Graphiques de fonction de puissance de toutes les puissances différentes. Fonction puissance, ses propriétés et son graphique Matériel de démonstration Leçon-conférence Concept de fonction
Connaissez-vous les fonctionnalités y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x etc. Toutes ces fonctions sont des cas particuliers de la fonction puissance, c'est-à-dire la fonction y=xp, où p est un nombre réel donné.
Les propriétés et le graphe d'une fonction puissance dépendent essentiellement des propriétés d'une puissance à exposant réel, et notamment des valeurs pour lesquelles X et p logique X p. Procédons à un examen similaire de divers cas, selon
exposant p.
- Indice p=2n est un nombre naturel pair.
Propriétés:
- le domaine de définition est tous les nombres réels, c'est-à-dire l'ensemble R ;
- ensemble de valeurs - nombres non négatifs, c'est-à-dire y est supérieur ou égal à 0;
- fonction y=x2n même, parce que x2n=(- x) 2n
- la fonction est décroissante sur l'intervalle X<0 et croissante sur l'intervalle x>0.
2. Indicateur p=2n-1- nombre naturel impair
Dans ce cas, la fonction puissance y=x 2n-1, où est un nombre naturel, a les propriétés suivantes :
- domaine de définition - ensemble R ;
- ensemble de valeurs - ensemble R;
- fonction y=x 2n-1étrange parce que (- x) 2n-1=x 2n-1 ;
- la fonction est croissante sur tout l'axe réel.
3.Indicateur p=-2n, où n- entier naturel.
Dans ce cas, la fonction puissance y=x -2n=1/x2n a les propriétés suivantes :
- domaine de définition - ensemble R, sauf pour x=0 ;
- ensemble de valeurs - nombres positifs y>0 ;
- fonction y =1/x2n même, parce que 1/(-x) 2n=1/x2n;
- la fonction est croissante sur l'intervalle x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Leçon et présentation sur le thème : "Fonctions de puissance. Propriétés. Graphes"
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Fonctions puissance, domaine de définition.
Les gars, dans la dernière leçon, nous avons appris à travailler avec des nombres avec un exposant rationnel. Dans cette leçon, nous allons considérer des fonctions puissances et nous limiter au cas où l'exposant est rationnel.Nous allons considérer des fonctions de la forme : $y=x^(\frac(m)(n))$.
Considérons d'abord les fonctions dont l'exposant est $\frac(m)(n)>1$.
Donnons-nous une fonction spécifique $y=x^2*5$.
D'après la définition donnée dans la dernière leçon : si $x≥0$, alors le domaine de notre fonction est le rayon $(x)$. Représentons schématiquement notre graphe de fonction.
Propriétés de la fonction $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. N'est ni pair ni impair.
3. Augmente de $$,
b) $(2,10)$,
c) sur le rayon $$.
La solution.
Les gars, vous souvenez-vous comment nous avons trouvé la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment en 10e année ?
C'est vrai, nous avons utilisé la dérivée. Résolvons notre exemple et répétons l'algorithme pour trouver la plus petite et la plus grande valeur.
1. Trouvez la dérivée de la fonction donnée :
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. La dérivée existe sur tout le domaine de la fonction d'origine, alors il n'y a pas de points critiques. Trouvons les points stationnaires :
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ et $x_2=\sqrt(64)=4$.
Une seule solution $x_2=4$ appartient au segment donné.
Construisons un tableau des valeurs de notre fonction aux extrémités du segment et au point extremum :
Réponse : $y_(nom)=-862,65$ avec $x=9$ ; $y_(max)=38.4$ pour $x=4$.
Exemple. Résolvez l'équation : $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
La solution. Le graphique de la fonction $y=x^(\frac(4)(3))$ est croissant, tandis que le graphique de la fonction $y=24-x$ est décroissant. Les gars, vous et moi le savons : si une fonction augmente et l'autre diminue, alors elles se croisent en un seul point, c'est-à-dire que nous n'avons qu'une seule solution.
Noter:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Autrement dit, pour $х=8$ nous avons obtenu l'égalité correcte $16=16$, c'est la solution de notre équation.
Réponse : $x=8$.
Exemple.
Tracez la fonction : $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
La solution.
Le graphique de notre fonction est obtenu à partir du graphique de la fonction $y=x^(\frac(3)(4))$, en le décalant de 3 unités vers la droite et de 2 unités vers le haut. 
Exemple. Écrire l'équation de la tangente à la droite $y=x^(-\frac(4)(5))$ au point $x=1$.
La solution. L'équation tangente est déterminée par la formule que nous connaissons :
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Dans notre cas $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Trouvons la dérivée :
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Calculons :
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Trouvez l'équation de la tangente :
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Réponse : $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Tâches pour une solution indépendante
1. Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction : $y=x^\frac(4)(3)$ sur le segment :a) $$.
b) (4,50) $.
c) sur le rayon $$.
3. Résolvez l'équation : $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Représentez graphiquement la fonction : $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Écrivez l'équation de la tangente à la droite $y=x^(-\frac(3)(7))$ au point $x=1$.
Conférence: Fonction puissance avec un exposant naturel, son graphique
Nous avons constamment affaire à des fonctions dans lesquelles l'argument a un certain pouvoir :
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1, etc.
Graphiques des fonctions de puissance
Nous allons donc maintenant considérer plusieurs cas possibles d'une fonction puissance.
1) y = x 2 n .
Cela signifie que nous allons maintenant considérer les fonctions dans lesquelles l'exposant est un nombre pair.
Fonctionnalité :
1. Tous les nombres réels sont acceptés comme plage.
2. La fonction peut prendre toutes les valeurs positives et le nombre zéro.
3. La fonction est paire car elle ne dépend pas du signe de l'argument, mais uniquement de son module.
4. Pour un argument positif, la fonction est croissante, et pour un argument négatif, elle est décroissante.
Les graphiques de ces fonctions ressemblent à une parabole. Par exemple, ci-dessous est un graphique de la fonction y \u003d x 4. 
2) La fonction a un exposant impair : y \u003d x 2 n +1.
1. Le domaine de la fonction est l'ensemble des nombres réels.
2. Plage de fonctions - peut prendre la forme de n'importe quel nombre réel.
3. Cette fonction est étrange.
4. Augmente de manière monotone sur tout l'intervalle de prise en compte de la fonction.
5.
Le graphique de toutes les fonctions de puissance avec un exposant impair est identique à la fonction y \u003d x 3. 
3) La fonction a un exposant naturel pair négatif : y \u003d x -2 n.
Nous savons tous qu'un exposant négatif vous permet de déposer l'exposant dans le dénominateur et de changer le signe de l'exposant, c'est-à-dire que vous obtenez la forme y \u003d 1 / x 2 n.
1. L'argument de cette fonction peut prendre n'importe quelle valeur sauf zéro, puisque la variable est au dénominateur.
2. Comme l'exposant est un nombre pair, la fonction ne peut pas prendre de valeurs négatives. Et puisque l'argument ne peut pas être égal à zéro, la valeur de la fonction égale à zéro doit également être exclue. Cela signifie que la fonction ne peut prendre que des valeurs positives.
3. Cette fonction est paire.
4. Si l'argument est négatif, la fonction est monotone croissante, et s'il est positif, elle est décroissante.
Vue du graphique de la fonction y \u003d x -2 : 
4) Fonction avec exposant impair négatif y \u003d X - (2 n + 1) .
1. Cette fonction existe pour toutes les valeurs de l'argument, sauf pour le nombre zéro.
2. La fonction accepte toutes les valeurs réelles, à l'exception du nombre zéro.
3. Cette fonction est étrange.
4. Diminue sur les deux intervalles considérés.
Considérons un exemple de graphique d'une fonction avec un exposant impair négatif en utilisant l'exemple y \u003d x -3. 
Propriétés des fonctions puissances et leurs graphiques
Fonction puissance avec exposant égal à zéro, p = 0
Si l'exposant de la fonction puissance y = x p est égal à zéro, p = 0, alors la fonction puissance est définie pour tout x ≠ 0 et est constante égale à un :
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Fonction puissance avec exposant naturel impair, p = n = 1, 3, 5, ...
Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant impair naturel n = 1, 3, 5, .... Un tel exposant peut aussi s'écrire : n = 2k + 1, où k = 0, 1, 2, 3, . .. est un entier non négatif. Vous trouverez ci-dessous les propriétés et les graphiques de ces fonctions.
Graphique de la fonction puissance y = x n avec un exposant naturel impair à différentes valeurs exposant n = 1, 3, 5, ....
Zone de définition : –∞< x < ∞
Jeu de valeurs : –∞< y < ∞
Extrêmes : non
Convexe:
à –∞< x < 0 выпукла вверх
à 0< x < ∞ выпукла вниз
Points d'inflexion : x = 0, y = 0
Valeurs privées :
à x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1
pour x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction puissance avec exposant naturel pair, p = n = 2, 4, 6, ...
Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant pair naturel n = 2, 4, 6, .... Un tel exposant peut aussi s'écrire : n = 2k, où k = 1, 2, 3, .. . est un naturel . Les propriétés et les graphiques de ces fonctions sont donnés ci-dessous.
Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ....
Zone de définition : –∞< x < ∞
Ensemble de valeurs : 0 ≤ y< ∞
Monotone:
à x< 0 монотонно убывает
pour x > 0 augmente de façon monotone
Extrêmes : minimum, x = 0, y = 0
Convexité : convexe vers le bas
Points de genou : non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x = 0, y = 0
Valeurs privées :
à x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1
pour x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction puissance avec exposant négatif entier, p = n = -1, -2, -3, ...
Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant entier négatif n = -1, -2, -3, .... Si nous posons n = –k, où k = 1, 2, 3, ... est un nombre naturel, alors il peut être représenté par : 
Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant entier négatif pour différentes valeurs de l'exposant n = -1, -2, -3, ....
Exposant impair, n = -1, -3, -5, ...
Voici les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant négatif impair n = -1, -3, -5, ....
Domaine de définition : x ≠ 0
Ensemble de valeurs : y ≠ 0
Parité : impaire, y(–x) = – y(x)
Extrêmes : non
Convexe:
à x< 0: выпукла вверх
pour x > 0 : convexe vers le bas
Points de genou : non
Signe : en x< 0, y < 0
pour x > 0, y > 0
Valeurs privées :
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Exposant pair, n = -2, -4, -6, ...
Voici les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant négatif pair n = -2, -4, -6, ....
Domaine de définition : x ≠ 0
Ensemble de valeurs : y > 0
Parité : paire, y(–x) = y(x)
Monotone:
à x< 0: монотонно возрастает
pour x > 0 : monotone décroissant
Extrêmes : non
Convexité : convexe vers le bas
Points de genou : non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : non
Signe : y > 0
Valeurs privées :
à x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction puissance avec exposant rationnel (fractionnel)
Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel (fractionnel), où n est un entier, m > 1 est un nombre naturel. De plus, n, m n'ont pas de diviseurs communs.
Le dénominateur de l'indicateur fractionnaire est impair
Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire impair : m = 3, 5, 7, ... . Dans ce cas, la fonction puissance x p est définie pour les valeurs positives et négatives de l'argument. Considérons les propriétés de telles fonctions puissance lorsque l'exposant p est dans certaines limites.
p est négatif, p< 0
Soit l'exposant rationnel (de dénominateur impair m = 3, 5, 7, ...) inférieur à zéro : 
.
Graphiques des fonctions de puissance 
avec un exposant négatif rationnel pour différentes valeurs de l'exposant , où m = 3, 5, 7, ... est impair.
Numérateur impair, n = -1, -3, -5, ...
Nous présentons les propriétés d'une fonction puissance y = x p avec un exposant négatif rationnel , où n = -1, -3, -5, ... est un entier négatif impair, m = 3, 5, 7 ... est un nombre naturel impair.
Domaine de définition : x ≠ 0
Ensemble de valeurs : y ≠ 0
Parité : impaire, y(–x) = – y(x)
Monotonie : décroissant de manière monotone
Extrêmes : non
Convexe:
à x< 0: выпукла вверх
pour x > 0 : convexe vers le bas
Points de genou : non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : non
à x< 0, y < 0
pour x > 0, y > 0
Valeurs privées :
à x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Numérateur pair, n = -2, -4, -6, ...
Propriétés de la fonction puissance y = x p avec exposant négatif rationnel , où n = -2, -4, -6, ... est un entier négatif pair, m = 3, 5, 7 ... est un nombre naturel impair.
Domaine de définition : x ≠ 0
Ensemble de valeurs : y > 0
Parité : paire, y(–x) = y(x)
Monotone:
à x< 0: монотонно возрастает
pour x > 0 : monotone décroissant
Extrêmes : non
Convexité : convexe vers le bas
Points de genou : non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : non
Signe : y > 0
La valeur de p est positive, inférieure à un, 0< p < 1
Graphique de la fonction puissance avec un exposant rationnel (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Numérateur impair, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Zone de définition : –∞< x < +∞
Jeu de valeurs : –∞< y < +∞
Parité : impaire, y(–x) = – y(x)
Monotonicité : augmentation monotone
Extrêmes : non
Convexe:
à x< 0: выпукла вниз
pour x > 0 : convexe vers le haut
Points d'inflexion : x = 0, y = 0
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x = 0, y = 0
à x< 0, y < 0
pour x > 0, y > 0
Valeurs privées :
à x = –1, y(–1) = –1
pour x = 0, y(0) = 0
pour x = 1, y(1) = 1
Numérateur pair, n = 2, 4, 6, ...
Les propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel , étant à moins de 0 sont présentées.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Zone de définition : –∞< x < +∞
Ensemble de valeurs : 0 ≤ y< +∞
Parité : paire, y(–x) = y(x)
Monotone:
à x< 0: монотонно убывает
pour x > 0 : augmente de façon monotone
Extrêmes : minimum à x = 0, y = 0
Convexité : convexe vers le haut en x ≠ 0
Points de genou : non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x = 0, y = 0
Signe : pour x ≠ 0, y > 0
Sur le domaine de la fonction puissance y = x p, les formules suivantes sont valables :
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Propriétés des fonctions puissances et leurs graphiques
Fonction puissance avec exposant égal à zéro, p = 0
Si l'exposant de la fonction puissance y = x p est égal à zéro, p = 0 , alors la fonction puissance est définie pour tout x ≠ 0 et est constante, égale à un :
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Fonction puissance avec exposant naturel impair, p = n = 1, 3, 5, ...
Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant naturel impair n = 1, 3, 5, ... . Un tel indicateur peut aussi s'écrire : n = 2k + 1, où k = 0, 1, 2, 3, ... est un entier non négatif. Vous trouverez ci-dessous les propriétés et les graphiques de ces fonctions.
Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, ... .
Domaine: -∞ < x < ∞
Valeurs multiples : -∞ < y < ∞
Parité: impair, y(-x) = - y(x)
Monotone: augmente de façon monotone
Extrêmes : Non
Convexe:
à -∞< x < 0
выпукла вверх
à 0< x < ∞
выпукла вниз
Points d'arrêt : x=0, y=0
x=0, y=0
Limites:
;
Valeurs privées :
à x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pour x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
pour n = 1 , la fonction est inverse d'elle-même : x = y
pour n ≠ 1, la fonction inverse est une racine de degré n :
Fonction puissance avec exposant naturel pair, p = n = 2, 4, 6, ...
Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant pair naturel n = 2, 4, 6, ... . Un tel indicateur peut aussi s'écrire : n = 2k, où k = 1, 2, 3, ... est un nombre naturel. Les propriétés et les graphiques de ces fonctions sont donnés ci-dessous.
Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ... .
Domaine: -∞ < x < ∞
Valeurs multiples : 0 ≤ y< ∞
Parité: pair, y(-x) = y(x)
Monotone:
pour x ≤ 0 décroît de façon monotone
pour x ≥ 0 augmente de manière monotone
Extrêmes : minimum, x=0, y=0
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Limites:
;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pour x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
pour n = 2, Racine carrée:
pour n ≠ 2, racine de degré n :
Fonction puissance avec exposant négatif entier, p = n = -1, -2, -3, ...
Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant entier négatif n = -1, -2, -3, ... . Si nous posons n = -k, où k = 1, 2, 3, ... est un nombre naturel, alors il peut être représenté par :
Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant entier négatif pour différentes valeurs de l'exposant n = -1, -2, -3, ... .
Exposant impair, n = -1, -3, -5, ...
Voici les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant négatif impair n = -1, -3, -5, ... .
Domaine: x ≠ 0
Valeurs multiples : y ≠ 0
Parité: impair, y(-x) = - y(x)
Monotone: diminue de façon monotone
Extrêmes : Non
Convexe:
à x< 0
:
выпукла вверх
pour x > 0 : convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : Non
Pancarte:
à x< 0, y < 0
pour x > 0, y > 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées :
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
pour n = -1,
pour n< -2
,
Exposant pair, n = -2, -4, -6, ...
Voici les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant négatif pair n = -2, -4, -6, ... .
Domaine: x ≠ 0
Valeurs multiples : y > 0
Parité: pair, y(-x) = y(x)
Monotone:
à x< 0
:
монотонно возрастает
pour x > 0 : monotone décroissant
Extrêmes : Non
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : Non
Pancarte: y > 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées :
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
pour n = -2,
pour n< -2
,
Fonction puissance avec exposant rationnel (fractionnel)
Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel (fractionnel), où n est un entier, m > 1 est un nombre naturel. De plus, n, m n'ont pas de diviseurs communs.
Le dénominateur de l'indicateur fractionnaire est impair
Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire impair : m = 3, 5, 7, ... . Dans ce cas, la fonction puissance x p est définie pour les valeurs x positives et négatives. Considérez les propriétés de ces fonctions de puissance lorsque l'exposant p est dans certaines limites.
p est négatif, p< 0
Soit l'exposant rationnel (de dénominateur impair m = 3, 5, 7, ... ) inférieur à zéro : .
Graphiques de fonctions exponentielles avec un exposant négatif rationnel pour différentes valeurs de l'exposant , où m = 3, 5, 7, ... est impair.
Numérateur impair, n = -1, -3, -5, ...
Voici les propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant négatif rationnel , où n = -1, -3, -5, ... est un entier négatif impair, m = 3, 5, 7 ... est un nombre naturel impair.
Domaine: x ≠ 0
Valeurs multiples : y ≠ 0
Parité: impair, y(-x) = - y(x)
Monotone: diminue de façon monotone
Extrêmes : Non
Convexe:
à x< 0
:
выпукла вверх
pour x > 0 : convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : Non
Pancarte:
à x< 0, y < 0
pour x > 0, y > 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
Numérateur pair, n = -2, -4, -6, ...
Propriétés d'une fonction puissance y = x p avec un exposant négatif rationnel, où n = -2, -4, -6, ... est un entier négatif pair, m = 3, 5, 7 ... est un nombre naturel impair .
Domaine: x ≠ 0
Valeurs multiples : y > 0
Parité: pair, y(-x) = y(x)
Monotone:
à x< 0
:
монотонно возрастает
pour x > 0 : monotone décroissant
Extrêmes : Non
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : Non
Pancarte: y > 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
La valeur de p est positive, inférieure à un, 0< p < 1
Graphique d'une fonction puissance avec un exposant rationnel (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Numérateur impair, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domaine: -∞ < x < +∞
Valeurs multiples : -∞ < y < +∞
Parité: impair, y(-x) = - y(x)
Monotone: augmente de façon monotone
Extrêmes : Non
Convexe:
à x< 0
:
выпукла вниз
pour x > 0 : convexe vers le haut
Points d'arrêt : x=0, y=0
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Pancarte:
à x< 0, y < 0
pour x > 0, y > 0
Limites:
;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = -1
pour x = 0, y(0) = 0
pour x = 1, y(1) = 1
Fonction inverse :
Numérateur pair, n = 2, 4, 6, ...
Les propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel , étant à moins de 0 sont présentées.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domaine: -∞ < x < +∞
Valeurs multiples : 0 ≤ y< +∞
Parité: pair, y(-x) = y(x)
Monotone:
à x< 0
:
монотонно убывает
pour x > 0 : croissant de façon monotone
Extrêmes : minimum à x = 0, y = 0
Convexe: convexe vers le haut en x ≠ 0
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Pancarte: pour x ≠ 0, y > 0
Limites:
;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = 1
pour x = 0, y(0) = 0
pour x = 1, y(1) = 1
Fonction inverse :
L'exposant p est supérieur à un, p > 1
Graphique d'une fonction puissance avec un exposant rationnel (p > 1 ) pour différentes valeurs de l'exposant , où m = 3, 5, 7, ... est impair.
Numérateur impair, n = 5, 7, 9, ...
Propriétés d'une fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel supérieur à un : . Où n = 5, 7, 9, ... est un nombre naturel impair, m = 3, 5, 7 ... est un nombre naturel impair.
Domaine: -∞ < x < ∞
Valeurs multiples : -∞ < y < ∞
Parité: impair, y(-x) = - y(x)
Monotone: augmente de façon monotone
Extrêmes : Non
Convexe:
à -∞< x < 0
выпукла вверх
à 0< x < ∞
выпукла вниз
Points d'arrêt : x=0, y=0
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Limites:
;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = -1
pour x = 0, y(0) = 0
pour x = 1, y(1) = 1
Fonction inverse :
Numérateur pair, n = 4, 6, 8, ...
Propriétés d'une fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel supérieur à un : . Où n = 4, 6, 8, ... est un nombre naturel pair, m = 3, 5, 7 ... est un nombre naturel impair.
Domaine: -∞ < x < ∞
Valeurs multiples : 0 ≤ y< ∞
Parité: pair, y(-x) = y(x)
Monotone:
à x< 0
монотонно убывает
pour x > 0 augmente de façon monotone
Extrêmes : minimum à x = 0, y = 0
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Limites:
;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = 1
pour x = 0, y(0) = 0
pour x = 1, y(1) = 1
Fonction inverse :
Le dénominateur de l'indicateur fractionnaire est pair
Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire pair : m = 2, 4, 6, ... . Dans ce cas, la fonction puissance x p n'est pas définie pour les valeurs négatives de l'argument. Ses propriétés coïncident avec celles d'une fonction puissance avec un exposant irrationnel (voir la section suivante).
Fonction puissance avec exposant irrationnel
Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant irrationnel p . Les propriétés de telles fonctions diffèrent de celles considérées ci-dessus en ce qu'elles ne sont pas définies pour les valeurs négatives de l'argument x. Pour les valeurs positives de l'argument, les propriétés dépendent uniquement de la valeur de l'exposant p et ne dépendent pas du fait que p soit entier, rationnel ou irrationnel.
y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p .
Fonction puissance avec p négatif< 0
Domaine: x > 0
Valeurs multiples : y > 0
Monotone: diminue de façon monotone
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : Non
Limites: ;
valeur privée : Pour x = 1, y(1) = 1 p = 1
Fonction puissance avec exposant positif p > 0
L'indicateur est inférieur à un 0< p < 1
Domaine: x ≥ 0
Valeurs multiples : y ≥ 0
Monotone: augmente de façon monotone
Convexe: convexe vers le haut
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Limites:
Valeurs privées : Pour x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pour x = 1, y(1) = 1 p = 1
L'indicateur est supérieur à un p > 1
Domaine: x ≥ 0
Valeurs multiples : y ≥ 0
Monotone: augmente de façon monotone
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Limites:
Valeurs privées : Pour x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pour x = 1, y(1) = 1 p = 1
Références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.