http//:www.svkspb.nm.ru

Plakano sekciju ģeometriskie raksturlielumi

Kvadrāts: , dF - elementāra platforma.

Apgabala elementa statiskais momentsdF attiecībā pret asi 0x
- laukuma elementa reizinājums ar attālumu "y" no 0x ass: dS x = ydF

Apkopojot (integrējot) šādus produktus visā figūras laukumā, mēs iegūstam statiski momenti attiecībā pret y un x asīm:
;
[cm 3, m 3 utt.].

Smaguma centra koordinātas:
. Statiskie momenti relatīvi centrālās asis(asis, kas iet caur sekcijas smaguma centru) ir vienādas ar nulli. Aprēķinot sarežģītas figūras statiskos momentus, to sadala vienkāršās daļās ar zināmiem laukumiem F i un smaguma centru koordinātām x i, y i. Visas figūras laukuma statiskais moments = summa katras tās daļas statiskie momenti:
.

Sarežģītas figūras smaguma centra koordinātas:

M
Sekcijas inerces momenti

Aksiāls(ekvatoriālais) sekcijas inerces moments- elementāro laukumu dF reizinājumu summa ar to attālumu līdz asij kvadrātiem.

;
[cm 4, m 4 utt.].

Nozares polārais inerces moments attiecībā pret noteiktu punktu (polu) ir elementāro laukumu reizinājumu summa ar to attāluma kvadrātiem no šī punkta.
; [cm 4, m 4 utt.]. J y + J x = J p .

Sekcijas centrbēdzes inerces moments- elementāro laukumu reizinājumu summa un to attālumi no divām savstarpēji perpendikulārām asīm.
.

Sekcijas centrbēdzes inerces moments attiecībā pret asīm, no kurām viena vai abas sakrīt ar simetrijas asīm, ir vienāds ar nulli.

Aksiālie un polārie inerces momenti vienmēr ir pozitīvi; centrbēdzes inerces momenti var būt pozitīvi, negatīvi vai nulle.

Sarežģītas figūras inerces moments ir vienāds ar to veidojošo daļu inerces momentu summu.

Vienkāršas formas sekciju inerces momenti

P
taisnstūra griezums Aplis

UZ


gredzens

T
trīsstūris

R
izofemorāls

Taisnstūrveida

T
trīsstūris

H ceturkšņa aplis

J y = J x = 0,055R 4

J xy =0,0165R 4

attēlā. (-)

Pusaplis

M

Standarta profilu inerces momenti atrodami no sortimentu tabulām:

D
vutavr Kanāls Stūris

M

Inerces momenti par paralēlām asīm:

Dž x1 = J x + a 2 F;

J y1 = J y + b 2 F;

inerces moments ap jebkuru asi ir vienāds ar inerces momentu ap centrālo asi, kas ir paralēla dotajai, plus figūras laukuma un attāluma starp asīm kvadrāta reizinājums. J y1x1 =J yx + abF; (“a” un “b” tiek aizstāti formulā, ņemot vērā to zīmi).

Atkarība starp inerces momenti, griežot asis:

Dž x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Leņķis >0, ja pāreja no vecās koordinātu sistēmas uz jauno notiek pretēji pulksteņrādītāja virzienam. J y1 + J x1 = J y + J x

Tiek sauktas inerces momentu galējās (maksimālās un minimālās) vērtības galvenie inerces momenti. Tiek sauktas asis, par kurām aksiālajiem inerces momentiem ir galējās vērtības galvenās inerces asis. Galvenās inerces asis ir savstarpēji perpendikulāras. Centrbēdzes inerces momenti ap galvenajām asīm = 0, t.i. galvenās inerces asis - asis, par kurām centrbēdzes inerces moments = 0. Ja viena no asīm sakrīt vai abas sakrīt ar simetrijas asi, tad tās ir galvenās. Leņķis, kas nosaka galveno asu pozīciju:
, ja  0 >0  asis griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Maksimālā ass vienmēr veido mazāku leņķi ar to asu leņķi, attiecībā pret kurām inerces momentam ir lielāka vērtība. Tiek sauktas galvenās asis, kas iet caur smaguma centru galvenās centrālās inerces asis. Inerces momenti attiecībā uz šīm asīm:

J max + J min = J x + J y . Centrbēdzes inerces moments attiecībā pret galvenajām centrālajām inerces asīm ir vienāds ar 0. Ja ir zināmi galvenie inerces momenti, tad formulas pārejai uz pagrieztām asīm ir:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

Sekcijas ģeometrisko raksturlielumu aprēķināšanas galvenais mērķis ir noteikt galvenos centrālos inerces momentus un galveno centrālo inerces asu stāvokli. R inerces rādiuss -
; J x =Fi x 2, J y =Fi y 2 .

Ja J x un J y ir galvenie inerces momenti, tad i x un i y - galvenie inerces rādiusi. Tiek saukta elipsi, kas veidota uz galvenajiem inerces rādiusiem kā uz pusasīm inerces elipse. Izmantojot inerces elipsi, jūs varat grafiski atrast inerces rādiusu i x1 jebkurai asij x1. Lai to izdarītu, ir jānozīmē elipses pieskare paralēli x1 asij un jāizmēra attālums no šīs ass līdz pieskarei. Zinot inerces rādiusu, jūs varat atrast sekcijas inerces momentu attiecībā pret x 1 asi:
. Posmiem ar vairāk nekā divām simetrijas asīm (piemēram: aplis, kvadrāts, gredzens utt.) aksiālie inerces momenti ap visām centrālajām asīm ir vienādi viens ar otru, J xy = 0, inerces elipse pārvēršas par inerces aplis.

Pretestības mirkļi.

Aksiālais pretestības moments- inerces momenta attiecība pret asi un attālumu no tās līdz vistālākajam posma punktam.
[cm 3, m 3]

Īpaši svarīgi ir pretestības momenti attiecībā pret galvenajām centrālajām asīm:

taisnstūris:
; aplis: W x = W y =
,

cauruļveida sekcija (gredzens): W x =W y =
, kur = d N / d B .

Polārais pretestības moments - polārā inerces momenta attiecība pret attālumu no pola līdz vistālākajam posma punktam:
.

Aplim W р =
.

Sekcijas aksiālais (vai ekvatoriālais) inerces moments attiecībā pret noteiktu asi ir elementāro laukumu reizinājumu summa, kas ņemta visā tā laukumā F ar to attālumu kvadrātiem no šīs ass, t.i.

Iecirkņa polārais inerces moments attiecībā pret noteiktu punktu (polu) ir elementāro laukumu reizinājumu summa, kas pārņemta visā tā laukumā F ar to attālumu kvadrātiem no šī punkta, t.i.

Sekcijas centrbēdzes inerces moments attiecībā pret kādām divām savstarpēji perpendikulārām asīm ir elementāro laukumu reizinājumu summa, kas ņemti visā tā laukumā F un to attālumi no šīm asīm, t.i.

Inerces momenti tiek izteikti utt.

Aksiālie un polārie inerces momenti vienmēr ir pozitīvi, jo to izteiksmes zem integrālās zīmēm ietver laukumu vērtības (vienmēr pozitīvas) un šo laukumu attālumu kvadrātus no noteiktās ass vai pola.

Attēlā 9.5, a parāda sekciju ar laukumu F un parāda y un z asis. Šīs sadaļas aksiālie inerces momenti attiecībā pret y asīm:

Šo inerces momentu summa

un tāpēc

Tādējādi sekcijas aksiālo inerces momentu summa attiecībā pret divām savstarpēji perpendikulārām asīm ir vienāda ar šī posma polāro inerces momentu attiecībā pret šo asu krustpunktu.

Centrbēdzes inerces momenti var būt pozitīvi, negatīvi vai nulle. Piemēram, attēlā redzamā sekcijas centrbēdzes inerces moments. 9.5, a, attiecībā pret y un asīm, ir pozitīva, jo šīs sadaļas galvenajai daļai, kas atrodas pirmajā kvadrantā, vērtības un līdz ar to ir pozitīvas.

Ja mainīsit y ass pozitīvo virzienu vai pretējo virzienu (9.5. att., b) vai pagriežat abas šīs asis par 90° (9.5. att., c), tad centrbēdzes inerces moments kļūs negatīvs (tā absolūtā vērtība nemainīsies), jo sadaļas galvenā daļa tad atradīsies kvadrantā, kuram y koordinātas ir pozitīvas un z koordinātas ir negatīvas. Ja mainīsit abu asu pozitīvos virzienus uz pretējo, tas nemainīs ne centrbēdzes inerces momenta zīmi, ne lielumu.

Aplūkosim figūru, kas ir simetriska pret vienu vai vairākām asīm (10.5. att.). Nozīmēsim asis tā, lai vismaz viena no tām (šajā gadījumā y ass) sakristu ar figūras simetrijas asi. Šajā gadījumā katra platforma, kas atrodas pa labi no ass, atbilst tai pašai platformai, kas atrodas simetriski pirmajai, bet pa kreisi no y ass. Katra šādu simetriski izvietotu platformu pāra centrbēdzes inerces moments ir vienāds ar:

Tāpēc

Tādējādi sekcijas centrbēdzes inerces moments attiecībā pret asīm, no kurām viena vai abas sakrīt ar tās simetrijas asīm, ir vienāds ar nulli.

Sarežģītas sekcijas aksiālais inerces moments attiecībā pret noteiktu asi ir vienāds ar to veidojošo daļu aksiālo inerces momentu summu attiecībā pret to pašu asi.

Līdzīgi kompleksa sekcijas centrbēdzes inerces moments attiecībā pret jebkurām divām savstarpēji perpendikulārām asīm ir vienāds ar to veidojošo daļu centrbēdzes inerces momentu summu attiecībā pret tām pašām asīm. Arī kompleksa griezuma polārais inerces moments attiecībā pret noteiktu punktu ir vienāds ar to veidojošo daļu polāro inerces momentu summu attiecībā pret to pašu punktu.

Jāpatur prātā, ka par dažādām asīm un punktiem aprēķinātos inerces momentus nevar summēt.

Pārbaudot konstrukciju daļu stiprību, nākas saskarties ar diezgan sarežģītu formu griezumiem, kuriem nav iespējams aprēķināt inerces momentu tik vienkārši, kā to izmantojām taisnstūrim un aplim.

Šāda sekcija varētu būt, piemēram, T veida stienis (5. att.). A) liecei pakļautas caurules gredzenveida sekcija (lidmašīnu konstrukcijas) (5. att., b), vārpstas kakliņa gredzenveida daļa vai pat sarežģītākas daļas. Visas šīs sadaļas var iedalīt vienkāršās, piemēram, taisnstūros, trīsstūros, apļos utt. Var parādīt, ka tik sarežģītas figūras inerces moments ir to daļu inerces momentu summa, kurās mēs to sadalām.

5. att. T veida sekcijas - a) un gredzens b)

Ir zināms, ka jebkuras figūras inerces moments attiecībā pret asi plkst— plkst vienāds ar:

Kur z— elementāro paliktņu attālums līdz asij plkst—plkst.

Sadalīsim ņemto laukumu četrās daļās: , , un . Tagad, aprēķinot inerces momentu, varat grupēt terminus integrand funkcijā, lai atsevišķi veiktu summēšanu katram no atlasītajiem četriem laukumiem, un pēc tam šīs summas pievienot. Tas nemainīs integrāļa vērtību.

Mūsu integrālis tiks sadalīts četros integrāļos, no kuriem katrs aptvers vienu no jomām, un:

Katrs no šiem integrāļiem attēlo attiecīgās laukuma daļas inerces momentu attiecībā pret asi plkst— plkst; Tāpēc

kur ir inerces moments ap asi plkst — plkst platība, - tas pats platībai utt.

Iegūto rezultātu var formulēt šādi: sarežģītas figūras inerces moments ir vienāds ar to veidojošo daļu inerces momentu summu. Tādējādi mums ir jāspēj aprēķināt jebkuras figūras inerces moments attiecībā pret jebkuru asi, kas atrodas tās plaknē.

Šīs problēmas risinājums ir šīs un nākamo divu interviju saturs.

Inerces momenti par paralēlām asīm.

Uzdevums iegūt vienkāršākās formulas jebkuras figūras inerces momenta aprēķināšanai attiecībā pret jebkuru asi tiks atrisināts vairākos posmos. Ja ņemam virkni asu, kas ir paralēlas viena otrai, izrādās, ka mēs varam viegli aprēķināt figūras inerces momentus par jebkuru no šīm asīm, zinot tās inerces momentu attiecībā uz asi, kas iet caur figūras smaguma centru. paralēli izvēlētajām asīm.

1. att. Aprēķina modelis inerces momentu noteikšanai paralēlām asīm.

Mēs sauksim asis, kas iet caur smaguma centru centrālās asis. Ņemsim (1. att.) patvaļīgu skaitli. Uzzīmēsim centrālo asi OU, mēs sauksim inerces momentu ap šo asi . Uzzīmēsim asi attēla plaknē paralēli cirvji plkst attālumā no viņas. Atradīsim attiecības starp un - inerces momentu ap asi. Lai to izdarītu, mēs rakstīsim izteiksmes un . Sadalīsim figūras laukumu apgabalos; katras šādas platformas attālumi līdz asīm plkst un piezvanīsim un . Tad

No 1. attēla mums ir:

Pirmais no šiem trim integrāļiem ir inerces moments ap centrālo asi OU. Otrais ir statiskais moments ap to pašu asi; tas ir vienāds ar nulli, jo ass plkst iet caur figūras smaguma centru. Visbeidzot, trešais integrālis ir vienāds ar figūras laukumu F. Tādējādi

(1)

tas ir, inerces moments ap jebkuru asi ir vienāds ar inerces momentu ap centrālo asi, kas ir paralēla dotajai, plus figūras laukuma un attāluma starp asīm kvadrāta reizinājums.

Tas nozīmē, ka mūsu uzdevums tagad ir samazināts līdz tikai centrālo inerces momentu aprēķināšanai; ja mēs tos zinām, mēs varam aprēķināt inerces momentu attiecībā uz jebkuru citu asi. No formulas (1) izriet, ka centrālais inerces moments ir mazākais starp inerces momentiem par paralēlām asīm un par to mēs iegūstam:

Atradīsim arī centrbēdzes inerces momentu par centrālajām paralēlajām asīm, ja tas ir zināms (1. att.). Tā kā pēc definīcijas

kur: , tad seko

Tā kā pēdējie divi integrāļi attēlo statiskus laukuma momentus ap centrālajām asīm OU Un Oz tad tie pazūd un tāpēc:

(2)

Centrbēdzes inerces moments attiecībā pret savstarpēji perpendikulāru asu sistēmu, kas ir paralēla centrālajām asīm, ir vienāds ar centrbēdzes inerces momentu attiecībā pret šīm centrālajām asīm plus figūras laukuma un tās smaguma centra koordinātu reizinājums attiecībā pret jaunajām asīm.

Attiecības starp inerces momentiem, griežot asis.

Jūs varat zīmēt tik daudz centrālo asis, cik vēlaties. Rodas jautājums, vai ir iespējams izteikt inerces momentu ap jebkuru centrālo asi atkarībā no inerces momenta par vienu vai diviem noteikti cirvji. Lai to izdarītu, redzēsim, kā mainīsies inerces momenti par divām savstarpēji perpendikulārām asīm, kad tās tiek pagrieztas par leņķi.

Paņemsim figūru un zīmēsim to caur tās smaguma centru PAR divas savstarpēji perpendikulāras asis OU Un Oz(2. att.).

2. att. Aprēķinu modelis inerces momentu noteikšanai pagrieztām asīm.

Ļaujiet mums uzzināt aksiālos inerces momentus par šīm asīm, kā arī centrbēdzes inerces momentu. Uzzīmēsim otru koordinātu asu sistēmu, kas ir slīpa uz pirmo koordinātu asu; mēs ņemsim vērā šī leņķa pozitīvo virzienu, pagriežot asis ap punktu PAR pretpulksteņrādītājvirzienā. Izcelsme PAR saglabāt. Izteiksim momentus attiecībā pret otro koordinātu asu sistēmu un caur zināmajiem inerces momentiem un .

Uzrakstīsim izteiksmes inerces momentiem par šīm asīm:

Tāpat:

Lai atrisinātu problēmas, jums var būt nepieciešamas formulas pārejai no vienas ass uz citām centrbēdzes inerces momentam. Pagriežot asis (2. att.), mums ir:

kur un tiek aprēķināti, izmantojot formulas (14.10); Tad

Pēc transformācijām mēs iegūstam:

(7)

Tādējādi, lai aprēķinātu inerces momentu par jebkuru centrālo asi, jums jāzina inerces momenti par jebkuru divu savstarpēji perpendikulāru centrālo asu sistēmu. OU Un Oz, centrbēdzes inerces moments attiecībā pret tām pašām asīm un ass slīpuma leņķis pret asi plkst.

Lai aprēķinātu vērtības>, jums ir jāizvēlas šādas asis plkst Un z un sadaliet figūras laukumu tādās detaļās, lai varētu veikt šo aprēķinu, izmantojot tikai formulas pārejai no katras sastāvdaļas centrālās ass uz tām paralēlajām asīm. Kā to izdarīt praksē, tiks parādīts tālāk, izmantojot piemēru. Ņemiet vērā, ka šajā aprēķinā sarežģītas figūras ir jāsadala tādās elementārās daļās, kurām, ja iespējams, ir zināmas centrālo inerces momentu vērtības attiecībā pret savstarpēji perpendikulāru asu sistēmu.

Ņemiet vērā, ka atvasināšanas gaita un iegūtie rezultāti nebūtu mainījušies, ja koordinātu sākumpunkts būtu ņemts nevis posma smaguma centrā, bet jebkurā citā punktā. PAR. Tādējādi formulas (6) un (7) ir formulas pārejai no vienas savstarpēji perpendikulāru asu sistēmas uz otru, pagriežot par noteiktu leņķi, neatkarīgi no tā, vai tās ir centrālās asis vai nav.

No formulām (6) var iegūt citu attiecību starp inerces momentiem, griežot asis. Pievienojot izteicienus un iegūstam

i., inerces momentu summa par jebkurām savstarpēji perpendikulārām asīm plkst Un z nemainās, kad tās tiek pagrieztas. Aizstājot pēdējo izteiksmi un to vērtību vietā, mēs iegūstam:

kur ir vietņu attālums dF no punkta PAR. Daudzums, kā jau zināms, ir sekcijas polārais inerces moments attiecībā pret punktu PAR.

Tādējādi sekcijas polārais inerces moments attiecībā pret jebkuru punktu ir vienāds ar aksiālo inerces momentu summu attiecībā pret savstarpēji perpendikulārām asīm, kas iet caur šo punktu. Tāpēc, pagriežot asis, šī summa paliek nemainīga. Šo atkarību (14.16.) var izmantot, lai vienkāršotu inerces momentu aprēķinu.

Tātad aplim:

Tā kā pēc simetrijas aplim tad

kas iepriekš iegūts ar integrāciju.

Līdzīgi plānsienu gredzenveida sekcijai var iegūt:

Galvenās inerces asis un galvenie inerces momenti.

Kā jau zināms, zinot centrālos inerces momentus un dotajam skaitlim, jūs varat aprēķināt inerces momentu attiecībā pret jebkuru citu asi.

Šajā gadījumā par galveno asu sistēmu var ņemt tādu sistēmu, kurā formulas ir ievērojami vienkāršotas. Proti, ir iespējams atrast koordinātu asu sistēmu, kurai centrbēdzes inerces moments ir vienāds ar nulli. Faktiski inerces momenti vienmēr ir pozitīvi, piemēram, pozitīvo vārdu summa, bet centrbēdzes moments

var būt gan pozitīvi, gan negatīvi, jo termini zydF atkarībā no zīmēm var būt dažādas zīmes z Un plkst vienai vai otrai vietnei. Tas nozīmē, ka tas var būt vienāds ar nulli.

Tiek sauktas asis, ap kurām izzūd centrbēdzes inerces moments galvenās asis inerce. Ja šādas sistēmas sākumu novieto figūras smaguma centrā, tad tādi būs galvenās centrālās asis. Mēs apzīmēsim šīs asis un ; viņiem

Noskaidrosim, kādā leņķī galvenās asis ir slīpas pret centrālajām asīm y un z (198. att.).

1. att. Aprēķina modelis galveno inerces asu novietojuma noteikšanai.

Labi zināmajā izteicienā kustībai no asīm yz uz asīm, centrbēdzes inerces momentam dodam leņķim vērtību; tad asis un sakritīs ar galvenajām, un centrbēdzes inerces moments būs vienāds ar nulli:

(1)

Šo vienādojumu apmierina divas vērtības , kas atšķiras par 180°, vai divas vērtības , kas atšķiras par 90°. Tātad šis vienādojums dod mums pozīciju divas asis, veidojot taisnu leņķi savā starpā. Tās būs galvenās centrālās asis un , kurām .

Izmantojot šo formulu, jūs varat izmantot zināmās, lai iegūtu formulas galvenajiem inerces momentiem un . Lai to izdarītu, mēs atkal izmantojam vispārīgo pozīciju aksiālo inerces momentu izteiksmes. Viņi nosaka vērtības un, ja mēs aizstājam

(2)

Iegūtās attiecības var izmantot problēmu risināšanai. Viens no galvenajiem inerces momentiem ir cits.

Formulas (2) var pārveidot formā, kurā nav vērtības . Izsakot un aizvietojot to vērtības pirmajā formulā (2), mēs iegūstam, vienlaikus veicot aizstāšanu no formulas (1):

Šeit aizstājot daļu no formulas (1) ar

mēs saņemam

(3)

To pašu izteiksmi var iegūt, veicot līdzīgu otrās formulas (3) transformāciju.

Galvenajai centrālo asu sistēmai, no kuras var pāriet uz jebkuru citu, var paņemt OU Un Oz, un galvenās asis un ; tad centrbēdzes inerces moments () formulās neparādīsies. Leņķi, ko veido asi , (2. att.) ar galveno asi , apzīmēsim ar . Lai aprēķinātu , un, pārvietojoties no asīm un , ir jāaizstāj leņķis caur , a un iepriekš atrastajās izteiksmēs , un , un , un . Rezultātā mēs iegūstam:

Pēc izskata šīs formulas ir pilnīgi līdzīgas normālo un bīdes spriegumu formulām pa diviem savstarpēji perpendikulāriem laukumiem elementā, kas pakļauts spriedzei divos virzienos. Mēs norādīsim tikai formulu, kas ļauj no divām leņķa vērtībām izvēlēties to, kas atbilst pirmās galvenās ass novirzei (dodot maks. Dž) no ass sākotnējās pozīcijas plkst:

Tagad beidzot varam formulēt, kas jādara, lai varētu visvienkāršākā veidā aprēķināt figūras inerces momentu attiecībā pret jebkuru asi. Ir nepieciešams zīmēt asis caur figūras smaguma centru OU Un Oz lai, sadalot figūru vienkāršākajās daļās, mēs varētu viegli aprēķināt momentus, kas iet attālumā (2. att.) no smaguma centra:

Daudzos gadījumos ir iespējams uzreiz uzzīmēt figūras galvenās asis; ja figūrai ir simetrijas ass, tad šī būs viena no galvenajām asīm. Faktiski, atvasinot formulu, mēs jau runājām ar integrāli, kas ir sekcijas centrbēdzes inerces moments attiecībā pret asīm plkst Un z; ir pierādīts, ka, ja ass Oz ir simetrijas ass, šis integrālis pazūd.

Tāpēc šajā gadījumā asis OU Un Oz ir galvenais sekcijas centrālās inerces asis. Tādējādi simetrijas ass- vienmēr galvenā centrālā ass; otrais mājas centrālā ass iet caur smaguma centru perpendikulāri simetrijas asij.

Piemērs. Atrodiet taisnstūra (3. att.) inerces momentus attiecībā pret asīm un ir vienādi ar:

Inerces momenti attiecībā pret asīm un ir vienādi ar:

Centrbēdzes inerces moments ir vienāds ar.

Sarežģītu posmu inerces momentu aprēķināšanas metode ir balstīta uz to, ka jebkuru integrāli var uzskatīt par integrāļu summu, un tāpēc jebkura posma inerces momentu var aprēķināt kā inerces momentu summu tās atsevišķās daļas.

Tāpēc, lai aprēķinātu inerces momentus, sarežģīts posms tiek sadalīts vairākās vienkāršās daļās (attēlos) tā, lai to ģeometriskos raksturlielumus varētu aprēķināt, izmantojot zināmas formulas vai atrast, izmantojot īpašas atsauces tabulas.

Dažos gadījumos, sadalot vienkāršās figūrās, lai samazinātu skaitu vai vienkāršotu to formu, sarežģīto sadaļu vēlams papildināt ar dažiem laukumiem. Tā, piemēram, nosakot sekcijas ģeometriskos raksturlielumus, kas parādīti attēlā. 22.5, a, ieteicams to pievienot taisnstūrim un pēc tam atņemt pievienotās daļas raksturlielumus no šī taisnstūra ģeometriskajiem raksturlielumiem. Dariet to pašu, ja ir caurumi (22.5. att., b).

Pēc sarežģītas sadaļas sadalīšanas vienkāršās daļās katrai no tām tiek izvēlēta taisnstūra koordinātu sistēma, attiecībā pret kuru jānosaka atbilstošās daļas inerces momenti. Visas šādas koordinātu sistēmas tiek pieņemtas kā paralēlas viena otrai, lai tad, paralēli pārvēršot asis, varētu aprēķināt visu daļu inerces momentus attiecībā pret koordinātu sistēmu, kas ir kopīga visam kompleksajam posmam.

Parasti tiek pieņemts, ka katras vienkāršas figūras koordinātu sistēma ir centrālā, t.i., tās izcelsme sakrīt ar šīs figūras smaguma centru. Šajā gadījumā tiek vienkāršots turpmākais inerces momentu aprēķins, pārejot uz citām paralēlām asīm, jo ​​formulām pārejai no centrālajām asīm ir vienkāršāka forma nekā no necentrālajām asīm.

Nākamais solis ir aprēķināt katras vienkāršās figūras laukumus, kā arī tās aksiālos un centrbēdzes inerces momentus attiecībā pret tai izvēlētās koordinātu sistēmas asīm. Statiskie momenti par šīm asīm, kā likums, ir vienādi ar nulli, jo katrai sadaļas daļai šīs asis parasti ir centrālās. Gadījumos, kad tās ir necentrālās asis, ir jāaprēķina statiskie momenti.

Polāro inerces momentu aprēķina tikai apļveida (cieta vai gredzenveida) posmam, izmantojot gatavas formulas; citu formu griezumiem šim ģeometriskajam raksturlielumam nav nekādas nozīmes, jo to neizmanto aprēķinos.

Katras vienkāršas figūras aksiālos un centrbēdzes inerces momentus attiecībā pret tās koordinātu sistēmas asīm aprēķina, izmantojot formulas vai tabulas, kas ir pieejamas šādam skaitlim. Dažiem skaitļiem pieejamās formulas un tabulas neļauj noteikt nepieciešamos aksiālos un centrbēdzes inerces momentus; šajos gadījumos ir nepieciešams izmantot formulas pārejai uz jaunām asīm (parasti asu rotācijas gadījumam).

Sortimenta tabulās nav norādītas leņķu centrbēdzes inerces momentu vērtības. Metode šādu inerces momentu noteikšanai ir aplūkota 4.5. piemērā.

Lielākajā daļā gadījumu sekcijas ģeometrisko raksturlielumu aprēķināšanas galvenais mērķis ir noteikt tā galvenos centrālos inerces momentus un galveno centrālo inerces asu stāvokli. Tāpēc nākamais aprēķina posms ir noteikta posma smaguma centra koordināšu noteikšana [izmantojot formulas (6.5) un (7.5)] kādā patvaļīgā (nejaušajā) koordinātu sistēmā Caur šo posma smaguma centru , paralēli vienkāršu figūru koordinātu sistēmas asīm novilktas papildu (ne galvenās) centrālās asis.

Pēc tam, izmantojot formulas, kas nosaka sakarības starp inerces momentiem paralēlām asīm (sk. § 5.5), nosaka katras vienkāršās figūras inerces momentus attiecībā pret papildu, centrālajām asīm, Summējot katras vienkāršas figūras relatīvās inerces momentus uz asīm nosaka visa kompleksā posma inerces momentus attiecībā pret šīm asīm; šajā gadījumā tiek atņemti urbumu vai pievienoto paliktņu inerces momenti.

Sadaļu inerces momentus sauc par šādas formas integrāļiem:

plkst;

– sekcijas aksiālais inerces moments attiecībā pret asi z;

– sekcijas centrbēdzes inerces moments;

– sekcijas polārais inerces moments.

3.2.1. Sekcijas inerces momentu īpašības

Inerces momentu dimensija ir [garums 4 ], parasti [ m 4 ] vai [ cm 4 ].

Aksiālie un polārie inerces momenti vienmēr ir pozitīvi. Centrbēdzes inerces moments var būt pozitīvs, negatīvs vai nulle.

Tiek sauktas asis, par kurām centrbēdzes inerces moments ir nulle galvenās inerces asis sadaļas.

Simetrijas asis vienmēr ir galvenās. Ja vismaz viena no divām savstarpēji perpendikulārām asīm ir simetrijas ass, tad abas asis ir galvenās.

Saliktā griezuma inerces moments ir vienāds ar šīs sadaļas elementu inerces momentu summu.

Polārais inerces moments ir vienāds ar aksiālo inerces momentu summu.

Pierādīsim pēdējo īpašību. Sadaļā ar laukumu A elementārai vietnei dA rādiusa vektors ρ un koordinātas plkst Un z(6. att.) ir savienoti saskaņā ar Pitagora teorēmu: ρ 2 = plkst 2 + z 2. Tad

Rīsi. 6. Sakarība starp polārajām un Dekarta koordinātām

elementāra vietne

3.2.2. Vienkāršāko figūru inerces momenti

IN taisnstūrveida sekcija(7. att.) izvēlieties elementāru platformu dA ar koordinātām y Un z un apgabals dA = dydz.

Rīsi. 7. Taisnstūra griezums

Aksiālais inerces moments ap asi plkst

.

Līdzīgi mēs iegūstam inerces momentu ap asi z:

Tāpēc ka plkst Un z– simetrijas ass, tad centrbēdzes moments D zy = 0.

Priekš aplis diametrs d aprēķini tiek vienkāršoti, ja ņemam vērā apļveida simetriju un izmantojam polārās koordinātas. Ņemsim par elementāru platformu bezgala plānu gredzenu ar rādiusu ρ un biezumu dρ (8. att.). Tās platība dA= 2πρ dρ. Tad polārais inerces moments ir:

.

Rīsi. 8. Apaļais posms

Kā parādīts iepriekš, aksiālie inerces momenti ap jebkuru centrālo asi ir vienādi un vienādi

.

Inerces moments gredzeni mēs atrodam kā atšķirību starp divu apļu inerces momentiem - ārējā (ar diametru D) un iekšējo (ar diametru d):

Inerces moments es z trīsstūris mēs to definēsim attiecībā pret asi, kas iet caur smaguma centru (9. att.). Acīmredzot elementāras sloksnes platums, kas atrodas attālumā plkst no ass z, ir vienāds

Tāpēc

Rīsi. 9. Trīsstūrveida griezums

3.3. Atkarības starp inerces momentiem attiecībā pret paralēlām asīm

Ar zināmām inerces momentu vērtībām attiecībā uz asīm z Un plkst noteiksim inerces momentus attiecībā pret citām asīm z 1 un y 1 paralēli dotajiem. Izmantojot aksiālo inerces momentu vispārīgo formulu, mēs atrodam

Ja cirvji z Un y tad centrālais
, Un

No iegūtajām formulām ir skaidrs, ka inerces momenti ap centrālajām asīm (kad
) ir mazākās vērtības, salīdzinot ar inerces momentiem uz citām paralēlām asīm.

3.4. Galvenās asis un galvenie inerces momenti

Kad asis tiek pagrieztas ar leņķi α, centrbēdzes inerces moments kļūst vienāds ar

.

Noteiksim galveno galveno inerces asu stāvokli u, v attiecībā uz kuru

,

kur α 0 ir leņķis, caur kuru asis jāpagriež y Un z lai tie kļūtu par galvenajiem.

Tā kā formula dod divas leņķa vērtības Un
, tad ir divas savstarpēji perpendikulāras galvenās asis. Maksimālā ass vienmēr veido mazāku leņķi ( ) ar to asīm ( z vai y), attiecībā pret kuru aksiālajam inerces momentam ir lielāka nozīme. Atcerieties, ka pozitīvie leņķi ir atdalīti no ass z pretpulksteņrādītājvirzienā.

Tiek saukti inerces momenti attiecībā uz galvenajām asīm galvenie inerces momenti. Var pierādīt, ka viņi

.

Plusa zīme otrā vārda priekšā attiecas uz maksimālo inerces momentu, mīnus zīme uz minimālo.