Formule la definición de un cono truncado de sus elementos. Tronco
Superficie cónica es la superficie formada por todas las líneas rectas que pasan por cada punto de una curva dada y un punto fuera de la curva (Fig. 32).
Esta curva se llama guía , derecho - formando , punto - arriba superficie cónica.
Superficie cónica circular recta es la superficie formada por todas las rectas que pasan por cada punto de un círculo dado y un punto de una recta que es perpendicular al plano del círculo y pasa por su centro. En lo que sigue llamaremos brevemente a esta superficie superficie cónica (Figura 33).
Cono (cono circular recto ) es un cuerpo geométrico delimitado por una superficie cónica y un plano paralelo al plano del círculo guía (Fig. 34).
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Arroz. 32 figura. 33 figura. 34
Un cono puede considerarse como un cuerpo que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de un eje que contiene uno de los catetos del triángulo.
El círculo que encierra un cono se llama su base . El vértice de una superficie cónica se llama arriba cono El segmento que une el vértice de un cono con el centro de su base se llama altura cono Los segmentos que forman una superficie cónica se llaman formando cono Eje de un cono es una línea recta que pasa por la parte superior del cono y el centro de su base. sección axial Se llama sección que pasa por el eje del cono. Desarrollo de la superficie lateral Un cono se llama sector, cuyo radio es igual a la longitud de la generatriz del cono, y la longitud del arco del sector es igual a la circunferencia de la base del cono.
Las fórmulas correctas para un cono son:
Dónde R– radio base;
h- altura;
yo– longitud de la generatriz;
base S- área de la base;
lado S
S lleno
V– volumen del cono.
Cono truncado Se llama la parte del cono encerrada entre la base y el plano de corte paralelo a la base del cono (Fig. 35).
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Un cono truncado puede considerarse como un cuerpo obtenido al girar un trapezoide rectangular alrededor de un eje que contiene el lado del trapezoide perpendicular a las bases.
Los dos círculos que encierran un cono se llaman razones . Altura de un cono truncado es la distancia entre sus bases. Los segmentos que forman la superficie cónica de un cono truncado se llaman formando . Una línea recta que pasa por los centros de las bases se llama eje cono truncado. sección axial Se llama sección que pasa por el eje de un cono truncado.
Para un cono truncado las fórmulas correctas son:
(8)
Dónde R– radio de la base inferior;
r– radio de la base superior;
h– altura, l – longitud de la generatriz;
lado S– superficie lateral;
S lleno- superficie total;
V– volumen de un cono truncado.
Ejemplo 1. La sección transversal del cono paralela a la base divide la altura en una proporción de 1:3, contando desde arriba. Calcula el área de la superficie lateral de un cono truncado si el radio de la base y la altura del cono son 9 cm y 12 cm.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 36).
Para calcular el área de la superficie lateral de un cono truncado utilizamos la fórmula (8). Encontremos los radios de las bases. Alrededor de 1 A Y Aproximadamente 1V y formando AB.
Considere triángulos similares SO2B Y Entonces 1A, coeficiente de similitud, entonces 
De aquí 
Desde entonces 
El área de la superficie lateral de un cono truncado es igual a:
Respuesta: .
Ejemplo 2. Un cuarto de círculo de radio se dobla formando una superficie cónica. Encuentra el radio de la base y la altura del cono.
Solución. El cuadrante del círculo es el desarrollo de la superficie lateral del cono. denotemos r– radio de su base, H – altura. Calculemos el área de la superficie lateral usando la fórmula: . Es igual al área de un cuarto de círculo: . Obtenemos una ecuación con dos incógnitas. r Y yo(formando un cono). En este caso, la generatriz es igual al radio del cuarto de círculo. R, lo que significa que obtenemos la siguiente ecuación: , de donde Conociendo el radio de la base y el generador, encontramos la altura del cono:
Respuesta: 2 centímetros, .
Ejemplo 3. Un trapezoide rectangular con un ángulo agudo de 45 O, una base menor de 3 cm y un lado inclinado igual a , gira alrededor de un lado perpendicular a las bases. Encuentre el volumen del cuerpo de rotación resultante.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 37).
Como resultado de la rotación obtenemos un cono truncado; para encontrar su volumen calculamos el radio de la base mayor y la altura. en el trapecio O 1 O 2 AB llevaremos a cabo AC^O 1B. B tenemos: esto significa que este triángulo es isósceles C.A.=ANTES DE CRISTO.=3cm.
Respuesta:
Ejemplo 4. Un triángulo con lados de 13 cm, 37 cm y 40 cm gira alrededor de un eje externo, que es paralelo al lado mayor y ubicado a una distancia de 3 cm de él (el eje está ubicado en el plano del triángulo). Encuentre el área de superficie del cuerpo de rotación resultante.
Solución
.
Hagamos un dibujo (Fig. 38).
La superficie del cuerpo de revolución resultante está formada por las superficies laterales de dos conos truncados y la superficie lateral de un cilindro. Para calcular estas áreas es necesario conocer los radios de las bases de los conos y del cilindro ( SER Y JEFE.), formando conos ( ANTES DE CRISTO. Y C.A.) y altura del cilindro ( AB). La única incógnita es CO. 
esta es la distancia desde el lado del triángulo hasta el eje de rotación. Lo encontraremos corriente continua. El área del triángulo ABC en un lado es igual al producto de la mitad del lado AB por la altura dibujada hacia él. corriente continua, por otro lado, conociendo todos los lados del triángulo, calculamos su área mediante la fórmula de Herón.
Introducción
Arroz. 1. Objetos de la vida que tienen forma de ko-nu-sa truncado
¿De dónde crees que surgen las nuevas figuras en geometría? Todo es muy simple: una persona en la vida se encuentra con objetos similares y viene, como si los llamara. Miremos el mueble sobre el que se sientan los leones del circo, un trozo de zanahoria que se recoge cuando estamos a punto de -una parte de él, un volcán activo y, por ejemplo, la luz del fo-na-ri- ka (ver Fig. 1).
Cono truncado, sus elementos y sección axial.
Arroz. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry
Vemos que todas estas figuras tienen una forma similar: tanto desde abajo como desde arriba están delimitadas por círculos, pero hacia arriba se estrechan ( ver figura 2).
Arroz. 3. Desde la parte superior del co-nu-sa
Parece un cono. Simplemente no hay suficiente silencio. Imaginamos mentalmente que tomamos un cono y le quitamos la parte superior con un movimiento de una espada afilada (ver Fig. 3).
Arroz. 4. Cono truncado
Esta es exactamente nuestra figura; se llama cono truncado (ver Fig. 4).
Arroz. 5. Se-che-nie, paralelo-os-no-va-niyu ko-nu-sa
Que se dé un cono. Creemos un plano, un plano paralelo al eje de este co-nu-sa y un cono transversal (ver. Fig. 5).
Dividirá el cono en dos cuerpos: uno de ellos es un cono de menor tamaño y el segundo se llama cono truncado (ver Fig. 6).
Arroz. 6. Cuerpos obtenidos en una sección paralela.
Así, un cono truncado es una parte del cono, conectada entre su cuerpo principal y el cuerpo principal paralelo pero de forma plana. Como en el caso de un cono, un cono truncado puede tener como base un círculo; en este caso se llama círculo. Si el cono original era recto, entonces el cono truncado se llama recto. Como en el caso de ko-nu-sa-mi, nos fijaremos en las claves, pero ko-nu-s sy truncado circular recto, si no se indica específicamente que estamos hablando de un co-nu-se truncado indirecto. o en su base no hay círculos.
Arroz. 7. Rotación de una trampa rectangular.
Nuestro tema global son los cuerpos de rotación. ¡Un cono truncado no es una excepción! Recordemos que para obtener un co-nu-sa, ¿smo-mat-ri-va-li un triángulo rectangular y lo giramos alrededor de ka-te-ta? Si el cono resultante se corta con un plano paralelo al eje, entonces no quedará una línea recta desde el triángulo -mo-coal-trape-tion. Su rotación alrededor del lado menor nos dará un cono truncado. Observemos nuevamente que, obviamente, estamos hablando sólo de una co-nu-se circular directa (ver Fig. 7).
Arroz. 8. Os-no-va-niya truncado-no-go ko-nu-sa
Haré algunos preparativos. La base del medio-ko-nu-sa y el círculo, medio-cha-yu-shay en la sección del piso ko-nu-sa, en- ellos llaman os-no-va-ni-ya-mi truncado ko-nu-sa (inferior y superior) (ver Fig. 8).
Arroz. 9. Ob-ra-zu-yu-schi truncado ko-nu-sa
De los esquejes de la mitad ra-zu-yu-shih del co-nu-sa, conectados entre el os-but-va-ni-mi truncado-pero-go ko-nu-sa, llaman about-ra- zu-yu-schi-mi truncado-no-go ko-nu-sa. Dado que todos los resultados educativos son iguales y todos los resultados educativos son iguales, entonces los co-nu-sa truncados ob-ra-zu-yu son iguales (¡no confunda los truncados y los truncados!). De aquí se sigue la igualdad de la tra-pe-ción del eje de la sección (ver Fig. 9).
Desde el eje de rotación, encerrado dentro del co-nu-sa truncado, lo llaman eje del eje truncado ko-nu-sa. Este recorte, ra-zu-me-et-sya, une los centros de sus fundamentos (ver Fig. 10).
Arroz. 10. Eje del ko-nu-sa truncado
You-so-ta ko-nu-sa truncado es un per-pen-di-ku-lyar, pro-ve-den desde el punto de uno de los os-no-van-niya hasta otra base. La mayoría de las veces, en tu calidad, has truncado su eje.
Arroz. 11. Ose-voe se-che-nie truncado-no-go-ko-nu-sa
La sección axial de una co-nu-sa truncada es la sección que pasa por su eje. Tiene forma de trapezoide, un poco más adelante mostraremos su igualdad (ver Fig. 11).
Áreas de las superficies laterales y totales de un cono truncado
Arroz. 12. Cono con símbolos introducidos.
Encontremos el área del bo-co-voy en la parte superior del ko-nu-sa truncado. Deje que las bases del co-nu-sa truncado tengan radios y , y deje que ob-ra-zu-yu sean iguales (ver Fig. 12).
Arroz. 13. Designación del ob-ra-zu-yu-shchei de-se-chen-no-th ko-nu-sa
Encontremos el área de bo-ko-voy encima del co-nu-sa truncado como la diferencia en el área de bo-ko-voys en la parte superior pero-ste-khod-no-go ko-nu-sa y from-se-chen-no-go. Para hacer esto, lo denotamos mediante la formación del ko-nu-sa (ver Fig. 13).
Entonces is-ko-may.
Arroz. 14. Triángulos semejantes
Lo único que te queda es que lo averigües.
Observemos que de po-do-biy tri-corn-ni-kov, de-a-sí (ver Fig. 14).
Sería posible expresar esto dividiéndolo en la diferencia entre los radios, pero no lo necesitamos, porque en el presente caso es precisamente el fi-gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de- nie. Sustituyendo en lugar de ello, finalmente tenemos: .
Ahora no es difícil conseguir una forma para una superficie completa. Para ello, suma exactamente el área de los dos círculos de las bases: .
Tarea
Arroz. 15. Ilustración del for-da-che
Deje que el cono truncado gire mediante una trampa rectangular alrededor de su altura. La línea media del trapezoide es igual a y el lado mayor es igual a (ver Fig. 15). Encuentre el área del bo-co-voy en el top-no-sti del ko-nu-sa truncado.
Solución
Por la fórmula sabemos que 
.
La formación del ko-nu-sa será una gran tra-pe-ción en curso de cien ro, es decir, Ra-di-u-sy ko-well-sa: esta es la base de la tra- pe-ción. No podemos encontrarlos. Pero no lo necesitamos: solo necesitamos su suma, y la suma de las bases de un trapecio es el doble de su línea media, es decir, es igual a . Entonces .
Similitudes entre conos truncados y pirámides
Preste atención al hecho de que cuando hablamos de co-nu-se, hablamos de ello entre él y pi -ra-mi-doy: las fórmulas eran análogas. Lo mismo ocurre aquí, porque un cono truncado es muy similar a un pi-ra-mi-du truncado, por lo que las fórmulas para el área son grandes y completas ko-nu-sa y pi-ra-mi truncadas. -dy (y pronto habrá fórmulas para el volumen) analog-lo-gic- us.
Tarea
Arroz. 1. Ilustración del for-da-che
El ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa es igual a y , y el ob-ra-zu-yu-shchaya es igual a . Encuentre el co-nu-sa truncado y el área de su eje (ver Fig. 1).
Que emanan de un punto (la parte superior del cono) y que pasan por una superficie plana.
Sucede que un cono es una parte de un cuerpo que tiene un volumen limitado y se obtiene combinando cada segmento que conecta los vértices y puntos de una superficie plana. Este último, en este caso, es base del cono, y se dice que el cono descansa sobre esta base.
Cuando la base de un cono es un polígono, ya es pirámide .
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Cono circular- es un cuerpo que consta de un círculo (la base del cono), un punto que no se encuentra en el plano de este círculo (la parte superior del cono y todos los segmentos que conectan la parte superior del cono con los puntos del base). Los segmentos que conectan el vértice del cono y los puntos del círculo base se llaman formando un cono. La superficie del cono consta de una base y una superficie lateral. |
El área de la superficie lateral es correcta. norte-una pirámide de carbono inscrita en un cono:
S norte =½P norte l norte,
Dónde p norte- el perímetro de la base de la pirámide, y l norte- apotema.
Por el mismo principio: para la superficie lateral de un cono truncado con radios de base R 1, R 2 y formando yo obtenemos la siguiente fórmula:
S=(R 1 +R 2)l.
Conos circulares rectos y oblicuos de igual base y altura. Estos cuerpos tienen el mismo volumen:
Propiedades de un cono.
- Cuando el área de la base tiene límite, significa que el volumen del cono también tiene límite y es igual a la tercera parte del producto de la altura por el área de la base.
Dónde S- área de la base, h- altura.
Así, cada cono que descansa sobre esta base y tiene un vértice que se sitúa en un plano paralelo a la base tiene igual volumen, ya que sus alturas son iguales.
- El centro de gravedad de cada cono con un volumen que tiene un límite se ubica a un cuarto de la altura desde la base.
- El ángulo sólido en el vértice de un cono circular recto se puede expresar mediante la siguiente fórmula:
Dónde α - ángulo de apertura del cono.
- El área de la superficie lateral de dicho cono, fórmula:
y el área de superficie total (es decir, la suma de las áreas de la superficie lateral y la base), la fórmula:
S=πR(l+R),
Dónde R- radio de la base, yo— longitud de la generatriz.
- Volumen de un cono circular, fórmula:
- Para un cono truncado (no solo recto o circular), volumen, fórmula:
Dónde S 1 Y S 2- área de las bases superior e inferior,
h Y h- distancias desde el plano de la base superior e inferior hasta la cima.
- La intersección de un plano con un cono circular recto es una de las secciones cónicas.
La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras en el espacio y las relaciones entre ellas. A su vez, también consta de apartados, y uno de ellos es la estereometría. Se trata del estudio de las propiedades de figuras tridimensionales situadas en el espacio: cubo, pirámide, bola, cono, cilindro, etc.
Un cono es un cuerpo en el espacio euclidiano que está limitado por una superficie cónica y el plano en el que se encuentran los extremos de sus generadores. Su formación se produce durante la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de cualquiera de sus catetos, por lo que pertenece a los cuerpos de rotación.
Componentes de un cono
Existen los siguientes tipos de conos: oblicuos (o inclinados) y rectos. Oblicuo es aquel cuyo eje no corta con el centro de su base en ángulo recto. Por esta razón, la altura en tal cono no coincide con el eje, ya que es un segmento que desciende desde la parte superior del cuerpo hasta el plano de su base en un ángulo de 90°.
El cono cuyo eje es perpendicular a su base se llama recto. El eje y la altura en un cuerpo geométrico de este tipo coinciden debido al hecho de que el vértice se encuentra por encima del centro del diámetro de la base.
El cono consta de los siguientes elementos:
- El círculo que es su base.
- Superficie lateral.
- Un punto que no se encuentra en el plano de la base, llamado vértice del cono.
- Segmentos que conectan los puntos de la circunferencia de la base de un cuerpo geométrico y su vértice.
Todos estos segmentos son generadores del cono. Están inclinados hacia la base del cuerpo geométrico, y en el caso de un cono recto, sus proyecciones son iguales, ya que el vértice equidista de los puntos del círculo de la base. Así, podemos concluir que en un cono regular (recto) los generadores son iguales, es decir, tienen la misma longitud y forman los mismos ángulos con el eje (o altura) y la base.
Dado que en un cuerpo de rotación oblicuo (o inclinado) el vértice se desplaza con respecto al centro del plano base, los generadores en dicho cuerpo tienen diferentes longitudes y proyecciones, ya que cada uno de ellos está a una distancia diferente de dos puntos cualesquiera de el círculo de la base. Además, los ángulos entre ellos y la altura del cono también serán diferentes.
Longitud de generatrices en un cono recto.
Como se escribió anteriormente, la altura en un cuerpo de revolución geométrico recto es perpendicular al plano de la base. Así, la generatriz, la altura y el radio de la base crean un triángulo rectángulo en el cono.
Es decir, conociendo el radio de la base y la altura, usando la fórmula del teorema de Pitágoras, se puede calcular la longitud de la generatriz, que será igual a la suma de los cuadrados del radio de la base y la altura:
l 2 = r 2 + h 2 o l = √r 2 + h 2
donde l es el generador;
r - radio;
h - altura.
Generador en cono inclinado
Partiendo del hecho de que en un cono oblicuo o inclinado los generadores no tienen la misma longitud, no será posible calcularlos sin construcciones y cálculos adicionales.
En primer lugar, necesita conocer la altura, la longitud del eje y el radio de la base.
r 1 = √k 2 - h 2
donde r 1 es la parte del radio entre el eje y la altura;
k - longitud del eje;
h - altura.
Como resultado de sumar el radio (r) y su parte situada entre el eje y la altura (r 1), se puede conocer la generatriz completa del cono, su altura y parte del diámetro:
donde R es el cateto de un triángulo formado por la altura, el generador y parte del diámetro de la base;
r - radio de la base;
r 1 - parte del radio entre el eje y la altura.
Usando la misma fórmula del teorema de Pitágoras, puedes encontrar la longitud de la generatriz del cono:
l = √h 2 + R 2
o, sin calcular R por separado, combinar las dos fórmulas en una:
l = √h 2 + (r + r 1) 2.
Independientemente de si el cono es recto u oblicuo y cuáles son los datos de entrada, todos los métodos para encontrar la longitud de la generatriz siempre se reducen a un resultado: el uso del teorema de Pitágoras.
Sección de cono
Axial es un plano que pasa a lo largo de su eje o altura. En un cono recto, dicha sección es un triángulo isósceles, en el que la altura del triángulo es la altura del cuerpo, sus lados son los generadores y la base es el diámetro de la base. En un cuerpo geométrico equilátero, la sección axial es un triángulo equilátero, ya que en este cono el diámetro de la base y los generadores son iguales.
El plano de la sección axial de un cono recto es el plano de su simetría. La razón de esto es que su parte superior se encuentra por encima del centro de su base, es decir, el plano de la sección axial divide el cono en dos partes idénticas.
Dado que la altura y el eje no coinciden en un cuerpo volumétrico inclinado, el plano de sección axial puede no incluir la altura. Si se pueden construir muchas secciones axiales en un cono de este tipo, ya que para esto solo se debe cumplir una condición: debe pasar solo a través del eje, entonces solo se puede dibujar la sección axial del plano al que pertenecerá la altura de este cono. uno, porque el número de condiciones aumenta y, como se sabe, dos rectas (juntas) pueden pertenecer a un solo plano.
Área transversal
La sección axial del cono mencionada anteriormente es un triángulo. En base a esto, su área se puede calcular usando la fórmula para el área de un triángulo:
S = 1/2 * d * h o S = 1/2 * 2r * h
donde S es el área de la sección transversal;
d - diámetro de la base;
r - radio;
h - altura.
En un cono oblicuo o inclinado, la sección transversal a lo largo del eje también es un triángulo, por lo que el área de la sección transversal se calcula de manera similar.
Volumen
Dado que un cono es una figura tridimensional en un espacio tridimensional, se puede calcular su volumen. El volumen de un cono es un número que caracteriza a este cuerpo en una unidad de volumen, es decir, en m3. El cálculo no depende de si es recto u oblicuo (oblicuo), ya que las fórmulas para estos dos tipos de cuerpos no difieren.
Como se dijo anteriormente, la formación de un cono rectángulo se produce debido a la rotación de un triángulo rectángulo a lo largo de uno de sus catetos. Un cono inclinado u oblicuo se forma de manera diferente, ya que su altura se aleja del centro del plano de la base del cuerpo. Sin embargo, tales diferencias en la estructura no afectan el método para calcular su volumen.
Cálculo de volumen
Cualquier cono se parece a esto:
V = 1/3 * π * h * r 2
donde V es el volumen del cono;
h - altura;
r - radio;
π es una constante igual a 3,14.
Para calcular la altura de un cuerpo es necesario conocer el radio de la base y la longitud de su generatriz. Dado que el radio, la altura y el generador se combinan en un triángulo rectángulo, la altura se puede calcular usando la fórmula del teorema de Pitágoras (a 2 + b 2 = c 2 o en nuestro caso h 2 + r 2 = l 2, donde l es el generador). La altura se calculará sacando la raíz cuadrada de la diferencia entre los cuadrados de la hipotenusa y el otro cateto:
un = √c 2 - segundo 2
Es decir, la altura del cono será igual al valor obtenido tras sacar la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la longitud de la generatriz y el cuadrado del radio de la base:
h = √l 2 - r 2
Calculando la altura con este método y conociendo el radio de su base, puedes calcular el volumen del cono. El generador juega un papel importante en este caso, ya que sirve como elemento auxiliar en los cálculos.
De manera similar, si se conoce la altura de un cuerpo y la longitud de su generatriz, se puede encontrar el radio de su base sacando la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la generatriz y el cuadrado de la altura:
r = √l 2 - h 2
Luego, usando la misma fórmula anterior, calcula el volumen del cono.
Volumen de un cono inclinado
Dado que la fórmula para el volumen de un cono es la misma para todos los tipos de cuerpos de rotación, la diferencia en su cálculo es la búsqueda de la altura.
Para saber la altura de un cono inclinado, los datos de entrada deben incluir la longitud de la generatriz, el radio de la base y la distancia entre el centro de la base y la intersección de la altura del cuerpo con el plano. de su base. Sabiendo esto, podrás calcular fácilmente qué parte del diámetro de la base será la base de un triángulo rectángulo (formado por la altura, la generatriz y el plano de la base). Luego, utilizando nuevamente el teorema de Pitágoras, calcula la altura del cono y, posteriormente, su volumen.
Arroz. 1. Objetos de la vida que tienen forma de cono truncado
¿De dónde crees que provienen las nuevas formas en geometría? Todo es muy simple: una persona se encuentra con objetos similares en la vida y se les ocurre un nombre. Consideremos un stand en el que se sientan los leones de un circo, un trozo de zanahoria que se obtiene cortando sólo una parte, un volcán activo y, por ejemplo, la luz de una linterna (ver Fig. 1).
Arroz. 2. Formas geométricas
Vemos que todas estas figuras tienen una forma similar: tanto desde abajo como desde arriba están limitadas por círculos, pero se estrechan hacia arriba (ver Fig. 2).
Arroz. 3. Cortar la parte superior del cono.
Parece un cono. Sólo falta la parte superior. Imaginemos mentalmente que tomamos un cono y le cortamos la parte superior con un movimiento de una espada afilada (ver Fig. 3).
Arroz. 4. Cono truncado
El resultado es exactamente nuestra figura, se llama cono truncado (ver Fig. 4).
Arroz. 5. Sección paralela a la base del cono.
Que se dé un cono. Dibujemos un plano paralelo al plano de la base de este cono y que corte al cono (ver Fig. 5).
Dividirá el cono en dos cuerpos: uno de ellos es un cono más pequeño y el segundo se llama cono truncado (ver Fig. 6).
Arroz. 6. Los cuerpos resultantes con una sección paralela.
Por tanto, un cono truncado es la parte de un cono encerrada entre su base y un plano paralelo a la base. Al igual que ocurre con un cono, un cono truncado puede tener un círculo en su base, en cuyo caso se llama circular. Si el cono original era recto, entonces el cono truncado se llama recto. Como en el caso de los conos, consideraremos exclusivamente conos truncados circulares rectos, salvo que se indique específicamente que estamos hablando de un cono truncado indirecto o que sus bases no sean círculos.
Arroz. 7. Rotación de un trapezoide rectangular.
Nuestro tema global son los cuerpos de rotación. ¡El cono truncado no es una excepción! Recordemos que para obtener un cono consideramos un triángulo rectángulo y lo giramos alrededor de un cateto. Si el cono resultante es interceptado por un plano paralelo a la base, entonces el triángulo seguirá siendo un trapezoide rectangular. Su rotación alrededor del lado menor nos dará un cono truncado. Notemos nuevamente que, por supuesto, estamos hablando solo de un cono circular recto (ver Fig. 7).
Arroz. 8. Bases de un cono truncado
Hagamos algunos comentarios. La base de un cono completo y el círculo resultante de una sección del cono por un plano se denominan bases de un cono truncado (inferior y superior) (ver Fig. 8).
Arroz. 9. Generadores de cono truncado.
Los segmentos de los generadores de un cono completo, encerrados entre las bases de un cono truncado, se denominan generadores de un cono truncado. Dado que todos los generadores del cono original son iguales y todos los generadores del cono cortado son iguales, entonces los generadores del cono truncado son iguales (¡no confunda el cono cortado y el truncado!). Esto implica que la sección axial del trapezoide es isósceles (ver Fig. 9).
El segmento del eje de rotación encerrado dentro de un cono truncado se llama eje del cono truncado. Este segmento, por supuesto, conecta los centros de sus bases (ver Fig. 10).
Arroz. 10. Eje de un cono truncado
La altura de un cono truncado es una perpendicular trazada desde un punto de una de las bases hasta la otra base. Muy a menudo, la altura de un cono truncado se considera su eje.
Arroz. 11. Sección axial de un cono truncado.
La sección axial de un cono truncado es la sección que pasa por su eje. Tiene forma de trapezoide; un poco más adelante demostraremos que es isósceles (ver Fig. 11).
Arroz. 12. Cono con notaciones introducidas.
Encontremos el área de la superficie lateral del cono truncado. Sean las bases del cono truncado radios y , y la generatriz sea igual (ver Fig. 12).
Arroz. 13. Designación de la generatriz del cono cortado.
Encontremos el área de la superficie lateral del cono truncado como la diferencia entre las áreas de las superficies laterales del cono original y el cortado. Para hacer esto, denotemos por la generatriz del cono cortado (ver Fig. 13).
Entonces lo que buscas.
Arroz. 14. Triángulos semejantes
Sólo queda expresar.
Tenga en cuenta que a partir de la similitud de los triángulos, de donde (ver Fig. 14).
Se podría expresar , dividiendo por la diferencia de radios, pero no lo necesitamos, porque el producto que buscamos aparece en la expresión que buscamos. Sustituyendo finalmente tenemos: .
Ahora es fácil obtener una fórmula para la superficie total. Para ello basta con sumar el área de los dos círculos de las bases: .
Arroz. 15. Ilustración del problema.
Sea un cono truncado haciendo girar un trapezoide rectangular alrededor de su altura. La línea media del trapezoide es igual a y el lado lateral grande es igual a (ver Fig. 15). Encuentre el área de la superficie lateral del cono truncado resultante.
Solución
Por la fórmula sabemos que 
.
La generatriz del cono será el lado mayor del trapezoide original, es decir, los radios del cono son las bases del trapezoide. No podemos encontrarlos. Pero no lo necesitamos: solo necesitamos su suma, y la suma de las bases de un trapecio es el doble de su línea media, es decir, es igual a . Entonces .
Tenga en cuenta que cuando hablamos del cono, trazamos paralelos entre él y la pirámide; las fórmulas eran similares. Aquí ocurre lo mismo, porque un cono truncado es muy similar a una pirámide truncada, por lo que las fórmulas para las áreas de las superficies laterales y totales de un cono truncado y una pirámide (y pronto habrá fórmulas para el volumen) son similares.
Arroz. 1. Ilustración del problema.
Los radios de las bases del cono truncado son iguales a y , y la generatriz es igual a . Encuentre la altura del cono truncado y el área de su sección axial (ver Fig. 1).