Berapa nomor terbaru di dunia. Berapakah bilangan terbesar? Apa itu, angka raksasa
Suatu kali saya membaca kisah tragis tentang seorang Chukchi yang diajari menghitung dan menulis angka oleh penjelajah kutub. Keajaiban angka membuatnya sangat terkesan sehingga dia memutuskan untuk menuliskan semua angka di dunia secara berurutan, mulai dari satu, di buku catatan yang disumbangkan oleh penjelajah kutub. Chukchi meninggalkan semua urusannya, berhenti berkomunikasi bahkan dengan istrinya sendiri, tidak lagi berburu anjing laut dan anjing laut, tetapi menulis dan menulis angka di buku catatan .... Jadi setahun berlalu. Pada akhirnya, buku catatan itu berakhir dan Chukchi menyadari bahwa dia hanya bisa menuliskan sebagian kecil dari semua angka. Dia menangis sedih dan putus asa membakar buku catatannya untuk mulai menjalani kehidupan sederhana sebagai nelayan lagi, tidak lagi memikirkan angka tak terhingga yang misterius ...
Kami tidak akan mengulangi prestasi Chukchi ini dan mencoba mencari angka terbesar, karena cukup untuk menambahkan satu angka saja untuk mendapatkan angka yang lebih besar lagi. Mari kita tanyakan pada diri kita sendiri pertanyaan yang serupa tetapi berbeda: manakah dari angka-angka yang memiliki nama sendiri yang terbesar?
Jelas, meskipun jumlahnya sendiri tidak terbatas, judul sendiri mereka tidak memiliki banyak, karena kebanyakan dari mereka puas dengan nama-nama yang terdiri dari angka-angka yang lebih kecil. Jadi, misalnya, angka 1 dan 100 memiliki nama sendiri "satu" dan "seratus", dan nama angka 101 sudah majemuk ("seratus satu"). Jelas bahwa dalam rangkaian angka terakhir yang telah diberikan umat manusia dengan namanya sendiri, pasti ada angka terbesar. Tapi apa namanya dan sama dengan apa? Mari kita coba mencari tahu dan temukan, pada akhirnya, ini adalah angka terbesar!
|
Skala "pendek" dan "panjang"
Sejarah sistem penamaan modern untuk bilangan besar dimulai pada pertengahan abad ke-15, ketika di Italia mereka mulai menggunakan kata "juta" (harfiah - seribu besar) untuk seribu kuadrat, "bijuta" untuk satu juta kuadrat dan "trijuta" untuk satu juta potong dadu. Kita tahu tentang sistem ini berkat ahli matematika Prancis Nicolas Chuquet (Nicolas Chuquet, c. 1450 - c. 1500): dalam risalahnya "The Science of Numbers" (Triparty en la science des nombres, 1484), ia mengembangkan ide ini, mengusulkan untuk lebih lanjut menggunakan nomor kardinal Latin (lihat tabel), menambahkannya ke akhiran "-juta". Jadi, "bijuta" Shuke berubah menjadi satu miliar, "trijuta" menjadi satu triliun, dan satu juta pangkat empat menjadi "kuadriliun".
Dalam sistem Schücke, angka 10 9 , yang antara satu juta dan satu miliar, tidak memiliki namanya sendiri dan hanya disebut "seribu juta", demikian pula, 10 15 disebut "seribu miliar", 10 21 - " seribu triliun", dll. Itu sangat tidak nyaman, dan pada tahun 1549 penulis dan ilmuwan Prancis Jacques Peletier du Mans (1517-1582) mengusulkan untuk memberi nama angka "perantara" seperti itu menggunakan awalan Latin yang sama, tetapi akhiran "-miliar". Jadi, 109 dikenal sebagai "miliar", 10 15 - "biliar", 10 21 - "triliun", dll.
Sistem Shuquet-Peletier secara bertahap menjadi populer dan digunakan di seluruh Eropa. Namun, pada abad ke-17, masalah tak terduga muncul. Ternyata karena alasan tertentu beberapa ilmuwan mulai bingung dan menyebut angka 109 bukan "satu miliar" atau "seribu juta", tetapi "satu miliar". Segera kesalahan ini menyebar dengan cepat, dan situasi paradoks muncul - "miliar" secara bersamaan menjadi sinonim untuk "miliar" (10 9) dan "juta juta" (10 18).
Kebingungan ini berlanjut untuk waktu yang lama dan mengarah pada fakta bahwa di AS mereka menciptakan sistem mereka sendiri untuk penamaan angka besar. Menurut sistem Amerika, nama-nama angka dibangun dengan cara yang sama seperti dalam sistem Schücke - awalan Latin dan akhiran "juta". Namun, angka-angka ini berbeda. Jika dalam sistem Schuecke nama dengan akhiran "juta" menerima angka yang merupakan pangkat satu juta, maka dalam sistem Amerika akhiran "-juta" menerima pangkat seribu. Artinya, seribu juta (1000 3 \u003d 10 9) mulai disebut "miliar", 1000 4 (10 12) - "triliun", 1000 5 (10 15) - "kuadriliun", dll.
Sistem lama penamaan angka besar terus digunakan di Inggris Raya yang konservatif dan mulai disebut "Inggris" di seluruh dunia, terlepas dari kenyataan bahwa itu ditemukan oleh French Shuquet dan Peletier. Namun, pada 1970-an, Inggris secara resmi beralih ke "sistem Amerika", yang menyebabkan fakta bahwa entah bagaimana menjadi aneh untuk menyebut satu sistem Amerika dan Inggris lainnya. Akibatnya, sistem Amerika sekarang sering disebut sebagai "skala pendek" dan sistem Inggris atau Chuquet-Peletier sebagai "skala panjang".
Agar tidak bingung, mari kita simpulkan hasil antara:
|
Skala penamaan pendek sekarang digunakan di Amerika Serikat, Inggris, Kanada, Irlandia, Australia, Brasil, dan Puerto Riko. Rusia, Denmark, Turki, dan Bulgaria juga menggunakan skala pendek, kecuali bahwa angka 109 tidak disebut "miliar" tetapi "miliar". Skala panjang terus digunakan hari ini di sebagian besar negara lain.
Sangat mengherankan bahwa di negara kita transisi terakhir ke skala pendek hanya terjadi pada paruh kedua abad ke-20. Jadi, misalnya, bahkan Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) dalam "Aritmatika Menghibur"-nya menyebutkan keberadaan paralel dua skala di Uni Soviet. Skala pendek, menurut Perelman, digunakan dalam kehidupan sehari-hari dan perhitungan keuangan, dan skala panjang digunakan dalam buku-buku ilmiah tentang astronomi dan fisika. Namun, sekarang salah menggunakan skala panjang di Rusia, meskipun jumlahnya banyak.
Tapi kembali ke mencari jumlah terbesar. Setelah satu desiun, nama-nama angka diperoleh dengan menggabungkan awalan. Ini adalah bagaimana angka-angka seperti undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion, dll. diperoleh. Namun, nama-nama ini tidak lagi menarik bagi kami, karena kami sepakat untuk menemukan jumlah terbesar dengan nama non-kompositnya sendiri.
Jika kita beralih ke tata bahasa Latin, kita akan menemukan bahwa orang Romawi hanya memiliki tiga nama non-majemuk untuk angka yang lebih besar dari sepuluh: viginti - "dua puluh", centum - "seratus" dan mille - "seribu". Untuk angka yang lebih besar dari "seribu", orang Romawi tidak memiliki nama mereka sendiri. Misalnya, orang Romawi menyebut satu juta (1.000.000) "decies centena milia", yaitu, "sepuluh kali seratus ribu". Menurut aturan Schuecke, tiga angka Latin yang tersisa ini memberi kita nama seperti "vigintillion", "centillion" dan "milleillion".
Jadi, kami menemukan bahwa pada "skala pendek" angka maksimum yang memiliki namanya sendiri dan bukan gabungan dari angka yang lebih kecil adalah "juta" (10 3003). Jika "skala panjang" nomor penamaan diadopsi di Rusia, maka nomor terbesar dengan namanya sendiri adalah "juta" (10 6003).
Namun, ada nama untuk angka yang lebih besar.
Angka di luar sistem
Beberapa nomor memiliki nama sendiri, tanpa koneksi dengan sistem penamaan menggunakan awalan Latin. Dan ada banyak nomor seperti itu. Anda dapat, misalnya, mengingat nomornya e, angka "pi", selusin, angka binatang, dll. Namun, karena kita sekarang tertarik pada angka besar, kita hanya akan mempertimbangkan angka-angka dengan nama non-majemuknya sendiri yang lebih dari satu juta.
Sampai abad ke-17, Rus' menggunakan sistemnya sendiri untuk penamaan angka. Puluhan ribu disebut "kegelapan", ratusan ribu disebut "legiun", jutaan disebut "leodres", puluhan juta disebut "gagak", dan ratusan juta disebut "dek". Akun ini hingga ratusan juta disebut "akun kecil", dan dalam beberapa manuskrip penulis juga menganggap "akun besar", di mana nama yang sama digunakan untuk jumlah besar, tetapi dengan arti yang berbeda. Jadi, "kegelapan" tidak berarti sepuluh ribu, tetapi seribu ribu (10 6), "legiun" - kegelapan mereka (10 12); "leodr" - legiun legiun (10 24), "gagak" - leodr leodres (10 48). Untuk beberapa alasan, "dek" dalam jumlah besar Slavia tidak disebut "gagak gagak" (10 96), tetapi hanya sepuluh "gagak", yaitu, 10 49 (lihat tabel).
|
Angka 10100 juga memiliki namanya sendiri dan ditemukan oleh seorang anak laki-laki berusia sembilan tahun. Dan itu seperti itu. Pada tahun 1938, matematikawan Amerika Edward Kasner (Edward Kasner, 1878-1955) sedang berjalan-jalan di taman dengan dua keponakannya dan mendiskusikan sejumlah besar dengan mereka. Selama percakapan, kami berbicara tentang angka dengan seratus nol, yang tidak memiliki namanya sendiri. Salah satu keponakannya, Milton Sirott yang berusia sembilan tahun, menyarankan untuk memanggil nomor ini "googol". Pada tahun 1940, Edward Kasner, bersama James Newman, menulis buku non-fiksi Matematika dan Imajinasi, di mana ia mengajar pecinta matematika tentang angka googol. Google menjadi lebih dikenal luas pada akhir 1990-an, berkat mesin pencari Google yang dinamai menurut namanya.
Nama untuk jumlah yang lebih besar dari googol muncul pada tahun 1950 berkat bapak ilmu komputer, Claude Shannon (Claude Elwood Shannon, 1916-2001). Dalam artikelnya "Memrogram Komputer untuk Bermain Catur", dia mencoba memperkirakan angkanya pilihan permainan catur. Menurutnya, setiap permainan berlangsung rata-rata 40 gerakan, dan pada setiap gerakan pemain memilih rata-rata 30 opsi, yang sesuai dengan 900 40 (kira-kira sama dengan 10.118) opsi permainan. Karya ini menjadi dikenal luas, dan nomor ini dikenal sebagai "nomor Shannon".
Dalam risalah Buddhis terkenal Jaina Sutra, berasal dari 100 SM, jumlah "asankheya" ditemukan sama dengan 10 140. Diyakini bahwa jumlah ini sama dengan jumlah siklus kosmik yang diperlukan untuk mencapai nirwana.
Milton Sirotta yang berusia sembilan tahun memasuki sejarah matematika tidak hanya dengan menemukan angka googol, tetapi juga dengan menyarankan angka lain pada saat yang sama - "googolplex", yang sama dengan 10 pangkat "googol", yaitu , satu dengan googol nol.
Dua angka lebih besar dari googolplex diusulkan oleh matematikawan Afrika Selatan Stanley Skewes (1899-1988) ketika membuktikan hipotesis Riemann. Angka pertama, yang kemudian disebut "angka pertama Skeuse", sama dengan e sejauh e sejauh e pangkat 79, yaitu e e e 79 = 10 10 8.85.10 33 . Namun, "angka Skewes kedua" bahkan lebih besar dan 10 10 10 1000 .
Jelas, semakin banyak derajat dalam jumlah derajat, semakin sulit untuk menuliskan angka dan memahami artinya saat membaca. Selain itu, dimungkinkan untuk menghasilkan angka-angka seperti itu (dan mereka, omong-omong, telah ditemukan), ketika derajat derajat tidak sesuai dengan halaman. Ya, halaman yang luar biasa! Mereka bahkan tidak akan muat dalam sebuah buku seukuran seluruh alam semesta! Dalam hal ini, muncul pertanyaan bagaimana cara menuliskan angka-angka tersebut. Masalahnya, untungnya, dapat dipecahkan, dan matematikawan telah mengembangkan beberapa prinsip untuk menulis angka seperti itu. Benar, setiap matematikawan yang menanyakan masalah ini memiliki cara penulisannya sendiri, yang mengarah pada keberadaan beberapa cara yang tidak terkait untuk menulis bilangan besar - ini adalah notasi Knuth, Conway, Steinhaus, dll. Sekarang kita harus berurusan dengan beberapa dari mereka.
Notasi lainnya
Pada tahun 1938, tahun yang sama ketika Milton Sirotta yang berusia sembilan tahun menemukan bilangan googol dan googolplex, Hugo Dionizy Steinhaus, 1887-1972, sebuah buku tentang matematika yang menghibur, The Mathematical Kaleidoscope, diterbitkan di Polandia. Buku ini menjadi sangat populer, melewati banyak edisi dan diterjemahkan ke dalam banyak bahasa, termasuk Inggris dan Rusia. Di dalamnya, Steinhaus, membahas bilangan besar, menawarkan cara sederhana untuk menulisnya menggunakan tiga bentuk geometris - segitiga, persegi, dan lingkaran:
"n dalam segitiga" berarti " tidak ada»,
« n persegi" berarti " n di n segitiga",
« n dalam lingkaran" berarti " n di n kotak."
Menjelaskan cara penulisan ini, Steinhaus memunculkan angka "mega" sama dengan 2 dalam lingkaran dan menunjukkan bahwa angka itu sama dengan 256 dalam "persegi" atau 256 dalam 256 segitiga. Untuk menghitungnya, Anda perlu menaikkan 256 pangkat 256, menaikkan angka yang dihasilkan 3.2.10 616 ke pangkat 3.2.10 616, lalu menaikkan angka yang dihasilkan ke pangkat angka yang dihasilkan, dan seterusnya untuk menaikkan dengan kekuatan 256 kali. Misalnya, kalkulator di MS Windows tidak dapat menghitung karena meluap 256 bahkan dalam dua segitiga. Kira-kira jumlah yang besar ini adalah 10 10 2.10 619 .
Setelah menentukan angka "mega", Steinhaus mengundang pembaca untuk secara mandiri mengevaluasi angka lain - "medzon", sama dengan 3 dalam lingkaran. Dalam edisi lain buku itu, Steinhaus alih-alih medzone mengusulkan untuk memperkirakan jumlah yang lebih besar - "megiston", sama dengan 10 dalam lingkaran. Mengikuti Steinhaus, saya juga akan merekomendasikan agar pembaca melepaskan diri dari teks ini untuk sementara dan mencoba menulis angka-angka ini sendiri menggunakan kekuatan biasa untuk merasakan besarnya yang sangat besar.
Namun, ada nama untuk tentang angka yang lebih tinggi. Jadi, matematikawan Kanada Leo Moser (Leo Moser, 1921-1970) menyelesaikan notasi Steinhaus, yang dibatasi oleh fakta bahwa jika perlu untuk menuliskan angka yang jauh lebih besar daripada megiston, maka kesulitan dan ketidaknyamanan akan muncul, karena satu harus menggambar banyak lingkaran satu di dalam yang lain. Moser menyarankan untuk menggambar bukan lingkaran setelah kotak, tetapi segi lima, lalu segi enam, dan seterusnya. Dia juga mengusulkan notasi formal untuk poligon ini, sehingga angka dapat ditulis tanpa menggambar pola yang rumit. Notasi Moser terlihat seperti ini:
« n segitiga" = tidak ada = n;
« n dalam persegi" = n = « n di n segitiga" = nn;
« n dalam segi lima" = n = « n di n kuadrat" = nn;
« n di k+ 1-gon" = n[k+1] = " n di n k-gon" = n[k]n.
Jadi, menurut notasi Moser, "mega" Steinhausian ditulis sebagai 2, "medzon" sebagai 3, dan "megiston" sebagai 10. Selain itu, Leo Moser menyarankan untuk memanggil poligon dengan jumlah sisi yang sama dengan mega - "megagon ". Dan dia mengusulkan angka "2 dalam megagon", yaitu 2. Angka ini kemudian dikenal sebagai angka Moser atau hanya sebagai "moser".
Tetapi bahkan "moser" bukanlah jumlah terbesar. Jadi, bilangan terbesar yang pernah digunakan dalam pembuktian matematis adalah "bilangan Graham". Bilangan ini pertama kali digunakan oleh matematikawan Amerika Ronald Graham pada tahun 1977 ketika membuktikan salah satu perkiraan dalam teori Ramsey, yaitu ketika menghitung dimensi-dimensi tertentu. n-hiperkubus bikromatik dimensi. Nomor Graham mendapatkan ketenaran hanya setelah cerita tentangnya dalam buku Martin Gardner tahun 1989 "From Penrose Mosaics to Secure Ciphers".
Untuk menjelaskan seberapa besar bilangan Graham, kita harus menjelaskan cara lain untuk menulis bilangan besar, yang diperkenalkan oleh Donald Knuth pada tahun 1976. Profesor Amerika Donald Knuth datang dengan konsep superdegree, yang dia usulkan untuk ditulis dengan panah menunjuk ke atas:
Saya pikir semuanya sudah jelas, jadi mari kita kembali ke nomor Graham. Ronald Graham mengusulkan apa yang disebut G-number:
Berikut adalah nomor G 64 dan disebut nomor Graham (sering dilambangkan hanya sebagai G). Angka ini merupakan angka terbesar yang diketahui di dunia yang digunakan dalam pembuktian matematis, dan bahkan tercatat dalam Guinness Book of Records.
Dan akhirnya
Setelah menulis artikel ini, saya tidak dapat menahan godaan dan membuat nomor saya sendiri. Biarkan nomor ini dipanggil staplex» dan akan sama dengan angka G 100 . Hafalkan, dan ketika anak Anda bertanya berapa angka terbesar di dunia, beri tahu mereka bahwa angka ini disebut staplex.
Berita mitra
Kembali di kelas empat, saya tertarik dengan pertanyaan: "Apa yang disebut angka lebih dari satu miliar? Dan mengapa?". Sejak itu, saya telah lama mencari semua informasi tentang masalah ini dan mengumpulkannya sedikit demi sedikit. Tetapi dengan munculnya akses ke Internet, pencarian telah meningkat secara signifikan. Sekarang saya menyajikan semua informasi yang saya temukan sehingga orang lain dapat menjawab pertanyaan: "Apa yang disebut bilangan besar dan sangat besar?".
Sedikit sejarah
Orang Slavia selatan dan timur menggunakan penomoran abjad untuk mencatat angka. Selain itu, di antara orang Rusia, tidak semua huruf memainkan peran angka, tetapi hanya yang ada dalam alfabet Yunani. Di atas huruf, yang menunjukkan angka, ikon "titlo" khusus ditempatkan. Pada saat yang sama, nilai numerik dari huruf-huruf itu meningkat dalam urutan yang sama dengan huruf-huruf dalam alfabet Yunani yang diikuti (urutan huruf-huruf alfabet Slavia agak berbeda).
Di Rusia, penomoran Slavia bertahan hingga akhir abad ke-17. Di bawah Peter I, apa yang disebut "penomoran Arab" berlaku, yang masih kita gunakan sampai sekarang.
Ada juga perubahan nama nomor. Misalnya, hingga abad ke-15, angka "dua puluh" ditetapkan sebagai "dua sepuluh" (dua puluhan), tetapi kemudian dikurangi untuk pengucapan yang lebih cepat. Sampai abad ke-15, angka "empat puluh" dilambangkan dengan kata "empat puluh", dan pada abad ke-15-16 kata ini digantikan oleh kata "empat puluh", yang aslinya berarti tas yang berisi 40 kulit tupai atau musang. ditempatkan. Ada dua opsi tentang asal kata "seribu": dari nama lama "seratus gemuk" atau dari modifikasi kata Latin centum - "seratus".
Nama "juta" pertama kali muncul di Italia pada tahun 1500 dan dibentuk dengan menambahkan sufiks augmentatif ke angka "mille" - seribu (yaitu berarti "ribuan besar"), kemudian merambah ke bahasa Rusia, dan sebelum itu arti yang sama dalam bahasa Rusia dilambangkan dengan angka "leodr". Kata "miliar" mulai digunakan hanya sejak perang Prancis-Prusia (1871), ketika Prancis harus membayar ganti rugi kepada Jerman sebesar 5.000.000.000 franc. Seperti "juta", kata "miliar" berasal dari akar kata "seribu" dengan tambahan akhiran pembesar Italia. Di Jerman dan Amerika, untuk beberapa waktu, kata "miliar" berarti angka 100.000.000; ini menjelaskan mengapa kata miliarder digunakan di Amerika sebelum orang kaya mana pun memiliki $1.000.000.000. Di "Aritmatika" Magnitsky yang lama (abad XVIII), ada tabel nama-nama angka, dibawa ke "kuadriliun" (10 ^ 24, menurut sistem melalui 6 digit). Perelman Ya.I. dalam buku "Hiburan Aritmatika" nama-nama sejumlah besar waktu itu diberikan, agak berbeda dari hari ini: septillon (10 ^ 42), oktalion (10 ^ 48), nonalion (10 ^ 54), decalion (10 ^ 60) , endecalion (10 ^ 66), dodecalion (10 ^ 72) dan tertulis "tidak ada lagi nama".
Prinsip penamaan dan daftar bilangan besar
Semua nama bilangan besar dibangun dengan cara yang agak sederhana: pada awalnya ada nomor urut Latin, dan pada akhirnya ditambahkan akhiran -juta. Pengecualian adalah nama "juta" yang merupakan nama angka ribu (mille) dan akhiran pembesar -juta. Ada dua jenis nama utama untuk bilangan besar di dunia:
Sistem 3x + 3 (di mana x adalah angka urut Latin) - sistem ini digunakan di Rusia, Prancis, AS, Kanada, Italia, Turki, Brasil, Yunani
dan sistem 6x (di mana x adalah angka urut Latin) - sistem ini adalah yang paling umum di dunia (misalnya: Spanyol, Jerman, Hongaria, Portugal, Polandia, Republik Ceko, Swedia, Denmark, Finlandia). Di dalamnya, perantara yang hilang 6x + 3 berakhir dengan akhiran -miliar (darinya kami meminjam satu miliar, yang juga disebut satu miliar).
Daftar umum nomor yang digunakan di Rusia disajikan di bawah ini:
| Nomor | Nama | angka latin | kaca pembesar SI | Awalan kecil SI | Nilai praktis |
| 10 1 | sepuluh | dekade- | memutuskan | Jumlah jari di 2 tangan | |
| 10 2 | seratus | hekto- | centi- | Kira-kira setengah jumlah semua negara bagian di Bumi | |
| 10 3 | seribu | kilo- | Mili- | Perkiraan jumlah hari dalam 3 tahun | |
| 10 6 | juta | unus (saya) | mega- | mikro- | 5 kali jumlah tetes dalam ember 10 liter air |
| 10 9 | miliar (miliar) | pasangan(II) | giga- | nano | Perkiraan populasi India |
| 10 12 | triliun | tres(III) | ter- | pico- | 1/13 dari produk domestik bruto Rusia dalam rubel untuk tahun 2003 |
| 10 15 | milion lipat empat | quattor(IV) | peta- | femto- | 1/30 dari panjang parsec dalam meter |
| 10 18 | triliun | quinque (V) | mantan- | atto- | 1/18 jumlah butir dari penghargaan legendaris hingga penemu catur |
| 10 21 | sextillion | jenis kelamin (VI) | zetta- | zepto- | 1/6 massa planet bumi dalam ton |
| 10 24 | septillion | Septem(VII) | yotta- | yokto- | Jumlah molekul dalam 37,2 liter udara |
| 10 27 | oktillion | okto(VIII) | Tidak- | saringan- | Setengah massa Jupiter dalam kilogram |
| 10 30 | triliun | novem(IX) | Dea- | tredo- | 1/5 dari semua mikroorganisme di planet ini |
| 10 33 | satu juta | desem(X) | un- | revo- | Setengah massa Matahari dalam gram |
Pengucapan angka-angka yang mengikutinya seringkali berbeda.
| Nomor | Nama | angka latin | Nilai praktis |
| 10 36 | andecillion | putuskan (XI) | |
| 10 39 | duodecillion | duodecim(XII) | |
| 10 42 | triliun | tredecim(XIII) | 1/100 dari jumlah molekul udara di Bumi |
| 10 45 | quattordecillion | quattuordecim (XIV) | |
| 10 48 | quindecillion | quindecim (XV) | |
| 10 51 | sexdecillion | sedecim (XVI) | |
| 10 54 | septemdecillion | septendecim (XVII) | |
| 10 57 | octodecillion | Begitu banyak partikel elementer di matahari | |
| 10 60 | novemdecillion | ||
| 10 63 | vigintillion | pemandangan (XX) | |
| 10 66 | anvigintillion | unus et viginti (XXI) | |
| 10 69 | duovigintillion | duo et viginti (XXII) | |
| 10 72 | trevigintillion | tres et viginti (XXIII) | |
| 10 75 | quattorvigintillion | ||
| 10 78 | quinvigintillion | ||
| 10 81 | sexvigintillion | Begitu banyak partikel elementer di alam semesta | |
| 10 84 | septemvigintillion | ||
| 10 87 | octovigintillion | ||
| 10 90 | novemvigintillion | ||
| 10 93 | trigintillion | triginta (XXX) | |
| 10 96 | antirigintillion |
- ...
- 10 100 - googol (nomor itu ditemukan oleh keponakan matematikawan Amerika Edward Kasner yang berusia 9 tahun)
- 10 123 - quadragintillion (quadragaginta, XL)
- 10 153 - quinquagintillion (quinquaginta, L)
- 10 183 - sexagintillion (sexaginta, LX)
- 10 213 - septuagintillion (septuaginta, LXX)
- 10 243 - octogintillion (octoginta, LXXX)
- 10 273 - nonagintillion (nonaginta, XC)
- 10 303 - centillion (Centum, C)
- 10 306 - ancentillion atau centunillion
- 10 309 - duocentillion atau centduollion
- 10 312 - trecentillion atau centtrillion
- 10 315 - quattorcentillion atau centquadrillion
- 10 402 - tretrigintacentillion atau centtretrigintillion
Nomor berikutnya:
Beberapa referensi sastra:
- Perelman Ya.I. "Aritmatika Menghibur". - M.: Triada-Litera, 1994, hlm. 134-140
- Vygodsky M.Ya. “Buku Pegangan Matematika Dasar”. - St. Petersburg, 1994, hlm. 64-65
- "Ensiklopedia pengetahuan". - Komp. DI DAN. Korotkevich. - St. Petersburg: Burung Hantu, 2006, hlm. 257
- "Menghibur tentang fisika dan matematika." - Perpustakaan Kvant. masalah 50. - M.: Nauka, 1988, hlm. 50
“Saya melihat gumpalan angka samar bersembunyi di luar sana dalam kegelapan, di balik titik kecil cahaya yang diberikan lilin pikiran. Mereka saling berbisik; berbicara tentang siapa yang tahu apa. Mungkin mereka tidak terlalu menyukai kita karena menangkap adik laki-laki mereka dengan pikiran kita. Atau mungkin mereka hanya menjalani cara hidup numerik yang tidak ambigu, di luar sana, di luar pemahaman kita.''
Douglas Ray
Kami melanjutkan milik kami. Hari ini kita punya nomor...
Cepat atau lambat, semua orang tersiksa oleh pertanyaan, berapa angka terbesar. Pertanyaan seorang anak dapat dijawab dalam sejuta. Apa berikutnya? Triliun. Dan lebih jauh lagi? Sebenarnya, jawaban untuk pertanyaan berapa bilangan terbesar itu sederhana. Sebaiknya tambahkan satu ke angka terbesar, karena tidak akan lagi menjadi yang terbesar. Prosedur ini dapat dilanjutkan tanpa batas.
Tetapi jika Anda bertanya pada diri sendiri: apa jumlah terbesar yang ada, dan apa namanya sendiri?
Sekarang kita semua tahu...
Ada dua sistem penamaan angka - Amerika dan Inggris.
Sistem Amerika dibangun dengan cukup sederhana. Semua nama bilangan besar dibangun seperti ini: di awal ada nomor urut Latin, dan di akhir ditambahkan akhiran -juta. Pengecualian adalah nama "juta" yang merupakan nama angka seribu (lat. seribu) dan akhiran pembesar -million (lihat tabel). Jadi jumlahnya diperoleh - triliun, kuadriliun, triliun, sextillion, septillion, octillion, nonillion dan decillion. Sistem Amerika digunakan di AS, Kanada, Prancis, dan Rusia. Anda dapat mengetahui jumlah nol dalam angka yang ditulis dalam sistem Amerika menggunakan rumus sederhana 3 x + 3 (di mana x adalah angka Latin).
Sistem penamaan bahasa Inggris adalah yang paling umum di dunia. Ini digunakan, misalnya, di Inggris Raya dan Spanyol, serta di sebagian besar bekas koloni Inggris dan Spanyol. Nama-nama angka dalam sistem ini dibangun seperti ini: seperti ini: sufiks -juta ditambahkan ke angka Latin, angka berikutnya (1000 kali lebih besar) dibangun sesuai dengan prinsip - angka Latin yang sama, tetapi sufiksnya adalah -miliar. Artinya, setelah satu triliun dalam sistem Inggris muncul satu triliun, dan hanya kemudian satu kuadriliun, diikuti oleh kuadriliun, dan seterusnya. Jadi, satu kuadriliun menurut sistem Inggris dan Amerika adalah angka yang sama sekali berbeda! Anda dapat mengetahui jumlah nol dalam angka yang ditulis dalam sistem bahasa Inggris dan diakhiri dengan akhiran -juta menggunakan rumus 6 x + 3 (di mana x adalah angka Latin) dan menggunakan rumus 6 x + 6 untuk angka yang berakhiran -miliar.
Hanya jumlah miliar (10 9 ) yang berpindah dari sistem Inggris ke bahasa Rusia, yang, bagaimanapun, akan lebih tepat untuk menyebutnya dengan cara orang Amerika menyebutnya - satu miliar, karena kita telah mengadopsi sistem Amerika. Tapi siapa di negara kita yang melakukan sesuatu sesuai aturan! ;-) Ngomong-ngomong, terkadang kata triliun juga digunakan dalam bahasa Rusia (Anda dapat melihatnya sendiri dengan menjalankan pencarian di Google atau Yandex) dan itu berarti, tampaknya, 1000 triliun, mis. milion lipat empat.
Selain angka-angka yang ditulis menggunakan awalan Latin dalam sistem Amerika atau Inggris, dikenal juga yang disebut angka di luar sistem, yaitu. angka yang memiliki nama sendiri tanpa awalan Latin. Ada beberapa angka seperti itu, tetapi saya akan membicarakannya lebih detail nanti.
Mari kembali menulis menggunakan angka latin. Tampaknya mereka dapat menulis angka hingga tak terbatas, tetapi ini tidak sepenuhnya benar. Sekarang saya akan menjelaskan alasannya. Mari kita lihat dulu bagaimana angka dari 1 hingga 10 33 dipanggil:
Jadi, sekarang muncul pertanyaan, apa selanjutnya. Apa itu satu desiun? Pada prinsipnya, tentu saja, dimungkinkan dengan menggabungkan awalan untuk menghasilkan monster seperti: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion dan novemdecillion, tetapi ini sudah akan menjadi nama majemuk, dan kami tertarik nomor nama kita sendiri. Oleh karena itu, menurut sistem ini, selain yang ditunjukkan di atas, Anda masih bisa mendapatkan hanya tiga - vigintillion (dari lat.pemandangan- dua puluh), centillion (dari lat.persen- seratus) dan satu juta (dari lat.seribu- seribu). Bangsa Romawi tidak memiliki lebih dari seribu nama yang tepat untuk angka (semua angka lebih dari seribu adalah gabungan). Misalnya, satu juta (1.000.000) orang Romawi disebutcentena miliayaitu sepuluh ratus ribu. Dan sekarang, sebenarnya, tabelnya:
Jadi, menurut sistem yang sama, angka lebih besar dari 10 3003 , yang akan memiliki sendiri, nama non-majemuk, tidak mungkin untuk mendapatkan! Namun demikian, angka yang lebih besar dari satu juta diketahui - ini adalah angka yang sangat non-sistemik. Akhirnya, mari kita bicara tentang mereka.
Angka terkecil adalah segudang (bahkan dalam kamus Dahl), yang berarti seratus ratusan, yaitu 10.000. Benar, kata ini sudah ketinggalan zaman dan praktis tidak digunakan, tetapi anehnya kata "segudang" itu digunakan secara luas, yang tidak berarti angka tertentu sama sekali, tetapi seperangkat sesuatu yang tak terhitung dan tak terhitung. Diyakini bahwa kata myriad (bahasa Inggris myriad) datang ke bahasa-bahasa Eropa dari Mesir kuno.
Ada perbedaan pendapat tentang asal usul angka ini. Beberapa percaya bahwa itu berasal dari Mesir, sementara yang lain percaya bahwa itu hanya lahir di Yunani kuno. Bagaimanapun, pada kenyataannya, segudang memperoleh ketenaran justru berkat orang-orang Yunani. Segudang adalah nama untuk 10.000, dan tidak ada nama untuk angka di atas sepuluh ribu. Namun, dalam catatan "Psammit" (yaitu, kalkulus pasir), Archimedes menunjukkan bagaimana seseorang dapat secara sistematis membangun dan menamai bilangan besar secara sewenang-wenang. Secara khusus, menempatkan 10.000 (segudang) butir pasir dalam biji poppy, ia menemukan bahwa di Semesta (sebuah bola dengan diameter segudang diameter Bumi) akan muat (dalam notasi kami) tidak lebih dari 10 63
butiran pasir. Sangat mengherankan bahwa perhitungan modern dari jumlah atom di alam semesta yang terlihat mengarah ke angka 10 67
(hanya beberapa kali lebih banyak). Nama-nama bilangan yang diusulkan Archimedes adalah sebagai berikut:
1 segudang = 10 4 .
1 di-segudang = segudang segudang = 10 8
.
1 tri-segudang = di-segudang di-segudang = 10 16
.
1 tetra-myriad = tiga-myriad tiga-myriad = 10 32
.
dll.
Googol (dari bahasa Inggris googol) adalah angka sepuluh pangkat seratus, yaitu satu dengan seratus nol. Kata "googol" pertama kali ditulis pada tahun 1938 dalam artikel "Nama Baru dalam Matematika" dalam jurnal Scripta Mathematica edisi Januari oleh ahli matematika Amerika Edward Kasner. Menurutnya, keponakannya yang berusia sembilan tahun, Milton Sirotta, menyarankan untuk memanggil sejumlah besar "googol". Nomor ini menjadi terkenal berkat mesin pencari yang dinamai menurut namanya. Google. Perhatikan bahwa "Google" adalah merek dagang dan googol adalah angka.
Edward Kasner.
Di Internet, Anda sering dapat menemukan penyebutan itu - tetapi ini tidak begitu ...
Dalam risalah Buddhis terkenal Jaina Sutra, berasal dari 100 SM, nomor Asankheya (dari bahasa Cina. asentzi- tak terhitung), sama dengan 10 140. Diyakini bahwa jumlah ini sama dengan jumlah siklus kosmik yang diperlukan untuk mencapai nirwana.
Googolplex (Inggris) googolplex) - angka yang juga ditemukan oleh Kasner dengan keponakannya dan artinya satu dengan googol nol, yaitu, 10 10100 . Beginilah cara Kasner sendiri menggambarkan "penemuan" ini:
Kata-kata bijak diucapkan oleh anak-anak setidaknya sesering oleh para ilmuwan. Nama "googol" ditemukan oleh seorang anak (keponakan Dr. Kasner yang berusia sembilan tahun) yang diminta untuk memikirkan sebuah nama untuk sebuah bilangan yang sangat besar, yaitu 1 dengan seratus nol di belakangnya. yakin bahwa jumlah ini tidak terbatas, dan karena itu sama-sama yakin bahwa itu harus memiliki nama, googol, tetapi masih terbatas, seperti yang ditunjukkan oleh penemu nama itu dengan cepat.
Matematika dan Imajinasi(1940) oleh Kasner dan James R. Newman.
Bahkan lebih besar dari bilangan googolplex, bilangan Skewes diusulkan oleh Skewes pada tahun 1933 (Skewes. J.London Matematika. pergaulan 8, 277-283, 1933.) dalam membuktikan dugaan Riemann tentang bilangan prima. Itu berarti e sejauh e sejauh e pangkat 79, yaitu ee e 79 . Kemudian, Riele (te Riele, H. J. J. "Pada Tanda Perbedaan P(x)-Li(x)." Matematika. Hitung. 48, 323-328, 1987) mengurangi nomor Skuse menjadi ee 27/4 , yang kira-kira sama dengan 8,185 10 370. Jelas bahwa karena nilai angka Skewes tergantung pada angka e, maka itu bukan bilangan bulat, jadi kami tidak akan mempertimbangkannya, jika tidak, kami harus mengingat bilangan non-alami lainnya - bilangan pi, bilangan e, dll.
Tetapi perlu dicatat bahwa ada angka Skewes kedua, yang dalam matematika dilambangkan sebagai Sk2 , yang bahkan lebih besar dari angka Skewes pertama (Sk1 ). Nomor kedua Skuse, diperkenalkan oleh J. Skuse dalam artikel yang sama untuk menunjukkan angka yang hipotesis Riemann tidak valid. Sk2 adalah 1010 10103 , yaitu 1010 101000 .
Seperti yang Anda pahami, semakin banyak derajat, semakin sulit untuk memahami angka mana yang lebih besar. Misalnya, melihat angka Skewes, tanpa perhitungan khusus, hampir tidak mungkin untuk memahami mana dari dua angka ini yang lebih besar. Jadi, untuk bilangan super besar, penggunaan kekuatan menjadi tidak nyaman. Selain itu, Anda dapat menemukan angka-angka seperti itu (dan mereka telah ditemukan) ketika derajat derajat tidak sesuai dengan halaman. Ya, halaman yang luar biasa! Mereka bahkan tidak akan muat ke dalam buku seukuran seluruh alam semesta! Dalam hal ini, muncul pertanyaan bagaimana cara menuliskannya. Masalahnya, seperti yang Anda pahami, dapat dipecahkan, dan matematikawan telah mengembangkan beberapa prinsip untuk menulis angka seperti itu. Benar, setiap matematikawan yang menanyakan masalah ini muncul dengan cara penulisannya sendiri, yang mengarah pada keberadaan beberapa cara penulisan angka yang tidak terkait - ini adalah notasi Knuth, Conway, Steinhaus, dll.
Perhatikan notasi Hugo Stenhaus (H. Steinhaus. Snapshot Matematika, edisi ke-3. 1983), yang cukup sederhana. Steinhouse menyarankan untuk menulis angka besar di dalam bentuk geometris- segitiga, persegi dan lingkaran:
Steinhouse datang dengan dua angka super besar baru. Dia memanggil nomor itu - Mega, dan nomornya - Megiston.
Matematikawan Leo Moser menyempurnakan notasi Stenhouse, yang dibatasi oleh fakta bahwa jika perlu untuk menulis angka yang jauh lebih besar daripada megiston, kesulitan dan ketidaknyamanan muncul, karena banyak lingkaran harus ditarik satu di dalam yang lain. Moser menyarankan untuk menggambar bukan lingkaran setelah kotak, tetapi segi lima, lalu segi enam, dan seterusnya. Dia juga mengusulkan notasi formal untuk poligon ini, sehingga angka dapat ditulis tanpa menggambar pola yang rumit. Notasi Moser terlihat seperti ini:
Jadi, menurut notasi Moser, mega Steinhouse ditulis sebagai 2, dan megiston sebagai 10. Selain itu, Leo Moser menyarankan untuk memanggil poligon dengan jumlah sisi yang sama dengan mega - megagon. Dan dia mengusulkan angka "2 di Megagon", yaitu 2. Angka ini kemudian dikenal sebagai angka Moser atau hanya sebagai moser.
Namun jumlah moser bukanlah yang terbesar. Angka terbesar yang pernah digunakan dalam pembuktian matematis adalah nilai pembatas yang dikenal sebagai bilangan Graham, pertama kali digunakan pada tahun 1977 dalam pembuktian satu perkiraan dalam teori Ramsey. Ini terkait dengan hiperkubus bikromatik dan tidak dapat diekspresikan tanpa sistem 64-tingkat khusus simbol matematika khusus yang diperkenalkan oleh Knuth pada tahun 1976.
Sayangnya, angka yang ditulis dalam notasi Knuth tidak dapat diterjemahkan ke dalam notasi Moser. Oleh karena itu, sistem ini juga harus dijelaskan. Pada prinsipnya, tidak ada yang rumit di dalamnya juga. Donald Knuth (ya, ya, ini adalah Knuth yang sama yang menulis The Art of Programming dan menciptakan editor TeX) datang dengan konsep negara adidaya, yang ia usulkan untuk ditulis dengan panah menunjuk ke atas:
Secara umum, terlihat seperti ini:
Saya pikir semuanya sudah jelas, jadi mari kita kembali ke nomor Graham. Graham mengusulkan apa yang disebut G-number:
- G1 = 3,3, di mana jumlah panah superderajat adalah 33.
- G2 = ..3, di mana jumlah panah superderajat sama dengan G1 .
- G3 = ..3, di mana jumlah panah superderajat sama dengan G2 .
- G63 = ..3, di mana jumlah panah superpower adalah G62 .
Angka G63 kemudian dikenal sebagai angka Graham (sering dilambangkan hanya sebagai G). Angka ini merupakan angka terbesar yang diketahui di dunia dan bahkan tercatat dalam Guinness Book of Records. Tetapi
Dalam nama angka Arab, setiap digit termasuk dalam kategorinya, dan setiap tiga digit membentuk kelas. Dengan demikian, digit terakhir dalam suatu angka menunjukkan jumlah unit di dalamnya dan, karenanya, disebut tempat unit. Selanjutnya, kedua dari akhir, angka menunjukkan puluhan (digit puluhan), dan angka ketiga dari akhir menunjukkan jumlah ratusan dalam angka - angka ratusan. Selanjutnya, angka-angka diulang dengan cara yang sama secara bergantian di setiap kelas, yang menunjukkan satuan, puluhan dan ratusan di kelas ribuan, jutaan, dan seterusnya. Jika angkanya kecil dan tidak berisi angka puluhan atau ratusan, biasanya dianggap nol. Kelas mengelompokkan nomor dalam jumlah tiga, sering kali dalam perangkat komputasi atau mencatat periode atau ruang ditempatkan di antara kelas untuk memisahkannya secara visual. Hal ini dilakukan untuk memudahkan dalam membaca bilangan besar. Setiap kelas memiliki namanya sendiri: tiga digit pertama adalah kelas satuan, diikuti oleh kelas ribuan, kemudian jutaan, miliaran (atau miliaran), dan seterusnya.
Karena kita menggunakan sistem desimal, satuan dasar besaran adalah sepuluh, atau 10 1 . Dengan demikian, dengan peningkatan jumlah digit dalam suatu angka, jumlah puluhan 10 2, 10 3, 10 4, dll juga meningkat. Mengetahui jumlah puluhan, Anda dapat dengan mudah menentukan kelas dan kategori angka, misalnya, 10 16 adalah puluhan kuadriliun, dan 3 × 10 16 adalah tiga puluhan kuadriliun. Penguraian angka menjadi komponen desimal terjadi sebagai berikut - setiap digit ditampilkan dalam istilah terpisah, dikalikan dengan koefisien yang diperlukan 10 n, di mana n adalah posisi digit dalam hitungan dari kiri ke kanan.
Sebagai contoh: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1
Selain itu, pangkat 10 juga digunakan dalam penulisan desimal: 10 (-1) adalah 0,1 atau sepersepuluh. Sama halnya dengan paragraf sebelumnya, suatu bilangan desimal juga dapat diuraikan, dalam hal ini n akan menunjukkan posisi digit dari koma dari kanan ke kiri, misalnya: 0,347629= 3x10 (-1) +4x10 (-2) +7x10 (-3) +6x10 (-4) +2x10 (-5) +9x10 (-6) )
Nama-nama bilangan desimal. Angka desimal dibaca oleh digit terakhir setelah titik desimal, misalnya 0,325 - tiga ratus dua puluh lima ribu, di mana seperseribu adalah digit dari digit terakhir 5.
Tabel nama bilangan besar, angka dan kelas
| satuan kelas 1 | angka satuan pertama tempat kedua sepuluh peringkat ke-3 ratusan |
1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2 |
| kelas 2 ribu | Satuan digit pertama dari ribuan angka ke-2 puluhan ribu peringkat 3 ratusan ribu |
1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5 |
| kelas 3 jutaan | 1 digit unit juta digit ke-2 puluhan juta Digit ketiga ratusan juta |
1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8 |
| miliaran kelas 4 | Satuan digit pertama miliar digit ke-2 puluhan miliar Digit ke-3 ratusan miliar |
1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11 |
| triliunan kelas 5 | Satuan triliun digit pertama digit ke-2 puluhan triliun Digit ketiga ratus triliun |
1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14 |
| kuadriliun kelas 6 | Satuan kuadriliun digit pertama digit ke-2 puluhan kuadriliun digit ke-3 puluhan kuadriliun |
1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17 |
| triliunan kelas 7 | Satuan digit pertama dari quintillions digit ke-2 puluhan triliun peringkat ke-3 ratus triliun |
1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20 |
| sextillions kelas 8 | 1 digit sextillion unit digit ke-2 puluhan sextillions peringkat ke-3 ratus sextillions |
1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23 |
| Septillion kelas 9 | Satuan digit pertama dari septillion digit ke-2 puluhan septillions peringkat ke-3 ratus septillion |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26 |
| oktillion kelas 10 | 1 digit oktillion unit digit ke-2 sepuluh oktillion peringkat ke-3 ratus oktillion |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29 |
Ada angka-angka yang sangat luar biasa, sangat besar sehingga dibutuhkan seluruh alam semesta untuk menuliskannya. Tapi inilah yang benar-benar menjengkelkan... beberapa dari jumlah yang sangat besar ini sangat penting untuk memahami dunia.
Ketika saya mengatakan "jumlah terbesar di alam semesta", yang saya maksud adalah yang terbesar berarti nomor, jumlah maksimum yang mungkin berguna dalam beberapa cara. Ada banyak pesaing untuk gelar ini, tetapi saya segera memperingatkan Anda: memang ada risiko bahwa mencoba memahami semua ini akan membuat Anda bingung. Dan selain itu, dengan terlalu banyak matematika, Anda mendapatkan sedikit kesenangan.
Googol dan googolplex
Edward Kasner
Kita bisa mulai dengan dua, kemungkinan besar angka terbesar yang pernah Anda dengar, dan ini memang dua angka terbesar yang memiliki definisi yang diterima secara umum di bahasa Inggris. (Ada nomenklatur yang cukup tepat yang digunakan untuk angka sebesar yang Anda inginkan, tetapi kedua angka ini saat ini tidak ditemukan dalam kamus.) Google, sejak menjadi terkenal di dunia (walaupun dengan kesalahan, perhatikan. sebenarnya itu adalah googol) di bentuk Google, lahir pada tahun 1920 sebagai cara untuk membuat anak-anak tertarik pada angka besar.
Untuk tujuan ini, Edward Kasner (foto) membawa kedua keponakannya, Milton dan Edwin Sirott, dalam tur New Jersey Palisades. Dia mengundang mereka untuk datang dengan ide apa pun, dan kemudian Milton yang berusia sembilan tahun menyarankan "googol". Dari mana dia mendapatkan kata ini tidak diketahui, tetapi Kasner memutuskan itu 
atau angka di mana seratus nol mengikuti satu selanjutnya akan disebut googol.
Tapi Milton muda tidak berhenti di situ, dia datang dengan jumlah yang lebih besar, googolplex. Ini adalah angka, menurut Milton, yang memiliki 1 terlebih dahulu dan kemudian nol sebanyak yang Anda bisa tulis sebelum Anda lelah. Meskipun idenya menarik, Kasner merasa diperlukan definisi yang lebih formal. Seperti yang dia jelaskan dalam bukunya yang berjudul Mathematics and the Imagination tahun 1940, definisi Milton membuka kemungkinan berbahaya bahwa badut sesekali bisa menjadi ahli matematika yang lebih unggul dari Albert Einstein hanya karena dia memiliki daya tahan lebih.
Jadi Kasner memutuskan bahwa googolplex akan menjadi , atau 1, diikuti oleh googol nol. Jika tidak, dan dalam notasi yang mirip dengan yang akan kita gunakan untuk bilangan lain, kita akan mengatakan bahwa googolplex adalah . Untuk menunjukkan betapa memesonanya hal ini, Carl Sagan pernah mengatakan bahwa secara fisik mustahil untuk menuliskan semua nol dari sebuah googolplex karena tidak ada cukup ruang di alam semesta. Jika seluruh volume alam semesta yang dapat diamati diisi dengan partikel debu halus berukuran sekitar 1,5 mikron, maka jumlahnya berbagai cara lokasi partikel ini kira-kira sama dengan satu googolplex.
Secara linguistik, googol dan googolplex mungkin adalah dua angka signifikan terbesar (setidaknya dalam bahasa Inggris), tetapi, seperti yang akan kita bahas sekarang, ada banyak cara untuk mendefinisikan "signifikansi".
Dunia nyata
Jika kita berbicara tentang angka penting terbesar, ada argumen yang masuk akal bahwa ini benar-benar berarti bahwa Anda perlu menemukan angka terbesar dengan nilai yang benar-benar ada di dunia. Kita bisa mulai dengan populasi manusia saat ini, yang saat ini sekitar 6920 juta. PDB dunia pada tahun 2010 diperkirakan sekitar $61.960 miliar, tetapi kedua angka ini kecil dibandingkan dengan sekitar 100 triliun sel yang membentuk tubuh manusia. Tentu saja, tidak satu pun dari angka-angka ini dapat dibandingkan dengan jumlah total partikel di alam semesta, yang biasanya dianggap sekitar , dan jumlah ini sangat besar sehingga bahasa kita tidak memiliki kata untuk itu.
Kita bisa bermain-main dengan sistem pengukuran sedikit, membuat angka lebih besar dan lebih besar. Dengan demikian, massa Matahari dalam ton akan lebih kecil daripada dalam pound. Cara yang bagus untuk melakukannya adalah dengan menggunakan satuan Planck, yang merupakan ukuran terkecil yang mungkin yang masih dipegang oleh hukum fisika. Misalnya, usia alam semesta dalam waktu Planck adalah sekitar . Jika kita kembali ke unit waktu Planck pertama setelah Big Bang, kita akan melihat bahwa kepadatan alam semesta saat itu adalah . Kami mendapatkan lebih dan lebih, tapi kami bahkan belum mencapai googol.
Jumlah terbesar dengan aplikasi dunia nyata—atau, dalam hal ini, aplikasi dunia nyata—mungkin , salah satu perkiraan terbaru dari jumlah alam semesta di multiverse. Jumlah ini sangat besar sehingga otak manusia secara harfiah tidak akan mampu melihat semua alam semesta yang berbeda ini, karena otak hanya mampu melakukan konfigurasi secara kasar. Faktanya, angka ini mungkin merupakan angka terbesar dengan makna praktis apa pun, jika Anda tidak memperhitungkan gagasan multiverse secara keseluruhan. Namun, masih ada angka yang jauh lebih besar yang mengintai di sana. Tetapi untuk menemukannya, kita harus masuk ke ranah matematika murni, dan tidak ada tempat yang lebih baik untuk memulai selain bilangan prima.
bilangan prima Mersenne
Bagian dari kesulitannya adalah menemukan definisi yang baik tentang apa itu angka yang "bermakna". Salah satu caranya adalah dengan berpikir dalam bentuk bilangan prima dan komposit. Bilangan prima, seperti yang mungkin Anda ingat dari matematika sekolah, adalah bilangan asli apa pun (tidak sama dengan satu) yang hanya dapat dibagi dengan dirinya sendiri. Jadi, dan adalah bilangan prima, dan dan adalah bilangan komposit. Ini berarti bahwa setiap bilangan komposit akhirnya dapat diwakili oleh pembagi primanya. Dalam arti tertentu, bilangan lebih penting daripada, katakanlah, karena tidak ada cara untuk menyatakannya dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan yang lebih kecil.
Jelas kita bisa melangkah lebih jauh. , misalnya, sebenarnya adil , yang berarti bahwa di dunia hipotetis di mana pengetahuan kita tentang angka terbatas , seorang ahli matematika masih dapat mengungkapkan . Tetapi bilangan berikutnya sudah prima, yang berarti satu-satunya cara untuk mengungkapkannya adalah dengan mengetahui keberadaannya secara langsung. Ini berarti bahwa bilangan prima terbesar yang diketahui memainkan peran penting, tetapi, katakanlah, googol - yang pada akhirnya hanya kumpulan angka dan , dikalikan bersama - sebenarnya tidak. Dan karena bilangan prima sebagian besar acak, tidak ada cara yang diketahui untuk memprediksi bahwa bilangan yang sangat besar akan menjadi bilangan prima. Sampai hari ini, menemukan bilangan prima baru adalah tugas yang sulit.
Matematikawan Yunani kuno memiliki konsep bilangan prima setidaknya sejak 500 SM, dan 2000 tahun kemudian orang masih hanya tahu apa bilangan prima hingga sekitar 750. Pemikir Euclid melihat kemungkinan penyederhanaan, tetapi sampai matematikawan Renaisans tidak bisa 'tidak benar-benar menggunakannya dalam praktek. Angka-angka ini dikenal sebagai angka Mersenne dan dinamai ilmuwan Prancis abad ke-17 Marina Mersenne. Idenya cukup sederhana: bilangan Mersenne adalah bilangan apapun dalam bentuk . Jadi, misalnya, dan bilangan ini prima, hal yang sama berlaku untuk .
Bilangan prima Mersenne jauh lebih cepat dan lebih mudah ditentukan daripada jenis bilangan prima lainnya, dan komputer telah bekerja keras untuk menemukannya selama enam dekade terakhir. Sampai tahun 1952, bilangan prima terbesar yang diketahui adalah bilangan—bilangan dengan angka. Pada tahun yang sama, dihitung di komputer bahwa angkanya adalah bilangan prima, dan angka ini terdiri dari angka, yang membuatnya jauh lebih besar daripada googol.
Komputer telah diburu sejak saat itu, dan bilangan Mersenne ke-th saat ini merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui umat manusia. Ditemukan pada tahun 2008, itu adalah angka dengan hampir jutaan digit. Ini adalah angka terbesar yang diketahui yang tidak dapat dinyatakan dalam angka yang lebih kecil, dan jika Anda ingin membantu menemukan angka Mersenne yang lebih besar, Anda (dan komputer Anda) selalu dapat bergabung dalam pencarian di http://www.mersenne. org/.
Nomor tusuk
Stanley Skuse
Mari kembali ke bilangan prima. Seperti yang saya katakan sebelumnya, mereka berperilaku salah secara fundamental, yang berarti bahwa tidak ada cara untuk memprediksi apa yang akan menjadi bilangan prima berikutnya. Matematikawan telah dipaksa untuk beralih ke beberapa pengukuran yang agak fantastis untuk menemukan beberapa cara untuk memprediksi bilangan prima masa depan, bahkan dengan cara yang samar-samar. Yang paling berhasil dari upaya ini mungkin adalah fungsi yang menghitung bilangan prima, yang dia temukan dalam akhir XVIII ahli matematika legendaris abad Carl Friedrich Gauss.
Saya akan memberi Anda matematika yang lebih rumit - bagaimanapun, kita masih memiliki banyak hal yang akan datang - tetapi inti dari fungsinya adalah ini: untuk bilangan bulat apa pun, dimungkinkan untuk memperkirakan berapa banyak bilangan prima yang kurang dari . Misalnya, jika , fungsi memprediksi bahwa harus ada bilangan prima, jika - bilangan prima kurang dari , dan jika , maka ada bilangan prima yang lebih kecil.
Susunan bilangan prima memang tidak beraturan, dan hanya merupakan perkiraan jumlah bilangan prima yang sebenarnya. Faktanya, kita tahu bahwa ada bilangan prima kurang dari , bilangan prima kurang dari , dan bilangan prima kurang dari . Ini adalah perkiraan yang bagus, tentu saja, tetapi selalu hanya perkiraan... dan lebih khusus lagi, perkiraan dari atas.
Dalam semua kasus yang diketahui hingga , fungsi yang menemukan jumlah bilangan prima sedikit melebih-lebihkan jumlah bilangan prima yang sebenarnya kurang dari . Matematikawan pernah berpikir bahwa ini akan selalu terjadi, ad infinitum, dan ini pasti berlaku untuk beberapa bilangan yang sangat besar, tetapi pada tahun 1914 John Edensor Littlewood membuktikan bahwa untuk beberapa bilangan yang tidak diketahui dan sangat besar, fungsi ini akan mulai menghasilkan bilangan prima yang lebih sedikit, dan kemudian akan beralih antara perkiraan yang terlalu tinggi dan terlalu rendah dalam jumlah yang tidak terbatas.
Perburuan adalah titik awal balapan, dan di sanalah Stanley Skuse muncul (lihat foto). Pada tahun 1933, ia membuktikan bahwa batas atas, ketika suatu fungsi yang mendekati jumlah bilangan prima untuk pertama kalinya memberikan nilai yang lebih kecil, adalah bilangan. Sulit untuk benar-benar memahami, bahkan dalam pengertian yang paling abstrak, apa sebenarnya angka ini, dan dari sudut pandang ini, angka ini adalah angka terbesar yang pernah digunakan dalam pembuktian matematis yang serius. Sejak itu, matematikawan telah mampu mengurangi batas atas menjadi angka yang relatif kecil, tetapi angka aslinya tetap dikenal sebagai angka Skewes.
Jadi, seberapa besar angka yang membuat kurcaci googolplex yang perkasa sekalipun? Dalam The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells menjelaskan satu cara di mana matematikawan Hardy dapat memahami ukuran bilangan Skewes:
"Hardy berpikir itu adalah 'jumlah terbesar yang pernah ada untuk tujuan tertentu dalam matematika' dan menyarankan bahwa jika catur dimainkan dengan semua partikel alam semesta sebagai bagian, satu gerakan akan terdiri dari pertukaran dua partikel, dan permainan akan berhenti ketika posisi yang sama diulang untuk ketiga kalinya, maka jumlah semua kemungkinan permainan akan sama dengan jumlah Skuse''.
Satu hal terakhir sebelum melanjutkan: kami berbicara tentang yang lebih kecil dari dua angka Skewes. Ada nomor Skewes lain, yang ditemukan ahli matematika pada tahun 1955. Angka pertama diturunkan dengan alasan bahwa apa yang disebut Hipotesis Riemann adalah benar - hipotesis yang sangat sulit dalam matematika yang tetap tidak terbukti, sangat berguna dalam hal bilangan prima. Namun, jika Hipotesis Riemann salah, Skewes menemukan bahwa titik awal lompatan meningkat menjadi .
Masalah besarnya
Sebelum kita mencapai angka yang membuat angka Skuse terlihat kecil, kita perlu berbicara sedikit tentang skala karena jika tidak, kita tidak dapat memperkirakan ke mana kita akan pergi. Mari kita ambil angka terlebih dahulu - ini adalah angka kecil, sangat kecil sehingga orang dapat benar-benar memiliki pemahaman intuitif tentang apa artinya. Ada sangat sedikit angka yang sesuai dengan deskripsi ini, karena angka yang lebih besar dari enam tidak lagi menjadi angka yang terpisah dan menjadi "beberapa", "banyak", dll.
Sekarang mari kita ambil , yaitu. . Meskipun kita tidak bisa benar-benar intuitif, seperti yang kita lakukan untuk nomor , mencari tahu apa , bayangkan apa itu, sangat mudah. Sejauh ini semuanya berjalan baik. Tapi apa yang terjadi jika kita pergi ke ? Ini sama dengan , atau . Kami sangat jauh dari mampu membayangkan nilai ini, seperti nilai yang sangat besar lainnya - kami kehilangan kemampuan untuk memahami bagian-bagian individu di suatu tempat sekitar satu juta. (Memang, butuh waktu yang sangat lama untuk benar-benar menghitung hingga satu juta dari apa pun, tetapi intinya adalah bahwa kita masih dapat melihat angka itu.)
Namun, meskipun kami tidak dapat membayangkan, kami setidaknya dapat memahami umumnya, yaitu 7600 miliar, mungkin membandingkannya dengan sesuatu seperti PDB AS. Kami telah beralih dari intuisi ke representasi menjadi pemahaman belaka, tetapi setidaknya kami masih memiliki beberapa celah dalam pemahaman kami tentang apa itu angka. Ini akan berubah saat kita naik satu anak tangga lagi.
Untuk melakukan ini, kita perlu beralih ke notasi yang diperkenalkan oleh Donald Knuth, yang dikenal sebagai notasi panah. Notasi ini dapat ditulis sebagai . Ketika kita kemudian pergi ke , nomor yang kita dapatkan adalah . Ini sama dengan di mana total kembar tiga. Kami sekarang telah jauh dan benar-benar melampaui semua angka lain yang telah disebutkan. Bagaimanapun, bahkan yang terbesar dari mereka hanya memiliki tiga atau empat anggota dalam seri indeks. Misalnya, bahkan nomor super Skuse adalah "hanya" - bahkan dengan fakta bahwa baik basis dan eksponennya jauh lebih besar dari , masih sama sekali tidak ada apa-apanya dibandingkan dengan ukuran menara nomor dengan miliaran anggota.
Jelas, tidak ada cara untuk memahami angka sebesar itu... namun, proses pembuatannya masih dapat dipahami. Kami tidak dapat memahami angka sebenarnya yang diberikan oleh menara kekuatan, yaitu satu miliar tiga kali lipat, tetapi pada dasarnya kami dapat membayangkan menara seperti itu dengan banyak anggota, dan superkomputer yang benar-benar layak akan dapat menyimpan menara tersebut dalam memori, bahkan jika itu tidak dapat menghitung nilai sebenarnya.
Ini semakin abstrak, tetapi itu hanya akan menjadi lebih buruk. Anda mungkin berpikir bahwa menara kekuatan yang panjang eksponennya (selain itu, dalam versi sebelumnya dari posting ini saya membuat kesalahan itu), tapi itu hanya . Dengan kata lain, bayangkan Anda memiliki kemampuan untuk menghitung nilai yang tepat dari menara kekuatan tiga kali lipat, yang terdiri dari elemen, dan kemudian Anda mengambil nilai ini dan membuat menara baru dengan begitu banyak di dalamnya ... yang memberikan .
Ulangi proses ini dengan setiap nomor yang berurutan ( catatan mulai dari kanan) sampai Anda melakukan ini sekali, dan akhirnya Anda mendapatkan . Ini adalah angka yang sangat besar, tetapi setidaknya langkah-langkah untuk mendapatkannya tampak jelas jika semuanya dilakukan dengan sangat lambat. Kita tidak bisa lagi memahami angka atau membayangkan prosedur yang digunakan untuk memperolehnya, tetapi setidaknya kita dapat memahami algoritma dasar, hanya dalam waktu yang cukup lama.
Sekarang mari kita siapkan pikiran untuk benar-benar meledakkannya.
Nomor Graham (Graham)
Ronald Graham
Ini adalah bagaimana Anda mendapatkan nomor Graham, yang menempati peringkat dalam Guinness Book of World Records sebagai nomor terbesar yang pernah digunakan dalam pembuktian matematis. Sama sekali tidak mungkin untuk membayangkan seberapa besar itu, dan sama sulitnya untuk menjelaskan dengan tepat apa itu. Pada dasarnya, bilangan Graham ikut bermain ketika berhadapan dengan hypercubes, yang merupakan bentuk geometris teoretis dengan lebih dari tiga dimensi. Ahli matematika Ronald Graham (lihat foto) ingin mencari tahu berapa jumlah dimensi terkecil yang akan menjaga sifat-sifat tertentu dari hypercube stabil. (Maaf untuk penjelasan yang tidak jelas ini, tapi saya yakin kita semua membutuhkan setidaknya dua gelar matematika untuk membuatnya lebih akurat.)
Bagaimanapun, nomor Graham adalah perkiraan atas dari jumlah minimum dimensi ini. Jadi seberapa besar batas atas ini? Mari kita kembali ke angka yang sangat besar sehingga kita dapat memahami algoritme untuk memperolehnya dengan agak samar. Sekarang, daripada hanya melompat satu tingkat lagi ke , kita akan menghitung angka yang memiliki panah antara tiga kali lipat pertama dan terakhir. Sekarang kita jauh melampaui pemahaman sedikit pun tentang apa angka ini atau bahkan apa yang perlu dilakukan untuk menghitungnya.
Sekarang ulangi proses ini kali ( catatan pada setiap langkah berikutnya, kami menulis jumlah panah sama dengan jumlah yang diperoleh pada langkah sebelumnya).
Ini, tuan dan nyonya, adalah bilangan Graham, yaitu tentang urutan besarnya di atas titik pemahaman manusia. Ini adalah angka yang jauh lebih besar daripada angka apa pun yang dapat Anda bayangkan - ini jauh lebih besar daripada ketakterhinggaan apa pun yang dapat Anda bayangkan - itu hanya menentang deskripsi yang paling abstrak sekalipun.
Tapi inilah hal yang aneh. Karena bilangan Graham pada dasarnya hanya kembar tiga dikalikan, kita mengetahui beberapa sifat-sifatnya tanpa menghitungnya. Kami tidak dapat mewakili nomor Graham dalam notasi apa pun yang kami kenal, bahkan jika kami menggunakan seluruh alam semesta untuk menuliskannya, tetapi saya dapat memberi Anda dua belas digit terakhir nomor Graham sekarang: . Dan bukan itu saja: kita tahu setidaknya digit terakhir dari nomor Graham.
Tentu saja, perlu diingat bahwa angka ini hanya batas atas dalam masalah awal Graham. Ada kemungkinan bahwa jumlah pengukuran aktual yang diperlukan untuk memenuhi sifat yang diinginkan jauh lebih sedikit. Faktanya, sejak tahun 1980-an, sebagian besar ahli di bidang ini telah dipercaya bahwa sebenarnya hanya ada enam dimensi - angka yang sangat kecil sehingga kita dapat memahaminya secara intuitif. Batas bawah telah ditingkatkan menjadi , tetapi masih ada peluang yang sangat bagus bahwa solusi untuk masalah Graham tidak terletak di dekat bilangan sebesar Graham.
Hingga tak terbatas
Jadi ada angka yang lebih besar dari angka Graham? Tentu saja, sebagai permulaan ada nomor Graham. Adapun angka penting... yah, ada beberapa bidang matematika yang sangat sulit (khususnya, bidang yang dikenal sebagai kombinatorik) dan ilmu komputer, di mana ada bilangan yang bahkan lebih besar dari bilangan Graham. Tetapi kita hampir mencapai batas dari apa yang saya harap dapat secara masuk akal menjelaskannya. Bagi mereka yang cukup sembrono untuk melangkah lebih jauh, bacaan tambahan ditawarkan dengan risiko Anda sendiri.
Nah, sekarang kutipan luar biasa yang dikaitkan dengan Douglas Ray ( catatan Sejujurnya, kedengarannya cukup lucu:
“Saya melihat gumpalan angka samar bersembunyi di luar sana dalam kegelapan, di balik titik kecil cahaya yang diberikan lilin pikiran. Mereka saling berbisik; berbicara tentang siapa yang tahu apa. Mungkin mereka tidak terlalu menyukai kita karena menangkap adik laki-laki mereka dengan pikiran kita. Atau mungkin mereka hanya menjalani cara hidup numerik yang tidak ambigu, di luar sana, di luar pemahaman kita.''