Cara menyelesaikan persamaan rasional pecahan. Menyelesaikan persamaan bilangan bulat dan rasional fraksional
Hari ini kita akan mencari tahu bagaimana menyelesaikannya persamaan rasional pecahan.
Mari kita lihat: dari persamaan
(1) 2x + 5 = 3(8 - x),
(3) 
(4) 
persamaan rasional pecahan hanya (2) dan (4), sedangkan (1) dan (3) adalah persamaan utuh.
Saya mengusulkan untuk memecahkan persamaan (4), dan kemudian merumuskan aturan.
Karena persamaannya pecahan, kita perlu mencari penyebut yang sama. Dalam persamaan ini, ekspresi ini adalah 6 (x - 12) (x - 6). Kemudian kita kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama:
Setelah reduksi, kita mendapatkan seluruh persamaan:
6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6).
Setelah menyelesaikan persamaan ini, perlu untuk memeriksa apakah akar yang diperoleh mengubah penyebut pecahan dalam persamaan asli menjadi nol.
Memperluas tanda kurung:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, kita sederhanakan persamaannya: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.
Mencari akar persamaan
D=6084, D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 dan x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.
Pada x = 8.4 dan 24, penyebutnya adalah 6(x - 12)(x - 6) 0, yang berarti bahwa bilangan-bilangan tersebut adalah akar-akar persamaan (4).
Menjawab: 8,4; 24.
Memecahkan persamaan yang diusulkan, kita sampai pada yang berikut: ketentuan:
1) Kami menemukan penyebut yang sama.
2) Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama.
3) Kami memecahkan seluruh persamaan yang dihasilkan.
4) Kami memeriksa akar mana yang mengubah penyebut bersama menjadi nol dan mengecualikannya dari solusi.
Sekarang mari kita lihat contoh bagaimana posisi yang dihasilkan bekerja.
Selesaikan persamaan:
1) Penyebut umum: x 2 - 1
2) Kami mengalikan kedua bagian persamaan dengan penyebut yang sama, kami mendapatkan seluruh persamaan: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)
3) Kami memecahkan persamaan: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4
x 2 - x - 2 = 0
x 1 = - 1 dan x 2 = 2
4) Ketika x \u003d -1, penyebut umum x 2 - 1 \u003d 0. Angka -1 bukan akar.
Untuk x \u003d 2, penyebutnya adalah x 2 - 1 0. Angka 2 adalah akar persamaan.
Menjawab: 2.
Seperti yang Anda lihat, ketentuan kami berfungsi. Jangan takut, Anda akan berhasil! Yang paling penting temukan penyebut yang sama dengan benar dan lakukan transformasi dengan hati-hati. Kami berharap ketika menyelesaikan persamaan rasional pecahan, Anda akan selalu mendapatkan jawaban yang benar. Jika Anda memiliki pertanyaan atau ingin berlatih memecahkan persamaan seperti itu, daftarlah untuk mengikuti pelajaran dengan penulis artikel ini, tutor Valentina Galinevskaya.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
Solusi persamaan rasional pecahan
Panduan Bantuan
Persamaan rasional adalah persamaan yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi rasional.
(Ingat: ekspresi rasional adalah ekspresi bilangan bulat dan pecahan tanpa radikal, termasuk operasi penambahan, pengurangan, perkalian atau pembagian - misalnya: 6x; (m - n) 2; x / 3y, dll.)
Persamaan pecahan-rasional, sebagai suatu peraturan, direduksi menjadi bentuk:
Di mana P(x) dan Q(x) adalah polinomial.
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kalikan kedua ruas persamaan dengan Q(x), yang dapat menyebabkan munculnya akar asing. Oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan rasional fraksional, perlu untuk memeriksa akar yang ditemukan.
Persamaan rasional disebut bilangan bulat, atau aljabar, jika tidak memiliki pembagian dengan ekspresi yang mengandung variabel.
Contoh persamaan rasional utuh:
5x - 10 = 3(10 - x)
3x
-=2x-10
4
Jika dalam suatu persamaan rasional terdapat pembagian dengan suatu ekspresi yang mengandung variabel (x), maka persamaan tersebut disebut rasional pecahan.
Contoh persamaan rasional pecahan:
15
x + - = 5x - 17
x
Persamaan rasional pecahan biasanya diselesaikan sebagai berikut:
1) temukan penyebut yang sama dari pecahan dan kalikan kedua bagian persamaan dengannya;
2) memecahkan seluruh persamaan yang dihasilkan;
3) mengecualikan dari akarnya yang mengubah penyebut umum pecahan menjadi nol.
Contoh penyelesaian persamaan rasional bilangan bulat dan pecahan.
Contoh 1. Selesaikan seluruh persamaan
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Larutan:
Menemukan penyebut umum terendah. Ini adalah 6. Bagilah 6 dengan penyebut dan kalikan hasilnya dengan pembilang setiap pecahan. Kami mendapatkan persamaan yang setara dengan yang ini:
3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Karena penyebutnya sama di sisi kiri dan kanan, itu dapat dihilangkan. Maka kita memiliki persamaan yang lebih sederhana:
3(x - 1) + 4x = 5x.
Kami menyelesaikannya dengan membuka tanda kurung dan mengurangi suku serupa:
3x - 3 + 4x = 5x
3x + 4x - 5x = 3
Contoh terpecahkan.
Contoh 2. Memecahkan persamaan rasional pecahan
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)
Kami menemukan penyebut yang sama. Ini adalah x(x - 5). Jadi:
x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)
Sekarang kita singkirkan penyebutnya lagi, karena itu sama untuk semua ekspresi. Kami mengurangi suku yang sama, menyamakan persamaan menjadi nol dan mendapatkan persamaan kuadrat:
x 2 - 3x + x - 5 = x + 5
x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
x 2 - 3x - 10 = 0.
Setelah menyelesaikan persamaan kuadrat, kami menemukan akarnya: -2 dan 5.
Mari kita periksa apakah angka-angka ini adalah akar dari persamaan asli.
Untuk x = –2, penyebut umum x(x – 5) tidak hilang. Jadi -2 adalah akar dari persamaan awal.
Pada x = 5, penyebut yang sama menghilang, dan dua dari tiga ekspresi kehilangan maknanya. Jadi angka 5 bukan akar dari persamaan aslinya.
Jawaban: x = -2
Contoh lainnya
Contoh 1
x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.
Jawaban: -2.2; 6.
Contoh 2
Presentasi dan pelajaran dengan topik: "Persamaan rasional. Algoritma dan contoh untuk menyelesaikan persamaan rasional"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.
Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 8
Manual untuk buku teks Makarychev Yu.N. Manual untuk buku teks Mordkovich A.G.
Pengantar persamaan irasional
Teman-teman, kami belajar cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Tetapi matematika tidak terbatas pada mereka. Hari ini kita akan belajar bagaimana menyelesaikan persamaan rasional. Konsep persamaan rasional dalam banyak hal mirip dengan konsep bilangan rasional. Hanya selain angka, sekarang kami telah memperkenalkan beberapa variabel $x$. Dan dengan demikian kita mendapatkan ekspresi di mana ada operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan peningkatan ke bilangan bulat.Misalkan $r(x)$ menjadi ekspresi rasional. Ekspresi seperti itu dapat berupa polinomial sederhana dalam variabel $x$ atau rasio polinomial (operasi pembagian diperkenalkan, seperti untuk bilangan rasional).
Persamaan $r(x)=0$ disebut persamaan rasional.
Persamaan apapun dari bentuk $p(x)=q(x)$, di mana $p(x)$ dan $q(x)$ adalah ekspresi rasional, juga akan menjadi persamaan rasional.
Perhatikan contoh penyelesaian persamaan rasional.
Contoh 1Selesaikan persamaan: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Larutan.
Mari pindahkan semua ekspresi ke sisi kiri: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jika bilangan biasa diwakili di sisi kiri persamaan, maka kita akan membawa dua pecahan ke penyebut yang sama.
Mari lakukan ini: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Kami mendapatkan persamaan: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Suatu pecahan bernilai nol jika dan hanya jika pembilang pecahan adalah nol dan penyebutnya bukan nol. Kemudian secara terpisah samakan pembilangnya dengan nol dan temukan akar-akar pembilangnya.
$3(x^2+2x-3)=0$ atau $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sekarang mari kita periksa penyebut pecahan: $(x-3)*x≠0$.
Hasil kali dua bilangan sama dengan nol jika paling sedikit salah satu bilangan tersebut sama dengan nol. Kemudian: $x≠0$ atau $x-3≠0$.
$x≠0$ atau $x≠3$.
Akar yang diperoleh dari pembilang dan penyebut tidak sama. Jadi sebagai tanggapan kami menuliskan kedua akar pembilang.
Jawaban: $x=1$ atau $x=-3$.
Jika tiba-tiba salah satu akar pembilang bertepatan dengan akar penyebut, maka itu harus dikecualikan. Akar seperti itu disebut asing!
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:
1. Pindahkan semua ekspresi yang terdapat dalam persamaan ke kiri tanda sama dengan.2. Ubah bagian persamaan ini menjadi pecahan aljabar: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Samakan pembilang yang dihasilkan dengan nol, yaitu, selesaikan persamaan $p(x)=0$.
4. Samakan penyebutnya dengan nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan. Jika akar penyebut bertepatan dengan akar pembilang, maka mereka harus dikeluarkan dari jawaban.
Contoh 2
Selesaikan persamaan: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Larutan.
Kami akan memecahkan sesuai dengan poin dari algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Samakan pembilangnya dengan nol: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Samakan penyebutnya dengan nol:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ dan $x=-1$.
Salah satu akar $x=1$ bertepatan dengan akar pembilang, maka kita tidak menuliskannya sebagai jawaban.
Jawaban: $x=-1$.
Lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan rasional menggunakan metode perubahan variabel. Mari kita tunjukkan.
Contoh 3
Selesaikan persamaan: $x^4+12x^2-64=0$.
Larutan.
Kami memperkenalkan pengganti: $t=x^2$.
Maka persamaan kita akan berbentuk:
$t^2+12t-64=0$ adalah persamaan kuadrat biasa.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Mari kita perkenalkan pengganti terbalik: $x^2=4$ atau $x^2=-16$.
Akar persamaan pertama adalah sepasang angka $x=±2$. Yang kedua tidak memiliki akar.
Jawaban: $x=±2$.
Contoh 4
Selesaikan persamaan: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Larutan.
Mari kita perkenalkan variabel baru: $t=x^2+x+1$.
Maka persamaannya akan berbentuk: $t=\frac(15)(t+2)$.
Selanjutnya, kita akan bertindak sesuai dengan algoritma.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - akarnya tidak cocok.
Kami memperkenalkan substitusi terbalik.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Mari kita selesaikan setiap persamaan secara terpisah:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - tidak akar.
Dan persamaan kedua: $x^2+x-2=0$.
Akar persamaan ini adalah bilangan $x=-2$ dan $x=1$.
Jawaban: $x=-2$ dan $x=1$.
Contoh 5
Selesaikan persamaan: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Larutan.
Kami memperkenalkan pengganti: $t=x+\frac(1)(x)$.
Kemudian:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ atau $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Kami mendapatkan persamaan: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Akar persamaan ini adalah pasangan:
$t=-3$ dan $t=2$.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Kami akan memutuskan secara terpisah.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Selesaikan persamaan kedua:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Akar persamaan ini adalah bilangan $x=1$.
Jawaban: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Tugas untuk solusi independen
Selesaikan Persamaan:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
persamaan pecahan. ODZ.
Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")
Kami terus menguasai persamaan. Kita sudah tahu bagaimana bekerja dengan persamaan linear dan kuadrat. Tampilan terakhir tetap ada persamaan pecahan. Atau mereka juga disebut jauh lebih solid - persamaan rasional pecahan. Ini sama.
persamaan pecahan.
Seperti namanya, persamaan ini tentu mengandung pecahan. Tapi bukan hanya pecahan, tapi pecahan yang memiliki tidak diketahui penyebutnya. Setidaknya dalam satu. Sebagai contoh:
Biarkan saya mengingatkan Anda, jika dalam penyebut saja angka, ini adalah persamaan linier.
Bagaimana memutuskan persamaan pecahan? Pertama-tama, singkirkan pecahan! Setelah itu, persamaan, paling sering, berubah menjadi linier atau kuadrat. Dan kemudian kita tahu apa yang harus dilakukan... Dalam beberapa kasus, itu bisa berubah menjadi identitas, seperti 5=5 atau ekspresi yang salah, seperti 7=2. Tapi ini jarang terjadi. Di bawah ini saya akan menyebutkannya.
Tapi bagaimana cara menghilangkan pecahan!? Sangat sederhana. Menerapkan semua transformasi identik yang sama.
Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan ekspresi yang sama. Sehingga semua penyebut berkurang! Semuanya akan segera menjadi lebih mudah. Saya jelaskan dengan sebuah contoh. Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan:
Bagaimana mereka diajarkan di sekolah dasar? Kami mentransfer semuanya dalam satu arah, menguranginya menjadi penyebut yang sama, dll. Lupakan betapa buruknya mimpi itu! Inilah yang perlu Anda lakukan saat menambah atau mengurangi ekspresi pecahan. Atau bekerja dengan ketidaksetaraan. Dan dalam persamaan, kami segera mengalikan kedua bagian dengan ekspresi yang akan memberi kami kesempatan untuk mengurangi semua penyebut (yaitu, pada dasarnya, dengan penyebut yang sama). Dan apa ekspresi ini?
Di sisi kiri, untuk mengurangi penyebut, Anda perlu mengalikan dengan x+2. Dan di sebelah kanan, diperlukan perkalian dengan 2. Jadi, persamaan harus dikalikan dengan 2(x+2). Kami mengalikan:
Ini adalah perkalian pecahan biasa, tetapi saya akan menulis secara rinci:
Harap dicatat bahwa saya belum membuka tanda kurung. (x + 2)! Jadi, secara keseluruhan, saya menulisnya:
Di sisi kiri, itu dikurangi seluruhnya (x+2), dan di sebelah kanan 2. Sesuai kebutuhan! Setelah pengurangan kita dapatkan linier persamaan:
Siapa pun dapat memecahkan persamaan ini! x = 2.
Mari kita selesaikan contoh lain, yang sedikit lebih rumit:
Jika kita ingat bahwa 3 = 3/1, dan 2x = 2x/ 1 dapat ditulis:
Dan sekali lagi kami menyingkirkan apa yang tidak kami sukai - dari pecahan.
Kita melihat bahwa untuk mengurangi penyebut dengan x, pecahan perlu dikalikan dengan (x - 2). Dan unit bukanlah halangan bagi kami. Nah, mari kita perbanyak. Semua sisi kiri dan semua sisi kanan:
Tanda kurung lagi (x - 2) Saya tidak mengungkapkan. Saya bekerja dengan braket secara keseluruhan, seolah-olah itu adalah satu nomor! Ini harus selalu dilakukan, jika tidak, tidak ada yang akan dikurangi.
Dengan perasaan puas yang mendalam, kami memotong (x - 2) dan kita mendapatkan persamaan tanpa pecahan, dalam penggaris!
Dan sekarang kita membuka tanda kurung:
Kami memberikan yang serupa, mentransfer semuanya ke sisi kiri dan mendapatkan:
Tapi sebelum itu, kita akan belajar memecahkan masalah lain. Untuk kepentingan. Omong-omong, garu itu!
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Kami terus berbicara tentang solusi persamaan. Dalam artikel ini, kami akan fokus pada persamaan rasional dan prinsip-prinsip untuk memecahkan persamaan rasional dengan satu variabel. Pertama, mari kita cari tahu jenis persamaan apa yang disebut rasional, berikan definisi persamaan rasional bilangan bulat dan rasional pecahan, dan berikan contohnya. Selanjutnya, kita akan memperoleh algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, tentu saja, mempertimbangkan solusi dari contoh tipikal dengan semua penjelasan yang diperlukan.
Navigasi halaman.
Berdasarkan definisi yang terdengar, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Misalnya, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , adalah semua persamaan rasional.
Dari contoh-contoh yang ditunjukkan, dapat dilihat bahwa persamaan rasional, serta persamaan jenis lainnya, dapat berupa satu variabel, atau dengan dua, tiga, dll. variabel. Dalam paragraf berikut, kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional dalam satu variabel. Memecahkan persamaan dengan dua variabel dan jumlah mereka yang besar patut mendapat perhatian khusus.
Selain membagi persamaan rasional dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, mereka juga dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.
Definisi.
Persamaan rasional disebut utuh, jika kedua bagian kiri dan kanannya adalah ekspresi rasional bilangan bulat.
Definisi.
Jika setidaknya salah satu bagian dari persamaan rasional adalah ekspresi pecahan, maka persamaan tersebut disebut rasional fraksional(atau rasional fraksional).
Jelas bahwa persamaan bilangan bulat tidak mengandung pembagian dengan variabel; sebaliknya, persamaan rasional pecahan harus mengandung pembagian oleh variabel (atau variabel dalam penyebut). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y) (3 x 2 1)+x=−y+0,5 adalah seluruh persamaan rasional, kedua bagiannya adalah ekspresi bilangan bulat. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 adalah contoh persamaan rasional pecahan.
Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan linier dan persamaan kuadrat yang diketahui saat ini adalah persamaan rasional keseluruhan.
Memecahkan persamaan bilangan bulat
Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan seluruh persamaan adalah pengurangannya menjadi setara persamaan aljabar. Ini selalu dapat dilakukan dengan melakukan transformasi setara berikut dari persamaan:
- pertama, ekspresi dari sisi kanan persamaan bilangan bulat asli dipindahkan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan untuk mendapatkan nol di sisi kanan;
- setelah itu, di sisi kiri persamaan, dihasilkan bentuk standar.
Hasilnya adalah persamaan aljabar yang setara dengan seluruh persamaan asli. Jadi dalam kasus paling sederhana, solusi seluruh persamaan direduksi menjadi solusi persamaan linier atau kuadrat, dan dalam kasus umum - ke solusi persamaan aljabar derajat n. Untuk kejelasan, mari kita menganalisis solusi dari contoh.
Contoh.
Temukan akar dari seluruh persamaan 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.
Larutan.
Mari kita kurangi solusi dari seluruh persamaan ini menjadi solusi dari persamaan aljabar yang setara. Untuk melakukan ini, pertama, kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke kiri, sebagai hasilnya kami sampai pada persamaan 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Dan, kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri menjadi polinomial dari bentuk standar dengan melakukan hal yang diperlukan: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 5 x−6. Jadi, solusi persamaan bilangan bulat asli direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat x 2 5·x−6=0 .
Hitung diskriminannya D=(−5) 2 4 1 (−6)=25+24=49, itu positif, yang berarti bahwa persamaan memiliki dua akar nyata, yang kita temukan dengan rumus akar persamaan kuadrat:
Untuk benar-benar yakin, mari kita lakukan memeriksa akar yang ditemukan dari persamaan. Pertama, kami memeriksa akar 6, menggantinya dengan variabel x dalam persamaan bilangan bulat asli: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, yang sama, 63=63 . Ini adalah persamaan numerik yang valid, jadi x=6 memang akar persamaan. Sekarang kita periksa root 1 , kita punya 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, dari mana, 0=0 . Untuk x=−1, persamaan asli juga berubah menjadi persamaan numerik sejati, oleh karena itu, x=−1 juga merupakan akar persamaan.
Menjawab:
6 , −1 .
Di sini juga harus dicatat bahwa istilah "kekuatan seluruh persamaan" dikaitkan dengan representasi seluruh persamaan dalam bentuk persamaan aljabar. Kami memberikan definisi yang sesuai:
Definisi.
Derajat seluruh persamaan sebut derajat persamaan aljabar yang setara dengannya.
Menurut definisi ini, seluruh persamaan dari contoh sebelumnya memiliki derajat kedua.
Yang satu ini bisa menyelesaikan dengan solusi seluruh persamaan rasional, jika bukan untuk satu tapi .... Seperti diketahui, solusi persamaan aljabar dengan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan, dan untuk persamaan dengan derajat yang lebih tinggi dari yang keempat, tidak ada rumus umum untuk akar sama sekali. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan seluruh persamaan ketiga, keempat, dan lainnya derajat tinggi sering harus menggunakan metode solusi lain.
Dalam kasus seperti itu, terkadang pendekatan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Pada saat yang sama, algoritma berikut diikuti:
- pertama mereka berusaha untuk memiliki nol di sisi kanan persamaan, untuk ini mereka mentransfer ekspresi dari sisi kanan seluruh persamaan ke kiri;
- kemudian, ekspresi yang dihasilkan di sisi kiri disajikan sebagai produk dari beberapa faktor, yang memungkinkan Anda untuk pergi ke serangkaian persamaan yang lebih sederhana.
Algoritma di atas untuk menyelesaikan seluruh persamaan melalui faktorisasi memerlukan penjelasan rinci menggunakan contoh.
Contoh.
Selesaikan seluruh persamaan (x 2 1) (x 2 10 x+13)= 2 x (x 2 10 x+13) .
Larutan.
Pertama, seperti biasa, kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke ruas kiri persamaan, jangan lupa ubah tandanya, kita peroleh (x 2 1) (x 2 10 x+13) 2 x (x 2 10 x+13)=0 . Cukup jelas di sini bahwa tidak disarankan untuk mengubah sisi kiri persamaan yang dihasilkan menjadi polinomial bentuk standar, karena ini akan memberikan persamaan aljabar derajat keempat bentuk x 4 12 x 3 +32 x 2 16 x−13=0, yang penyelesaiannya sulit.
Di sisi lain, jelas bahwa x 2 10·x+13 dapat ditemukan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan, sehingga mewakilinya sebagai produk. Kita punya (x 2 10 x+13) (x 2 2 x−1)=0. Persamaan yang dihasilkan ekuivalen dengan seluruh persamaan semula, dan, pada gilirannya, dapat diganti dengan dua persamaan kuadrat x 2 −10·x+13=0 dan x 2 2·x−1=0 . Menemukan akarnya menggunakan rumus akar yang diketahui melalui diskriminan tidaklah sulit, akarnya sama. Mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan asli.
Menjawab:
Ini juga berguna untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional. metode untuk memperkenalkan variabel baru. Dalam beberapa kasus, memungkinkan seseorang untuk lulus ke persamaan yang derajatnya lebih rendah dari derajat persamaan bilangan bulat asli.
Contoh.
Tentukan akar real dari persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
Larutan.
Mengurangi seluruh persamaan rasional ini menjadi persamaan aljabar, secara halus, bukanlah ide yang sangat bagus, karena dalam kasus ini kita akan menemukan kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat yang tidak memiliki akar rasional. Karena itu, Anda harus mencari solusi lain.
Sangat mudah untuk melihat di sini bahwa Anda dapat memperkenalkan variabel baru y dan mengganti ekspresi x 2 +3 x dengannya. Penggantian seperti itu membawa kita ke seluruh persamaan (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , yang setelah mentransfer ekspresi 2 (y−4) ke sisi kiri dan transformasi selanjutnya dari ekspresi terbentuk di sana , direduksi menjadi persamaan y 2 +4 y+3=0 . Akar persamaan ini y=−1 dan y=−3 mudah ditemukan, misalnya, mereka dapat ditemukan berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta.
Sekarang mari kita beralih ke bagian kedua dari metode pengenalan variabel baru, yaitu membuat substitusi terbalik. Setelah melakukan substitusi terbalik, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3 , yang dapat ditulis ulang menjadi x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan akar persamaan pertama. Dan persamaan kuadrat kedua tidak memiliki akar real, karena diskriminannya negatif (D=3 2 4 3=9−12=−3 ).
Menjawab:
Secara umum, ketika kita berurusan dengan seluruh persamaan derajat tinggi, kita harus selalu siap untuk mencari metode non-standar atau teknik buatan untuk menyelesaikannya.
Penyelesaian persamaan rasional fraksional
Pertama, akan berguna untuk memahami bagaimana menyelesaikan persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi bilangan bulat rasional. Dan kemudian kami akan menunjukkan cara mengurangi solusi dari persamaan rasional fraksional yang tersisa menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.
Salah satu pendekatan untuk menyelesaikan persamaan didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik u / v, di mana v adalah bilangan bukan nol (jika tidak, kita akan menemukan , yang tidak ditentukan), adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya adalah nol, maka adalah, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, solusi persamaan direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi p(x)=0 dan q(x)≠0 .
Kesimpulan ini sesuai dengan yang berikut: algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional. Menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk
- selesaikan seluruh persamaan rasional p(x)=0 ;
- dan periksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk setiap akar yang ditemukan, sementara
- jika benar, maka akar ini adalah akar dari persamaan awal;
- jika tidak, maka akar ini asing, yaitu, itu bukan akar dari persamaan asli.
Mari kita menganalisis contoh penggunaan algoritme bersuara saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
Contoh.
Temukan akar persamaan.
Larutan.
Ini adalah persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 2=0 .
Menurut algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional semacam ini, pertama-tama kita harus menyelesaikan persamaan 3·x−2=0 . dia persamaan linier, yang akarnya adalah x=2/3 .
Tetap memeriksa akar ini, yaitu untuk memeriksa apakah memenuhi kondisi 5·x 2 2≠0 . Kami mengganti angka 2/3 alih-alih x ke dalam ekspresi 5 x 2 2, kami mendapatkan . Kondisi terpenuhi, jadi x=2/3 adalah akar dari persamaan awal.
Menjawab:
2/3 .
Solusi persamaan rasional fraksional dapat didekati dari posisi yang sedikit berbeda. Persamaan ini setara dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada variabel x dari persamaan asli. Artinya, Anda bisa mengikuti ini algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional :
- selesaikan persamaan p(x)=0 ;
- temukan variabel ODZ x ;
- ambil akar yang termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima - mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.
Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.
Contoh.
Memecahkan persamaan.
Larutan.
Pertama, kita selesaikan persamaan kuadrat x 2 2·x−11=0 . Akarnya dapat dihitung menggunakan rumus akar untuk koefisien genap kedua, kita memiliki D 1 =(−1) 2 1 (−11)=12, dan .
Kedua, kami menemukan ODZ dari variabel x untuk persamaan asli. Ini terdiri dari semua angka yang x 2 +3 x≠0 , yang sama dengan x (x+3)≠0 , dari mana x≠0 , x≠−3 .
Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan pada langkah pertama termasuk dalam ODZ. Jelas ya. Oleh karena itu, persamaan rasional fraksional asli memiliki dua akar.
Menjawab:
Perhatikan bahwa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada yang pertama jika ODZ mudah ditemukan, dan terutama bermanfaat jika akar persamaan p(x)=0 adalah irasional, misalnya , atau rasional, tetapi dengan pembilang dan/atau penyebut, misalnya 127/1101 dan -31/59 . Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu, memeriksa kondisi q(x)≠0 akan membutuhkan upaya komputasi yang signifikan, dan lebih mudah untuk mengecualikan akar asing dari ODZ.
Dalam kasus lain, saat menyelesaikan persamaan, terutama jika akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, akan lebih menguntungkan untuk menggunakan algoritma pertama di atas. Artinya, disarankan untuk segera menemukan akar seluruh persamaan p(x)=0 , dan kemudian memeriksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk mereka, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian menyelesaikan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Ini disebabkan oleh fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.
Pertimbangkan solusi dari dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.
Contoh.
Temukan akar persamaan.
Larutan.
Pertama kita cari akar dari seluruh persamaan (2 x−1) (x−6) (x 2 5 x+14) (x+1)=0, disusun menggunakan pembilang pecahan. Ruas kiri dari persamaan ini adalah produk, dan ruas kanan adalah nol, oleh karena itu, menurut metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi, persamaan ini setara dengan himpunan empat persamaan 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tiga dari persamaan ini linier dan satu kuadrat, kita dapat menyelesaikannya. Dari persamaan pertama kita temukan x=1/2, dari persamaan kedua - x=6, dari persamaan ketiga - x=7, x=−2, dari persamaan keempat - x=−1.
Dengan akar yang ditemukan, cukup mudah untuk memeriksanya untuk melihat apakah penyebut pecahan di sisi kiri persamaan asli tidak hilang, dan tidak mudah untuk menentukan ODZ, karena ini harus menyelesaikan sebuah persamaan aljabar derajat kelima. Oleh karena itu, kami akan menolak untuk menemukan ODZ demi memeriksa akarnya. Untuk melakukan ini, kami menggantinya secara bergantian sebagai ganti variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 +57 x 3 13 x 2 +26 x+112, diperoleh setelah substitusi, dan bandingkan dengan nol: (1/2) 5 15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 15 6 4 +57 6 3 13 6 2 +26 6+112= 448≠0
;
7 5 15 7 4 +57 7 3 13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 15 (−2) 4 +57 (−2) 3 13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 15 (−1) 4 +57 (−1) 3 13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
Jadi, 1/2, 6 dan 2 adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli, dan 7 dan 1 adalah akar-akar asing.
Menjawab:
1/2 , 6 , −2 .
Contoh.
Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan.
Larutan.
Pertama kita cari akar persamaan (5x2 7x−1)(x−2)=0. Persamaan ini ekuivalen dengan dua persamaan: kuadrat 5·x 2 7·x−1=0 dan linear x−2=0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan dua akar, dan dari persamaan kedua kita memiliki x=2.
Memeriksa apakah penyebut tidak hilang pada nilai x yang ditemukan agak tidak menyenangkan. Dan untuk menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dalam persamaan aslinya cukup sederhana. Oleh karena itu, kami akan bertindak melalui ODZ.
Dalam kasus kita, ODZ variabel x dari persamaan rasional pecahan asli terdiri dari semua bilangan, kecuali bilangan yang memenuhi syarat x 2 +5·x−14=0. Akar persamaan kuadrat ini adalah x=−7 dan x=2, dari sini kita menyimpulkan tentang ODZ: ODZ terdiri dari semua x sehingga .
Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan dan x=2 termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima. Akar - milik, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2 bukan milik, oleh karena itu, itu adalah akar asing.
Menjawab:
Juga akan berguna untuk membahas secara terpisah kasus-kasus di mana suatu bilangan ada dalam pembilangnya dalam bentuk persamaan rasional pecahan, yaitu, ketika p (x) diwakili oleh suatu bilangan. Di mana
- jika angka ini berbeda dari nol, maka persamaan tidak memiliki akar, karena pecahan adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya nol;
- jika angka ini nol, maka akar persamaannya adalah angka apa pun dari ODZ.
Contoh.
Larutan.
Karena ada bilangan bukan nol pada pembilang pecahan di sisi kiri persamaan, karena tidak ada x, nilai pecahan ini dapat sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki akar.
Menjawab:
tidak ada akar.
Contoh.
Memecahkan persamaan.
Larutan.
Pembilang pecahan di ruas kiri persamaan rasional pecahan ini adalah nol, jadi nilai pecahan ini adalah nol untuk setiap x yang masuk akal. Dengan kata lain, solusi persamaan ini adalah sembarang nilai x dari DPV variabel ini.
Tetap menentukan kisaran nilai yang dapat diterima ini. Ini mencakup semua nilai x yang x 4 +5 x 3 0. Solusi dari persamaan x 4 +5 x 3 \u003d 0 adalah 0 dan 5, karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) \u003d 0, dan, pada gilirannya, setara dengan kombinasi dari dua persamaan x 3 \u003d 0 dan x +5=0 , dari mana akar ini terlihat. Oleh karena itu, rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali untuk x=0 dan x=−5 .
Dengan demikian, persamaan rasional fraksional memiliki banyak solusi tak terhingga, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan minus lima.
Menjawab:
Akhirnya, saatnya berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional fraksional arbitrer. Mereka dapat ditulis sebagai r(x)=s(x) , di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Ke depan, kami mengatakan bahwa solusi mereka direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk yang sudah akrab bagi kami.
Diketahui bahwa perpindahan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda menghasilkan persamaan yang ekivalen, sehingga persamaan r(x)=s(x) ekuivalen dengan persamaan r(x)−s (x)=0 .
Kita juga tahu bahwa any bisa identik sama dengan ekspresi ini. Jadi, kita selalu dapat mengubah ekspresi rasional di ruas kiri persamaan r(x)−s(x)=0 menjadi pecahan rasional yang identik dengan bentuk .
Jadi kita beralih dari persamaan rasional pecahan asli r(x)=s(x) ke persamaan , dan solusinya, seperti yang kita temukan di atas, direduksi menjadi penyelesaian persamaan p(x)=0 .
Tetapi di sini perlu untuk mempertimbangkan fakta bahwa ketika mengganti r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0 , rentang nilai yang diizinkan dari variabel x dapat diperluas .
Oleh karena itu, persamaan asli r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 , yang kita peroleh, mungkin tidak setara, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0 , kita dapat memperoleh akar yang akan menjadi akar asing dari persamaan asli r(x)=s(x) . Dimungkinkan untuk mengidentifikasi dan tidak memasukkan akar asing dalam jawaban, baik dengan memeriksa, atau dengan memeriksa milik mereka ke ODZ dari persamaan asli.
Kami merangkum informasi ini dalam algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , kita harus
- Dapatkan nol di sebelah kanan dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan.
- Lakukan tindakan dengan pecahan dan polinomial di sisi kiri persamaan, sehingga mengubahnya menjadi bentuk pecahan rasional.
- Selesaikan persamaan p(x)=0 .
- Identifikasi dan singkirkan akar-akar asing, yang dilakukan dengan mensubstitusinya ke dalam persamaan asli atau dengan memeriksa kepemilikannya pada ODZ dari persamaan asli.
Untuk kejelasan yang lebih besar, kami akan menunjukkan seluruh rantai penyelesaian persamaan rasional pecahan:
.
Mari kita membahas solusi dari beberapa contoh dengan penjelasan rinci tentang solusi untuk memperjelas blok informasi yang diberikan.
Contoh.
Memecahkan persamaan rasional pecahan.
Larutan.
Kami akan bertindak sesuai dengan algoritma solusi yang baru saja diperoleh. Dan pertama-tama kita mentransfer istilah dari sisi kanan persamaan ke sisi kiri, sebagai hasilnya kita lolos ke persamaan .
Pada langkah kedua, kita perlu mengubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan yang dihasilkan ke dalam bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kami melakukan pengurangan pecahan rasional ke penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan: . Jadi kita sampai pada persamaan.
Pada langkah berikutnya, kita perlu menyelesaikan persamaan 2·x−1=0 . Cari x=−1/2 .
Tetap untuk memeriksa apakah angka yang ditemukan 1/2 adalah akar asing dari persamaan asli. Untuk melakukan ini, Anda dapat memeriksa atau menemukan variabel ODZ x dari persamaan asli. Mari kita tunjukkan kedua pendekatan tersebut.
Mari kita mulai dengan cek. Kami mengganti angka 1/2 alih-alih variabel x ke dalam persamaan asli, kami mendapatkan , yang sama, 1=−1. Substitusi memberikan persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.
Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana langkah terakhir dari algoritma dilakukan melalui ODZ. Rentang nilai yang dapat diterima dari persamaan asli adalah himpunan semua bilangan kecuali 1 dan 0 (ketika x=−1 dan x=0, penyebut pecahan hilang). Akar x=−1/2 yang ditemukan pada langkah sebelumnya termasuk dalam ODZ, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.
Menjawab:
−1/2 .
Mari kita pertimbangkan contoh lain.
Contoh.
Temukan akar persamaan.
Larutan.
Kita perlu menyelesaikan persamaan rasional fraksional, mari kita lihat semua langkah algoritmanya.
Pertama, kita pindahkan suku dari ruas kanan ke kiri, kita peroleh .
Kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri: . Akibatnya, kita sampai pada persamaan x=0 .
Akarnya jelas - nol.
Pada langkah keempat, masih mencari tahu apakah akar yang ditemukan bukan akar luar untuk persamaan rasional fraksional asli. Ketika disubstitusikan ke persamaan asli, ekspresi diperoleh. Jelas, itu tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Dari mana kita menyimpulkan bahwa 0 adalah akar asing. Oleh karena itu, persamaan asli tidak memiliki akar.
7 , yang mengarah ke persamaan . Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi penyebut ruas kiri harus sama dengan dari ruas kanan, yaitu . Sekarang kita kurangi dari kedua bagian triple: . Dengan analogi, dari mana, dan selanjutnya.
Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan rasional pecahan asli.
Menjawab:
Bibliografi.
- Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Aljabar: Kelas 9: buku pelajaran. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.