Rumus trigonometri cara penyelesaiannya. Persamaan Trigonometri - Rumus, Solusi, Contoh

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda setiap saat ketika Anda menghubungi kami.

Berikut adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

  • Saat Anda mengirimkan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

  • Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
  • Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
  • Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
  • Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

  • Jika diperlukan - sesuai dengan undang-undang, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan negara di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
  • Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan ke penerus pihak ketiga terkait.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, pengubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi dengan ketat.

Anda dapat memesan solusi terperinci untuk masalah Anda !!!

Persamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri (`sin x, cos x, tg x` atau `ctg x`) disebut persamaan trigonometri, dan kami akan mempertimbangkan rumusnya lebih lanjut.

Persamaan paling sederhana adalah `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, di mana `x` adalah sudut yang dicari, `a` adalah bilangan apa saja. Mari kita tuliskan rumus root untuk masing-masingnya.

1. Persamaan `sin x=a`.

Untuk `|a|>1` tidak memiliki solusi.

Dengan `|a| \leq 1` memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Rumus akar: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Persamaan `cos x=a`

Untuk `|a|>1` - seperti dalam kasus sinus, tidak ada solusi di antara bilangan real.

Dengan `|a| \leq 1` memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Rumus akar: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Kasus khusus untuk sinus dan cosinus dalam grafik.

3. Persamaan `tg x=a`

Memiliki jumlah solusi tak terbatas untuk setiap nilai `a`.

Rumus akar: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Persamaan `ctg x=a`

Ini juga memiliki jumlah solusi yang tak terbatas untuk setiap nilai `a`.

Rumus akar: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Rumus untuk akar persamaan trigonometri dalam tabel

Untuk sinus:
Untuk kosinus:
Untuk tangen dan kotangen:
Rumus untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik:

Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri

Solusi dari setiap persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap:

  • gunakan untuk mengubahnya menjadi yang paling sederhana;
  • selesaikan persamaan sederhana yang dihasilkan menggunakan rumus di atas untuk akar dan tabel.

Mari pertimbangkan metode utama solusi menggunakan contoh.

metode aljabar.

Dalam metode ini dilakukan penggantian suatu variabel dan substitusinya menjadi persamaan.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ganti: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, lalu `2y^2-3y+1=0`,

kami menemukan akar: `y_1=1, y_2=1/2`, dari mana dua kasus mengikuti:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Jawaban: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisasi.

Contoh. Selesaikan persamaan: `sin x+cos x=1`.

Larutan. Pindah ke kiri semua suku persamaan: `sin x+cos x-1=0`. Menggunakan , kami mengubah dan memfaktorkan sisi kiri:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2 sin x/2 (cos x/2 sin x/2)=0`,

  1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
  2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Jawaban: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduksi menjadi persamaan homogen

Pertama, Anda perlu membawa persamaan trigonometri ini ke salah satu dari dua bentuk berikut:

`a sin x+b cos x=0` (persamaan homogen derajat pertama) atau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (persamaan homogen derajat kedua).

Kemudian pisahkan kedua bagian dengan `cos x \ne 0` untuk kasus pertama, dan dengan `cos^2 x \ne 0` untuk kasus kedua. Kita mendapatkan persamaan untuk `tg x`: `a tg x+b=0` dan `a tg^2 x + b tg x +c =0`, yang harus diselesaikan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Larutan. Mari tuliskan ruas kanan sebagai `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ini adalah persamaan trigonometri homogen derajat kedua, membagi sisi kiri dan kanannya dengan `cos^2 x \ne 0`, kita mendapatkan:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Mari perkenalkan pengganti `tg x=t`, sebagai hasilnya `t^2 + t - 2=0`. Akar persamaan ini adalah `t_1=-2` dan `t_2=1`. Kemudian:

  1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
  2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Menjawab. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Pergi ke Setengah Sudut

Contoh. Selesaikan persamaan: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Larutan. Menerapkan rumus sudut ganda, hasilnya adalah: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Menerapkan metode aljabar yang dijelaskan di atas, kami memperoleh:

  1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
  2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Menjawab. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Pengenalan sudut bantu

Dalam persamaan trigonometri `a sin x + b cos x =c`, di mana a,b,c adalah koefisien dan x adalah variabel, kita membagi kedua bagian dengan `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(akar (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(akar (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(akar (a^2) +b^2))`.

Koefisien di sisi kiri memiliki sifat sinus dan kosinus, yaitu, jumlah kuadratnya sama dengan 1 dan modulusnya tidak lebih besar dari 1. Nyatakan sebagai berikut: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, maka:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Mari kita lihat lebih dekat contoh berikut:

Contoh. Selesaikan persamaan: `3 sin x+4 cos x=2`.

Larutan. Membagi kedua sisi persamaan dengan `sqrt (3^2+4^2)`, kita mendapatkan:

`\frac (3 sin x) (akar (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(akar (3^2+4^2))=` `\frac 2(akar (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Nyatakan `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Karena `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, kita ambil `\varphi=arcsin 4/5` sebagai sudut tambahan. Kemudian kami menulis persamaan kami dalam bentuk:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Menerapkan rumus jumlah sudut untuk sinus, kami menulis persamaan kami dalam bentuk berikut:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Menjawab. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Persamaan trigonometri pecahan-rasional

Ini adalah persamaan dengan pecahan, di pembilang dan penyebutnya terdapat fungsi trigonometri.

Contoh. Selesaikan persamaan. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Larutan. Kalikan dan bagi ruas kanan persamaan dengan `(1+cos x)`. Hasilnya, kami mendapatkan:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Mengingat penyebutnya tidak boleh nol, kita mendapatkan `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Samakan pembilang pecahan dengan nol: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Kemudian `sin x=0` atau `1-sin x=0`.

  1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Mengingat bahwa ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, solusinya adalah `x=2\pi n, n \in Z` dan `x=\pi /2+2\pi n` , `n \dalam Z`.

Menjawab. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometri, dan persamaan trigonometri khususnya, digunakan di hampir semua bidang geometri, fisika, dan teknik. Pelajaran dimulai di kelas 10, selalu ada tugas untuk ujian, jadi cobalah untuk mengingat semua rumus persamaan trigonometri - pasti akan berguna untuk Anda!

Namun, Anda bahkan tidak perlu menghafalnya, yang utama adalah memahami esensinya, dan dapat menarik kesimpulan. Ini tidak sesulit kelihatannya. Buktikan sendiri dengan menonton videonya.

Saat memecahkan banyak Soal matematika, terutama yang terjadi sebelum kelas 10, urutan tindakan yang dilakukan yang akan mengarah pada tujuan ditentukan dengan jelas. Masalah tersebut meliputi, misalnya, persamaan linear dan kuadrat, ketidaksetaraan linear dan kuadrat, persamaan pecahan dan persamaan yang direduksi menjadi kuadrat. Prinsip penyelesaian yang berhasil dari masing-masing tugas yang disebutkan adalah sebagai berikut: perlu untuk menentukan jenis masalah yang sedang dipecahkan, mengingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan mengarah pada hasil yang diinginkan, yaitu. jawab dan ikuti langkah-langkah ini.

Jelas, keberhasilan atau kegagalan dalam memecahkan masalah tertentu terutama bergantung pada seberapa benar jenis persamaan yang diselesaikan ditentukan, seberapa benar urutan semua tahapan solusinya direproduksi. Tentunya dalam hal ini diperlukan keterampilan untuk melakukan transformasi dan perhitungan yang identik.

Situasi berbeda terjadi dengan persamaan trigonometri. Tidaklah sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut adalah trigonometri. Kesulitan muncul saat menentukan urutan tindakan yang akan mengarah pada jawaban yang benar.

Terkadang sulit untuk menentukan jenisnya dengan munculnya persamaan. Dan tanpa mengetahui jenis persamaannya, hampir tidak mungkin untuk memilih yang tepat dari beberapa lusin rumus trigonometri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kita harus mencoba:

1. bawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke "sudut yang sama";
2. membawa persamaan ke "fungsi yang sama";
3. faktorkan ruas kiri persamaan, dll.

Mempertimbangkan metode dasar untuk memecahkan persamaan trigonometri.

I. Reduksi ke persamaan trigonometri paling sederhana

Skema solusi

Langkah 1. Nyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk komponen yang diketahui.

Langkah 2 Temukan argumen fungsi menggunakan rumus:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Langkah 3 Temukan variabel yang tidak diketahui.

Contoh.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Larutan.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Jawab: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. substitusi variabel

Skema solusi

Langkah 1. Bawa persamaan ke bentuk aljabar sehubungan dengan salah satu fungsi trigonometri.

Langkah 2 Nyatakan fungsi yang dihasilkan oleh variabel t (jika perlu, perkenalkan batasan pada t).

Langkah 3 Tuliskan dan selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan.

Langkah 4 Lakukan pergantian terbalik.

Langkah 5 Selesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.

Contoh.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Larutan.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Misalkan sin (x/2) = t, dimana |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 atau e = -3/2 tidak memenuhi kondisi |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Jawab: x = π + 4πn, n Є Z.

AKU AKU AKU. metode reduksi orde persamaan

Skema solusi

Langkah 1. Ganti persamaan ini dengan persamaan linier menggunakan rumus reduksi daya:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode I dan II.

Contoh.

cos2x + cos2x = 5/4.

Larutan.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Jawab: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. persamaan homogen

Skema solusi

Langkah 1. Bawa persamaan ini ke formulir

a) a sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen derajat pertama)

atau ke tampilan

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen derajat kedua).

Langkah 2 Bagilah kedua sisi persamaan dengan

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

dan dapatkan persamaan untuk tg x:

a) tg x + b = 0;

b) tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Langkah 3 Selesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Larutan.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4sin 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Biarkan tg x = t, lalu

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 atau t = -4, jadi

tg x = 1 atau tg x = -4.

Dari persamaan pertama x = π/4 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Jawab: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metode mengubah persamaan menggunakan rumus trigonometri

Skema solusi

Langkah 1. Dengan menggunakan semua jenis rumus trigonometri, bawalah persamaan ini ke persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode I, II, III, IV.

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Larutan.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;

Dari persamaan pertama 2x = π/2 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua cos x = -1/2.

Kita memiliki x = π/4 + πn/2, n Є Z; dari persamaan kedua x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Hasilnya, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Jawab: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kemampuan dan keterampilan memecahkan persamaan trigonometri sangat tinggi penting, perkembangan mereka membutuhkan usaha yang cukup besar, baik dari pihak siswa maupun guru.

Banyak soal stereometri, fisika, dll yang berhubungan dengan penyelesaian persamaan trigonometri... Proses penyelesaian soal semacam itu seolah-olah mengandung banyak pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh saat mempelajari unsur-unsur trigonometri.

Persamaan trigonometri menempati tempat penting dalam proses pengajaran matematika dan perkembangan kepribadian secara umum.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Trigonometri, sebagai ilmu, berasal dari Timur Kuno. Rasio trigonometri pertama dikembangkan oleh para astronom untuk membuat kalender yang akurat dan berorientasi pada bintang. Perhitungan ini terkait dengan trigonometri bola, sementara di kursus sekolah mempelajari perbandingan sisi dan sudut segitiga datar.

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat fungsi trigonometri dan hubungan antara sisi dan sudut segitiga.

Pada masa kejayaan budaya dan sains di milenium pertama Masehi, pengetahuan menyebar dari Timur Kuno ke Yunani. Tetapi penemuan utama trigonometri adalah jasa orang-orang Kekhalifahan Arab. Secara khusus, ilmuwan Turkmenistan al-Marazvi memperkenalkan fungsi seperti garis singgung dan kotangen, menyusun tabel nilai pertama untuk sinus, garis singgung, dan kotangen. Konsep sinus dan cosinus diperkenalkan oleh para ilmuwan India. Banyak perhatian dicurahkan pada trigonometri dalam karya tokoh-tokoh besar zaman kuno seperti Euclid, Archimedes, dan Eratosthenes.

Besaran dasar trigonometri

Fungsi trigonometri dasar dari argumen numerik adalah sinus, cosinus, tangen, dan kotangen. Masing-masing memiliki grafiknya sendiri: sinus, kosinus, tangen, dan kotangen.

Rumus untuk menghitung nilai besaran ini didasarkan pada teorema Pythagoras. Anak sekolah lebih dikenal dalam rumusan: "Celana Pythagoras, sama ke segala arah", karena pembuktiannya diberikan pada contoh segitiga siku-siku sama kaki.

Sinus, cosinus, dan dependensi lainnya membentuk hubungan antara sudut lancip dan sisi segitiga siku-siku. Kami memberikan rumus untuk menghitung jumlah ini untuk sudut A dan melacak hubungan fungsi trigonometri:

Seperti yang Anda lihat, tg dan ctg adalah fungsi terbalik. Jika kaki a direpresentasikan sebagai perkalian sin A dan sisi miring c, dan kaki b sebagai cos A * c, maka kita mendapatkan rumus berikut untuk tangen dan kotangen:

lingkaran trigonometri

Secara grafis, rasio dari jumlah yang disebutkan dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Lingkaran, dalam hal ini, mewakili semua kemungkinan nilai sudut α - dari 0° hingga 360°. Seperti dapat dilihat dari gambar, setiap fungsi memiliki nilai negatif atau positif tergantung pada sudutnya. Misalnya, sin α akan bertanda “+” jika α termasuk dalam perempat lingkaran I dan II, yaitu berkisar antara 0 ° hingga 180 °. Dengan α dari 180° hingga 360° (kuartal III dan IV), sin α hanya bisa bernilai negatif.

Mari kita coba membuat tabel trigonometri untuk sudut tertentu dan mencari tahu arti besarannya.

Nilai α sama dengan 30°, 45°, 60°, 90°, 180° dan seterusnya disebut kasus khusus. Nilai fungsi trigonometri dihitung dan disajikan dalam bentuk tabel khusus.

Sudut ini tidak dipilih secara kebetulan. Penunjukan π dalam tabel adalah untuk radian. Rad adalah sudut di mana panjang busur lingkaran sesuai dengan jari-jarinya. Nilai ini diperkenalkan untuk membangun hubungan universal, saat menghitung dalam radian, panjang sebenarnya dari jari-jari dalam cm tidak menjadi masalah.

Sudut dalam tabel untuk fungsi trigonometri sesuai dengan nilai radian:

Jadi, tidak sulit untuk menebak bahwa 2π adalah lingkaran penuh atau 360°.

Sifat fungsi trigonometri: sinus dan cosinus

Untuk mempertimbangkan dan membandingkan sifat-sifat dasar sinus dan cosinus, tangen dan kotangen, perlu menggambar fungsinya. Ini dapat dilakukan dalam bentuk kurva yang terletak dalam sistem koordinat dua dimensi.

Pertimbangkan tabel perbandingan properti untuk gelombang sinus dan gelombang kosinus:

sinusoidalgelombang kosinus
y = sin xy = cos x
ODZ [-1; 1]ODZ [-1; 1]
sin x = 0, untuk x = πk, di mana k ϵ Zcos x = 0, untuk x = π/2 + πk, dengan k ϵ Z
sin x = 1, untuk x = π/2 + 2πk, dengan k ϵ Zcos x = 1, untuk x = 2πk, di mana k ϵ Z
sin x = - 1, di x = 3π/2 + 2πk, di mana k ϵ Zcos x = - 1, untuk x = π + 2πk, di mana k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, yaitu fungsi ganjilcos (-x) = cos x, yaitu fungsinya genap
fungsinya periodik, periode terkecil adalah 2π
sin x › 0, dengan x milik kuartal I dan II atau dari 0° hingga 180° (2πk, π + 2πk)cos x › 0, dengan x milik kuartal I dan IV atau dari 270° hingga 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, dengan x milik perempat III dan IV atau dari 180° hingga 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)cos x ‹ 0, dengan x milik kuartal II dan III atau dari 90° hingga 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
meningkat pada interval [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]meningkat pada interval [-π + 2πk, 2πk]
berkurang pada interval [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]menurun dalam interval
turunan (sin x)' = cos xturunan (cos x)’ = - sin x

Menentukan apakah suatu fungsi genap atau tidak sangat sederhana. Cukup membayangkan lingkaran trigonometri dengan tanda besaran trigonometri dan secara mental "melipat" grafik relatif terhadap sumbu OX. Jika tandanya sama, maka fungsinya genap; jika tidak, maka ganjil.

Pengenalan radian dan pencacahan sifat utama gelombang sinusoid dan cosinus memungkinkan kita untuk membawa pola berikut:

Sangat mudah untuk memverifikasi kebenaran formula. Misalnya, untuk x = π/2, sinus sama dengan 1, demikian pula cosinus dari x = 0. Pengecekan dapat dilakukan dengan melihat tabel atau dengan menelusuri kurva fungsi untuk nilai tertentu.

Sifat tangentoid dan cotangentoid

Grafik fungsi tangen dan kotangen berbeda secara signifikan dari gelombang sinusoidal dan cosinus. Nilai tg dan ctg saling terbalik.

  1. Y = tgx.
  2. Garis singgung cenderung ke nilai y pada x = π/2 + πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
  3. Periode positif terkecil dari tangentoid adalah π.
  4. Tg (- x) \u003d - tg x, yaitu fungsinya ganjil.
  5. Tg x = 0, untuk x = πk.
  6. Fungsinya meningkat.
  7. Tg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
  8. Tg x ‹ 0, untuk x ϵ (— π/2 + πk, πk).
  9. Turunan (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Pertimbangkan representasi grafis dari kotangentoid di bawah ini dalam teks.

Sifat utama kotangentoid:

  1. Y = ctgx.
  2. Berbeda dengan fungsi sinus dan cosinus, pada tangentoid Y dapat mengambil nilai dari himpunan semua bilangan real.
  3. Kotangenoid cenderung ke nilai y pada x = πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
  4. Periode positif terkecil dari cotangentoid adalah π.
  5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, yaitu fungsinya ganjil.
  6. Ctg x = 0, untuk x = π/2 + πk.
  7. Fungsinya menurun.
  8. Ctg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
  9. Ctg x ‹ 0, untuk x ϵ (π/2 + πk, πk).
  10. Turunan (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Perbaiki

Konsep memecahkan persamaan trigonometri.

  • Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, ubahlah menjadi satu atau lebih persamaan trigonometri dasar. Memecahkan persamaan trigonometri pada akhirnya bermuara pada menyelesaikan empat persamaan trigonometri dasar.

  • Solusi persamaan trigonometri dasar.

    • Ada 4 jenis persamaan trigonometri dasar:
    • sin x = a; cos x = a
    • tan x = a; ctg x = a
    • Memecahkan persamaan trigonometri dasar melibatkan melihat berbagai posisi x pada lingkaran satuan, serta menggunakan tabel konversi (atau kalkulator).
    • Contoh 1. sin x = 0,866. Menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda mendapatkan jawabannya: x = π/3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: 2π/3. Ingat: semua fungsi trigonometri bersifat periodik, yaitu nilainya diulang. Misalnya, periodisitas sin x dan cos x adalah 2πn, dan periodisitas tg x dan ctg x adalah πn. Jadi jawabannya ditulis seperti ini:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Contoh 2 cos x = -1/2. Menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda mendapatkan jawabannya: x = 2π/3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
    • Contoh 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Jawab: x \u003d π / 4 + πn.
    • Contoh 4.ctg 2x = 1,732.
    • Jawab: x \u003d π / 12 + πn.

  • Transformasi yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri.

    • Untuk mentransformasi persamaan trigonometri, transformasi aljabar (faktorisasi, reduksi suku homogen, dll.) dan identitas trigonometri digunakan.
    • Contoh 5. Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan sin x + sin 2x + sin 3x = 0 diubah menjadi persamaan 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Dengan demikian, persamaan trigonometri dasar berikut perlu dipecahkan: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • Menemukan sudut dari nilai fungsi yang diketahui.

      • Sebelum mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mempelajari cara menemukan sudut dari nilai fungsi yang diketahui. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel konversi atau kalkulator.
      • Contoh: cos x = 0,732. Kalkulator akan memberikan jawaban x = 42,95 derajat. Lingkaran satuan akan memberikan sudut tambahan, yang kosinusnya juga sama dengan 0,732.

    • Sisihkan solusi pada lingkaran satuan.

      • Anda dapat menempatkan solusi untuk persamaan trigonometri pada lingkaran satuan. Solusi dari persamaan trigonometri pada lingkaran satuan adalah simpul dari poligon beraturan.
      • Contoh: Solusi x = π/3 + πn/2 pada lingkaran satuan adalah simpul dari bujur sangkar.
      • Contoh: Solusi x = π/4 + πn/3 pada lingkaran satuan adalah simpul dari segi enam beraturan.

    • Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.

      • Jika persamaan trigonometri yang diberikan hanya berisi satu fungsi trigonometri, selesaikan persamaan ini sebagai persamaan trigonometri dasar. Jika persamaan yang diberikan mencakup dua atau lebih fungsi trigonometri, maka ada 2 metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut (bergantung pada kemungkinan transformasinya).
        • Metode 1
      • Ubah persamaan ini menjadi persamaan dalam bentuk: f(x)*g(x)*h(x) = 0, dengan f(x), g(x), h(x) adalah persamaan trigonometri dasar.
      • Contoh 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • Larutan. Menggunakan rumus sudut rangkap sin 2x = 2*sin x*cos x, ganti sin 2x.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan trigonometri dasar: cos x = 0 dan (sin x + 1) = 0.
      • Contoh 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan dalam bentuk: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan trigonometri dasar: cos 2x = 0 dan (2cos x + 1) = 0.
      • Contoh 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
      • Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan dalam bentuk: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan trigonometri dasar: cos 2x = 0 dan (2sin x + 1) = 0.
        • Metode 2
      • Ubah persamaan trigonometri yang diberikan menjadi persamaan yang hanya berisi satu fungsi trigonometri. Kemudian ganti fungsi trigonometri ini dengan beberapa yang tidak diketahui, misalnya t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, dst).
      • Contoh 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
      • Larutan. Dalam persamaan ini, ganti (cos^2 x) dengan (1 - sin^2 x) (sesuai identitasnya). Persamaan yang diubah terlihat seperti:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ganti sin x dengan t. Sekarang persamaannya terlihat seperti: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat dengan dua akar: t1 = -1 dan t2 = 9/5. Akar t2 kedua tidak memenuhi jangkauan fungsi (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Contoh 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Larutan. Ganti tg x dengan t. Tulis ulang persamaan awal sebagai berikut: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sekarang temukan t dan temukan x untuk t = tg x.