مدرسة GBOU الثانوية رقم 149 من سان بطرسبرج

ملخص الدرس

نوفيكوفا أولغا نيكولاييفنا

2016

الموضوع: "نظام المعادلات الأسية وعدم المساواة".

أهداف الدرس:

التعليمية:

تعميم وتوحيد المعرفة حول كيفية حل المعادلات الأسية وعدم المساواة الواردة في أنظمة المعادلات وعدم المساواة

تطوير: التنشيط النشاط المعرفي؛ تنمية مهارات ضبط النفس والتقييم الذاتي والتحليل الذاتي لأنشطتهم.

التعليمية: تكوين المهارات للعمل بشكل مستقل ؛ اتخاذ القرارات واستخلاص النتائج ؛ تعليم الطموح إلى التربية الذاتية وتحسين الذات.

نوع الدرس : مشترك.

نوع الدرس: درس عملي.

خلال الفصول

أنا. تنظيم الوقت(1 دقيقة)

صياغة الهدف للفصل: تعميم وتوحيد المعرفة حول كيفية حل المعادلات الأسية وعدم المساواة الواردة في أنظمة المعادلات وعدم المساواةبناءً على خصائص الدالة الأسية.

ثانيًا. عمل شفوي (1 دقيقة)

تعريف المعادلة الأسية.
طرق حل المعادلات الأسية.
خوارزمية لحل التفاوتات الأسية.

ثالثا . فحص واجب، فرض(3 دقيقة)

الطلاب في أماكنهم. يتحقق المعلم من الإجابات ويسأل عن كيفية حل المعادلات التوضيحية وعدم المساواة. №228-231 (فردي)

أناالخامس. تحديث المعرفة الأساسية. "العصف الذهني": (3 دقيقة)

يتم عرض الأسئلة على أوراق مطبوعة على مكاتب الطلاب "الدوال الأسية والمعادلات وعدم المساواة" ويتم تقديمها للطلاب للحصول على إجابات شفهية من الموقع.

1. ما هي الوظيفة التي تسمى الأسي؟

2. ما هو نطاق الوظيفة ص = 0,5x?

3. ما هو مجال الدالة الأسية؟

4. ما هو نطاق الوظيفة ص = 0,5x?

5. ما هي الخصائص التي يمكن أن تمتلكها الوظيفة؟

6. في أي حالة تتزايد الدالة الأسية؟

7. تحت أي شرط تتناقص الدالة الأسية؟

8. زيادة أو نقصان الدالة الأسية

9. ما تسمى المعادلة الأسية؟

تشخيص مستوى تكوين المهارات العملية.

المهمة 10 اكتب الحل في دفاتر الملاحظات. (7 دقائق)

10. معرفة خصائص الدالة الأسية المتزايدة والمتناقصة لحل المتباينات

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . حل المعادلة: 3 x = 1

12 . احسب 7.8 0؛ 9.8 0

13 . حدد طريقة لحل المعادلات الأسية وحلها:

بعد الانتهاء ، أزواج تغيير الأوراق. أنا أقدر بعضنا البعض. المعايير على السبورة. التحقق من السجلات على أوراق في ملف.

وهكذا ، كررنا خصائص الدالة الأسية ، طرق حل المعادلات الأسية.

يأخذ المعلم ويقيم بشكل انتقائي عمل 2-3 طلاب.

ورشة الحل الأنظمة المعادلات الأسية وعدم المساواة: (23 دقيقة)

ضع في اعتبارك حل أنظمة المعادلات الأسية وعدم المساواة بناءً على خصائص الوظيفة الأسية.

عند حل أنظمة المعادلات الأسية وعدم المساواة ، يتم استخدام نفس الأساليب المستخدمة عند حل أنظمة المعادلات الجبرية وعدم المساواة (طريقة الاستبدال ، طريقة الجمع ، طريقة إدخال المتغيرات الجديدة). في كثير من الحالات ، قبل تطبيق طريقة حل أو أخرى ، من الضروري تحويل كل معادلة (عدم مساواة) للنظام إلى أبسط شكل ممكن.

أمثلة.

1.

قرار:

إجابه: (-7; 3); (1; -1).

2.

قرار:

دلالة 2 X= ش ، 3 ذ= v. ثم سيتم كتابة النظام على النحو التالي:

لنحل هذا النظام باستخدام طريقة الاستبدال:

المعادلة 2 X= -2 ليس له حلول ، لأن -2<0, а 2 X> 0.

ب)

إجابه: (2;1).

№244(1)

الجواب: 1.5 ؛ 2

تلخيص. انعكاس. (5 دقائق)

ملخص الدرس: لقد كررنا اليوم ولخصنا معرفة طرق حل المعادلات الأسية والمتباينات الموجودة في الأنظمة بناءً على خصائص الوظيفة الأسية.

الأطفال بدورهم مدعوون لأخذ من العبارات التالية لاختيار العبارة ومتابعتها.

انعكاس:

اليوم اكتشفت ...

كان من الصعب…

انا افهم ذلك…

لقد تعلمت...

استطيع)…

كان من المثير للاهتمام معرفة أن ...

فاجأني ...

أنا أردت…

الواجب المنزلي. (2 دقيقة)

رقم 240-242 (فردي) ص 86

في هذا الدرس ، سننظر في حل المعادلات الأسية الأكثر تعقيدًا ، ونتذكر الأحكام النظرية الرئيسية المتعلقة بالدالة الأسية.

1. تعريف وخصائص الدالة الأسية ، وهي تقنية لحل أبسط المعادلات الأسية

تذكر التعريف والخصائص الرئيسية للدالة الأسية. يعتمد حل جميع المعادلات الأسية والمتباينات على الخصائص.

دالة أسيةهي دالة في النموذج ، حيث القاعدة هي الدرجة وهنا x متغير مستقل ، وسيطة ؛ y - المتغير التابع ، الوظيفة.

أرز. 1. رسم بياني للدالة الأسية

يُظهر الرسم البياني أسًا متزايدًا ومتناقصًا ، يوضح الدالة الأسية عند قاعدة أكبر من واحد وأقل من واحد ، ولكن أكبر من الصفر ، على التوالي.

يمر كلا المنحنيين عبر النقطة (0 ؛ 1)

خصائص الوظيفة الأسية:

اِختِصاص: ؛

مدى من القيم: ؛

الوظيفة رتيبة ، تزداد كما تنقص.

تأخذ الدالة الرتيبة كل قيمة من قيمها بقيمة واحدة للوسيطة.

عندما تزداد الوسيطة من سالب إلى زائد ما لا نهاية ، تزداد الدالة من صفر ، شاملًا ، إلى زائد ما لا نهاية. على العكس من ذلك ، عندما تزيد الحجة من سالب إلى زائد ما لا نهاية ، تقل الوظيفة من اللانهاية إلى الصفر ، شاملة.

2. حل المعادلات الأسية النموذجية

تذكر كيفية حل أبسط المعادلات الأسية. يعتمد حلهم على رتابة الوظيفة الأسية. يتم تقليل جميع المعادلات الأسية المعقدة تقريبًا إلى مثل هذه المعادلات.

ترجع مساواة الأسس مع القواعد المتساوية إلى خاصية الوظيفة الأسية ، أي رتبتها.

طريقة الحل:

معادلة قواعد الدرجات ؛

تعادل الأس.

دعنا ننتقل إلى المعادلات الأسية الأكثر تعقيدًا ، وهدفنا هو تقليل كل منها إلى أبسطها.

دعنا نتخلص من الجذر على الجانب الأيسر ونقلل الدرجات إلى نفس القاعدة:

من أجل تقليل المعادلة الأسية المعقدة إلى معادلة بسيطة ، غالبًا ما يتم استخدام تغيير المتغيرات.

دعنا نستخدم خاصية الدرجة:

نقدم بديلا. دعونا بعد ذلك

نضرب المعادلة الناتجة في اثنين وننقل كل المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

لا يفي الجذر الأول بقيم y ، فنحن نتجاهله. نحن نحصل:

لنجلب الدرجات إلى نفس المؤشر:

نقدم بديلا:

دعونا بعد ذلك . مع هذا الاستبدال ، من الواضح أن y تأخذ قيمًا موجبة تمامًا. نحن نحصل:

نحن نعرف كيفية حل المعادلات التربيعية المتشابهة ، نكتب الإجابة:

للتأكد من العثور على الجذور بشكل صحيح ، يمكنك التحقق وفقًا لنظرية فييتا ، أي العثور على مجموع الجذور وحاصل ضربها والتحقق من المعاملات المقابلة للمعادلة.

نحن نحصل:

3. تقنية حل المعادلات الأسية المتجانسة من الدرجة الثانية

دعونا ندرس النوع المهم التالي من المعادلات الأسية:

تسمى المعادلات من هذا النوع متجانسة من الدرجة الثانية فيما يتعلق بالوظائف f و g. يوجد على جانبه الأيسر ثلاثي حدود مربع بالنسبة إلى f مع المعلمة g أو ثلاثي حدود مربع بالنسبة إلى g مع المعلمة f.

طريقة الحل:

يمكن حل هذه المعادلة كمعادلة تربيعية ، لكن من الأسهل القيام بها بالعكس. يجب النظر في حالتين:

في الحالة الأولى ، نحصل على

في الحالة الثانية لنا الحق في القسمة على الدرجة الأعلى ونحصل على:

يجب إدخال تغيير في المتغيرات ، نحصل على معادلة تربيعية لـ y:

لاحظ أن الدالتين f و g يمكن أن تكونا تعسفيين ، لكننا مهتمون بالحالة عندما تكون هذه وظائف أسية.

4. أمثلة على حل المعادلات المتجانسة

دعنا ننتقل كل المصطلحات إلى الجانب الأيسر من المعادلة:

نظرًا لأن الدوال الأسية تكتسب قيمًا موجبة تمامًا ، فلدينا الحق في تقسيم المعادلة فورًا ، دون مراعاة الحالة عندما:

نحن نحصل:

نقدم بديلا: (حسب خصائص الدالة الأسية)

حصلنا على معادلة من الدرجة الثانية:

نحدد الجذور وفقًا لنظرية فييتا:

لا يفي الجذر الأول بفاصل قيم y ، فنحن نتجاهله ، ونحصل على:

دعنا نستخدم خصائص الدرجة ونختزل كل الدرجات إلى قواعد بسيطة:

من السهل ملاحظة الوظائف f و g:

طرق حل أنظمة المعادلات

بادئ ذي بدء ، دعونا نتذكر بإيجاز ما هي طرق حل أنظمة المعادلات الموجودة بشكل عام.

موجود أربع طرق رئيسيةحلول أنظمة المعادلات:

طريقة التعويض: خذ أيًا من هذه المعادلات وقم بالتعبير عن $ y $ بدلالة $ x $ ، ثم يتم استبدال $ y $ في معادلة النظام ، حيث يوجد المتغير $ x. $. بعد ذلك ، يمكننا بسهولة احسب المتغير $ y. $

طريقة الجمع: في هذه الطريقة ، يجب ضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما بأرقام بحيث عندما يتم جمعهما معًا ، "يختفي" أحد المتغيرات.

الطريقة الرسومية: تم تصوير كلا المعادلتين في النظام خطة تنسيقوالعثور على نقطة تقاطعهم.

طريقة إدخال متغيرات جديدة: في هذه الطريقة نقوم باستبدال بعض التعبيرات لتبسيط النظام ، ثم نطبق إحدى الطرق المذكورة أعلاه.

نظم المعادلات الأسية

التعريف 1

تسمى أنظمة المعادلات المكونة من معادلات أسية نظام المعادلات الأسية.

سننظر في حل أنظمة المعادلات الأسية باستخدام الأمثلة.

مثال 1

حل جملة معادلات

الصورة 1.

قرار.

سنستخدم الطريقة الأولى لحل هذا النظام. أولًا ، دعنا نعبر عن $ y $ في المعادلة الأولى بدلالة $ x $.

الشكل 2.

عوّض $ y $ في المعادلة الثانية:

\ \ \ [- 2-س = 2 \] \ \

إجابه: $(-4,6)$.

مثال 2

حل جملة معادلات

الشكل 3

قرار.

هذا النظام يعادل النظام

الشكل 4

نطبق الطريقة الرابعة لحل المعادلات. دع $ 2 ^ x = u \ (u> 0) $ و $ 3 ^ y = v \ (v> 0) $ ، نحصل على:

الشكل 5

نقوم بحل النظام الناتج عن طريق طريقة الجمع. دعنا نضيف المعادلات:

\ \

ثم من المعادلة الثانية ، نحصل على ذلك

بالعودة إلى البديل ، تلقيت نظامًا جديدًا من المعادلات الأسية:

الشكل 6

نحن نحصل:

الشكل 7

إجابه: $(0,1)$.

نظم عدم المساواة الأسية

التعريف 2

تسمى أنظمة عدم المساواة المكونة من المعادلات الأسية نظام عدم المساواة الأسية.

سننظر في حل أنظمة عدم المساواة الأسية باستخدام الأمثلة.

مثال 3

حل نظام المتباينات

الشكل 8

قرار:

هذا النظام من عدم المساواة يعادل النظام

الشكل 9

لحل المتباينة الأولى ، تذكر نظرية التكافؤ التالية للتباينات الأسية:

نظرية 1.المتباينة $ a ^ (f (x))> a ^ (\ varphi (x)) $ ، حيث $ a> 0 ، a \ ne 1 $ تعادل مجموعة من نظامين

\}