ტრიგონომეტრიული ფორმულები როგორ ამოხსნათ. ტრიგონომეტრიული განტოლებები - ფორმულები, ამონახსნები, მაგალითები

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არასანქცირებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

თქვენ შეგიძლიათ შეუკვეთოთ თქვენი პრობლემის დეტალური გადაწყვეტა !!!

ტოლობას, რომელიც შეიცავს უცნობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ (`sin x, cos x, tg x` ან `ctg x`) ტრიგონომეტრიული განტოლება ეწოდება და მათ ფორმულებს შემდგომ განვიხილავთ.

უმარტივესი განტოლებებია `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, სადაც `x` არის მოსაძებნი კუთხე, `a` არის ნებისმიერი რიცხვი. მოდით დავწეროთ თითოეული მათგანის ძირეული ფორმულები.

1. განტოლება `sin x=a`.

`|a|>1`-ისთვის მას არ აქვს გამოსავალი.

`|ა|-ით \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. განტოლება `cos x=a`

`|a|>1`-ისთვის - როგორც სინუსის შემთხვევაში, ნამდვილ რიცხვებს შორის ამონახსნები არ არის.

`|ა|-ით \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

სინუსის და კოსინუსების სპეციალური შემთხვევები გრაფიკებში.

3. განტოლება `tg x=a`

აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა `a`-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. განტოლება `ctg x=a`

მას ასევე აქვს გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა `a`-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

ცხრილის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების ფორმულები

სინუსისთვის:
კოსინუსისთვის:
ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის:
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა შედგება ორი ეტაპისგან:

• გამოყენება უმარტივესად გადასაყვანად;
• ამოხსენით მიღებული მარტივი განტოლება ფესვებისა და ცხრილების ზემოთ მოცემული ფორმულების გამოყენებით.

განვიხილოთ გადაწყვეტის ძირითადი მეთოდები მაგალითების გამოყენებით.

ალგებრული მეთოდი.

ამ მეთოდით ხდება ცვლადის ჩანაცვლება და მისი თანასწორობით ჩანაცვლება.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

გააკეთეთ ჩანაცვლება: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, შემდეგ `2y^2-3y+1=0`,

ვპოულობთ ფესვებს: `y_1=1, y_2=1/2`, საიდანაც მოდის ორი შემთხვევა:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

პასუხი: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ფაქტორიზაცია.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `sin x+cos x=1`.

გამოსავალი. გადაიტანეთ მარცხნივ ტოლობის ყველა პირობა: `sin x+cos x-1=0`. გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით და ვანაწილებთ მარცხენა მხარეს:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

პასუხი: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

შემცირება ერთგვაროვან განტოლებამდე

პირველ რიგში, თქვენ უნდა მიიყვანოთ ეს ტრიგონომეტრიული განტოლება ორიდან ერთ-ერთ ფორმამდე:

`a sin x+b cos x=0` (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება) ან `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (მეორე ხარისხის ჰომოგენური განტოლება).

შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი `cos x \ne 0` პირველი შემთხვევისთვის და `cos^2 x \ne 0` მეორეზე. ვიღებთ `tg x`-ის განტოლებებს: `a tg x+b=0` და `a tg^2 x + b tg x +c =0`, რომლებიც უნდა ამოხსნას ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ მარჯვენა მხარე, როგორც `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

ეს არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება, რომელიც ყოფს მის მარცხენა და მარჯვენა გვერდებს `cos^2 x \ne 0`-ზე, მივიღებთ:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. შემოვიღოთ ჩანაცვლება `tg x=t`, შედეგად `t^2 + t - 2=0`. ამ განტოლების ფესვებია `t_1=-2` და `t_2=1`. შემდეგ:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ Z-ში`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

გადადით ნახევარ კუთხეში

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

გამოსავალი. ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით, შედეგი არის: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

ზემოთ აღწერილი ალგებრული მეთოდის გამოყენებით ვიღებთ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \Z-ში`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

დამხმარე კუთხის დანერგვა

ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში `a sin x + b cos x =c`, სადაც a,b,c არის კოეფიციენტები და x არის ცვლადი, ორივე ნაწილს ვყოფთ `sqrt (a^2+b^2)`-ზე:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

მარცხენა მხარის კოეფიციენტებს აქვთ სინუსის და კოსინუსის თვისებები, კერძოდ, მათი კვადრატების ჯამი 1-ის ტოლია და მათი მოდული არ არის 1-ზე მეტი. აღნიშნეთ ისინი შემდეგნაირად: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C, მაშინ:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `3 sin x+4 cos x=2`.

გამოსავალი. განტოლების ორივე მხარის გაყოფით `sqrt (3^2+4^2)`-ზე მივიღებთ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

აღნიშნეთ `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. ვინაიდან `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ჩვენ ვიღებთ `\varphi=arcsin 4/5` როგორც დამხმარე კუთხე. შემდეგ ჩვენ ვწერთ ჩვენს თანასწორობას ფორმაში:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

სინუსისთვის კუთხეების ჯამის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ ჩვენს ტოლობას შემდეგი ფორმით:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

უპასუხე. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

წილად-რაციონალური ტრიგონომეტრიული განტოლებები

ეს არის წილადების ტოლობები, რომელთა მრიცხველებსა და მნიშვნელებში არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

გამოსავალი. გაამრავლეთ და გაყავით განტოლების მარჯვენა მხარე `(1+cos x)`-ზე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

იმის გათვალისწინებით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნული, მივიღებთ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

წილადის მრიცხველი გავაიგივოთ ნულთან: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. შემდეგ `sin x=0` ან `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

იმის გათვალისწინებით, რომ `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ამონახსნები არის `x=2\pi n, n \in Z` და `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ Z-ში`.

უპასუხე. `x=2\pi n`, `n \ Z-ში`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

ტრიგონომეტრია და კერძოდ ტრიგონომეტრიული განტოლებები გამოიყენება გეომეტრიის, ფიზიკისა და ინჟინერიის თითქმის ყველა სფეროში. სწავლა მე-10 კლასში იწყება, გამოცდისთვის ყოველთვის არის დავალებები, ამიტომ ეცადეთ დაიმახსოვროთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ყველა ფორმულა - ისინი აუცილებლად გამოგადგებათ!

თუმცა, თქვენ არც კი გჭირდებათ მათი დამახსოვრება, მთავარია გაიგოთ არსი და შეძლოთ დასკვნა. ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. თავად ნახეთ ვიდეოს ყურებით.

ბევრის ამოხსნისას მათემატიკური პრობლემები, განსაკუთრებით ის, რაც ხდება მე-10 კლასამდე, მკაფიოდ არის განსაზღვრული შესრულებული მოქმედებების თანმიმდევრობა, რომელიც მიგვიყვანს მიზნამდე. ასეთი პრობლემები მოიცავს, მაგალითად, წრფივ და კვადრატულ განტოლებებს, წრფივ და კვადრატულ უტოლობას, წილადი განტოლებებიდა განტოლებები, რომლებიც მცირდება კვადრატამდე. თითოეული აღნიშნული ამოცანის წარმატებით გადაჭრის პრინციპი ასეთია: უნდა დადგინდეს, თუ რა ტიპისაა გადაჭრილი პრობლემა, დაიმახსოვროთ მოქმედებების აუცილებელი თანმიმდევრობა, რომელიც გამოიწვევს სასურველ შედეგს, ე.ი. უპასუხეთ და მიჰყევით ამ ნაბიჯებს.

ცხადია, წარმატება ან წარუმატებლობა კონკრეტული პრობლემის გადაჭრაში ძირითადად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად სწორად არის განსაზღვრული გადაჭრის განტოლების ტიპი, რამდენად სწორად არის რეპროდუცირებული მისი ამოხსნის ყველა ეტაპის თანმიმდევრობა. რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში აუცილებელია იდენტური გარდაქმნებისა და გამოთვლების შესრულების უნარ-ჩვევები.

განსხვავებული სიტუაცია ხდება ტრიგონომეტრიული განტოლებები.ძნელი არ არის იმის დადგენა, რომ განტოლება ტრიგონომეტრიულია. სირთულეები წარმოიქმნება ქმედებების თანმიმდევრობის განსაზღვრისას, რაც გამოიწვევს სწორ პასუხს.

ზოგჯერ ძნელია მისი ტიპის განსაზღვრა განტოლების გარეგნობით. და განტოლების ტიპის ცოდნის გარეშე, რამდენიმე ათეული ტრიგონომეტრიული ფორმულიდან სწორის არჩევა თითქმის შეუძლებელია.

ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად უნდა ვცადოთ:

1. მიიტანეთ განტოლებაში შემავალი ყველა ფუნქცია „იგივე კუთხეებამდე“;
2. მიიტანეთ განტოლება „იგივე ფუნქციებზე“;
3. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება და ა.შ.

განვიხილოთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.

I. შემცირება უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებამდე

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.გამოხატეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ცნობილი კომპონენტების მიხედვით.

ნაბიჯი 2იპოვეთ ფუნქციის არგუმენტი ფორმულების გამოყენებით:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

ნაბიჯი 3იპოვნეთ უცნობი ცვლადი.

მაგალითი.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

გამოსავალი.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

პასუხი: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. ცვლადი ჩანაცვლება

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ განტოლება ალგებრულ ფორმაში ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მიმართ.

ნაბიჯი 2აღნიშნეთ მიღებული ფუნქცია t ცვლადით (საჭიროების შემთხვევაში შემოიტანეთ შეზღუდვები t-ზე).

ნაბიჯი 3ჩაწერეთ და ამოხსენით მიღებული ალგებრული განტოლება.

ნაბიჯი 4გააკეთეთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

ნაბიჯი 5ამოხსენით უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება.

მაგალითი.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

გამოსავალი.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) მოდით sin (x/2) = t, სადაც |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ან e = -3/2 არ აკმაყოფილებს პირობას |t| ≤ 1.

4) ცოდვა (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

პასუხი: x = π + 4πn, n Є Z.

III. განტოლების რიგის შემცირების მეთოდი

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.შეცვალეთ ეს განტოლება ხაზოვანი განტოლებით სიმძლავრის შემცირების ფორმულების გამოყენებით:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება I და II მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

cos2x + cos2x = 5/4.

გამოსავალი.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

პასუხი: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ჰომოგენური განტოლებები

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.მიიტანეთ ეს განტოლება ფორმაში

ა) a sin x + b cos x = 0 (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება)

ან ხედისკენ

ბ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება).

ნაბიჯი 2გაყავით განტოლების ორივე მხარე

ა) cos x ≠ 0;

ბ) cos 2 x ≠ 0;

და მიიღეთ განტოლება tg x-სთვის:

ა) a tg x + b = 0;

ბ) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

ნაბიჯი 3ამოხსენით განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

გამოსავალი.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) მოდით tg x = t, მაშინ

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ან t = -4, ასე

tg x = 1 ან tg x = -4.

პირველი განტოლებიდან x = π/4 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

პასუხი: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. განტოლების გარდაქმნის მეთოდი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით

გადაწყვეტის სქემა

Ნაბიჯი 1.ყველა სახის ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებით მიიტანეთ ეს განტოლება განტოლებამდე, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია I, II, III, IV მეთოდებით.

ნაბიჯი 2ამოხსენით მიღებული განტოლება ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

გამოსავალი.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ან 2cos x + 1 = 0;

პირველი განტოლებიდან 2x = π/2 + πn, n Є Z; მეორე განტოლებიდან cos x = -1/2.

გვაქვს x = π/4 + πn/2, n Є Z; მეორე განტოლებიდან x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

შედეგად, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

პასუხი: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის უნარი და უნარები ძალიან არის მნიშვნელოვანია, რომ მათი განვითარება მოითხოვს მნიშვნელოვან ძალისხმევას, როგორც მოსწავლის, ასევე მასწავლებლის მხრიდან.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან ასოცირდება სტერეომეტრიის, ფიზიკის და ა.შ მრავალი პრობლემა.ასეთი ამოცანების ამოხსნის პროცესი, თითქოსდა, შეიცავს ბევრ ცოდნას და უნარს, რომელიც იძენს ტრიგონომეტრიის ელემენტების შესწავლისას.

ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს მათემატიკის სწავლების და ზოგადად პიროვნების განვითარების პროცესში.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ტრიგონომეტრია, როგორც მეცნიერება, წარმოიშვა ძველ აღმოსავლეთში. პირველი ტრიგონომეტრიული კოეფიციენტები შექმნეს ასტრონომებმა ზუსტი კალენდრის შესაქმნელად და ვარსკვლავებზე ორიენტირებისთვის. ეს გამოთვლები დაკავშირებული იყო სფერულ ტრიგონომეტრიასთან, მაშინ, როცა ქ სკოლის კურსიშეისწავლეთ ბრტყელი სამკუთხედის გვერდებისა და კუთხის თანაფარდობა.

ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეხება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებებს და სამკუთხედების გვერდებსა და კუთხეებს შორის ურთიერთობას.

I ათასწლეულში კულტურისა და მეცნიერების აყვავების პერიოდში ცოდნა ძველი აღმოსავლეთიდან საბერძნეთში გავრცელდა. მაგრამ ტრიგონომეტრიის მთავარი აღმოჩენები არაბთა ხალიფატის კაცთა დამსახურებაა. კერძოდ, თურქმენმა მეცნიერმა ალ-მარაზვიმ შემოიტანა ისეთი ფუნქციები, როგორიცაა ტანგენსი და კოტანგენსი, შეადგინა მნიშვნელობების პირველი ცხრილები სინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების შესახებ. სინუსისა და კოსინუსის ცნება შემოიღეს ინდოელმა მეცნიერებმა. დიდი ყურადღება ეთმობა ტრიგონომეტრიას ანტიკური ხანის ისეთი დიდი მოღვაწეების ნამუშევრებში, როგორიცაა ევკლიდე, არქიმედეს და ერატოსთენე.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი რაოდენობები

რიცხვითი არგუმენტის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი გრაფიკი: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.

ამ რაოდენობების მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები ეფუძნება პითაგორას თეორემას. ეს უფრო ცნობილია სკოლის მოსწავლეებისთვის ფორმულირებით: „პითაგორას შარვალი, ყველა მიმართულებით თანაბარი“, რადგან მტკიცებულება მოცემულია ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის მაგალითზე.

სინუსი, კოსინუსი და სხვა დამოკიდებულებები ამყარებენ ურთიერთობას მახვილ კუთხეებსა და მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. ჩვენ ვაძლევთ ფორმულებს ამ სიდიდეების გამოსათვლელად A კუთხისთვის და ვადგენთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ურთიერთობას:

როგორც ხედავთ, tg და ctg შებრუნებული ფუნქციებია. თუ A ფეხს წარმოვადგენთ, როგორც ცოდვის A და ჰიპოტენუზის c ნამრავლს, ხოლო b ფეხს, როგორც cos A * c, მაშინ მივიღებთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შემდეგ ფორმულებს:

ტრიგონომეტრიული წრე

გრაფიკულად, აღნიშნული რაოდენობების თანაფარდობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

წრე, ამ შემთხვევაში, წარმოადგენს α კუთხის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას - 0°-დან 360°-მდე. როგორც ნახატიდან ჩანს, თითოეული ფუნქცია კუთხიდან გამომდინარე იღებს უარყოფით ან დადებით მნიშვნელობას. მაგალითად, sin α იქნება „+“ ნიშნით, თუ α მიეკუთვნება წრის I და II მეოთხედებს, ანუ ის არის 0 °-დან 180 °-მდე დიაპაზონში. α 180°-დან 360°-მდე (III და IV კვარტლები), sin α შეიძლება იყოს მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელობა.

შევეცადოთ ავაშენოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილები კონკრეტული კუთხისთვის და გავარკვიოთ რაოდენობების მნიშვნელობა.

α-ის მნიშვნელობებს, რომლებიც ტოლია 30°, 45°, 60°, 90°, 180° და ა.შ. განსაკუთრებული შემთხვევები ეწოდება. მათთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები გამოითვლება და წარმოდგენილია სპეციალური ცხრილების სახით.

ეს კუთხეები შემთხვევით არ აირჩიეს. ცხრილებში π აღნიშვნა არის რადიანებისთვის. რად არის კუთხე, რომლის დროსაც წრიული რკალის სიგრძე შეესაბამება მის რადიუსს. ეს მნიშვნელობა დაინერგა უნივერსალური ურთიერთობის დამყარების მიზნით; რადიანებში გაანგარიშებისას, რადიუსის რეალურ სიგრძეს სმ-ში მნიშვნელობა არ აქვს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილების კუთხეები შეესაბამება რადიანის მნიშვნელობებს:

ასე რომ, ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ 2π არის სრული წრე ან 360°.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები: სინუსი და კოსინუსი

სინუსის და კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის ძირითადი თვისებების გასათვალისწინებლად და შესადარებლად აუცილებელია მათი ფუნქციების დახატვა. ეს შეიძლება გაკეთდეს მრუდის სახით, რომელიც მდებარეობს ორგანზომილებიან კოორდინატულ სისტემაში.

განვიხილოთ სინუსუსური და კოსინუსური ტალღების თვისებების შედარებითი ცხრილი:

სინუსოიდი	კოსინუსური ტალღა
y = ცოდვა x	y = cos x
ოძ [-1; 1]	ოძ [-1; 1]
sin x = 0, x = πk-სთვის, სადაც k ϵ Z	cos x = 0, x = π/2 + πk, სადაც k ϵ Z
sin x = 1, x = π/2 + 2πk, სადაც k ε Z	cos x = 1, x = 2πk-სთვის, სადაც k ϵ Z
sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk, სადაც k ε Z	cos x = - 1, x = π + 2πk, სადაც k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, ანუ კენტი ფუნქცია	cos (-x) = cos x, ანუ ფუნქცია ლუწია
	ფუნქცია პერიოდულია, ყველაზე პატარა პერიოდი არის 2π
sin x › 0, x მიეკუთვნება I და II მეოთხედებს ან 0°-დან 180°-მდე (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x მიეკუთვნება I და IV მეოთხედებს ან 270°-დან 90°-მდე (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, x მიეკუთვნება III და IV მეოთხედებს ან 180°-დან 360°-მდე (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x ეკუთვნის II და III მეოთხედებს ან 90°-დან 270°-მდე (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
იზრდება ინტერვალით [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	იზრდება ინტერვალით [-π + 2πk, 2πk]
მცირდება ინტერვალებით [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	მცირდება ინტერვალებით
წარმოებული (sin x)' = cos x	წარმოებული (cos x)’ = - sin x

იმის დადგენა, არის თუ არა ფუნქცია ლუწი თუ არა, ძალიან მარტივია. საკმარისია წარმოვიდგინოთ ტრიგონომეტრიული წრე ტრიგონომეტრიული სიდიდეების ნიშნებით და გონებრივად „დაკეცოთ“ გრაფიკი OX ღერძის მიმართ. თუ ნიშნები ერთნაირია, ფუნქცია ლუწია, წინააღმდეგ შემთხვევაში – კენტი.

რადიანების შემოღება და სინუსოიდური და კოსინუსური ტალღების ძირითადი თვისებების ჩამოთვლა საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ შემდეგი ნიმუში:

ფორმულის სისწორის გადამოწმება ძალიან მარტივია. მაგალითად, x = π/2-სთვის, სინუსი უდრის 1-ს, ისევე როგორც x = 0-ის კოსინუსი. შემოწმება შეიძლება განხორციელდეს ცხრილების ნახვით ან მოცემული მნიშვნელობებისთვის ფუნქციის მრუდების კვალის საშუალებით.

ტანგენტოიდის და კოტანგენტოიდის თვისებები

ტანგენტისა და კოტანგენტის ფუნქციების გრაფიკები მნიშვნელოვნად განსხვავდება სინუსოიდური და კოსინუსური ტალღებისგან. tg და ctg მნიშვნელობები შებრუნებულია ერთმანეთის მიმართ.

1. Y = tgx.
2. ტანგენსი მიდრეკილია y-ის მნიშვნელობებზე x = π/2 + πk, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
3. ტანგენტოიდის ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდია π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, ანუ ფუნქცია უცნაურია.
5. Tg x = 0, x = πk-სთვის.
6. ფუნქცია იზრდება.
7. Tg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (— π/2 + πk, πk).
9. წარმოებული (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

განვიხილოთ კოტანგენტოიდის გრაფიკული გამოსახულება ქვემოთ მოცემულ ტექსტში.

კოტანგენტოიდის ძირითადი თვისებები:

1. Y = ctgx.
2. სინუსებისა და კოსინუსების ფუნქციებისგან განსხვავებით, ტანგენტოიდში Y-ს შეუძლია მიიღოს ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის მნიშვნელობები.
3. კოტანგენტოიდი მიდრეკილია y მნიშვნელობებისკენ x = πk-ზე, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
4. კოტანგენტოიდის ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდია π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, ანუ ფუნქცია კენტია.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk-სთვის.
7. ფუნქცია მცირდება.
8. Ctg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (π/2 + πk, πk).
10. წარმოებული (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x ფიქსი

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის კონცეფცია.

• ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად გადააქციეთ იგი ერთ ან რამდენიმე ძირითად ტრიგონომეტრიულ განტოლებად. ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა საბოლოოდ მოდის ოთხი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნაზე.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

• არსებობს ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების 4 ტიპი:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა მოიცავს სხვადასხვა x პოზიციების დათვალიერებას ერთეულების წრეზე, ასევე გარდაქმნის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებას.
• მაგალითი 1. sin x = 0.866. კონვერტაციის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებით მიიღებთ პასუხს: x = π/3. ერთეული წრე იძლევა სხვა პასუხს: 2π/3. გახსოვდეთ: ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია, ანუ მათი მნიშვნელობები მეორდება. მაგალითად, sin x და cos x პერიოდულობა არის 2πn, ხოლო tg x და ctg x არის πn. ასე რომ, პასუხი ასე იწერება:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• მაგალითი 2 cos x = -1/2. კონვერტაციის ცხრილის (ან კალკულატორის) გამოყენებით მიიღებთ პასუხს: x = 2π/3. ერთეული წრე იძლევა სხვა პასუხს: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• მაგალითი 3. tg (x - π/4) = 0.
• პასუხი: x \u003d π / 4 + πn.
• მაგალითი 4. ctg 2x = 1.732.
• პასუხი: x \u003d π / 12 + πn.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას გამოყენებული ტრანსფორმაციები.

• ტრიგონომეტრიული განტოლებების გარდაქმნისთვის გამოიყენება ალგებრული გარდაქმნები (ფაქტორირება, ერთგვაროვანი ტერმინების შემცირება და სხვ.) და ტრიგონომეტრიული იდენტობები.
• მაგალითი 5. ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით განტოლება sin x + sin 2x + sin 3x = 0 გარდაიქმნება განტოლებაში 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. ამრიგად, შემდეგი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებები საჭიროა გადაჭრა: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• კუთხეების პოვნა ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობებიდან.

  • სანამ ისწავლით ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნას, უნდა ისწავლოთ როგორ იპოვოთ კუთხეები ფუნქციების ცნობილი მნიშვნელობებიდან. ეს შეიძლება გაკეთდეს კონვერტაციის ცხრილის ან კალკულატორის გამოყენებით.
  • მაგალითი: cos x = 0.732. კალკულატორი მოგცემთ პასუხს x = 42,95 გრადუსი. ერთეული წრე მისცემს დამატებით კუთხეებს, რომელთა კოსინუსი ასევე უდრის 0,732-ს.

• მოათავსეთ ხსნარი ერთეულ წრეზე.

  • თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნები ერთეულ წრეზე. ტრიგონომეტრიული განტოლების ამონახსნები ერთეულ წრეზე არის რეგულარული მრავალკუთხედის წვეროები.
  • მაგალითი: ამონახსნები x = π/3 + πn/2 ერთეულ წრეზე არის კვადრატის წვეროები.
  • მაგალითი: ამონახსნები x = π/4 + πn/3 ერთეულ წრეზე არის რეგულარული ექვსკუთხედის წვეროები.

• ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

  • თუ მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლება შეიცავს მხოლოდ ერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას, ამოხსენით ეს განტოლება ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლების სახით. თუ მოცემული განტოლება მოიცავს ორ ან მეტ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას, მაშინ არსებობს ასეთი განტოლების ამოხსნის 2 მეთოდი (დამოკიდებულია მისი გარდაქმნის შესაძლებლობაზე).
    • მეთოდი 1
  • გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: f(x)*g(x)*h(x) = 0, სადაც f(x), g(x), h(x) არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
  • მაგალითი 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • გამოსავალი. ორმაგი კუთხის ფორმულის გამოყენებით sin 2x = 2*sin x*cos x, შეცვალეთ sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos x = 0 და (sin x + 1) = 0.
  • მაგალითი 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • ამოხსნა: ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: cos 2x(2cos x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos 2x = 0 და (2cos x + 1) = 0.
  • მაგალითი 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • ამოხსნა: ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით გადააქციეთ ეს განტოლება ფორმის განტოლებად: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. ახლა ამოხსენით ორი ძირითადი ტრიგონომეტრიული განტოლება: cos 2x = 0 და (2sin x + 1) = 0.
    • მეთოდი 2
  • გადააქციეთ მოცემული ტრიგონომეტრიული განტოლება განტოლებად, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას. შემდეგ შეცვალეთ ეს ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ზოგიერთი უცნობით, მაგალითად, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t და ა.შ.).
  • მაგალითი 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • გამოსავალი. ამ განტოლებაში ჩაანაცვლეთ (cos^2 x) (1 - sin^2 x)-ით (იდენტურობის მიხედვით). გარდაქმნილი განტოლება ასე გამოიყურება:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. ჩაანაცვლეთ sin x t. ახლა განტოლება ასე გამოიყურება: 5t^2 - 4t - 9 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება ორი ფესვით: t1 = -1 და t2 = 9/5. მეორე ფესვი t2 არ აკმაყოფილებს ფუნქციის დიაპაზონს (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • მაგალითი 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • გამოსავალი. ჩაანაცვლეთ tg x t-ით. გადაწერეთ საწყისი განტოლება შემდეგნაირად: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. ახლა იპოვეთ t და შემდეგ იპოვეთ x t = tg x-ისთვის.