Tema 6 Aritmetički polinomi. Polinomi u jednoj varijabli

MBOU "Otvorena (smjena) škola br. 2" grada Smolenska

Samostalni rad

na temu: "Polinomi"

7. razred

Izvedena

profesorica matematike

Miščenkova Tatjana Vladimirovna

Usmeni samostalni rad br. 1 (pripremni)

(provodi se s ciljem pripreme učenika za svladavanje novih znanja na temu: “Polinom i njegov standardni oblik”)

Opcija 1.

a) 1.4a + 1– a 2 – 1,4 + b 2 ;

b) a 3 – 3a +b + 2 ab – x;

c) 2ab + x – 3 ba – x.

Obrazloži svoj odgovor.

a) 2 a – 3 a +7 a;

b) 3x – 1+2x+7;

c) 2x– 3y+3x+2 g.

a) 8xx;G) – 2a 2 ba

b) 10nmm;d) 5p 2 * 2p;

u 3aab; e) – 3 str * 1,5 str 3 .

opcija 2

1. Imenujte slične pojmove u sljedećim izrazima:

a) 8,3x – 7 – x 2 + 4 + god 2 ;

b)b 4 - 6 a +5 b 2 +2 a – 3 b 4 :

u 3xy + g – 2 xy – g.

Obrazloži svoj odgovor.

2. Navedite slične pojmove u izrazima:

a) 10 d – 3 d – 19 d ;

b) 5x – 8 +4x + 12;

c) 2x – 4y + 7x + 3y.

3. Svedi monome na standardni oblik i označi stupanj monoma:

a) 10aaa;

b) 7mnn ;

V) 3 cca;

d) – 5x 2 yx;

e) 8q 2 * 3 q;

e) – 7str * 0>5 q 4 .

Uvjet za usmeni samostalni rad nudi se na ekranu ili ploči, ali se tekst drži zatvoren prije početka samostalnog rada.

Samostalni rad izvodi se na početku sata. Nakon obavljenog rada koristi se samotestiranje pomoću računala ili ploče.

Samostalni rad br.2

(provodi se s ciljem jačanja vještina učenika u dovođenju polinoma u standardni oblik i određivanju stupnja polinoma)

opcija 1

1. Reducirajte polinom na standardni oblik:

a) x 2 y + yxy;

b) 3x 2 6g 2 – 5x 2 7y;

u 11a 5 – 8 a 5 +3 a 5 + a 5 ;

d) 1.9x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

a) 3t 2 – 5t 2 – 11t – 3t 2 + 5t +11;

b)x 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x – 13.

4 x 2 – 1 atx = 2.

4. Dodatni zadatak.

Umjesto * napišite takav član da dobijete polinom petog stupnja.

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

opcija 2

a) bab + a 2 b;

b) 5x 2 8g 2 + 7x 2 3g;

u 2m 6 + 5 m 6 – 8 m 6 – 11 m 6 ;

d) – 3.1g 2 +2,1 g 2 – g 2. .

2. Navedite slične članove i označite stupanj polinoma:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5;

b) 3h 2 +5hc – 7c 2 + 12h 2 – 6hc.

3. Odredite vrijednost polinoma:

2 x 3 + 4 atx=1.

4. Dodatni zadatak.

Umjesto* napišite takav član da dobijete polinom šestog stupnja.

x 3 – x 2 + x + * .

Opcija 3

1. Reducirajte polinome na standardni oblik:

a) 2aa 2 3b + a8b;

b) 8x3y (–5y) – 7x 2 4y;

u 20xy + 5 yx – 17 xy;

d) 8ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Navedite slične članove i označite stupanj polinoma:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3y 2 ;

b) 4b 2 +a 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. Odredite vrijednost polinoma:

– 4 g 5 – 3 atg= –1.

4. Dodatni zadatak.

Konstruirajte polinom trećeg stupnja koji sadrži jednu varijablu.

Usmeni samostalni rad br. 3 (pripremni)

(provodi se s ciljem pripreme učenika za svladavanje novih znanja na temu: “Zbrajanje i oduzimanje polinoma”)

opcija 1

a) zbroj dvaju izraza 3a+ 1 ia – 4;

b) razlika dvaju izraza 5x– 2 i 2x + 4.

3. Proširite zagrade:

a) g – ( g+ z);

b) (x – g) + ( g+ z);

V) (a – b) – ( c – a).

4. Pronađite vrijednost izraza:

a) 13,4 + (8 – 13,4);

b) – 1,5 – (4 – 1,5);

V) (a – b) – ( c – a).

opcija 2

1. Zapišite to kao izraz:

a) zbroj dvaju izraza 5a– 3 ia + 2;

b) razlika dvaju izraza 8g– 1. i 7g + 1.

2. Formulirajte pravilo za otvaranje zagrada ispred kojih stoje znakovi “+” ili “–”.

3. Proširitizagrade:

a) a – (b+c);

b) (a – b) + (b+a);

V) (x – g) – ( g – z).

4. Pronađite vrijednost izraza:

a) 12,8 + (11 – 12,8);

b) – 8,1 – (4 – 8,1);

c) 10,4 + 3x – ( x+10,4) nax=0,3.

Nakon obavljenog rada koristi se samotestiranje pomoću računala ili ploče.

Samostalni rad br.4

(provodi se s ciljem jačanja vještina i sposobnosti zbrajanja i oduzimanja polinoma)

opcija 1

a) 5 x– 15u i 8g – 4 x;

b) 7x 2 – 5 x+3 i 7x 2 – 5 x.

2. Pojednostavite izraz:

a) (2 a + 5 b) + (8 a – 11 b) – (9 b – 5 a);

* b) (8c 2 + 3 c) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).

3. Dodatni zadatak.

Napiši polinom takav da njegov zbroj s polinomom 3x + 1 bude jednak

9x – 4.

opcija 2

1. Sastaviti zbroj i razliku polinoma i dovesti ih u standardni oblik:

a) 21g – 7xI8x – 4y;

b) 3a 2 + 7a – 5I3a 2 + 1.

2. Pojednostavite izraz:

a) (3 b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* b) (3b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Dodatni zadatak.

Napiši polinom takav da je njegov zbroj s polinomom 4x – 5 jednak

9x – 12.

Opcija 3

1. Sastaviti zbroj i razliku polinoma i dovesti ih u standardni oblik:

a) 0,5 x+ 6u i 3x – 6 g;

b) 2g 2 +8 g– 11 i 3g 2 – 6 g + 3.

2. Pojednostavite izraz:

a) (2 x + 3 g – 5 z) – (6 x –8 g) + (5 x – 8 g);

* b) (a 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 a 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Dodatni zadatak.

Napiši polinom takav da njegov zbroj s polinomom 7x + 3 bude jednakx 2 + 7 x – 15.

Opcija 4

1. Sastaviti zbroj i razliku polinoma i dovesti ih u standardni oblik:

a) 0,3 x + 2 bi 4x – 2 b;

b) 5g 2 – 3 gi 8g 2 + 2 g – 11.

2. Pojednostavite izraz:

a) (3x – 5y – 8z) – (2x + 7y) + (5z – 11x);

* b) (2x 2 –xy + y 2 ) - (x 2 – 2xy – y 2 ).

3. Dodatni zadatak.

Napiši polinom tako da njegov zbroj s polinomom bude 2x 2 + x+ 3 i bio je jednak 2 x + 3.

Samostalni rad izvodi se na kraju sata. Nastavnik provjerava rad, utvrđujući je li potrebno dodatno učiti o ovoj temi.

Samostalni rad br.5

(provodi se s ciljem razvijanja vještine zatvaranja polinoma u zagrade)

opcija 1

a , a drugi ga ne sadrži:

a) ax + ay + x + y;

b)sjekira 2 + x + a + 1.

Uzorak rješenja:

m + am + n – an = (m+n) + (am – an).

b

a) bm – bn – m – n;

b) bx + by + x –y.

Uzorak rješenja:

ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).

opcija 2

1. Zamislite polinom kao zbroj dvaju polinoma od kojih jedan sadrži slovob , a drugi ga ne sadrži:

a) bx + s +2x + 2y;

b)bx 2 – x + a – b.

Primjer rješenja:

2 m + bm 3 + 3 – b = (2 m+3) + (bm 3 – b).

2. Zamislite polinom kao razliku dvaju polinoma od kojih prvi sadrži slovoa , a drugi nije (rezultat provjerite mentalnim otvaranjem zagrada):

a) ac – ab – c + b;

b) am + an + m – n;

Uzorak rješenja:

x + ay – y – ax = (ay – ax) – (–x + y) = (ay – ay) – (y–x).

Opcija 3

1. Zamislite polinom kao zbroj dvaju polinoma od kojih jedan sadrži slovob , a drugi ga ne sadrži:

a) b 3 –b 2 – b+3y – 1;

b) – b 2 -a 2 – 2ab + 2.

Primjer rješenja:

– 2 b 2 – m 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm) + (– m 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm) + (7– m 2 ).

2. Zamislite polinom kao razliku dvaju polinoma od kojih prvi sadrži slovob , a drugi nije (rezultat provjerite mentalnim otvaranjem zagrada):

a) ab + ac – b – c;

b) 2b + a 2 –b 2 –1;

Primjer rješenja:

3 b + m – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– m).

Opcija 4

(za jake učenike, daje se bez rješenja uzorka)

1. Zamislite polinom kao zbroj dvaju polinoma s pozitivnim koeficijentima:

a) sjekira + po – c – d;

b) 3x –3g +z – a.

2. Izraze na neki način predstavite kao razliku binoma i trinoma:

a) x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x – 4;

b) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 –3a +2.

Samostalni rad se izvodi na kraju sata. Nakon završenog rada koristi se samotestiranje pomoću ključa i samoprocjena rada. Učenici koji samostalno riješe zadatak predaju svoje bilježnice nastavniku na provjeru.

C samostalni rad br.6

(provodi se s ciljem učvršćivanja i primjene znanja i vještina množenja monoma polinomom)

opcija 1

1. Izvršite množenje:

a) 3 b 2 (b –3);

b) 5x (x 4 + x 2 – 1).

2. Pojednostavite izraze:

a) 4 (x+1) +(x+1);

b) 3a (a – 2) – 5a(a+3).

3. Odlučiti jednadžba:

20 +4(2 x–5) =14 x +12.

4. Dodatni zadatak.

(m+ n) * * = mk + nk.

opcija 2

1. Izvršite množenje:

a) - 4 x 2 (x 2 –5);

b) -5a (a 2 - 3 a – 4).

2. Pojednostavite izraze:

a) (a–2) – 2(a–2);

b) 3x (8 g +1) – 8 x(3 g–5).

3. Riješite jednadžbu:

3(7 x–1) – 2 =15 x –1.

4. Dodatni zadatak.

Koji monom treba unijeti umjesto znaka * da bi jednakost bila točna:

(b+ c – m) * * = ab + ak – am.

Opcija 3

1. Izvršite množenje:

a) – 7 x 3 (x 5 +3);

b) 2m 4 (m 5 - m 3 – 1).

2. Pojednostavite izraze:

a) (x–3) – 3(x–3);

b) 3c (c + d) + 3d (c–d).

3. Riješite jednadžbu:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. Dodatni zadatak.

Koji monom treba unijeti umjesto znaka * da bi jednakost bila točna:

* * (x 2 – xy) = x 2 g 2 – xy 3 .

Opcija 4

1. Izvršite množenje:

a) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

b)x 2 (x 5 – x 3 + 2 x);

2. Pojednostavite izraze:

a) 2 x(x+1) – 4 x(2– x);

b) 5b (3 a – b) – 3 a(5 b+ a).

3. Riješite jednadžbu:

-8(11 – 2 x) +40 =3(5 x - 4).

4. Dodatni zadatak.

Koji monom treba unijeti umjesto znaka * da bi jednakost bila točna:

(x – 1) * * = x 2 g 2 – xy 2 .

C samostalni rad br.7

(vodi se s ciljem razvijanja vještina rješavanja jednadžbi i zadataka)

opcija 1

Riješite jednadžbu:

+ = 6

Riješenje:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x=120 – 4,

x=116.

Odgovor: 116.

Riješite jednadžbu:

+ = 4

2. Riješite problem:

Automobil je na putu od sela do kolodvora potrošio 1 sat manje od biciklista. Odredi udaljenost od naselja do kolodvora ako je automobil vozio prosječnom brzinom 60 km/h. A biciklist je 20 km/h.

opcija 2

1. Pomoću uzorka rješenja riješite zadatak.

Riješite jednadžbu:

– = 1

Riješenje:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x=5.

Odgovor: 5.

Riješite jednadžbu:

+ = 2

2. Riješite problem:

Majstor izrađuje 8 dijelova više na sat od učenika. Šegrt je radio 6 sati, a majstor 8 sati, a zajedno su izradili 232 dijela. Koliko je dijelova učenik izradio na sat?

Upute za rješenje:

a) popunite tablicu;

još 8 dijelova

b) napišite jednadžbu;

c) riješiti jednadžbu;

d) provjeri i zapiši odgovor.

Opcija 3

(Za jače učenike, dato bez uzorka)

1. Riješite jednadžbu:

– = 2

2. Riješite problem:

U blagovaonicu je dovezen krumpir pakiran u vrećama od 3 kg. Kada bi se pakirao u vreće od 5 kg, trebalo bi 8 vreća manje. Koliko je kilograma krumpira dovezeno u kantinu?

Samostalni rad izvodi se na kraju sata. Nakon završetka rada koristi se samotestiranje pomoću ključa.

Kao domaću zadaću studentima se nudi kreativni samostalni rad:

Zamislite problem koji se može riješiti pomoću jednadžbe

30 x = 60(x– 4) i riješite ga.

Samostalni rad br.8

(provodi se s ciljem razvijanja vještina i sposobnosti izdvajanja zajedničkog faktora iz zagrade)

opcija 1

A)mx + moj; e)x 5 – x 4 ;

b) 5ab – 5 b; e) 4x 3 – 8 x 2 ;

V) – 4mn + n; *i) 2c 3 + 4c 2 + c ;

G) 7ab – 14a 2 ; * h)sjekira 2 +a 2 .

2. Dodatni zadatak.

2 – 2 18 djeljiv sa 14.

opcija 2

1. Izbacite zajednički faktor iz zagrada (provjerite radnje množenjem):

A) 10x + 10y;d) a 4 +a 3 ;

b) 4x + 20y;e) 2x 6 – 4x 3 ;

V) 9 ab + 3b; *i)y 5 + 3 god 6 + 4g 2 ;

G) 5xy 2 + 15 godina; *h) 5bc 2 +bc.

2. Dodatni zadatak.

Dokažite da je vrijednost izraza 8 5 – 2 11 djeljiv sa 17.

Opcija 3

1. Izbacite zajednički faktor iz zagrada (provjerite radnje množenjem):

A) 18ay + 8ax;d) m 6 +m 5 ;

b) 4ab - 16a;e) 5z 4 – 10z 2 ;

u 4mn + 5 n; * g) 3x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

d) 3x 2 g– 9 x; * h)xy 2 +4 xy.

2. Dodatni zadatak.

Dokažite da je vrijednost izraza 79 2 + 79 * 11 je djeljivo sa 30.

Opcija 4

1. Izbacite zajednički faktor iz zagrada (provjerite radnje množenjem):

a) – 7xy + 7 g; e)g 7 - g 5 ;

b) 8mn + 4 n; e) 16z 5 – 8 z 3 ;

u 20a 2 + 4 sjekira; * g4x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

d) 5x 2 g 2 + 10 x; * h)xy +2 xy 2 .

2. Dodatni zadatak.

Dokažite da je vrijednost izraza 313 * 299 – 313 2 djeljiv sa 7.

CSamostalni rad izvodi se na početku sata. Nakon završetka rada koristi se provjera ključa.

Dopisna škola 7. raz. Zadatak br. 2.

Metodički priručnik br.2.

Teme:

    Polinomi. Zbroj, razlika i umnožak polinoma;

    Rješavanje jednadžbi i zadataka;

    Rastavljanje polinoma na faktore;

    Formule skraćenog množenja;

    Problemi za samostalno rješavanje.

    Polinomi. Zbroj, razlika i umnožak polinoma.

Definicija. Polinom naziva se zbroj monoma.

Definicija. Monomi od kojih je polinom sastavljen nazivaju se članovi polinoma.

Množenje monoma polinomom .

    Da biste pomnožili monom s polinomom, trebate pomnožiti taj monom sa svakim članom polinoma i zbrojiti dobivene umnoške.

Množenje polinoma polinomom .

    Da biste pomnožili polinom s polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i zbrojiti dobivene umnoške.

Primjeri rješavanja problema:

    Pojednostavite izraz:

Riješenje.

Riješenje:

Budući da je, prema uvjetu, koeficijent pri onda mora biti jednak nuli

Odgovor: -1.

    Rješavanje jednadžbi i zadataka.

Definicija . Jednadžba koja sadrži varijablu naziva se jednadžba s jednom varijablom ili jednadžba s jednom nepoznatom.

Definicija . Korijen jednadžbe (rješenje jednadžbe) je vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje istinita.

Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje mnogo korijena.

Definicija. Jednadžba oblika
, Gdje x varijabla, a I b – neke brojeve nazivamo linearnim jednadžbama s jednom varijablom.

Definicija.

Gomila korijeni linearne jednadžbe mogu:


Primjeri rješavanja problema:

    Je li zadani broj 7 korijen jednadžbe:

Riješenje:

Dakle, x=7 je korijen jednadžbe.

Odgovor: Da.

    Riješite jednadžbe:

Riješenje:

Odgovor: -12

Odgovor: -0,4

    Od pristaništa prema gradu krenuo je brod brzinom 12 km/h, a pola sata kasnije u tom je smjeru krenuo parobrod brzinom 20 km/h. Kolika je udaljenost od pristaništa do grada ako je parobrod stigao u grad 1,5 sat prije broda?

Riješenje:

Označimo s x udaljenost od pristaništa do grada.

Ubrzati (km/h)

Vrijeme (h)

Put (km)

Čamac

Parobrod

Prema uvjetima zadatka, brod je proveo 2 sata više vremena od parobroda (jer je brod krenuo s pristaništa pola sata kasnije i stigao u grad 1,5 sat prije broda).

Kreirajmo i riješimo jednadžbu:

60 km – udaljenost od pristaništa do grada.

Odgovor: 60 km.

    Duljina pravokutnika smanjena je za 4 cm i dobiven je kvadrat čija je površina za 12 cm² manja od površine pravokutnika. Pronađite površinu pravokutnika.

Riješenje:

Neka je x stranica pravokutnika.

Duljina

Širina

Kvadrat

Pravokutnik

x(x-4)

Kvadrat

(x-4)(x-4)

Prema uvjetima problema, površina kvadrata je 12 cm² manja od površine pravokutnika.

Kreirajmo i riješimo jednadžbu:

7 cm je duljina pravokutnika.

(cm²) – površina pravokutnika.

Odgovor: 21 cm².

    Turisti su planiranu rutu prevalili u tri dana. Prvi dan su prešli 35% planirane rute, drugi dan 3 km više nego prvi dan, a treći dan preostalih 21 km. Koliko je duga ruta?

Riješenje:

Neka je x duljina cijele rute.

1 dan

2. dan

dan 3

Dužina puta

0,35x+3

Ukupna duljina staze bila je x km.

Dakle, kreiramo i rješavamo jednadžbu:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

70 km duljine cijele rute.

Odgovor: 70 km.

    Rastavljanje polinoma na faktore.

Definicija . Predstavljanje polinoma kao umnoška dvaju ili više polinoma naziva se faktorizacija.

    Izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada .

Primjer :

    Metoda grupiranja .

Grupiranje mora biti učinjeno tako da svaka grupa ima zajednički faktor; osim toga, nakon uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada u svakoj grupi, rezultirajući izrazi također moraju imati zajednički faktor.

Primjer :

    Formule skraćenog množenja.

    Umnožak razlike dvaju izraza i njihova zbroja jednak je razlici kvadrata tih izraza.

    Kvadrat zbroja dvaju izraza jednak je kvadratu prvog izraza plus dvostrukom umnošku prvog i drugog izraza, plus kvadratu drugog izraza. rješenja. 1. Nađi ostatak dijeljenja polinom x6 – 4x4 + x3 ... nema rješenja, A odluke drugi su parovi (1; 2) i (2; 1). Odgovor: (1; 2) , (2; 1). Zadaci Za nezavisna rješenja. Riješite sustav...

  • Okvirni nastavni plan i program za algebru i elementarnu analizu za razrede 10-11 (razina profila) Objašnjenje

    Program

    Svaki odlomak daje traženi iznos zadaci Za nezavisna rješenja prema rastućoj težini. ...algoritam dekompozicije polinom potencijama binoma; polinomi sa složenim koeficijentima; polinomi s valjanim...

  • Izborni kolegij “Rješavanje nestandardnih problema. 9. razred“ Završio profesor matematike

    Izborni predmet

    Jednadžba je ekvivalentna jednadžbi P(x) = Q(X), gdje su P(x) i Q(x) neki polinomi s jednom varijablom x. Prenos Q(x) na lijevu stranu... = . ODGOVOR: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. ZADACI ZA NEOVISNA RJEŠENJA. Riješite sljedeće jednadžbe: x4 – 8x...

  • Izborni program iz matematike za 8. razred

    Program

    Algebarski teorem, Vietin teorem Za kvadratni trinom i Za polinom proizvoljni stupanj, teorem o racionalnom... materijalu. Nije to samo popis zadaci Za nezavisna rješenja, ali i zadatak izrade razvojnog modela...

Definicija 3.3. Monom je izraz koji je umnožak brojeva, varijabli i potencija s prirodnim eksponentom.

Na primjer, svaki od izraza,
,
je monom.

Kažu da monom ima standardni prikaz , ako sadrži samo jedan numerički faktor na prvom mjestu, a svaki umnožak identičnih varijabli u njemu predstavljen je stupnjem. Numerički faktor monoma napisanog u standardnom obliku naziva se koeficijent monoma . Snagom monoma naziva se zbroj eksponenata svih njegovih varijabli.

Definicija 3.4. Polinom naziva zbroj monoma. Monomi od kojih je polinom sastavljen nazivaju sečlanovi polinoma .

Slični članovi – monomi u polinomu – nazivaju se slični članovi polinoma .

Definicija 3.5. Polinom standardnog oblika zove se polinom u kojem su svi članovi napisani u standardnom obliku i zadani su slični članovi.Stupanj polinoma standardnog oblika naziva se najveća od potencija monoma koji su u njoj uključeni.

Na primjer, je polinom standardnog oblika četvrtog stupnja.

Djelovanje na monome i polinome

Zbroj i razlika polinoma mogu se pretvoriti u polinom standardnog oblika. Pri zbrajanju dva polinoma zapisuju se svi njihovi članovi i zadaju slični članovi. Pri oduzimanju se mijenjaju predznaci svih članova polinoma koji se oduzima.

Na primjer:

Članovi polinoma mogu se podijeliti u skupine i staviti u zagrade. Budući da je ovo identična transformacija inverzna otvaranju zagrada, utvrđuje se sljedeće pravilo stavljanja u zagrade: ako se ispred zagrada stavlja znak plus, tada se svi pojmovi u zagradi pišu sa svojim predznakom; Ako se ispred zagrada stavi znak minus, tada se svi pojmovi u zagradi pišu sa suprotnim predznakom.

Na primjer,

Pravilo za množenje polinoma polinomom: Za množenje polinoma s polinomom dovoljno je pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i zbrojiti dobivene umnoške.

Na primjer,

Definicija 3.6. Polinom u jednoj varijabli stupnjeva naziva izraz forme

Gdje
- svi brojevi koji se pozivaju koeficijenti polinoma , i
,– nenegativan cijeli broj.

Ako
, zatim koeficijent nazvao vodeći koeficijent polinoma
, monom
- njegov stariji član , koeficijent – slobodan član .

Ako umjesto varijable na polinom
zamjenski realni broj , tada će rezultat biti realan broj
koji se zove vrijednost polinoma
na
.

Definicija 3.7. Broj nazvaokorijen polinoma
, Ako
.

Razmotrite dijeljenje polinoma polinomom, gdje je
I - cijeli brojevi. Dijeljenje je moguće ako je stupanj polinomske dividende
ne manji od stupnja polinoma djelitelja
, to je
.

Podijelite polinom
na polinom
,
, znači pronaći dva takva polinoma
I
, do

U ovom slučaju, polinom
stupnjeva
nazvao polinom-kvocijent ,
– Podsjetnik ,
.

Napomena 3.2. Ako je djelitelj
–nije nula polinom, onda dijeljenje
na
,
, uvijek je moguće, a kvocijent i ostatak su jednoznačno određeni.

Napomena 3.3. U slučaju
pred svima , to je

kažu da je to polinom
potpuno podijeljena(odnosno dionice)na polinom
.

Dijeljenje polinoma provodi se slično kao i dijeljenje višeznamenkastih brojeva: prvo se vodeći član polinoma djelitelja podijeli s vodećim članom polinoma djelitelja, zatim kvocijent od dijeljenja tih članova, koji će biti vodeći član polinoma kvocijenta, množi se s polinomom djelitelja i dobiveni umnožak oduzima se od polinoma djelitelja. Kao rezultat dobiva se polinom - prvi ostatak, koji se na sličan način dijeli polinomom djelitelja i nalazi se drugi član kvocijenta polinoma. Ovaj proces se nastavlja dok se ne dobije ostatak nula ili dok stupanj polinoma ostatka ne bude manji od stupnja polinoma djelitelja.

Kada dijelite polinom s binomom, možete koristiti Hornerovu shemu.

Hornerova shema

Pretpostavimo da želimo podijeliti polinom

binomom
. Označimo kvocijent dijeljenja kao polinom

a ostatak je . Značenje , koeficijenti polinoma
,
a ostatak Zapišimo ga u sljedećem obliku:

U ovoj shemi svaki od koeficijenata
,
,
, …,dobiven iz prethodnog broja u donjem retku množenjem s brojem i dodajući rezultatu odgovarajući broj u gornjem retku iznad željenog koeficijenta. Ako bilo koji stupanj nema u polinomu, tada je odgovarajući koeficijent nula. Nakon što smo odredili koeficijente prema danoj shemi, zapisujemo kvocijent

a rezultat dijeljenja ako
,

ili ,

Ako
,

Teorem 3.1. Da bi nesvodivi razlomak (

,

)bio korijen polinoma
kod cjelobrojnih koeficijenata potrebno je da broj bio djelitelj slobodnog člana , i broj - djelitelj vodećeg koeficijenta .

Teorem 3.2. (Bezoutov teorem ) Ostatak od dijeljenja polinoma
binomom
jednaka vrijednosti polinoma
na
, to je
.

Kod dijeljenja polinoma
binomom
imamo ravnopravnost

To vrijedi osobito kada
, to je
.

Primjer 3.2. Podijelite po
.

Riješenje. Primijenimo Hornerovu shemu:

Stoga,

Primjer 3.3. Podijelite po
.

Riješenje. Primijenimo Hornerovu shemu:

Stoga,

,

Primjer 3.4. Podijelite po
.

Riješenje.

Kao rezultat dobivamo

Primjer 3.5. Podijeliti
na
.

Riješenje. Podijelimo polinome po stupcima:

Onda dobivamo

.

Ponekad je korisno prikazati polinom kao jednak umnožak dva ili više polinoma. Takva se transformacija identiteta naziva rastavljanje polinoma na faktore . Razmotrimo glavne metode takve razgradnje.

Izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada. Kako biste faktorirali polinom izvlačenjem zajedničkog faktora iz zagrada, morate:

1) pronađite zajednički faktor. Da bi se to postiglo, ako su svi koeficijenti polinoma cijeli brojevi, najveći modulo zajednički djelitelj svih koeficijenata polinoma smatra se koeficijentom zajedničkog faktora, a svaka varijabla uključena u sve članove polinoma uzima se s najvećim eksponent koji ima u ovom polinomu;

2) pronaći kvocijent dijeljenja zadanog polinoma zajedničkim faktorom;

3) zapišite umnožak generalnog faktora i dobivenog kvocijenta.

Grupiranje članova. Prilikom rastavljanja polinoma metodom grupiranja njegovi se članovi dijele u dvije ili više skupina tako da se svaka od njih može pretvoriti u umnožak, a dobiveni umnošci imaju zajednički faktor. Nakon toga se koristi metoda stavljanja u zagrade zajedničkog faktora novotransformiranih članova.

Primjena formula za skraćeno množenje. U slučajevima kada polinom koji treba proširiti na faktore, ima oblik desne strane bilo koje skraćene formule množenja; njegovo faktoriziranje postiže se korištenjem odgovarajuće formule zapisane drugačijim redoslijedom.

Neka

, onda je istina sljedeće formule skraćenog množenja:

Za

:

Ako neparan (

):

Newtonov binom:

Gdje
– broj kombinacija od Po .

Uvođenje novih pomoćnih članova. Ova se metoda sastoji u zamjeni polinoma drugim polinomom koji mu je identično jednak, ali sadrži različiti broj članova, uvođenjem dva suprotna člana ili zamjenom bilo kojeg člana identično jednakim zbrojem sličnih monoma. Zamjena se vrši na način da se na dobiveni polinom može primijeniti metoda grupiranja članova.

Primjer 3.6..

Riješenje. Svi članovi polinoma sadrže zajednički faktor
. Stoga,.

Odgovor: .

Primjer 3.7.

Riješenje. Posebno grupiramo članove koji sadrže koeficijent , i pojmovi koji sadrže . Uzimajući zajedničke faktore grupa iz zagrada, dobivamo:

.

Odgovor:
.

Primjer 3.8. Faktoriziraj polinom
.

Riješenje. Koristeći odgovarajuću formulu skraćenog množenja, dobivamo:

Odgovor: .

Primjer 3.9. Faktoriziraj polinom
.

Riješenje. Koristeći metodu grupiranja i odgovarajuću formulu skraćenog množenja, dobivamo:

.

Odgovor: .

Primjer 3.10. Faktoriziraj polinom
.

Riješenje. Mi ćemo zamijeniti na
, grupirati članove, primijeniti skraćene formule množenja:

.

Odgovor:
.

Primjer 3.11. Faktoriziraj polinom

Riješenje. jer,
,
, To

U ovom dijelu Algebre 7. razred možete proučavati školske lekcije na temu “Polinomi. Aritmetičke operacije nad polinomima."

Edukativne video lekcije o algebri 7. razred “Polinomi. Aritmetičke operacije na polinomima" predaje Valentin Aleksejevič Tarasov, učitelj škole Logos LV. Također možete proučavati druge teme iz algebre

Stupanj kao poseban slučaj polinoma

U ovoj lekciji raspravljat će se o osnovnim pojmovima i definicijama, pripremit će se osnova za proučavanje složene i obimne teme, naime: prisjetit ćemo se teorijskog gradiva o stupnjevima – definicije, svojstva, teoremi, te riješiti nekoliko primjera za učvršćivanje tehnike .

Svođenje polinoma na standardni oblik. Tipični zadaci

U ovoj lekciji prisjetit ćemo se osnovnih definicija ove teme i razmotriti neke tipične probleme, naime svođenje polinoma na standardni oblik i izračunavanje numeričke vrijednosti za zadane vrijednosti varijabli. Riješit ćemo nekoliko primjera u kojima će se svođenjem na standardni oblik rješavati različiti tipovi problema.

Zbrajanje i oduzimanje polinoma. Tipični zadaci

U ovoj lekciji proučavat će se operacije zbrajanja i oduzimanja polinoma te će se formulirati pravila za zbrajanje i oduzimanje. Razmatraju se primjeri i rješavaju neki tipični zadaci i jednadžbe te se učvršćuju vještine izvođenja tih operacija.

Množenje polinoma monomom. Tipični zadaci

U ovoj lekciji proučavat ćemo operaciju množenja polinoma monomom, što je osnova za proučavanje množenja polinoma. Prisjetimo se distribucijskog zakona množenja i formuliramo pravilo za množenje bilo kojeg polinoma monomom. Prisjetimo se i nekih svojstava stupnjeva. Osim toga, tipične pogreške bit će formulirane pri izvođenju različitih primjera.

Množenje binoma. Tipični zadaci

U ovoj lekciji upoznat ćemo se s operacijom množenja najjednostavnijih polinoma – binoma, te formulirati pravilo za njihovo množenje. Izvedimo neke formule za skraćeno množenje pomoću ove operacije. Osim toga, riješit ćemo velik broj primjera i tipičnih problema, odnosno problem pojednostavljenja izraza, računski problem i jednadžbe.

Množenje trinoma. Tipični zadaci

U ovoj lekciji ćemo pogledati operaciju množenja trinoma, izvesti pravilo za množenje trinoma i, zapravo, formulirati pravilo za množenje polinoma općenito. Riješimo nekoliko primjera vezanih uz ovu temu kako bismo detaljnije prešli na množenje polinoma.

Množenje polinoma polinomom

U ovoj lekciji prisjetit ćemo se svega što smo već naučili o množenju polinoma, sažeti neke rezultate i formulirati opće pravilo. Nakon ovoga, izvest ćemo niz primjera kako bismo učvrstili tehniku ​​množenja polinoma.

Množenje polinoma u tekstualnim zadacima

U ovoj lekciji prisjetit ćemo se metode matematičkog modeliranja i uz pomoć nje rješavati probleme. Naučit ćemo iz uvjeta tekstualnog zadatka sastavljati polinome i izraze s njima te rješavati te zadatke, što znači primijeniti stečena znanja o polinomima u složenijim vrstama rada.

Množenje polinoma u problemima s geometrijskim elementima

U ovoj lekciji naučit ćemo rješavati tekstualne zadatke s elementima geometrije metodom matematičkog modeliranja. Da biste to učinili, prvo se prisjetite osnovnih geometrijskih činjenica i faza rješavanja problema.

Formule skraćenog množenja. Kvadrat zbroja i kvadrat razlike

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s formulama za kvadrat zbroja i kvadrat razlike te ih izvesti. Dokažimo geometrijski formulu za kvadrat zbroja. Osim toga, pomoću ovih formula riješit ćemo mnogo različitih primjera.

Formule skraćenog množenja. Razlika kvadrata

U ovoj lekciji prisjetit ćemo se formula za skraćeno množenje koje smo ranije naučili, odnosno kvadrata zbroja i kvadrata razlike. Izvedimo formulu za razliku kvadrata i riješimo mnogo različitih tipičnih problema pomoću te formule. Osim toga, rješavat ćemo probleme koji uključuju složenu primjenu nekoliko formula.

Formule skraćenog množenja. Razlika kubova i zbroj kubova

U ovoj lekciji nastavit ćemo proučavati formule skraćenog množenja, naime, pogledat ćemo formule razlike i zbroja kubova. Osim toga, pomoću ovih formula rješavat ćemo razne tipične probleme.

Zajedničko korištenje formula za skraćeno množenje

Ova video lekcija bit će korisna svima onima koji žele samostalno proučavati temu "Kombinirana primjena skraćenih formula množenja." Ovim video predavanjem moći ćete sažeti, produbiti i sistematizirati znanje stečeno na prethodnim lekcijama. Učiteljica će vas naučiti kako zajedno koristiti formule za skraćeno množenje.

Formule za skraćeno množenje u zadacima povećane složenosti. 1. dio

U ovoj lekciji primijenit ćemo svoje znanje o polinomima i skraćenim formulama množenja za rješavanje prilično složenog geometrijskog problema. To će nam omogućiti da ojačamo svoje vještine u radu s polinomima.

Formule za skraćeno množenje u zadacima povećane složenosti. 2. dio

U ovoj lekciji ćemo pogledati komplicirane probleme koristeći skraćene formule množenja i izvesti mnogo različitih primjera kako bismo učvrstili tehniku.

Geometrijski zadatak na paralelopipedu korištenjem formule za skraćeno množenje

U ovoj video lekciji svatko će moći proučiti temu "Geometrijski problem na paralelopipedu pomoću formule za skraćeno množenje." U ovoj aktivnosti učenici će vježbati korištenje formule za skraćeno množenje paralelopipeda. Konkretno, nastavnik će dati geometrijski zadatak o paralelopipedu, koji se mora rastaviti i riješiti.

Dijeljenje polinoma monomom

U ovoj lekciji prisjetit ćemo se pravila dijeljenja monoma s monomom i formulirati osnovne činjenice koje ga podupiru. Dodajmo neke teorijske informacije onome što je već poznato i izvedimo pravilo za dijeljenje polinoma monomom. Nakon toga ćemo izvesti nekoliko primjera različite složenosti kako bismo svladali tehniku ​​dijeljenja polinoma monomom.

Ciljevi: generalizacija i učvršćivanje pređenog gradiva: ponoviti pojam polinoma, pravilo množenja polinoma polinomom i to pravilo učvrstiti tijekom probnog rada, učvrstiti vještine rješavanja jednadžbi i zadataka pomoću jednadžbi.

Oprema: plakat “Tko od malih nogu radi i misli svojom glavom, kasnije postaje pouzdaniji, jači, pametniji” (V. Shukshin). Grafoskop, magnetna ploča, križaljka, ispitne kartice.

Plan učenja.

1. Organizacijski trenutak.
2. Provjera domaće zadaće.
3. Usmene vježbe (križaljka).
4. Rješavanje vježbi na temu.
5. Test na temu: "Polinomi i operacije na njima" (4 opcije).
6. Sažetak lekcije.
7. Domaća zadaća.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak

Učenici u razredu podijeljeni su u grupe od 4-5 osoba, odabire se najstariji u grupi.

II. Provjera domaće zadaće.

Učenici kod kuće pripremaju zadaću na kartici. Svaki učenik provjerava svoj rad na grafoskopu. Nastavnik nudi da student sam ocijeni domaću zadaću i stavlja ocjenu na izvješće, navodeći kriterij ocjenjivanja: "5" ─ zadatak je izvršen točno i samostalno; “4” ─ zadatak je izvršen točno i u potpunosti, ali uz pomoć roditelja ili učenika iz razreda; “3” ─ u svim ostalim slučajevima, ako je zadatak izvršen. Ako zadatak nije dovršen, možete staviti crticu.

III. Usmene vježbe.

1) Za ponavljanje teorijskih pitanja učenicima se nudi križaljka. Križaljku usmeno rješava skupina, a odgovore daju učenici iz različitih skupina. Dajemo ocjene: “5” ─ 7 točnih riječi, “4” ─ 5,6 točnih riječi, “3” ─ 4 točne riječi.

Pitanja za križaljku: (vidi Prilog 1)

  1. Svojstvo množenja koje se koristi pri množenju monoma polinomom;
  2. metoda rastavljanja polinoma na faktore;
  3. jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijable;
  4. izraz koji predstavlja zbroj monoma;
  5. pojmovi koji imaju isti slovni dio;
  6. vrijednost varijable pri kojoj se jednadžba pretvara u pravu jednakost;
  7. numerički faktor monoma.

2) Slijedite ove korake:

3. Ako se duljina pravokutnika smanji za 4 cm, a njegova širina poveća za 7 cm, tada ćete dobiti kvadrat čija će površina biti 100 cm 2 veća od površine pravokutnika. Odredite stranicu kvadrata. (Stranica kvadrata je 24 cm).

Učenici rješavaju zadatke u skupinama, raspravljajući i pomažući jedni drugima. Kada skupine izvrše zadatak, provjeravaju se prema rješenjima napisanima na ploči. Nakon provjere dodjeljuju se ocjene: za ovaj rad studenti dobivaju dvije ocjene: samostalnu i grupnu ocjenu. Kriterij ocjenjivanja: “5” ─ sve je točno riješio i pomogao drugovima, “4” ─ napravio je greške pri rješavanju, ali ih je ispravio uz pomoć drugova, “3” ─ zanimalo se za rješenje i sve je riješio uz pomoć kolege.

V. Probni rad.

Opcija I

1. Predstavite u standardnom obliku polinom 3a – 5a∙a – 5 + 2a 2 – 5a +3.

3. Nađi razliku polinoma 2x 2 – x + 2 i ─ 3x 2 ─2x + 1.

5. Predstavite izraz kao polinom: 2 – (3a – 1)(a + 5).

Opcija II

1. Predstavite u standardnom obliku polinom 5x 2 – 5 + 4x ─ 3x∙x + 2 – 2x.

3. Nađi razliku polinoma 4y 2 – 2y + 3 i - 2y 2 + 3y +2.

5. Riješite jednadžbu: ─3x 2 + 5x = 0.

1) x =
3) x = 0 i x = ─

2) x = 0 i x =
4) x = 0

6. Prisutno kao proizvod: 5a 3 – 3a 2 – 10a + 6.

Opcija III

1. Odredite vrijednost polinoma ─ 6a 2 – 5ab + b 2 – (─3a 2 – 5ab + b 2) s a = ─, b=─3.


1)

2. Pojednostavite izraz: ─8x – (5x – (3x – 7)).

4. Množenje: ─3x∙(─ 2x 2 + x – 3)

6. Predstavite kao umnožak: 3x 3 – 2x 2 – 6x + 4.

1) (x 2 + 2) (3x + 2)
3) (x 2 + 2) (3x – 2)

2) (x 2 – 2) (3x + 2)
4) (x 2 – 2) (3x – 2)

7. Predstavite izraz kao umnožak: a(x – y) ─2b(y – x)

1) (x – y)(a ─ 2b)
3) (x – y)(a + 2b)

2) (y – x)(a ─ 2b)
4) (y – x)(a + 2)

IV opcija

1. Odredite vrijednost polinoma ─ 8a 2 – 2ax – x 2 – (─4a 2 – 2ax – x 2) s a= ─, x= ─ 2.

2. Pojednostavite izraz: ─ 5a – (2a – (3a – 5)).

4. Izvršite množenje: ─4a ∙ (─5a 2 + 2a – 1).

6. Izrazite to kao polinom: (3x – 2)(─x 2 + x – 4).

1) ─3x 3 + 5x 2 – 10x – 8
3) ─3x 3 + 3x 2 – 14x + 8

2) ─3x 3 + 3x 2 – 12x
4) ─3x 3 + 5x 2 – 14x + 8

7. Predstavite izraz kao umnožak: 2c(b – a) – d(a – b)

1) (a – b) (2c – d)
3) (b – a) (2c – d)

2) (b – a) (2c + d)
4) (a – b) (2c + d)

posao br.

Opcija br.

VI. Sažetak lekcije

Tijekom nastave svaki učenik dobiva nekoliko ocjena. Učenik sam procjenjuje svoje znanje uspoređujući ga sa znanjem drugih. Grupna evaluacija je učinkovitija jer o evaluaciji raspravljaju svi članovi grupe. Dečki ističu nedostatke i nedostatke u radu članova grupe. Sve ocjene u radnu knjižicu upisuje voditelj skupine.

Učitelj daje konačnu ocjenu, saopštavajući je cijelom razredu.

VII. Domaća zadaća:

1. Slijedite ove korake:

a) (a 2 + 3ab─b 2)(2a – b);
b) (x 2 + 2xy – 5y 2)(2x 2 – 3y).

2. Riješite jednadžbu:

a) (3x – 1)(2x + 7) ─ (x + 1)(6x – 5) = 16;
b) (x – 4)(2x2 – 3x + 5) + (x2 – 5x + 4)(1 – 2x) = 20.

3. Ako se jedna strana kvadrata smanji za 1,2 m, a druga za 1,5 m, tada će površina dobivenog pravokutnika biti 14,4 m 2 manja od površine zadanog kvadrata. Odredite stranicu kvadrata.