La construcción de curvas patrón se realiza de la siguiente manera:

Primero se determinan los puntos que pertenecen a la curva y luego se conectan mediante un patrón. Las curvas patrón incluyen las llamadas secciones cónicas de una parábola, hipérbola, elipse obtenida cortando un cono circular con un plano, involuta, sinusoide y otras.

1. Construcción de una elipse.

2. Enfoque de elipse

3. Construcción de una parábola

6. Dibujar curvas de patrón.

Una elipse es una sección cónica que pertenece a las llamadas curvas patrón. La elipse, la hipérbola y la parábola se obtienen cortando un cono circular con una curva plana, sinusoide, involuta y otras.

Figura 41. Intersección de un cono por un plano a lo largo de una elipse (a) y una elipse (b).

Para construir curvas patrón (parábola, elipse, hipérbola), se determinan los puntos que pertenecen a la curva y luego todos los puntos se conectan mediante un patrón. En el caso de que la superficie de un cono circular se corte con un plano inclinado -P, de modo que el plano inclinado corte todas las generatrices del cono circular, entonces se forma una elipse en el propio plano de sección (Ver Figura 41, a). ).

Una elipse es una curva plana cerrada en la que la suma de las distancias de cada uno de sus puntos (M a dos puntos dados F1 y F2) es un valor constante. Este valor constante es igual al eje mayor de la elipse MF1 + MF2 = AB El eje menor de la elipse CD y el eje mayor AB son mutuamente perpendiculares y un eje divide al otro por la mitad.

Figura 42. Construcción de una elipse a lo largo de los ejes.


Por tanto, los ejes dividen la curva de elipse en cuatro partes iguales simétricas por pares. Si desde los extremos del eje menor CD, como desde los centros, describimos un arco de circunferencia con un radio igual a la mitad del eje mayor de la elipse R=OA=OB, entonces lo cortará en los puntos F1 y F2. , que se llaman focos.

La Figura 42 muestra un ejemplo de construcción de una elipse a lo largo de sus ejes. En los ejes dados AB y CD, como en los diámetros, construimos dos círculos concéntricos con el centro en el punto O. Dividimos el círculo grande en un número arbitrario de partes y las conectamos. los puntos resultantes con líneas rectas al centro O.

Desde los puntos de intersección 1; 2; 3; 4; con círculos auxiliares dibujamos segmentos de rectas horizontales y verticales hasta que se cruzan en los puntos E, F, K, M, que pertenecen a la elipse. A continuación, utilizando un patrón, se conectan los puntos construidos de una curva suave y el resultado es una elipse.

Construcción de curvas patrón, parábola.

Figura 43. Intersección de un cono por un plano a lo largo de una parábola. Construir una parábola usando el foco y la directriz.

Si se corta un cono circular paralelo a una de sus generatrices con un plano inclinado P, entonces se forma una parábola en el plano de sección (ver Figura 43 a). Cada punto de la parábola se encuentra desde la recta dada -MN, y desde el foco -F a la misma distancia.

La recta MN es una guía y se ubica perpendicular al eje de la parábola. Entre la guía -MN y el foco -F, el vértice de la parábola A se ubica justo en el medio. foco y una guía dada, por el punto de foco -F, trazar el eje de la parábola -X, guía perpendicular -MN.

Divida el segmento EF por la mitad y obtenga el vértice de la parábola-A. Desde el vértice de la parábola a una distancia arbitraria, dibuje líneas rectas perpendiculares al eje de la parábola. Desde el punto -F con un radio igual a la distancia -L, desde la recta correspondiente hasta la guía, por ejemplo CB, trazamos una recta hasta esta. En este caso, los puntos C y B.

Habiendo construido así varios pares de puntos simétricos, dibujamos una curva suave a través de ellos usando un patrón. La figura (43 c) muestra un ejemplo de construcción de una parábola tangente a dos rectas OA y OB en los puntos A y B. Los segmentos OA y OB se dividen en el mismo número de partes iguales (por ejemplo, divididos en ocho). Después de eso, los puntos de división resultantes se numeran y conectan con líneas rectas 1-1; 2-2; 3-3 (ver Figura 43, c) y así sucesivamente. Estas líneas son tangentes a la curva parabólica. Luego se inscribe una curva parábola tangente suave en el contorno formado por las líneas rectas.

Si cortas los conos directo e inverso con un plano paralelo a sus dos generatrices o, en un caso particular, paralelo al eje, entonces en el plano de sección obtendrás una hipérbola que consta de dos ramas simétricas (ver Figura 45, a) .

Figura 45. Intersección de un cono por un plano a lo largo de una hipérbola (a) y construcción de una hipérbola (b).

Una hipérbola (Figura 45,b) es una curva plana en la que la diferencia de distancias desde cada uno de sus puntos a dos puntos dados F1 y F2, llamados focos, es un valor constante e igual a la distancia entre sus vértices a y b, por ejemplo SF1-SF2=ab. Una hipérbola tiene dos ejes de simetría: AB real y CD imaginario.

Dos rectas KL y K1 L1 que pasan por el centro O de la hipérbola y tocan sus ramas en el infinito se llaman asíntotas. Se puede construir una hipérbola a partir de los vértices ayb y los focos F1 y F2 dados. Determinamos los vértices de la hipérbola inscribiendo un rectángulo en un círculo construido en la distancia focal (segmento F1 y F2), como en el diámetro.

En el eje real AB a la derecha del foco F2 marcamos arbitrariamente 1, 2, 3, 4, ... Desde los focos F1 y F2 dibujamos arcos de circunferencia, primero con radio a-1, luego b-1 hasta intersección mutua a ambos lados del eje real de la hipérbola. A continuación, realizaremos la intersección mutua del siguiente par de arcos con radios a-2 y b-2 (punto S) y así sucesivamente.

Los puntos de intersección resultantes de los arcos pertenecen a la rama derecha de la hipérbola. Los puntos de la rama izquierda serán simétricos a los puntos construidos con respecto al eje imaginario CD.

Una sinusoide es la proyección de la trayectoria de un punto que se mueve a lo largo de una hélice cilíndrica sobre un plano paralelo al eje del cilindro. El movimiento de un punto consiste en un movimiento uniformemente rotacional (alrededor del eje del cilindro) y un movimiento uniformemente traslacional (paralelo al cilindro).

Figura 46. Construcción de una sinusoide

Una onda sinusoidal es una curva plana que muestra el cambio en la función seno trigonométrica dependiendo del cambio en la magnitud del ángulo. para construir una sinusoide (Figura 46), a través del centro O de un círculo de diámetro D, trazar una línea recta OX y sobre ella trazar un segmento O1 A igual a la longitud del círculo π D. Dividimos este segmento y círculo en el mismo número de partes iguales. A partir de los puntos obtenidos y numerados dibujamos líneas rectas mutuamente perpendiculares. Conectaremos los puntos de intersección resultantes de estas líneas usando un patrón de curva suave.

Dibujar curvas de patrones

Las curvas patrón se construyen por puntos. Estos puntos se conectan mediante patrones, primero dibujando una curva a mano. El principio de conectar puntos individuales de una curva es el siguiente:

Seleccionamos aquella parte del arco del patrón que mejor coincida con el mayor número de puntos de la curva trazada. A continuación, no dibujaremos todo el arco de la curva que coincide con el patrón, sino solo la parte media del mismo. Después de esto, seleccionaremos otra parte del patrón, pero de manera que esta parte toque aproximadamente un tercio de la curva dibujada y al menos dos puntos posteriores de la curva, y así sucesivamente. Esto garantiza una transición suave entre los arcos individuales de la curva.

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Construcción de una elipse

Una elipse es una curva convexa plana cerrada, la suma de las distancias de cada punto a dos puntos dados, llamados focos, que se encuentran en el eje mayor es constante e igual a la longitud del eje mayor. La construcción de un óvalo según dos ejes (Figura 23) se realiza de la siguiente manera:

• - dibujar líneas axiales en las que los segmentos AB y CD, iguales a los ejes mayor y menor de la elipse, se colocan simétricamente desde el punto de intersección O;
• - construir dos círculos con radios iguales a la mitad de los ejes de la elipse con el centro en el punto de intersección de los ejes;
• - dividir el círculo en doce partes iguales. La división del círculo se realiza como se muestra en el párrafo 2.3;
• -los rayos de diámetro se dibujan a través de los puntos obtenidos;
• - desde los puntos de intersección de los rayos con los círculos correspondientes paralelos a los ejes de la elipse se trazan líneas rectas hasta que se cruzan entre sí en los puntos que se encuentran en la elipse;
• - Los puntos resultantes se conectan mediante una línea curva suave mediante patrones. Al construir una línea curva de patrón, es necesario seleccionar y colocar el patrón de modo que al menos cuatro o cinco puntos estén conectados.

Hay otras formas de construir una elipse.

Construyendo una parábola

Una parábola es una línea curva plana, cada punto de la cual es equidistante de la directriz DD 1, una línea recta perpendicular al eje de simetría de la parábola, y del foco F, un punto ubicado en el eje de simetría. La distancia KF entre la directriz y el foco se llama parámetro de parábola. pag.

La Figura 24 muestra un ejemplo de cómo dibujar una parábola a lo largo del vértice O, el eje OK y la cuerda CD. La construcción se realiza de la siguiente manera:

• - trazar una línea recta horizontal en la que se marca el vértice O y se traza el eje OK;
• - trazar a través del punto K una perpendicular en la que se traza simétricamente hacia arriba y hacia abajo la longitud de la cuerda de la parábola;
• - construir un rectángulo ABCD, en el que un lado sea igual al eje y el otro sea igual a la cuerda de la parábola;
• - el lado BC se divide en varias partes iguales y el segmento KC en el mismo número de partes iguales;
• - desde el vértice de la parábola O se dibujan rayos por los puntos 1, 2, etc., y por los puntos 1 1, 2 1, etc.;
• - trazar líneas rectas paralelas a los ejes y determinar los puntos de intersección de los rayos con las líneas paralelas correspondientes, por ejemplo, el punto de intersección del rayo O1 con la línea recta O1 1, que pertenece a la parábola;
• - Los puntos resultantes están conectados por una línea curva suave debajo del patrón. La segunda rama de la parábola se construye de manera similar.

Hay otras formas de construir una parábola.

¿Cómo construir una parábola? Hay varias formas de graficar una función cuadrática. Cada uno de ellos tiene sus pros y sus contras. Consideremos dos formas.

Comencemos trazando una función cuadrática de la forma y=x²+bx+c y y= -x²+bx+c.

Ejemplo.

Grafica la función y=x²+2x-3.

Solución:

y=x²+2x-3 es una función cuadrática. La gráfica es una parábola con ramas hacia arriba. Coordenadas del vértice de la parábola

Desde el vértice (-1;-4) construimos una gráfica de la parábola y=x² (a partir del origen de coordenadas. En lugar de (0;0) - vértice (-1;-4). Desde (-1; -4) vamos a la derecha 1 unidad y arriba 1 unidad, luego a la izquierda 1 y arriba 1, luego: 2 - derecha, 4 - arriba, 2 - izquierda, 3 - arriba; izquierda, 9 - arriba Si estos 7 puntos no son suficientes, entonces 4 a la derecha, 16 arriba, etc.).

La gráfica de la función cuadrática y= -x²+bx+c es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia abajo. Para construir una gráfica buscamos las coordenadas del vértice y a partir de ella construimos una parábola y= -x².

Ejemplo.

Grafica la función y= -x²+2x+8.

Solución:

y= -x²+2x+8 es una función cuadrática. La gráfica es una parábola con ramas hacia abajo. Coordenadas del vértice de la parábola

Desde arriba construimos una parábola y= -x² (1 - a la derecha, 1- abajo; 1 - izquierda, 1 - abajo; 2 - derecha, 4 - abajo; 2 - izquierda, 4 - abajo, etc.):

Este método te permite construir una parábola rápidamente y no causa dificultades si sabes graficar las funciones y=x² e y= -x². Desventaja: si las coordenadas del vértice son números fraccionarios, no es muy conveniente construir una gráfica. Si necesitas conocer los valores exactos de los puntos de intersección de la gráfica con el eje Ox, tendrás que resolver adicionalmente la ecuación x²+bx+c=0 (o -x²+bx+c=0), incluso si estos puntos se pueden determinar directamente a partir del dibujo.

Otra forma de construir una parábola es por puntos, es decir, puedes encontrar varios puntos en la gráfica y trazar una parábola a través de ellos (teniendo en cuenta que la recta x=xₒ es su eje de simetría). Por lo general, para esto toman el vértice de la parábola, los puntos de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas y 1-2 puntos adicionales.

Dibuja una gráfica de la función y=x²+5x+4.

Solución:

y=x²+5x+4 es una función cuadrática. La gráfica es una parábola con ramas hacia arriba. Coordenadas del vértice de la parábola

es decir, el vértice de la parábola es el punto (-2,5; -2,25).

Estan buscando . En el punto de intersección con el eje Ox y=0: x²+5x+4=0. Las raíces de la ecuación cuadrática x1=-1, x2=-4, es decir, tenemos dos puntos en la gráfica (-1; 0) y (-4; 0).

En el punto de intersección de la gráfica con el eje Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Entendemos el punto (0; 4).

Para aclarar el gráfico, puedes encontrar un punto adicional. Tomemos x=1, entonces y=1²+5∙1+4=10, es decir, otro punto de la gráfica es (1; 10). Marcamos estos puntos en el plano de coordenadas. Teniendo en cuenta la simetría de la parábola con respecto a la recta que pasa por su vértice, marcamos dos puntos más: (-5; 6) y (-6; 10) y dibujamos una parábola a través de ellos:

Grafica la función y= -x²-3x.

Solución:

y= -x²-3x es una función cuadrática. La gráfica es una parábola con ramas hacia abajo. Coordenadas del vértice de la parábola

El vértice (-1,5; 2,25) es el primer punto de la parábola.

En los puntos de intersección de la gráfica con el eje x y=0, es decir, resolvemos la ecuación -x²-3x=0. Sus raíces son x=0 y x=-3, es decir (0;0) y (-3;0), dos puntos más en el gráfico. El punto (o; 0) es también el punto de intersección de la parábola con el eje de ordenadas.

En x=1 y=-1²-3∙1=-4, es decir (1; -4) es un punto adicional para trazar.

Construir una parábola a partir de puntos es un método que requiere más mano de obra en comparación con el primero. Si la parábola no corta el eje Ox, se necesitarán más puntos adicionales.

Antes de continuar construyendo gráficas de funciones cuadráticas de la forma y=ax²+bx+c, consideremos la construcción de gráficas de funciones usando transformaciones geométricas. También es más conveniente construir gráficas de funciones de la forma y=x²+c usando una de estas transformaciones: la traducción paralela.

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Construir una parábola es una de las operaciones matemáticas más conocidas. Muy a menudo se utiliza no sólo con fines científicos, sino también puramente prácticos. Descubramos cómo realizar este procedimiento utilizando las herramientas de la aplicación Excel.

Una parábola es la gráfica de una función cuadrática del siguiente tipo f(x)=ax^2+bx+c. Una de sus propiedades notables es el hecho de que una parábola tiene la forma de una figura simétrica formada por un conjunto de puntos equidistantes de la directriz. En general, construir una parábola en Excel no es muy diferente de construir cualquier otro gráfico en este programa.

Creando una tabla

En primer lugar, antes de comenzar a construir una parábola, debes construir una tabla a partir de la cual se creará. Por ejemplo, tomemos la construcción de una gráfica de una función. f(x)=2x^2+7.

Trazar un gráfico

Como se mencionó anteriormente, ahora tenemos que construir el gráfico en sí.

Editar un gráfico

Ahora puedes editar ligeramente el gráfico resultante.

Además, puedes realizar cualquier otro tipo de edición de la parábola resultante, incluido cambiar su nombre y los nombres de los ejes. Estas técnicas de edición no van más allá del ámbito de trabajo en Excel con otro tipo de diagramas.

Como puede ver, construir una parábola en Excel no es fundamentalmente diferente de construir otro tipo de gráfico o diagrama en el mismo programa. Todas las acciones se realizan sobre la base de una tabla pregenerada. Además, hay que tener en cuenta que el diagrama de dispersión es el más adecuado para construir una parábola.

Elipse. Si cortas la superficie de un cono circular con un plano inclinado. R de manera que corte a todos sus generadores, entonces se obtendrá una elipse en el plano de sección (Figura 65).

Figura 65

Elipse(Figura 66) – una curva plana cerrada en la que la suma de distancias desde cualquiera de sus puntos (por ejemplo, desde un punto METRO ) hasta dos puntos dados F 1 Y F 2 – los focos de la elipse – hay un valor constante igual a la longitud de su eje mayor AB (Por ejemplo, F 1 M + F2M = AB ).Segmento de línea AB se llama eje mayor de la elipse, y el segmento CD - su eje menor. Los ejes de la elipse se cortan en el punto O- el centro de la elipse, y su tamaño determina las longitudes de los ejes mayor y menor. Puntos F 1 Y F 2 ubicado en el eje mayor AB simétrico respecto al punto oh y se eliminan de los extremos del eje menor (puntos CON Y D ) a una distancia igual a la mitad del eje mayor de la elipse .

Figura 66

Hay varias formas de construir una elipse. La forma más sencilla es construir una elipse a lo largo de sus dos ejes utilizando círculos auxiliares (Figura 67). En este caso, se especifica el centro de la elipse: el punto oh y a través de él se trazan dos líneas rectas mutuamente perpendiculares (Figura 67, a). desde el punto ACERCA DE Describe dos círculos con radios iguales a la mitad de los ejes mayor y menor. El círculo grande se divide en 12 partes iguales y los puntos de división están conectados al punto ACERCA DE . Las líneas dibujadas también dividirán el círculo más pequeño en 12 partes iguales. Luego, se dibujan líneas horizontales (o líneas rectas paralelas al eje mayor de la elipse) a través de los puntos de división del círculo más pequeño, y líneas verticales (o líneas rectas paralelas al eje menor de la elipse) a través de los puntos de división. del círculo mayor. Los puntos de su intersección (por ejemplo, el punto METRO ) pertenecen a la elipse. Al conectar los puntos resultantes con una curva suave, se obtiene una elipse (Figura 67, b).

Figura 67

Parábola. Si un cono circular es cortado por un plano R , paralela a una de sus generatrices, entonces se obtendrá una parábola en el plano de sección (Figura 68).

Figura 68

Parábola(Figura 69) – una curva plana, cada punto de la cual está a la misma distancia de una línea recta dada DD 1 , llamado directora y puntos F – foco de una parábola. Por ejemplo, para un punto METRO segmentos Minnesota (distancia a la directora) y M.F. (distancia al enfoque) son iguales, es decir Minnesota = M.F. .

Una parábola tiene la forma de una curva abierta con un eje de simetría que pasa por el foco de la parábola: el punto. F y se ubica perpendicular al director DD 1 .Preciso A , situada en el medio del segmento DE , llamado el vértice de la parábola. Distancia del foco a la directriz - segmento DE = 2´OA – denotado por una letra R y llama parámetro de parábola. Cuanto mayor sea el parámetro R , más bruscamente se alejan las ramas de la parábola de su eje. Un segmento encerrado entre dos puntos de una parábola ubicados simétricamente con respecto al eje de la parábola se llama acorde(por ejemplo, acorde mk ).

Figura 69

Construyendo una parábola a partir de su directriz DD 1 y su foco F(Figura 70,a) . a través del punto F Dibuja el eje de la parábola perpendicular a la directriz hasta que corte a la directriz en el punto. ACERCA DE. Segmento de línea DE = pag dividir por la mitad y obtener un punto A - la parte superior de la parábola. En el eje de la parábola puntual. A Coloque varias secciones que aumenten gradualmente. A través de puntos de división 1, 2, 3 él. D. dibujar líneas rectas paralelas a la directriz. Tomando como centro el foco de la parábola, describen arcos con un radio R1 =L1 1 ,radio R2 = L2 hasta que corta una recta que pasa por un punto 2 , etc. Los puntos resultantes pertenecen a la parábola. Primero, se conectan a mano mediante una línea delgada y suave y luego se trazan a lo largo del patrón.

Construcción de una parábola a lo largo de su eje, vértice A y punto intermedio M(Figura 70, b). A través de la parte superior A trazar una recta perpendicular al eje de la parábola y que pase por el punto M – recta paralela al eje. Ambas rectas se cortan en un punto B . Segmentos AB Y B.M. se dividen en el mismo número de partes iguales, y los puntos de división se numeran en las direcciones indicadas por las flechas. A través de la cima A y puntos 1 , 2 , 3 , 4 conducir rayos, y desde puntos I , II , III ,IV – rectas paralelas al eje de la parábola. En la intersección de líneas marcadas con el mismo número, hay puntos que pertenecen a la parábola. Ambas ramas de la parábola son iguales, por lo que la otra rama se construye simétricamente a la primera mediante cuerdas.

Figura 70

Construcción de una parábola tangente a dos rectas OA y OB en los puntos A y B dados sobre ellas(Figura 71, b). Segmentos O.A. Y transmisión exterior dividido en el mismo número de partes iguales (por ejemplo, en 8 partes). Los puntos de división resultantes se numeran y los puntos del mismo nombre se conectan mediante líneas rectas. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 etc. . d . Estas líneas son tangentes a la curva parabólica. A continuación, se inscribe una curva tangente suave (una parábola) en el contorno formado por las líneas rectas. .

Figura 71

Hipérbola. Si cortas los conos directo e inverso con un plano paralelo a sus dos generatrices o, en un caso particular, paralelo al eje, entonces en el plano de sección obtendrás una hipérbola que consta de dos ramas simétricas (Figura 72, a).

Hipérbole(Figura 72, b) se llama curva plana abierta, que es un conjunto de puntos, la diferencia de distancias desde dos puntos dados es un valor constante.

Figura 72

Puntos constantes F 1 Y F 2 son llamados trucos , y la distancia entre ellos es longitud focal . Segmentos de linea ( F 1 M Y F 2 M ), conectando cualquier punto ( METRO ) la curva con focos se llama vectores de radio hipérboles . Diferencia entre distancias de punto y enfoque. F 1 Y F 2 es un valor constante e igual a la distancia entre los vértices A Y b hipérbole; por ejemplo, por un punto METRO tendrá: F 1 M -F 2 M = ab. Una hipérbola consta de dos ramas abiertas y tiene dos ejes mutuamente perpendiculares: válido AB Y imaginario CD. Directo pq Y rs, pasando por el centro oh ,son llamados asíntotas .

Construyendo una hipérbola usando estas asíntotas pq Y rs, trucos F 1 Y F 2 como se muestra en la Figura 72, b.

eje real AB una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por las asíntotas. Eje imaginario CD perpendicular AB y pasa por el punto ACERCA DE. teniendo trucos F 1 Y F2, definir los vértices A Y b Hipérbolas, ¿por qué en un segmento? F 1 F 2 construir un semicírculo que corte las asíntotas en puntos metro Y PAG. Desde estos puntos se bajan perpendiculares al eje. AB y en la intersección con él obtenemos vértices A Y b hipérbole.

Construir la rama derecha de una hipérbola sobre una recta. AB a la derecha del foco F 1 marcar puntos arbitrarios 1 , 2 , 3 , ..., 5. Puntos V Y V1 Las hipérbolas se obtienen si tomamos el segmento. a5 más allá del radio y desde el punto F2 dibujar un arco de círculo, que está marcado desde el punto F 1, radio igual a b5. Los puntos restantes de la hipérbola se construyen por analogía con los descritos.

A veces hay que construir una hipérbola cuyas asíntotas OH Y oy mutuamente perpendiculares (Figura 73). En este caso, los ejes real e imaginario serán bis Con Electricidades de ángulos rectos. Para construir se especifica uno de los puntos de la hipérbola, por ejemplo, el punto A.

Figura 73

a través del punto A realizar directo Alaska Y SOY. , paralelo a los ejes Oh Y UNED .Desde el punto oh re Con conceptos sobre Con le dan directo Con lineas rectas SOY. Y Alaska en puntos 1 , 2 , 3 , 4 Y 1" , 2" , 3" , 4" . A continuación, se dibujan segmentos verticales y horizontales desde los puntos de intersección con estas líneas hasta que se cruzan entre sí en los puntos Yo, II, III, IV etc. Los puntos resultantes de la hipérbola se conectan mediante un patrón. . Puntos 1, 2, 3, 4 ubicados en una línea vertical se toman arbitrariamente .

Involuta de un círculo o desarrollo de un círculo. Involuta de un círculo Se llama curva plana a la que describe cada punto de una línea recta si esta línea recta se rueda sin deslizarse a lo largo de un círculo estacionario (la trayectoria de los puntos de un círculo formado por su despliegue y enderezamiento) (Figura 74).

Para construir una involuta, basta con especificar el diámetro del círculo. D y la posición inicial del punto A (punto Un 0 ). a través del punto Un 0 dibuja una tangente al círculo y traza la longitud del círculo dado en ella D . El segmento resultante y el círculo se dividen en el mismo número de partes y se trazan tangentes a él en una dirección a través de los puntos divisorios del círculo. En cada tangente se colocan segmentos tomados de la línea horizontal y correspondientemente iguales. 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = VA 0 2 , 3A 3 = A 0 3 etc.; Los puntos resultantes se conectan según el patrón.

Figura 74

Espiral de Arquímedes- una curva plana descrita por un punto A , girando uniformemente alrededor de un punto fijo – polos ACERCA DE y al mismo tiempo alejándose uniformemente de él (Figura 75). La distancia recorrida por un punto al girar 360° en línea recta se llama paso de espiral. Los puntos pertenecientes a la espiral de Arquímedes se construyen a partir de la definición de la curva, especificando el paso y sentido de rotación.

Construcción de una espiral de Arquímedes utilizando un paso determinado (segmento OA) y un sentido de rotación en el sentido de las agujas del reloj(Figura 75). A través de un punto ACERCA DE dibuja una línea recta y marca el paso en espiral en ella O.A. y, tomándolo como radio, describe un círculo. Círculo y segmento O.A. dividido en 12 partes iguales. Los radios se dibujan a través de los puntos divisorios del círculo. O1 , O2 , O3 etc. y sobre ellos desde el punto ACERCA DE se colocan utilizando arcos, respectivamente, 1/12, 2/12, 3/12, etc., del radio del círculo. Los puntos resultantes se conectan a lo largo de un patrón con una curva suave.

La espiral de Arquímedes es una curva abierta y, si es necesario, puedes construir cualquier número de sus vueltas. Para construir el segundo giro, describe un círculo con un radio R = 2 OA y repetir todas las construcciones anteriores.

Figura 75

Onda sinusoidal.Onda sinusoidal se llama proyección de la trayectoria del punto que se mueve Con soy cilíndrico Con cual hélice, en un plano paralelo al eje del cilindro . El movimiento de un punto consiste en un movimiento de rotación uniforme (alrededor del eje del cilindro) y un movimiento de traslación uniforme (paralelo al eje del cilindro). . Una onda sinusoidal es una curva plana que muestra el cambio en la función seno trigonométrica dependiendo del cambio de ángulo. .

Para construir una sinusoide (Figura 76) a través del centro ACERCA DE diámetro del círculo D realizar directo OH y se coloca un segmento sobre él O 1 A , igual a la circunferencia D. Este segmento y el círculo se dividen en el mismo número de partes iguales. A partir de los puntos obtenidos y numerados se dibujan líneas rectas mutuamente perpendiculares. Los puntos de intersección resultantes de estas líneas se conectan mediante un patrón de curva suave.

Figura 76

Cardioide. Cardioide(Figura 77) llamadas Con Soy una trayectoria cerrada de un punto en un círculo. Con que rueda sin deslizarse a lo largo de un círculo estacionario del mismo radio .

Figura 77

desde el centro ACERCA DE dibujar un círculo de un radio dado y tomar un punto arbitrario en él METRO. Por este punto se trazan una serie de secantes. En cada secante, a ambos lados del punto de intersección con el círculo, se colocan segmentos iguales al diámetro del círculo. M1. si, secante III3МIII 1 corta la circunferencia en un punto 3 ;los segmentos se despiden a partir de este punto 3III Y 3III 1, igual al diámetro M1. Puntos III Y III 1 , pertenecen al cardioide . Similarmente, Con actual IV4MIV 1 re Con el circulo esta en un punto 4; Los segmentos se colocan desde este punto. IV4 Y 4IV 1, igual al diámetro M1, obtener puntos IV Y IV 1 etc.

Los puntos encontrados están conectados por una curva, como se muestra en la Figura 77.

Curvas cicloidales. cicloides – líneas curvas planas descritas por un punto perteneciente a un círculo que rueda sin deslizarse a lo largo de una línea recta o un círculo . Si el círculo gira en línea recta, entonces el punto describe una curva llamada cicloide.

Si un círculo rueda a lo largo de otro círculo, estando fuera de él (a lo largo de la parte convexa), entonces el punto describe una curva llamada epicicloide .

Si un círculo rueda a lo largo de otro círculo, estando dentro de él (a lo largo de la parte cóncava), entonces el punto describe una curva llamada hipocicloide . La circunferencia en la que se encuentra el punto se llama productor . La línea por la que rueda el círculo se llama guía .

Para construir una cicloide.(Figura 78) dibuja un círculo de un radio dado R ; toma el punto de partida A y dibuja una línea guía AB, a lo largo del cual rueda el círculo .

Figura 78

Divide el círculo dado en 12 partes iguales (puntos 1" , 2" , 3" , ..., 12"). si el punto A cambiar Con teta Con estoy en una posición un 12 , entonces el segmento AA 12 será igual a la longitud circunferencial dada Con ty, es decir. Dibuja una línea de centros. O – O 12 produciendo circunferencialmente Con ti, igual , y dividirlo en 12 partes iguales. Obtener puntos o 1 ,O2 ,o 3 ,..., O 12 , que son los centros del círculo generador Con tú . A partir de estos puntos dibuja un círculo. Con ty (o arcos alrededor Con tey) de un radio dado R , que tocan la línea AB en puntos 1,2, 3, ..., 12. Si desde cada punto de contacto trazamos en el círculo correspondiente una longitud de arco igual a la cantidad que se ha movido el punto A , entonces obtenemos puntos pertenecientes a la cicloide. Por ejemplo, para conseguir un punto. un 5 La cicloide sigue desde el centro. o 5 dibuja un círculo desde el punto de contacto 5 trazar un arco alrededor de la circunferencia A5, igual a A5", o desde el punto 5" trazar una línea recta paralela AB, a la intersección en el punto un 5 con un círculo dibujado . Todos los demás puntos de la cicloide se construyen de manera similar. .

La epicicloide se construye de la siguiente manera. La Figura 79 muestra el radio del círculo generador. Con A R con centro O 0 , punto de partida A en él y el arco de la guía alrededor Con tu radio Con A R 1 por donde rueda Con Soy un círculo. La construcción de una epicicloide es similar a la construcción de una cicloide, a saber: dividir un círculo dado en 12 partes iguales (puntos 1" , 2" , 3" , ...,12"), cada parte de este círculo está separada de un punto A a lo largo de un arco AB 12 veces (puntos 1 , 2 , 3 , ..., 12) y obtener la longitud del arco AA 12 . Esta longitud se puede determinar usando el ángulo .

Más lejos del centro ACERCA DE radio igual a OOO 0 , dibuja una línea de centros del círculo generador y, dibujando radios 01 , 02 , 03 , ...,012 , continuó hasta que se cruzan con la línea de centros, obtenga centros O 1, O 2, ..., O 12 círculo generador . A partir de estos centros con un radio igual a R , dibujar círculos o arcos de círculos sobre los que construyen y Con qué puntos de la curva; Entonces, para entender el punto Un 4 s debe ser revisado Con arco alrededor Con radio en T O4" hasta que interseca un círculo dibujado desde el centro O4. Otros puntos se construyen de manera similar, que luego se conectan mediante una curva suave. .

Figura 79

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