Uning elementlarining kesilgan konusining ta'rifini tuzing. Frustum
Konussimon sirt berilgan egri chiziqning har bir nuqtasidan va egri chiziqdan tashqaridagi nuqtadan oʻtuvchi barcha toʻgʻri chiziqlardan hosil boʻlgan sirtdir (32-rasm).
Bu egri chiziq deyiladi hidoyat , Streyt - shakllantirish , nuqta - yuqori konusning yuzasi.
To'g'ri dumaloq konusning yuzasi berilgan aylananing har bir nuqtasidan va aylana tekisligiga perpendikulyar boʻlgan va uning markazidan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqdagi nuqtadan oʻtuvchi barcha toʻgʻri chiziqlardan hosil boʻlgan sirtdir. Quyida biz bu sirtni qisqacha nomlaymiz konusning yuzasi (33-rasm).
Konus (tekis dumaloq konus ) konussimon sirt va yoʻnaltiruvchi aylana tekisligiga parallel boʻlgan tekislik bilan chegaralangan geometrik jismdir (34-rasm).
 |
|||
Guruch. 32-rasm. 33-rasm. 34
Konusni to'g'ri burchakli uchburchakni uchburchakning oyoqlaridan birini o'z ichiga olgan o'q atrofida aylantirish natijasida olingan tana deb hisoblash mumkin.
Konusni o'rab turgan aylana uning deyiladi asos . Konussimon yuzaning uchi deyiladi yuqori konus Konusning uchini asosining markazi bilan bog'laydigan segment deyiladi balandlik konus Konussimon sirt hosil qiluvchi segmentlar deyiladi shakllantirish konus Eksa konusning yuqori qismidan va uning asosining markazidan o'tadigan to'g'ri chiziq. Eksenel qism konusning o'qi orqali o'tadigan qism deyiladi. Yon yuzaning rivojlanishi Konusga sektor deyiladi, uning radiusi konusning generatrix uzunligiga, sektor yoyi uzunligi esa konus asosining aylanasiga teng.
Konus uchun to'g'ri formulalar:
Qayerda R- tayanch radiusi;
H- balandligi;
l- generatrix uzunligi;
S asosi- tayanch maydoni;
S tomoni
S to'la
V- konusning hajmi.
Kesilgan konus konusning asosiga parallel bo'lgan poydevor va kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi deyiladi (35-rasm).
 |
Kesilgan konusni to'rtburchaklar trapetsiyani asoslarga perpendikulyar bo'lgan trapetsiya tomonini o'z ichiga olgan o'q atrofida aylantirish natijasida olingan tana deb hisoblash mumkin.
Konusni o'rab turgan ikkita doira uning deyiladi sabablar . Balandligi kesilgan konusning asoslari orasidagi masofa. Kesilgan konusning konus yuzasini tashkil etuvchi segmentlar deyiladi shakllantirish . Asoslarning markazlaridan o'tuvchi to'g'ri chiziq deyiladi o'qi kesilgan konus. Eksenel qism kesilgan konusning o'qidan o'tuvchi qism deyiladi.
Kesilgan konus uchun to'g'ri formulalar:
(8)
Qayerda R- pastki poydevorning radiusi;
r– ustki poydevor radiusi;
H– balandligi, l – generatrix uzunligi;
S tomoni- lateral sirt maydoni;
S to'la- umumiy sirt maydoni;
V– kesilgan konusning hajmi.
1-misol. Konusning poydevorga parallel kesimi balandlikni yuqoridan hisoblab, 1: 3 nisbatda ajratadi. Agar asosning radiusi va konusning balandligi 9 sm va 12 sm bo'lsa, kesilgan konusning lateral yuzasini toping.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (36-rasm).
Kesilgan konusning lateral yuzasi maydonini hisoblash uchun formuladan foydalanamiz (8). Keling, asoslarning radiuslarini topamiz Taxminan 1 A Va Taxminan 1 V va shakllantirish AB.
Shunga o'xshash uchburchaklarni ko'rib chiqing SO2B Va SO 1 A, o'xshashlik koeffitsienti, keyin 
Bu yerdan 
O'shandan beri 
Kesilgan konusning lateral yuzasi quyidagiga teng:
Javob: .
2-misol. Radiusning chorak doirasi konussimon yuzaga o'ralgan. Poydevorning radiusi va konusning balandligini toping.
Yechim. Doira kvadranti - konusning lateral yuzasining rivojlanishi. belgilaylik r- uning asosining radiusi, H - balandlik. Yon sirt maydonini formuladan foydalanib hisoblaymiz: . U chorak doiraning maydoniga teng: . Biz ikkita noma'lumli tenglamani olamiz r Va l(konus hosil qilish). Bunday holda, generatrix chorak doira radiusiga teng R, ya'ni biz quyidagi tenglamani olamiz: , bu erdan asos va generatorning radiusini bilib, konusning balandligini topamiz:
Javob: 2 sm, .
3-misol. O'tkir burchagi 45 O, kichikroq asosi 3 sm va qiya tomoni ga teng bo'lgan to'rtburchaklar trapetsiya asoslarga perpendikulyar tomon atrofida aylanadi. Olingan aylanish jismining hajmini toping.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (37-rasm).
Aylanish natijasida biz uning hajmini topish uchun kesilgan konusni olamiz, biz kattaroq poydevor va balandlikning radiusini hisoblaymiz; Trapetsiyada O 1 O 2 AB olib boramiz AC^O 1 B. B bizda: bu bu uchburchakning teng yonli ekanligini bildiradi A.C.=Miloddan avvalgi=3 sm.
Javob:
4-misol. Yonlari 13 sm, 37 sm va 40 sm bo'lgan uchburchak tashqi o'q atrofida aylanadi, u kattaroq tomonga parallel va undan 3 sm masofada joylashgan (o'q uchburchak tekisligida joylashgan). Olingan aylanish jismining sirt maydonini toping.
Yechim
.
Keling, rasm chizamiz (38-rasm).
Olingan inqilob tanasining yuzasi ikkita kesilgan konusning lateral yuzalaridan va silindrning lateral yuzasidan iborat. Ushbu maydonlarni hisoblash uchun konus va silindrning asoslari radiuslarini bilish kerak ( BO'LING Va O.C.), konuslarni hosil qilish ( Miloddan avvalgi Va A.C.) va silindr balandligi ( AB). Yagona noma'lum narsa CO. 
bu uchburchakning yon tomondan aylanish o'qigacha bo'lgan masofa. Biz topamiz DC. ABC uchburchagining bir tomonidagi maydoni AB tomonining yarmi va unga chizilgan balandlikning mahsulotiga teng. DC, boshqa tomondan, uchburchakning barcha tomonlarini bilib, uning maydonini Heron formulasi yordamida hisoblaymiz.
Kirish
Guruch. 1. Hayotdan kesilgan ko-nu-sa shakliga ega bo'lgan narsalar
Sizningcha, geometriyada yangi raqamlar qayerdan keladi? Hammasi juda oddiy: hayotda bir kishi o'xshash narsalarga aylandi va ularni chaqirganday keladi. Keling, tsirkdagi sherlar o'tirgan shkafni ko'rib chiqaylik, biz hozir bo'lganimizda yig'ib olinadigan sabzi bo'lagi - uning bir qismi, faol vulqon va, masalan, fo-na-ri- yorug'lik. ka (1-rasmga qarang).
Kesilgan konus, uning elementlari va eksenel kesimi
Guruch. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry
Biz bu raqamlarning barchasi bir xil shaklda ekanligini ko'ramiz - pastdan ham, yuqoridan ham ular doiralar bilan chegaralangan, lekin ular tepaga toraygan (2-rasmga qarang).
Guruch. 3. Ko-nu-saning yuqori qismidan
Bu konusga o'xshaydi. Shunchaki jim bo'lish etarli emas. Biz aqlan tasavvur qilamizki, biz konusni olamiz va undan yuqori qismini o'tkir qilichning bir tebranishi bilan olib tashlaymiz (3-rasmga qarang).
Guruch. 4. Kesilgan konus
Bu aynan bizning raqamimiz; u kesilgan konus deb ataladi (4-rasmga qarang).
Guruch. 5. Se-che-nie, parallel-os-no-va-niyu ko-nu-sa
Konus berilsin. Keling, bir tekislik, bu ko-nu-sa o'qining parallel tekisligi va kesma konusni yaratamiz (5-rasmga qarang).
U konusni ikkita tanaga bo'ladi: ulardan biri kichikroq o'lchamdagi konus, ikkinchisi esa kesilgan konus deb ataladi (6-rasmga qarang).
Guruch. 6. Parallel kesmada olingan jismlar
Shunday qilib, kesilgan konus konusning bir qismi bo'lib, uning asosiy tanasi va parallel asosiy tanasi o'rtasida bog'langan, ammo tekis. Konusda bo'lgani kabi, kesilgan konusning asosi sifatida aylana bo'lishi mumkin - bu holda u aylana deb ataladi. Agar asl konus to'g'ri bo'lsa, kesilgan konus to'g'ri deb ataladi. Ko-nu-sa-mi misolida bo'lgani kabi, biz kalitlarni ko'rib chiqamiz, lekin to'g'ri dumaloq kesilgan ko-nu-s sy, agar biz bilvosita kesilgan ko-nu-se haqida gapirayotganimiz aniq ko'rsatilmagan bo'lsa. yoki uning asosida hech qanday doiralar mavjud emas.
Guruch. 7. To'g'ri burchakli tuzoqning aylanishi
Bizning global mavzuimiz aylanish jismlaridir. Kesilgan konus bundan mustasno emas! Esda tutaylikki, ko-nu-sa olish uchun biz to'rtburchaklar uchburchakni smo-mat-ri-va-li qilamiz va uni ka-te-ta atrofida aylantiramiz? Hosil bo'lgan konusni o'qqa parallel tekislik bilan kesilsa, u holda -mo-ko'mir-trape-tion uchburchakdan to'g'ri chiziq qolmaydi. Uning kichikroq tomon atrofida aylanishi bizga kesilgan konusni beradi. Yana bir bor ta'kidlaymizki, biz faqat to'g'ridan-to'g'ri dumaloq ko-nu-se haqida gapiramiz (7-rasmga qarang).
Guruch. 8. Os-no-va-niya kesilgan-no-go ko-nu-sa
Men bir nechta tayyorgarlik ko'raman. Yarim-ko-nu-sa va aylana asosi, ko-nu-sa yassi qismidagi yarim-cha-yu-shay, ular os-no-va-ni-ya-mi kesilgan deb atashadi. ko-nu-sa (pastki va yuqori) (8-rasmga qarang).
Guruch. 9. Ob-ra-zu-yu-schi kesilgan ko-nu-sa
Os-but-va-ni-mi kesilgan-lekin-go ko-nu-sa o'rtasida bog'langan ko-nu-saning ra-zu-yu-shih yarmining so'qmoqlaridan, ular haqida-ra- deb ataladi. zu-yu-schi-mi kesilgan-no-go ko-nu-sa. Barcha ta'lim natijalari teng va barcha ta'lim natijalari bir xil bo'lganligi sababli, ob-ra-zu-yu kesilgan ko-nu-sa teng bo'ladi (kesilgan va kesilganni aralashtirmang!). Bu yerdan sektsiya o'qining tra-pe-tion tengligi kelib chiqadi (9-rasmga qarang).
Kesilgan ko-nu-sa ichiga o'ralgan aylanish o'qidan ular uni kesilgan o'qning o'qi ko-nu-sa deb atashadi. Bu qayta kesish, ra-zu-me-et-sya, uning asoslari markazlarini birlashtiradi (10-rasmga qarang).
Guruch. 10. Kesilgan ko-nu-saning o'qi
You-so-ta truncated ko-nu-sa per-pen-di-ku-lyar, pro-ve-den os-no-vaniyaning bir nuqtasidan boshqa bazaga. Ko'pincha, sizning sifatingizda siz uning o'qini kesib tashladingiz.
Guruch. 11. Ose-voe se-che-nie kesilgan-no-go-ko-nu-sa
Kesilgan ko-nu-saning eksenel kesimi uning o'qi orqali o'tadigan qismdir. U trapezoid shakliga ega, birozdan keyin biz uning tengligini ko'rsatamiz (11-rasmga qarang).
Kesilgan konusning lateral va umumiy yuzalarining maydonlari
Guruch. 12. Belgilari kiritilgan konus
Kesilgan ko-nu-sa tepasidagi bo-co-voy maydonini topamiz. Kesilgan ko-nu-sa asoslari radius va ga ega bo'lsin va ob-ra-zu-yu teng bo'lsin (12-rasmga qarang).
Guruch. 13. Ob-ra-zu-yu-shchei dan-se-chen-no-th ko-nu-saning belgilanishi
Keling, kesilgan ko-nu-sa tepasidagi bo-ko-voy maydonini tepadagi bo-ko-voylar maydonining farqi sifatida topamiz, lekin ste-xod-no-go. ko-nu-sa va from-se-chen-no-go. Buning uchun biz ko-nu-sa shakllanishi orqali belgilaymiz (13-rasmga qarang).
Keyin is-ko-may.
Guruch. 14. O'xshash uchburchaklar
Faqat siz buni aniqlab olishingiz kerak.
Shuni ta'kidlaymizki, po-do-biy tri-corn-ni-kovdan, dan-haya (14-rasmga qarang).
Buni radiuslar orasidagi farqga bo'lish orqali ifodalash mumkin edi, lekin bizga bu kerak emas, chunki hozirgi holatda bu aniq fi- gu-ri-ru-et pro-iz-ve-de- yo'q. Uning o'rniga, biz nihoyat: .
Endi to'liq sirt maydoni uchun shaklni olish qiyin emas. Buning uchun poydevorning ikkita doirasining maydonini aniq qo'shing: .
Vazifa
Guruch. 15. For-da-che ga tasvir
Kesilgan konusni balandligi atrofida to'rtburchaklar tuzoq bilan aylantirsin. Trapetsiyaning o'rta chizig'i ga, katta tomoni esa ga teng (15-rasmga qarang). Kesilgan ko-nu-sa tepasidagi bo-ko-voy maydonini toping.
Yechim
Formuladan biz buni bilamiz 
.
Ko-nu-saning shakllanishi katta yuz-ro-davomli tra-pe-tion bo'ladi, ya'ni Ra-di-u-sy ko- well-sa - bu tra-ning asosidir. pe-tion. Biz ularni topa olmayapmiz. Ammo bizga bu kerak emas: bizga faqat ularning yig'indisi kerak va trapetsiya asoslarining yig'indisi uning o'rta chizig'idan ikki baravar katta, ya'ni ga teng. Keyin.
Kesilgan konuslar va piramidalar o'rtasidagi o'xshashliklar
E'tibor bering, biz ko-nu-se haqida gapirganda, biz u va pi -ra-mi-doy o'rtasida gaplashamiz - formulalar o'xshash edi. Bu erda ham xuddi shunday, chunki kesilgan konus kesilgan pi-ra-mi-duga juda o'xshaydi, shuning uchun maydon uchun formulalar katta va to'liq kesilgan ko-nu-sa va pi-ra-midir. -dy (va tez orada hajm uchun formulalar bo'ladi) analog-lo-gic- us.
Vazifa
Guruch. 1. Illu-strat-tion to for-da-che
Ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa va ga, ob-ra-zu-yu-shchaya esa ga teng. Kesilgan ko-nu-sa va uning o'qi maydonini toping (1-rasmga qarang).
Bir nuqtadan (konusning yuqori qismidan) chiqadigan va tekis yuzadan o'tadigan.
Konus tananing cheklangan hajmiga ega bo'lgan qismi bo'lib, tekis yuzaning cho'qqilari va nuqtalarini bog'laydigan har bir segmentni birlashtirish orqali olinadi. Ikkinchisi, bu holda, konusning asosi, konus esa shu asosga tayanadi, deyiladi.
Konusning asosi ko'pburchak bo'lsa, u allaqachon piramida .
|
Dumaloq konus- bu doiradan (konusning asosi), bu doira tekisligida yotmaydigan nuqtadan (konusning yuqori qismi va konusning yuqori qismini konusning nuqtalari bilan bog'laydigan barcha segmentlardan) tashkil topgan tanadir. asos). Konusning cho'qqisini va asosiy doira nuqtalarini bog'laydigan segmentlar deyiladi konus hosil qiladi. Konusning yuzasi taglik va yon sirtdan iborat. |
Yon sirt maydoni to'g'ri n- konus ichiga yozilgan uglerod piramidasi:
S n =½P n l n,
Qayerda P n- piramida asosining perimetri, va l n- apotema.
Xuddi shu printsip bo'yicha: asosiy radiusli kesilgan konusning lateral yuzasi uchun R 1, R 2 va shakllantirish l quyidagi formulani olamiz:
S=(R 1 +R 2)l.
Baza va balandlik teng bo'lgan tekis va qiya dumaloq konuslar. Bu jismlar bir xil hajmga ega:
Konusning xossalari.
- Agar poydevorning maydoni chegaralangan bo'lsa, bu konusning hajmi ham chegaraga ega ekanligini va balandlik va poydevor maydoni mahsulotining uchinchi qismiga teng ekanligini anglatadi.
Qayerda S- tayanch maydoni, H- balandlik.
Shunday qilib, bu asosga tayangan va poydevorga parallel tekislikda joylashgan cho'qqiga ega bo'lgan har bir konus teng hajmga ega, chunki ularning balandligi bir xil.
- Hajmi chegarasiga ega bo'lgan har bir konusning og'irlik markazi poydevordan balandlikning chorak qismida joylashgan.
- To'g'ri dumaloq konusning uchidagi qattiq burchakni quyidagi formula bilan ifodalash mumkin:
Qayerda α - konusning ochilish burchagi.
- Bunday konusning lateral yuzasi, formulasi:
va umumiy sirt maydoni (ya'ni, lateral sirt va poydevor maydonlarining yig'indisi), formula:
S=pR(l+R),
Qayerda R- asosning radiusi, l- generatrix uzunligi.
- Dumaloq konusning hajmi, formulasi:
- Kesilgan konus uchun (to'g'ri yoki dumaloq emas), hajm, formula:
Qayerda S 1 Va S 2- yuqori va pastki poydevorlar maydoni,
h Va H- yuqori va pastki poydevor tekisligidan tepagacha bo'lgan masofalar.
- To'g'ri aylana konus bilan tekislikning kesishishi konus kesimlaridan biridir.
Geometriya matematikaning fazodagi tuzilmalar va ular orasidagi munosabatlarni o'rganadigan bo'limidir. O'z navbatida, u ham bo'limlardan iborat bo'lib, ulardan biri stereometriyadir. U kosmosda joylashgan uch o'lchamli figuralarning xususiyatlarini o'rganishni o'z ichiga oladi: kub, piramida, shar, konus, silindr va boshqalar.
Konus - Evklid fazosida konussimon yuza va generatorlarining uchlari yotadigan tekislik bilan chegaralangan jism. Uning shakllanishi to'g'ri burchakli uchburchakning har qanday oyoqlari atrofida aylanishi paytida sodir bo'ladi, shuning uchun u inqilob jismlariga tegishli.
Konusning tarkibiy qismlari
Konusning quyidagi turlari mavjud: qiya (yoki moyil) va tekis. Oblique - bu o'qi asosining markazi bilan to'g'ri burchak ostida kesishmaydigan. Shu sababli, bunday konusdagi balandlik o'qga to'g'ri kelmaydi, chunki u 90 ° burchak ostida tananing yuqori qismidan poydevorining tekisligiga tushirilgan segmentdir.
O'qi asosiga perpendikulyar bo'lgan konus to'g'ri deyiladi. Bunday geometrik jismdagi o'q va balandlik bir-biriga to'g'ri keladi, chunki undagi cho'qqi taglik diametrining markazidan yuqorida joylashgan.
Konus quyidagi elementlardan iborat:
- Uning asosi bo'lgan doira.
- Yon yuza.
- Poydevor tekisligida yotmaydigan nuqta konusning tepasi deb ataladi.
- Geometrik jismning asosi aylanasi nuqtalarini va uning cho'qqisini bog'lovchi segmentlar.
Bu segmentlarning barchasi konusning generatorlari. Ular geometrik jismning asosiga moyil bo'lib, to'g'ri konus bo'lsa, ularning proyeksiyalari tengdir, chunki cho'qqi asos aylanasi nuqtalaridan teng masofada joylashgan. Shunday qilib, muntazam (to'g'ri) konusda generatorlar teng, ya'ni ular bir xil uzunlikka ega va o'q (yoki balandlik) va asos bilan bir xil burchaklarni hosil qiladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Qiyma (yoki qiya) aylanish jismida cho'qqi asosiy tekislikning markaziga nisbatan siljiganligi sababli, bunday jismdagi generatorlar har xil uzunlik va proyeksiyalarga ega, chunki ularning har biri har qanday ikki nuqtadan har xil masofada joylashgan. poydevor doirasi. Bundan tashqari, ular orasidagi burchaklar va konusning balandligi ham boshqacha bo'ladi.
To'g'ri konusdagi generatrislarning uzunligi
Yuqorida yozilganidek, to'g'ri geometrik aylanish jismidagi balandlik poydevor tekisligiga perpendikulyar. Shunday qilib, asosning generatrix, balandligi va radiusi konusda to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi.
Ya'ni, bazaning radiusi va balandligini bilib, Pifagor teoremasidan formuladan foydalanib, siz generatrixning uzunligini hisoblashingiz mumkin, bu bazaning radiusi va balandligi kvadratlari yig'indisiga teng bo'ladi:
l 2 = r 2 + h 2 yoki l = √r 2 + h 2
bu erda l - generator;
r - radius;
h - balandlik.
Eğimli konusdagi generator
Eğimli yoki eğimli konusda generatorlar bir xil uzunlikka ega emasligiga asoslanib, ularni qo'shimcha konstruktsiyalar va hisob-kitoblarsiz hisoblash mumkin bo'lmaydi.
Avvalo, siz balandlikni, o'q uzunligini va tayanch radiusini bilishingiz kerak.
r 1 = √k 2 - h 2
bu erda r 1 - o'q va balandlik orasidagi radiusning qismi;
k - o'q uzunligi;
h - balandlik.
Radiusni (r) va uning o'q va balandlik (r 1) o'rtasida joylashgan qismini qo'shish natijasida siz konusning to'liq hosil qilingan generatrisini, uning balandligi va diametrining bir qismini bilib olishingiz mumkin:
bu erda R - balandlik, generator va taglik diametrining bir qismi bilan hosil qilingan uchburchakning oyog'i;
r - asosning radiusi;
r 1 - eksa va balandlik orasidagi radiusning bir qismi.
Pifagor teoremasidagi bir xil formuladan foydalanib, konusning generatrix uzunligini topishingiz mumkin:
l = √h 2 + R 2
yoki R ni alohida hisoblamasdan, ikkita formulani bittaga birlashtiring:
l = √h 2 + (r + r 1) 2.
Konusning to'g'ri yoki qiya bo'lishidan qat'i nazar, kirish ma'lumotlari qanday bo'lishidan qat'i nazar, generatrix uzunligini topishning barcha usullari har doim bitta natijaga - Pifagor teoremasidan foydalanishga to'g'ri keladi.
Konus qismi
Eksenel - bu o'z o'qi yoki balandligi bo'ylab o'tadigan tekislik. To'g'ri konusda bunday kesma teng burchakli uchburchak bo'lib, unda uchburchakning balandligi tananing balandligi, uning tomonlari generatorlar, taglik esa taglikning diametridir. Teng tomonli geometrik jismda eksenel kesim teng qirrali uchburchakdir, chunki bu konusda taglik va generatorlarning diametri tengdir.
To'g'ri konusdagi eksenel kesimning tekisligi uning simmetriya tekisligidir. Buning sababi shundaki, uning ustki qismi poydevorining markazidan yuqorida joylashgan, ya'ni eksenel qismning tekisligi konusni ikkita bir xil qismga bo'ladi.
Eğimli hajmli jismda balandlik va o'q mos kelmasligi sababli, eksenel kesim tekisligi balandlikni o'z ichiga olmaydi. Agar bunday konusda ko'plab eksenel qismlarni qurish mumkin bo'lsa, buning uchun faqat bitta shart bajarilishi kerak - u faqat o'qdan o'tishi kerak, u holda bu konusning balandligi tegishli bo'lgan tekislikning eksenel kesimini faqat chizish mumkin. biri, chunki shartlar soni ortadi va ma'lumki, ikkita to'g'ri chiziq (birgalikda) faqat bitta tekislikka tegishli bo'lishi mumkin.
Ko'ndalang kesim maydoni
Konusning yuqorida aytib o'tilgan eksenel qismi uchburchakdir. Shunga asoslanib, uning maydoni uchburchakning maydoni formulasi yordamida hisoblanishi mumkin:
S = 1/2 * d * h yoki S = 1/2 * 2r * h
bu erda S - kesmaning maydoni;
d - asosiy diametri;
r - radius;
h - balandlik.
Egri yoki eğimli konusda eksa bo'ylab kesma ham uchburchakdir, shuning uchun undagi tasavvurlar maydoni xuddi shunday tarzda hisoblanadi.
Ovoz balandligi
Konus uch o'lchovli fazoda uch o'lchamli figura bo'lgani uchun uning hajmini hisoblash mumkin. Konusning hajmi - bu jismni hajm birligida, ya'ni m3 da tavsiflovchi raqam. Hisoblash uning to'g'ri yoki qiya (qiyshiq) ekanligiga bog'liq emas, chunki bu ikki turdagi jismlar uchun formulalar farq qilmaydi.
Yuqorida aytib o'tilganidek, to'g'ri konusning shakllanishi to'g'ri burchakli uchburchakning uning oyoqlaridan biri bo'ylab aylanishi tufayli sodir bo'ladi. Eğimli yoki qiya konus boshqacha shakllanadi, chunki uning balandligi tananing asosi tekisligining markazidan chetga suriladi. Shunga qaramay, strukturadagi bunday farqlar uning hajmini hisoblash usuliga ta'sir qilmaydi.
Hajmni hisoblash
Har qanday konus quyidagicha ko'rinadi:
V = 1/3 * p * h * r 2
bu erda V - konusning hajmi;
h - balandlik;
r - radius;
p - 3,14 ga teng doimiy.
Tananing balandligini hisoblash uchun siz poydevorning radiusini va uning generatrix uzunligini bilishingiz kerak. Radius, balandlik va generator to'g'ri burchakli uchburchakda birlashtirilganligi sababli, balandlikni Pifagor teoremasi formulasi yordamida hisoblash mumkin (a 2 + b 2 = c 2 yoki bizning holatlarimizda h 2 + r 2 = l 2, bu erda l generator). Balandlik gipotenuza va boshqa oyoq kvadratlari orasidagi farqning kvadrat ildizini olish orqali hisoblanadi:
a = √c 2 - b 2
Ya'ni, konusning balandligi generatrix uzunligi kvadrati va poydevor radiusi kvadrati o'rtasidagi farqning kvadrat ildizini olgandan keyin olingan qiymatga teng bo'ladi:
h = √l 2 - r 2
Ushbu usul yordamida balandlikni hisoblash va uning asosining radiusini bilish orqali siz konusning hajmini hisoblashingiz mumkin. Bu holda generator muhim rol o'ynaydi, chunki u hisob-kitoblarda yordamchi element bo'lib xizmat qiladi.
Xuddi shunday, agar tananing balandligi va uning avlodining uzunligi ma'lum bo'lsa, avlod kvadrati va balandlik kvadrati o'rtasidagi farqning kvadrat ildizini olish orqali uning asosining radiusini aniqlash mumkin:
r = √l 2 - h 2
Keyin, yuqoridagi kabi bir xil formuladan foydalanib, konusning hajmini hisoblang.
Eğimli konusning hajmi
Konusning hajmining formulasi barcha turdagi aylanish jismlari uchun bir xil bo'lganligi sababli, uni hisoblashdagi farq balandlikni qidirishdir.
Eğimli konusning balandligini bilish uchun kirish ma'lumotlariga generatrix uzunligi, asosning radiusi va poydevor markazi va tananing balandligining tekislik bilan kesishishi orasidagi masofani kiritish kerak. uning bazasidan. Buni bilib, siz to'g'ri burchakli uchburchakning asosi bo'ladigan asosiy diametrning qismini osongina hisoblashingiz mumkin (balandligi, generatrix va poydevor tekisligi bilan hosil qilingan). Keyin yana Pifagor teoremasidan foydalanib, konusning balandligini va keyinchalik uning hajmini hisoblang.
Guruch. 1. Kesilgan konus shakliga ega bo'lgan hayotdan ob'ektlar
Sizningcha, geometriyada yangi shakllar qayerdan keladi? Hamma narsa juda oddiy: inson hayotda o'xshash narsalarga duch keladi va ular uchun nom o'ylab topadi. Keling, sirkda sherlar o'tirgan stendni, uning faqat bir qismini kesib olganimizda olingan sabzi bo'lagini, faol vulqonni va, masalan, chiroqning yorug'ligini ko'rib chiqaylik (1-rasmga qarang).
Guruch. 2. Geometrik shakllar
Biz bu raqamlarning barchasi bir xil shaklda ekanligini ko'ramiz - pastda ham, tepada ham ular doiralar bilan chegaralangan, lekin ular yuqoriga qarab toraygan (2-rasmga qarang).
Guruch. 3. Konusning yuqori qismini kesish
Bu konusga o'xshaydi. Yuqori qismi shunchaki yo'q. Keling, aqlan tasavvur qilaylik, biz konusni olamiz va uning yuqori qismini o'tkir qilichning bir tebranishi bilan kesib tashlaymiz (3-rasmga qarang).
Guruch. 4. Kesilgan konus
Natijada aniq bizning raqamimiz, u kesilgan konus deb ataladi (4-rasmga qarang).
Guruch. 5. Konusning asosiga parallel kesma
Konus berilsin. Ushbu konusning asosi tekisligiga parallel va konusni kesib o'tuvchi tekislik chizamiz (5-rasmga qarang).
U konusni ikki tanaga bo'ladi: ulardan biri kichikroq konus, ikkinchisi esa kesilgan konus deb ataladi (6-rasmga qarang).
Guruch. 6. Olingan jismlar parallel kesma bilan
Shunday qilib, kesilgan konus - uning asosi va poydevorga parallel bo'lgan tekislik o'rtasida o'ralgan konusning bir qismi. Konusda bo'lgani kabi, kesilgan konusning tagida aylana bo'lishi mumkin, bu holda u aylana deyiladi. Agar asl konus to'g'ri bo'lsa, kesilgan konus to'g'ri deb ataladi. Konuslarda bo'lgani kabi, biz bilvosita kesilgan konus haqida gapirayotganimiz yoki uning asoslari doira emasligi aniq aytilmagan bo'lsa, biz faqat tekis dumaloq kesilgan konuslarni ko'rib chiqamiz.
Guruch. 7. To'g'ri to'rtburchak trapetsiyaning aylanishi
Bizning global mavzuimiz aylanish jismlari. Kesilgan konus bundan mustasno emas! Konusni olish uchun biz to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqqanimizni va uni oyoq atrofida aylantirganimizni eslaylik? Olingan konus asosga parallel tekislik bilan kesishsa, u holda uchburchak to'rtburchak trapezoid bo'lib qoladi. Uning kichikroq tomon atrofida aylanishi bizga kesilgan konusni beradi. Yana bir bor ta'kidlaymizki, biz, albatta, faqat tekis dumaloq konus haqida gapiramiz (7-rasmga qarang).
Guruch. 8. Kesik konusning asoslari
Keling, bir nechta sharhlar qilaylik. To'liq konusning asosi va konusning tekislik bilan kesilishi natijasida hosil bo'lgan doira kesilgan konusning asoslari (pastki va yuqori) deb ataladi (8-rasmga qarang).
Guruch. 9. Kesilgan konusning generatorlari
Kesilgan konusning asoslari orasiga o'ralgan to'liq konusning generatorlari segmentlari kesilgan konusning generatorlari deyiladi. Asl konusning barcha generatorlari teng va kesilgan konusning barcha generatorlari teng bo'lganligi sababli, kesilgan konusning generatorlari teng bo'ladi (kesilgan va kesilganni aralashtirmang!). Bu trapezoidning eksenel kesimi isossellar ekanligini anglatadi (9-rasmga qarang).
Kesilgan konusning ichiga o'ralgan aylanish o'qining segmenti kesilgan konusning o'qi deyiladi. Bu segment, albatta, uning asoslari markazlarini bog'laydi (10-rasmga qarang).
Guruch. 10. Kesilgan konusning o'qi
Kesilgan konusning balandligi asoslardan birining nuqtasidan ikkinchi asosga chizilgan perpendikulyardir. Ko'pincha kesilgan konusning balandligi uning o'qi hisoblanadi.
Guruch. 11. Kesilgan konusning eksenel kesimi
Kesilgan konusning eksenel qismi uning o'qi orqali o'tadigan qismdir. U trapezoid shakliga ega; birozdan keyin biz uning izossel ekanligini isbotlaymiz (11-rasmga qarang).
Guruch. 12. Kiritilgan belgili konus
Kesilgan konusning lateral yuzasi maydonini topamiz. Kesilgan konusning asoslari radiusli va ga ega bo'lsin va generatrix teng bo'lsin (12-rasmga qarang).
Guruch. 13. Kesilgan konusning generatrixini belgilash
Kesilgan konusning lateral yuzasi maydonini asl konusning lateral yuzalarining maydonlari va kesilgan qismi o'rtasidagi farq sifatida topamiz. Buning uchun kesilgan konusning generatrixini belgilaymiz (13-rasmga qarang).
Keyin nima qidiryapsiz.
Guruch. 14. O'xshash uchburchaklar
Faqat ifoda etish qoladi.
E'tibor bering, uchburchaklarning o'xshashligidan, qaerdan (14-rasmga qarang).
ni radiuslar farqiga bo'lish orqali ifodalash mumkin edi, lekin bu bizga kerak emas, chunki biz izlayotgan mahsulot biz izlayotgan ifodada paydo bo'ladi. ni almashtirib, biz nihoyat: .
Endi umumiy sirt maydoni uchun formulani olish oson. Buning uchun taglikning ikkita doirasi maydonini qo'shish kifoya: .
Guruch. 15. Muammo uchun rasm
To'rtburchaklar trapetsiyani balandligi bo'ylab aylantirib, kesilgan konus olinsin. Trapetsiyaning o'rta chizig'i ga, katta lateral tomoni esa teng (15-rasmga qarang). Olingan kesilgan konusning lateral sirt maydonini toping.
Yechim
Formuladan biz buni bilamiz 
.
Konusning avlodi asl trapetsiyaning katta tomoni bo'ladi, ya'ni konusning radiuslari trapetsiyaning asoslari hisoblanadi. Biz ularni topa olmayapmiz. Ammo bizga bu kerak emas: bizga faqat ularning yig'indisi kerak va trapetsiya asoslarining yig'indisi uning o'rta chizig'idan ikki baravar katta, ya'ni ga teng. Keyin.
E'tibor bering, biz konus haqida gapirganda, biz u bilan piramida o'rtasida parallellik o'tkazdik - formulalar o'xshash edi. Bu erda ham xuddi shunday, chunki kesilgan konus kesilgan piramidaga juda o'xshaydi, shuning uchun kesilgan konus va piramidaning lateral va umumiy sirtlari (va tez orada hajm formulalari bo'ladi) uchun formulalar o'xshashdir.
Guruch. 1. Muammo uchun rasm
Kesilgan konusning asoslari radiusi va ga, generatrix esa ga teng. Kesilgan konusning balandligini va uning eksenel kesimining maydonini toping (1-rasmga qarang).