่วน;

– โมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของส่วน

3.2.1. คุณสมบัติของโมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัด

มิติของโมเมนต์ความเฉื่อยคือ [ความยาว 4 ] โดยปกติ [ ม 4 ] หรือ [ ซม 4 ].

โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนและขั้วจะเป็นค่าบวกเสมอ โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงอาจเป็นค่าบวก ลบ หรือศูนย์ก็ได้

แกนที่โมเมนต์แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเป็นศูนย์เรียกว่าแกน แกนหลักของความเฉื่อยส่วนต่างๆ

แกนสมมาตรมักเป็นแกนหลักเสมอ ถ้าแกนที่ตั้งฉากกันอย่างน้อยหนึ่งในสองแกนเป็นแกนสมมาตร แสดงว่าทั้งสองแกนเป็นแกนหลัก

โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนประกอบจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยขององค์ประกอบของส่วนนี้

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกน

มาพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายกัน ในส่วนของพื้นที่ กสำหรับไซต์เบื้องต้น ดีเอรัศมีเวกเตอร์ ρ และพิกัด ที่และ z(รูปที่ 6) เชื่อมต่อกันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ρ 2 = ที่ 2 + z 2. แล้ว

ข้าว. 6. ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียน

เว็บไซต์ประถมศึกษา

3.2.2. โมเมนต์ความเฉื่อยของตัวเลขที่ง่ายที่สุด

ใน ส่วนสี่เหลี่ยม(รูปที่ 7) เลือกแพลตฟอร์มเบื้องต้น ดีเอพร้อมพิกัด ยและ zและพื้นที่ ดีเอ = ดีซ.

ข้าว. 7. ส่วนสี่เหลี่ยม

โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนรอบแกน ที่

.

ในทำนองเดียวกัน เราได้โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน z:

เพราะว่า ที่และ z– แกนสมมาตร ตามด้วยโมเมนต์แรงเหวี่ยง ดี ซี่ = 0.

สำหรับ วงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง งการคำนวณจะง่ายขึ้นหากเราคำนึงถึงสมมาตรแบบวงกลมและใช้พิกัดเชิงขั้ว ขอให้เราใช้วงแหวนบางเฉียบที่มีรัศมี ρ และความหนาเป็นฐานพื้นฐาน งρ (รูปที่ 8) พื้นที่ของมัน ดีเอ= 2πρ งร. จากนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วคือ:

.

ข้าว. 8. ส่วนกลม

ดังที่แสดงไว้ข้างต้น โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนรอบแกนกลางใดๆ จะเท่ากันและเท่ากัน

.

โมเมนต์ความเฉื่อย แหวนเราพบว่าเป็นความแตกต่างระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยของวงกลมสองวง - วงกลมด้านนอก (มีเส้นผ่านศูนย์กลาง ดี) และภายใน (มีเส้นผ่านศูนย์กลาง ง):

โมเมนต์ความเฉื่อย ฉัน z สามเหลี่ยมเราจะกำหนดมันให้สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วง (รูปที่ 9) เห็นได้ชัดว่าความกว้างของแถบประถมศึกษาที่อยู่ในระยะไกล ที่จากแกน zมีค่าเท่ากัน

เพราะฉะนั้น,

ข้าว. 9. ส่วนสามเหลี่ยม

3.3. การพึ่งพาระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนขนาน

ด้วยค่าที่ทราบของโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกน zและ ที่เรามาพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนอื่นๆ กัน z 1 และ ย 1 ขนานกับตัวที่กำหนดให้ เราพบโดยใช้สูตรทั่วไปสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกน

ถ้าเป็นขวาน zและ ยส่วนกลางแล้ว
, และ

จากสูตรที่ได้รับจะเห็นได้ชัดว่าโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนกลาง (เมื่อ
) มีค่าน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนขนานอื่นๆ

3.4. แกนหลักและโมเมนต์ความเฉื่อยหลัก

เมื่อแกนถูกหมุนผ่านมุม α โมเมนต์แรงเหวี่ยงของความเฉื่อยจะเท่ากับ

.

ให้เรากำหนดตำแหน่งของแกนหลักหลักของความเฉื่อย ยู, โวลต์เกี่ยวกับเรื่องไหน

,

โดยที่ α 0 คือมุมที่ต้องหมุนแกน ยและ zเพื่อให้พวกเขากลายเป็นคนหลัก

เนื่องจากสูตรให้ค่ามุมสองค่า และ
แล้วจะมีแกนหลักตั้งฉากกันสองแกน แกนสูงสุดจะทำให้มุมเล็กลงเสมอ ( ) กับแกน ( zหรือ ย) สัมพันธ์กับโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนที่มีความสำคัญมากกว่า จำไว้ว่ามุมบวกจะหลุดออกจากแกน z ทวนเข็มนาฬิกา

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหลักเรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อย ช่วงเวลาสำคัญของความเฉื่อยก็สามารถแสดงได้ว่า

.

เครื่องหมายบวกหน้าเทอมที่สองหมายถึงโมเมนต์ความเฉื่อยสูงสุด ส่วนเครื่องหมายลบคือค่าต่ำสุด