Temat 6 Wielomiany arytmetyczne. Wielomiany w jednej zmiennej

MBOU „Szkoła otwarta (zmianowa) nr 2” miasta Smoleńsk

Niezależna praca

na temat: „Wielomiany”

7. klasa

Wykonano

nauczyciel matematyki

Miszczenkowa Tatiana Władimirowna

Samodzielna praca ustna nr 1 (przygotowawcza)

(prowadzony w celu przygotowania studentów do opanowania nowej wiedzy na temat: „Wielomian i jego postać standardowa”)

Opcja 1.

a) 1.4a + 1– a 2 – 1,4 + B 2 ;

b) 3 – 3a+B + 2 ok – X;

c) 2aB + X – 3 ba – X.

Uzasadnij swoją odpowiedź.

A) 2 A – 3 A +7 A;

b) 3x – 1+2x+7;

c) 2x – 3 lata+3X+2 y.

a) 8xx;G) – 2a 2 ba

B) 10 nm;D) 5p 2 * 2 pensy;

o 3aab; mi) – 3 P * 1,5 P 3 .

Opcja 2

1. Nazwij podobne terminy w poniższych wyrażeniach:

a) 8,3x – 7 – x 2 + 4 + r 2 ;

B)B 4 - 6 A +5 B 2 +2 A – 3 B 4 :

o 3xy + y – 2 xy – y.

Uzasadnij swoją odpowiedź.

2. Podaj podobne terminy w wyrażeniach:

A) 10 D – 3 D – 19 D ;

b) 5x – 8 +4x + 12;

c) 2x – 4 lata + 7x + 3 lata.

3. Sprowadź jednomiany do postaci standardowej i wskaż stopień jednomianu:

a) 10aaa;

B) 7 minut ;

V) 3 ok.;

d) – 5X 2 yx;

e) 8Q 2 * 3 Q;

e) – 7P * 0>5 Q 4 .

Warunek samodzielnej pracy ustnej jest oferowany na ekranie lub na tablicy, ale tekst jest zamknięty przed rozpoczęciem samodzielnej pracy.

Samodzielna praca wykonywana jest na początku lekcji. Po zakończeniu pracy przeprowadza się autotest przy użyciu komputera lub tablicy.

Praca samodzielna nr 2

(realizowane w celu udoskonalenia umiejętności uczniów w zakresie doprowadzenia wielomianu do postaci standardowej i określenia stopnia wielomianu)

opcja 1

1. Sprowadź wielomian do postaci standardowej:

a) x 2 y + yxy;

B) 3x 2 6 lat 2 – 5x 2 7 lat;

o godzinie 11A 5 – 8 A 5 +3 A 5 + A 5 ;

d) 1.9X 3 – 2,9 X 3 – X 3 .

a) 3t 2 – 5t 2 – 11t – 3t 2 + 5t +11;

B) X 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x – 13.

4 X 2 – 1 o godzX = 2.

4. Zadanie dodatkowe.

Zamiast * zapisz taki wyraz, aby otrzymać wielomian piątego stopnia.

X 4 + 2 X 3 – X 2 + 1 + *

Opcja 2

a) baba + a 2 B;

B) 5x 2 8 lat 2 + 7x 2 3 lata;

o 2M 6 + 5 M 6 – 8 M 6 – 11 M 6 ;

d) – 3.1y 2 +2,1 y 2 – y 2. .

2. Podaj podobne terminy i wskaż stopień wielomianu:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5;

B) 3 godz 2 +5hc – 7c 2 + 12h 2 – 6hc.

3. Znajdź wartość wielomianu:

2 X 3 + 4 godzX=1.

4. Zadanie dodatkowe.

Zamiast* zapisz taki wyraz, aby otrzymać wielomian szóstego stopnia.

X 3 – X 2 + X + * .

Opcja 3

1. Sprowadź wielomiany do postaci standardowej:

a) 2aa 2 3b + a8b;

B) 8x3 lata (–5 lat) – 7x 2 4 lata;

w 20xy + 5 yx – 17 xy;

d) 8ok 2 –3 ok 2 – 7 ok 2. .

2. Podaj podobne terminy i wskaż stopień wielomianu:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11x + 3 lata 2 ;

B) 4b 2 +a 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. Znajdź wartość wielomianu:

– 4 y 5 – 3 godzy= –1.

4. Zadanie dodatkowe.

Skonstruuj wielomian trzeciego stopnia zawierający jedną zmienną.

Samodzielna praca ustna nr 3 (przygotowawcza)

(prowadzony w celu przygotowania studentów do opanowania nowej wiedzy na temat: „Dodawanie i odejmowanie wielomianów”)

opcja 1

A) suma dwóch wyrażeń 3A+ 1 iA – 4;

b) różnica dwóch wyrażeń 5X– 2 i 2X + 4.

3. Rozwiń nawiasy:

A) y – ( y+ z);

B) (X – y) + ( y+ z);

V) (A – B) – ( C – A).

4. Znajdź wartość wyrażenia:

A) 13,4 + (8 – 13,4);

b) – 1,5 – (4 – 1,5);

V) (A – B) – ( C – A).

Opcja 2

1. Zapisz to jako wyrażenie:

A) suma dwóch wyrażeń 5A– 3 iA + 2;

b) różnica dwóch wyrażeń 8y– 1 i 7y + 1.

2. Sformułuj zasadę otwierania nawiasów poprzedzonych znakami „+” lub „–”.

3. Zwiększaćnawiasy:

a) a – (b+c);

B) (a – b) + (b+a);

V) (X – y) – ( y – z).

4. Znajdź wartość wyrażenia:

A) 12,8 + (11 – 12,8);

b) – 8,1 – (4 – 8,1);

c) 10,4 + 3X – ( X+10,4) o godzX=0,3.

Po zakończeniu pracy przeprowadza się autotest przy użyciu komputera lub tablicy.

Praca samodzielna nr 4

(przeprowadzane w celu wzmocnienia umiejętności i umiejętności dodawania i odejmowania wielomianów)

opcja 1

A) 5 X– 15у i 8y – 4 X;

b) 7X 2 – 5 X+3 i 7X 2 – 5 X.

2. Uprość wyrażenie:

A) (2 A + 5 B) + (8 A – 11 B) – (9 B – 5 A);

* b) (8C 2 + 3 C) + (– 7 C 2 – 11 C + 3) – (–3 C 2 – 4).

3. Zadanie dodatkowe.

Zapisz wielomian taki, aby jego suma z wielomianem 3x + 1 była równa

9x – 4.

Opcja 2

1. Skompiluj sumę i różnicę wielomianów i sprowadź je do postaci standardowej:

a) 21 lat – 7xI8x – 4 lata;

B) 3a 2 + 7a – 5I3a 2 + 1.

2. Uprość wyrażenie:

A) (3 B 2 + 2 B) + (2 B 2 – 3 B - 4) – (– B 2 +19);

* b) (3B 2 + 2 B) + (2 B 2 – 3 B – 4) – (– B 2 + 19).

3. Zadanie dodatkowe.

Zapisz wielomian taki, aby jego suma z wielomianem 4x – 5 była równa

9x – 12.

Opcja 3

1. Skompiluj sumę i różnicę wielomianów i sprowadź je do postaci standardowej:

A) 0,5 X+ 6у i 3X – 6 y;

b) 2y 2 +8 y– 11 i 3y 2 – 6 y + 3.

2. Uprość wyrażenie:

A) (2 X + 3 y – 5 z) – (6 X –8 y) + (5 X – 8 y);

* B) (A 2 – 3 ok + 2 B 2 ) – (– 2 A 2 – 2 ok – B 2 ).

3. Zadanie dodatkowe.

Napisz wielomian taki, że jego suma z wielomianem 7x + 3 jest równaX 2 + 7 X – 15.

Opcja 4

1. Skompiluj sumę i różnicę wielomianów i sprowadź je do postaci standardowej:

A) 0,3 X + 2 Bi 4X – 2 B;

b) 5y 2 – 3 yi 8y 2 + 2 y – 11.

2. Uprość wyrażenie:

a) (3x – 5 lat – 8z) – (2x + 7 lat) + (5z – 11x);

* B) (2x 2 –xy + y 2 ) - (X 2 – 2xy – y 2 ).

3. Zadanie dodatkowe.

Napisz wielomian taki, że jego suma z wielomianem wynosi 2X 2 + X+ 3 i było równe 2 X + 3.

Samodzielna praca wykonywana jest na koniec lekcji. Nauczyciel sprawdza pracę, sprawdzając, czy konieczne jest dodatkowe studiowanie tego tematu.

Praca samodzielna nr 5

(wykonane w celu rozwinięcia umiejętności zamykania wielomianu w nawiasie)

opcja 1

A , a drugi go nie zawiera:

a) topór + ay + x + y;

B)topór 2 + x + za + 1.

Próbka rozwiązania:

m + am + n – an = (m+n) + (am – an).

B

a) bm – bn – m – n;

B) bx + by + x –y.

Próbka rozwiązania:

ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).

Opcja 2

1. Wyobraź sobie wielomian jako sumę dwóch wielomianów, z których jeden zawiera literęB , a drugi go nie zawiera:

a) bx + o +2x + 2y;

B)bx 2 – x + a – b.

Przykładowe rozwiązanie:

2 M + bm 3 + 3 – B = (2 M+3) + (bm 3 – B).

2. Wyobraź sobie wielomian jako różnicę dwóch wielomianów, z których pierwszy zawiera literęA , a drugi nie (sprawdź wynik, otwierając w myślach nawiasy):

a) ac – ab – c + b;

B) am + an + m – n;

Próbka rozwiązania:

x + ay – y – ax = (ay – ax) – (–x + y) = (ay – ay) – (y – x).

Opcja 3

1. Wyobraź sobie wielomian jako sumę dwóch wielomianów, z których jeden zawiera literęB , a drugi go nie zawiera:

a) b 3 - B 2 – b+3y – 1;

B) - B 2 -A 2 – 2ab + 2.

Przykładowe rozwiązanie:

– 2 B 2 – M 2 – 3 bm + 7 = (–2 B 2 – 3 bm) + (– M 2 + 7) = (–2 B 2 – 3 bm) + (7– M 2 ).

2. Wyobraź sobie wielomian jako różnicę dwóch wielomianów, z których pierwszy zawiera literęB , a drugi nie (sprawdź wynik, otwierając w myślach nawiasy):

a) ab + ac – b – c;

B) 2b + a 2 - B 2 –1;

Przykładowe rozwiązanie:

3 B + M – 1 – 2 B 2 = (3 B – 2 B 2 ) – (1– M).

Opcja 4

(dla silnych uczniów, podane bez przykładowego rozwiązania)

1. Wyobraź sobie wielomian jako sumę dwóch wielomianów o dodatnich współczynnikach:

a) topór + o - płyta CD;

B) 3x –3 lata +z – a.

2. Przedstaw wyrażenia w jakiś sposób jako różnicę dwumianu i trójmianu:

a) x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x – 4;

B) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 –3a +2.

Samodzielna praca wykonywana jest na koniec lekcji. Po zakończeniu pracy stosuje się autotest z wykorzystaniem klucza oraz samoocenę pracy. Uczniowie, którzy samodzielnie wykonają zadanie, oddają swoje zeszyty nauczycielowi do sprawdzenia.

C praca samodzielna nr 6

(przeprowadzane w celu utrwalenia i zastosowania wiedzy i umiejętności mnożenia jednomianu przez wielomian)

opcja 1

1. Wykonaj mnożenie:

A) 3 B 2 (B –3);

b) 5X (X 4 + X 2 – 1).

2. Uprość wyrażenia:

a) 4 (x+1) +(x+1);

B) 3a (a – 2) – 5a(a+3).

3. Decydować równanie:

20 +4(2 X–5) =14 X +12.

4. Zadanie dodatkowe.

(M+ N) * * = mk + nk.

Opcja 2

1. Wykonaj mnożenie:

A) - 4 X 2 (X 2 –5);

b) -5A (A 2 - 3 A – 4).

2. Uprość wyrażenia:

A) (A–2) – 2(A–2);

b) 3X (8 y +1) – 8 X(3 y–5).

3. Rozwiąż równanie:

3(7 X–1) – 2 =15 X –1.

4. Zadanie dodatkowe.

Jaki jednomian należy wpisać zamiast znaku *, aby równość była prawdziwa:

(B+ C – M) * * = ok + AC – jestem.

Opcja 3

1. Wykonaj mnożenie:

A) – 7 X 3 (X 5 +3);

b) 2M 4 (M 5 - M 3 – 1).

2. Uprość wyrażenia:

a) (x–3) – 3(x–3);

B) 3c (c + d) + 3d (c – d).

3. Rozwiąż równanie:

9 X – 6(X – 1) =5(X +2).

4. Zadanie dodatkowe.

Jaki jednomian należy wpisać zamiast znaku *, aby równość była prawdziwa:

* * (X 2 – xy) = X 2 y 2 – xy 3 .

Opcja 4

1. Wykonaj mnożenie:

A) – 5 X 4 (2 X – X 3 );

B)X 2 (X 5 – X 3 + 2 X);

2. Uprość wyrażenia:

A) 2 X(X+1) – 4 X(2– X);

b) 5B (3 A – B) – 3 A(5 B+ A).

3. Rozwiąż równanie:

-8(11 – 2 X) +40 =3(5 X - 4).

4. Zadanie dodatkowe.

Jaki jednomian należy wpisać zamiast znaku *, aby równość była prawdziwa:

(X – 1) * * = X 2 y 2 – xy 2 .

C praca samodzielna nr 7

(prowadzony w celu rozwijania umiejętności rozwiązywania równań i problemów)

opcja 1

Rozwiązać równanie:

+ = 6

Rozwiązanie:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 X – 4(X – 1) =120,

5 X – 4 X + 4=120,

X=120 – 4,

X=116.

Odpowiedź: 116.

Rozwiązać równanie:

+ = 4

2. Rozwiąż problem:

Samochód spędził w drodze ze wsi do stacji o 1 godzinę krócej niż rowerzysta. Znajdź odległość wsi od stacji, jeśli samochód jechał ze średnią prędkością 60 km/h. A rowerzysta jedzie 20 km/h.

Opcja 2

1. Korzystając z przykładowego rozwiązania, wykonaj zadanie.

Rozwiązać równanie:

– = 1

Rozwiązanie:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 X - (X – 3) =8,

2 X – 4 X + 3=8,

X = 8 – 3,

X=5.

Odpowiedź: 5.

Rozwiązać równanie:

+ = 2

2. Rozwiąż problem:

Mistrz produkuje o 8 części więcej na godzinę niż uczeń. Uczeń pracował 6 godzin, a mistrz 8 godzin i wspólnie wykonali 232 części. Ile części uczeń wyprodukował w ciągu godziny?

Wskazówki dotyczące rozwiązania:

a) wypełnij tabelę;

Jeszcze 8 części

b) napisz równanie;

c) rozwiązać równanie;

d) sprawdź i zapisz odpowiedź.

Opcja 3

(Dla silnych uczniów, podane bez próbki)

1. Rozwiąż równanie:

– = 2

2. Rozwiąż problem:

Do jadalni przynoszono ziemniaki zapakowane w 3 kg worki. Gdyby był pakowany w worki 5 kg to potrzeba by 8 worków mniej. Ile kilogramów ziemniaków przywieziono do stołówki?

Samodzielna praca wykonywana jest na koniec lekcji. Po zakończeniu pracy następuje autotest za pomocą klucza.

Jako pracę domową uczniowie otrzymują twórczą niezależną pracę:

Pomyśl o problemie, który można rozwiązać za pomocą równania

30 X = 60(X– 4) i rozwiązać.

Praca samodzielna nr 8

(przeprowadzane w celu rozwinięcia umiejętności i zdolności do wyciągania wspólnego czynnika z nawiasów)

opcja 1

A)mx + Mój; mi)X 5 – X 4 ;

b) 5ok – 5 B; e 4X 3 – 8 X 2 ;

V) – 4mn + n; *I) 2c 3 + 4c 2 + do;

G) 7ab – 14a 2 ; * H)topór 2 +a 2 .

2. Zadanie dodatkowe.

2 – 2 18 podzielna przez 14.

Opcja 2

1. Wyjmij wspólny czynnik z nawiasu (sprawdź swoje działania przez mnożenie):

A) 10x + 10 lat;D)A 4 +a 3 ;

B) 4x + 20 lat;mi) 2x 6 – 4x 3 ;

V) 9ab + 3b; *I) j 5 + 3 lata 6 + 4 lata 2 ;

G) 5x 2 + 15 lat; *H) 5 p.n.e 2 +bc.

2. Zadanie dodatkowe.

Udowodnić, że wartość wyrażenia wynosi 8 5 – 2 11 podzielna przez 17.

Opcja 3

1. Wyjmij wspólny czynnik z nawiasu (sprawdź swoje działania przez mnożenie):

A) 18ay + 8as;D)M 6 +m 5 ;

B) 4ab - 16a;mi) 5z 4 – 10z 2 ;

o 4mn + 5 N; *g) 3X 4 – 6 X 3 + 9 X 2 ;

d) 3X 2 y– 9 X; * H)xy 2 +4 xy.

2. Zadanie dodatkowe.

Udowodnić, że wartość wyrażenia wynosi 79 2 + 79 * 11 jest podzielne przez 30.

Opcja 4

1. Wyjmij wspólny czynnik z nawiasu (sprawdź swoje działania przez mnożenie):

a) – 7xy + 7 y; mi)y 7 - y 5 ;

b) 8mn + 4 N; e) 16z 5 – 8 z 3 ;

w 20A 2 + 4 topór; *g) 4X 2 – 6 X 3 + 8 X 4 ;

d) 5X 2 y 2 + 10 X; * H)xy +2 xy 2 .

2. Zadanie dodatkowe.

Udowodnić, że wartość wyrażenia wynosi 313 * 299 – 313 2 podzielna przez 7.

CSamodzielna praca wykonywana jest na początku lekcji. Po zakończeniu pracy stosowana jest kontrola kluczowa.

Szkoła korespondencyjna 7 klasa. Zadanie nr 2.

Podręcznik metodologiczny nr 2.

Motywy:

    Wielomiany. Suma, różnica i iloczyn wielomianów;

    Rozwiązywanie równań i problemów;

    Rozkładanie wielomianów na czynniki;

    Skrócone wzory na mnożenie;

    Problemy do samodzielnego rozwiązania.

    Wielomiany. Suma, różnica i iloczyn wielomianów.

Definicja. Wielomian nazywa się sumą jednomianów.

Definicja. Nazywa się jednomiany, z których składa się wielomian członkowie wielomianu.

Mnożenie jednomianu przez wielomian .

    Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu i dodać powstałe iloczyny.

Mnożenie wielomianu przez wielomian .

    Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz innego wielomianu i dodać otrzymane iloczyny.

Przykłady rozwiązania problemu:

    Uprość wyrażenie:

Rozwiązanie.

Rozwiązanie:

Ponieważ pod warunkiem współczynnik przy musi być zatem równe zeru

Odpowiedź: -1.

    Rozwiązywanie równań i problemów.

Definicja . Nazywa się równość zawierającą zmienną równanie z jedną zmienną Lub równanie z jedną niewiadomą.

Definicja . Pierwiastek równania (rozwiązanie równania) jest wartością zmiennej, przy której równanie staje się prawdziwe.

Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wielu pierwiastków.

Definicja. Równanie postaci
, Gdzie X zmienny, A I B – niektóre liczby nazywane są równaniami liniowymi z jedną zmienną.

Definicja.

Pęczek pierwiastki równania liniowego mogą:


Przykłady rozwiązywania problemów:

    Czy podana liczba 7 jest pierwiastkiem równania:

Rozwiązanie:

Zatem x=7 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: Tak.

    Rozwiąż równania:

Rozwiązanie:

Odpowiedź: -12

Odpowiedź: -0,4

    Z molo do miasta odpłynęła łódź z prędkością 12 km/h, a pół godziny później w tym kierunku odpłynął parowiec z prędkością 20 km/h. Jaka jest odległość od molo do miasta, jeśli parowiec przybył do miasta 1,5 godziny przed wypłynięciem łodzi?

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez x odległość od molo do miasta.

Prędkość (kilometrów na godzinę)

Czas (H)

Ścieżka (km)

Łódź

Parowiec

Zgodnie z warunkami problemu, łódź spędziła o 2 godziny więcej czasu niż parowiec (ponieważ statek opuścił molo pół godziny później i przybył do miasta 1,5 godziny przed wypłynięciem łodzi).

Utwórzmy i rozwiążmy równanie:

60 km – odległość od molo do miasta.

Odpowiedź: 60 km.

    Długość prostokąta zmniejszono o 4 cm i otrzymano kwadrat, którego pole było o 12 cm² mniejsze od pola prostokąta. Znajdź obszar prostokąta.

Rozwiązanie:

Niech x będzie bokiem prostokąta.

Długość

Szerokość

Kwadrat

Prostokąt

x(x-4)

Kwadrat

(x-4)(x-4)

Zgodnie z warunkami zadania pole kwadratu jest o 12 cm² mniejsze niż pole prostokąta.

Utwórzmy i rozwiążmy równanie:

Długość prostokąta wynosi 7 cm.

(cm²) – pole prostokąta.

Odpowiedź: 21 cm².

    Turyści pokonali zaplanowaną trasę w trzy dni. Pierwszego dnia pokonali 35% zaplanowanej trasy, drugiego dnia przejechali o 3 km więcej niż pierwszego dnia, a trzeciego dnia pokonali pozostałe 21 km. Jak długa jest trasa?

Rozwiązanie:

Niech x będzie długością całej trasy.

1 dzień

Dzień 2

Dzień 3

Długość ścieżki

0,35x+3

Całkowita długość trasy wynosiła x km.

W ten sposób tworzymy i rozwiązujemy równanie:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

Długość całej trasy 70 km.

Odpowiedź: 70 km.

    Rozkładanie wielomianów na czynniki.

Definicja . Reprezentowanie wielomianu jako iloczynu dwóch lub więcej wielomianów nazywa się faktoryzacją.

    Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów .

Przykład :

    Metoda grupowania .

Grupowanie należy przeprowadzić tak, aby każda grupa miała wspólny czynnik; ponadto po usunięciu wspólnego czynnika z nawiasów w każdej grupie powstałe wyrażenia muszą również mieć wspólny czynnik.

Przykład :

    Skrócone wzory na mnożenie.

    Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń i ich sumy jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń.

    Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego wyrażenia plus kwadrat drugiego wyrażenia. rozwiązania. 1. Znajdź resztę dzielenia wielomian x6 – 4x4 + x3… nie ma rozwiązania, A decyzje druga to pary (1; 2) i (2; 1). Odpowiedź: (1; 2), (2; 1). Zadania Dla niezależny rozwiązania. Rozwiąż układ...

  • Przybliżony program nauczania algebry i analizy elementarnej dla klas 10-11 (poziom profilu) Nota wyjaśniająca

    Program

    Każdy akapit podaje wymaganą kwotę zadania Dla niezależny rozwiązania według rosnącego stopnia trudności. ...algorytm rozkładu wielomian przez potęgi dwumianu; wielomiany ze złożonymi współczynnikami; wielomiany z ważnym...

  • Przedmiot do wyboru „Rozwiązywanie problemów niestandardowych. 9 klasa” Ukończone przez nauczyciela matematyki

    Kurs do wyboru

    Równanie jest równoważne równaniu P(x) = Q(X), gdzie P(x) i Q(x) są pewnymi wielomiany z jedną zmienną x. Przeniesienie Q(x) na lewą stronę... = . ODPOWIEDŹ: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. ZADANIA DLA NIEZALEŻNY ROZWIĄZANIA. Rozwiąż następujące równania: x4 – 8x...

  • Program do wyboru z matematyki dla klasy 8

    Program

    Twierdzenie algebry, twierdzenie Viety Dla trójmian kwadratowy i Dla wielomian dowolny stopień, twierdzenie o racjonalnym... materiale. To nie tylko lista zadania Dla niezależny rozwiązania, ale także zadanie stworzenia modelu rozwojowego...

Definicja 3.3. Jednomian to wyrażenie będące iloczynem liczb, zmiennych i potęg z wykładnikiem naturalnym.

Na przykład każde z wyrażeń
,
jest jednomianem.

Mówią, że jednomian ma standardowy widok , jeśli zawiera przede wszystkim tylko jeden czynnik liczbowy, a każdy iloczyn identycznych zmiennych w nim zawartych jest reprezentowany przez stopień. Nazywa się współczynnik liczbowy jednomianu zapisanego w standardowej formie współczynnik jednomianu . Przez potęgę jednomianu nazywa się sumą wykładników wszystkich jej zmiennych.

Definicja 3.4. Wielomian nazywana sumą jednomianów. Nazywa się jednomiany, z których składa się wielomianczłonkowie wielomianu .

Podobne terminy - jednomiany w wielomianie - nazywane są podobne wyrazy wielomianu .

Definicja 3.5. Wielomian postaci standardowej nazywany wielomianem, w którym wszystkie wyrazy są zapisane w standardowej formie i podane są podobne wyrazy.Stopień wielomianu postaci standardowej nazywa się największą z potęg zawartych w nim jednomianów.

Na przykład jest wielomianem postaci standardowej czwartego stopnia.

Działania na jednomianach i wielomianach

Sumę i różnicę wielomianów można przekształcić w wielomian w postaci standardowej. Podczas dodawania dwóch wielomianów zapisuje się wszystkie ich terminy i podaje podobne terminy. Podczas odejmowania znaki wszystkich wyrazów odejmowanego wielomianu są odwracane.

Na przykład:

Wyrazy wielomianu można podzielić na grupy i ująć w nawiasy. Ponieważ jest to identyczna transformacja odwrotna do otwarcia nawiasów, ustalono, co następuje reguła nawiasów: jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak plus, wówczas wszystkie terminy ujęte w nawiasy zapisuje się wraz z ich znakami; Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak minus, wówczas wszystkie terminy ujęte w nawiasy zostaną zapisane z przeciwległymi znakami.

Na przykład,

Zasada mnożenia wielomianu przez wielomian: Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, wystarczy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz innego wielomianu i dodać powstałe iloczyny.

Na przykład,

Definicja 3.6. Wielomian w jednej zmiennej stopni zwane wyrażeniem formy

Gdzie
- dowolne wywoływane numery współczynniki wielomianowe , I
,– nieujemna liczba całkowita.

Jeśli
, następnie współczynnik zwany wiodący współczynnik wielomianu
, jednomian
- jego starszy członek , współczynnik – Wolny Członek .

Jeśli zamiast zmiennej do wielomianu
zastąpić liczbę rzeczywistą , wówczas wynikiem będzie liczba rzeczywista
który jest nazywany wartość wielomianu
Na
.

Definicja 3.7. Numer zwanypierwiastek wielomianu
, Jeśli
.

Rozważ podzielenie wielomianu przez wielomian, gdzie
I - liczby całkowite. Podział jest możliwy, jeżeli stopień dzielnej wielomianu wynosi
nie mniejszy niż stopień wielomianu dzielnika
, to jest
.

Podziel wielomian
do wielomianu
,
, oznacza znalezienie dwóch takich wielomianów
I
, Do

W tym przypadku wielomian
stopni
zwany iloraz wielomianowy ,
– reszta ,
.

Uwaga 3.2. Jeśli dzielnik
–nie jest wielomianem zerowym, to dzielenie
NA
,
, jest zawsze wykonalne, a iloraz i reszta są jednoznacznie określone.

Uwaga 3.3. W razie
przed wszystkimi , to jest

mówią, że jest to wielomian
całkowicie podzielone(lub akcje)do wielomianu
.

Dzielenie wielomianów przeprowadza się analogicznie do dzielenia liczb wielocyfrowych: najpierw dzieli się wyraz wiodący wielomianu dzielnej przez człon wiodący wielomianu dzielnika, następnie iloraz z dzielenia tych wyrazów, który będzie człon wiodący wielomianu ilorazu jest mnożony przez wielomian dzielnika, a otrzymany iloczyn odejmuje się od wielomianu dzielnej. W rezultacie otrzymujemy wielomian - pierwszą resztę, którą dzielimy w podobny sposób przez wielomian dzielnikowy i znajdujemy drugi wyraz wielomianu ilorazowego. Proces ten kontynuuje się aż do otrzymania reszty zerowej lub stopień wielomianu resztkowego będzie mniejszy od stopnia wielomianu dzielnika.

Dzieląc wielomian przez dwumian, możesz skorzystać ze schematu Hornera.

Schemat Hornera

Załóżmy, że chcemy podzielić wielomian

przez dwumian
. Oznaczmy iloraz dzielenia jako wielomian

a reszta jest . Oznaczający , współczynniki wielomianów
,
i reszta Zapiszmy to w następującej formie:

W tym schemacie każdy ze współczynników
,
,
, …,uzyskany z poprzedniej liczby w dolnym wierszu poprzez pomnożenie przez tę liczbę i dodanie do powstałego wyniku odpowiedniej liczby w górnym wierszu nad żądanym współczynnikiem. Jeśli jakikolwiek stopień jest nieobecny w wielomianie, wówczas odpowiadający mu współczynnik wynosi zero. Po ustaleniu współczynników według podanego schematu zapisujemy iloraz

i wynik dzielenia jeśli
,

Lub ,

Jeśli
,

Twierdzenie 3.1. Aby otrzymać ułamek nieredukowalny (

,

)był pierwiastkiem wielomianu
w przypadku współczynników całkowitych konieczne jest podanie liczby był dzielnikiem terminu wolnego i numer - dzielnik współczynnika wiodącego .

Twierdzenie 3.2. (Twierdzenie Bezouta ) Reszta z dzielenia wielomianu
przez dwumian
równa wartości wielomianu
Na
, to jest
.

Podczas dzielenia wielomianu
przez dwumian
mamy równość

Jest to prawdą w szczególności, kiedy
, to jest
.

Przykład 3.2. Dzielić przez
.

Rozwiązanie. Zastosujmy schemat Hornera:

Stąd,

Przykład 3.3. Dzielić przez
.

Rozwiązanie. Zastosujmy schemat Hornera:

Stąd,

,

Przykład 3.4. Dzielić przez
.

Rozwiązanie.

W rezultacie otrzymujemy

Przykład 3.5. Dzielić
NA
.

Rozwiązanie. Podzielmy wielomiany według kolumn:

Wtedy otrzymamy

.

Czasami przydatne jest przedstawienie wielomianu jako równego iloczynu dwóch lub więcej wielomianów. Taka transformacja tożsamości nazywa się rozkład na czynniki wielomianu . Rozważmy główne metody takiego rozkładu.

Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów. Aby rozłożyć wielomian na czynniki, usuwając wspólny czynnik z nawiasów, należy:

1) znajdź wspólny czynnik. Aby to zrobić, jeśli wszystkie współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi, największy wspólny dzielnik modulo wszystkich współczynników wielomianu jest uważany za współczynnik wspólnego czynnika, a każda zmienna zawarta we wszystkich wyrazach wielomianu jest brana z największym wykładnik, jaki ma w tym wielomianu;

2) znaleźć iloraz dzielenia danego wielomianu przez wspólny czynnik;

3) zapisz iloczyn współczynnika ogólnego i otrzymanego ilorazu.

Grupowanie członków. Podczas rozkładu wielomianu metodą grupowania jego wyrazy są dzielone na dwie lub więcej grup, tak aby każdą z nich można było przekształcić w iloczyn, a powstałe iloczyny miałyby wspólny dzielnik. Następnie stosuje się metodę umieszczania w nawiasach wspólnego czynnika nowo przekształconych terminów.

Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. W przypadkach, gdy wielomian należy rozwinąć na czynniki, ma postać prawej strony dowolnego skróconego wzoru na mnożenie, jego rozkład na czynniki uzyskuje się poprzez zastosowanie odpowiedniego wzoru zapisanego w innej kolejności;

Pozwalać

, wówczas prawdziwe są następujące informacje skrócone wzory na mnożenie:

Dla

:

Jeśli dziwne (

):

Dwumian Newtona:

Gdzie
– liczba kombinacji Przez .

Wprowadzenie nowych członków pomocniczych. Metoda ta polega na zastąpieniu wielomianu innym wielomianem, identycznie mu równym, ale zawierającym różną liczbę wyrazów, poprzez wprowadzenie dwóch wyrazów przeciwstawnych lub zastąpienie dowolnego wyrazu identyczną sumą podobnych jednomianów. Podstawienie dokonuje się w taki sposób, aby do otrzymanego wielomianu można było zastosować metodę grupowania wyrazów.

Przykład 3.6..

Rozwiązanie. Wszystkie wyrazy wielomianu zawierają wspólny czynnik
. Stąd,.

Odpowiedź: .

Przykład 3.7.

Rozwiązanie. Odrębnie grupujemy terminy zawierające współczynnik i terminy zawierające . Wyjmując wspólne czynniki grup z nawiasów, otrzymujemy:

.

Odpowiedź:
.

Przykład 3.8. Rozłóż wielomian na czynniki
.

Rozwiązanie. Stosując odpowiedni skrócony wzór na mnożenie, otrzymujemy:

Odpowiedź: .

Przykład 3.9. Rozłóż wielomian na czynniki
.

Rozwiązanie. Stosując metodę grupowania i odpowiedni skrócony wzór na mnożenie, otrzymujemy:

.

Odpowiedź: .

Przykład 3.10. Rozłóż wielomian na czynniki
.

Rozwiązanie. Wymienimy NA
, pogrupuj terminy, zastosuj skrócone wzory na mnożenie:

.

Odpowiedź:
.

Przykład 3.11. Rozłóż wielomian na czynniki

Rozwiązanie. Ponieważ ,
,
, To

W tej części siódmej klasy algebry możesz uczyć się lekcji szkolnych na temat „Wielomiany. Działania arytmetyczne na wielomianach.”

Edukacyjne lekcje wideo z algebry 7. klasy „Wielomiany. Operacji arytmetycznych na wielomianach” uczy Walentin Aleksiejewicz Tarasow, nauczyciel szkoły Logos LV. Możesz także uczyć się innych zagadnień z algebry

Stopień jako szczególny przypadek wielomianu

Podczas tej lekcji omówione zostaną podstawowe pojęcia i definicje, zostaną przygotowane podstawy do studiowania złożonego i obszernego tematu, a mianowicie: przypomnimy sobie materiał teoretyczny dotyczący stopni - definicje, właściwości, twierdzenia i rozwiążemy kilka przykładów w celu utrwalenia techniki .

Sprowadzanie wielomianów do postaci standardowej. Typowe zadania

Na tej lekcji przypomnimy sobie podstawowe definicje tego tematu i rozważymy kilka typowych problemów, a mianowicie sprowadzenie wielomianu do postaci standardowej i obliczenie wartości liczbowej dla danych wartości zmiennych. Rozwiążemy kilka przykładów, w których redukcja do postaci standardowej zostanie zastosowana do rozwiązania różnego rodzaju problemów.

Dodawanie i odejmowanie wielomianów. Typowe zadania

Na tej lekcji omówione zostaną operacje dodawania i odejmowania wielomianów oraz zostaną sformułowane zasady dodawania i odejmowania. Rozważane są przykłady, rozwiązywane są typowe problemy i równania oraz konsolidowane są umiejętności wykonywania tych operacji.

Mnożenie wielomianu przez jednomian. Typowe zadania

Na tej lekcji omówimy operację mnożenia wielomianu przez jednomian, co jest podstawą do badania mnożenia wielomianów. Przypomnijmy rozdzielne prawo mnożenia i sformułujmy regułę mnożenia dowolnego wielomianu przez jednomian. Przypomnijmy sobie jeszcze pewne własności stopni. Dodatkowo zostaną sformułowane typowe błędy przy wykonywaniu różnych przykładów.

Mnożenie dwumianów. Typowe zadania

Na tej lekcji zapoznamy się z operacją mnożenia najprostszych wielomianów - dwumianów i sformułowamy zasadę ich mnożenia. Wyprowadźmy kilka wzorów na skrócone mnożenie za pomocą tej operacji. Ponadto rozwiążemy dużą liczbę przykładów i typowych problemów, a mianowicie problem upraszczania wyrażeń, problem obliczeniowy i równania.

Mnożenie trójmianów. Typowe zadania

Na tej lekcji przyjrzymy się działaniu mnożenia trójmianów, wyprowadzimy regułę mnożenia trójmianów i ogólnie sformułowamy regułę mnożenia wielomianów. Rozwiążmy kilka przykładów związanych z tym tematem, aby przejść do bardziej szczegółowego mnożenia wielomianów.

Mnożenie wielomianu przez wielomian

Na tej lekcji przypomnimy sobie wszystko, czego już się nauczyliśmy o mnożeniu wielomianów, podsumujemy niektóre wyniki i sformułujemy ogólną zasadę. Następnie wykonamy serię przykładów, aby utrwalić technikę mnożenia wielomianów.

Mnożenie wielomianów w zadaniach tekstowych

Na tej lekcji przypomnimy sobie metodę modelowania matematycznego i rozwiążemy problemy za jego pomocą. Nauczymy się układać z nich wielomiany i wyrażenia z warunków zadania tekstowego oraz rozwiązywać te problemy, co oznacza zastosowanie zdobytej wiedzy o wielomianach w bardziej złożonych typach pracy.

Mnożenie wielomianów w zagadnieniach elementów geometrycznych

Na tej lekcji nauczymy się rozwiązywać zadania tekstowe z elementami geometrii metodą modelowania matematycznego. Aby to zrobić, najpierw przypomnij sobie podstawowe fakty geometryczne i etapy rozwiązywania problemów.

Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratowa i różnica kwadratowa

Na tej lekcji zapoznamy się ze wzorami na kwadrat sumy i kwadrat różnicy oraz wyprowadzimy je. Udowodnijmy wzór na kwadrat sumy geometrycznie. Ponadto za pomocą tych wzorów rozwiążemy wiele różnych przykładów.

Skrócone wzory na mnożenie. Różnica kwadratów

W tej lekcji przypomnimy sobie skrócone wzory na mnożenie, których nauczyliśmy się wcześniej, a mianowicie kwadrat sumy i kwadrat różnicy. Wyprowadźmy wzór na różnicę kwadratów i rozwiążmy wiele różnych typowych problemów za pomocą tego wzoru. Dodatkowo rozwiążemy problemy polegające na skomplikowanym zastosowaniu kilku formuł.

Skrócone wzory na mnożenie. Różnica kostek i suma kostek

W tej lekcji będziemy kontynuować naukę skróconych wzorów na mnożenie, a mianowicie przyjrzymy się różnicom i sumie wzorów kostek. Ponadto za pomocą tych wzorów rozwiążemy różne typowe problemy.

Wspólne korzystanie ze skróconych wzorów na mnożenie

Ta lekcja wideo będzie przydatna dla wszystkich, którzy chcą samodzielnie przestudiować temat „Połączone zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie”. Dzięki temu wykładowi wideo będziesz mógł podsumować, pogłębić i usystematyzować wiedzę zdobytą na poprzednich lekcjach. Nauczyciel nauczy Cię wspólnego stosowania skróconych wzorów na mnożenie.

Wzory na skrócone mnożenie w problemach o zwiększonej złożoności. Część 1

Na tej lekcji wykorzystamy naszą wiedzę o wielomianach i skróconych wzorach na mnożenie do rozwiązania dość złożonego problemu geometrycznego. Pozwoli nam to udoskonalić nasze umiejętności pracy z wielomianami.

Wzory na skrócone mnożenie w problemach o zwiększonej złożoności. Część 2

Podczas tej lekcji przyjrzymy się skomplikowanym problemom przy użyciu skróconych wzorów na mnożenie i wykonamy wiele różnych przykładów, aby utrwalić tę technikę.

Zagadnienie geometryczne równoległościanu przy użyciu skróconego wzoru na mnożenie

W tej lekcji wideo każdy będzie mógł przestudiować temat „Zadanie geometryczne na równoległościanie za pomocą skróconego wzoru na mnożenie”. Podczas tej lekcji uczniowie będą ćwiczyć używanie skróconego wzoru na mnożenie równoległościanu. W szczególności nauczyciel poda problem geometryczny na równoległościanie, który należy zdemontować i rozwiązać.

Dzielenie wielomianu przez jednomian

Na tej lekcji przypomnimy sobie zasadę dzielenia jednomianu przez jednomian i sformułujemy podstawowe fakty potwierdzające tę zasadę. Dodajmy trochę informacji teoretycznych do tego, co już wiemy i wyprowadźmy regułę dzielenia wielomianu przez jednomian. Następnie wykonamy szereg przykładów o różnej złożoności, aby opanować technikę dzielenia wielomianu przez jednomian.

Cele: uogólnienie i utrwalenie przerobionego materiału: powtórzenie pojęcia wielomianu, zasady mnożenia wielomianu przez wielomian i utrwalenie tej zasady podczas pracy testowej, utrwalenie umiejętności rozwiązywania równań i problemów za pomocą równań.

Sprzęt: plakat „Kto od najmłodszych lat robi i myśli samodzielnie, później staje się bardziej niezawodny, silniejszy, mądrzejszy” (V. Shukshin). Rzutnik, tablica magnetyczna, krzyżówka, karty testowe.

Plan lekcji.

1. Moment organizacyjny.
2. Sprawdzanie pracy domowej.
3. Ćwiczenia ustne (krzyżówka).
4. Rozwiązywanie ćwiczeń z tematu.
5. Test na temat: „Wielomiany i operacje na nich” (4 możliwości).
6. Podsumowanie lekcji.
7. Praca domowa.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny

Uczniowie w klasie dzielą się na grupy 4-5 osobowe, wybierana jest najstarsza osoba w grupie.

II. Sprawdzanie pracy domowej.

Uczniowie przygotowują pracę domową na kartce w domu. Każdy uczeń sprawdza swoją pracę za pomocą rzutnika. Nauczyciel proponuje uczniowi samodzielną ocenę pracy domowej i umieszcza ocenę na arkuszu sprawozdania, wskazując kryterium oceny: „5” ─ zadanie zostało wykonane poprawnie i samodzielnie; „4” ─ zadanie zostało wykonane poprawnie i całkowicie, ale przy pomocy rodziców lub kolegów z klasy; „3” ─ we wszystkich pozostałych przypadkach, jeśli zadanie zostało ukończone. Jeśli zadanie nie zostało ukończone, możesz postawić myślnik.

III. Ćwiczenia ustne.

1) Aby przejrzeć pytania teoretyczne, uczniom proponuje się krzyżówkę. Krzyżówka rozwiązywana jest ustnie przez grupę, a odpowiedzi udzielają uczniowie z różnych grup. Oceniamy: „5” ─ 7 poprawnych słów, „4” ─ 5,6 poprawnych słów, „3” ─ 4 poprawne słowa.

Pytania do krzyżówki: (patrz Aneks 1)

  1. Właściwość mnożenia stosowana przy mnożeniu jednomianu przez wielomian;
  2. metoda rozkładu wielomianu na czynniki;
  3. równość, która jest prawdziwa dla dowolnej wartości zmiennej;
  4. wyrażenie reprezentujące sumę jednomianów;
  5. terminy, które mają tę samą część literową;
  6. wartość zmiennej, przy której równanie zamienia się w prawdziwą równość;
  7. współczynnik liczbowy jednomianów.

2) Wykonaj następujące kroki:

3. Jeśli długość prostokąta zmniejszymy o 4 cm, a jego szerokość zwiększymy o 7 cm, otrzymamy kwadrat, którego pole będzie o 100 cm 2 większe niż pole prostokąta. Określ bok kwadratu. (Bok kwadratu ma długość 24 cm).

Uczniowie rozwiązują zadania w grupach, dyskutując i pomagając sobie nawzajem. Po wykonaniu zadania grupy porównują je z rozwiązaniami zapisanymi na tablicy. Po sprawdzeniu wystawiane są oceny: za tę pracę studenci otrzymują dwie oceny: samoocenę i ocenę grupową. Kryterium oceny: „5” – rozwiązał wszystko poprawnie i pomógł swoim towarzyszom, „4” – popełnił błędy przy rozwiązywaniu, ale poprawił je przy pomocy swoich towarzyszy, „3” ─ był zainteresowany rozwiązaniem i rozwiązał wszystko przy pomocy swoich towarzyszy koledzy z klasy.

V. Praca testowa.

Opcja I

1. Przedstaw w postaci standardowej wielomian 3a – 5a∙a – 5 + 2a 2 – 5a +3.

3. Znajdź różnicę wielomianów 2x 2 – x + 2 i ─ 3x 2 ─2x + 1.

5. Przedstaw wyrażenie w postaci wielomianu: 2 – (3a – 1)(a + 5).

Opcja II

1. Przedstaw w postaci standardowej wielomian 5x 2 – 5 + 4x ─ 3x∙x + 2 – 2x.

3. Znajdź różnicę wielomianów 4y 2 – 2y + 3 i - 2y 2 + 3y +2.

5. Rozwiąż równanie: ─3x 2 + 5x = 0.

1) x =
3) x = 0 i x = ─

2) x = 0 i x =
4) x = 0

6. Obecny jako produkt: 5a 3 – 3a 2 – 10a + 6.

Opcja III

1. Znajdź wartość wielomianu ─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) gdzie а = ─, b=─3.


1)

2. Uprość wyrażenie: ─8x – (5x – (3x – 7)).

4. Pomnóż: ─3x∙(─ 2x 2 + x – 3)

6. Przedstaw to jako produkt: 3x 3 – 2x 2 – 6x + 4.

1) (x 2 + 2) (3x + 2)
3) (x 2 + 2) (3x – 2)

2) (x 2 – 2) (3x + 2)
4) (x 2 – 2) (3x – 2)

7. Przedstaw wyrażenie jako iloczyn: a(x – y) ─2b(y – x)

1) (x – y)(a ─ 2b)
3) (x – y)(a + 2b)

2) (y – x)(a ─ 2b)
4) (y – x)(a + 2)

Opcja IV

1. Znajdź wartość wielomianu ─ 8a 2 – 2ax – x 2 – (─4a 2 – 2ax – x 2) przy a= ─, x= ─ 2.

2. Uprość wyrażenie: ─ 5a – (2a – (3a – 5)).

4. Wykonaj mnożenie: ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1).

6. Wyraź to jako wielomian: (3x – 2)(─x 2 + x – 4).

1) ─3x 3 + 5x 2 – 10x – 8
3) ─3x 3 + 3x 2 – 14x + 8

2) ─3x 3 + 3x 2 – 12x
4) ─3x 3 + 5x 2 – 14x + 8

7. Przedstaw wyrażenie jako iloczyn: 2c(b – a) – d(a – b)

1) (a – b)(2c – d)
3) (b – a)(2c – d)

2) (b – a)(2c + d)
4) (a – b)(2c + d)

Praca nie.

Opcja nr

VI. Podsumowanie lekcji

Podczas lekcji każdy uczeń otrzymuje kilka ocen. Uczeń sam ocenia swoją wiedzę porównując ją z wiedzą innych. Ewaluacja grupowa jest bardziej skuteczna, ponieważ ewaluacja jest omawiana przez wszystkich członków grupy. Chłopaki wskazują na niedociągnięcia i niedociągnięcia w pracy członków grupy. Wszystkie oceny wpisuje do karty pracy lider grupy.

Nauczyciel wystawia ocenę końcową, przekazując ją całej klasie.

VII. Praca domowa:

1. Wykonaj następujące kroki:

a) (a 2 + 3аb─b 2)(2а – b);
b) (x 2 + 2xy – 5y 2)(2x 2 – 3y).

2. Rozwiąż równanie:

a) (3x – 1)(2x + 7) ─ (x + 1)(6x – 5) = 16;
b) (x – 4)(2x2 – 3x + 5) + (x2 – 5x + 4)(1 – 2x) = 20.

3. Jeśli jeden bok kwadratu zmniejszymy o 1,2 m, a drugi o 1,5 m, wówczas powierzchnia powstałego prostokąta będzie o 14,4 m 2 mniejsza niż powierzchnia danego kwadratu. Określ bok kwadratu.