Rakstu līkņu konstruēšana tiek veikta šādi:

Vispirms nosaka līknei piederošos punktus un pēc tam savieno, izmantojot modeli. Rakstu līknes ietver tā sauktos parabolas, hiperbolas, elipses koniskos posmus, kas iegūti, izgriežot riņķveida konusu ar plakni, evolūcijas, sinusoīda un citus

1. Elipses uzbūve.

2. Elipses fokuss

3. Parabolas uzbūve

6. Rakstu līkņu zīmēšana.

Elipse ir konusveida sekcija, kas pieder pie tā sauktajām rakstu līknēm. Elipsi, hiperbolu un parabolu iegūst, izgriežot apļveida konusu ar plakni, sinusoīdu, evolūciju un citām līknēm.

41. attēls. Konusa krustpunkts ar plakni gar elipsi (a) un elipsi (b).

Lai izveidotu rakstu līknes (parabola, elipse, hiperbola), tiek noteikti punkti, kas pieder līknei, un pēc tam visi punkti tiek savienoti, izmantojot modeli. Gadījumā, ja apļveida konusa virsma ir nogriezta ar slīpu plakni -P tā, lai slīpā plakne krustotu visas apļveida konusa ģenerācijas, tad pašā griezuma plaknē veidojas elipse (skatīt 41 ).

Elipse ir plakana slēgta līkne, kurā katra tās punkta attālumu summa M līdz diviem dotajiem punktiem F1 un F2 ir nemainīga vērtība. Šī nemainīgā vērtība ir vienāda ar elipses galveno asi MF1 + MF2 = AB Elipses CD mazā ass un galvenā ass AB ir savstarpēji perpendikulāras, un viena ass dala otru uz pusēm.

42. attēls. Elipses uzbūve gar asīm


Tādējādi asis sadala elipses līkni četrās simetriskās vienādās daļās. Ja no mazākās ass CD galiem, tāpat kā no centriem, mēs aprakstām riņķa loku, kura rādiuss ir vienāds ar pusi no elipses galvenās ass R=OA=OB, tad tas krustos to punktos F1 un F2 , ko sauc par perēkļiem.

42. attēlā ir parādīts piemērs elipses konstruēšanai gar tās asīm Uz dotajām asīm AB un CD, tāpat kā uz diametriem, mēs izveidojam divus koncentriskus apļus, kuru centrs atrodas punktā O. Mēs sadalām lielo apli patvaļīgā skaitā daļu un savienojam. iegūtie punkti ar taisnām līnijām uz centru O.

No krustojuma punktiem 1; 2; 3; 4; ar palīgapļiem zīmējam horizontālu un vertikālu līniju nogriežņus, līdz tie krustojas punktos E, F, K, M, kas pieder pie elipses. Tālāk, izmantojot zīmējumu, tiek savienoti konstruētie gludas līknes punkti, un rezultāts ir elipse.

Rakstu līkņu, parabolu konstruēšana

43. attēls. Konusa krustojums ar plakni gar parabolu. Parabolas konstruēšana, izmantojot fokusu un virzienu.

Ja jūs nogriežat riņķveida konusu paralēli vienam no tā ģenerātiem ar slīpu plakni P, tad griezuma plaknē veidojas parabola (sk. 43. attēlu parabola ir atvērta plakana izliekta līnija). Katrs parabolas punkts atrodas no dotās taisnes -MN un no fokusa -F tādā pašā attālumā.

Taisne MN ir virzītājspēks un atrodas perpendikulāri parabolas asij starp virzītāju -MN un fokusu -F, parabolas A virsotne atrodas tieši vidū fokuss un dotā vadotne, caur fokusa punktu -F, uzzīmējiet parabolas asi -X, perpendikulāro vadotni -MN.

Sadaliet segmentu-EF uz pusēm un iegūstiet parabolas-A virsotni No parabolas virsotnes patvaļīgā attālumā novelciet taisnas līnijas, kas ir perpendikulāras parabolas asij. No punkta -F ar rādiusu, kas vienāds ar attālumu -L, no atbilstošās taisnes līdz vadotnei, piemēram, CB, mēs izveidojam taisnu līniju uz šo. Šajā gadījumā punkti C un B.

Šādi izveidojot vairākus simetrisku punktu pārus, caur tiem, izmantojot zīmējumu, izvelkam gludu līkni. Attēlā (43 c) parādīts piemērs parabolas pieskares izveidošanai divām taisnēm OA un OB punktos A un B. Nogriežņi OA un OB ir sadalīti vienādās daļās (piemēram, sadalītas astoņās). Pēc tam iegūtie dalīšanas punkti tiek numurēti un savienoti ar taisnēm 1-1; 2-2; 3-3 (sk. 43. attēlu, c) un tā tālāk. Šīs līnijas pieskaras paraboliskajai līknei. Pēc tam taisnu līniju veidotajā kontūrā tiek ierakstīta gluda pieskares parabola līkne.

Ja griežat tiešo un apgriezto konusu ar plakni, kas ir paralēla tā diviem ģenerātiem vai konkrētā gadījumā paralēli asij, tad griezuma plaknē iegūsit hiperbolu, kas sastāv no diviem simetriskiem zariem (skat. 45. attēlu, a) .

45. attēls. Konusa krustojums ar plakni gar hiperbolu (a) un hiperbolas konstrukcija (b).

Hiperbola (45.,b attēls) ir plakana līkne, kurā attāluma starpība no katra punkta līdz diviem dotajiem punktiem F1 un F2, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība un vienāda ar attālumu starp tās virsotnēm a un b, piemēram SF1-SF2=ab. Hiperbolai ir divas simetrijas asis – reālā AB un iedomātā CD.

Divas taisnes KL un K1 L1, kas iet caur hiperbolas centru O un pieskaras tās zariem bezgalībā, sauc par asimptotēm. Hiperbolu var izveidot no dotajām virsotnēm a un b un fokusiem F1 un F2. Mēs nosakām hiperbolas virsotnes, ierakstot taisnstūri aplī, kas izveidots fokusa attālumā (segments F1 un F2), tāpat kā diametrā.

Uz reālās ass AB pa labi no fokusa F2 atzīmējam patvaļīgus 1, 2, 3, 4, ... No fokusiem F1 un F2 zīmējam riņķa lokus, vispirms ar rādiusu a-1, tad b-1 līdz. savstarpējs krustojums abās hiperbolas reālās ass pusēs. Tālāk mēs veiksim nākamā loku pāra savstarpējo krustojumu ar rādiusiem a-2 un b-2 (punkts S) un tā tālāk.

Iegūtie loku krustošanās punkti pieder pie hiperbolas labā atzara. Kreisā zara punkti būs simetriski konstruētajiem punktiem attiecībā pret iedomāto asi CD.

Sinusoīds ir tāda punkta trajektorijas projekcija, kas pārvietojas pa cilindrisku spirāli uz plakni, kas ir paralēla cilindra asij. Punkta kustība sastāv no vienmērīgas rotācijas kustības (ap cilindra asi) un vienmērīgas translācijas kustības (paralēli cilindram).

46. ​​attēls. Sinusoīda uzbūve

Sinusoidāls vilnis ir plakana līkne, kas parāda trigonometriskās sinusa funkcijas izmaiņas atkarībā no leņķa lieluma izmaiņām. lai izveidotu sinusoīdu (46. attēls), caur D diametra apļa centru O novelk taisnu līniju OX un uz tās uzzīmē nogriezni O1 A, kas vienāda ar apļa garumu π D. Mēs sadalām šo segmentu un apli vienādās daļās. No iegūtajiem un numurētajiem punktiem velkam savstarpēji perpendikulāras taisnes. Mēs savienosim iegūtos šo līniju krustošanās punktus, izmantojot vienmērīgu līknes modeli.

Rakstu līkņu zīmēšana

Rakstu līknes veido punkti. Šie punkti ir savienoti, izmantojot modeļus, vispirms ar roku uzzīmējot līkni. Atsevišķu līknes punktu savienošanas princips ir šāds:

Mēs izvēlamies to raksta loka daļu, kas vislabāk sakrīt ar lielāko ieskicētās līknes punktu skaitu. Tālāk mēs nezīmēsim visu līknes loku, kas sakrīt ar rakstu, bet tikai tā vidējo daļu. Pēc tam mēs izvēlēsimies citu raksta daļu, bet tā, lai šī daļa skartu aptuveni vienu trešdaļu no uzzīmētās līknes un vismaz divus nākamos līknes punktus utt. Tas nodrošina vienmērīgu pāreju starp atsevišķiem līknes lokiem.

IESAKAM pārpublicēt rakstu sociālajos tīklos!

Elipses uzbūve

Elipse ir slēgta plakana izliekta līkne, kuras katra punkta attālumu summa līdz diviem dotajiem punktiem, ko sauc par fokusiem, atrodas uz galvenās ass, ir nemainīga un vienāda ar galvenās ass garumu. Ovāla konstrukcija pa divām asīm (23. attēls) tiek veikta šādi:

• - novilkt aksiālas līnijas, uz kurām simetriski no krustošanās punkta O ir uzlikti segmenti AB un CD, kas vienādi ar elipses lielo un mazo asi;
• - konstruēt divus apļus ar rādiusiem, kas vienādi ar pusi no elipses asīm ar centru asu krustpunktā;
• - sadaliet apli divpadsmit vienādās daļās. Apļa sadalīšanu veic, kā parādīts 2.3. punktā;
• -caur iegūtajiem punktiem tiek izvilkti diametra stari;
• - no staru krustpunktiem ar atbilstošajiem apļiem, kas ir paralēli elipses asīm, tiek vilktas taisnas līnijas, līdz tās krustojas punktos, kas atrodas uz elipses;
• - iegūtie punkti ir savienoti ar gludu izliektu līniju, izmantojot modeļus. Veidojot raksta līknes līniju, ir jāizvēlas un jānovieto raksts tā, lai būtu savienoti vismaz četri līdz pieci punkti.

Ir arī citi veidi, kā izveidot elipsi.

Parabolas konstruēšana

Parabola ir plakana izliekta līnija, kuras katrs punkts atrodas vienādā attālumā no virziena DD 1 - taisnas līnijas, kas ir perpendikulāra parabolas simetrijas asij, un no fokusa F, punkta, kas atrodas uz simetrijas ass. Attālumu KF starp virzienu un fokusu sauc par parabolas parametru lpp.

24. attēlā parādīts piemērs parabolas zīmēšanai gar virsotni O, asi OK un hordu CD. Būvniecība tiek veikta šādi:

• - novilkt horizontālu taisni, uz kuras iezīmēta virsotne O un uzzīmēta OK ass;
• - caur punktu K novelkam perpendikulu, uz kura simetriski uz augšu un uz leju ir uzzīmēts parabolas hordas garums;
• - konstruē taisnstūri ABCD, kurā viena mala ir vienāda ar asi, bet otra ir vienāda ar parabolas hordu;
• - mala BC ir sadalīta vairākās vienādās daļās un segments KC vienādās daļās;
• - no parabolas O virsotnes stari tiek vilkti caur punktiem 1, 2 utt., un caur punktiem 1 1, 2 1 utt.;
• - novilkt asīm paralēlas taisnes un noteikt staru krustošanās punktus ar atbilstošajām paralēlajām līnijām, piemēram, stara O1 krustošanās punktu ar taisni O1 1, kas pieder pie parabolas;
• - iegūtos punktus zem raksta savieno gluda izliekta līnija. Otrais parabolas atzars ir konstruēts līdzīgi.

Ir arī citi veidi, kā izveidot parabolu.

Kā izveidot parabolu? Ir vairāki veidi, kā attēlot kvadrātveida funkciju. Katram no tiem ir savi plusi un mīnusi. Apsvērsim divus veidus.

Sāksim ar kvadrātiskās funkcijas attēlošanu formā y=x²+bx+c un y= -x²+bx+c.

Piemērs.

Grafiksējiet funkciju y=x²+2x-3.

Risinājums:

y=x²+2x-3 ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz augšu. Parabolas virsotņu koordinātas

No virsotnes (-1;-4) izveidojam parabolas y=x² grafiku (kā no koordinātu sākuma. (0;0) vietā - virsotne (-1;-4). No (-1; -4) mēs ejam pa labi par 1 vienību, tad pa kreisi par 1 un tālāk par 1: 2 - pa labi, 4 - uz augšu, 2 - pa kreisi, 4 - uz augšu; uz augšu, 3 - pa kreisi, 9 - uz augšu, ja ar šiem 7 punktiem nepietiek, tad 4 pa labi, 16 uz augšu utt.).

Kvadrātfunkcijas y= -x²+bx+c grafiks ir parabola, kuras atzari ir vērsti uz leju. Lai izveidotu grafiku, mēs meklējam virsotnes koordinātas un no tās izveidojam parabolu y= -x².

Piemērs.

Grafiksējiet funkciju y= -x²+2x+8.

Risinājums:

y= -x²+2x+8 ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz leju. Parabolas virsotņu koordinātas

No augšas mēs izveidojam parabolu y= -x² (1 - pa labi, 1 - uz leju; 1 - pa kreisi, 1 - uz leju; 2 - pa labi, 4 - uz leju; 2 - pa kreisi, 4 - uz leju utt.):

Šī metode ļauj ātri izveidot parabolu un nerada grūtības, ja zināt, kā attēlot funkcijas y=x² un y= -x². Trūkums: ja virsotnes koordinātas ir daļskaitļi, nav īpaši ērti izveidot grafiku. Ja jums jāzina precīzas grafikas krustošanās punktu vērtības ar Vērša asi, jums būs papildus jāatrisina vienādojums x²+bx+c=0 (vai -x²+bx+c=0), pat ja šos punktus var tieši noteikt pēc zīmējuma.

Vēl viens veids, kā konstruēt parabolu, ir pēc punktiem, tas ir, jūs varat atrast vairākus grafikā punktus un novilkt caur tiem parabolu (ņemot vērā, ka taisne x=xₒ ir tās simetrijas ass). Parasti šim nolūkam viņi ņem parabolas virsotni, grafa krustošanās punktus ar koordinātu asīm un 1-2 papildu punktus.

Uzzīmējiet funkcijas y=x²+5x+4 grafiku.

Risinājums:

y=x²+5x+4 ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz augšu. Parabolas virsotņu koordinātas

tas ir, parabolas virsotne ir punkts (-2,5; -2,25).

meklē . Krustošanās punktā ar Ox asi y=0: x²+5x+4=0. Kvadrātvienādojuma saknes x1=-1, x2=-4, tas ir, grafikā ieguvām divus punktus (-1; 0) un (-4; 0).

Grafika krustpunktā ar Oy asi x=0: y=0²+5∙0+4=4. Mēs ieguvām punktu (0; 4).

Lai precizētu grafiku, varat atrast papildu punktu. Ņemsim x=1, tad y=1²+5∙1+4=10, tas ir, cits punkts grafikā ir (1; 10). Mēs atzīmējam šos punktus koordinātu plaknē. Ņemot vērā parabolas simetriju attiecībā pret līniju, kas iet caur tās virsotni, mēs atzīmējam vēl divus punktus: (-5; 6) un (-6; 10) un caur tiem izvelkam parabolu:

Grafiksējiet funkciju y= -x²-3x.

Risinājums:

y= -x²-3x ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz leju. Parabolas virsotņu koordinātas

Virsotne (-1,5; 2,25) ir parabolas pirmais punkts.

Grafika krustpunktos ar x asi y=0, tas ir, atrisinām vienādojumu -x²-3x=0. Tās saknes ir x=0 un x=-3, tas ir (0;0) un (-3;0) - vēl divi punkti grafikā. Punkts (o; 0) ir arī parabolas krustpunkts ar ordinātu asi.

Pie x=1 y=-1²-3∙1=-4, tas ir, (1; -4) ir papildu punkts zīmēšanai.

Parabolas konstruēšana no punktiem ir darbietilpīgāka metode, salīdzinot ar pirmo. Ja parabola nekrustojas ar Vērša asi, būs nepieciešami vairāk papildu punktu.

Pirms turpināt konstruēt kvadrātfunkciju grafikus formā y=ax²+bx+c, apskatīsim funkciju grafiku konstruēšanu, izmantojot ģeometriskās transformācijas. Tāpat visērtāk ir konstruēt funkciju grafikus formā y=x²+c, izmantojot kādu no šīm transformācijām — paralēlo tulkošanu.

Kategorija: |

Parabolas konstruēšana ir viena no labi zināmajām matemātiskajām operācijām. Diezgan bieži to izmanto ne tikai zinātniskiem mērķiem, bet arī tīri praktiskiem mērķiem. Noskaidrosim, kā veikt šo procedūru, izmantojot lietojumprogrammas Excel rīkus.

Parabola ir šāda veida kvadrātiskās funkcijas grafiks f(x)=ax^2+bx+c. Viena no tās ievērojamajām īpašībām ir fakts, ka parabolai ir simetriskas figūras forma, kas sastāv no punktu kopas, kas atrodas vienādā attālumā no virziena. Kopumā parabolas konstruēšana programmā Excel daudz neatšķiras no jebkura cita grafika konstruēšanas šajā programmā.

Tabulas izveide

Pirmkārt, pirms sākat būvēt parabolu, jums vajadzētu izveidot tabulu, uz kuras pamata tā tiks izveidota. Piemēram, ņemsim funkcijas grafika konstruēšanu f(x)=2x^2+7.

Grafika uzzīmēšana

Kā minēts iepriekš, tagad mums ir jāizveido pats grafiks.

Diagrammas rediģēšana

Tagad jūs varat nedaudz rediģēt iegūto grafiku.

Turklāt jūs varat veikt jebkāda cita veida iegūtās parabolas rediģēšanu, tostarp mainīt tās nosaukumu un asu nosaukumus. Šīs rediģēšanas metodes nepārsniedz darbības jomu programmā Excel ar cita veida diagrammām.

Kā redzat, parabolas konstruēšana programmā Excel būtiski neatšķiras no cita veida grafika vai diagrammas konstruēšanas tajā pašā programmā. Visas darbības tiek veiktas, pamatojoties uz iepriekš ģenerētu tabulu. Turklāt jāņem vērā, ka parabolas konstruēšanai vispiemērotākā ir izkliedes diagramma.

Elipse. Ja apļveida konusa virsmu sagriežat ar slīpu plakni R lai tas krustotu visus savus ģeneratorus, tad griezuma plaknē tiks iegūta elipsi (65. attēls).

65. attēls

Elipse(66. attēls) – plakana slēgta līkne, kurā attālumu summa no jebkura tā punkta (piemēram, no punkta) M ) līdz diviem dotajiem punktiem F 1 Un F 2 – elipses fokuss – ir nemainīga vērtība, kas vienāda ar tās galvenās ass garumu AB (Piemēram, F 1 M + F 2 M = AB ).Līnijas segments AB sauc par elipses galveno asi un segmentu CD - tās mazā ass. Elipses asis krustojas punktā O- elipses centrs, un tās izmērs nosaka galvenās un mazās asu garumus. Punkti F 1 Un F 2 atrodas uz galvenās ass AB simetriski attiecībā pret punktu O un tiek noņemti no mazākās ass galiem (punkti AR Un D ) līdz attālumam, kas vienāds ar pusi no elipses galvenās ass .

66. attēls

Ir vairāki veidi, kā izveidot elipsi. Vienkāršākais veids ir konstruēt elipsi gar tās divām asīm, izmantojot palīgapļus (67. attēls). Šajā gadījumā tiek norādīts elipses centrs - punkts O un caur to tiek novilktas divas savstarpēji perpendikulāras taisnes (67. attēls, a). No punkta PAR aprakstiet divus apļus ar rādiusiem, kas vienādi ar pusi no galvenās un mazās ass. Lielais aplis ir sadalīts 12 vienādās daļās un sadalīšanas punkti ir savienoti ar punktu PAR . Novilktās līnijas arī sadalīs mazāko apli 12 vienādās daļās. Pēc tam caur mazākā apļa dalīšanas punktiem tiek novilktas horizontālas līnijas (vai taisnas līnijas, kas ir paralēlas elipses galvenajai asij) un vertikālas līnijas (vai taisnas līnijas, kas ir paralēlas elipses mazajai asij) tiek novilktas caur dalīšanas punktiem. no lielākā apļa. To krustošanās punkti (piemēram, punkts M ) pieder elipsei. Savienojot iegūtos punktus ar gludu līkni, tiek iegūta elipse (67. attēls, b).

67. attēls

Parabola. Ja apļveida konusu nogriež plakne R , paralēli vienam no tā ģenerātiem, tad griezuma plaknē tiks iegūta parabola (68. attēls).

68. attēls

Parabola(69. attēls) – plakana līkne, kuras katrs punkts atrodas vienādā attālumā no dotās taisnes DD 1 , zvanīja direktore, un punkti F – parabolas fokuss. Piemēram, par punktu M segmentiem MN (attālums līdz direktorei) un M.F. (attālums līdz fokusam) ir vienādi, t.i. MN = M.F. .

Parabolai ir atvērtas līknes forma ar vienu simetrijas asi, kas iet cauri parabolas fokusam - punktam F un atrodas perpendikulāri režisoram DD 1 .Precīzi A , kas atrodas segmenta vidū OF , zvanīja parabolas virsotne. Attālums no fokusa līdz virzienam - segmentam OF = 2'OA – apzīmēts ar burtu R un zvaniet parabolas parametrs. Jo lielāks parametrs R , jo asāk parabolas zari attālinās no tās ass. Tiek saukts segments, kas atrodas starp diviem parabolas punktiem, kas atrodas simetriski attiecībā pret parabolas asi. akords(piemēram, akords MK ).

69. attēls

Parabolas konstruēšana no tās virziena DD 1 un fokusa F(70. attēls, a) . Caur punktu F uzzīmējiet parabolas asi perpendikulāri virzienam, līdz tā krusto virzienu punktā PAR. Līnijas segments OF = lpp sadali uz pusēm un iegūsti punktu A – parabolas augšdaļa. Uz punkta parabolas ass A noteikt vairākas pakāpeniski pieaugošas sadaļas. Caur sadalīšanas punktiem 1, 2, 3 to. D. velciet taisnas līnijas paralēli virzienam. Ņemot parabolas fokusu kā centru, tie apraksta lokus ar rādiusu R 1 = L 1 1 ,rādiuss R2 = L2 līdz tas krusto līniju caur punktu 2 utt. Iegūtie punkti pieder parabolai. Pirmkārt, tie ir savienoti ar plānu gludu līniju ar roku, pēc tam izsekoti pa modeli.

Parabolas uzbūve gar tās asi, virsotni A un starppunktu M(70. attēls, b).Caur augšpusi A novelciet taisnu līniju, kas ir perpendikulāra parabolas asij, un caur punktu M – taisna līnija, kas ir paralēla asij. Abas taisnes krustojas punktā B . Segmenti AB Un B.M. ir sadalīti vienādās daļās, un sadalīšanas punkti ir numurēti bultiņu norādītajos virzienos. Caur augšpusi A un punktiņi 1 , 2 , 3 , 4 vadīt starus, un no punktiem es , II , III ,IV – taisnas līnijas, kas ir paralēlas parabolas asij. Ar vienādu numuru apzīmēto līniju krustpunktā atrodas punkti, kas pieder pie parabolas. Abi parabolas zari ir vienādi, tāpēc otrs zars tiek veidots simetriski pirmajam, izmantojot akordus.

70. attēls

Parabolas pieskares konstruēšana divām taisnēm OA un OB uz tām norādītajos punktos A un B(71. attēls, b). Segmenti O.A. Un OB sadalīts vienādās daļās (piemēram, 8 daļās). Iegūtie dalīšanas punkti ir numurēti, un punkti ar tādu pašu nosaukumu ir savienoti ar taisnām līnijām. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 utt . d . Šīs līnijas pieskaras paraboliskajai līknei. Tālāk taisnu līniju veidotajā kontūrā tiek ierakstīta gluda pieskares līkne – parabola. .

71. attēls

Hiperbola. Ja griežat tiešo un apgriezto konusu ar plakni, kas ir paralēla tās diviem ģenerātiem vai konkrētā gadījumā paralēli asij, tad griezuma plaknē jūs iegūsit hiperbolu, kas sastāv no diviem simetriskiem zariem (72. attēls, a).

Hiperbola(72. attēls, b) sauc par atvērtas plaknes līkni, kas ir punktu kopa, attālumu starpība no diviem dotajiem punktiem ir nemainīga vērtība.

72. attēls

Pastāvīgi punkti F 1 Un F 2 tiek saukti triki , un attālums starp tiem ir fokusa attālums . Līniju segmenti ( F 1 M Un F 2 M ), savieno jebkuru punktu ( M ) līkni ar perēkļiem sauc rādiusa vektori hiperbolas . Atšķirība starp punktu un fokusa attālumiem F 1 Un F 2 ir nemainīga vērtība un vienāda ar attālumu starp virsotnēm A Un b hiperbola; piemēram, par punktu M būs: F 1 M -F 2 M = ab. Hiperbola sastāv no diviem atvērtiem zariem un tai ir divas savstarpēji perpendikulāras asis - derīgs AB Un iedomāts CD. Tieša pq Un rs, iet caur centru O , tiek saukti asimptoti .

Hiperbolas konstruēšana, izmantojot šīs asimptotes pq Un rs, triki F 1 Un F 2 parādīts 72. attēlā, b.

Reālā ass AB hiperbola ir asimptotu veidotā leņķa bisektrise. Iedomātā ass CD perpendikulāri AB un iet caur punktu PAR. Ņemot trikus F 1 Un F2, definēt virsotnes A Un b hiperbolas, kāpēc segmentā F 1 F 2 izveidojiet pusloku, kas punktos krusto asimptotus m Un P. No šiem punktiem perpendikuli tiek nolaisti uz asi AB un krustojumā ar to iegūstam virsotnes A Un b hiperbola.

Konstruēt taisnē hiperbolas labo zaru AB pa labi no fokusa F 1 atzīmējiet patvaļīgus punktus 1 , 2 , 3 , ..., 5. Punkti V Un V1 hiperbolas iegūst, ja ņemam segmentu a5 aiz rādiusa un no punkta F2 uzzīmējiet apļa loku, kas tiek iezīmēts no punkta F 1, rādiuss vienāds ar b5. Pārējie hiperbolas punkti ir konstruēti pēc analoģijas ar aprakstītajiem.

Dažreiz jums ir jākonstruē hiperbola, kuras asimptoti Ak! Un OY savstarpēji perpendikulāri (73. attēls). Šajā gadījumā reālā un iedomātā asis būs bis Ar taisnleņķa elektrības. Lai konstruētu, tiek norādīts viens no hiperbolas punktiem, piemēram, punkts A.

73. attēls

Caur punktu A veikt tieši AK Un A.M. , paralēli asīm Ak Un ou .No punkta O re Ar jēdzieni par Ar viņi dod viņai tieši Ar taisnas līnijas A.M. Un AK punktos 1 , 2 , 3 , 4 Un 1" , 2" , 3" , 4" . Pēc tam no punktiem, kas krustojas ar šīm līnijām, tiek novilkti vertikālie un horizontālie segmenti, līdz tie punktos krustojas viens ar otru. I, II, III, IV utt. Iegūtie hiperbolas punkti ir savienoti, izmantojot modeli . Punkti 1, 2, 3, 4 kas atrodas uz vertikālas līnijas, tiek ņemti patvaļīgi .

Apļa evolūcija vai apļa attīstība. Apļa evolūcija sauc par plakanu līkni, ko apraksta katrs taisnes punkts, ja šo taisni ripina bez slīdēšanas pa stacionāru apli (apļa punktu trajektoriju, ko veido tā izvietošana un iztaisnošana) (74. attēls).

Lai izveidotu evolūciju, pietiek norādīt apļa diametru D un punkta sākotnējā pozīcija A (punkts A 0 ). Caur punktu A 0 uzzīmējiet riņķa pieskari un uzzīmējiet uz tā dotā apļa garumu D . Iegūtais segments un aplis tiek sadalīti vienādās daļās, un caur apļa dalīšanas punktiem vienā virzienā tiek novilktas tam pieskares. Uz katras pieskares tiek uzlikti segmenti, kas ņemti no horizontālās līnijas un attiecīgi vienādi 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = V A 0 2 , 3A 3 = A 0 3 utt.; Iegūtie punkti ir savienoti saskaņā ar paraugu.

74. attēls

Arhimēda spirāle- plakana līkne, ko raksturo punkts A , vienmērīgi rotējot ap fiksētu punktu - stabi PAR un tajā pašā laikā vienmērīgi attālinoties no tā (75. attēls). Attālumu, ko nobrauc punkts, pagriežot taisnu līniju par 360°, sauc par spirāles soli. Arhimēda spirālei piederošie punkti tiek konstruēti, pamatojoties uz līknes definīciju, norādot soli un griešanās virzienu.

Arhimēda spirāles uzbūve, izmantojot noteiktu soli (OA segmentu) un griešanās virzienu pulksteņrādītāja virzienā(75. attēls).Caur punktu PAR novelciet taisnu līniju un atzīmējiet uz tās spirāles soli O.A. un, ņemot to kā rādiusu, aprakstiet apli. Aplis un segments O.A. sadalīts 12 vienādās daļās. Caur apļa dalīšanas punktiem tiek novilkti rādiusi O1 , O2 , O3 utt un uz tiem no punkta PAR tiek likti, izmantojot lokus, attiecīgi, 1/12, 2/12, 3/12 utt., no apļa rādiusa. Iegūtie punkti ir savienoti pa modeli ar gludu līkni.

Arhimēda spirāle ir atvērta līkne, un, ja nepieciešams, jūs varat izveidot neierobežotu skaitu tās pagriezienu. Lai izveidotu otro pagriezienu, aprakstiet apli ar rādiusu R = 2 OA un atkārtojiet visas iepriekšējās konstrukcijas.

75. attēls

Sinusa vilnis.Sinusa vilnis sauc par kustīgā punkta trajektorijas projekciju Ar Es esmu cilindrisks Ar kura spirāle atrodas plaknē, kas ir paralēla cilindra asij . Punkta kustība sastāv no vienmērīgas rotācijas kustības (ap cilindra asi) un vienmērīgas translācijas kustības (paralēli cilindra asij) . Sinusoidāls vilnis ir plakana līkne, kas parāda trigonometriskās sinusa funkcijas izmaiņas atkarībā no leņķa izmaiņām .

Lai izveidotu sinusoīdu (76. attēls) caur centru PAR apļa diametrs D veikt tieši Ak! un uz tā tiek uzlikts segments O 1 A , vienāds ar apkārtmēru D. Šis segments un aplis ir sadalīti vienādās daļās. No iegūtajiem un numurētajiem punktiem tiek novilktas savstarpēji perpendikulāras taisnes. Iegūtie šo līniju krustošanās punkti ir savienoti, izmantojot vienmērīgu līknes modeli.

76. attēls

Kardioīds. Kardioīds(77. attēls) zvani Ar Es esmu apļa punkta slēgta trajektorija Ar kas ripo, neslīdot pa tāda paša rādiusa stacionāru apli .

77. attēls

No centra PAR uzzīmējiet noteikta rādiusa apli un paņemiet uz tā patvaļīgu punktu M. Caur šo punktu tiek izvilkta virkne sekantu. Uz katra sekanta abās pusēs tā krustošanās punktam ar apli tiek uzlikti segmenti, kas vienādi ar apļa diametru M1. Jā, sekant III3MIII 1 krusto apli punktā 3 ;no šī punkta tiek atlaisti segmenti 3III Un 3III 1, vienāds ar diametru M1. Punkti III Un III 1 , pieder pie kardioīdiem . Līdzīgi, Ar strāva IV4MIV 1 re Ar aplis atrodas punktā 4; segmenti tiek likti no šī punkta IV4 Un 4IV 1, vienāds ar diametru M1, iegūt punktus IV Un IV 1 utt.

Atrastie punkti ir savienoti ar līkni, kā parādīts 77. attēlā.

Cikloidālās līknes. Cikloīdi – plaknes izliektas līnijas, ko apraksta punkts, kas pieder riņķim, kas ripo, neslīdot pa taisni vai apli . Ja aplis ripo pa taisnu līniju, tad punkts apraksta līkni, ko sauc cikloīds.

Ja aplis ripo pa citu apli, atrodoties ārpus tā (gar izliekto daļu), tad punkts apraksta līkni ar nosaukumu epicikloīds .

Ja aplis ripo pa citu apli, atrodoties tā iekšpusē (gar ieliekto daļu), tad punkts apraksta līkni ar nosaukumu hipocikloīds . Tiek izsaukts aplis, uz kura atrodas punkts ražojot . Tiek saukta līnija, pa kuru ripo aplis vadīt .

Lai izveidotu cikloīdu(78. attēls) uzzīmējiet noteikta rādiusa apli R ; ņem par to sākuma punktu A un uzzīmējiet vadošo līniju AB, pa kuru ripo aplis .

78. attēls

Sadaliet doto apli 12 vienādās daļās (punktos 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Ja punkts A mainīt Ar zīle Ar Es esmu stāvoklī A 12 , pēc tam segmentu AA 12 būs vienāds ar doto apkārtmēra garumu Ar ty, t.i. Uzzīmējiet centru līniju O-O 12 ražo apkārtmērā Ar ti, vienāds , un sadaliet to 12 vienādās daļās. Saņem punktus O 1 ,O2 ,O 3 ,..., O 12 , kas ir ģenerējošā apļa centri Ar tu . No šiem punktiem ievelciet apli Ar ty (vai loki apkārt Ar tey) noteiktā rādiusā R , kas pieskaras līnijai AB punktos 1,2, 3, ..., 12. Ja no katra saskares punkta uz atbilstošā apļa uzzīmējam loka garumu, kas vienāds ar apjomu, par kādu punkts ir pārvietojies A , tad iegūstam punktus, kas pieder cikloīdam. Piemēram, lai iegūtu punktu A 5 cikloīdi seko no centra O 5 zīmējiet apli no saskares punkta 5 uzlieciet loku ap apkārtmēru A5, vienāds ar A5", vai no punkta 5" novilkt taisnu līniju paralēli AB, līdz krustojumam punktā A 5 ar novilktu apli . Visi pārējie cikloīda punkti ir konstruēti līdzīgi. .

Epicikloīds ir konstruēts šādi. 79. attēlā parādīts ģenerēšanas apļa rādiuss Ar A R ar centru O 0 , sākumpunkts A uz tā un vadotnes loka apkārt Ar tu radio Ar A R 1 pa kuru tas ripo Ar Es esmu aplis. Epicikloīda uzbūve ir līdzīga cikloīda uzbūvei, proti: sadaliet doto apli 12 vienādās daļās (punktos 1" , 2" , 3" , ...,12"), katra šī apļa daļa ir atdalīta no punkta A pa loku AB 12 reizes (punkti 1 , 2 , 3 , ..., 12) un iegūstiet loka garumu AA 12 . Šo garumu var noteikt, izmantojot leņķi .

Tālāk no centra PAR rādiuss vienāds ar OOO 0 , uzzīmējiet ģenerējošā apļa centru līniju un zīmējiet rādiusus 01 , 02 , 03 , ...,012 , turpinājās, līdz tie krustojas ar centru līniju, iegūst centrus O 1, O 2, ..., O 12 radot apli . No šiem centriem ar rādiusu, kas vienāds ar R , zīmējiet apļus vai apļu lokus, uz kuriem tie būvē un Ar kuri līknes punkti; Tātad, lai saprastu būtību A 4 s būtu jāpārbauda Ar loka apkārt Ar tee rādiuss O4" līdz tas šķērso apli, kas novilkts no centra O4. Līdzīgi tiek konstruēti arī citi punkti, kurus pēc tam savieno gluda līkne .

79. attēls

Saistītā informācija.