Spécification des chiffres sur le plan de coordonnées par des équations et des inégalités. Définir des figures sur le plan de coordonnées avec des équations et des inégalités Comment représenter un ensemble sur le plan de coordonnées

Il est souvent nécessaire de représenter sur le plan des coordonnées l'ensemble des solutions d'une inégalité à deux variables. Une solution à une inégalité à deux variables est un couple de valeurs de ces variables qui transforme l'inégalité donnée en une véritable inégalité numérique.

2 ans+ Zx< 6.

Traçons d'abord une ligne droite. Pour ce faire, on écrit l'inégalité sous la forme d'une équation 2 ans+ Zx = 6 et exprimer y. Ainsi, nous obtenons : y=(6-3x)/2.

Cette ligne divise l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées en points au-dessus et en points en dessous.

Prenez un mème de chaque zone point de contrôle, par exemple A (1 ; 1) et B (1 ; 3)

Les coordonnées du point A satisfont l'inégalité donnée 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Coordonnées du point B ne pas satisfaire cette inégalité 2∙3 + 3∙1< 6.

Comme cette inégalité peut changer de signe sur la droite 2y + Zx = 6, alors l'inégalité satisfait l'ensemble des points de la zone où se trouve le point A. Colorons cette zone.

Ainsi, nous avons représenté l'ensemble des solutions de l'inégalité 2 ans + Zx< 6.

Exemple

Nous représentons l'ensemble des solutions à l'inégalité x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 sur le plan des coordonnées.

Tout d'abord, nous construisons un graphique de l'équation x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Nous divisons l'équation du cercle dans cette équation: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4, ou (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

C'est l'équation d'un cercle centré au point 0 (-1; 2) et de rayon R = 2. Construisons ce cercle.

Puisque cette inégalité est stricte et que les points situés sur le cercle lui-même ne satisfont pas l'inégalité, nous construisons le cercle avec une ligne pointillée.

Il est facile de vérifier que les coordonnées du centre O du cercle ne vérifient pas cette inégalité. L'expression x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 change de signe sur le cercle construit. Alors l'inégalité est satisfaite par les points situés à l'extérieur du cercle. Ces points sont grisés.

Exemple

Représentons sur le plan de coordonnées l'ensemble des solutions de l'inégalité

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Tout d'abord, nous construisons un graphique de l'équation (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. C'est une parabole y \u003d x 2 et une droite y \u003d x + 3. Nous construisons ces lignes et notez que le changement de signe de l'expression (y - x 2) (y - x - 3) se produit uniquement sur ces lignes. Pour le point A (0; 5), on détermine le signe de cette expression : (5-3) > 0 (c'est-à-dire que cette inégalité n'est pas satisfaite). Il est maintenant facile de marquer l'ensemble des points pour lesquels cette inégalité est satisfaite (ces zones sont grisées).

Algorithme de résolution des inégalités à deux variables

1. On réduit l'inégalité à la forme f (x; y)< 0 (f (х; у) >0 ; f (x; y) ≤ 0 ; f (x; y) ≥ 0;)

2. On écrit l'égalité f (x; y) = 0

3. Reconnaître les graphiques enregistrés sur le côté gauche.

4. Nous construisons ces graphiques. Si l'inégalité est stricte (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), puis - avec des traits, si l'inégalité n'est pas stricte (f (x; y) ≤ 0 ou f (x; y) ≥ 0), alors - avec un trait plein.

5. Déterminez combien de parties des graphiques sont divisées dans le plan de coordonnées

6. Choisissez dans l'une de ces parties point de contrôle. Déterminer le signe de l'expression f (x; y)

7. Nous organisons des signes dans d'autres parties de l'avion, en tenant compte de l'alternance (comme par la méthode des intervalles)

8. Nous sélectionnons les parties dont nous avons besoin en fonction du signe de l'inégalité que nous résolvons et appliquons des hachures

Laisser donné équation à deux variables F(x; y). Vous avez déjà appris à résoudre analytiquement de telles équations. L'ensemble des solutions de telles équations peut également être représenté sous la forme d'un graphe.

Le graphe de l'équation F(x; y) est l'ensemble des points du plan de coordonnées xOy dont les coordonnées satisfont l'équation.

Pour tracer une équation à deux variables, exprimez d'abord la variable y en fonction de la variable x dans l'équation.

Vous savez sûrement déjà comment construire divers graphiques d'équations à deux variables: ax + b \u003d c est une droite, yx \u003d k est une hyperbole, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 est un cercle dont le rayon est R et dont le centre est au point O(a; b).

Exemple 1

Tracez l'équation x 2 - 9y 2 = 0.

La solution.

Factorisons le côté gauche de l'équation.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, soit y = x/3 ou y = -x/3.

Réponse : figure 1.

Une place particulière est occupée par l'attribution des chiffres sur le plan par des équations contenant le signe de la valeur absolue, sur lesquelles nous nous attarderons en détail. Considérons les étapes de traçage des équations de la forme |y| = f(x) et |y| = |f(x)|.

La première équation est équivalente au système

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ou y = -f(x).

Autrement dit, son graphe est constitué de graphes de deux fonctions : y = f(x) et y = -f(x), où f(x) ≥ 0.

Pour tracer le graphique de la deuxième équation, les graphiques de deux fonctions sont tracés : y = f(x) et y = -f(x).

Exemple 2

Tracez l'équation |y| = 2 + x.

La solution.

L'équation donnée est équivalente au système

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 ou y = -x - 2.

Nous construisons un ensemble de points.

Réponse : figure 2.

Exemple 3

Tracez l'équation |y – x| = 1.

La solution.

Si y ≥ x, alors y = x + 1, si y ≤ x, alors y = x - 1.

Réponse : figure 3.

Lors de la construction de graphiques d'équations contenant une variable sous le signe du module, il est pratique et rationnel d'utiliser méthode des aires, basé sur la division du plan de coordonnées en parties dans lesquelles chaque expression de sous-module conserve son signe.

Exemple 4

Tracez l'équation x + |x| + y + |y| = 2.

La solution.

Dans cet exemple, le signe de chaque expression de sous-module dépend du quadrant de coordonnées.

1) Dans le premier quart de coordonnées x ≥ 0 et y ≥ 0. Après avoir développé le module, l'équation donnée ressemblera à :

2x + 2y = 2, et après simplification x + y = 1.

2) Au deuxième trimestre, où x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Au troisième trimestre x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Au quatrième trimestre, pour x ≥ 0 et y< 0 получим, что x = 1.

Nous tracerons cette équation en quarts.

Réponse : figure 4.

Exemple 5

Dessinez un ensemble de points dont les coordonnées vérifient l'égalité |x – 1| + |y – 1| = 1.

La solution.

Les zéros des expressions de sous-module x = 1 et y = 1 divisent le plan de coordonnées en quatre régions. Décomposons les modules par région. Mettons cela sous la forme d'un tableau.

Région
Signe d'expression de sous-module
L'équation résultante après avoir développé le module
je x ≥ 1 et y ≥ 1 x + y = 3
II X< 1 и y ≥ 1 -x+y=1
III X< 1 и y < 1 x + y = 1
IV x ≥ 1 et y< 1 x-y = 1

Réponse : figure 5.

Sur le plan de coordonnées, les chiffres peuvent être spécifiés et inégalités.

Graphique d'inégalitéà deux variables est l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées dont les coordonnées sont solutions de cette inégalité.

Envisager algorithme de construction d'un modèle de résolution d'une inéquation à deux variables:

  1. Écrivez l'équation correspondant à l'inégalité.
  2. Tracez l'équation de l'étape 1.
  3. Choisissez un point arbitraire dans l'un des demi-plans. Vérifiez si les coordonnées du point sélectionné satisfont l'inégalité donnée.
  4. Dessinez graphiquement l'ensemble de toutes les solutions de l'inégalité.

Considérons tout d'abord l'inégalité ax + bx + c > 0. L'équation ax + bx + c = 0 définit une droite divisant le plan en deux demi-plans. Dans chacun d'eux, la fonction f(x) = ax + bx + c préserve le signe. Pour déterminer ce signe, il suffit de prendre n'importe quel point appartenant au demi-plan et de calculer la valeur de la fonction en ce point. Si le signe de la fonction coïncide avec le signe de l'inégalité, alors ce demi-plan sera la solution de l'inégalité.

Considérons des exemples de solutions graphiques aux inégalités les plus courantes à deux variables.

1) ax + bx + c ≥ 0. Figure 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Figure 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figure 8.

4) y ≥ x2. Figure 9

5) xy ≤ 1. Figure 10.

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Appelons (x, y) paire ordonnée, et X et à sont les composants de ce couple. En même temps, ils considèrent que (X 1 à 1 ) = (x 2 .y 2 ), si x 1 = x 2 et à 1 = à 2 .

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Définition 9. Le produit cartésien des ensembles A et B est appelé l'ensemble AB, dont les éléments sont tous des couples (x, y) tels que xAh, tuB, c'est-à-dire MAISB \u003d ((x, y) / xAh, tuÀ).

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Trouver, par exemple, le produit cartésien des ensembles A = (1,3} et B = (2,4,6).

MAISÀ= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

L'opération par laquelle un produit cartésien est trouvé est appelée multiplication cartésienne d'ensembles.

La multiplication cartésienne des ensembles n'a ni la propriété de commutativité ni la propriété d'associativité, mais est associée aux opérations d'union et de soustraction d'ensembles par des propriétés distributives :

pour tous les ensembles A, B, C les égalités ont lieu :

(MAISÀ)C = (UnDE)(ÀDE),

(UN B)DE= (MAISC)\(BDE).

Pour une représentation visuelle du produit cartésien d'ensembles numériques, un système de coordonnées rectangulaires est souvent utilisé.

Laisser MAIS et À - ensembles de nombres. Alors les éléments du produit cartésien de ces ensembles seront des paires ordonnées de nombres. En représentant chaque paire de nombres comme un point sur le plan de coordonnées, nous obtenons une figure qui représentera visuellement le produit cartésien des ensembles MAIS et À.

Représentons sur le plan de coordonnées le produit cartésien d'ensembles MAIS et À, si:

un) UN = {2, 6}; B ={1,4}, b) UNE = (2,6}; À= , dans) A = ;B =.

Dans le cas a) ces ensembles sont finis et il est possible d'énumérer les éléments du produit cartésien.

MAISB ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. On construit les axes de coordonnées et sur les axes OH marquer les éléments de l'ensemble MAIS, et sur l'axe OU - définir des éléments À. Ensuite, nous représentons chaque paire de nombres dans l'ensemble АВ sous forme de points sur le plan de coordonnées (Fig. 7). La figure résultante de quatre points représentera visuellement le produit cartésien de ces ensembles MAIS et À.

Dans le cas b), il est impossible d'énumérer tous les éléments du produit cartésien d'ensembles, car beaucoup de À- infini, mais vous pouvez imaginer le processus de formation de ce produit cartésien : dans chaque paire, la première composante ou 2 , ou 6 , et la deuxième composante est un nombre réel de l'intervalle .

Toutes les paires dont la première composante est un nombre 2 , et le second exécute la valeur de 1 avant de 4 inclus, sont représentés par des points de segment DAKOTA DU SUD, et les paires dont la première composante est un nombre 6 , et le second est n'importe quel nombre réel de l'intervalle , – points de segment RS (Fig. 8). Ainsi, dans le cas b) le produit cartésien d'ensembles MAIS et À sur le plan de coordonnées est représenté comme un segment Dakota du Sud et RS.

Riz. 7 Fig. 8 Fig. 9

Le cas c) diffère du cas b) en ce qu'ici non seulement l'ensemble À, mais aussi beaucoup MAIS, c'est pourquoi, la première composante des paires appartenant à l'ensemble MAISÀ, est un nombre quelconque de l'intervalle . Points représentant des éléments du produit cartésien d'ensembles MAIS et À, former un carré SVUL (Fig. 9). Pour souligner que les éléments du produit cartésien sont représentés par les points du carré, celui-ci peut être ombré.

question test

    Montrer que la résolution des problèmes suivants conduit à la formation d'un produit cartésien d'ensembles :

a) Écris toutes les fractions dont le numérateur est un nombre de l'ensemble Un ={3, 4} , et le dénominateur est un nombre de l'ensemble B = (5,6, 7}.

b) Écris différents nombres à deux chiffres en utilisant des nombres 1, 2, 3, 4.

    Prouver que pour tous les ensembles A, B, C juste égalité (MAISÀ)С = (MAISDE)(ÀDE). Illustrer sa satisfaisabilité pour les ensembles MAIS= {2, 4, 6}, B=(1,3, 5), C = (0, 1).

    Quelle forme les points forment-ils sur le plan de coordonnées si leurs coordonnées sont des éléments du produit cartésien d'ensembles MAIS= (– 3, 3) et À= R

    Déterminer le produit cartésien dont les ensembles MAIS et À illustré à la figure 10.

Riz. Dix

Des exercices

112. Notez tous les nombres à deux chiffres dont les chiffres des dizaines appartiennent à l'ensemble MAIS= {1, 3, 5} , et les chiffres des unités - à l'ensemble B = (2,4,6).

113. Écrivez toutes les fractions dont les numérateurs sont choisis dans l'ensemble A=(3,5, 7}, et le dénominateur est de l'ensemble B={4, 6, 8}.

114. Tout écrire fractions propres, dont les numérateurs sont choisis dans l'ensemble Un =(3, 5,7), et le dénominateur provient de l'ensemble B= (4, 6,8}.

115. Les ensembles sont donnés P ={1, 2, 3}, K \u003d (un,b}. Trouver tous les produits cartésiens des ensembles RÀ et KR

116. Il est connu que MAISÀ= ((1, 2); (3, 2); (1, 4);(3, 4); (1, 6); (3, 6)). Déterminez de quels éléments les ensembles sont composés MAIS et À.

117. Ensembles d'écriture (MAISÀ)DE et MAIS(ÀDE) transférer vapeur , si MAIS=(un,b}, B = {3}, C={4, 6}

118. Faire des ensembles MAISB, BMAIS, si:

un )A = (une,b,s),B=(ré},

b) UN = { un, b}, B = ,

dans) Un \u003d (t, p,k), B = UNE,

G) UN = { X, y, z}, B = { k, n}

119. On sait que MAISB = ((2.3), (2.5), (2.6), (3.3), (3.5), (3.6)). Déterminez de quels éléments les ensembles sont composés MAIS et À.

120. Trouver le produit cartésien des ensembles Un = {5, 9, 4} et À= {7, 8, 6} et sélectionnez-y un sous-ensemble de paires dans lequel :

a) la première composante est supérieure à la seconde ; b) la première composante est 5 ; c) la deuxième composante est 7.

121. Lister les éléments qui appartiennent au produit cartésien d'ensembles UN B et DE, si:

un) A = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, DE= {1, 0};

b) A = B= DE= {2, 3};

dans) MAIS= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, C =

122. Dessinez sur le plan de coordonnées les éléments du produit cartésien d'ensembles A et B si:

un) Un \u003d (x / x N,2 < X< 4}, À= (x/x N, x< 3};

b) Un \u003d (x / x R, 2 < х < 4}, В = {х/х N, x< 3};

dans) MAIS= ; À= .

123. Tous les éléments du produit cartésien de deux ensembles UN et B sont représentés sous forme de points dans un système de coordonnées rectangulaires. Ensembles d'écriture UN et À(Fig. 11).

Riz. 13

124. Dessinez sur le plan de coordonnées les éléments du produit cartésien des ensembles X et Y si :

un) å=(–1.0, 1.2),Oui={2, 3,4};

b) å=(–1.0, 1.2),Oui=;

dans) å = [–1;2],Oui = {2, 3, 4};

G) X= , Oui = ;

e) X = [–3; 2], Oui = ;

et) X = ]–3;2[, Oui= R;

h) X=(2),Oui= R;

et) X=R, Oui = {–3}.

125. Les chiffres indiqués dans la fig. 14 sont le résultat de l'image sur le plan de coordonnées du produit cartésien des ensembles X et Y. Précisez ces ensembles pour chaque figure.

Riz. Quatorze

126. Découvrez quel produit cartésien dont deux ensembles est représenté sur le plan de coordonnées comme un demi-plan. Considérez tous les cas.

127. Définissez le produit cartésien dont deux ensembles sont représentés sur le plan de coordonnées sous la forme d'un angle droit, qui se forme lorsque les axes de coordonnées se croisent.

128. Sur le plan de coordonnées, construisez une ligne parallèle à l'axe OH et passant par le point R(–2, 3).

129. Sur le plan de coordonnées, tracez une ligne parallèle à l'axe OOui et passant par le point R(–2, 3). Déterminez le produit cartésien dont deux ensembles sont représentés sur le plan de coordonnées par cette droite.

130. Sur le plan de coordonnées, construisez une bande délimitée par des droites passant par des points (–2, 0) et (2, 0) et parallèle à l'axe OOui. Décrivez l'ensemble des points appartenant à cette bande.

131. Construire un rectangle sur le plan de coordonnées dont les sommets sont des points MAIS(–3, 5), À(–3, 8), DE(7, 5), ré (7, 8). Décrivez l'ensemble des points dans ce rectangle.

132. Construire sur le plan de coordonnées un ensemble de points dont les coordonnées satisfont la condition :

un) X R, y= 5;

b) X= –3, à R;

dans) XR, |y| = 2 ;

G) | X| = 3, à R;

e) X R, y≥ 4;

e) X R, y 4;

et) XR, |y| 4;

h) | X| 4, |y| 3 ;

et) |x| ≥1, |y| ≥ 4 ;

à) |x| ≥ 2, y R.

133. Dessinez les éléments du produit cartésien d'ensembles sur le plan de coordonnées X et Oui, si:

un) X = R, Oui = {3}; b) X = R, Oui = [–3; 3]; dans) X = .

134. Sur le plan de coordonnées, construisez une figure F si

un) F= ((x, y)| x = 2, y R}

b) F= ((x,y) |X R, y = –3);

dans) F= ((x, y) | x2, tu R};

G) F= ((x, y) | xÀ,y≥ – 3};

e) F= ((x, y) | |x| = 2, y R};

e) F=((x,y) |x R, |y| = 3).

135. Construire un rectangle avec des sommets aux points (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Spécifiez la propriété caractéristique des points appartenant à ce rectangle.

136. Sur le plan de coordonnées, construisez des droites parallèles à l'axe OX et passant par les points (2, 3) et (2, -1). Définissez le produit cartésien dont deux ensembles sont affichés sur le plan de coordonnées sous la forme d'une bande comprise entre les lignes construites.

137. Sur le plan de coordonnées, tracez des droites parallèles à l'axe OY et passant par les points (2, 3) et (–2, 3). Définissez le produit cartésien dont deux ensembles sont affichés sur le plan de coordonnées sous la forme d'une bande comprise entre les lignes construites.

138. Dessiner un ensemble dans un système de coordonnées rectangulaires XOui, si:

un) X = R; Oui ={ yà R, |à| < 3},

b) X= {X/ X R, |X| > 2}; Oui= (a/a R, |à| > 4}.

Pour ce chapitre, l'étudiant doit être capable de :

Définir les ensembles de différentes manières ;

Établir des relations entre des ensembles et les représenter à l'aide de diagrammes d'Euler-Venn ;

Démontrer l'égalité de deux ensembles ;

Effectuer des opérations sur des ensembles et les illustrer géométriquement à l'aide de diagrammes d'Euler-Venn;

Divisez l'ensemble en classes à l'aide d'une ou plusieurs propriétés ; évaluer l'exactitude de la classification effectuée.