Grafika funkcji mocy dla wszystkich różnych mocy. Funkcja potęgowa, jej własności i wykres Materiał demonstracyjny Lekcja-wykład Pojęcie funkcji

Czy znasz funkcje y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x itd. Wszystkie te funkcje są szczególnymi przypadkami funkcji potęgowej, tj. funkcji y=xp, gdzie p jest daną liczbą rzeczywistą.
Właściwości i wykres funkcji potęgowej zasadniczo zależą od właściwości potęgi z wykładnikiem rzeczywistym, aw szczególności od wartości, dla których x oraz p ma sens x p. Przejdźmy do podobnego rozważenia różnych przypadków, w zależności od
wykładnik potęgowy p.

1. Indeks p=2n jest parzystą liczbą naturalną.

y=x2n, gdzie n jest liczbą naturalną, ma następującą liczbę

nieruchomości:

• dziedziną definicji są wszystkie liczby rzeczywiste, tj. zbiór R;
• zestaw wartości - liczby nieujemne, tj. y jest większe lub równe 0;
• funkcjonować y=x2n nawet, ponieważ x 2n=(- x) 2n
• funkcja jest malejąca w przedziale x<0 i rosnących w przedziale x>0.

Wykres funkcji y=x2n ma taką samą postać jak na przykład wykres funkcji y=x4.

2. Wskaźnik p=2n-1- nieparzysta liczba naturalna
W tym przypadku funkcja mocy y=x 2n-1, gdzie jest liczbą naturalną, ma następujące własności:

• dziedzina definicji - zbiór R;
• zestaw wartości - zestaw R;
• funkcjonować y=x 2n-1 dziwne, bo (- x) 2n-1=x2n-1;
• funkcja jest rosnąca na całej osi rzeczywistej.

Wykres funkcji y=x 2n-1 ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y=x 3 .

3. Wskaźnik p=-2n, gdzie n- Liczba naturalna.

W tym przypadku funkcja mocy y=x -2n=1/x2n ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - zbiór R, z wyjątkiem x=0;
• zestaw wartości - liczby dodatnie y>0;
• funkcja Y =1/x2n nawet, ponieważ 1/(-x) 2n=1/x2n;
• funkcja jest rosnąca w przedziale x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Wykres funkcji y =1/x2n ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y =1/x2.

Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcje potęgowe. Właściwości. Wykresy”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 11
Podręcznik interaktywny dla klas 9-11 „Trygonometria”
Podręcznik interaktywny dla klas 10-11 „Logarytmy”

Funkcje potęgowe, dziedzina definicji.

Chłopaki, na ostatniej lekcji nauczyliśmy się pracować z liczbami z wykładnikiem wymiernym. W tej lekcji rozważymy funkcje potęgowe i ograniczymy się do przypadku, gdy wykładnik jest wymierny.
Rozważymy funkcje postaci: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Rozważmy najpierw funkcje, których wykładnikiem jest $\frac(m)(n)>1$.
Dajmy sobie określoną funkcję $y=x^2*5$.
Zgodnie z definicją, którą podaliśmy w poprzedniej lekcji: jeśli $x≥0$, to dziedziną naszej funkcji jest promień $(x)$. Przedstawmy schematycznie nasz wykres funkcji.

Własności funkcji $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
3. Zwiększa o $$,
b) $(2,10) $,
c) na promieniu $$.
Rozwiązanie.
Chłopaki, czy pamiętacie, jak znaleźliśmy największą i najmniejszą wartość funkcji na segmencie w klasie 10?
Zgadza się, użyliśmy pochodnej. Rozwiążmy nasz przykład i powtórzmy algorytm znajdowania najmniejszej i największej wartości.
1. Znajdź pochodną podanej funkcji:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Pochodna istnieje na całej dziedzinie pierwotnej funkcji, wtedy nie ma punktów krytycznych. Znajdźmy punkty stacjonarne:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ i $x_2=\sqrt(64)=4$.
Do danego segmentu należy tylko jedno rozwiązanie $x_2=4$.
Zbudujmy tabelę wartości naszej funkcji na końcach odcinka i w punkcie ekstremalnym:
Odpowiedź: $y_(nazwa)=-862,65$ przy $x=9$; $y_(maks.)=38,4$ dla $x=4$.

Przykład. Rozwiąż równanie: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Rozwiązanie. Wykres funkcji $y=x^(\frac(4)(3))$ jest rosnący, podczas gdy wykres funkcji $y=24-x$ maleje. Chłopaki, ty i ja wiemy: jeśli jedna funkcja rośnie, a druga maleje, to przecinają się tylko w jednym punkcie, to znaczy mamy tylko jedno rozwiązanie.
Notatka:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Oznacza to, że dla $х=8$ otrzymaliśmy poprawną równość 16$=16$, to jest rozwiązanie naszego równania.
Odpowiedź: $ x = 8 $.

Przykład.
Wykreśl funkcję: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Rozwiązanie.
Wykres naszej funkcji otrzymujemy z wykresu funkcji $y=x^(\frac(3)(4))$, przesuwając go o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę.

Przykład. Zapisz równanie stycznej do prostej $y=x^(-\frac(4)(5))$ w punkcie $x=1$.
Rozwiązanie. Równanie styczne jest określone przez znany nam wzór:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
W naszym przypadku $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Znajdźmy pochodną:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
obliczmy:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Znajdź równanie styczne:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Odpowiedź: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: $y=x^\frac(4)(3)$ na odcinku:
a) $$.
b) $(4,50) $.
c) na promieniu $$.
3. Rozwiąż równanie: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Narysuj wykres funkcji: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Zapisz równanie stycznej do prostej $y=x^(-\frac(3)(7))$ w punkcie $x=1$.

Wykład: Funkcja potęgowa z wykładnikiem naturalnym, jej wykres

Ciągle mamy do czynienia z funkcjami, w których argument ma pewną moc:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1 itd.

Wykresy funkcji potęgowych

Rozważymy teraz kilka możliwych przypadków funkcji potęgowej.

1) y = x 2 n .

Oznacza to, że teraz rozważymy funkcje, w których wykładnik jest liczbą parzystą.

Cecha funkcji:

1. Wszystkie liczby rzeczywiste są akceptowane jako zakres.

2. Funkcja może przyjmować wszystkie wartości dodatnie oraz liczbę zero.

3. Funkcja jest parzysta, ponieważ nie zależy od znaku argumentu, a jedynie od jego modułu.

4. Dla dodatniego argumentu funkcja jest rosnąca, a dla ujemnego malejąca.

Wykresy tych funkcji przypominają parabolę. Na przykład poniżej znajduje się wykres funkcji y \u003d x 4.

2) Funkcja ma nieparzysty wykładnik: y \u003d x 2 n +1.

1. Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.

2. Zakres funkcji - może przyjąć postać dowolnej liczby rzeczywistej.

3. Ta funkcja jest nieparzysta.

4. Monotonicznie wzrasta w całym przedziale rozpatrywania funkcji.

5. Wykres wszystkich funkcji potęgowych z nieparzystym wykładnikiem jest identyczny z funkcją y \u003d x 3.

3) Funkcja ma nawet ujemny wykładnik naturalny: y \u003d x -2 n.

Wszyscy wiemy, że ujemny wykładnik pozwala upuścić wykładnik do mianownika i zmienić znak wykładnika, czyli otrzymać postać y \u003d 1 / x 2 n.

1. Argument tej funkcji może przyjąć dowolną wartość oprócz zera, ponieważ zmienna jest w mianowniku.

2. Ponieważ wykładnik jest liczbą parzystą, funkcja nie może przyjmować wartości ujemnych. A ponieważ argument nie może być równy zeru, to wartość funkcji równa zeru również powinna zostać wykluczona. Oznacza to, że funkcja może przyjmować tylko wartości dodatnie.

3. Ta funkcja jest parzysta.

4. Jeśli argument jest ujemny, funkcja jest rosnąca monotonicznie, a jeśli jest dodatnia, jest malejąca.

Widok wykresu funkcji y \u003d x -2:

4) Funkcja z ujemnym nieparzystym wykładnikiem y \u003d x - (2 n + 1) .

1. Ta funkcja istnieje dla wszystkich wartości argumentu, z wyjątkiem liczby zero.

2. Funkcja akceptuje wszystkie wartości rzeczywiste, z wyjątkiem liczby zero.

3. Ta funkcja jest nieparzysta.

4. Spadki na dwóch rozpatrywanych przedziałach.

Rozważ przykład wykresu funkcji z ujemnym wykładnikiem nieparzystym, korzystając z przykładu y \u003d x -3.

Własności funkcji potęgowych i ich wykresy

Funkcja potęgowa z wykładnikiem równym zero, p = 0

Jeżeli wykładnik funkcji potęgowej y = x p jest równy zero, p = 0, to funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla wszystkich x ≠ 0 i jest stała równa jeden:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funkcja potęgowa z naturalnym nieparzystym wykładnikiem, p = n = 1, 3, 5, ...

Rozważmy funkcję potęgową y = x p = x n z naturalnym nieparzystym wykładnikiem n = 1, 3, 5, .... Taki wykładnik można również zapisać jako: n = 2k + 1, gdzie k = 0, 1, 2, 3, ... jest nieujemną liczbą całkowitą. Poniżej przedstawiono właściwości i wykresy takich funkcji.

Wykres funkcji potęgowej y = x n z wykładnikiem naturalnym nieparzystym w różne wartości wykładnik n = 1, 3, 5, ....

Obszar definicji: –∞< x < ∞

Zestaw wartości: –∞< y < ∞

Skrajności: nie

Wypukły:

w –∞< x < 0 выпукла вверх

o 0< x < ∞ выпукла вниз

Punkty przegięcia: x = 0, y = 0

Prywatne wartości:

przy x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

dla x = 0, y(0) = 0 n = 0

dla x = 1, y(1) = 1 n = 1

Funkcja potęgowa z naturalnym parzystym wykładnikiem, p = n = 2, 4, 6, ...

Rozważmy funkcję potęgową y = x p = x n z naturalnym parzystym wykładnikiem n = 2, 4, 6, .... Taki wykładnik można również zapisać jako: n = 2k, gdzie k = 1, 2, 3, .. jest naturalny. Własności i wykresy takich funkcji podano poniżej.

Wykres funkcji potęgowej y = x n z naturalnym parzystym wykładnikiem dla różnych wartości wykładnika n = 2, 4, 6, ....

Obszar definicji: –∞< x < ∞

Zbiór wartości: 0 ≤ y< ∞

Monotonia:

o godz< 0 монотонно убывает

dla x > 0 wzrasta monotonicznie

Ekstrema: minimum, x = 0, y = 0

Wypukłość: wypukła w dół

Punkty kolanowe: nie

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: x = 0, y = 0
Prywatne wartości:

przy x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

dla x = 0, y(0) = 0 n = 0

dla x = 1, y(1) = 1 n = 1

Funkcja potęgowa z całkowitym wykładnikiem ujemnym, p = n = -1, -2, -3, ...

Rozważmy funkcję potęgową y = x p = x n z ujemnym wykładnikiem całkowitym n = -1, -2, -3, .... Jeśli wstawimy n = –k, gdzie k = 1, 2, 3, ... to jest liczbą naturalną, to można ją przedstawić jako:

Wykres funkcji potęgowej y = x n z ujemnym wykładnikiem całkowitym dla różnych wartości wykładnika n = -1, -2, -3, ....

Wykładnik nieparzysty, n = -1, -3, -5, ...

Poniżej znajdują się właściwości funkcji y = x n z nieparzystym ujemnym wykładnikiem n = -1, -3, -5, ....

Dziedzina definicji: x ≠ 0

Zbiór wartości: y ≠ 0

Parzystość: nieparzysta, y(–x) = – y(x)

Skrajności: nie

Wypukły:

o godz< 0: выпукла вверх

dla x > 0: wypukła w dół

Punkty kolanowe: nie

Znak: w x< 0, y < 0

dla x > 0, y > 0

Prywatne wartości:

dla x = 1, y(1) = 1 n = 1

Parzysty wykładnik, n = -2, -4, -6, ...

Poniżej znajdują się właściwości funkcji y = x n z parzystym ujemnym wykładnikiem n = -2, -4, -6, ....

Dziedzina definicji: x ≠ 0

Zbiór wartości: y > 0

Parzystość: parzysta, y(–x) = y(x)

Monotonia:

o godz< 0: монотонно возрастает

dla x > 0: monotonicznie malejąca

Skrajności: nie

Wypukłość: wypukła w dół

Punkty kolanowe: nie

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: nie

Znak: y > 0

Prywatne wartości:

przy x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

dla x = 1, y(1) = 1 n = 1

Funkcja potęgowa z wykładnikiem wymiernym (ułamkowym).

Rozważmy funkcję potęgową y = x p z wykładnikiem wymiernym (ułamkowym), gdzie n jest liczbą całkowitą, m > 1 jest liczbą naturalną. Ponadto n, m nie mają wspólnych dzielników.

Mianownik wskaźnika ułamkowego jest nieparzysty

Niech mianownik wykładnika ułamkowego będzie nieparzysty: m = 3, 5, 7, ... . W tym przypadku funkcja potęgowa x p jest zdefiniowana zarówno dla dodatnich, jak i ujemnych wartości argumentu. Rozważmy własności takich funkcji potęgowych, gdy wykładnik p mieści się w pewnych granicach.

p jest ujemne, p< 0

Niech wykładnik wymierny (z nieparzystym mianownikiem m = 3, 5, 7, ...) będzie mniejszy od zera: .

Wykresy funkcji potęgowych z wymiernym ujemnym wykładnikiem dla różnych wartości wykładnika , gdzie m = 3, 5, 7, ... jest nieparzyste.

Licznik nieparzysty, n = -1, -3, -5, ...

Przedstawiamy własności funkcji potęgowej y = x p z wykładnikiem wymiernym ujemnym , gdzie n = -1, -3, -5, ... jest nieparzystą ujemną liczbą całkowitą, m = 3, 5, 7 ... jest nieparzysta liczba naturalna.

Dziedzina definicji: x ≠ 0

Zbiór wartości: y ≠ 0

Parzystość: nieparzysta, y(–x) = – y(x)

Monotoniczność: monotonicznie malejąca

Skrajności: nie

Wypukły:

o godz< 0: выпукла вверх

dla x > 0: wypukła w dół

Punkty kolanowe: nie

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: nie

o godz< 0, y < 0

dla x > 0, y > 0

Prywatne wartości:

przy x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

dla x = 1, y(1) = 1 n = 1

Parzysty licznik, n = -2, -4, -6, ...

Właściwości funkcji potęgowej y = x p z wymiernym wykładnikiem ujemnym , gdzie n = -2, -4, -6, ... jest parzystą liczbą ujemną, m = 3, 5, 7 ... jest nieparzystą liczbą naturalną.

Dziedzina definicji: x ≠ 0

Zbiór wartości: y > 0

Parzystość: parzysta, y(–x) = y(x)

Monotonia:

o godz< 0: монотонно возрастает

dla x > 0: monotonicznie malejąca

Skrajności: nie

Wypukłość: wypukła w dół

Punkty kolanowe: nie

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: nie

Znak: y > 0

Wartość p jest dodatnia, mniejsza niż jeden, 0< p < 1

Wykres funkcji mocy z wymiernym wykładnikiem (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Licznik nieparzysty, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Obszar definicji: –∞< x < +∞

Zestaw wartości: –∞< y < +∞

Parzystość: nieparzysta, y(–x) = – y(x)

Monotoniczność: rosnąca monotonicznie

Skrajności: nie

Wypukły:

o godz< 0: выпукла вниз

dla x > 0: wypukła w górę

Punkty przegięcia: x = 0, y = 0

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: x = 0, y = 0

o godz< 0, y < 0

dla x > 0, y > 0

Prywatne wartości:

przy x = –1, y(–1) = –1

dla x = 0, y(0) = 0

dla x = 1, y(1) = 1

Parzysty licznik, n = 2, 4, 6, ...

Przedstawiono własności funkcji potęgowej y = x p o wykładniku wymiernym , mieszczącym się w granicach 0.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Obszar definicji: –∞< x < +∞

Zbiór wartości: 0 ≤ y< +∞

Parzystość: parzysta, y(–x) = y(x)

Monotonia:

o godz< 0: монотонно убывает

dla x > 0: rośnie monotonicznie

Ekstrema: minimum przy x = 0, y = 0

Wypukłość: wypukła w górę przy x ≠ 0

Punkty kolanowe: nie

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: x = 0, y = 0

Znak: dla x ≠ 0, y > 0

W dziedzinie funkcji potęgowej y = x p obowiązują następujące wzory:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Własności funkcji potęgowych i ich wykresy

Funkcja potęgowa z wykładnikiem równym zero, p = 0

Jeżeli wykładnik funkcji potęgowej y = x p jest równy zeru, p = 0 , to funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla wszystkich x ≠ 0 i jest stała, równa jeden:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funkcja potęgowa z naturalnym nieparzystym wykładnikiem, p = n = 1, 3, 5, ...

Rozważmy funkcję potęgową y = x p = x n z wykładnikiem naturalnym nieparzystym n = 1, 3, 5, ... . Taki wskaźnik można również zapisać jako: n = 2k + 1, gdzie k = 0, 1, 2, 3, ... jest nieujemną liczbą całkowitą. Poniżej przedstawiono właściwości i wykresy takich funkcji.

Wykres funkcji potęgowej y = x n z wykładnikiem naturalnym nieparzystym dla różnych wartości wykładnika n = 1, 3, 5, ... .

Domena: -∞ < x < ∞
Wiele wartości: -∞ < y < ∞
Parytet: nieparzyste, y(-x) = - y(x)
Monotonia: wzrasta monotonicznie
Skrajności: Nie
Wypukły:
w -∞< x < 0 выпукла вверх
o 0< x < ∞ выпукла вниз
Punkty przerwania: x=0, y=0
x=0, y=0
Granice:
;
Prywatne wartości:
przy x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
dla x = 0, y(0) = 0 n = 0
dla x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funkcja odwrotna:
dla n = 1 funkcja jest odwrotna do siebie: x = y
dla n ≠ 1 funkcja odwrotna jest pierwiastkiem stopnia n:

Funkcja potęgowa z naturalnym parzystym wykładnikiem, p = n = 2, 4, 6, ...

Rozważmy funkcję potęgową y = x p = x n z naturalnym parzystym wykładnikiem n = 2, 4, 6, ... . Taki wskaźnik można również zapisać jako: n = 2k, gdzie k = 1, 2, 3, ... jest liczbą naturalną. Własności i wykresy takich funkcji podano poniżej.

Wykres funkcji potęgowej y = x n z naturalnym parzystym wykładnikiem dla różnych wartości wykładnika n = 2, 4, 6, ... .

Domena: -∞ < x < ∞
Wiele wartości: 0 ≤ r< ∞
Parytet: parzysta, y(-x) = y(x)
Monotonia:
dla x ≤ 0 maleje monotonicznie
dla x ≥ 0 wzrasta monotonicznie
Skrajności: minimum, x=0, y=0
Wypukły: wypukły w dół
Punkty przerwania: Nie
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: x=0, y=0
Granice:
;
Prywatne wartości:
dla x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
dla x = 0, y(0) = 0 n = 0
dla x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funkcja odwrotna:
dla n = 2, Pierwiastek kwadratowy:
dla n ≠ 2 pierwiastek stopnia n:

Funkcja potęgowa z całkowitym wykładnikiem ujemnym, p = n = -1, -2, -3, ...

Rozważmy funkcję potęgową y = x p = x n z ujemnym wykładnikiem całkowitym n = -1, -2, -3, ... . Jeśli wstawimy n = -k, gdzie k = 1, 2, 3, ... jest liczbą naturalną, to można ją przedstawić jako:

Wykres funkcji potęgowej y = x n z ujemnym wykładnikiem całkowitym dla różnych wartości wykładnika n = -1, -2, -3, ... .

Wykładnik nieparzysty, n = -1, -3, -5, ...

Poniżej przedstawiono właściwości funkcji y = x n z nieparzystym wykładnikiem ujemnym n = -1, -3, -5, ... .

Domena: x ≠ 0
Wiele wartości: y ≠ 0
Parytet: nieparzyste, y(-x) = - y(x)
Monotonia: maleje monotonicznie
Skrajności: Nie
Wypukły:
o godz< 0 : выпукла вверх
dla x > 0 : wypukła w dół
Punkty przerwania: Nie
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: Nie
Podpisać:
o godz< 0, y < 0
dla x > 0, y > 0
Granice:
; ; ;
Prywatne wartości:
dla x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funkcja odwrotna:
dla n = -1,
dla przym< -2 ,

Parzysty wykładnik, n = -2, -4, -6, ...

Poniżej znajdują się własności funkcji y = x n o parzystym ujemnym wykładniku n = -2, -4, -6, ... .

Domena: x ≠ 0
Wiele wartości: y > 0
Parytet: parzysta, y(-x) = y(x)
Monotonia:
o godz< 0 : монотонно возрастает
dla x > 0 : malejący monotonicznie
Skrajności: Nie
Wypukły: wypukły w dół
Punkty przerwania: Nie
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: Nie
Podpisać: y > 0
Granice:
; ; ;
Prywatne wartości:
dla x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funkcja odwrotna:
dla n = -2,
dla przym< -2 ,

Funkcja potęgowa z wykładnikiem wymiernym (ułamkowym).

Rozważmy funkcję potęgową y = x p z wykładnikiem wymiernym (ułamkowym), gdzie n jest liczbą całkowitą, m > 1 jest liczbą naturalną. Ponadto n, m nie mają wspólnych dzielników.

Mianownik wskaźnika ułamkowego jest nieparzysty

Niech mianownik wykładnika ułamkowego będzie nieparzysty: m = 3, 5, 7, ... . W tym przypadku funkcja potęgowa x p jest zdefiniowana zarówno dla dodatniej, jak i ujemnej wartości x. Rozważ właściwości takich funkcji potęgowych, gdy wykładnik p mieści się w pewnych granicach.

p jest ujemne, p< 0

Niech wykładnik wymierny (o nieparzystym mianowniku m = 3, 5, 7, ... ) będzie mniejszy od zera: .

Wykresy funkcji wykładniczych z wykładnikiem wymiernym ujemnym dla różnych wartości wykładnika , gdzie m = 3, 5, 7, ... jest nieparzyste.

Licznik nieparzysty, n = -1, -3, -5, ...

Oto właściwości funkcji potęgowej y = x p z wykładnikiem wymiernym ujemnym , gdzie n = -1, -3, -5, ... jest nieparzystą ujemną liczbą całkowitą, m = 3, 5, 7 ... jest nieparzysta liczba naturalna.

Domena: x ≠ 0
Wiele wartości: y ≠ 0
Parytet: nieparzyste, y(-x) = - y(x)
Monotonia: maleje monotonicznie
Skrajności: Nie
Wypukły:
o godz< 0 : выпукла вверх
dla x > 0 : wypukła w dół
Punkty przerwania: Nie
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: Nie
Podpisać:
o godz< 0, y < 0
dla x > 0, y > 0
Granice:
; ; ;
Prywatne wartości:
dla x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
dla x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funkcja odwrotna:

Parzysty licznik, n = -2, -4, -6, ...

Własności funkcji potęgowej y = x p z wymiernym ujemnym wykładnikiem, gdzie n = -2, -4, -6, ... jest parzystą ujemną liczbą całkowitą, m = 3, 5, 7 ... jest nieparzystą liczbą naturalną .

Domena: x ≠ 0
Wiele wartości: y > 0
Parytet: parzysta, y(-x) = y(x)
Monotonia:
o godz< 0 : монотонно возрастает
dla x > 0 : malejący monotonicznie
Skrajności: Nie
Wypukły: wypukły w dół
Punkty przerwania: Nie
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: Nie
Podpisać: y > 0
Granice:
; ; ;
Prywatne wartości:
dla x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
dla x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funkcja odwrotna:

Wartość p jest dodatnia, mniejsza niż jeden, 0< p < 1

Wykres funkcji potęgowej z wykładnikiem wymiernym (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Licznik nieparzysty, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Wiele wartości: -∞ < y < +∞
Parytet: nieparzyste, y(-x) = - y(x)
Monotonia: wzrasta monotonicznie
Skrajności: Nie
Wypukły:
o godz< 0 : выпукла вниз
dla x > 0 : wypukła w górę
Punkty przerwania: x=0, y=0
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: x=0, y=0
Podpisać:
o godz< 0, y < 0
dla x > 0, y > 0
Granice:
;
Prywatne wartości:
dla x = -1, y(-1) = -1
dla x = 0, y(0) = 0
dla x = 1, y(1) = 1
Funkcja odwrotna:

Parzysty licznik, n = 2, 4, 6, ...

Przedstawiono własności funkcji potęgowej y = x p o wykładniku wymiernym , mieszczącym się w granicach 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Wiele wartości: 0 ≤ r< +∞
Parytet: parzysta, y(-x) = y(x)
Monotonia:
o godz< 0 : монотонно убывает
dla x > 0 : rosnący monotonicznie
Skrajności: minimum przy x = 0, y = 0
Wypukły: wypukła w górę przy x ≠ 0
Punkty przerwania: Nie
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: x=0, y=0
Podpisać: dla x ≠ 0, y > 0
Granice:
;
Prywatne wartości:
dla x = -1, y(-1) = 1
dla x = 0, y(0) = 0
dla x = 1, y(1) = 1
Funkcja odwrotna:

Wykładnik p jest większy niż jeden, p > 1

Wykres funkcji potęgowej z wykładnikiem wymiernym (p > 1 ) dla różnych wartości wykładnika , gdzie m = 3, 5, 7, ... jest nieparzyste.

Licznik nieparzysty, n = 5, 7, 9, ...

Własności funkcji potęgowej y = x p z wykładnikiem wymiernym większym niż jeden: . Gdzie n = 5, 7, 9, ... jest nieparzystą liczbą naturalną, m = 3, 5, 7 ... jest nieparzystą liczbą naturalną.

Domena: -∞ < x < ∞
Wiele wartości: -∞ < y < ∞
Parytet: nieparzyste, y(-x) = - y(x)
Monotonia: wzrasta monotonicznie
Skrajności: Nie
Wypukły:
w -∞< x < 0 выпукла вверх
o 0< x < ∞ выпукла вниз
Punkty przerwania: x=0, y=0
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: x=0, y=0
Granice:
;
Prywatne wartości:
dla x = -1, y(-1) = -1
dla x = 0, y(0) = 0
dla x = 1, y(1) = 1
Funkcja odwrotna:

Parzysty licznik, n = 4, 6, 8, ...

Własności funkcji potęgowej y = x p z wykładnikiem wymiernym większym niż jeden: . Gdzie n = 4, 6, 8, ... jest parzystą liczbą naturalną, m = 3, 5, 7 ... jest nieparzystą liczbą naturalną.

Domena: -∞ < x < ∞
Wiele wartości: 0 ≤ r< ∞
Parytet: parzysta, y(-x) = y(x)
Monotonia:
o godz< 0 монотонно убывает
dla x > 0 wzrasta monotonicznie
Skrajności: minimum przy x = 0, y = 0
Wypukły: wypukły w dół
Punkty przerwania: Nie
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: x=0, y=0
Granice:
;
Prywatne wartości:
dla x = -1, y(-1) = 1
dla x = 0, y(0) = 0
dla x = 1, y(1) = 1
Funkcja odwrotna:

Mianownik wskaźnika ułamkowego jest parzysty

Niech mianownik wykładnika ułamkowego będzie parzysty: m = 2, 4, 6, ... . W tym przypadku funkcja potęgowa x p nie jest zdefiniowana dla ujemnych wartości argumentu. Jego właściwości pokrywają się z właściwościami funkcji potęgowej z niewymiernym wykładnikiem (patrz następna sekcja).

Funkcja potęgowa z niewymiernym wykładnikiem

Rozważmy funkcję potęgową y = x p z niewymiernym wykładnikiem p . Właściwości takich funkcji różnią się od tych rozważanych powyżej tym, że nie są zdefiniowane dla ujemnych wartości argumentu x. Dla dodatnich wartości argumentu właściwości zależą tylko od wartości wykładnika p i nie zależą od tego, czy p jest liczbą całkowitą, wymierną czy niewymierną.

y = x p dla różnych wartości wykładnika p .

Funkcja potęgowa z ujemnym p< 0

Domena: x > 0
Wiele wartości: y > 0
Monotonia: maleje monotonicznie
Wypukły: wypukły w dół
Punkty przerwania: Nie
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: Nie
Granice: ;
wartość prywatna: Dla x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funkcja potęgowa z dodatnim wykładnikiem p > 0

Wskaźnik jest mniejszy od jednego 0< p < 1

Domena: x ≥ 0
Wiele wartości: y ≥ 0
Monotonia: wzrasta monotonicznie
Wypukły: wypukły w górę
Punkty przerwania: Nie
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: x=0, y=0
Granice:
Prywatne wartości: Dla x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Dla x = 1, y(1) = 1 p = 1

Wskaźnik jest większy niż jeden p > 1

Domena: x ≥ 0
Wiele wartości: y ≥ 0
Monotonia: wzrasta monotonicznie
Wypukły: wypukły w dół
Punkty przerwania: Nie
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: x=0, y=0
Granice:
Prywatne wartości: Dla x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Dla x = 1, y(1) = 1 p = 1

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów szkół wyższych, Lan, 2009.