サンクトペテルブルクの GBOU 中学校 No. 149

レッスンのまとめ

ノビコワ オルガ・ニコラエヴナ

2016年

トピック: 「指数方程式と不等式のシステム」。

レッスンの目的:

教育的:

連立方程式と不等式に含まれる指数方程式と不等式を解く方法に関する知識を一般化して統合する

現像： アクティベーション 認知活動; 自己管理と自己評価のスキルの開発、彼らの活動の自己分析。

教育的: 独立して働くためのスキルの形成; 決定を下し、結論を導きます。 自己教育と自己改善への願望の教育。

レッスンタイプ : 組み合わせた.

レッスンの種類: 実践的なレッスン。

授業中

私。 整理時間（1分）

クラスの目標の定式化: 連立方程式と不等式に含まれる指数方程式と不等式を解く方法に関する知識を一般化して統合します。指数関数の性質に基づいています。

Ⅱ． 口頭発表（1分）

指数方程式の定義。
指数方程式を解く方法。
指数不等式を解くアルゴリズム。

Ⅲ . 検査 宿題(3分)

彼らの場所の学生。 教師は答えをチェックし、証明式と不等式の解き方を尋ねます。 №228～231(奇数)

私Ⅴ. 基礎知識のアップデート。 「ブレインストーミング」: (3分)

問題は生徒の机に印刷された「指数関数・方程式・不等式」が提示され、その場で生徒に口頭で答えてもらう。

1. 指数関数と呼ばれる関数は?

2.機能の範囲は何ですか y= 0,5バツ?

3. 指数関数の領域は?

4.機能の範囲は何ですか y= 0,5バツ?

5. 関数にはどのようなプロパティがありますか?

6. 指数関数が増加する条件は?

7. 指数関数が減少する条件は?

8.指数関数の増減

9. 指数関数と呼ばれる方程式は?

実践力の形成レベルの診断。

タスク 10 解決策をノートに書き留めます。 (7分)

10. 増加および減少する指数関数の特性を知って、不等式を解きます

2 3 < 2 バツ ;
; 3 バツ < 81 ; 3 バツ < 3 4

11 . 方程式を解く: 3 バツ = 1

12 . 7.8 0 を計算します。 9.8 0

13 . 指数方程式を解く方法を指定して解く：

完成後、ペアは葉を変えます。 お互いに感謝しています。 ボード上の基準。 ファイル内のシートのレコードと照合します。

したがって、指数関数の特性、指数方程式を解く方法を繰り返しました。

教師は 2 ～ 3 人の生徒の作品を選択して評価します。

ソリューション ワークショップ システム 指数方程式と不等式: (23分)

指数関数の性質に基づいて、指数方程式系と不等式系の解を考えてみましょう。

指数方程式と不等式の連立方程式を解く場合、代数方程式と不等式の連立方程式を解く場合と同じ手法 (代入法、加算法、新しい変数の導入法) が使用されます。 多くの場合、いずれかの解法を適用する前に、システムの各方程式 (不等式) を可能な限り単純な形式に変換する必要があります。

例。

1.

解決：

答え： (-7; 3); (1; -1).

2.

解決：

2 を表す バツ= u, 3 y= v。 次に、システムは次のように記述されます。

代入法を使ってこの系を解いてみましょう:

式 2 バツ= -2 には解がありません。 -2<0, а 2 バツ> 0.

b)

答え： (2;1).

№244(1)

答え: 1.5; 2

要約します。 反射。 （5分）

レッスンのまとめ: 今日は、指数関数の性質に基づいて、システムに含まれる指数方程式と不等式を解く方法の知識を繰り返してまとめました。

子供たちは順番に、次のフレーズから選んでフレーズを続けるように勧められます。

反射：

今日、私は知った...

難しかった…

という事は承知しています…

私は学んだ...

私はできた）…

それを知るのは面白かった...

驚いた...

私は欲しかった…

宿題。 (2分)

No.240-242（奇数）p.86

このレッスンでは、より複雑な指数方程式の解を検討し、指数関数に関する主な理論的規定を思い出します。

1. 指数関数の定義と性質、最も単純な指数方程式を解く手法

指数関数の定義と主な特性を思い出してください。 すべての指数方程式と不等式の解は、この特性に基づいています。

指数関数は次の形式の関数です。ここで、基数は次数で、x は独立変数 (引数) です。 y - 従属変数、関数。

米。 1.指数関数のグラフ

グラフは指数関数の増加と減少を示しており、底がそれぞれ 1 より大きい場合と 1 より小さい場合の指数関数を示していますが、0 より大きい場合です。

どちらの曲線もポイント (0;1) を通過します

指数関数の性質:

ドメイン: ;

値の範囲: ;

関数は単調で、 のように増加し、 のように減少します。

単調関数は、引数の単一の値で各値を取ります。

引数がマイナスからプラスの無限大に増加すると、関数はゼロからプラスの無限大に増加します。 逆に、引数がマイナスからプラスの無限大に増加すると、関数は無限大からゼロに減少します。

2. 典型的な指数方程式の解

最も単純な指数方程式の解き方を思い出してください。 彼らの解は、指数関数の単調性に基づいています。 ほとんどすべての複雑な指数方程式は、このような方程式に還元されます。

底が等しい指数が等しいのは、指数関数の性質、つまりその単調性によるものです。

解決方法:

次数の底を均等化します。

指数を等しくします。

より複雑な指数方程式に移りましょう。私たちの目標は、それらのそれぞれを最も単純なものに減らすことです。

左側の根を取り除き、次数を同じ基数に減らしましょう。

複雑な指数方程式を単純なものに還元するために、変数の変更がよく使用されます。

次数プロパティを使用してみましょう。

交換品を紹介します。 それでは

得られた方程式を 2 倍し、すべての項を左側に転送します。

最初のルートは y 値の間隔を満たさないため、破棄します。 我々が得る：

度数を同じ指標に当てはめてみましょう。

代替品を紹介します：

それでは . この置換により、y が厳密に正の値を取ることは明らかです。 我々が得る：

同様の二次方程式を解く方法を知っているので、答えを書きます。

根が正しく検出されていることを確認するには、Vieta の定理に従って確認できます。つまり、根とその積の合計を見つけ、対応する方程式の係数で確認します。

我々が得る：

3. 二次同次指数方程式の解法

次の重要なタイプの指数方程式を調べてみましょう。

このタイプの方程式は、関数 f と g に関して 2 次同次と呼ばれます。 その左側には、パラメーター g を持つ f に関する 2 乗三項式、またはパラメーター f を持つ g に関する 2 乗三項式があります。

解決方法:

この方程式は二次方程式として解くことができますが、逆の方が簡単です。 次の 2 つのケースを考慮する必要があります。

最初のケースでは、

2 番目のケースでは、最高次数で割る権利があり、次のようになります。

変数の変更を導入する必要があります。y の二次方程式が得られます。

関数 f と g は任意であることに注意してください。ただし、これらが指数関数である場合に関心があります。

4. 同次方程式の解法例

すべての項を方程式の左側に移動しましょう。

指数関数は厳密に正の値を取得するため、次の場合を考慮せずに、式を ですぐに除算する権利があります。

我々が得る：

代替品を紹介します： (指数関数の性質による)

次の二次方程式が得られます。

ビエタの定理に従って根を決定します。

最初のルートは y 値の間隔を満たさないため、破棄して次のようになります。

次数のプロパティを使用して、すべての次数を単純な基数に減らしてみましょう。

関数 f と g に気付くのは簡単です。

連立方程式を解く方法

まず、連立方程式を解く一般的な方法を簡単に思い出してみましょう。

存在 4つの主な方法連立方程式の解:

代入法: これらの方程式のいずれかを取り、$y$ を $x$ で表すと、$y$ がシステムの方程式に代入され、そこから変数 $x.$ が見つかります。その後、簡単に変数 $y.$ を計算します

加算法: この方法では、一方または両方の方程式に数値を掛けて、両方を加算すると変数の 1 つが「消える」ようにする必要があります。

グラフィカルな方法：システムの両方の方程式が上に描かれています 座標平面そしてそれらの交点を見つけます。

新しい変数を導入する方法: この方法では、システムを単純化するためにいくつかの式を置き換えてから、上記の方法のいずれかを適用します。

指数方程式系

定義 1

指数方程式からなる連立方程式は、指数方程式系と呼ばれます。

例を使用して、指数方程式系の解を検討します。

例 1

連立方程式を解く

写真1。

解決。

最初の方法を使用して、このシステムを解決します。 まず、最初の式の $y$ を $x$ で表しましょう。

図 2.

$y$ を 2 番目の式に代入します。

\ \ \[-2-x=2\] \ \

答え： $(-4,6)$.

例 2

連立方程式を解く

図 3

解決。

このシステムは、システムと同等です

図 4

方程式を解くために 4 番目の方法を適用します。 $2^x=u\ (u >0)$ と $3^y=v\ (v >0)$ とすると、次のようになります。

図 5

得られた系を加算法で解きます。 方程式を追加しましょう:

\ \

次に、2 番目の式から、次の式が得られます。

交換に戻ると、指数方程式の新しいシステムを受け取りました。

図 6

我々が得る：

図 7

答え： $(0,1)$.

指数不等式のシステム

定義 2

指数方程式からなる不等式を指数不等式といいます。

例を使用して、指数不等式のシステムの解を検討します。

例 3

不等式を解く

図 8

解決：

この不等式のシステムは、システムと同等です

図 9

最初の不等式を解くには、次の指数不等式の等価定理を思い出してください。

定理 1。不等式 $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $、ここで $a >0,a\ne 1$ は 2 つのシステムのセットに相当します

\}