მყარი ფიგურების არეები. როგორ გამოვთვალოთ და დავასახელოთ ფართობი

გეომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფორმულები - როგორიცაა სამკუთხედის ფართობი ან პარალელოგრამის ფართობი - ასევე მარტივი ხრიკები, რომლებზეც ჩვენ ვისაუბრებთ.

პირველ რიგში, მოდით ვისწავლოთ ფორმულები ფიგურების ფართობებისთვის. ჩვენ სპეციალურად მოვაგროვეთ ისინი მოსახერხებელ მაგიდაზე. დაბეჭდე, ისწავლე და მიმართე!

რა თქმა უნდა, ყველა გეომეტრიის ფორმულა არ არის ჩვენს ცხრილში. მაგალითად, მათემატიკაში პროფილის გამოცდის მეორე ნაწილში გეომეტრიისა და სტერეომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად, ასევე გამოიყენება სამკუთხედის ფართობის სხვა ფორმულები. ჩვენ აუცილებლად მოგიყვებით მათ შესახებ.

რა მოხდება, თუ თქვენ უნდა იპოვოთ არა ტრაპეციის ან სამკუთხედის ფართობი, არამედ რაიმე რთული ფიგურის ფართობი? არსებობს უნივერსალური გზები! ჩვენ მათ ვაჩვენებთ FIPI დავალების ბანკის მაგალითების გამოყენებით.

1. როგორ მოვძებნოთ არასტანდარტული ფიგურის ფართობი? მაგალითად, თვითნებური ოთხკუთხედი? მარტივი ტექნიკა - მოდით დავყოთ ეს ფიგურა მათზე, რაც ყველამ ვიცით და ვიპოვოთ მისი ფართობი - როგორც ამ ფიგურების ფართობების ჯამი.

გაყავით ეს ოთხკუთხედი ჰორიზონტალური ხაზით ორ სამკუთხედად, რომელთა საერთო ფუძე ტოლია . ამ სამკუთხედების სიმაღლეებია და . მაშინ ოთხკუთხედის ფართობი უდრის ორი სამკუთხედის ფართობების ჯამს: .

პასუხი:.

2. ზოგიერთ შემთხვევაში, ფიგურის ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც სხვაობა ნებისმიერი სფეროდან.

არც ისე ადვილია გამოთვალო, რის ტოლია ამ სამკუთხედში ფუძე და სიმაღლე! მაგრამ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მისი ფართობი უდრის სხვაობას კვადრატისა და სამი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობებს შორის. ხედავთ მათ სურათზე? ვიღებთ: .

პასუხი:.

3. ზოგჯერ ამოცანაში საჭიროა არა მთელი ფიგურის, არამედ მისი ნაწილის ფართობის პოვნა. ჩვეულებრივ, ჩვენ ვსაუბრობთ სექტორის ფართობზე - წრის ნაწილზე. იპოვეთ რადიუსის წრის სექტორის ფართობი, რომლის რკალის სიგრძე უდრის. .

ამ სურათზე ჩვენ ვხედავთ წრის ნაწილს. მთელი წრის ფართობი უდრის, ვინაიდან. რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ნაწილია გამოსახული წრის. ვინაიდან მთლიანი წრის სიგრძე არის (მას შემდეგ), და ამ სექტორის რკალის სიგრძე არის მაშასადამე, რკალის სიგრძე რამდენჯერმე ნაკლებია მთელი წრის სიგრძეზე. კუთხე, რომელზეც ეს რკალი ეყრდნობა, ასევე ჯერ ნაკლებია სრულ წრეზე (ანუ გრადუსებზე). ეს ნიშნავს, რომ სექტორის ფართობი რამდენჯერმე ნაკლები იქნება, ვიდრე მთელი წრის ფართობი.

ფართობის ფორმულააუცილებელია ფიგურის ფართობის დასადგენად, რომელიც არის ევკლიდური სიბრტყის ფიგურების გარკვეულ კლასზე განსაზღვრული რეალური მნიშვნელობის ფუნქცია და აკმაყოფილებს 4 პირობას:

1. დადებითი - ფართობი არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები;
2. ნორმალიზაცია - კვადრატს ერთიანობის გვერდით აქვს 1 ფართობი;
3. კონგრუენტობა - თანმიმდევრულ ფიგურებს აქვთ თანაბარი ფართობი;
4. დანამატობა - 2 ფიგურის გაერთიანების ფართობი საერთო შიდა წერტილების გარეშე უდრის ამ ფიგურების ფართობების ჯამს.

ფორმულები გეომეტრიული ფორმების ფართობისთვის.

გეომეტრიული ფიგურა	ფორმულა	ნახატი
ამოზნექილი ოთხკუთხედის საპირისპირო გვერდების შუა წერტილებს შორის მანძილების დამატების შედეგი იქნება მისი ნახევარპერიმეტრის ტოლი.
წრის სექტორი. წრის სექტორის ფართობი უდრის მისი რკალის ნამრავლს და რადიუსის ნახევარს.
წრის სეგმენტი. სეგმენტის ASB ფართობის მისაღებად საკმარისია სამკუთხედის AOB ფართობი გამოვაკლოთ AOB სექტორის ფართობს.	S = 1/2 R(s - AC)
ელიფსის ფართობი უდრის ელიფსის დიდი და მცირე ნახევარღერძების სიგრძის ნამრავლის ნამრავლს გამრავლებული pi.
ელიფსი. კიდევ ერთი ვარიანტი, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ ელიფსის ფართობი, არის მისი ორი რადიუსი.
სამკუთხედი. ბაზისა და სიმაღლის მეშვეობით. წრის ფართობის ფორმულა მისი რადიუსისა და დიამეტრის მიხედვით.
მოედანი . მისი მხრიდან. კვადრატის ფართობი უდრის მისი მხარის სიგრძის კვადრატს.
მოედანი. მისი დიაგონალის მეშვეობით. კვადრატის ფართობი არის მისი დიაგონალის სიგრძის კვადრატის ნახევარი.
რეგულარული მრავალკუთხედი. რეგულარული მრავალკუთხედის ფართობის დასადგენად, აუცილებელია მისი დაყოფა თანაბარ სამკუთხედებად, რომლებსაც ექნებათ საერთო წვერო ჩაწერილი წრის ცენტრში.	S= r p = 1/2 r n a

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

თუ თქვენ თავად აპირებთ რემონტის გაკეთებას, მაშინ მოგიწევთ შეაფასოთ სამშენებლო და დასრულების მასალები. ამისათვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ ოთახის ფართობი, რომელშიც აპირებთ რემონტის განხორციელებას. ამაში მთავარი ასისტენტი არის სპეციალურად შექმნილი ფორმულა. ოთახის ფართობი, კერძოდ, მისი გაანგარიშება, საშუალებას მოგცემთ დაზოგოთ ბევრი ფული სამშენებლო მასალებზე და გამოყოფილი ფინანსური რესურსები უფრო საჭირო მიმართულებით მიმართოთ.

ოთახის გეომეტრიული ფორმა

ოთახის ფართობის გამოთვლის ფორმულა პირდაპირ დამოკიდებულია მის ფორმაზე. საყოფაცხოვრებო სტრუქტურებისთვის ყველაზე დამახასიათებელია მართკუთხა და კვადრატული ოთახები. თუმცა, ხელახალი განვითარების დროს, სტანდარტული ფორმა შეიძლება დამახინჯდეს. ოთახებია:

• მართკუთხა.
• მოედანი.
• რთული კონფიგურაცია (მაგალითად, მრგვალი).
• ნიშებითა და რაფებით.

თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი გაანგარიშების მახასიათებლები, მაგრამ, როგორც წესი, გამოიყენება იგივე ფორმულა. ნებისმიერი ფორმისა და ზომის ოთახის ფართობი, ასე თუ ისე, შეიძლება გამოითვალოს.

მართკუთხა ან კვადრატული ოთახი

მართკუთხა ან კვადრატული ოთახის ფართობის გამოსათვლელად, საკმარისია გახსოვდეთ სკოლის გეომეტრიის გაკვეთილები. ამიტომ, არ უნდა გაგიჭირდეთ ოთახის ფართობის განსაზღვრა. გაანგარიშების ფორმულა ასე გამოიყურება:

S ოთახები=A*B, სადაც

A არის ოთახის სიგრძე.

B არის ოთახის სიგანე.

ამ მნიშვნელობების გასაზომად დაგჭირდებათ ჩვეულებრივი ლენტი. ყველაზე ზუსტი გამოთვლების მისაღებად, ღირს კედლის გაზომვა ორივე მხრიდან. თუ მნიშვნელობები არ ემთხვევა, საფუძვლად აიღეთ მიღებული მონაცემების საშუალო. მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერ გამოთვლას აქვს საკუთარი შეცდომები, ამიტომ მასალა უნდა იყოს შეძენილი ზღვარით.

ოთახი რთული კონფიგურაციით

თუ თქვენი ოთახი არ ექვემდებარება "ტიპიური" განმარტებას, ე.ი. აქვს წრის, სამკუთხედის, მრავალკუთხედის ფორმა, მაშინ შეიძლება დაგჭირდეთ გამოთვლებისთვის განსხვავებული ფორმულა. თქვენ შეგიძლიათ სცადოთ ასეთი მახასიათებლის მქონე ოთახის ფართობი პირობითად დაყოთ მართკუთხა ელემენტებად და გააკეთოთ გამოთვლები სტანდარტული გზით. თუ ეს შეუძლებელია თქვენთვის, გამოიყენეთ შემდეგი მეთოდები:

• წრის ფართობის პოვნის ფორმულა:

S ოთახი \u003d π * R 2, სადაც

R არის ოთახის რადიუსი.

• სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა არის:

S ოთახი = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), სადაც

P არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი.

A, B, C არის მისი გვერდების სიგრძე.

აქედან გამომდინარე, P \u003d A + B + C / 2

თუ გაანგარიშების პროცესში რაიმე სირთულე გაქვთ, მაშინ უმჯობესია არ იტანჯოთ თავი და მიმართოთ პროფესიონალებს.

ოთახის ფართი კიდეებით და ნიშებით

ხშირად კედლები მორთულია დეკორატიული ელემენტებით სხვადასხვა ნიშების ან კიდეების სახით. ასევე, მათი ყოფნა შეიძლება გამოწვეული იყოს თქვენი ოთახის ზოგიერთი არაესთეტიკური ელემენტის დამალვის აუცილებლობით. თქვენს კედელზე რაფების ან ნიშების არსებობა ნიშნავს, რომ გაანგარიშება უნდა განხორციელდეს ეტაპობრივად. იმათ. ჯერ ნაპოვნია კედლის ბრტყელი მონაკვეთის ფართობი, შემდეგ კი მას ემატება ნიშის ან რაფის ფართობი.

კედლის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

S კედლები \u003d P x C, სადაც

P - პერიმეტრი

C - სიმაღლე

თქვენ ასევე უნდა გაითვალისწინოთ ფანჯრებისა და კარების არსებობა. მათი ფართობი უნდა გამოკლდეს მიღებულ მნიშვნელობას.

ოთახი მრავალ დონის ჭერით

მრავალდონიანი ჭერი არ ართულებს გამოთვლებს ისე, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. თუ მას აქვს მარტივი დიზაინი, მაშინ გამოთვლები შეიძლება გაკეთდეს ნიშებითა და კიდეებით გართულებული კედლების ფართობის პოვნის პრინციპით.

თუმცა, თუ თქვენი ჭერის დიზაინს აქვს თაღოვანი და ტალღოვანი ელემენტები, მაშინ უფრო მიზანშეწონილია მისი ფართობის განსაზღვრა იატაკის ფართობის გამოყენებით. ამისთვის საჭიროა:

1. იპოვნეთ კედლების ყველა სწორი მონაკვეთის ზომები.
2. იპოვნეთ იატაკის ფართობი.
3. გაამრავლეთ ვერტიკალური მონაკვეთების სიგრძე და სიმაღლე.
4. შეაჯამეთ მიღებული მნიშვნელობა იატაკის ფართობთან.

ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები ჯამის დასადგენად

სართული ფართი

1. გაათავისუფლე ოთახი არასაჭირო ნივთებისგან. გაზომვის პროცესში დაგჭირდებათ უფასო წვდომა თქვენი ოთახის ყველა უბანზე, ასე რომ თქვენ უნდა მოიცილოთ ყველაფერი, რაც ხელს შეუშლის ამას.
2. ვიზუალურად დაყავით ოთახი რეგულარული და არარეგულარული ფორმის სექციებად. თუ თქვენს ოთახს აქვს მკაცრად კვადრატული ან მართკუთხა ფორმა, მაშინ ეს ნაბიჯი შეიძლება გამოტოვოთ.
3. გააკეთეთ ოთახის თვითნებური განლაგება. ეს ნახატი საჭიროა ისე, რომ ყველა მონაცემი ყოველთვის თქვენს ხელთაა. ასევე, ის არ მოგცემთ შესაძლებლობას დაიბნეთ მრავალრიცხოვან გაზომვებში.
4. გაზომვები რამდენჯერმე უნდა გაკეთდეს. ეს მნიშვნელოვანი წესია, რათა თავიდან აიცილოთ შეცდომები გამოთვლებში. ასევე, თუ იყენებთ, დარწმუნდით, რომ სხივი დევს კედლის ზედაპირზე.
5. იპოვნეთ ოთახის მთლიანი ფართობი. ოთახის მთლიანი ფართობის ფორმულა არის ოთახის ცალკეული მონაკვეთების ყველა ფართობის ჯამის პოვნა. იმათ. S სულ = S კედლები + S იატაკი + S ჭერი

გეომეტრიული ფართობი- გეომეტრიული ფიგურის რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც აჩვენებს ამ ფიგურის ზომას (ზედაპირის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ამ ფიგურის დახურული კონტურით). ფართობის ზომა გამოიხატება მასში შემავალი კვადრატული ერთეულების რაოდენობით.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულები

1. სამკუთხედის ფართობის ფორმულა გვერდისა და სიმაღლისთვის
   სამკუთხედის ფართობიტოლია სამკუთხედის გვერდის სიგრძისა და ამ მხარის სიმაღლის ნამრავლის ნახევარს
   
2. სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მოცემულია სამი გვერდით და შემოხაზული წრის რადიუსით
   
3. სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მოცემულია სამი გვერდით და ჩაწერილი წრის რადიუსით
   სამკუთხედის ფართობიტოლია სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრისა და შემოხაზული წრის რადიუსის ნამრავლის.
   
სადაც S არის სამკუთხედის ფართობი,
- სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები,
- სამკუთხედის სიმაღლე,
- კუთხე გვერდებს შორის და,
- ჩაწერილი წრის რადიუსი,
R - შემოხაზული წრის რადიუსი,

კვადრატული ფართობის ფორმულები

1. კვადრატის ფართობის ფორმულა, რომელიც მოცემულია გვერდის სიგრძეზე
   კვადრატული ფართობიუდრის მისი გვერდის სიგრძის კვადრატს.
2. კვადრატის ფართობის ფორმულა დიაგონალის სიგრძის გათვალისწინებით
   კვადრატული ფართობიუდრის მისი დიაგონალის სიგრძის კვადრატის ნახევარს.
   

   S=	1	2
   	2

სადაც S არის კვადრატის ფართობი,
არის კვადრატის გვერდის სიგრძე,
არის კვადრატის დიაგონალის სიგრძე.

მართკუთხედის ფართობის ფორმულა

მართკუთხედის ფართობიუდრის მისი ორი მიმდებარე გვერდის სიგრძის ნამრავლს

სადაც S არის მართკუთხედის ფართობი,
არის მართკუთხედის გვერდების სიგრძეები.

პარალელოგრამის ფართობის ფორმულები

1. პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა გვერდის სიგრძისა და სიმაღლისთვის
   პარალელოგრამის ფართობი
2. პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა მოცემულია ორი გვერდით და მათ შორის კუთხით
   პარალელოგრამის ფართობიუდრის მისი გვერდების სიგრძის ნამრავლს გამრავლებული მათ შორის კუთხის სინუსზე.
   

   a b sinα

სადაც S არის პარალელოგრამის ფართობი,
არის პარალელოგრამის გვერდების სიგრძეები,
არის პარალელოგრამის სიმაღლე,
არის კუთხე პარალელოგრამის გვერდებს შორის.

რომბის ფართობის ფორმულები

1. რომბის ფართობის ფორმულა მოცემულია მხარის სიგრძე და სიმაღლე
   რომბის არეუდრის მისი მხარის სიგრძისა და ამ მხარეს დაშვებული სიმაღლის ნამრავლს.
2. რომბის ფართობის ფორმულა მოცემულია გვერდის სიგრძე და კუთხე
   რომბის არეუდრის მისი გვერდის სიგრძის კვადრატისა და რომბის გვერდებს შორის კუთხის სინუსის ნამრავლს.
3. რომბის ფართობის ფორმულა მისი დიაგონალების სიგრძიდან
   რომბის არეუდრის მისი დიაგონალების სიგრძის ნამრავლის ნახევარს.
სადაც S არის რომბის ფართობი,
- რომბის მხარის სიგრძე,
- რომბის სიმაღლის სიგრძე,
- კუთხე რომბის გვერდებს შორის,
1, 2 - დიაგონალების სიგრძე.

ტრაპეციის ფართობის ფორმულები

1. ჰერონის ფორმულა ტრაპეციისთვის

   სადაც S არის ტრაპეციის ფართობი,
   - ტრაპეციის ფუძის სიგრძე,
   - ტრაპეციის გვერდების სიგრძე,