Especificar figuras en el plano de coordenadas mediante ecuaciones y desigualdades. Definición de figuras en el plano de coordenadas con ecuaciones y desigualdades Cómo representar un conjunto en el plano de coordenadas

A menudo es necesario representar en el plano de coordenadas el conjunto de soluciones de una desigualdad con dos variables. Una solución a una desigualdad con dos variables es un par de valores de estas variables que convierte la desigualdad dada en una verdadera desigualdad numérica.

2 años+ Zx< 6.

Dibujemos primero una línea recta. Para hacer esto, escribimos la desigualdad como una ecuación 2 años+ Zx = 6 y expresar y. Así, obtenemos: y=(6-3x)/2.

Esta línea divide el conjunto de todos los puntos del plano de coordenadas en puntos por encima y puntos por debajo.

Toma un meme de cada área control, por ejemplo A (1; 1) y B (1; 3)

Las coordenadas del punto A satisfacen la desigualdad dada 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Coordenadas del punto B no satisfacer esta desigualdad 2∙3 + 3∙1< 6.

Como esta desigualdad puede cambiar de signo en la recta 2y + Zx = 6, entonces la desigualdad satisface el conjunto de puntos del área donde se encuentra el punto A. Sombreemos esta área.

Así, hemos representado el conjunto de soluciones a la desigualdad 2 años + Zx< 6.

Ejemplo

Representamos el conjunto de soluciones a la desigualdad x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 en el plano de coordenadas.

Primero, construimos un gráfico de la ecuación x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Dividimos la ecuación del círculo en esta ecuación: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4, o (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

Esta es la ecuación de un círculo con centro en el punto 0 (-1; 2) y radio R = 2. Construyamos este círculo.

Dado que esta desigualdad es estricta y los puntos que se encuentran en el círculo mismo no satisfacen la desigualdad, construimos el círculo con una línea de puntos.

Es fácil comprobar que las coordenadas del centro O del círculo no satisfacen esta desigualdad. La expresión x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 cambia de signo en el círculo construido. Entonces la desigualdad se satisface con puntos ubicados fuera del círculo. Estos puntos están sombreados.

Ejemplo

Representemos en el plano de coordenadas el conjunto de soluciones de la desigualdad

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Primero, construimos un gráfico de la ecuación (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. Es una parábola y \u003d x 2 y una línea recta y \u003d x + 3. Construimos estas líneas y observe que el cambio en el signo de la expresión (y - x 2) (y - x - 3) ocurre solo en estas líneas. Para el punto A (0; 5), determinamos el signo de esta expresión: (5-3) > 0 (es decir, esta desigualdad no se cumple). Ahora es fácil marcar el conjunto de puntos para los que se cumple esta desigualdad (estas áreas están sombreadas).

Algoritmo para resolver desigualdades con dos variables

1. Reducimos la desigualdad a la forma f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Escribimos la igualdad f (x; y) = 0

3. Reconoce las gráficas registradas en el lado izquierdo.

4. Construimos estos gráficos. Si la desigualdad es estricta (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), luego - con trazos, si la desigualdad no es estricta (f (x; y) ≤ 0 o f (x; y) ≥ 0), entonces - con una línea continua.

5. Determine cuántas partes de los gráficos se dividen en el plano de coordenadas

6. Elige en una de estas partes control. Determinar el signo de la expresión f (x; y)

7. Organizamos signos en otras partes del plano, teniendo en cuenta la alternancia (como por el método de intervalos)

8. Seleccionamos las partes que necesitamos de acuerdo con el signo de la desigualdad que estamos resolviendo, y aplicamos sombreado

Dejar dado ecuación con dos variables F(x; y). Ya has aprendido cómo resolver tales ecuaciones analíticamente. El conjunto de soluciones de tales ecuaciones también se puede representar en forma de gráfico.

La gráfica de la ecuación F(x; y) es el conjunto de puntos del plano de coordenadas xOy cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

Para trazar una ecuación de dos variables, primero exprese la variable y en términos de la variable x en la ecuación.

Seguramente ya sabes cómo construir varios gráficos de ecuaciones con dos variables: ax + b \u003d c es una línea recta, yx \u003d k es una hipérbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 es un círculo cuyo radio es R, y el centro está en el punto O(a; b).

Ejemplo 1

Trace la ecuación x 2 - 9y 2 = 0.

Solución.

Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, es decir, y = x/3 o y = -x/3.

Respuesta: figura 1.

Un lugar especial lo ocupa la asignación de figuras en el plano mediante ecuaciones que contienen el signo del valor absoluto, en el que nos detendremos en detalle. Considere las etapas de graficar ecuaciones de la forma |y| = f(x) y |y| = |f(x)|.

La primera ecuación es equivalente al sistema

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) o y = -f(x).

Es decir, su gráfica consta de gráficas de dos funciones: y = f(x) y y = -f(x), donde f(x) ≥ 0.

Para trazar la gráfica de la segunda ecuación, se trazan las gráficas de dos funciones: y = f(x) y y = -f(x).

Ejemplo 2

Trace la ecuación |y| = 2 + x.

Solución.

La ecuación dada es equivalente al sistema

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 o y = -x - 2.

Construimos un conjunto de puntos.

Respuesta: figura 2.

Ejemplo 3

Trace la ecuación |y – x| = 1.

Solución.

Si y ≥ x, entonces y = x + 1, si y ≤ x, entonces y = x - 1.

Respuesta: figura 3.

Cuando se construyen gráficas de ecuaciones que contienen una variable bajo el signo del módulo, es conveniente y racional usar método de área, basado en dividir el plano de coordenadas en partes en las que cada expresión de submódulo conserva su signo.

Ejemplo 4

Trace la ecuación x + |x| + y + |y| = 2

Solución.

En este ejemplo, el signo de cada expresión de submódulo depende del cuadrante de coordenadas.

1) En el primer cuarto de coordenadas x ≥ 0 y y ≥ 0. Después de expandir el módulo, la ecuación dada se verá así:

2x + 2y = 2, y después de la simplificación x + y = 1.

2) En el segundo trimestre, donde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) En el tercer cuarto x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) En el cuarto trimestre, para x ≥ 0 y y< 0 получим, что x = 1.

Graficaremos esta ecuación en cuartos.

Respuesta: figura 4.

Ejemplo 5

Dibujar un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan la igualdad |x – 1| + |y – 1| = 1.

Solución.

Los ceros de las expresiones del submódulo x = 1 e y = 1 dividen el plano de coordenadas en cuatro regiones. Desglosemos los módulos por región. Pongamos esto en forma de tabla.

Región
Signo de expresión de submódulo
La ecuación resultante después de expandir el módulo
yo x ≥ 1 y y ≥ 1 x + y = 3
Yo X< 1 и y ≥ 1 -x+y=1
tercero X< 1 и y < 1 x + y = 1
IV x ≥ 1 y y< 1 x – y = 1

Respuesta: figura 5.

En el plano de coordenadas, las figuras se pueden especificar y desigualdades.

Gráfico de desigualdad con dos variables es el conjunto de todos los puntos del plano coordenado cuyas coordenadas son soluciones de esta desigualdad.

Considerar algoritmo para construir un modelo para resolver una desigualdad con dos variables:

  1. Escriba la ecuación correspondiente a la desigualdad.
  2. Trace la ecuación del paso 1.
  3. Elija un punto arbitrario en uno de los semiplanos. Comprueba si las coordenadas del punto seleccionado satisfacen la desigualdad dada.
  4. Dibujar gráficamente el conjunto de todas las soluciones de la desigualdad.

Consideremos, en primer lugar, la desigualdad ax + bx + c > 0. La ecuación ax + bx + c = 0 define una línea recta que divide el plano en dos semiplanos. En cada uno de ellos, la función f(x) = ax + bx + c conserva el signo. Para determinar este signo, basta con tomar cualquier punto perteneciente al semiplano y calcular el valor de la función en ese punto. Si el signo de la función coincide con el signo de la desigualdad, entonces este semiplano será la solución de la desigualdad.

Considere ejemplos de soluciones gráficas a las desigualdades más comunes con dos variables.

1) hacha + bx + c ≥ 0. Figura 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Figura 7.

3) x 2 + y 2 ≤ un, un > 0. Figura 8.

4) y ≥ x2. Figura 9

5) xy ≤ 1. Figura 10.

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Llamemos (x, y) par ordenado y X y a son los componentes de este par. Al mismo tiempo, consideran que (X 1 a 1 ) = (x 2 .y 2 ), si x 1 = x 2 y a 1 = a 2 .

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Definición 9. El producto cartesiano de los conjuntos A y B se denomina conjunto AB, cuyos elementos son todos pares (x, y) tales que xah, tuB, es decir PEROB \u003d ((x, y) / xah, tuA).

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Encuentre, por ejemplo, el producto cartesiano de conjuntos un = (1,3} y B = (2,4,6).

PEROA= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

La operación por la cual se encuentra un producto cartesiano se llama multiplicación cartesiana de conjuntos.

La multiplicación cartesiana de conjuntos no tiene ni la propiedad de conmutatividad ni la propiedad de asociatividad, pero está asociada a las operaciones de unión y resta de conjuntos por propiedades distributivas:

para cualquier conjunto A B C igualdades se dan:

(PEROA)do = (unDE)(ADE),

(A\B)DE= (PEROC)\(BDE).

Para una representación visual del producto cartesiano de conjuntos numéricos, a menudo se usa un sistema de coordenadas rectangulares.

Dejar PERO y A - conjuntos de números Entonces los elementos del producto cartesiano de estos conjuntos serán pares de números ordenados. Representando cada par de números como un punto en el plano de coordenadas, obtenemos una figura que representará visualmente el producto cartesiano de conjuntos PERO y A.

Representemos en el plano de coordenadas el producto cartesiano de conjuntos PERO y A, si:

a) A = {2, 6}; B ={1,4}, b) A = (2,6}; A= , en) A = ;B =.

En el caso a) estos conjuntos son finitos y es posible enumerar los elementos del producto cartesiano.

PEROB ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Construimos los ejes de coordenadas y sobre los ejes OH marcar los elementos del conjunto PERO, y en el eje tu - establecer elementos A. Luego representamos cada par de números en el conjunto АВ como puntos en el plano de coordenadas (Fig. 7). La figura resultante de cuatro puntos representará visualmente el producto cartesiano de estos conjuntos PERO y A.

En el caso b) es imposible enumerar todos los elementos del producto cartesiano de conjuntos, porque un montón de A- infinito, pero puedes imaginar el proceso de formación de este producto cartesiano: en cada par, el primer componente o 2 , o 6 , y el segundo componente es un número real del intervalo .

Todos los pares cuyo primer componente es un número 2 , y el segundo ejecuta el valor de 1 antes de 4 inclusive, están representados por puntos de segmento DAKOTA DEL SUR, y pares cuyo primer componente es un número 6 , y el segundo es cualquier número real del intervalo , – puntos de segmento RS (Figura 8). Así, en el caso b) el producto cartesiano de conjuntos PERO y A en el plano de coordenadas se representa como un segmento Dakota del Sur y RS.

Arroz. figura 7 8 figura 9

El caso c) difiere del caso b) en que aquí no sólo el conjunto A, pero también muchos PERO, es por eso, el primer componente de pares pertenecientes al conjunto PEROA, es cualquier número del intervalo . Puntos que representan elementos del producto cartesiano de conjuntos PERO y A, formar un cuadrado UVEL (Figura 9). Para enfatizar que los elementos del producto cartesiano están representados por los puntos del cuadrado, se puede sombrear.

preguntas de examen

    Demuestre que la resolución de los siguientes problemas conduce a la formación de un producto cartesiano de conjuntos:

a) Escribe todas las fracciones cuyo numerador sea un número del conjunto un ={3, 4} , y el denominador es un número del conjunto B = (5,6, 7}.

b) Escribir diferentes números de dos dígitos usando números 1, 2, 3, 4.

    Demostrar que para cualquier conjunto A B C igualdad justa (PEROA)С = (PERODE)(ADE). Ilustrar su satisfacibilidad para conjuntos PERO= {2, 4, 6}, B=(1,3, 5), C = (0, 1).

    ¿Qué forma tienen los puntos en el plano de coordenadas si sus coordenadas son elementos del producto cartesiano de conjuntos? PERO= (– 3, 3) y A= R

    Determine el producto cartesiano de los cuales conjuntos PERO y A se muestra en la Figura 10.

Arroz. diez

Ejercicios

112. Escribe todos los números de dos cifras cuyas decenas pertenecen al conjunto PERO= {1, 3, 5} , y los dígitos de las unidades - al conjunto B = (2,4,6).

113. Escribe todas las fracciones cuyos numeradores se elijan del conjunto A=(3,5, 7}, y el denominador es del conjunto B={4, 6, 8}.

114. escribe todo fracciones propias, cuyos numeradores se eligen del conjunto un =(3, 5,7), y el denominador es del conjunto B= (4, 6,8}.

115. Se dan conjuntos PAG ={1, 2, 3}, K \u003d (un,b}. Encuentre todos los productos cartesianos de conjuntos RA y kr

116. Se sabe que PEROA= ((1, 2); (3, 2); (1, 4); (3, 4); (1, 6); (3, 6)). Determinar de qué elementos están compuestos los conjuntos. PERO y A.

117. Conjuntos de escritura (PEROA)DE y PERO(ADE) transferir vapor , si PERO=(a,b}, B = {3}, C={4, 6}

118. Haz conjuntos PEROsegundo, segundoPERO, si:

a )A = (a,b,s),B=(d},

b) A = { a, b}, B = ,

en) A \u003d (t, p,k), B = A,

GRAMO) A = { X, y, z}, B = { k, norte}

119. Es sabido que PEROB = ((2.3), (2.5), (2.6), (3.3), (3.5), (3.6)). Determinar de qué elementos están compuestos los conjuntos. PERO y A.

120. Encuentra el producto cartesiano de conjuntos un = {5, 9, 4} y A= {7, 8, 6} y seleccione de él un subconjunto de pares en el que:

a) el primer componente es mayor que el segundo; b) el primer componente es 5; c) la segunda componente es 7.

121. Enumera los elementos que pertenecen al producto cartesiano de conjuntos un, b y DE, si:

a) un = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, DE= {1, 0};

b) A = B= DE= {2, 3};

en) PERO= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, C =

122. Dibujar en el plano de coordenadas los elementos del producto cartesiano de conjuntos A y B si:

a) A \u003d (x / x NORTE,2 < X< 4}, A= (x/x norte, x< 3};

b) A \u003d (x / x R, 2 < х < 4}, В = {х/х norte, x< 3};

en) PERO= ; A= .

123. Todos los elementos del producto cartesiano de dos conjuntos A y B se muestran como puntos en un sistema de coordenadas rectangulares. Conjuntos de escritura A y A(Figura 11).

Arroz. 13

124. Dibujar en el plano de coordenadas los elementos del producto cartesiano de los conjuntos X e Y si:

a) Х=(–1.0, 1.2),Y={2, 3,4};

b) Х=(–1.0, 1.2),Y=;

en) x = [–1;2],Y = {2, 3, 4};

GRAMO) X= , Y = ;

mi) X = [–3; 2], Y = ;

y) X = ]–3;2[, Y= R;

h) X=(2),Y= R;

y) X=R, Y = {–3}.

125. Las cifras que se muestran en la fig. 14 son el resultado de la imagen en el plano de coordenadas del producto cartesiano de los conjuntos X e Y. Especifique estos conjuntos para cada figura.

Arroz. catorce

126. Averigüe qué producto cartesiano de qué dos conjuntos se representa en el plano de coordenadas como un semiplano. Considere todos los casos.

127. Establecer el producto cartesiano del cual dos conjuntos se representan en el plano de coordenadas como un ángulo recto, que se forma cuando los ejes de coordenadas se cruzan.

128. En el plano de coordenadas, construye una línea paralela al eje OH y pasando por el punto R(–2, 3).

129. En el plano de coordenadas, construye una línea paralela al eje OY y pasando por el punto R(–2, 3). Determine el producto cartesiano del cual dos conjuntos están representados en el plano de coordenadas como esta línea recta.

130. En el plano de coordenadas, construye una franja delimitada por líneas rectas que pasan por puntos (–2, 0) y (2, 0) y paralela al eje OY. Describe el conjunto de puntos pertenecientes a esta tira.

131. Construye un rectángulo en el plano de coordenadas, cuyos vértices son puntos PERO(–3, 5), A(–3, 8), DE(7, 5), D (7, 8). Describe el conjunto de puntos en este rectángulo.

132. Construye sobre el plano de coordenadas un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan la condición:

a) X R, y= 5;

b) X= –3, a R;

en) XR, |y| = 2;

GRAMO) | X| = 3, a R;

mi) X R, y≥ 4;

mi) X R, y 4;

y) XR, |y| 4;

h) | X| 4, |y| 3 ;

y) |x| ≥1, |y| ≥ 4;

a) |x| ≥ 2, y R.

133. Dibujar los elementos del producto cartesiano de conjuntos en el plano de coordenadas X y Y, si:

a) X = R, Y = {3}; b) X = R, Y = [–3; 3]; en) X = .

134. En el plano de coordenadas, construye una figura F si

a) F= ((x, y)| x = 2, y R}

b) F= ((x, y) |X R, y = –3);

en) F= ((x, y) | x2, tu R};

GRAMO) F= ((x, y) | xA,y≥ – 3};

mi) F= ((x, y) | |x| = 2, y R};

mi) F=((x,y) |x R, |y| = 3).

135. Construye un rectángulo con vértices en puntos (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Especifique la propiedad característica de los puntos pertenecientes a este rectángulo.

136. En el plano de coordenadas, construya líneas rectas paralelas al eje OX y que pasen por los puntos (2, 3) y (2, -1). Establezca el producto cartesiano del cual se muestran dos conjuntos en el plano de coordenadas como una franja encerrada entre las líneas construidas.

137. En el plano de coordenadas, construya líneas paralelas al eje OY y que pasen por los puntos (2, 3) y (–2, 3). Establezca el producto cartesiano del cual se muestran dos conjuntos en el plano de coordenadas como una franja encerrada entre las líneas construidas.

138. Dibujar un conjunto en un sistema de coordenadas rectangulares XY, si:

a) X = R; Y ={ ya R, |a| < 3},

b) X= {X/ X R, |X| > 2}; Y= (a/a R, |a| > 4}.

Para este capítulo, el estudiante debe ser capaz de:

Definir conjuntos de diferentes maneras;

Establecer relaciones entre conjuntos y representarlos usando diagramas de Euler-Venn;

Demostrar la igualdad de dos conjuntos;

Realizar operaciones sobre conjuntos e ilustrarlas geométricamente utilizando diagramas de Euler-Venn;

Dividir el conjunto en clases usando una o más propiedades; evaluar la corrección de la clasificación realizada.