方程式の解き方 7.方程式
方程式
方程式を解くには？
このセクションでは、最も基本的な方程式を思い出します (または勉強します - 好きなように)。 では、方程式とは何ですか？ 人間の言葉で言えば、これはある種の数式であり、等号と未知数があります。 これは通常、文字で示されます "バツ". 方程式を解くに代入すると、そのようなx値を見つけることです オリジナル式、正しいアイデンティティを提供します。 アイデンティティーとは、数学的知識をまったく持っていない人にとっても、疑いの余地のない表現であることを思い出してください。 2=2、0=0、ab=ab など。 では、どのように方程式を解くのでしょうか?それを理解しましょう。
いろいろな方程式があります（ビックリしましたよね？）。 しかし、それらの無限の多様性はすべて、4 つのタイプにしか分類できません。
4. 他の。）
もちろん、残りのすべて、ほとんどすべて、はい...）これには、3次、指数、対数、三角、およびあらゆる種類のものが含まれます。 関連するセクションで彼らと緊密に連携します。
最初の 3 つのタイプの方程式が複雑すぎて認識できない場合があることをすぐに言わなければなりません... 何もありません。 それらをほどく方法を学びます。
そして、なぜこれらの 4 つのタイプが必要なのでしょうか? そして、何 一次方程式一通り解決 四角その他 分数有理数 - 3番目、 a 休み全然解決しない！ まあ、彼らがまったく決定しないわけではありません、私は無駄に数学を怒らせました.) ただ、彼らは独自の特別なテクニックと方法を持っているだけです.
しかし、どんな場合でも（繰り返します- どれか！) 方程式は、信頼性が高く問題のない解決の基礎です。 いつでもどこでも機能します。 このベース - 恐ろしく聞こえるかもしれませんが、事はとてもシンプルです。 そして、非常に （とても！）重要。
実際、方程式の解は、これらの同じ変換で構成されています。 99% で。 質問への回答: " 方程式を解くには？」 嘘は、これらの変換だけです。ヒントは明確ですか?)
方程式の恒等変換。
で 任意の方程式未知のものを見つけるには、元の例を変換して単純化する必要があります。 また、見た目を変えるときは 方程式の本質は変わっていません。そのような変換は呼ばれます 同一または同等のもの。
これらの変換は 方程式のためだけに。数学では、同じ変換がまだあります 式。これは別のトピックです。
今、すべてのすべての基本を繰り返します 等式の同一変換。
応用できるから基本 どれか方程式 - 線形、二次、分数、三角、指数、対数など 等
最初の同一変換: 任意の方程式の両辺を加算 (減算) できます どれか(しかし同じ!) 数または式 (未知の式を含む!)。 方程式の本質は変わりません。
ところで、あなたは常にこの変換を使用していましたが、符号の変更により、方程式のある部分から別の部分にいくつかの項を転送しているとしか考えていませんでした。 タイプ：
問題はおなじみです。デュースを右に移動すると、次のようになります。
実はあなた 奪われた式デュースの両側から。 結果は同じです。
×+2 - 2 = 3 - 2
符号の変更を伴う左右への項の移動は、単純に最初の同一の変換の省略版です。 そして、なぜそのような深い知識が必要なのでしょうか? - あなたが尋ねる。 方程式には何もありません。 神のために、それを動かしてください。 記号を変更することを忘れないでください。 しかし、不平等では、転移の習慣が行き詰まりにつながる可能性があります....
2 番目の恒等変換: 方程式の両辺に同じ値を掛ける (割る) ことができます。 非ゼロ数または式。 理解できる制限がすでにここに現れています。ゼロを掛けるのはばかげていますが、割り算はまったく不可能です。 これは、次のようなクールなものを決定するときに使用する変換です
当然のことながら、 バツ= 2. でもどうやって見つけたの？ 選択？ それともライトアップしただけ？ 拾って洞察を待たないようにするためには、あなたがただであることを理解する必要があります 方程式の両辺を割る左側を 5 で割ると (5x)、5 が減り、純粋な X が残ります。 これが私たちが必要としていたものです。 そして、(10) の右辺を 5 で割ると、もちろん 2 になります。
それで全部です。
おかしな話ですが、これら 2 つ (2 つだけ!) の同一の変換がソリューションの根底にあります。 数学のすべての方程式。どのように！ 「何をどのように」の例を見るのは理にかなっていますよね?)
方程式の同一変換の例。 主な問題。
から始めましょう 最初同一変換。 左右に移動します。
小さなお子様向けのサンプルです。)
次の方程式を解く必要があるとしましょう。
3-2x=5-3x
呪文を覚えましょう： 「X あり - 左へ、X なし - 右へ!」この呪文は、最初の恒等変換を適用するための指示です。) 右側の x の付いた式は何ですか? 3倍? 答えは間違っています！ 私たちの右側 - 3倍! マイナス 3×！ したがって、左にシフトすると符号がプラスに変わります。 得る：
3-2x+3x=5
というわけで、Xをまとめました。 数字にしましょう。 左に3つ。 何のサイン？ 「なし」という答えは受け入れられません!) トリプルの前には、確かに何も描かれていません。 そして、これはトリプルの前にあることを意味します プラス。それで数学者たちは同意した。 何も書かれていませんので、 プラス。したがって、トリプルは右側に転送されます マイナスで。我々が得る：
-2x+3x=5-3
空きスペースが残っています。 左側に - 同様のものを、右側に - 数えます。 答えはすぐに次のとおりです。
この例では、1 つの同一の変換で十分です。 2番目は必要ありませんでした。 まあいいよ。）
年長者向けの例です。）
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文字は、不明な番号を表すために使用されます。 方程式の解の助けを借りて探さなければならないのは、これらの文字の意味です。
方程式の解に取り組み、最初の段階でそれをより単純な形にしようとします。これにより、単純な数学的操作を使用して結果を得ることができます。 これを行うには、用語を左側から右側に移動し、符号を変更し、文の部分をある数で乗算/除算し、括弧を開きます。 しかし、単純な方程式を得るという 1 つの目標だけで、これらすべてのアクションを実行します。
方程式 \ - は、1 つの未知の線形形式を持つ方程式であり、r と c は数値の表記です。 このタイプの方程式を解くには、その項を転送する必要があります。
たとえば、次の方程式を解く必要があります。
\[x\] から左側に、残りを右側に移動します。 転送するときは、\[+\] が \[-.\] に変わることに注意してください。
\[-2x+3x=5-3\]
簡単な算術演算を実行すると、次の結果が得られます。
xオンラインで方程式をどこで解くことができますか?
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指数方程式の解。 例。
注意！
追加があります
特別セクション 555 の資料。
「あまり…」を強く感じる方へ
そして、「とても…」という人のために）
何 指数方程式? これは、未知数 (x) とそれらを含む式が含まれる方程式です。 指標ある程度。 そしてそこだけ！ 大事です。
そこにいる 指数方程式の例:
3×2×=8×+3
ノート！ 度の基数 (以下) - 数字のみ. で 指標度 (上) - x を使用したさまざまな表現。 突然、インジケーター以外の場所に x が方程式に表示された場合、たとえば、次のようになります。
これは混合型の式になります。 このような方程式には、解くための明確なルールがありません。 今のところは考慮しません。 ここで対処します 指数方程式の解最も純粋な形で。
実際、純粋な指数方程式でさえ、常に明確に解けるとは限りません。 しかし、特定のタイプの指数方程式を解くことができ、解く必要があります。 これらは、これから見ていくタイプです。
最も単純な指数方程式の解。
非常に基本的なことから始めましょう。 例えば：
理論がなくても、単純な選択で x = 2 は明らかです。 もう何もないよね!? 他の x 値ロールはありません。 それでは、このトリッキーな指数方程式の解を見てみましょう。
私たちは何をしましたか？ 実際、同じ底（トリプル）を投げただけです。 完全に捨てられました。 そして、なんと、的を射てください！
確かに、左と右の指数方程式で 同じ任意の次数の数値、これらの数値を削除して指数に等しくすることができます。 数学は許します。 もっと単純な方程式を解く必要があります。 いいですよね？）
ただし、皮肉なことに次のことを思い出してください。 左右の塩基番号が見事に分離している場合にのみ、塩基を削除できます。近傍と係数なし。 方程式で言いましょう：
2 x +2 x + 1 = 2 3 、または
ダブルは外せません！
さて、私たちは最も重要なことをマスターしました。 邪悪な指数表現からより単純な方程式に移行する方法。
「そんな時代だ！」 - あなたは言う。 「制御と試験で誰がそのようなプリミティブを与えるでしょうか!?」
強制的に同意します。 誰もしません。 しかし、これで、わかりにくい例を解決するときにどこに行くべきかがわかります。 同じ基数が左にある場合と右にある場合は、それを念頭に置く必要があります。 そうすれば、すべてが簡単になります。 実際、これは数学の古典です。 元の例を使用して、目的の例に変換します 我らマインド。 もちろん、数学のルールに従って。
最も単純にするために追加の努力が必要な例を考えてみましょう。 それらを呼びましょう 単純 指数方程式.
単純な指数方程式の解。 例。
指数方程式を解くときの主なルールは次のとおりです。 力を使った行動。これらのアクションを知らなければ、何も機能しません。
程度のある行動には、個人的な観察と創意工夫を加えなければなりません。 同じ基数が必要ですか? したがって、この例では、明示的または暗号化された形式でそれらを探しています。
これが実際にどのように行われるか見てみましょう。
例を挙げましょう：
2 2x - 8 x+1 = 0
一目見て 根拠。彼らは…違います！ 二と八。 しかし、落胆するのは時期尚早です。 それを思い出す時が来ました
2 と 8 は次数の関係にあります)。
8 x+1 = (2 3) x+1
力のあるアクションから式を思い出すと、次のようになります。
(a n) m = a nm 、
それは一般的にうまく機能します：
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
元の例は次のようになります。
2 2x - 2 3(x+1) = 0
転送します 2 3 (x+1)右側に (誰も数学の基本的な動作をキャンセルしていません!)、次のようになります。
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
これでほぼすべてです。 ベースの取り外し:
このモンスターを解決して入手
これが正解です。
この例では、2 の累乗を知っていることが役に立ちました。 私達 特定された 8 では、暗号化されたデュース。 この手法 (異なる数の下で共通の基数をエンコードする) は、指数方程式で非常に人気のあるトリックです! はい、対数でも。 数における他の数の累乗を認識できなければなりません。 これは、指数方程式を解く上で非常に重要です。
実際には、任意の数値を任意の累乗にすることは問題ではありません。 一枚の紙の上でも掛け算、それだけです。 たとえば、誰もが 3 を 5 乗できます。 乗算表を知っていれば243になります。）しかし、指数方程式では、累乗しないことが必要な場合がはるかに多く、その逆も同様です... どのくらいの数数字 243 の後ろに隠れています。たとえば、343 などです。ここでは計算機は役に立ちません。
いくつかの数のべき乗を視覚的に知る必要があります。はい... 練習しましょうか?
どのべき乗とどの数が数であるかを決定します。
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
答え（もちろん混乱して！）：
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
よく見ると、奇妙な事実が見えてきます。 質問よりも多くの答えがあります！ そうですね... たとえば、 2 6 、 4 3 、 8 2 はすべて 64 です。
数字の知識についての情報に注意を払っていると仮定しましょう.) 指数方程式を解くために、私たちが適用することを思い出させてください. 全体数学的知識のストック。 下位中産階級を含む。 高校に直行じゃないですよね？
たとえば、指数方程式を解くときは、共通の因数を括弧の外に置くと役立つことがよくあります (7 年生にこんにちは!)。 例を見てみましょう：
3 2x+4 -11 9x = 210
そして再び、最初の外観 - 敷地内で！ 度数の基数が違う… 3と9。 そして、私たちはそれらが同じであることを望んでいます。 まあ、この場合、欲求はかなり実現可能です！）理由：
9 x = (3 2) x = 3 2x
度付きアクションの同じルールに従って:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
それは素晴らしいです、あなたは書くことができます：
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
同じ理由で例を挙げました。 さぁ、次は!? スリーは捨てられない…行き止まり？
全くない。 最も普遍的で強力な決定ルールを思い出す 全て数学のタスク:
どうしたらいいかわからないなら、できることをしよう！
ほら、すべてが形成されています）。
この指数方程式の内容 できる行う？ はい、左側は括弧を直接求めます! 3 2x の公約数は、これを明確に示しています。 試してみましょう。
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
例はどんどん良くなっています！
基数を消去するには、係数のない純粋な次数が必要であることを思い出してください。 70という数字が気になります。 式の両辺を 70 で割ると、次のようになります。
オッパ！ すべてが順調です！
これが最終的な答えです。
しかし、たまたま同じ理由でタキシングが得られますが、それらの清算は得られません。 これは、別のタイプの指数方程式で発生します。 このタイプを手に入れましょう。
指数方程式を解く際の変数の変更。 例。
方程式を解いてみましょう：
4 x - 3 2 x +2 = 0
まず - いつものように。 基地に移りましょう。 デュースに。
4 x = (2 2) x = 2 2x
次の式が得られます。
2 2x - 3 2 x +2 = 0
そして、ここでハングアップします。 どのように回しても、以前のトリックは機能しません。 別の強力で用途の広い方法の武器庫から取得する必要があります。 それは呼ばれています 変数置換。
メソッドの本質は驚くほどシンプルです。 1 つの複雑なアイコン (この場合は 2 x) の代わりに、別の単純なアイコン (たとえば、t) を記述します。 このような一見無意味な置換は、驚くべき結果につながります!) すべてが明確になり、理解できるようになります!
だからさせて
次に、2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
方程式で、x のすべての累乗を t に置き換えます。
夜明け？） 二次方程式をまだ忘れていませんか？ 判別式を解くと、次のようになります。
ここで、主なことは、たまたま停止しないことです...これはまだ答えではありません。tではなくxが必要です。 Xs に戻ります。 交換を行います。 まず t 1 について:
あれは、
1 つの根が見つかりました。 t 2 から 2 番目のものを探しています。
ええと... 左 2 x、右 1... ヒッチ？ はい、まったくありません！ 団結が どれか数をゼロにします。 どれでも。 必要なものは何でも入れます。 2つ必要です。 意味：
これですべてです。 2 つのルートを取得:
これが答えです。
で 指数方程式を解く最後に、ぎこちない表情が得られることがあります。 タイプ：
7から、単純な程度のデュースは機能しません。 彼らは親戚ではありません...どうして私はここにいることができますか? と戸惑う方もいらっしゃるかもしれませんが・・・でも、このサイトで「対数って何？」というトピックを読んだ人は、 、控えめに微笑んで、しっかりとした手で絶対に正しい答えを書き留めてください：
試験のタスク「B」にそのような答えはあり得ません。 特定の数が必要です。 しかし、タスク「C」では簡単です。
このレッスンでは、最も一般的な指数方程式を解く例を示します。 主なものを強調しましょう。
1. まず、 根拠度。 それらができないかどうか見てみましょう 同じ。積極的に使ってやってみましょう 力を使った行動。 x のない数値も度数に変換できることを忘れないでください。
2. 指数方程式を、左と右が 同じ数値はいくらでも。 を使用しております 力のある行動と 因数分解。数で数えられるもの - 私たちは数えます。
3. 2 番目のアドバイスが機能しない場合は、変数置換を適用してみます。 結果は、簡単に解ける方程式になります。 ほとんどの場合 - 正方形。 または分数、これも正方形になります。
4. 指数方程式をうまく解くには、いくつかの数値の次数を「目で見て」知る必要があります。
いつものように、レッスンの最後に、あなたは少し解決するように勧められます。) 自力で。 単純なものから複雑なものまで。
指数方程式を解く：
より困難：
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0
根の積を求める：
2 3-x + 2 x = 9
起こりました？
じゃあ 最も難しい例（ただし、心の中で決定しました...）：
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
もっと面白いのは何ですか？ 次に、これがあなたにとって悪い例です。 難易度アップでかなり引っ張る。 この例では、創意工夫と、すべての数学的タスクを解決するための最も普遍的なルールが救いになることを暗示しています。)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
リラクゼーションのための例は、より単純です):
9 2 x - 4 3 x = 0
そしてデザートに。 方程式の根の合計を求めます。
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
はいはい！ これは混合型の方程式です! このレッスンでは考慮しませんでした。 そして、それらを考慮するには、解決する必要があります!) このレッスンは、方程式を解くのに十分です。 まあ、工夫が必要です...そして、そうです、7年生があなたを助けます（これはヒントです！）。
回答 (乱雑で、セミコロンで区切られています):
1; 2; 3; 四; 解決策はありません。 2; -2; -5; 四; 0.
すべてが成功していますか？ 優秀な。
問題がある？ 問題ない！ Special Section 555 では、これらすべての指数方程式が詳細な説明とともに解かれます。 何を、なぜ、なぜ。 そしてもちろん、あらゆる種類の指数方程式の操作に関する追加の貴重な情報があります。 これらに限らず。）
考慮すべき最後の楽しい質問。 このレッスンでは、指数方程式を扱いました。 ここで ODZ について一言も言わなかったのはなぜですか?ちなみに、方程式では、これは非常に重要なことです...
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ところで、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして、自分のレベルを確認できます。 インスタント検証によるテスト。 学習 - 興味を持って!)
関数と導関数に慣れることができます。
一次方程式。 解決策、例。
注意！
追加があります
特別セクション 555 の資料。
「あまり…」を強く感じる方へ
そして、「とても…」という人のために）
一次方程式。
線形方程式は、学校の数学で最も難しいトピックではありません。 しかし、訓練を受けた学生でさえ頭を悩ませるトリックがいくつかあります。 解いてみましょうか？）
線形方程式は通常、次の形式の方程式として定義されます。
斧 + b = 0 どこ aとb- 任意の数字。
2x + 7 = 0. ここで a=2、 b=7
ここで 0.1x - 2.3 = 0 a=0.1、 b=-2.3
12x + 1/2 = 0 ここで a=12、 b=1/2
複雑なことは何もありませんよね？ 特に次の言葉に気付かない場合： 「a と b は任意の数字です」... で、気がついたらついつい考えちゃう？） a=0、 b=0(任意の数が可能ですか?) すると、面白い式が得られます。
しかし、それだけではありません！ もし、言うなら、 a=0、 a b=5,それはかなりばかげていることがわかります：
数学への自信を緊張させ、損なうもの、はい...）特に試験では。 しかし、これらの奇妙な表現のうち、X も見つける必要があります。 これはまったく存在しません。 そして、驚くべきことに、この X は非常に見つけやすいです。 その方法を学びます。 このレッスンでは。
見た目の線形方程式をどのように認識するのですか? それは外観に依存します. 斧 + b = 0 だけでなく、変換と簡略化によってこの形式に縮小された方程式も含まれます。 そして、それが減るかどうか誰が知っていますか?)
一次方程式が明確に認識できる場合もあります。 たとえば、未知数が 1 次のみの方程式がある場合、そうです。 そして方程式はそうではありません で割った分数 わからない , 大事です！ そして除算 番号、または分数 - それだけです！ 例えば：
これは一次方程式です。 ここには分数がありますが、正方形や立方体などには x はなく、分母にも x はありません。 いいえ x による除算. そして、ここに方程式があります
線形とは言えません。 ここで x はすべて 1 次ですが、 x を使用した式による除算. 単純化と変換の後、一次方程式、二次方程式、および好きなものを得ることができます。
いくつかの複雑な例では、ほぼ解決するまで線形方程式を見つけることは不可能であることがわかります。 それは動揺しています。 でも宿題では、原則として方程式の形は聞かないですよね？ タスクでは、方程式が順序付けられます 決めます。これは嬉しい。）
線形方程式の解。 例。
線形方程式の解全体は、方程式の同一の変換で構成されます。 ところで、これらの変換 (最大 2 つ!) がソリューションの根底にあります。 数学のすべての方程式。つまり、決断は どれか方程式は、これらの同じ変換から始まります。 線形方程式の場合、これらの変換に関するそれ (解) は本格的な答えで終わります。 リンクをたどるのが理にかなっていますよね？）さらに、一次方程式を解く例もあります。
最も単純な例から始めましょう。 落とし穴なし。 次の方程式を解く必要があるとしましょう。
x - 3 = 2 - 4x
これは一次方程式です。 X はすべて 1 乗であり、X による除算はありません。 しかし、実際には、方程式が何であるかは気にしません。 私たちはそれを解決する必要があります。 ここでのスキームは単純です。 式の左側に x があるものをすべて、右側に x がないもの (数字) をすべて集めます。
これを行うには、転送する必要があります - 左側に 4 倍、もちろん符号が変わりますが、 - 3 - 右の方へ。 ちなみにこれは 方程式の最初の同一変換。驚いた？ したがって、彼らはリンクをたどりませんでしたが、無駄でした...)
x + 4x = 2 + 3
私たちは同様に与えます、私たちは考えます：
完全に幸せになるためには何が必要ですか？ はい、左側にきれいな X が表示されるようにします。 5人が邪魔。 で5つを取り除きます 方程式の 2 番目の同一変換。つまり、方程式の両方の部分を 5 で割ります。既成の答えが得られます。
もちろん、基本的な例です。 これはウォーミングアップのためのものです。)なぜここで同じ変換を思い出したのか、あまり明確ではありませんか? わかった。 私たちは角で雄牛を取ります.) もっと印象的なものを決めましょう.
たとえば、次の式があります。
どこから始めますか？ X あり - 左、X なし - 右? そうかもしれません。 長い道のりの小さな階段。 そして、普遍的かつ強力な方法ですぐにできます。 もちろん、あなたの兵器庫に方程式の同一の変換がある場合を除きます。
重要な質問をします。 この方程式で一番嫌いなところは何ですか?
100人中95人が答えます： 分数 ! 答えは正しいです。 それでは、それらを取り除きましょう。 だから私たちはすぐに始めます 2 回目の同一変換. 分母を完全に減らすには、左側の分数に何を掛ける必要がありますか? そうです、3.そして右側は？ 4 ですが、数学では両辺を掛けることができます。 同じ番号. どうやって出るの？ 両辺を12倍してみましょう！ それらの。 共通点に。 次に、3つが削減され、4つが削減されます。 各部分を掛ける必要があることを忘れないでください 全体的に. 最初のステップは次のようになります。
ブラケットの拡張:
ノート！ 分子 (x+2)括弧をつけました！ これは、分数を掛けるときに、分子が全体で掛けられるためです。 そして今、分数を減らして減らすことができます：
残りの括弧を開く:
例ではありませんが、純粋な喜びです!) 今、低学年からの呪文を思い出してください: x あり - 左へ、x なし - 右へ!そして、この変換を適用します:
ここにいくつかのようなものがあります:
そして、両方の部分を 25 で割ります。 2 番目の変換を再度適用します。
それで全部です。 答え： バツ=0,16
注意してください: 元の紛らわしい方程式を楽しい形にするために、2 つ (2 つだけ!) を使用しました。 同一変換- 符号の変更を伴う左右の変換と、同じ数による方程式の乗算除算。 これが普遍的な方法です！ このように取り組んでいきます どれか 方程式！ 絶対に。 だからこそ、私はこれらの同一の変換を常に繰り返し続けています。)
ご覧のとおり、線形方程式を解く原理は単純です。 方程式を取得し、答えが得られるまで同一の変換を使用して単純化します。 ここでの主な問題は計算にあり、解決の原則にはありません。
しかし...最も基本的な線形方程式を解く過程で、彼らが強い昏迷に駆り立てることができるような驚きがあります...）幸いなことに、そのような驚きは2つしかありません。 それらを特殊なケースと呼びましょう。
線形方程式を解く際の特殊なケース。
まずはびっくり。
次のような初等方程式に出くわしたとします。
2x+3=5x+5 - 3x - 2
少し退屈で、Xを左に、Xを付けずに右に転送します...符号を変更すると、すべてが顎チナールになります...次のようになります。
2x-5x+3x=5-2-3
私たちは信じています、そして... なんてこった！ 我々が得る：
それ自体、この平等は好ましくありません。 ゼロは本当にゼロです。 しかし、Xは消えました！ そして、答えを書く必要があります。 x が何に等しいか。そうでなければ、解決策はカウントされません、はい...）行き止まりですか？
落ち着いて！ このような疑わしいケースでは、最も一般的なルールが役立ちます。 方程式を解くには？ 方程式を解くとはどういう意味ですか? これの意味は、 元の方程式に代入すると、正しい等式が得られる x のすべての値を見つけます。
しかし、私たちは正しい平等を持っています すでに起こりました！ 0=0、本当はどこ!? これがどのxで得られるかを理解することは残っています。 xのどの値を代入できますか オリジナルこれらの x の場合の方程式 それでもゼロに縮小しますか？来て？）
はい！！！ Xは代用可能 どれか！なんでしょう。 少なくとも 5、少なくとも 0.05、少なくとも -220。 彼らはまだ縮小します。 信じられない場合は、確認してください。) x の値を オリジナル方程式と計算。 常に純粋な真実が得られます: 0=0、2=2、-7.1=-7.1 など。
これがあなたの答えです： x は任意の数です。
答えはさまざまな数学記号で記述できますが、本質は変わりません。 これは完全に正しい完全な答えです。
驚きのセカンド。
同じ初等線形方程式を取り、その中の 1 つの数値だけを変更してみましょう。 これが私たちが決めることです：
2x+1=5x+5 - 3x - 2
同じ変換を行った後、興味深い結果が得られます。
このような。 一次方程式を解いて、奇妙な等式を得ました。 数学的に言えば、 間違った平等。そして話す 分かりやすい言葉、 本当じゃない。 絶賛。 とはいえ、このばかげたことは、方程式を正しく解くための十分な理由です。)
ここでも、一般的なルールに基づいて考えます。 x を元の方程式に代入すると、どのような結果が得られますか 正しい平等？ はい、ありません！ そのような xes はありません。 何を置き換えても、すべてが減り、ナンセンスが残ります。）
これがあなたの答えです： 解決策はありません。
これも完全に有効な答えです。 数学では、このような答えがよく出てきます。
このような。 さて、(線形に限らず) 方程式を解く過程で X が失われても、まったく気にならないことを願っています。 この件はよく知られています。）
線形方程式のすべての落とし穴に対処したので、それらを解決することは理にかなっています。
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ところで、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)
例題を解く練習をして、自分のレベルを確認できます。 インスタント検証によるテスト。 学習 - 興味を持って!)
関数と導関数に慣れることができます。
方程式は次のいずれかです。 難しい話題同化のためですが、同時に、ほとんどの問題を解決するのに十分強力なツールです。
方程式の助けを借りて、自然界で発生するさまざまなプロセスが記述されます。 方程式は、経済学、物理学、生物学、化学など、他の科学でも広く使用されています。
このレッスンでは、最も単純な方程式の本質を理解し、未知数を表現し、いくつかの方程式を解く方法を学びます。 新しい材料を学ぶにつれて、方程式はより複雑になるため、基本を理解することが非常に重要です。
予備スキル レッスン内容方程式とは
方程式は、値を求める変数を含む等式です。 この値は、元の式に代入したときに正しい数値が得られるような値でなければなりません。
たとえば、式 3 + 2 = 5 は等式です。 左辺を計算すると、正しい数値等式が得られます 5 = 5 。
しかし等式 3 + バツ= 5 は、変数が含まれているため方程式です。 バツ、その値を見つけることができます。 この値は、この値が元の方程式に代入されたときに、正しい数値的等式が得られるような値でなければなりません。
言い換えれば、等号がその位置を正当化する値を見つける必要があります - 左辺は右辺と等しくなければなりません。
方程式 3+ バツ= 5 は初級です。 変数値 バツは数値 2 に等しいです。それ以外の値の場合、同等性は観察されません。
2番と言われている 根また 方程式の解 3 + バツ = 5
根また 方程式の解方程式が真の数値的等価になる変数の値です。
いくつかの根がある場合もあれば、まったくない場合もあります。 方程式を解くそのルーツを見つける、またはルーツがないことを証明することを意味します。
方程式の変数は、としても知られています わからない. 呼び方は自由です。 これらは同義語です。
ノート. 段階 「方程式を解く」それ自体を物語っています。 方程式を解くとは、方程式を「等式化」すること、つまり、左辺が右辺と等しくなるように均衡させることを意味します。
一方を他方の観点から表現する
方程式の学習は、伝統的に、等値に含まれる 1 つの数を他の数に関して表現することを学ぶことから始まります。 この伝統を壊さず、同じことをしましょう。
次の式を検討してください。
8 + 2
この式は 8 と 2 の合計です。この式の値は 10 です。
8 + 2 = 10
私たちは平等になりました。 これで、同じ等式に含まれる他の数値に関して、この等式から任意の数値を表すことができます。 たとえば、数字の 2 を表現してみましょう。
数字の 2 を表すには、「数字の 2 を得るには、数字の 10 と 8 をどうする必要があるか」という質問をする必要があります。 数字の 2 を得るには、数字の 10 から数字の 8 を引く必要があることは明らかです。
だから私たちはそうします。 数字 2 を書き留め、等号を使用して、この数字 2 を得るために、数字 10 から数字 8 を引いたと言います。
2 = 10 − 8
8 + 2 = 10 という式から 2 を表現しました。 例からわかるように、これについて複雑なことは何もありません。
方程式を解くとき、特にある数字を他の数字で表現するときは、等号を「」という単語に置き換えると便利です がある" . これは、表現自体ではなく、精神的に行う必要があります。
ですから、8 + 2 = 10 から 2 を表すと、 2 = 10 − 8 となります。 この方程式は次のように読むことができます。
2 がある 10 − 8
それがサインです = 「である」という言葉に置き換わります。 さらに、等式 2 = 10 − 8 は、数学言語から本格的な人間の言語に翻訳できます。 次に、次のように読むことができます。
2番 がある 10と8の差
2番 がある数字の10と数字の8の違い。
ただし、等号を「is」という単語に置き換えることに限定し、常にこれを行うとは限りません。 初等的な表現は、数学言語を人間の言語に翻訳しなくても理解できます。
結果の等式 2 = 10 − 8 を元の状態に戻しましょう。
8 + 2 = 10
今回は8という数字を表現してみましょう.残りの数字をどうすれば8という数字が得られるでしょうか? そうです、10 から 2 を引く必要があります。
8 = 10 − 2
結果の等式 8 = 10 − 2 を元の状態に戻しましょう。
8 + 2 = 10
今回は 10 を表現しますが、10 はすでに表現されているので表現する必要はありません。 左右のパーツを交換するだけで十分です。必要なものが得られます。
10 = 8 + 2
例 2. 等式 8 − 2 = 6 を考慮してください
この等式から数 8 を表します. 数 8 を表すには, 他の 2 つの数を足す必要があります.
8 = 6 + 2
結果の等式 8 = 6 + 2 を元の状態に戻しましょう。
8 − 2 = 6
この等式から数 2 を表します. 数 2 を表すには, 8 から 6 を引く必要があります.
2 = 8 − 6
例 3. 式 3 × 2 = 6 を考えてみましょう
数字の 3 を表す。数字の 3 を表すには、6 を 2 で割る必要があります。
結果の等式を元の状態に戻しましょう。
3×2＝6
この等式から 2 を表しましょう. 2 を表すには 3 を 6 で割る必要があります.
例 4. 平等を考える
この等式から 15 という数を表します. 15 という数を表すには, 3 と 5 を掛ける必要があります.
15 = 3 × 5
結果の等式 15 = 3 × 5 を元の状態に戻しましょう。
この等式から 5 を表します. 5 を表すには 15 を 3 で割る必要があります.
未知数を見つけるためのルール
未知数を見つけるためのいくつかのルールを検討してください。 よく知っているかもしれませんが、もう一度繰り返しても問題ありません。 これらのルールを適用せずに方程式を解くことを学ぶので、将来、それらは忘れられる可能性があります。
前のトピックで検討した最初の例に戻りましょう。方程式 8 + 2 = 10 では、数値 2 を表す必要がありました。
式 8 + 2 = 10 では、数字 8 と 2 は項であり、数字 10 は和です。
数 2 を表現するために、次のことを行いました。
2 = 10 − 8
つまり、項 8 が 10 の合計から減算されました。
ここで、式 8 + 2 = 10 で、数値 2 の代わりに変数があると想像してください。 バツ
8 + バツ = 10
この場合、式 8 + 2 = 10 は式 8 + になります。 バツ= 10 、および変数 バツ 不明な用語
私たちの仕事は、この未知の項を見つけること、つまり方程式 8 + を解くことです。 バツ= 10 . 未知の用語を見つけるために、次のルールが提供されます。
未知の項を見つけるには、合計から既知の項を引きます。
これは基本的に、式 8 + 2 = 10 で 2 つを表現したときに行ったことです。 項 2 を表現するために、合計 10 から別の項 8 を減算しました。
2 = 10 − 8
そして今、未知の用語を見つけるために バツ、合計 10 から既知の項 8 を減算する必要があります。
バツ = 10 − 8
結果の等式の右辺を計算すると、変数が何に等しいかがわかります バツ
バツ = 2
方程式を解きました。 変数値 バツ 2 に等しい。 変数の値を確認するには バツ元の方程式に送られる 8 + バツ= 10 と代入 バツ。方程式が正しく解かれているかどうか確信が持てないため、解かれた方程式でこれを行うことが望ましいです。
結果として
未知の用語が最初の数字 8 である場合、同じ規則が適用されます。
バツ + 2 = 10
この式では バツは未知の項、2 は既知の項、10 は合計です。 未知の用語を見つけるために バツ、合計 10 から既知の項 2 を引く必要があります
バツ = 10 − 2
バツ = 8
前のトピックの 2 番目の例に戻りましょう。式 8 − 2 = 6 では、数値 8 を表す必要がありました。
式 8 − 2 = 6 では、数値 8 は被減数、数値 2 は減数、数値 6 は差です。
数字の 8 を表現するために、次のことを行いました。
8 = 6 + 2
つまり、差の 6 と引いた 2 を足したということです。
ここで、式 8 − 2 = 6 で、数値 8 の代わりに変数があると想像してください。 バツ
バツ − 2 = 6
この場合、変数 バツいわゆるの役割を担っています。 未知の被数
未知の被減数を見つけるために、次のルールが提供されます。
未知の被減数を見つけるには、差に減数を追加する必要があります。
これは、式 8 − 2 = 6 で数 8 を表現したときに行ったことです。 被減数 8 を表現するために、差の 6 に減数 2 を追加しました。
そして今、未知の被数を見つけるために バツ、減算 2 を差 6 に追加する必要があります
バツ = 6 + 2
右辺を計算すると、変数が何に等しいかがわかります バツ
バツ = 8
ここで、式 8 − 2 = 6 で、数値 2 の代わりに変数があると想像してください。 バツ
8 − バツ = 6
この場合、変数 バツ役割を担う 未知の減数
未知の減数を見つけるために、次の規則が提供されます。
未知の減数を見つけるには、被減数から差を引く必要があります。
これは、式 8 − 2 = 6 で数 2 を表現したときに行ったことです。数 2 を表現するために、簡約された 8 から差 6 を引きました。
そして今、未知の減数を見つけるために バツ、減少した8から差6を再度引く必要があります
バツ = 8 − 6
右辺を計算して値を見つける バツ
バツ = 2
前のトピックの 3 番目の例に戻りましょう。方程式 3 × 2 = 6 で、数値 3 を表現しようとしました。
式 3 × 2 = 6 では、数値 3 は被乗数、数値 2 は乗数、数値 6 は積です。
数 3 を表現するために、次のことを行いました。
つまり、6 の積を 2 で割ります。
ここで、式 3 × 2 = 6 で、数値 3 の代わりに変数があると想像してください。 バツ
バツ×2=6
この場合、変数 バツ役割を担う 未知の被乗数.
未知の乗数を見つけるために、次のルールが提供されます。
未知の被乗数を見つけるには、積を因数で割る必要があります。
これは、式 3 × 2 = 6 から数 3 を表現したときに行ったことです。 6 の積を 2 で割りました。
そして今、未知の乗数を見つけるために バツの場合、6 の積を 2 で割る必要があります。
右辺の計算により、変数の値を見つけることができます バツ
バツ = 3
変数が バツ被乗数ではなく、乗数の代わりに配置されます。 式 3 × 2 = 6 で、数 2 の代わりに変数があると想像してください。 バツ 。
この場合、変数 バツ役割を担う 未知の乗数. 未知の因数を見つけるには、未知の乗数を見つけるのと同じ方法が提供されます。つまり、積を既知の因数で割ります。
未知の因数を見つけるには、積を被乗数で割る必要があります。
これは、式 3 × 2 = 6 から数 2 を表したときに行ったことです。 次に、数値 2 を取得するために、6 の積を被乗数 3 で割りました。
そして今、未知の要因を見つけるために バツ 6 の積を乗数 3 で割りました。
式の右辺を計算すると、x が何に等しいかを調べることができます。
バツ = 2
被乗数と乗数をまとめて因数と呼びます。 被乗数と乗数を求めるルールは同じなので、定式化できます。 原則未知の要因を見つける：
未知の因子を見つけるには、積を既知の因子で割る必要があります。
たとえば、方程式 9 × を解いてみましょう。 バツ= 18 . 変数 バツは未知の要因です。 この未知の因数を見つけるには、積 18 を既知の因数 9 で割る必要があります。
方程式を解いてみましょう バツ× 3 = 27 . 変数 バツは未知の要因です。 この未知の因数を見つけるには、積 27 を既知の因数 3 で割る必要があります。
前のトピックの 4 番目の例に戻りましょう。ここでは、等式では数値 15 を表す必要がありました。この等式では、数値 15 は被除数、数値 5 は除数、数値 3 は商です。
15という数字を表現するために、次のことを行いました。
15 = 3 × 5
つまり、商の 3 に除数の 5 を掛けます。
ここで、15 という数の代わりに、変数があることを想像してみてください。 バツ
この場合、変数 バツ役割を担う 未知の配当.
未知の被除数を見つけるために、次のルールが提供されます。
未知の被除数を見つけるには、商に除数を掛ける必要があります。
これは、等号から 15 という数を表現したときに行ったことです。 15 という数を表すために、商の 3 に除数の 5 を掛けました。
そして今、未知の配当を見つけるために バツ、商の 3 に除数の 5 を掛ける必要があります。
バツ= 3 × 5
バツ .
バツ = 15
ここで、5 という数字の代わりに変数があることを想像してみてください。 バツ .
この場合、変数 バツ役割を担う 未知の約数.
未知の除数を見つけるために、次の規則が提供されます。
これは、等号から数 5 を表現したときに行ったことです。 数 5 を表すために、被除数 15 を商 3 で割りました。
そして今、未知の約数を見つけるために バツ、被除数 15 を商 3 で割る必要があります
結果の等式の右辺を計算してみましょう。 したがって、変数が何に等しいかがわかります バツ .
バツ = 5
したがって、未知数を見つけるために、次のルールを調べました。
- 未知の項を見つけるには、合計から既知の項を引く必要があります。
- 未知の被減数を見つけるには、減数を差に追加する必要があります。
- 未知の減数を見つけるには、被減数から差を引く必要があります。
- 未知の被乗数を見つけるには、積を因数で割る必要があります。
- 未知の因数を見つけるには、積を被乗数で割る必要があります。
- 未知の被除数を見つけるには、商に除数を掛ける必要があります。
- 未知の約数を見つけるには、被除数を商で割る必要があります。
コンポーネント
等号に含まれる数値と変数と呼ぶコンポーネント
したがって、足し算の成分は 条項と 和
減算コンポーネントは、 被減数, 減算と 違い
乗算のコンポーネントは次のとおりです。 被乗数, 要素と 仕事
除算の構成要素は、被除数、除数、および商です。
扱っているコンポーネントに応じて、未知のものを見つけるための対応するルールが適用されます。 これらのルールについては、前のトピックで学習しました。 方程式を解くときは、これらのルールを暗記しておくことが望ましいです。
例 1. 方程式の根を求める 45+ バツ = 60
45 - ターム、 バツは未知の項、60 は和です。 付加成分を扱っています。 未知の項を見つけるには、合計から既知の項を引く必要があることを思い出してください。
バツ = 60 − 45
右辺を計算し、値を取得します バツ 15に等しい
バツ = 15
したがって、方程式の根は 45 + バツ= 60 は 15 に等しい。
ほとんどの場合、未知の用語は、それを表現できる形に縮小する必要があります。
例 2. 方程式を解く
ここでは、前の例とは異なり、係数 2 が含まれているため、未知の項をすぐに表すことはできません。 バツ
この例では、加算の構成要素 (項と和) を扱っています。 2 バツは第 1 項、4 は第 2 項、8 は合計です。
この場合、項 2 バツ変数を含む バツ. 変数の値を見つけた後 バツターム2 バツ別の形になります。 したがって、項 2 バツは完全に未知の項と見なすことができます:
ここで、未知の用語を見つけるための規則を適用します。 和から既知の項を引く：
結果の方程式の右辺を計算しましょう。
新しい方程式があります。 ここで、乗算の構成要素である被乗数、乗数、および積を扱います。 2 - 乗数、 バツ- 乗数、4 - 積
同時に、変数 バツ単なる要因ではなく未知の要因
この未知の因数を見つけるには、積を被乗数で割る必要があります。
右辺を計算し、変数の値を取得します バツ
見つかった根を確認するには、それを元の方程式に送り、代わりに代入します バツ
例 3. 方程式を解く 3バツ+ 9バツ+ 16バツ= 56
未知を表現する バツ禁止されています。 まず、この方程式を表現できる形にする必要があります。
この式の左側に次の式を示します。
乗算のコンポーネントを扱っています。 28 - 乗数、 バツ- 乗数、56 - 製品。 その中で バツは未知の要因です。 未知の因数を見つけるには、積を被乗数で割る必要があります。
ここから バツは 2
等価方程式
前の例では、方程式を解くときに 3バツ + 9バツ + 16バツ = 56 、方程式の左側に同様の項を与えました。 結果は新しい式 28 です。 バツ= 56 . 古い方程式 3バツ + 9バツ + 16バツ = 56 そして、結果の新しい式 28 バツ= 56 コール 同等の方程式根っこが同じだから。
根が同じ場合、方程式は等価であると言われます。
それをチェックしよう。 方程式について 3バツ+ 9バツ+ 16バツ= 56 根が 2 に等しいことがわかりました。 このルートを最初に式に代入します 3バツ+ 9バツ+ 16バツ= 56 、そして式 28 に バツ= 56 。これは、前の式の左側にある同様の項を削減した結果です。 正しい数値等式を取得する必要があります
演算の順序に従って、乗算が最初に実行されます。
2 番目の式 28 にルート 2 を代入します。 バツ= 56
両方の方程式の根が同じであることがわかります。 だから方程式 3バツ+ 9バツ+ 16バツ= 56 そして28 バツ= 56 は確かに同等です。
方程式を解くには 3バツ+ 9バツ+ 16バツ= 56 の 1 つを使用しました — 類似用語の削減。 方程式の正しい恒等変換により、同等の方程式 28 を得ることができました。 バツ= 56 で、これはより簡単に解決できます。
同一の変換のうち、現時点では、分数の簡約、類似項の持ち込み、括弧からの共通因数の取り出し、および開き括弧のみを使用できます。 知っておくべき変換は他にもあります。 しかし、方程式の同一変換の一般的な考え方については、私たちが研究したトピックで十分です。
同等の方程式を得ることができるいくつかの変換を考えてみましょう
方程式の両辺に同じ数を加えると、与えられたものと同等の方程式が得られます。
同様に：
式の両辺から同じ数を引くと、与えられた式と同等の式が得られます。
言い換えれば、同じ数が方程式に追加された (または両側から減算された) 場合、方程式の根は変わりません。
例 1. 方程式を解く 
式の両辺から 10 を引く
方程式 5 を取得 バツ= 10 . 乗算のコンポーネントを扱っています。 未知の要因を見つけるために バツの場合、10 の積を既知の因数 5 で割る必要があります。
代わりに バツ見つかった値 2
正しい番号を取得しました。 したがって、方程式は正しいです。
方程式を解く 式の両辺から 10 を引きました。 結果は同等の方程式です。 方程式のように、この方程式の根 も 2 に等しい
例 2. 方程式 4 を解きます( バツ+ 3) = 16
式の両辺から 12 を引く
左側が4になります バツ、右側に数字の 4
式 4 を取得 バツ= 4 . 乗算のコンポーネントを扱っています。 未知の要因を見つけるために バツ、積 4 を既知の因数 4 で割る必要があります
元の式 4( バツ+ 3) = 16 代わりに代入 バツ見つかった値 1
正しい番号を取得しました。 したがって、方程式は正しいです。
方程式4を解く（ バツ+ 3) = 16 式の両辺から 12 を引いています。 その結果、同等の式 4 が得られました。 バツ= 4 . この方程式の根、および方程式 4( バツ+ 3) = 16 も 1 に等しい
例 3. 方程式を解く 
式の左側の括弧を展開してみましょう。
式の両辺に 8 を足してみましょう
式の両方の部分で同様の用語を提示します。
左側は2になります バツ、右側に数字の 9
結果の式 2 バツ= 9 未知の用語を表現する バツ
元の方程式に戻る 代わりに バツ見つかった値 4.5
正しい番号を取得しました。 したがって、方程式は正しいです。
方程式を解く 式の両辺に 8 を加えた結果、同等の式が得られました。 方程式のように、この方程式の根 も 4.5 に等しい
同等の方程式を得ることができる次のルールは次のとおりです。
方程式内で項をある部分から別の部分に移し、その符号を変更すると、与えられたものと同等の方程式が得られます。
つまり、符号を変更して項を方程式のある部分から別の部分に移しても、方程式の根は変わりません。 このプロパティは、方程式を解く際に最も重要であり、最も頻繁に使用されるプロパティの 1 つです。
次の式を検討してください。
この方程式の根は 2 です。 バツこのルートと正しい数値の等号が得られるかどうかを確認します
正しい等式が得られます。 したがって、数字の 2 は実際には方程式の根です。
ここで、この方程式の項を実験してみましょう。項をある部分から別の部分に移し、符号を変更します。
たとえば、用語 3 バツ方程式の左側にあります。 符号を反対に変更して、右側に移動しましょう。
等式になった 12 = 9バツ − 3バツ . この式の右辺:
バツは未知の要因です。 この既知の要因を見つけてみましょう。
ここから バツ= 2 . ご覧のとおり、方程式の根は変更されていません。 したがって、式 12 + 3 バツ = 9バツと 12 = 9バツ − 3バツ 同等です。
実際、この変換は、前の変換の単純化された方法であり、同じ数が方程式の両側に加算 (または減算) されました。
式12 + 3で バツ = 9バツターム3 バツ符号変更により右側に移動しました。 実際には、次のことが起こりました: 項 3 が方程式の両辺から差し引かれました。 バツ
次に、同様の項が左側に与えられ、方程式が得られました 12 = 9バツ − 3バツ。 次に、同様の項が再び与えられましたが、右側にあり、方程式 12 = 6 が得られました。 バツ。
しかし、いわゆる「伝達」は、そのような方程式にとってより便利であり、それが非常に普及した理由です。 方程式を解くとき、この特定の変換をよく使用します。
式 12 + 3 も同等です。 バツ= 9バツと 3バツ - 9バツ= −12 . 今度は式 12 + 3 で バツ= 9バツターム12は右側に移動し、ターム9は右側に移動しました バツ左の方です。 移行中にこれらの用語の記号が変更されたことを忘れてはなりません
同等の方程式を得ることができる次のルールは次のとおりです。
方程式の両方の部分がゼロに等しくない同じ数で乗算または除算される場合、与えられたものと同等の方程式が得られます。
つまり、両辺が同じ数で乗算または除算されても、方程式の根は変化しません。 このアクションは、分数式を含む方程式を解く必要がある場合によく使用されます。
まず、方程式の両辺に同じ数を掛ける例を考えてみましょう。
例 1. 方程式を解く
分数式を含む方程式を解く場合、まずこの方程式を単純化するのが慣習です。
この場合、まさにそのような方程式を扱っています。 この方程式を単純化するために、両辺に 8 を掛けることができます。
については、特定の分数の分子にこの数値を掛ける必要があることを覚えています。 2 つの分数があり、それぞれに 8 を掛けます。分数の分子にこの 8 を掛けます。
今、最も興味深いことが起こります。 両方の分数の分子と分母には 8 の因数が含まれており、これを 8 で減らすことができます。これにより、分数式を取り除くことができます。
その結果、最も単純な式が残ります。
この方程式の根が 4 であることは容易に推測できます。
バツ見つかった値 4
正しい数値の等式がわかりました。 したがって、方程式は正しいです。
この方程式を解くとき、両方の部分に 8 を掛けます。その結果、方程式が得られました。 この方程式の根は、方程式と同様に 4 です。したがって、これらの方程式は等価です。
方程式の両方の部分が乗算される乗数は、通常、方程式の部分の後ではなく前に書かれます。 したがって、方程式を解くと、両方の部分に係数 8 を掛けると、次のエントリが得られます。
このことから、方程式の根は変わっていませんが、学校でこれを行っていたら、注目されたでしょう。なぜなら、代数では、掛ける式の前に因数を書くのが通例だからです。 したがって、式の両辺に係数 8 を掛けると、次のように書き直すことができます。
例 2. 方程式を解く 
左側では、係数 15 を 15 で減らすことができ、右側では、係数 15 と 5 を 5 で減らすことができます。
式の右側の括弧を開きましょう。
用語を動かしましょう バツ式の左辺から右辺に、符号を変更して計算します。 そして、式の右辺の項 15 は左辺に転送され、再び符号が変わります。
両方の部分で同様の用語を使用すると、次のようになります。
乗算のコンポーネントを扱っています。 変数 バツ
元の方程式に戻る 代わりに バツ見つかった値 5
正しい数値の等式がわかりました。 したがって、方程式は正しいです。 この方程式を解くとき、両辺に 15 を掛けました。 さらに、同じ変換を実行すると、式 10 = 2 が得られました。 バツ. 方程式のように、この方程式の根 は 5 です。 したがって、これらの方程式は等価です。
例 3. 方程式を解く
左側では、2 つのトリプルを減らすことができ、右側は 18 に等しくなります。
最も単純な式が残ります。 乗算のコンポーネントを扱っています。 変数 バツは未知の要因です。 この既知の要因を見つけてみましょう。
元の式に戻って代入しましょう バツ見つかった値 9
正しい数値の等式がわかりました。 したがって、方程式は正しいです。
例 4. 方程式を解く 
式の両辺に 6 を掛けます
方程式の左側の括弧を開きます。 右側では、係数 6 を分子に上げることができます。
方程式の両方の部分で、削減できるものを削減します。
残っているものを書き直しましょう：
条件の転送を使用します。 未知を含む用語 バツ、方程式の左側にグループ化し、右側に未知数のない項をグループ化します。
両方の部分で同様の用語を提示します。
それでは、変数の値を見つけてみましょう バツ. これを行うには、積 28 を既知の因数 7 で割ります。
ここから バツ= 4.
元の方程式に戻る 代わりに バツ見つかった値 4
正しい数値の等式が判明しました。 したがって、方程式は正しいです。
例 5. 方程式を解く 
可能であれば、式の両方の部分で括弧を開きましょう。
式の両辺に 15 を掛けます
式の両方の部分の括弧を開いてみましょう。
式の両方の部分を減らしましょう。減らすことができるものは次のとおりです。
残っているものを書き直しましょう：
可能な場合はブラケットを開きましょう:
条件の転送を使用します。 未知数を含む項は式の左側にグループ化され、未知数を含まない項は方程式の右側にグループ化されます。 転送中に、用語の符号が反対に変わることを忘れないでください。
式の両方の部分で同様の用語を提示します。
値を求めよう バツ
結果の回答では、パーツ全体を選択できます。
元の式に戻って代入しましょう バツ見つかった値
ややこしい表現になってしまいます。 変数を使いましょう。 等式の左辺を変数に入れます あ、および等号の右辺を変数に B
私たちの仕事は、左側が右側と等しいことを確認することです。 つまり、等式 A = B を証明します。
変数 A の式の値を見つけます。
変数値 しかしに等しい。 それでは、変数の値を見つけてみましょう B. それが私たちの平等の右側の値です。 に等しい場合、方程式は正しく解かれます。
変数の値が B、および変数の値 あに等しい。 これは、左辺が右辺と等しいことを意味します。 このことから、方程式が正しく解かれていると結論付けます。
ここで、方程式の両辺に同じ数を掛けるのではなく、割り算してみましょう。
方程式を考えてみましょう 30バツ+ 14バツ+ 14 = 70バツ− 40バツ+ 42 . 通常の方法でそれを解きます: 未知数を含む項を方程式の左側にグループ化し、未知数を含まない項を右側にグループ化します。 さらに、既知の同一の変換を実行すると、値が見つかります バツ
の代わりに見つかった値 2 を代入します。 バツ元の方程式に:
それでは、方程式のすべての項を分離してみましょう 30バツ+ 14バツ+ 14 = 70バツ− 40バツ+ 42 この式のすべての項には共通の因数 2 があることに注意してください。各項をそれで割ります。
各項で削減しましょう：
残っているものを書き直しましょう：
既知の同一変換を使用してこの方程式を解きます。
ルート 2 を取得しました。 だから方程式 15バツ+ 7バツ+ 7 = 35バツ - 20バツ+ 21 と 30バツ+ 14バツ+ 14 = 70バツ− 40バツ+ 42 同等です。
方程式の両辺を同じ数で割ると、未知数を係数から解放できます。 前の例では、式 7 を取得したときに バツ= 14 の場合、積 14 を既知の因数 7 で除算する必要がありました。しかし、左辺の係数 7 から未知数を解放すると、根がすぐに見つかります。 これを行うには、両方の部分を7で割るだけで十分でした
この方法も頻繁に使用します。
マイナス1を掛ける
方程式の両辺にマイナス 1 を掛けると、与えられたものと同等の方程式が得られます。
この規則は、方程式の両方の部分を同じ数で乗算 (または除算) しても、この方程式の根が変わらないという事実に基づいています。 これは、両方の部分に -1 を掛けても根が変わらないことを意味します。
このルールにより、方程式に含まれるすべてのコンポーネントの符号を変更できます。 それはなんのためですか？ 繰り返しますが、より簡単に解決できる同等の方程式を取得します。
方程式を考えてみましょう。 この方程式の根は何ですか?
式の両辺に5を足してみましょう
同様の用語を次に示します。
そして今、覚えておきましょう。 方程式の左辺は何ですか. これは、マイナス 1 と変数の積です。 バツ
つまり、変数の前のマイナス バツ、変数自体を参照していません バツ、しかし、係数1を書き留めないのが通例であるため、表示されない単位に。 これは、式が実際には次のようになることを意味します。
乗算のコンポーネントを扱っています。 見つけるには バツの場合、積 −5 を既知の因数 −1 で割る必要があります。
または、方程式の両辺を -1 で割ります。これはさらに簡単です。
したがって、方程式の根は 5 です。 確認するために、元の方程式に代入します。 元の方程式では、変数の前にマイナスが付いていることを忘れないでください。 バツ目に見えない単位を指す
正しい数値の等式が判明しました。 したがって、方程式は正しいです。
では、方程式の両辺にマイナス 1 を掛けてみましょう。
括弧を開いた後、式は左側に形成され、右側は10に等しくなります
この方程式の根は、方程式と同様に 5
したがって、方程式は等価です。
例 2. 方程式を解く
この方程式では、すべての成分が負です。 負の成分よりも正の成分を扱う方が便利なので、方程式に含まれるすべての成分の符号を変更しましょう。 これを行うには、この方程式の両辺に -1 を掛けます。
−1 を掛けると、どの数値も符号が逆になることは明らかです。 したがって、-1 を掛けて括弧を開く手順自体は詳細に説明されていませんが、反対の符号を持つ方程式の要素はすぐに書き留められます。
したがって、方程式に -1 を掛けることは、次のように詳細に記述できます。
または、すべてのコンポーネントの符号を変更することもできます:
結果は同じですが、違いは時間を節約できることです。
したがって、方程式の両辺に -1 を掛けると、方程式が得られます。 この方程式を解いてみましょう。 両方の部分から数字の 4 を引き、両方の部分を 3 で割る
ルートが見つかると、変数は通常、左側に書き込まれ、その値は右側に書き込まれます。
例 3. 方程式を解く
式の両辺に -1 を掛けます。 次に、すべてのコンポーネントの符号が反対に変わります。
結果の方程式の両辺から 2 を引きます バツ同様の用語を追加します。
方程式の両方の部分に 1 を追加し、同様の項を与えます。 
ゼロに等しい
最近、方程式の項を符号を変えてある部分から別の部分に移すと、与えられたものと等価な方程式が得られることを学びました。
そして、ある部分から別の部分に、1つの用語ではなくすべての用語を移すとどうなるでしょうか? そうです、すべての項をとった部分にはゼロが残ります。 というか、何も残らない。
方程式を例に取りましょう。 通常どおり、この方程式を解きます。一方の部分に未知数を含む項をグループ化し、もう一方の部分に未知数を含まない数値項を残します。 さらに、既知の同一の変換を実行して、変数の値を見つけます バツ
ここで、すべてのコンポーネントをゼロに等しくすることによって、同じ方程式を解いてみましょう。 これを行うには、記号を変更して、すべての項を右側から左側に移動します。
左側の同様の用語は次のとおりです。
両方の部分に 77 を足して、両方の部分を 7 で割ります。
未知数を見つけるためのルールに代わるもの
明らかに、方程式の同一の変換について知っていても、未知数を見つけるためのルールを覚えることはできません。
たとえば、方程式の未知数を見つけるには、積 10 を既知の係数 2 で割ります。
しかし、式の両方の部分が 2 で除算されている場合、根はすぐに見つかります。 式の左側では、分子の係数 2 と分母の係数 2 が 2 減じられます。右側は 5 に等しくなります。
未知の項を表すことにより、次の形式の方程式を解きました。
しかし、今日研究したのと同じ変換を使用できます。 式では、符号を変更することで項 4 を右辺に移動できます。
方程式の左側では、2 つのデュースが減少します。 右辺は 2 に等しくなります。
または、式の両辺から 4 を引くと、次のようになります。
の形の方程式の場合、積を既知の因数で割ると便利です。 両方のソリューションを比較してみましょう。
最初の解決策は、はるかに短くてきれいです。 頭の中で除算を行うと、2 番目の解決策を大幅に短縮できます。
ただし、両方の方法を知ってから、最も気に入った方法を使用する必要があります。
根が複数ある場合
方程式は複数の根を持つことができます。 たとえば、方程式 バツ(×＋ 9) = 0 には 0 と −9 の 2 つの根があります。
方程式では バツ(×＋ 9) = 0 そのような値を見つける必要がありました バツ左辺がゼロに等しい場合。 この方程式の左辺には次の式が含まれます。 バツと (x + 9)、要因です。 乗算の法則から、係数の少なくとも 1 つ (最初の係数または 2 番目の係数) がゼロに等しい場合、積はゼロに等しいことがわかります。
つまり、方程式では バツ(×＋ 9) = 0 の場合、同等性が達成されます。 バツゼロまたは (x + 9)ゼロになります。
バツ= 0 または バツ + 9 = 0
これらの式の両方をゼロに等しくすると、方程式の根を見つけることができます バツ(×＋ 9) = 0 . 例からわかるように、最初のルートはすぐに見つかりました。 2 番目の根を見つけるには、初等方程式を解く必要があります。 バツ+ 9 = 0 . この式の根が-9であることは容易に推測できます。 チェックは、ルートが正しいことを示しています。
−9 + 9 = 0
例 2. 方程式を解く
この方程式には、1 と 2 の 2 つの根があります。方程式の左側は、式の積 ( バツ− 1) および ( バツ− 2) . また、因子の少なくとも 1 つがゼロ (または因子 ( バツ− 1) または係数 ( バツ − 2) ).
見つけよう バツその下の式 ( バツ− 1) または ( バツ− 2) 消える:
見つかった値を元の方程式に代入し、これらの値で左辺がゼロに等しいことを確認します。
根が無数にある場合
方程式は無数の根を持つことができます。 つまり、そのような方程式に任意の数を代入すると、正しい数値の等式が得られます。
例 1. 方程式を解く 
この方程式の根は任意の数です。 方程式の左側にある括弧を開いて同じ項を持ってくると、等式 14 \u003d 14 が得られます。 この等号は、任意の バツ
例 2. 方程式を解く
この方程式の根は任意の数です。 方程式の左側の括弧を開くと、等号が得られます。 10バツ + 12 = 10バツ + 12. この等号は、任意の バツ
根がない場合
方程式に解がまったくない、つまり根がないことも起こります。 たとえば、方程式には根がありません。 バツ、方程式の左辺は右辺と等しくなりません。 たとえば、みましょう。 次に、方程式は次の形式になります
例 2. 方程式を解く
式の左側の括弧を展開してみましょう。
同様の用語を次に示します。
左辺が右辺と等しくないことがわかります。 そして、それは任意の値になります y. たとえば、 y = 3 .
文字方程式
方程式には、変数を持つ数字だけでなく、文字も含めることができます。
たとえば、速度を求める式は文字通りの方程式です。
この方程式は、一様に加速された運動における物体の速度を表します。
有用なスキルは、文字方程式に含まれる任意のコンポーネントを表現する能力です。 たとえば、方程式から距離を求めるには、変数を表す必要があります。 s .
式の両辺を掛けてみましょう t
右側の変数 t減らす t
結果の式では、左部分と右部分が入れ替わっています。
先ほど調べた距離を求める公式が得られました。
式から時間を決定してみましょう。 これを行うには、変数を表現する必要があります t .
式の両辺を掛けてみましょう t
右側の変数 t減らす t残っているものを書き直します。
結果の式では v × t = s両方の部分を分割します v
左の変数 v減らす v残っているものを書き直します。
先ほど調べた、時間の求め方の公式が得られました。
電車の速度が時速50kmだとします
v= 50km/h
そして距離は100km
s= 100km
次に、リテラル方程式は次の形式になります
この式から時間を求めることができます。 これを行うには、変数を表現できる必要があります t. 被除数を商で割ることによって未知の除数を見つけるためのルールを使用して、変数の値を決定できます。 t
または、同一の変換を使用できます。 最初に式の両辺を掛けます t
次に、両方の部分を 50 で割ります
例 2 バツ
方程式の両辺から引きます a
方程式の両辺を b
a + bx = c、それから既成の解決策があります。 それに必要な値を代入するだけで十分です。 文字に置き換えられる値 a、b、cと呼ばれる パラメーター. そして、次の形式の方程式 a + bx = cと呼ばれる パラメータ付き方程式. パラメータによってルートが変わります。
方程式 2 + 4 を解く バツ= 10 . 文字通りの方程式のように見えます a + bx = c. 同一の変換を実行する代わりに、既製のソリューションを使用できます。 両方のソリューションを比較してみましょう。
2 番目のソリューションは、はるかに単純で短いことがわかります。
完成したソリューションについては、ちょっとしたコメントが必要です。 パラメータ bゼロであってはなりません (b≠0)、ゼロによる除算は許可されていないためです。
例 3. 与えられた文字通りの方程式。 この式から表す バツ
式の両方の部分の括弧を開きましょう
条件の転送を使用します。 変数を含むパラメーター バツ、方程式の左側にグループ化し、この変数から解放されたパラメーターを右側にグループ化します。
左側で、因子を取り出します バツ
両方の部分を式に分割する a-b
左側では、分子と分母は次のように減らすことができます。 a-b. したがって、変数は最終的に表現されます バツ
ここで、次の形式の方程式に出くわした場合 a(x − c) = b(x + d)、それから既成の解決策があります。 それに必要な値を代入するだけで十分です。
方程式が与えられたとします 4(バツ - 3) = 2(バツ+ 4) . 方程式のように見えます a(x − c) = b(x + d). 同一の変換を使用する方法と、既製のソリューションを使用する方法の 2 つの方法で解決します。
便宜上、式から抽出します。 4(バツ - 3) = 2(バツ+ 4) パラメータ値 a, b, c, d . これにより、置換時に間違いを防ぐことができます。
前の例のように、ここの分母はゼロに等しくないはずです ( a - b ≠ 0) . 形式の方程式に出くわした場合 a(x − c) = b(x + d)パラメータ aと bが同じなら、解かなくてもこの方程式には根がないと言えます。同じ数の差はゼロだからです。
たとえば、方程式 2(x − 3) = 2(x + 4)は次の形式の方程式です。 a(x − c) = b(x + d). 方程式では 2(x − 3) = 2(x + 4)オプション aと b同じ。 それを解き始めると、左側が右側と等しくないという結論に達します。
例 4. 与えられた文字通りの方程式。 この式から表す バツ
方程式の左辺を共通の分母にします。
両辺を掛ける a
左側に バツブラケットから取り出します
両方の部分を式 (1 − a)
1 つの未知数を含む線形方程式
このレッスンで考慮する方程式は、 1 つの未知数を含む 1 次の線形方程式.
方程式が 1 次まで与えられ、未知数による除算が含まれておらず、未知数からの根も含まれていない場合、線形と呼ぶことができます。 私たちはまだ次数とルーツを学んでいないので、私たちの生活を複雑にしないために、「線形」という言葉を「単純」と理解します。
このレッスンで解いた方程式のほとんどは、積を既知の因数で割る必要がある最も単純な方程式になりました。 たとえば、式 2( バツ+ 3) = 16 . 解決しましょう。
方程式の左側の括弧を開きましょう。2 が得られます。 バツ+ 6 = 16. 項 6 を符号を変えて右辺に移動しましょう。 次に、2を取得します バツ= 16 − 6. 右辺を計算すると、2 が得られます。 バツ= 10. 見つける バツ、積 10 を既知の因数 2 で割ります。 バツ = 5.
式 2( バツ+ 3) = 16 は線形です。 それは式2に還元されました バツ= 10 、積を既知の因数で割る必要がある根を見つけるため。 この単純な方程式は 正準形で未知の 1 つを含む 1 次の線形方程式. 「正規」という言葉は、「単純」または「通常」という言葉と同義です。
正準形で未知の 1 つを含む 1 次の線形方程式は、次の形式の方程式と呼ばれます。 ax = b.
私たちの方程式 2 バツ= 10 は、1 つの未知数が正準形式の 1 次の線形方程式です。 この方程式は、1 つの未知数である 1 次を持ち、未知数による除算を含まず、未知数からの根を含まず、正準形式、つまり簡単に決定できる最も単純な形式で表されます。価値 バツ. パラメータの代わりに aと bこの方程式には数字の 2 と 10 が含まれています。しかし、同様の方程式には、正、負、またはゼロに等しい他の数字を含めることができます。
線形方程式の場合 a= 0 および b= 0 の場合、方程式には無限に多くの根があります。 確かに、もし aゼロであり、 bゼロに等しい場合、線形方程式 斧= b 0 の形式を取ります バツ= 0 . 任意の値 バツ左辺は右辺と等しくなります。
線形方程式の場合 a= 0 および b≠ 0 の場合、方程式には根がありません。 確かに、もし aゼロであり、 bゼロ以外の数値、たとえば数値 5 に等しい場合、式は次のようになります。 ax=b 0 の形式を取ります バツ= 5 . 左辺がゼロ、右辺が 5 になります。 そして、0 は 5 に等しくありません。
線形方程式の場合 a≠ 0 、および bが任意の数に等しい場合、方程式の根は 1 つです。 パラメータを分割することによって決定されます bパラメータごと a
確かに、もし aゼロ以外の数値、たとえば数値 3 に等しく、 bが何らかの数、たとえば数 6 に等しい場合、式は の形になります。
ここから。
1 つの未知数を持つ 1 次の線形方程式を記述する別の形式があります。 次のようになります。 ax − b= 0 . これは次の式と同じです。 ax=b
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