http//:www.svkspb.nm.ru

مشخصات هندسی مقاطع مسطح

مربع: , dF - پلت فرم ابتدایی.

لحظه ایستا یک عنصر ناحیهdFنسبت به محور 0x
- حاصل ضرب عنصر مساحت با فاصله "y" از محور 0x: dS x = ydF

پس از جمع (ادغام) چنین محصولاتی در کل منطقه شکل، به دست می آوریم لحظات ایستانسبت به محورهای y و x:
;
[cm 3، m 3، و غیره].

مختصات مرکز ثقل:
. لحظات ایستا نسبی محورهای مرکزی(محورهای عبوری از مرکز ثقل مقطع) برابر با صفر هستند. هنگام محاسبه گشتاورهای ایستا یک شکل پیچیده، آن را به قطعات ساده، با مناطق شناخته شده F i و مختصات مراکز ثقل x i, y i تقسیم می کنیم. گشتاور ساکن مساحت کل شکل = مجموع گشتاورهای ساکن هر یک از قسمت های آن:
.

مختصات مرکز ثقل یک شکل پیچیده:

م
ممان اینرسی مقطع

محوری(استوایی) ممان مقطعی اینرسی- مجموع حاصلضرب مساحت های ابتدایی dF با مجذور فاصله آنها تا محور.

;
[cm 4، m 4، و غیره].

ممان اینرسی قطبی یک مقطع نسبت به یک نقطه (قطب) معین، مجموع حاصلضرب نواحی ابتدایی با مجذور فاصله آنها از این نقطه است.
; [cm 4، m 4، و غیره]. J y + J x = J p .

ممان گریز از مرکز اینرسی مقطع- مجموع حاصل ضرب نواحی ابتدایی و فواصل آنها از دو محور عمود بر یکدیگر.
.

ممان گریز از مرکز اینرسی مقطع نسبت به محورهایی که یکی یا هر دو با محورهای تقارن منطبق است برابر با صفر است.

گشتاورهای اینرسی محوری و قطبی همیشه مثبت هستند، گشتاورهای اینرسی گریز از مرکز می توانند مثبت، منفی یا صفر باشند.

ممان اینرسی یک شکل مختلط برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی اجزای تشکیل دهنده آن.

لحظه های اینرسی مقاطع با شکل ساده

پ
دایره مقطع مستطیلی

به


حلقه

تی
مثلث

آر
ایزوفمورال

مستطیل شکل

تی
مثلث

اچ ربع دایره

J y = J x = 0.055R 4

J xy =0.0165R 4

در شکل (-)

نیم دایره

م

ممان اینرسی پروفیل های استاندارد از جداول مجموعه یافت می شود:

D
vutavr کانال گوشه

م

لحظه های اینرسی در مورد محورهای موازی:

جی x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

ممان اینرسی در مورد هر محور برابر است با ممان اینرسی در مورد محور مرکزی موازی با محور داده شده، به اضافه حاصل ضرب مساحت شکل و مربع فاصله بین محورها. J y1x1 =J yx + abF; ("الف" و "ب" با در نظر گرفتن علامت آنها به فرمول جایگزین می شوند).

وابستگی بین ممان اینرسی هنگام چرخش محورها:

جی x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

زاویه >0، اگر انتقال از سیستم مختصات قدیمی به سیستم جدید در خلاف جهت عقربه‌های ساعت رخ دهد. J y1 + J x1 = J y + J x

مقادیر شدید (حداکثر و حداقل) گشتاورهای اینرسی نامیده می شود لحظات اصلی اینرسی. محورهایی که گشتاورهای اینرسی محوری در مورد آنها دارای مقادیر شدید هستند نامیده می شوند محورهای اصلی اینرسی. محورهای اصلی اینرسی بر یکدیگر عمود هستند. گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی در مورد محورهای اصلی = 0، یعنی. محورهای اصلی اینرسی - محورهایی که لنگر گریز از مرکز اینرسی = 0 در مورد آنها. زاویه تعیین کننده موقعیت محورهای اصلی:
، اگر  0 > 0  محورها در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخند. محور ماکزیمم همیشه با محورهایی که ممان اینرسی مقدار بیشتری نسبت به آنها دارد، زاویه کمتری ایجاد می کند. محورهای اصلی که از مرکز ثقل عبور می کنند نامیده می شوند محورهای مرکزی اصلی اینرسی. لحظات اینرسی در مورد این محورها:

J max + J min = J x + J y . ممان گریز از مرکز اینرسی نسبت به محورهای مرکزی اصلی اینرسی برابر با 0 است. اگر ممان اینرسی اصلی مشخص باشد، فرمول های انتقال به محورهای چرخانده شده عبارتند از:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

هدف نهایی از محاسبه مشخصات هندسی مقطع، تعیین ممان های مرکزی اصلی اینرسی و موقعیت محورهای اصلی اینرسی مرکزی است. آر شعاع اینرسی -
; J x =Fi x 2، J y =Fi y 2 .

اگر J x و J y ممان های اصلی اینرسی باشند، آنگاه i x و i y - شعاع اینرسی اصلی. بیضی ساخته شده بر روی شعاع اصلی اینرسی مانند روی نیم محورها نامیده می شود بیضی اینرسی. با استفاده از بیضی اینرسی، می توانید به صورت گرافیکی شعاع اینرسی i x1 را برای هر محور x1 بیابید. برای این کار باید یک مماس بر بیضی موازی با محور x1 رسم کنید و فاصله این محور تا مماس را اندازه بگیرید. با دانستن شعاع اینرسی، می توانید ممان اینرسی مقطع را نسبت به محور x 1 بیابید:
. برای مقاطعی با بیش از دو محور تقارن (به عنوان مثال: دایره، مربع، حلقه و غیره)، گشتاورهای محوری اینرسی در مورد تمام محورهای مرکزی با یکدیگر برابر هستند، J xy = 0، بیضی اینرسی به یک تبدیل می شود. دایره اینرسی

لحظات مقاومت

ممان محوری مقاومت- نسبت ممان اینرسی حول محور به فاصله آن تا دورترین نقطه مقطع.
[cm 3, m 3]

به ویژه لحظات مقاومت نسبت به محورهای اصلی مهم هستند:

مستطیل:
; دایره: W x = W y =
,

مقطع لوله ای (حلقه): W x =W y =
، جایی که = d N / d B.

ممان قطبی مقاومت - نسبت ممان اینرسی قطبی به فاصله قطب تا دورترین نقطه مقطع:
.

برای دایره W р =
.

گشتاور محوری (یا استوایی) اینرسی یک مقطع نسبت به یک محور معین، مجموع حاصل از نواحی ابتدایی است که در کل مساحت آن F توسط مجذور فاصله آنها از این محور گرفته شده است، یعنی.

ممان اینرسی قطبی یک مقطع نسبت به یک نقطه (قطب) معین، مجموع حاصل از نواحی ابتدایی است که در کل مساحت آن F توسط مجذور فاصله آنها از این نقطه گرفته شده است، یعنی.

گشتاور گریز از مرکز اینرسی یک مقطع نسبت به دو محور متقابل عمود بر هم برابر است با مجموع حاصل از نواحی ابتدایی که در کل مساحت آن F و فواصل آنها از این محورها گرفته شده است.

لحظه های اینرسی در و غیره بیان می شود.

گشتاورهای اینرسی محوری و قطبی همیشه مثبت هستند، زیرا عبارات آنها در زیر علائم انتگرال شامل مقادیر مناطق (همیشه مثبت) و مربعات فواصل این مناطق از یک محور یا قطب معین است.

در شکل 9.5، a بخشی را با مساحت F نشان می دهد و محورهای y و z را نشان می دهد. گشتاورهای اینرسی محوری این بخش نسبت به محورهای y:

مجموع این لحظه های اینرسی

و بنابراین

بنابراین مجموع گشتاورهای اینرسی محوری یک مقطع نسبت به دو محور عمود بر هم برابر است با ممان اینرسی قطبی این مقطع نسبت به نقطه تقاطع این محورها.

گشتاورهای اینرسی گریز از مرکز می تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. به عنوان مثال، گشتاور گریز از مرکز اینرسی مقطع نشان داده شده در شکل. 9.5، a نسبت به محورهای y و مثبت است، زیرا برای قسمت اصلی این بخش که در ربع اول قرار دارد، مقادیر و بنابراین مثبت هستند.

اگر جهت مثبت محور y یا جهت مخالف را تغییر دهید (شکل 9.5، b) یا هر دو این محورها را 90 درجه بچرخانید (شکل 9.5، c)، آنگاه ممان گریز از مرکز اینرسی منفی می شود (شکل 9.5، c) قدر مطلق تغییر نخواهد کرد)، زیرا بخش اصلی بخش در ربعی قرار می گیرد که مختصات y مثبت و مختصات z منفی هستند. اگر جهت مثبت هر دو محور را به سمت مخالف تغییر دهید، این نه علامت و نه بزرگی گشتاور گریز از مرکز اینرسی را تغییر نخواهد داد.

بیایید شکلی را در نظر بگیریم که با یک یا چند محور متقارن است (شکل 10.5). بیایید محورها را طوری رسم کنیم که حداقل یکی از آنها (در این مورد، محور y) با محور تقارن شکل منطبق باشد. در این حالت، هر سکوی واقع در سمت راست محور مربوط به همان سکوی است که به طور متقارن به اولی، اما در سمت چپ محور y قرار دارد. ممان گریز از مرکز اینرسی هر جفت چنین سکوهای متقارنی برابر است با:

از این رو،

بنابراین، گشتاور گریز از مرکز اینرسی مقطع نسبت به محورهایی که یکی یا هر دو با محورهای تقارن آن منطبق است، برابر با صفر است.

ممان محوری اینرسی یک مقطع پیچیده نسبت به یک محور معین برابر است با مجموع گشتاورهای محوری اینرسی اجزای تشکیل دهنده آن نسبت به همان محور.

به همین ترتیب، گشتاور گریز از مرکز اینرسی یک مقطع پیچیده نسبت به هر دو محور متقابل عمود بر هم برابر است با مجموع گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی اجزای تشکیل دهنده آن نسبت به همان محورها. همچنین ممان اینرسی قطبی یک مقطع مختلط نسبت به یک نقطه معین برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی قطبی اجزای تشکیل دهنده آن نسبت به همان نقطه.

باید در نظر داشت که گشتاورهای اینرسی محاسبه شده در مورد محورها و نقاط مختلف قابل جمع نیستند.

هنگام بررسی استحکام بخش‌هایی از سازه‌ها، باید با بخش‌هایی با اشکال نسبتاً پیچیده مواجه شویم که محاسبه ممان اینرسی به روش ساده‌ای که برای یک مستطیل و یک دایره استفاده کردیم، غیرممکن است.

چنین بخش می تواند، برای مثال، یک نوار T باشد (شکل 5 آبخش حلقوی یک لوله در معرض خمش (سازه های هواپیما) (شکل 5، ببخش حلقوی ژورنال شفت یا حتی بخش های پیچیده تر. همه این بخش ها را می توان به بخش های ساده مانند مستطیل، مثلث، دایره و غیره تقسیم کرد. می توان نشان داد که ممان اینرسی چنین شکل پیچیده ای مجموع گشتاورهای اینرسی قطعاتی است که آن را به آن تقسیم می کنیم.

شکل 5.مقاطع تیپ - الف) و حلقه ب)

مشخص است که ممان اینرسی هر شکل نسبت به محور در— درمساوی با:

جایی که z- فاصله لنت های ابتدایی تا محور در—در.

بیایید منطقه گرفته شده را به چهار قسمت تقسیم کنیم: , و . حال، هنگام محاسبه ممان اینرسی، می‌توانید عبارت‌ها را در تابع انتگرال گروه‌بندی کنید تا جمع‌بندی هر یک از چهار ناحیه انتخاب‌شده را جداگانه انجام دهید و سپس این مجموع را اضافه کنید. این مقدار انتگرال را تغییر نمی دهد.

انتگرال ما به چهار انتگرال تقسیم می شود که هر کدام یکی از مناطق را پوشش می دهد، و:

هر یک از این انتگرال ها نشان دهنده ممان اینرسی قسمت مربوطه از ناحیه نسبت به محور است. در— در; از همین رو

ممان اینرسی حول محور کجاست در — درمنطقه، - برای منطقه و غیره یکسان است.

نتیجه به دست آمده را می توان به صورت زیر فرمول بندی کرد: ممان اینرسی یک شکل مختلط برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی اجزای تشکیل دهنده آن. بنابراین، ما باید بتوانیم ممان اینرسی هر شکل را نسبت به هر محوری که در صفحه آن قرار دارد محاسبه کنیم.

راه حل این مشکل محتوای این و دو مصاحبه بعدی است.

لحظه های اینرسی در مورد محورهای موازی.

کار به دست آوردن ساده ترین فرمول ها برای محاسبه ممان اینرسی هر شکل نسبت به هر محور در چند مرحله حل می شود. اگر مجموعه ای از محورها را به موازات یکدیگر در نظر بگیریم، با دانستن گشتاور اینرسی آن نسبت به محوری که از مرکز ثقل شکل می گذرد، به راحتی می توانیم ممان اینرسی یک شکل را در مورد هر یک از این محورها محاسبه کنیم. موازی با محورهای انتخاب شده

عکس. 1.مدل محاسبه برای تعیین گشتاورهای اینرسی برای محورهای موازی.

محورهایی که از مرکز ثقل عبور می کنند را نام می بریم محورهای مرکزی. بیایید (شکل 1) یک شکل دلخواه را در نظر بگیریم. بیایید محور مرکزی را ترسیم کنیم OUممان اینرسی حول این محور را می نامیم. اجازه دهید یک محور در صفحه شکل ترسیم کنیم موازیتبرها دردر فاصله ای از او بیایید رابطه بین و - لحظه اینرسی در مورد محور را پیدا کنیم. برای این کار عباراتی برای و می نویسیم. بیایید مساحت شکل را به مناطق تقسیم کنیم. فواصل هر یک از این سکوها تا محورها درو بیا زنگ بزنیم و . سپس

از شکل 1 داریم:

اولین مورد از این سه انتگرال ممان اینرسی حول محور مرکزی است OU. دوم گشتاور ساکن حول همان محور است. از آنجا که محور برابر با صفر است دراز مرکز ثقل شکل عبور می کند. در نهایت انتگرال سوم برابر با مساحت شکل است اف. بدین ترتیب،

(1)

یعنی ممان اینرسی در مورد هر محوری برابر است با ممان اینرسی در مورد محور مرکزی موازی با محور داده شده، به اضافه حاصل ضرب مساحت شکل و مربع فاصله بین محورها.

این بدان معناست که وظیفه ما اکنون به محاسبه تنها گشتاورهای مرکزی اینرسی کاهش یافته است. اگر آنها را بشناسیم، می توانیم ممان اینرسی را در مورد هر محور دیگری محاسبه کنیم. از فرمول (1) نتیجه می گیرد که مرکزیممان اینرسی است کوچکتریناز میان گشتاورهای اینرسی در مورد محورهای موازی و برای آن می گیریم:

اجازه دهید گشتاور گریز از مرکز اینرسی را در مورد محورهای موازی با محورهای مرکزی، در صورت شناخته شدن، پیدا کنیم (شکل 1). از آنجایی که طبق تعریف

کجا: ، سپس به دنبال آن است

از آنجایی که دو انتگرال آخر نشان دهنده گشتاورهای ایستا از ناحیه حول محورهای مرکزی هستند OUو اوزسپس ناپدید می شوند و بنابراین:

(2)

گشتاور گریز از مرکز اینرسی نسبت به سیستمی از محورهای متقابل عمود بر موازات محورهای مرکزی برابر است با ممان اینرسی گریز از مرکز نسبت به این محورهای مرکزی به اضافه حاصل ضرب مساحت شکل و مختصات مرکز ثقل آن. نسبت به محورهای جدید

رابطه بین گشتاورهای اینرسی هنگام چرخش محورها.

می توانید هر تعداد محور مرکزی را که دوست دارید بکشید. این سوال مطرح می شود که آیا می توان ممان اینرسی را در مورد هر محور مرکزی بسته به ممان اینرسی حول یک یا دو بیان کرد؟ مسلم - قطعیتبرها برای انجام این کار، بیایید ببینیم که چگونه گشتاورهای اینرسی در مورد دو محور متقابل عمود بر هم تغییر می کنند وقتی که آنها با یک زاویه می چرخند.

بیایید یک شکل را برداریم و آن را از مرکز ثقلش بکشیم در بارهدو محور متقابل عمود بر هم OUو اوز(شکل 2).

شکل 2.مدل محاسبه برای تعیین گشتاورهای اینرسی برای محورهای چرخیده.

گشتاورهای اینرسی محوری این محورها و همچنین گشتاور گریز از مرکز اینرسی را به ما اطلاع دهید. بیایید یک سیستم دوم از محورهای مختصات و متمایل به اول در یک زاویه ترسیم کنیم. هنگام چرخش محورها حول نقطه، جهت مثبت این زاویه را در نظر خواهیم گرفت در بارهپادساعتگرد. اصل و نسب در بارهصرفه جویی. اجازه دهید گشتاورهای مربوط به سیستم دوم محورهای مختصات را بیان کنیم و از طریق گشتاورهای شناخته شده اینرسی و .

اجازه دهید عباراتی را برای لحظه های اینرسی در مورد این محورها بنویسیم:

به همین ترتیب:

برای حل مسائل، ممکن است به فرمول هایی برای انتقال از یک محور به محور دیگر برای ممان اینرسی گریز از مرکز نیاز داشته باشید. هنگام چرخش محورها (شکل 2) داریم:

کجا و با استفاده از فرمول (14.10) محاسبه می شوند. سپس

پس از تغییر شکل می گیریم:

(7)

بنابراین، برای محاسبه ممان اینرسی در مورد هر محور مرکزی، باید ممان اینرسی را در مورد سیستم هر دو محور مرکزی عمود بر یکدیگر بدانید. OUو اوز، گشتاور گریز از مرکز اینرسی نسبت به همان محورها و زاویه میل محور به محور در.

برای محاسبه مقادیر >، باید محورها را مانند این انتخاب کنید درو zو مساحت شکل را به اجزایی تقسیم کنید تا بتوانید این محاسبه را انجام دهید، فقط با استفاده از فرمول های انتقال از محورهای مرکزی هر یک از اجزاء به محورهای موازی آنها. نحوه انجام این کار در عمل در زیر با استفاده از یک مثال نشان داده شده است. توجه داشته باشید که در این محاسبه، ارقام پیچیده باید به قطعات ابتدایی تقسیم شوند که در صورت امکان، مقادیر گشتاورهای مرکزی اینرسی نسبت به سیستم محورهای متقابل عمود بر هم مشخص باشد.

توجه داشته باشید که اگر مبدأ مختصات نه در مرکز ثقل مقطع، بلکه در هر نقطه دیگری گرفته می شد، پیشرفت اشتقاق و نتایج به دست آمده تغییر نمی کرد. در باره. بنابراین، فرمول‌های (6) و (7) فرمول‌هایی برای انتقال از یک سیستم از محورهای متقابل عمود بر یکدیگر هستند که با یک زاویه خاص چرخش می‌کنند، صرف نظر از اینکه این محورها محور هستند یا نه.

از فرمول (6) می توان رابطه دیگری بین گشتاورهای اینرسی هنگام چرخش محورها بدست آورد. با افزودن عبارات برای و دریافت می کنیم

یعنی مجموع گشتاورهای اینرسی در مورد هر محور متقابل عمود بر هم درو zبا چرخاندن آنها تغییر نمی کند. با جایگزینی آخرین عبارت به جای و مقادیر آنها، دریافت می کنیم:

فاصله سایت ها کجاست dFاز نقطه در باره. مقدار همان طور که قبلاً شناخته شده است، گشتاور قطبی اینرسی مقطع نسبت به نقطه است در باره.

بنابراین، گشتاور قطبی اینرسی یک مقطع نسبت به هر نقطه، برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی محوری نسبت به محورهای متقابل عمودی که از این نقطه عبور می کنند. بنابراین، این مجموع زمانی که محورها می چرخند ثابت می ماند. این وابستگی (14.16) می تواند برای ساده کردن محاسبه گشتاورهای اینرسی استفاده شود.

بنابراین، برای یک دایره:

از آنجا که توسط تقارن برای یک دایره پس از آن

که در بالا با ادغام به دست آمد.

به طور مشابه، برای یک بخش حلقوی دیواره نازک می توان موارد زیر را بدست آورد:

محورهای اصلی اینرسی و گشتاورهای اصلی اینرسی.

همانطور که قبلاً مشخص است، با دانستن گشتاورهای مرکزی اینرسی، و برای یک شکل معین، می توانید گشتاور اینرسی را نسبت به هر محور دیگری محاسبه کنید.

در این مورد، می توان سیستم اصلی محورها را چنین سیستمی در نظر گرفت که در آن فرمول ها به طور قابل توجهی ساده شده است. یعنی می توان سیستمی از محورهای مختصاتی را یافت که گشتاور گریز از مرکز اینرسی برابر با صفر باشد. در واقع، ممان اینرسی همیشه مثبت است، مانند مجموع جملات مثبت، اما ممان گریز از مرکز

می تواند هم مثبت و هم منفی باشد، زیرا شرایط zydFبسته به علائم ممکن است علائم متفاوتی داشته باشد zو دربرای یک سایت یا سایت دیگر یعنی می تواند برابر با صفر باشد.

محورهایی که گشتاور گریز از مرکز اینرسی از بین می‌رود، نامیده می‌شوند محورهای اصلیاینرسی. اگر ابتدای چنین سیستمی در مرکز ثقل شکل قرار گیرد، اینها خواهند بود محورهای مرکزی اصلی. ما این محورها را نشان خواهیم داد و ; برای آنها

اجازه دهید دریابیم که محورهای اصلی در چه زاویه ای به محورهای مرکزی y و z تمایل دارند (شکل 198).

عکس. 1.مدل محاسبه برای تعیین موقعیت محورهای اصلی اینرسی.

در عبارت معروف حرکت از محورها yzبه محورها، برای گشتاور گریز از مرکز اینرسی، به زاویه مقدار می دهیم. سپس محورها و با محورهای اصلی منطبق خواهند شد و ممان گریز از مرکز اینرسی برابر با صفر خواهد بود:

(1)

این معادله با دو مقدار با 180 درجه یا دو مقدار از 90 درجه ارضا می شود. بنابراین این معادله موقعیت را به ما می دهد دو محور، با یکدیگر زاویه قائمه تشکیل می دهند. اینها محورهای مرکزی اصلی خواهند بود و برای آن .

با استفاده از این فرمول می توانید از شناخته شده ها برای بدست آوردن فرمول های لحظه های اصلی اینرسی و . برای انجام این کار، دوباره از عبارات موقعیت کلی ممان محوری اینرسی استفاده می کنیم. آنها مقادیر را تعیین می کنند و اگر جایگزین کنیم

(2)

از روابط حاصل می توان برای حل مشکلات استفاده کرد. یکی از لحظات اصلی اینرسی، دیگری است.

فرمول های (2) را می توان به شکلی عاری از مقدار تبدیل کرد. با بیان و از طریق و جایگزینی مقادیر آنها به فرمول اول (2)، در حالی که به طور همزمان از فرمول (1) جایگزین می کنیم، به دست می آوریم:

در اینجا کسر فرمول (1) را با

ما گرفتیم

(3)

با ایجاد یک تبدیل مشابه از فرمول دوم (3) می توان به همان عبارت رسید.

برای سیستم اصلی محورهای مرکزی، که از آن می توان به هر دیگری حرکت کرد، می توان گرفت OUو اوز، و محورهای اصلی و ; سپس ممان گریز از مرکز اینرسی () در فرمول ها ظاهر نمی شود. اجازه دهید زاویه ایجاد شده توسط محور، (شکل 2) را با محور اصلی، با . برای محاسبه، و، حرکت از محورهای و، باید زاویه را جایگزین کنید، a، و در عباراتی که قبلا پیدا شده بود برای، و، و، و. در نتیجه دریافت می کنیم:

از نظر ظاهری، این فرمول ها کاملاً شبیه فرمول های تنش های معمولی و برشی در امتداد دو ناحیه عمود بر یکدیگر در یک عنصر تحت کشش در دو جهت هستند. ما فقط فرمولی را نشان می دهیم که به ما امکان می دهد از دو مقدار زاویه ای را انتخاب کنیم که با انحراف اولین محور اصلی مطابقت دارد (با دادن حداکثر جی) از موقعیت اولیه محور در:

اکنون می‌توانیم در نهایت آنچه را که باید انجام دهیم تا بتوانیم گشتاور اینرسی یک شکل را نسبت به هر محوری به ساده‌ترین روش محاسبه کنیم، فرموله کنیم. کشیدن محورها از مرکز ثقل شکل ضروری است OUو اوزبه طوری که با شکستن شکل به ساده‌ترین بخش‌های آن، می‌توانیم به راحتی لحظه‌های عبور از فاصله (شکل 2) از مرکز ثقل را محاسبه کنیم:

در بسیاری از موارد، می توان بلافاصله محورهای اصلی شکل را ترسیم کرد. اگر یک شکل دارای یک محور تقارن باشد، این یکی از محورهای اصلی خواهد بود. در واقع، هنگام استخراج فرمول، قبلاً با انتگرال سروکار داشتیم که ممان گریز از مرکز اینرسی مقطع نسبت به محورها است. درو z; ثابت شده است که اگر محور اوزمحور تقارن است، این انتگرال ناپدید می شود.

بنابراین، در این مورد محورها OUو اوزهستند اصلیمحورهای اینرسی مرکزی مقطع. بدین ترتیب، محور تقارن- همیشه محور مرکزی اصلی؛ دومین خانهمحور مرکزی از مرکز ثقل عمود بر محور تقارن عبور می کند.

مثال.گشتاورهای اینرسی مستطیل (شکل 3) را نسبت به محورها پیدا کنید و برابر با:

ممان اینرسی در مورد محورها برابر است با:

ممان گریز از مرکز اینرسی برابر است با.

روش محاسبه ممان اینرسی مقاطع پیچیده بر این اساس استوار است که هر انتگرالی را می توان به عنوان مجموع انتگرال ها در نظر گرفت و بنابراین، ممان اینرسی هر مقطع را می توان به عنوان مجموع گشتاورهای اینرسی محاسبه کرد. تک تک قطعات آن

بنابراین، برای محاسبه ممان اینرسی، یک مقطع پیچیده را به تعدادی قسمت ساده (شکل) تقسیم می‌کنند، به گونه‌ای که می‌توان مشخصات هندسی آن‌ها را با استفاده از فرمول‌های شناخته شده محاسبه کرد یا با استفاده از جداول مرجع خاص یافت.

در برخی موارد، هنگام تقسیم به ارقام ساده برای کاهش تعداد یا ساده کردن شکل آنها، توصیه می شود بخش پیچیده را با برخی مناطق تکمیل کنید. بنابراین، به عنوان مثال، هنگام تعیین ویژگی های هندسی بخش نشان داده شده در شکل. 22.5، الف، توصیه می شود آن را به یک مستطیل اضافه کنید و سپس ویژگی های قسمت اضافه شده را از ویژگی های هندسی این مستطیل کم کنید. همین کار را در صورت وجود سوراخ انجام دهید (شکل 22.5، b).

پس از تقسیم یک مقطع پیچیده به قطعات ساده، برای هر یک از آنها یک سیستم مختصات مستطیلی انتخاب می شود که باید ممان اینرسی قطعه مربوطه را نسبت به آن تعیین کرد. تمام این سیستم های مختصات موازی با یکدیگر در نظر گرفته می شوند به طوری که پس از آن، با ترجمه موازی محورها، می توان گشتاورهای اینرسی همه قسمت ها را نسبت به سیستم مختصات مشترک در کل مقطع پیچیده محاسبه کرد.

به عنوان یک قاعده، سیستم مختصات برای هر شکل ساده مرکزی فرض می شود، یعنی منشا آن با مرکز ثقل این شکل منطبق است. در این حالت، محاسبه بعدی گشتاورهای اینرسی هنگام انتقال به محورهای موازی دیگر ساده می شود، زیرا فرمول های انتقال از محورهای مرکزی شکل ساده تری نسبت به محورهای غیر مرکزی دارند.

مرحله بعدی محاسبه مساحت هر شکل ساده و همچنین گشتاورهای اینرسی محوری و گریز از مرکز نسبت به محورهای سیستم مختصات انتخاب شده برای آن است. گشتاورهای ایستا در مورد این محورها، به طور معمول، برابر با صفر هستند، زیرا برای هر بخش از بخش، این محورها معمولاً مرکزی هستند. در مواردی که این محورها غیر مرکزی هستند، محاسبه گشتاورهای ساکن ضروری است.

گشتاور قطبی اینرسی فقط برای یک بخش دایره ای (جامد یا حلقوی) با استفاده از فرمول های آماده محاسبه می شود. برای بخش هایی از اشکال دیگر، این مشخصه هندسی هیچ اهمیتی ندارد، زیرا در محاسبات استفاده نمی شود.

گشتاور محوری و گریز از مرکز اینرسی هر شکل ساده نسبت به محورهای سیستم مختصات آن با استفاده از فرمول ها یا جداول موجود برای چنین شکلی محاسبه می شود. برای برخی از شکل ها، فرمول ها و جداول موجود به ما اجازه نمی دهد که گشتاورهای اینرسی محوری و گریز از مرکز را تعیین کنیم. در این موارد لازم است از فرمول هایی برای انتقال به محورهای جدید استفاده شود (معمولاً برای حالت چرخش محورها).

جداول مجموعه مقادیر گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی را برای زاویه ها نشان نمی دهد. روش تعیین چنین گشتاورهای اینرسی در مثال 4.5 مورد بحث قرار گرفته است.

در اکثریت قریب به اتفاق موارد، هدف نهایی از محاسبه ویژگی های هندسی یک مقطع، تعیین ممان های اصلی اینرسی مرکزی و موقعیت محورهای اصلی اینرسی مرکزی است. بنابراین، مرحله بعدی محاسبه، تعیین مختصات مرکز ثقل یک مقطع معین [با استفاده از فرمول های (6.5) و (7.5)] در سیستم مختصات دلخواه (تصادفی) است.از طریق این مرکز ثقل مقطع ، محورهای مرکزی کمکی (نه اصلی) به موازات محورهای سیستم مختصات اشکال ساده ترسیم می شوند.

سپس با استفاده از فرمول هایی که روابط بین گشتاورهای اینرسی را برای محورهای موازی ایجاد می کند (به بند 5.5 مراجعه کنید)، ممان اینرسی هر شکل ساده نسبت به محورهای کمکی و مرکزی تعیین می شود. برای محورها، گشتاورهای اینرسی کل بخش پیچیده نسبت به این محورها تعیین می شود. در این حالت ممان اینرسی سوراخ ها یا لنت های اضافه شده کم می شود.

ممان اینرسی مقاطع را انتگرال هایی به شکل زیر می گویند:

در;

- گشتاور محوری اینرسی مقطع نسبت به محور z;

- گشتاور گریز از مرکز اینرسی مقطع؛

- ممان اینرسی قطبی مقطع.

3.2.1. خواص لنگرهای مقطعی اینرسی

بعد گشتاورهای اینرسی [طول 4] است، معمولا [ متر 4] یا [ سانتی متر 4 ].

گشتاورهای محوری و قطبی اینرسی همیشه مثبت هستند. ممان گریز از مرکز اینرسی می تواند مثبت، منفی یا صفر باشد.

محورهایی که ممان اینرسی گریز از مرکز در اطراف آنها صفر است نامیده می شوند محورهای اصلی اینرسیبخش ها

محورهای تقارن همیشه محورهای اصلی هستند. اگر حداقل یکی از دو محور عمود بر هم یک محور تقارن باشد، هر دو محور اصلی هستند.

ممان اینرسی یک مقطع مرکب برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی عناصر این مقطع.

گشتاور قطبی اینرسی برابر است با مجموع گشتاورهای محوری اینرسی.

بیایید آخرین خاصیت را ثابت کنیم. در بخش با مساحت آبرای یک سایت ابتدایی dAبردار شعاع ρ و مختصات درو z(شکل 6) طبق قضیه فیثاغورث به هم متصل می شوند: ρ 2 = در 2 + z 2. سپس

برنج. 6. رابطه بین مختصات قطبی و دکارتی

سایت ابتدایی

3.2.2. لحظه های اینرسی ساده ترین ارقام

که در بخش مستطیل شکل(شکل 7) یک پلت فرم ابتدایی را انتخاب کنید dAبا مختصات yو zو منطقه dA = dydz.

برنج. 7. مقطع مستطیلی

گشتاور محوری اینرسی حول محور در

.

به همین ترتیب، ممان اینرسی حول محور را بدست می آوریم z:

از آنجا که درو z- محور تقارن، سپس گشتاور گریز از مرکز D zy = 0.

برای دایرهقطر داگر تقارن دایره ای را در نظر بگیریم و از مختصات قطبی استفاده کنیم، محاسبات ساده می شود. اجازه دهید به عنوان یک سکوی ابتدایی یک حلقه بی نهایت نازک با شعاع ρ و ضخامت در نظر بگیریم دρ (شکل 8). منطقه آن dA= 2 پر دρ. آنگاه ممان اینرسی قطبی برابر با:

.

برنج. 8. بخش گرد

همانطور که در بالا نشان داده شد، گشتاورهای محوری اینرسی در مورد هر محور مرکزی یکسان و مساوی هستند

.

ممان اینرسی حلقهما به عنوان تفاوت بین گشتاورهای اینرسی دو دایره - خارجی (با قطر) پیدا می کنیم D) و داخلی (با قطر د):

ممان اینرسی من z مثلثما آن را نسبت به محوری که از مرکز ثقل عبور می کند تعریف می کنیم (شکل 9). بدیهی است که عرض یک نوار ابتدایی در یک فاصله قرار دارد دراز محور z، برابر است

از این رو،

برنج. 9. مقطع مثلثی

3.3. وابستگی بین گشتاورهای اینرسی نسبت به محورهای موازی

با مقادیر شناخته شده گشتاورهای اینرسی در مورد محورها zو دربیایید گشتاورهای اینرسی را نسبت به محورهای دیگر تعیین کنیم z 1 و y 1 به موازات موارد داده شده. با استفاده از فرمول کلی برای گشتاورهای محوری اینرسی، متوجه می‌شویم

اگر تبرها zو yمرکزی، پس
، و

از فرمول های به دست آمده مشخص است که گشتاورهای اینرسی در مورد محورهای مرکزی (زمانی که
) کوچکترین مقادیر را در مقایسه با ممان اینرسی در مورد هر محور موازی دیگری دارند.

3.4. محورهای اصلی و گشتاورهای اصلی اینرسی

هنگامی که محورها در یک زاویه α می چرخند، گشتاور گریز از مرکز اینرسی برابر می شود

.

اجازه دهید موقعیت محورهای اصلی اینرسی را تعیین کنیم تو, vدر مورد کدام

,

که α 0 زاویه ای است که محورها باید از طریق آن بچرخند yو zتا تبدیل به اصلی شوند.

از آنجایی که فرمول دو مقدار زاویه می دهد و
، سپس دو محور اصلی عمود بر یکدیگر وجود دارد. محور حداکثر همیشه یک زاویه کوچکتر ایجاد می کند ( ) با محورها ( zیا yنسبت به آن، ممان محوری اینرسی از اهمیت بیشتری برخوردار است. به یاد بیاورید که زوایای مثبت از محور خارج می شوند z پادساعتگرد.

ممان اینرسی در مورد محورهای اصلی نامیده می شود لحظات اصلی اینرسیمی توان نشان داد که آنها

.

علامت مثبت جلوی جمله دوم به حداکثر ممان اینرسی و علامت منفی به حداقل اشاره دارد.