Escuela secundaria GBOU No. 149 de San Petersburgo

Resumen de la lección

Novikova Olga Nikolaevna

2016

Tema: "Sistema de ecuaciones y desigualdades exponenciales".

Objetivos de la lección:

educativo:

generalizar y consolidar conocimientos sobre cómo resolver ecuaciones exponenciales y desigualdades contenidas en sistemas de ecuaciones y desigualdades

desarrollando: activación actividad cognitiva; desarrollo de habilidades de autocontrol y autoevaluación, autoanálisis de sus actividades.

educativo: formación de habilidades para trabajar de forma independiente; tomar decisiones y sacar conclusiones; educación de la aspiración a la autoeducación y la superación personal.

tipo de lección : conjunto.

Tipo de lección: lección práctica.

durante las clases

YO. organizando el tiempo(1 minuto)

Formulación del objetivo de la clase: Generalizar y consolidar conocimientos sobre cómo resolver ecuaciones exponenciales y desigualdades contenidas en sistemas de ecuaciones y desigualdades. basado en las propiedades de la función exponencial.

II. Trabajo oral (1 minuto)

Definición de una ecuación exponencial.
Métodos para resolver ecuaciones exponenciales.
Algoritmo para resolver desigualdades exponenciales.

tercero . Examen tareas para el hogar(3 minutos)

Estudiantes en sus lugares. El profesor comprueba las respuestas y pregunta cómo resolver ecuaciones y desigualdades demostrativas. №228-231 (impar)

yoV. Actualización de conocimientos básicos. "Idea genial": (3 minutos)

Las preguntas se muestran en hojas impresas en los escritorios de los estudiantes "Funciones exponenciales, ecuaciones, desigualdades" y se ofrecen a los estudiantes para que las respondan oralmente en el acto.

1. ¿Qué función se llama exponencial?

2. Cuál es el alcance de la función y= 0,5X?

3. ¿Cuál es el dominio de la función exponencial?

4. Cuál es el alcance de la función y= 0,5X?

5. ¿Qué propiedades puede tener una función?

6. ¿Bajo qué condición es creciente la función exponencial?

7. ¿Bajo qué condición es decreciente la función exponencial?

8. Función exponencial creciente o decreciente

9. ¿Qué ecuación se llama exponencial?

Diagnóstico del nivel de formación de habilidades prácticas.

Tarea 10 anotar la solución en cuadernos. (7 minutos)

10. Conociendo las propiedades de una función exponencial creciente y decreciente, resuelve las desigualdades

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Resuelve la ecuación: 3 X = 1

12 . Calcular 7.8 0 ; 9.8 0

13 . Especifique un método para resolver ecuaciones exponenciales y resuélvalo:

Después de la finalización, las parejas cambian de hojas. Me aprecio el uno al otro. Criterios en la pizarra. Comprobación de registros en hojas de un archivo.

Así, repetimos las propiedades de la función exponencial, métodos para resolver ecuaciones exponenciales.

El profesor toma y evalúa selectivamente el trabajo de 2-3 estudiantes.

Taller de soluciones sistemas Ecuaciones y desigualdades exponenciales: (23 minutos)

Considere la solución de sistemas de ecuaciones exponenciales y desigualdades basadas en las propiedades de la función exponencial.

Al resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades exponenciales, se utilizan las mismas técnicas que al resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades algebraicas (método de sustitución, método de adición, método de introducción de nuevas variables). En muchos casos, antes de aplicar uno u otro método de solución, es necesario transformar cada ecuación (desigualdad) del sistema a la forma más simple posible.

Ejemplos.

1.

Solución:

Responder: (-7; 3); (1; -1).

2.

Solución:

Denotar 2 X= tu, 3 y= v. Entonces el sistema se escribirá así:

Resolvamos este sistema usando el método de sustitución:

ecuación 2 X= -2 no tiene soluciones, porque -2<0, а 2 X> 0.

b)

Responder: (2;1).

№244(1)

Respuesta: 1,5; 2

Resumiendo. Reflexión. (5 minutos)

Resumen de la lección: Hoy hemos repetido y resumido el conocimiento de métodos para resolver ecuaciones exponenciales y desigualdades contenidas en sistemas basados ​​en las propiedades de la función exponencial.

Se invita a los niños a su vez a tomar de las siguientes frases para elegir y continuar la frase.

Reflexión:

hoy me entere...

fue dificil…

Entiendo que…

He aprendido...

Yo podría)…

Fue interesante saber que...

Me sorprendió...

Quise…

Tareas para el hogar. (2 minutos)

No. 240-242 (impar) p.86

En esta lección, consideraremos la solución de ecuaciones exponenciales más complejas, recordaremos las principales disposiciones teóricas con respecto a la función exponencial.

1. Definición y propiedades de una función exponencial, una técnica para resolver las ecuaciones exponenciales más simples

Recuerda la definición y las principales propiedades de una función exponencial. Es en las propiedades que se basa la solución de todas las ecuaciones y desigualdades exponenciales.

Funcion exponencial es una función de la forma , donde la base es el grado y Aquí x es una variable independiente, un argumento; y - variable dependiente, función.

Arroz. 1. Gráfica de la función exponencial

El gráfico muestra un exponente creciente y decreciente, que ilustra la función exponencial en una base mayor que uno y menor que uno, pero mayor que cero, respectivamente.

Ambas curvas pasan por el punto (0;1)

Propiedades de la función exponencial:

Dominio: ;

Rango de valores: ;

La función es monótona, crece cuando , decrece cuando .

Una función monótona toma cada uno de sus valores con un solo valor del argumento.

Cuando el argumento aumenta de menos a más infinito, la función aumenta de cero, inclusive, a más infinito. Por el contrario, cuando el argumento crece de menos a más infinito, la función decrece de infinito a cero, inclusive.

2. Solución de ecuaciones exponenciales típicas

Recuerda cómo resolver las ecuaciones exponenciales más simples. Su solución se basa en la monotonicidad de la función exponencial. Casi todas las ecuaciones exponenciales complejas se reducen a tales ecuaciones.

La igualdad de exponentes con bases iguales se debe a la propiedad de la función exponencial, a saber, su monotonicidad.

Método de solución:

Igualar las bases de los grados;

Igualar exponentes.

Pasemos a ecuaciones exponenciales más complejas, nuestro objetivo es reducir cada una de ellas a la más simple.

Deshagámonos de la raíz del lado izquierdo y reduzcamos los grados a la misma base:

Para reducir una ecuación exponencial compleja a una simple, a menudo se usa un cambio de variables.

Usemos la propiedad de grado:

Presentamos un reemplazo. Deja entonces

Multiplicamos la ecuación resultante por dos y trasladamos todos los términos al lado izquierdo:

La primera raíz no satisface el intervalo de valores y, la descartamos. Obtenemos:

Llevemos los grados al mismo indicador:

Introducimos un reemplazo:

Deja entonces . Con este reemplazo, es obvio que y toma valores estrictamente positivos. Obtenemos:

Sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas similares, escribimos la respuesta:

Para asegurarte de que las raíces se encuentran correctamente, puedes comprobar según el teorema de Vieta, es decir, encontrar la suma de las raíces y su producto y comprobar con los coeficientes correspondientes de la ecuación.

Obtenemos:

3. Técnica de resolución de ecuaciones exponenciales homogéneas de segundo grado

Estudiemos el siguiente tipo importante de ecuaciones exponenciales:

Las ecuaciones de este tipo se denominan homogéneas de segundo grado con respecto a las funciones f y g. En su lado izquierdo hay un trinomio cuadrado con respecto a f con parámetro g o un trinomio cuadrado con respecto a g con parámetro f.

Método de solución:

Esta ecuación se puede resolver como cuadrática, pero es más fácil hacerlo al revés. Se deben considerar dos casos:

En el primer caso, obtenemos

En el segundo caso, tenemos derecho a dividir por el mayor grado y obtenemos:

Debe introducir un cambio de variables, obtenemos una ecuación cuadrática para y:

Tenga en cuenta que las funciones f y g pueden ser arbitrarias, pero nos interesa el caso en que se trata de funciones exponenciales.

4. Ejemplos de resolución de ecuaciones homogéneas

Muevamos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación:

Como las funciones exponenciales adquieren valores estrictamente positivos, tenemos derecho a dividir inmediatamente la ecuación por , sin considerar el caso cuando:

Obtenemos:

Introducimos un reemplazo: (según las propiedades de la función exponencial)

Tenemos una ecuación cuadrática:

Determinamos las raíces según el teorema de Vieta:

La primera raíz no satisface el intervalo de valores y, la descartamos, obtenemos:

Usemos las propiedades del grado y reduzcamos todos los grados a bases simples:

Es fácil notar las funciones f y g:

Maneras de resolver sistemas de ecuaciones.

Para empezar, recordemos brevemente qué métodos existen generalmente para resolver sistemas de ecuaciones.

Existir cuatro formas principales soluciones de sistemas de ecuaciones:

Método de sustitución: tome cualquiera de estas ecuaciones y exprese $y$ en términos de $x$, luego $y$ se sustituye en la ecuación del sistema, de donde se encuentra la variable $x.$.Después de eso, podemos fácilmente calcular la variable $y.$

Método de suma: en este método, una o ambas ecuaciones deben ser multiplicadas por números de tal manera que cuando se suman ambas, una de las variables “desaparece”.

Método gráfico: ambas ecuaciones del sistema se representan en Plano coordinado y encontrar su punto de intersección.

El método de introducción de nuevas variables: en este método, reemplazamos algunas expresiones para simplificar el sistema y luego aplicamos uno de los métodos anteriores.

Sistemas de ecuaciones exponenciales

Definición 1

Los sistemas de ecuaciones que consisten en ecuaciones exponenciales se denominan sistema de ecuaciones exponenciales.

Consideraremos la solución de sistemas de ecuaciones exponenciales usando ejemplos.

Ejemplo 1

Resolver un sistema de ecuaciones

Foto 1.

Solución.

Usaremos el primer método para resolver este sistema. Primero, expresemos $y$ en la primera ecuación en términos de $x$.

Figura 2.

Sustituye $y$ en la segunda ecuación:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Responder: $(-4,6)$.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de ecuaciones

figura 3

Solución.

Este sistema es equivalente al sistema

Figura 4

Aplicamos el cuarto método para resolver ecuaciones. Sean $2^x=u\ (u >0)$ y $3^y=v\ (v >0)$, obtenemos:

Figura 5

Resolvemos el sistema resultante por el método de la suma. Sumemos las ecuaciones:

\ \

Luego de la segunda ecuación, obtenemos que

Volviendo al reemplazo, recibí un nuevo sistema de ecuaciones exponenciales:

Figura 6

Obtenemos:

Figura 7

Responder: $(0,1)$.

Sistemas de desigualdades exponenciales

Definición 2

Los sistemas de desigualdades que consisten en ecuaciones exponenciales se denominan sistema de desigualdades exponenciales.

Consideraremos la solución de sistemas de desigualdades exponenciales usando ejemplos.

Ejemplo 3

Resolver el sistema de desigualdades

Figura 8

Solución:

Este sistema de desigualdades es equivalente al sistema

Figura 9

Para resolver la primera desigualdad, recuerda el siguiente teorema de equivalencia para desigualdades exponenciales:

Teorema 1. La desigualdad $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, donde $a >0,a\ne 1$ es equivalente al conjunto de dos sistemas

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