Turli xil quvvatlarning quvvat funktsiyasi grafikasi. Quvvat funksiyasi, uning xossalari va grafigi Ko’rgazmali material Dars-ma’ruza Funksiya tushunchasi
Xususiyatlari bilan tanishmisiz y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x va hokazo. Bu funktsiyalarning barchasi quvvat funktsiyasining maxsus holatlari, ya'ni funktsiya y=xp, bu erda p - berilgan haqiqiy son.
Quvvat funksiyasining xossalari va grafigi mohiyatan haqiqiy ko‘rsatkichga ega bo‘lgan quvvatning xususiyatlariga, xususan qaysi qiymatlarga bog‘liq. x va p manoga ega x p. Keling, shunga o'xshash fikrga o'tamiz. turli holatlar ga qarab
ko'rsatkich p.
- Indeks p=2n juft natural sondir.
xususiyatlari:
- ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar, ya'ni R to'plami;
- qiymatlar to'plami - manfiy bo'lmagan raqamlar, ya'ni y 0 dan katta yoki teng;
- funktsiyasi y=x2n hatto, chunki x 2n=(- x) 2n
- funksiya intervalda kamayib bormoqda x<0 va intervalda ortib boradi x>0.
2. Ko'rsatkich p=2n-1- toq natural son
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y=x 2n-1, bu erda natural son, quyidagi xususiyatlarga ega:
- ta'rif sohasi - R to'plami;
- qiymatlar to'plami - R to'plami;
- funktsiyasi y=x 2n-1 g'alati chunki (- x) 2n-1=x 2n-1;
- funktsiya butun real o'qda ortib bormoqda.
3. Ko'rsatkich p=-2n, qayerda n- natural son.
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y=x -2n=1/x2n quyidagi xususiyatlarga ega:
- ta'rif sohasi - R to'plami, x=0 dan tashqari;
- qiymatlar to'plami - musbat sonlar y>0;
- funktsiya y =1/x2n hatto, chunki 1/(-x) 2n=1/x2n;
- funktsiya x oralig'ida ortib bormoqda<0 и убывающей на промежутке x>0.
Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Energetika funktsiyalari. Xossalar. Grafiklar"
Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.
11-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-11-sinflar uchun "Trigonometriya" interfaol qo'llanma
10-11-sinflar uchun "Logarifmlar" interfaol qo'llanma
Quvvat funksiyalari, ta'rif sohasi.
Bolalar, oxirgi darsda biz ratsional ko'rsatkichli raqamlar bilan ishlashni o'rgandik. Ushbu darsda biz kuch funktsiyalarini ko'rib chiqamiz va ko'rsatkich ratsional bo'lgan holat bilan cheklanamiz.Formaning funksiyalarini ko'rib chiqamiz: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Dastavval ko‘rsatkichi $\frac(m)(n)>1$ bo‘lgan funksiyalarni ko‘rib chiqamiz.
Bizga $y=x^2*5$ maxsus funksiya berilsin.
O'tgan darsda bergan ta'rifga ko'ra: agar $x≥0$ bo'lsa, u holda bizning funktsiyamiz sohasi $(x)$ nuridir. Keling, funktsiya grafigimizni sxematik tasvirlaymiz.
$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 funksiya xossalari 2. Juft ham, toq ham emas.
3. $$ ga oshadi,
b) $(2,10)$,
c) $$ nurida.
Qaror.
Bolalar, 10-sinfda segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini qanday topganimizni eslaysizmi?
To'g'ri, biz hosiladan foydalanganmiz. Keling, misolimizni yechib, eng kichik va eng katta qiymatni topish algoritmini takrorlaymiz.
1. Berilgan funksiyaning hosilasini toping:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Hosilasi asl funksiyaning butun sohasi bo‘yicha mavjud bo‘lsa, u holda kritik nuqtalar yo‘q. Statsionar nuqtalarni topamiz:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ va $x_2=\sqrt(64)=4$.
Berilgan segmentga faqat bitta yechim $x_2=4$ tegishli.
Segmentning oxirida va ekstremal nuqtada funksiyamiz qiymatlari jadvalini tuzamiz:
Javob: $y_(ism)=-862,65$ bilan $x=9$; $x=4$ uchun $y_(maks)=38,4$.
Misol. Tenglamani yeching: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Qaror. $y=x^(\frac(4)(3))$ funksiyaning grafigi ortib bormoqda, $y=24-x$ funksiyaning grafigi esa kamaymoqda. Bolalar, siz va men bilamiz: agar bir funktsiya ortib, ikkinchisi kamaysa, ular faqat bitta nuqtada kesishadi, ya'ni bizda faqat bitta yechim bor.
Eslatma:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Ya'ni $x=8$ uchun $16=16$ to'g'ri tenglikni oldik, bu bizning tenglamamizning yechimi.
Javob: $x=8$.
Misol.
Funksiyani chizing: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Qaror.
Funktsiyamizning grafigi $y=x^(\frac(3)(4))$ funksiya grafigidan uni 3 birlik o'ngga va 2 birlik yuqoriga siljitgan holda olinadi. 
Misol. $y=x^(-\frac(4)(5))$ chiziqqa $x=1$ nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.
Qaror. Tangens tenglama bizga ma'lum bo'lgan formula bilan aniqlanadi:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Bizning holatda $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Keling, hosilani topamiz:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Keling, hisoblab chiqamiz:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Tangens tenglamasini toping:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Javob: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar
1. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping: $y=x^\frac(4)(3)$ segmentida:a) $$.
b) $(4,50)$.
c) $$ nurida.
3. Tenglamani yeching: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Funksiya grafigini tuzing: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $y=x^(-\frac(3)(7))$ chiziqqa $x=1$ nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.
Leksiya: Tabiiy darajali quvvat funksiyasi, uning grafigi
Biz doimo argument ma'lum bir kuchga ega bo'lgan funktsiyalar bilan shug'ullanamiz:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1 va boshqalar.
Quvvat funksiyalarining grafiklari
Shunday qilib, endi biz quvvat funktsiyasining bir nechta mumkin bo'lgan holatlarini ko'rib chiqamiz.
1) y = x 2 n .
Bu shuni anglatadiki, endi biz ko'rsatkichi juft son bo'lgan funktsiyalarni ko'rib chiqamiz.
Xususiyat xususiyati:
1. Barcha haqiqiy sonlar diapazon sifatida qabul qilinadi.
2. Funktsiya barcha ijobiy qiymatlarni va nol sonini olishi mumkin.
3. Funktsiya argumentning belgisiga bog'liq emas, balki faqat uning moduliga bog'liq bo'lganligi sababli hatto.
4. Ijobiy argument uchun funktsiya ortib bormoqda, salbiy uchun esa kamaymoqda.
Bu funksiyalarning grafiklari parabolaga o'xshaydi. Masalan, quyida y \u003d x 4 funktsiyasining grafigi keltirilgan. 
2) Funktsiya g'alati darajaga ega: y \u003d x 2 n +1.
1. Funktsiya sohasi haqiqiy sonlarning butun to'plamidir.
2. Funktsiya diapazoni - har qanday haqiqiy son shaklini olishi mumkin.
3. Bu funksiya g'alati.
4. Funktsiyani ko'rib chiqishning butun oralig'ida monoton ravishda ortadi.
5.
Toq ko'rsatkichli barcha quvvat funktsiyalarining grafigi y \u003d x 3 funktsiyasi bilan bir xil. 
3) Funktsiya hatto manfiy natural ko'rsatkichga ega: y \u003d x -2 n.
Hammamizga ma'lumki, salbiy ko'rsatkich ko'rsatkichni maxrajga tushirishga va ko'rsatkich belgisini o'zgartirishga imkon beradi, ya'ni siz y \u003d 1 / x 2 n shaklini olasiz.
1. Bu funksiyaning argumenti noldan boshqa har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin, chunki o‘zgaruvchi maxrajda bo‘ladi.
2. Ko'rsatkich juft son bo'lgani uchun funktsiya manfiy qiymatlarni qabul qila olmaydi. Va argument nolga teng bo'lishi mumkin emasligi sababli, funktsiyaning nolga teng qiymati ham chiqarib tashlanishi kerak. Bu funktsiya faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilishi mumkinligini anglatadi.
3. Bu funksiya teng.
4. Agar argument manfiy bo'lsa, funktsiya monoton ravishda ortib boradi, ijobiy bo'lsa, u kamayadi.
y \u003d x -2 funktsiyasi grafigining ko'rinishi: 
4) Manfiy toq darajali funksiya y \u003d x - (2 n + 1) .
1. Bu funksiya argumentning barcha qiymatlari uchun mavjud, nol sonidan tashqari.
2. Funktsiya nol sonidan tashqari barcha haqiqiy qiymatlarni qabul qiladi.
3. Bu funksiya g'alati.
4. Ko'rib chiqilgan ikkita intervalda kamayadi.
Y \u003d x -3 misolidan foydalanib, manfiy toq ko'rsatkichli funktsiya grafigiga misolni ko'rib chiqing. 
Quvvat funksiyalarining xossalari va ularning grafiklari
Ko'rsatkichi nolga teng bo'lgan quvvat funksiyasi, p = 0
Agar y = x p darajali funktsiyaning ko'rsatkichi nolga teng bo'lsa, p = 0, u holda quvvat funksiyasi barcha x ≠ 0 uchun aniqlanadi va birga doimiy bo'ladi:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Tabiiy toq ko'rsatkichli quvvat funksiyasi, p = n = 1, 3, 5, ...
Tabiiy toq darajali n = 1, 3, 5, ... bo'lgan y = x p = x n darajali funktsiyani ko'rib chiqaylik. Bunday ko'rsatkichni quyidagicha yozish ham mumkin: n = 2k + 1, bu erda k = 0, 1, 2, 3, ... - manfiy bo'lmagan butun son. Quyida bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari keltirilgan.
y = x n quvvat funksiyasining grafigi, at natural toq darajali turli qiymatlar ko'rsatkich n = 1, 3, 5, ....
Ta'rif sohasi: –∞< x < ∞
Qiymatlar to'plami: –∞< y < ∞
Ekstremal: yo'q
Qavariq:
da –∞< x < 0 выпукла вверх
0 da< x < ∞ выпукла вниз
Burilish nuqtalari: x = 0, y = 0
Shaxsiy qadriyatlar:
x = –1 da, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1
x = 0 uchun, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Tabiiy juft darajali quvvat funksiyasi, p = n = 2, 4, 6, ...
Tabiiy juft darajali n = 2, 4, 6, ... bo'lgan y = x p = x n darajali funktsiyani ko'rib chiqaylik. Bunday ko'rsatkichni quyidagicha ham yozish mumkin: n = 2k, bu erda k = 1, 2, 3, .. .tabiiydir. Bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari quyida keltirilgan.
n = 2, 4, 6, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy juft ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.
Ta'rif sohasi: –∞< x < ∞
Qiymatlar to'plami: 0 ≤ y< ∞
Monoton:
x da< 0 монотонно убывает
x > 0 uchun monoton ravishda ortadi
Ekstremallar: minimal, x = 0, y = 0
Qavariqlik: qavariq pastga
Tizza nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x = 0, y = 0
Shaxsiy qadriyatlar:
x = –1 da, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1
x = 0 uchun, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Butun manfiy darajali quvvat funksiyasi, p = n = -1, -2, -3, ...
Manfiy butun ko'rsatkichli n = -1, -2, -3, ... bo'lgan y = x p = x n darajali funksiyani ko'rib chiqaylik. Agar n = –k qo'ysak, bu erda k = 1, 2, 3, ... natural son bo'lsa, u quyidagicha ifodalanishi mumkin: 
n = -1, -2, -3, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun manfiy butun ko'rsatkichli y = x n darajali funktsiyaning grafigi.
Toq daraja, n = -1, -3, -5, ...
Quyida toq manfiy darajali n = -1, -3, -5, ... y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.
Ta'rif sohasi: x ≠ 0
Qiymatlar to'plami: y ≠ 0
Paritet: toq, y(–x) = – y(x)
Ekstremal: yo'q
Qavariq:
x da< 0: выпукла вверх
x > 0 uchun: qavariq pastga
Tizza nuqtalari: yo'q
Belgisi: x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
Shaxsiy qadriyatlar:
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Hatto ko'rsatkich, n = -2, -4, -6, ...
Quyida juft manfiy darajali n = -2, -4, -6, ... bo'lgan y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.
Ta'rif sohasi: x ≠ 0
Qiymatlar to'plami: y > 0
Paritet: juft, y(–x) = y(x)
Monoton:
x da< 0: монотонно возрастает
x > 0 uchun: monoton kamayuvchi
Ekstremal: yo'q
Qavariqlik: qavariq pastga
Tizza nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: yo'q
Belgisi: y > 0
Shaxsiy qadriyatlar:
x = –1 da, y(–1) = (–1) n = 1
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Ratsional (kasr) darajali quvvat funksiyasi
Ratsional (kasr) ko'rsatkichli y = x p quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik, bu erda n - butun son, m > 1 - natural son. Bundan tashqari, n, m umumiy bo'luvchilarga ega emas.
Kasr ko'rsatkichining maxraji toq
Kasr ko'rsatkichining maxraji toq bo'lsin: m = 3, 5, 7, ... . Bunday holda, x p quvvat funktsiyasi argumentning ijobiy va salbiy qiymatlari uchun aniqlanadi. Ko'rsatkich p ma'lum chegaralar ichida bo'lganda, bunday kuch funktsiyalarining xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.
p manfiy, p< 0
Ratsional ko'rsatkich (toq maxraj m = 3, 5, 7, ... bilan) noldan kichik bo'lsin: 
.
Quvvat funksiyalarining grafiklari 
ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun ratsional salbiy ko'rsatkich bilan , bu erda m = 3, 5, 7, ... g'alati.
Toq son, n = -1, -3, -5, ...
Ratsional manfiy ko'rsatkichli y = x p darajali funksiyaning xossalarini taqdim etamiz, bu erda n = -1, -3, -5, ... toq manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son.
Ta'rif sohasi: x ≠ 0
Qiymatlar to'plami: y ≠ 0
Paritet: toq, y(–x) = – y(x)
Monotonlik: monoton ravishda pasayadi
Ekstremal: yo'q
Qavariq:
x da< 0: выпукла вверх
x > 0 uchun: qavariq pastga
Tizza nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: yo'q
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
Shaxsiy qadriyatlar:
x = –1 da, y(–1) = (–1) n = –1
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Juft sanoqchi, n = -2, -4, -6, ...
Quvvat funksiyasi xossalari y = x p ratsional manfiy darajali , bu yerda n = -2, -4, -6, ... juft manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son.
Ta'rif sohasi: x ≠ 0
Qiymatlar to'plami: y > 0
Paritet: juft, y(–x) = y(x)
Monoton:
x da< 0: монотонно возрастает
x > 0 uchun: monoton kamayuvchi
Ekstremal: yo'q
Qavariqlik: qavariq pastga
Tizza nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: yo'q
Belgisi: y > 0
p-qiymati ijobiy, birdan kichik, 0< p < 1
Quvvat funksiyasi grafigi ratsional ko'rsatkich bilan (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Toq son, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Ta'rif sohasi: –∞< x < +∞
Qiymatlar to'plami: –∞< y < +∞
Paritet: toq, y(–x) = – y(x)
Monotonlik: monoton ravishda ortib boradi
Ekstremal: yo'q
Qavariq:
x da< 0: выпукла вниз
x > 0 uchun: qavariq yuqoriga
Burilish nuqtalari: x = 0, y = 0
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x = 0, y = 0
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
Shaxsiy qadriyatlar:
x = –1 da, y(–1) = –1
uchun x = 0, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1
Juft sanoq, n = 2, 4, 6, ...
Ratsional ko'rsatkichli y = x p quvvat funksiyasining 0 ichida bo'lgan xossalari keltirilgan.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Ta'rif sohasi: –∞< x < +∞
Qiymatlar to'plami: 0 ≤ y< +∞
Paritet: juft, y(–x) = y(x)
Monoton:
x da< 0: монотонно убывает
x > 0 uchun: monoton ravishda ortadi
Ekstremallar: x = 0, y = 0 da minimal
Qavariqlik: x ≠ 0 da yuqoriga qarab qavariq
Tizza nuqtalari: yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x = 0, y = 0
Belgisi: x ≠ 0, y > 0 uchun
y = x p quvvat funksiyasi sohasida quyidagi formulalar bajariladi:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Quvvat funksiyalarining xossalari va ularning grafiklari
Ko'rsatkichi nolga teng bo'lgan quvvat funksiyasi, p = 0
Agar y = x p darajali funktsiyaning ko'rsatkichi nolga teng bo'lsa, p = 0 , u holda quvvat funktsiyasi barcha x ≠ 0 uchun aniqlanadi va doimiy, birga teng:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Tabiiy toq ko'rsatkichli quvvat funksiyasi, p = n = 1, 3, 5, ...
Tabiiy toq ko'rsatkichi n = 1, 3, 5, ... bo'lgan y = x p = x n quvvat funksiyasini ko'rib chiqaylik. Bunday ko'rsatkichni quyidagicha yozish ham mumkin: n = 2k + 1, bu erda k = 0, 1, 2, 3, ... manfiy bo'lmagan butun son. Quyida bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari keltirilgan.
n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.
Domen: -∞ < x < ∞
Bir nechta qiymatlar: -∞ < y < ∞
Paritet: toq, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton ravishda ortadi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq:
-∞ da< x < 0
выпукла вверх
0 da< x < ∞
выпукла вниз
Uzilish nuqtalari: x=0, y=0
x=0, y=0
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = -1 da,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0 uchun, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
n = 1 uchun funktsiya o'ziga teskari: x = y
n ≠ 1 uchun teskari funktsiya n darajali ildiz hisoblanadi:
Tabiiy juft darajali quvvat funksiyasi, p = n = 2, 4, 6, ...
Tabiiy juft ko'rsatkichi n = 2, 4, 6, ... bo'lgan y = x p = x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Bunday ko'rsatkichni quyidagicha yozish ham mumkin: n = 2k, bu erda k = 1, 2, 3, ... natural son. Bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari quyida keltirilgan.
n = 2, 4, 6, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy juft ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.
Domen: -∞ < x < ∞
Bir nechta qiymatlar: 0 ≤ y< ∞
Paritet: juft, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 uchun monoton ravishda kamayadi
x ≥ 0 uchun monoton ravishda ortadi
Ekstremal: minimal, x=0, y=0
Qavariq: konveks pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = -1 uchun, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0 uchun, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
n = 2 uchun, Kvadrat ildiz:
n ≠ 2 uchun n daraja ildizi:
Butun manfiy darajali quvvat funksiyasi, p = n = -1, -2, -3, ...
y = x p = x n manfiy butun ko'rsatkichli n = -1, -2, -3, ... bo'lgan quvvat funksiyasini ko'rib chiqaylik. Agar n = -k qo'ysak, bu erda k = 1, 2, 3, ... natural son, u holda uni quyidagicha ifodalash mumkin:
n = -1, -2, -3, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun manfiy butun ko'rsatkichli y = x n darajali funktsiyaning grafigi.
Toq daraja, n = -1, -3, -5, ...
Quyida toq manfiy darajali n = -1, -3, -5, ... y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.
Domen: x ≠ 0
Bir nechta qiymatlar: y ≠ 0
Paritet: toq, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton tarzda kamayadi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq:
x da< 0
:
выпукла вверх
x > 0 uchun: qavariq pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Yo'q
Belgi:
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
Cheklovlar:
; ; ;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
n = -1 uchun,
n uchun< -2
,
Hatto ko'rsatkich, n = -2, -4, -6, ...
Quyida juft manfiy darajali n = -2, -4, -6, ... y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.
Domen: x ≠ 0
Bir nechta qiymatlar: y > 0
Paritet: juft, y(-x) = y(x)
Monoton:
x da< 0
:
монотонно возрастает
x > 0 uchun: monoton kamayuvchi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq: konveks pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Yo'q
Belgi: y > 0
Cheklovlar:
; ; ;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
n = -2 uchun,
n uchun< -2
,
Ratsional (kasr) darajali quvvat funksiyasi
Ratsional (kasr) ko'rsatkichli y = x p quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik, bu erda n - butun son, m > 1 - natural son. Bundan tashqari, n, m umumiy bo'luvchilarga ega emas.
Kasr ko'rsatkichining maxraji toq
Kasr ko'rsatkichining maxraji toq bo'lsin: m = 3, 5, 7, ... . Bunda x p quvvat funksiyasi ham musbat, ham manfiy x qiymatlari uchun aniqlanadi. Ko'rsatkich p ma'lum chegaralar ichida bo'lganda, bunday quvvat funktsiyalarining xususiyatlarini ko'rib chiqing.
p manfiy, p< 0
Ratsional ko'rsatkich (toq maxrajli m = 3, 5, 7, ... ) noldan kichik bo'lsin: .
Ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun manfiy ko'rsatkichli ko'rsatkichli funktsiyalarning grafiklari, bu erda m = 3, 5, 7, ... g'alati.
Toq son, n = -1, -3, -5, ...
Bu erda ratsional manfiy ko'rsatkichli y = x p quvvat funksiyasining xossalari keltirilgan, bu erda n = -1, -3, -5, ... toq manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son.
Domen: x ≠ 0
Bir nechta qiymatlar: y ≠ 0
Paritet: toq, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton tarzda kamayadi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq:
x da< 0
:
выпукла вверх
x > 0 uchun: qavariq pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Yo'q
Belgi:
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
Cheklovlar:
; ; ;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = -1 uchun, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
Juft sanoqchi, n = -2, -4, -6, ...
Ratsional manfiy darajali y = x p darajali funksiyaning xossalari, bunda n = -2, -4, -6, ... juft manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son. .
Domen: x ≠ 0
Bir nechta qiymatlar: y > 0
Paritet: juft, y(-x) = y(x)
Monoton:
x da< 0
:
монотонно возрастает
x > 0 uchun: monoton kamayuvchi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq: konveks pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Yo'q
Belgi: y > 0
Cheklovlar:
; ; ;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = -1 uchun, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
p-qiymati ijobiy, birdan kichik, 0< p < 1
Ratsional darajali daraja funksiyasining grafigi (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Toq son, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domen: -∞ < x < +∞
Bir nechta qiymatlar: -∞ < y < +∞
Paritet: toq, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton ravishda ortadi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq:
x da< 0
:
выпукла вниз
x > 0 uchun: qavariq yuqoriga
Uzilish nuqtalari: x=0, y=0
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Belgi:
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
uchun x = -1, y(-1) = -1
uchun x = 0, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1
Teskari funksiya:
Juft sanoq, n = 2, 4, 6, ...
Ratsional ko'rsatkichli y = x p quvvat funksiyasining 0 ichida bo'lgan xossalari keltirilgan.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domen: -∞ < x < +∞
Bir nechta qiymatlar: 0 ≤ y< +∞
Paritet: juft, y(-x) = y(x)
Monoton:
x da< 0
:
монотонно убывает
x > 0 uchun: monoton ravishda ortib boradi
Ekstremal: x = 0 da minimal, y = 0
Qavariq: x ≠ 0 da yuqoriga qavariq
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Belgi: x ≠ 0 uchun, y > 0
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
uchun x = -1, y(-1) = 1
uchun x = 0, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1
Teskari funksiya:
Ko'rsatkich p birdan katta, p > 1
Ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun ratsional ko'rsatkichli (p > 1) quvvat funktsiyasining grafigi, bu erda m = 3, 5, 7, ... g'alati.
Toq son, n = 5, 7, 9, ...
Ratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan y = x p darajali funksiyaning xossalari:. Bu yerda n = 5, 7, 9, ... toq natural son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son.
Domen: -∞ < x < ∞
Bir nechta qiymatlar: -∞ < y < ∞
Paritet: toq, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton ravishda ortadi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq:
-∞ da< x < 0
выпукла вверх
0 da< x < ∞
выпукла вниз
Uzilish nuqtalari: x=0, y=0
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
uchun x = -1, y(-1) = -1
uchun x = 0, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1
Teskari funksiya:
Juft sanoq, n = 4, 6, 8, ...
Ratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan y = x p darajali funksiyaning xossalari:. Bu yerda n = 4, 6, 8, ... juft natural son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son.
Domen: -∞ < x < ∞
Bir nechta qiymatlar: 0 ≤ y< ∞
Paritet: juft, y(-x) = y(x)
Monoton:
x da< 0
монотонно убывает
x > 0 uchun monoton ravishda ortadi
Ekstremal: x = 0 da minimal, y = 0
Qavariq: konveks pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
uchun x = -1, y(-1) = 1
uchun x = 0, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1
Teskari funksiya:
Kasr ko'rsatkichining maxraji juft
Kasr ko'rsatkichining maxraji juft bo'lsin: m = 2, 4, 6, ... . Bunday holda, x p quvvat funktsiyasi argumentning salbiy qiymatlari uchun aniqlanmagan. Uning xususiyatlari irratsional ko'rsatkichli quvvat funktsiyasining xususiyatlariga to'g'ri keladi (keyingi bo'limga qarang).
Irratsional darajali quvvat funksiyasi
P irratsional ko'rsatkichli y = x p quvvat funksiyasini ko'rib chiqaylik. Bunday funktsiyalarning xususiyatlari yuqorida ko'rib chiqilganlardan farq qiladi, chunki ular x argumentining salbiy qiymatlari uchun aniqlanmagan. Argumentning ijobiy qiymatlari uchun xususiyatlar faqat p ko'rsatkichining qiymatiga bog'liq va p butun son, ratsional yoki irratsional bo'lishiga bog'liq emas.
p ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun y = x p.
Salbiy p bilan quvvat funktsiyasi< 0
Domen: x > 0
Bir nechta qiymatlar: y > 0
Monoton: monoton tarzda kamayadi
Qavariq: konveks pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Yo'q
Cheklovlar: ;
shaxsiy qiymat: x = 1 uchun y(1) = 1 p = 1
Ijobiy ko'rsatkichi p > 0 bo'lgan quvvat funksiyasi
Ko'rsatkich bir 0 dan kichik< p < 1
Domen: x ≥ 0
Bir nechta qiymatlar: y ≥ 0
Monoton: monoton ravishda ortadi
Qavariq: yuqoriga qavariq
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Cheklovlar:
Shaxsiy qadriyatlar: x = 0 uchun y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 uchun y(1) = 1 p = 1
Ko'rsatkich bir p > 1 dan katta
Domen: x ≥ 0
Bir nechta qiymatlar: y ≥ 0
Monoton: monoton ravishda ortadi
Qavariq: konveks pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Cheklovlar:
Shaxsiy qadriyatlar: x = 0 uchun y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 uchun y(1) = 1 p = 1
Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.