Formulējiet tā elementu nošķelta konusa definīciju. Frustum
Koniska virsma ir virsma, ko veido visas taisnes, kas iet caur katru dotās līknes punktu un punktu ārpus līknes (32. att.).
Šo līkni sauc vadīt , taisni - Formēšana , punkts - tops koniska virsma.
Taisna apļveida koniska virsma ir virsma, ko veido visas taisnes, kas iet cauri katram dotā riņķa punktam, un punkts uz taisnes, kas ir perpendikulāra riņķa plaknei un iet caur tā centru. Turpmāk mēs īsi sauksim šo virsmu koniska virsma (33. att.).
Konuss (taisns apļveida konuss ) ir ģeometrisks ķermenis, ko ierobežo koniska virsma un plakne, kas ir paralēla virzošā apļa plaknei (34. att.).
 |
|||
Rīsi. 32 att. 33 att. 34
Konusu var uzskatīt par ķermeni, kas iegūts, pagriežot taisnleņķa trīsstūri ap asi, kurā atrodas viena no trijstūra kājām.
Apli, kas aptver konusu, sauc par to pamata . Par koniskas virsmas virsotni sauc tops konuss Tiek saukts segments, kas savieno konusa virsotni ar tā pamatnes centru augstums konuss Segmentus, kas veido konisku virsmu, sauc Formēšana konuss Ass konuss ir taisna līnija, kas iet caur konusa augšdaļu un tā pamatnes centru. Aksiālā daļa sauc par posmu, kas iet caur konusa asi. Sānu virsmas attīstība Par konusu sauc sektoru, kura rādiuss ir vienāds ar konusa ģenerātora garumu, bet sektora loka garums ir vienāds ar konusa pamatnes apkārtmēru.
Pareizās formulas konusam ir:
Kur R– bāzes rādiuss;
H- augstums;
l– ģenerātora garums;
S bāze– bāzes platība;
S pusē
S pilns
V– konusa tilpums.
Nocirsts konuss sauc konusa daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni paralēli konusa pamatnei (35. att.).
 |
Nošķelto konusu var uzskatīt par ķermeni, kas iegūts, pagriežot taisnstūrveida trapecveida formu ap asi, kas satur trapeces malu, kas ir perpendikulāra pamatnēm.
Divus apļus, kas aptver konusu, sauc par tā iemeslus . Augstums nošķelta konusa ir attālums starp tā pamatnēm. Tiek saukti segmenti, kas veido nošķelta konusa konisko virsmu Formēšana . Tiek saukta taisna līnija, kas iet caur pamatu centriem ass nošķelts konuss. Aksiālā daļa sauc par posmu, kas iet caur nošķelta konusa asi.
Atdalītam konusam pareizās formulas ir:
(8)
Kur R– apakšējās pamatnes rādiuss;
r– augšējās pamatnes rādiuss;
H– augstums, l – ģenerātora garums;
S pusē– sānu virsmas laukums;
S pilns– kopējais virsmas laukums;
V– nošķelta konusa tilpums.
1. piemērs. Konusa šķērsgriezums paralēli pamatnei sadala augstumu proporcijā 1:3, skaitot no augšas. Atrodiet nošķelta konusa sānu virsmas laukumu, ja pamatnes rādiuss un konusa augstums ir 9 cm un 12 cm.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (36. att.).
Lai aprēķinātu nošķelta konusa sānu virsmas laukumu, mēs izmantojam formulu (8). Atradīsim pamatu rādiusus Apmēram 1 A Un Apmēram 1 V un veidošanās AB.
Apsveriet līdzīgus trīsstūrus SO2B Un SO 1 A, līdzības koeficients, tad 
No šejienes 
Kopš tā laika 
Nošķelta konusa sānu virsmas laukums ir vienāds ar:
Atbilde: .
2. piemērs. Ceturtdaļa rādiusa aplis ir salocīts koniskā virsmā. Atrodiet pamatnes rādiusu un konusa augstumu.
Risinājums. Apļa kvadrants ir konusa sānu virsmas attīstība. Apzīmēsim r- tā pamatnes rādiuss, H – augstums. Aprēķināsim sānu virsmas laukumu, izmantojot formulu: . Tas ir vienāds ar ceturtdaļas apļa laukumu: . Mēs iegūstam vienādojumu ar diviem nezināmajiem r Un l(veidojot konusu). Šajā gadījumā ģenerātors ir vienāds ar ceturkšņa apļa rādiusu R, kas nozīmē, ka mēs iegūstam šādu vienādojumu: , no kurienes Zinot pamatnes un ģeneratora rādiusu, mēs atrodam konusa augstumu:
Atbilde: 2 cm,.
3. piemērs. Taisnstūra trapece ar akūtu leņķi 45 O, mazāku pamatni 3 cm un slīpu malu, kas vienāda ar , griežas ap malu, kas ir perpendikulāra pamatiem. Atrodiet iegūtā apgriezienu ķermeņa tilpumu.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (37. att.).
Rotācijas rezultātā iegūstam nošķeltu konusu, lai atrastu tā tilpumu, aprēķinām lielākās pamatnes rādiusu un augstumu. Trapecē O 1 O 2 AB mēs diriģēsim AC^O 1 B. B mums ir: tas nozīmē, ka šis trīsstūris ir vienādsānu A.C.=B.C.= 3 cm.
Atbilde:
4. piemērs. Trīsstūris ar malām 13 cm, 37 cm un 40 cm griežas ap ārējo asi, kas ir paralēla lielākajai malai un atrodas 3 cm attālumā no tās (ass atrodas trijstūra plaknē). Atrodiet iegūtā revolūcijas ķermeņa virsmas laukumu.
Risinājums
.
Veidosim zīmējumu (38. att.).
Iegūtā apgriezienu korpusa virsma sastāv no divu nošķeltu konusu sānu virsmām un cilindra sānu virsmas. Lai aprēķinātu šīs platības, ir jāzina konusu un cilindra pamatu rādiusi ( BE Un O.C.), veidojot konusus ( B.C. Un A.C.) un cilindra augstums ( AB). Vienīgais nezināmais ir CO. 
tas ir attālums no trijstūra malas līdz rotācijas asij. Mēs atradīsim DC. Trijstūra ABC laukums vienā pusē ir vienāds ar pusi malas AB un tai novilktā augstuma reizinājumu DC, no otras puses, zinot visas trijstūra malas, mēs aprēķinām tā laukumu, izmantojot Herona formulu.
Ievads
Rīsi. 1. Dzīves objekti, kuriem ir saīsināta ko-nu-sa forma
No kurienes, jūsuprāt, rodas jaunas figūras ģeometrijā? Viss ir ļoti vienkārši: cilvēks dzīvē ir kļuvis ar līdzīgiem priekšmetiem un nāk, it kā tos sauc. Apskatīsim skapi, uz kura sēž cirka lauvas, burkānu gabalu, kas tiek novākts, kad mēs esam gandrīz - tā daļa, aktīvs vulkāns un, piemēram, gaisma no fo-na-ri- ka (skat. 1. att.).
Nošķelts konuss, tā elementi un aksiālais griezums
Rīsi. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry
Redzam, ka visas šīs figūras ir līdzīgas formas - gan no apakšas, gan no augšas tās norobežo apļi, bet uz augšu sašaurinās (skat. 2. att.).
Rīsi. 3. No co-nu-sa augšdaļas
Tas izskatās kā konuss. Vienkārši nav pietiekami daudz augstākās kvalitātes. Mēs garīgi iedomājamies, ka paņemam konusu un ar vienu asa zobena šūpošanos noņemam no tā augšējo daļu (skat. 3. att.).
Rīsi. 4. Nocirsts konuss
Tieši tāda ir mūsu figūra, ko sauc par nošķelto konusu (skat. 4. att.).
Rīsi. 5. Se-che-nie, paralēlais-os-no-va-niyu ko-nu-sa
Lai čiekuriņš tiek dots. Izveidosim plakni, šī co-nu-sa ass paralēlo plakni un šķērsgriezuma konusu (sk. 5. att.).
Tas sadalīs konusu divos ķermeņos: viens no tiem ir mazāka izmēra konuss, bet otrs tiek saukts par nošķeltu konusu (sk. 6. att.).
Rīsi. 6. Iegūti ķermeņi paralēlā griezumā
Tādējādi nošķelts konuss ir konusa daļa, kas savienota starp tā galveno korpusu un paralēlo galveno korpusu, bet plakana. Tāpat kā konusa gadījumā, nošķelta konusa pamatā var būt aplis - šajā gadījumā to sauc par apli. Ja sākotnējais konuss bija taisns, tad nošķelto konusu sauc par taisnu. Tāpat kā ko-nu-sa-mi gadījumā, mēs apskatīsim taustiņus, bet taisni apļveida saīsinātu ko-nu-s sy, ja nav īpaši norādīts, ka runa ir par netiešu noīsinātu co-nu-se vai tā pamatā nav apļu.
Rīsi. 7. Taisnstūra lamatas rotācija
Mūsu globālā tēma ir rotācijas ķermeņi. Nocirsts konuss nav izņēmums! Atcerēsimies, ka, lai iegūtu co-nu-sa, mēs smo-mat-ri-va-li taisnstūrveida trīsstūri un pagriežam to ap ka-te-ta? Ja iegūto konusu sagriež ar plakni, kas ir paralēla asij, tad no trijstūra -mo-coal-trape-tion nepaliks taisna līnija. Tā rotācija ap mazāko pusi dos mums nošķeltu konusu. Atzīmēsim vēlreiz, ka mēs, protams, runājam tikai par tiešu apļveida co-nu-se (sk. 7. att.).
Rīsi. 8. Os-no-va-niya saīsināts-no-go ko-nu-sa
Es izdarīšu dažus sagatavošanās darbus. Pus-ko-nu-sa un apļa pamats, half-cha-yu-shay ko-nu-sa dzīvokļa daļā, tie sauc par os-no-va-ni-ya-mi atdalītu. ko-nu-sa (apakšējā un augšējā) (sk. 8. att.).
Rīsi. 9. Ob-ra-zu-yu-schi saīsināts ko-nu-sa
No co-nu-sa puses ra-zu-yu-shih spraudeņiem, kas savienoti starp os-but-va-ni-mi saīsināto-but-go ko-nu-sa, viņi sauc par about-ra- zu-yu-schi-mi saīsināts-no-go ko-nu-sa. Tā kā visi izglītības rezultāti ir vienādi un visi izglītības rezultāti ir vienādi, tad ob-ra-zu-yu saīsinātie co-nu-sa ir vienādi (nejauciet saīsināto un atdalīto!). No šejienes izriet sekcijas ass tra-pe-cijas vienādība (skat. 9. att.).
No rotācijas ass, kas ietverta saīsinātā co-nu-sa iekšpusē, viņi to sauc par saīsinātās ass ko-nu-sa asi. Šis pārgriezums, ra-zu-me-et-sya, apvieno tā pamatelementu centrus (sk. 10. att.).
Rīsi. 10. Nocirstas ko-nu-sa ass
You-so-ta saīsināts ko-nu-sa ir per-pen-di-ku-lyar, pro-ve-den no viena no os-no-vaniya punkta uz citu bāzi. Visbiežāk savā kvalitātē tu esi nogriezis tās asi.
Rīsi. 11. Ose-voe se-che-nie truncated-no-go-ko-nu-sa
Saīsinātā co-nu-sa aksiālā daļa ir sadaļa, kas iet caur tās asi. Tam ir trapecveida forma, nedaudz vēlāk parādīsim tās vienādību (skat. 11. att.).
Nocirsta konusa sānu un kopējo virsmu laukumi
Rīsi. 12. Konuss ar ieviestiem simboliem
Nocirstas ko-nu-sa augšpusē atradīsim bo-co-voy laukumu. Ļaujiet saīsinātā co-nu-sa bāzēm rādiusi un , un ļaujiet ob-ra-zu-yu būt vienādam (sk. 12. att.).
Rīsi. 13. Ob-ra-zu-yu-shchei no-se-chen-no-th ko-nu-sa apzīmējums.
Atradīsim bo-ko-voy laukumu virs saīsinātā co-nu-sa kā atšķirību starp bo-ko-voy laukumu augšpusē-bet-ste-khod-no-go ko-nu-sa un from-se-chen-no-go. Lai to izdarītu, mēs apzīmējam caur ko-nu-sa veidošanos (sk. 13. att.).
Tad ir-ko-maijs.
Rīsi. 14.Līdzīgi trīsstūri
Jums atliek tikai to izdomāt.
Ņemsim vērā, ka no po-do-biy tri-corn-ni-kov, no-to-yes (sk. 14. att.).
To varētu izteikt, sadalot starpībā starp rādiusiem, bet mums tas nav vajadzīgs, jo izteikumā tas ir tieši fi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve- de-nie. To aizstājot, mums beidzot ir: .
Tagad nav grūti iegūt formu pilnai virsmas laukumam. Lai to izdarītu, pievienojiet tieši divu pamatņu apļu laukumu: .
Uzdevums
Rīsi. 15. Ilustrācija uz for-da-che
Ļaujiet nošķelto konusu pagriezt ar taisnstūra slazdu ap tā augstumu. Trapeces viduslīnija ir vienāda ar , bet lielākā mala ir vienāda ar (skat. 15. att.). Atrodiet saīsinātā ko-nu-sa augšdaļas no-sti apgabalu.
Risinājums
No formulas mēs to zinām 
.
Ko-nu-sa veidošanās būs liela simts-ro-notiek tra-pe-cija, tas ir, Ra-di-u-sy ko- well-sa - tas ir tra-sa pamats. pe-cija. Mēs tos nevaram atrast. Bet mums tas nav vajadzīgs: mums ir vajadzīga tikai to summa, un trapeces pamatu summa ir divreiz lielāka par tās viduslīniju, tas ir, tā ir vienāda ar . Tad .
Nocirsto konusu un piramīdu līdzības
Pievērsiet uzmanību faktam, ka, runājot par co-nu-se, mēs par to runājam starp viņu un pi -ra-mi-doy - formulas bija līdzīgas. Šeit ir tas pats, jo nošķelts konuss ir ļoti līdzīgs nošķeltam pi-ra-mi-du, tāpēc apgabala formulas ir lielas un pilnīgas, nošķeltas ko-nu-sa un pi-ra-mi. -dy (un drīz būs formulas apjomam) analog-lo-gic- us.
Uzdevums
Rīsi. 1. Illu-strat-tion uz for-da-che
Ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa ir vienāds ar un , un ob-ra-zu-yu-shchaya ir vienāds ar . Atrodiet saīsināto co-nu-sa un tās ass laukumu (sk. 1. att.).
Kas izplūst no viena punkta (konusa augšdaļas) un kas iet cauri plakanai virsmai.
Gadās, ka konuss ir ķermeņa daļa, kurai ir ierobežots tilpums un kuru iegūst, apvienojot katru segmentu, kas savieno plakanas virsmas virsotni un punktus. Pēdējais šajā gadījumā ir konusa pamatne, un tiek teikts, ka konuss balstās uz šīs pamatnes.
Ja konusa pamats ir daudzstūris, tas jau ir piramīda .
|
Apļveida konuss- tas ir ķermenis, kas sastāv no apļa (konusa pamatnes), punkta, kas neatrodas šī apļa plaknē (konusa augšdaļa un visi segmenti, kas savieno konusa augšdaļu ar apļa punktiem bāze). Tiek saukti segmenti, kas savieno konusa virsotni un pamata apļa punktus veidojot konusu. Konusa virsma sastāv no pamatnes un sānu virsmas. |
Sānu virsmas laukums ir pareizs n- oglekļa piramīda, kas ierakstīta konusā:
S n =½P n l n,
Kur P n- piramīdas pamatnes perimetrs un l n- apotēms.
Pēc tāda paša principa: nošķelta konusa ar pamatrādiusiem sānu virsmas laukumam R 1, R 2 un veidošanās l mēs iegūstam šādu formulu:
S=(R1+R2)l.
Taisni un slīpi apļveida konusi ar vienādu pamatni un augstumu. Šiem ķermeņiem ir vienāds tilpums:
Konusa īpašības.
- Ja pamatnes laukumam ir ierobežojums, tas nozīmē, ka arī konusa tilpumam ir ierobežojums un tas ir vienāds ar pamatnes augstuma un laukuma reizinājuma trešo daļu.
Kur S- bāzes platība, H- augstums.
Tādējādi katram konusam, kas balstās uz šīs pamatnes un kura virsotne atrodas plaknē, kas ir paralēla pamatnei, ir vienāds tilpums, jo to augstumi ir vienādi.
- Katra konusa, kura tilpums ir ierobežots, smaguma centrs atrodas ceturtdaļā no augstuma no pamatnes.
- Telpas leņķi taisnā riņķa konusa virsotnē var izteikt ar šādu formulu:
Kur α - konusa atvēršanas leņķis.
- Šāda konusa sānu virsmas laukums, formula:
un kopējais virsmas laukums (tas ir, sānu virsmas un pamatnes laukumu summa), formula:
S=πR(l+R),
Kur R- pamatnes rādiuss, l— ģenerātora garums.
- Apļveida konusa tilpums, formula:
- Nogrieztam konusam (ne tikai taisnam vai apaļam), tilpums, formula:
Kur S 1 Un S 2- augšējās un apakšējās pamatnes laukums,
h Un H- attālumi no augšējās un apakšējās pamatnes plaknes līdz augšai.
- Plaknes krustpunkts ar taisnu riņķveida konusu ir viens no konusveida posmiem.
Ģeometrija ir matemātikas nozare, kas pēta telpas struktūras un attiecības starp tām. Savukārt tā arī sastāv no sadaļām, un viena no tām ir stereometrija. Tas ietver kosmosā izvietotu trīsdimensiju figūru īpašību izpēti: kubs, piramīda, bumba, konuss, cilindrs utt.
Konuss ir ķermenis Eiklīda telpā, ko ierobežo koniska virsma un plakne, uz kuras atrodas tā ģeneratoru gali. Tā veidošanās notiek taisnleņķa trijstūra rotācijas laikā ap jebkuru tā kāju, tāpēc tas pieder pie apgriezienu ķermeņiem.
Konusa sastāvdaļas
Ir šādi konusi veidi: slīpi (vai slīpi) un taisni. Slīps ir tāds, kura ass nekrustojas ar tās pamatnes centru taisnā leņķī. Šī iemesla dēļ augstums šādā konusā nesakrīt ar asi, jo tas ir segments, kas ir nolaists no korpusa augšdaļas uz tā pamatnes plakni 90° leņķī.
Konusu, kura ass ir perpendikulāra tā pamatnei, sauc par taisnu. Ass un augstums šādā ģeometriskā korpusā sakrīt tāpēc, ka virsotne tajā atrodas virs pamatnes diametra centra.
Konuss sastāv no šādiem elementiem:
- Aplis, kas ir tā pamats.
- Sānu virsma.
- Punkts, kas neatrodas pamatnes plaknē, ko sauc par konusa virsotni.
- Segmenti, kas savieno ģeometriskā ķermeņa pamatnes apļa punktus un tā virsotni.
Visi šie segmenti ir konusa ģeneratori. Tie ir slīpi pret ģeometriskā ķermeņa pamatni, un taisnā konusa gadījumā to projekcijas ir vienādas, jo virsotne atrodas vienādā attālumā no pamatnes apļa punktiem. Tādējādi varam secināt, ka regulārā (taisnā) konusā ģeneratori ir vienādi, tas ir, tiem ir vienāds garums un tie veido vienādus leņķus ar asi (vai augstumu) un pamatni.
Tā kā slīpā (vai slīpā) rotācijas ķermenī virsotne ir nobīdīta attiecībā pret pamatplaknes centru, ģeneratoriem šādā korpusā ir dažādi garumi un izvirzījumi, jo katrs no tiem atrodas atšķirīgā attālumā no jebkuriem diviem rotācijas punktiem. pamatnes aplis. Turklāt atšķirsies arī leņķi starp tiem un konusa augstums.
Ģenerātru garums taisnā konusā
Kā rakstīts iepriekš, augstums taisnā ģeometriskā apgriezienu korpusā ir perpendikulārs pamatnes plaknei. Tādējādi pamatnes ģenerators, augstums un rādiuss veido taisnleņķa trīsstūri konusā.
Tas ir, zinot bāzes rādiusu un augstumu, izmantojot formulu no Pitagora teorēmas, jūs varat aprēķināt ģenerātora garumu, kas būs vienāds ar bāzes rādiusa un augstuma kvadrātu summu:
l 2 = r 2 + h 2 vai l = √r 2 + h 2
kur l ir ģenerators;
r - rādiuss;
h - augstums.
Ģenerators slīpā konusā
Pamatojoties uz to, ka slīpā vai slīpā konusā ģeneratoriem nav vienāda garuma, tos nevarēs aprēķināt bez papildu konstrukcijām un aprēķiniem.
Pirmkārt, jums jāzina augstums, ass garums un pamatnes rādiuss.
r 1 = √k 2 - h 2
kur r 1 ir rādiusa daļa starp asi un augstumu;
k - ass garums;
h - augstums.
Saskaitot rādiusu (r) un tā daļu, kas atrodas starp asi un augstumu (r 1), var uzzināt visu ģenerēto konusa ģenerātoru, tā augstumu un diametra daļu:
kur R ir trijstūra kāja, ko veido pamatnes augstums, ģenerators un daļa no diametra;
r - pamatnes rādiuss;
r 1 - daļa no rādiusa starp asi un augstumu.
Izmantojot to pašu formulu no Pitagora teorēmas, jūs varat atrast konusa ģenerātora garumu:
l = √h 2 + R 2
vai, atsevišķi neaprēķinot R, apvienojiet abas formulas vienā:
l = √h 2 + (r + r 1) 2.
Neatkarīgi no tā, vai konuss ir taisns vai slīps un kādi ir ievades dati, visas metodes ģenerātora garuma atrašanai vienmēr ir saistītas ar vienu rezultātu - Pitagora teorēmas izmantošanu.
Konusa sadaļa
Aksiālā ir plakne, kas iet gar tās asi vai augstumu. Taisnā konusā šāds posms ir vienādsānu trīsstūris, kurā trijstūra augstums ir ķermeņa augstums, tā malas ir ģeneratori, bet pamatne ir pamatnes diametrs. Vienādmalu ģeometriskā korpusā aksiālā daļa ir vienādmalu trīsstūris, jo šajā konusā pamatnes diametrs un ģeneratori ir vienādi.
Aksiālās sekcijas plakne taisnā konusā ir tās simetrijas plakne. Iemesls tam ir tas, ka tā augšdaļa atrodas virs tā pamatnes centra, tas ir, aksiālās sekcijas plakne sadala konusu divās identiskās daļās.
Tā kā slīpā tilpuma korpusā augstums un ass nesakrīt, aksiālā griezuma plakne var neiekļaut augstumu. Ja šādā konusā var uzbūvēt daudz aksiālo posmu, jo tam ir jāizpilda tikai viens nosacījums - tam jātiek tikai caur asi, tad plaknes aksiālo posmu, kurai piederēs šī konusa augstums, var uzzīmēt tikai viens, jo nosacījumu skaits palielinās, un, kā zināms, divas taisnes (kopā) var piederēt tikai vienai plaknei.
Šķērsgriezuma laukums
Iepriekš minētais konusa aksiālais posms ir trīsstūris. Pamatojoties uz to, tā laukumu var aprēķināt, izmantojot trijstūra laukuma formulu:
S = 1/2 * d * h vai S = 1/2 * 2r * h
kur S ir šķērsgriezuma laukums;
d - pamatnes diametrs;
r - rādiuss;
h - augstums.
Slīpā vai slīpā konusā šķērsgriezums pa asi ir arī trīsstūris, tāpēc šķērsgriezuma laukums tajā tiek aprēķināts līdzīgi.
Skaļums
Tā kā konuss ir trīsdimensiju figūra trīsdimensiju telpā, tā tilpumu var aprēķināt. Konusa tilpums ir skaitlis, kas raksturo šo ķermeni tilpuma vienībā, tas ir, m3. Aprēķins nav atkarīgs no tā, vai tas ir taisns vai slīps (slīps), jo šo divu veidu ķermeņu formulas neatšķiras.
Kā minēts iepriekš, taisnā konusa veidošanās notiek taisnleņķa trīsstūra rotācijas dēļ gar vienu no tā kājām. Slīps vai slīps konuss tiek veidots atšķirīgi, jo tā augstums ir novirzīts prom no ķermeņa pamatnes plaknes centra. Tomēr šādas struktūras atšķirības neietekmē tā apjoma aprēķināšanas metodi.
Tilpuma aprēķins
Jebkurš konuss izskatās šādi:
V = 1/3 * π * h * r 2
kur V ir konusa tilpums;
h - augstums;
r - rādiuss;
π ir konstante, kas vienāda ar 3,14.
Lai aprēķinātu ķermeņa augstumu, jums jāzina pamatnes rādiuss un tā ģenerātora garums. Tā kā rādiuss, augstums un ģenerators ir apvienoti taisnleņķa trīsstūrī, augstumu var aprēķināt, izmantojot formulu no Pitagora teorēmas (a 2 + b 2 = c 2 vai mūsu gadījumā h 2 + r 2 = l 2, kur l ir ģenerators). Augstumu aprēķina, ņemot kvadrātsakni no hipotenūzas un otrās kājas kvadrātu starpības:
a = √c 2 - b 2
Tas ir, konusa augstums būs vienāds ar vērtību, kas iegūta pēc kvadrātsaknes no starpības starp ģeneratora garuma kvadrātu un pamatnes rādiusa kvadrātu:
h = √l 2 - r 2
Aprēķinot augstumu, izmantojot šo metodi, un zinot tā pamatnes rādiusu, varat aprēķināt konusa tilpumu. Ģeneratoram šajā gadījumā ir svarīga loma, jo tas kalpo kā palīgelements aprēķinos.
Tāpat, ja ir zināms ķermeņa augstums un tā ģenerātra garums, tā pamatnes rādiusu var uzzināt, ņemot kvadrātsakni no starpības starp ģenerātora kvadrātu un augstuma kvadrātu:
r = √l 2 - h 2
Pēc tam, izmantojot to pašu formulu, kā iepriekš, aprēķiniet konusa tilpumu.
Slīpa konusa tilpums
Tā kā konusa tilpuma formula ir vienāda visiem rotācijas ķermeņu veidiem, atšķirība tās aprēķinā ir augstuma meklēšana.
Lai noskaidrotu slīpa konusa augstumu, ievades datos jāiekļauj ģenerātora garums, pamatnes rādiuss un attālums starp pamatnes centru un ķermeņa augstuma krustpunktu ar plakni. no tās bāzes. Zinot to, jūs varat viegli aprēķināt to pamatnes diametra daļu, kas būs taisnleņķa trīsstūra pamatne (ko veido pamatnes augstums, ģenerātors un plakne). Pēc tam atkal, izmantojot Pitagora teorēmu, aprēķiniet konusa augstumu un pēc tam tā tilpumu.
Rīsi. 1. Dzīves objekti, kuriem ir nošķelta konusa forma
Kā jūs domājat, no kurienes ģeometrijā rodas jaunas formas? Viss ir ļoti vienkārši: cilvēks dzīvē sastopas ar līdzīgiem objektiem un izdomā tiem nosaukumu. Apskatīsim stendu, uz kura cirkā sēž lauvas, burkāna gabalu, ko iegūstam, nogriežot tikai daļu no tā, aktīvo vulkānu un, piemēram, lukturīša gaismu (skat. 1. att.).
Rīsi. 2. Ģeometriskās formas
Redzam, ka visas šīs figūras ir līdzīgas formas – gan apakšā, gan augšā tās ir ierobežotas ar apļiem, bet uz augšu sašaurinās (skat. 2. att.).
Rīsi. 3. Konusa augšdaļas nogriešana
Tas izskatās kā konuss. Trūkst tikai augšdaļas. Domās iedomāsimies, ka ņemam konusu un ar vienu asa zobena šūpošanos nogriežam no tā augšējo daļu (skat. 3. att.).
Rīsi. 4. Nocirsts konuss
Rezultāts ir tieši mūsu figūra, to sauc par nošķelto konusu (skat. 4. att.).
Rīsi. 5. Sadaļa paralēla konusa pamatnei
Lai čiekuriņš tiek dots. Nozīmēsim plakni, kas ir paralēla šī konusa pamatnes plaknei un krustojas ar konusu (skat. 5. att.).
Tas sadalīs konusu divos ķermeņos: viens no tiem ir mazāks konuss, bet otrs tiek saukts par nošķeltu konusu (sk. 6. att.).
Rīsi. 6. Iegūtie ķermeņi ar paralēlu griezumu
Tādējādi nošķelts konuss ir konusa daļa, kas atrodas starp tā pamatni un plakni, kas ir paralēla pamatnei. Tāpat kā ar konusu, arī nošķelta konusa pamatnē var būt aplis, un tādā gadījumā to sauc par apļveida. Ja sākotnējais konuss bija taisns, tad nošķelto konusu sauc par taisnu. Tāpat kā konusu gadījumā, mēs apskatīsim tikai taisnus apļveida nošķeltos konusus, ja vien nav īpaši norādīts, ka runa ir par netiešu nošķeltu konusu vai tā pamatnes nav apļi.
Rīsi. 7. Taisnstūra trapeces rotācija
Mūsu globālā tēma ir rotācijas ķermeņi. Nogrieztais konuss nav izņēmums! Atcerēsimies, ka, lai iegūtu konusu, mēs uzskatījām taisnleņķa trīsstūri un pagriezām to ap kāju? Ja iegūto konusu šķērso plakne, kas ir paralēla pamatnei, tad trijstūris paliks taisnstūra trapecveida forma. Tās rotācija ap mazāko pusi dos mums nošķeltu konusu. Vēlreiz atzīmēsim, ka, protams, runa ir tikai par taisnu riņķveida konusu (sk. 7. att.).
Rīsi. 8. Nocirsta konusa pamatnes
Izteiksim dažus komentārus. Pilnīga konusa pamatni un apli, kas izriet no konusa griezuma ar plakni, sauc par nošķelta konusa (apakšējā un augšējā) pamatiem (sk. 8. att.).
Rīsi. 9. Nocirsta konusa ģeneratori
Pilna konusa ģeneratoru segmentus, kas atrodas starp nošķelta konusa pamatnēm, sauc par nošķelta konusa ģeneratoriem. Tā kā visi sākotnējā konusa ģeneratori ir vienādi un visi nogrieztā konusa ģeneratori ir vienādi, tad nogrieztā konusa ģeneratori ir vienādi (nejaukt nogriezto un nogriezto!). Tas nozīmē, ka trapeces aksiālais griezums ir vienādsānu (sk. 9. att.).
Rotācijas ass segmentu, kas atrodas nošķelta konusa iekšpusē, sauc par nošķeltā konusa asi. Šis segments, protams, savieno tā pamatu centrus (skat. 10. att.).
Rīsi. 10.Nocirsta konusa ass
Nocirsta konusa augstums ir perpendikuls, kas novilkts no vienas pamatnes punkta uz otru pamatni. Visbiežāk par tā asi tiek uzskatīts nošķelta konusa augstums.
Rīsi. 11.Nošķelta konusa aksiālais griezums
Nošķelta konusa aksiālais posms ir posms, kas iet caur tā asi. Tam ir trapecveida forma, nedaudz vēlāk pierādīsim, ka tas ir vienādsānu (skat. 11. att.).
Rīsi. 12. Konuss ar ieviestiem apzīmējumiem
Ļaujiet mums atrast nošķeltā konusa sānu virsmas laukumu. Lai nošķeltā konusa pamatiem ir rādiusi un , un ģenerātors ir vienāds (skat. 12. att.).
Rīsi. 13. Nogrieztā konusa ģenerātora apzīmējums
Atradīsim nošķelta konusa sānu virsmas laukumu kā atšķirību starp sākotnējā konusa un nogrieztā konusa sānu virsmu laukumiem. Lai to izdarītu, apzīmēsim ar nogrieztā konusa ģenerātoru (skat. 13. att.).
Tad tas, ko jūs meklējat.
Rīsi. 14.Līdzīgi trīsstūri
Atliek vien izteikties.
Ievērojiet, ka no trijstūra līdzības, no kurienes (skat. 14. att.).
Varētu izteikt , dalot ar rādiusu starpību, bet mums tas nav vajadzīgs, jo produkts, kuru mēs meklējam, parādās mūsu meklētajā izteiksmē. Aizstājot , mums beidzot ir: .
Tagad ir viegli iegūt formulu kopējās virsmas laukumam. Lai to izdarītu, vienkārši pievienojiet divu pamatņu apļu laukumu: .
Rīsi. 15. Problēmas ilustrācija
Ļaujiet iegūt nošķeltu konusu, pagriežot taisnstūra trapecveida formu ap tā augstumu. Trapeces viduslīnija ir vienāda ar , bet lielā sānu mala ir vienāda ar (skat. 15. att.). Atrodiet iegūtā nošķelta konusa sānu virsmas laukumu.
Risinājums
No formulas mēs to zinām 
.
Konusa ģenerātors būs sākotnējās trapeces lielākā mala, tas ir, konusa rādiusi ir trapeces pamati. Mēs tos nevaram atrast. Bet mums tas nav vajadzīgs: mums ir vajadzīga tikai to summa, un trapeces pamatu summa ir divreiz lielāka par tās viduslīniju, tas ir, tā ir vienāda ar . Tad .
Lūdzu, ņemiet vērā, ka, runājot par konusu, mēs vilkām paralēles starp to un piramīdu - formulas bija līdzīgas. Šeit ir tas pats, jo nošķelts konuss ir ļoti līdzīgs nošķeltai piramīdai, tāpēc nošķelta konusa un piramīdas sānu un kopējo virsmu laukuma formulas (un drīzumā būs arī tilpuma formulas) ir līdzīgas.
Rīsi. 1. Problēmas ilustrācija
Nogrieztā konusa pamatņu rādiusi ir vienādi ar un , un ģenerātors ir vienāds ar . Atrodiet nošķeltā konusa augstumu un tā aksiālās sekcijas laukumu (sk. 1. att.).