Naqshli egri chiziqlarni qurish quyidagicha amalga oshiriladi:

Birinchidan, egri chiziqqa tegishli nuqtalar aniqlanadi va keyin naqsh yordamida ulanadi. Naqshli egri chiziqlarga aylana konusni tekislik bilan kesish natijasida olingan parabola, giperbola, ellipsning konus kesimlari, evolvent, sinusoid va boshqalar kiradi.

1. Ellipsning qurilishi.

2. Ellips fokus

3. Parabolani yasash

6. Naqsh egri chiziqlarini chizish.

Ellips - bu naqshli egri chiziqlarga tegishli bo'lgan konusning kesimidir. Ellips, giperbola va parabola dumaloq konusni tekislik, sinusoid, involvent va boshqa egri chiziqlar bilan kesish orqali olinadi.

41-rasm. Konusning ellips (a) va ellips (b) bo'ylab tekislik bilan kesishishi.

Naqsh egri chiziqlarini (parabola, ellips, giperbola) qurish uchun egri chiziqqa tegishli nuqtalar aniqlanadi va keyin barcha nuqtalar naqsh yordamida ulanadi. Agar dumaloq konusning yuzasi eğimli tekislik bilan kesilgan bo'lsa, eğimli tekislik dumaloq konusning barcha generatrislarini kesib o'tadigan bo'lsa, u holda kesma tekisligida ellips hosil bo'ladi (41-rasmga qarang). ).

Ellips tekis yopiq egri chiziq bo'lib, uning har bir nuqtasi - M dan berilgan ikkita F1 va F2 nuqtalarigacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy qiymatdir. Bu doimiy qiymat ellipsning katta o'qiga teng MF1 + MF2 = AB ellipsning kichik o'qi va AB katta o'qi o'zaro perpendikulyar va bir o'q ikkinchisini yarmiga bo'ladi.

42-rasm. O'qlar bo'ylab ellipsni qurish


Shunday qilib, o'qlar ellips egri chizig'ini to'rtta juft simmetrik teng qismlarga ajratadi. Agar CD kichik o'qining uchlaridan markazlardan bo'lgani kabi radiusi ellips katta o'qining yarmiga teng bo'lgan aylana yoyi tasvirlansa R=OA=OB, u holda uni F1 va F2 nuqtalarida kesib o'tadi. , ular fokuslar deb ataladi.

42-rasmda uning o'qlari bo'ylab ellipsni qurish misoli keltirilgan AB va CD o'qlarida, xuddi diametrlarda bo'lgani kabi, biz markaz O nuqtada bo'lgan ikkita konsentrik doira quramiz. markazga to'g'ri chiziqlar bilan hosil bo'lgan nuqtalar O.

1-kesishish nuqtalaridan; 2; 3; 4; yordamchi doiralar bilan ellipsga tegishli bo'lgan E, F, K, M nuqtalarda bir-birini kesishguncha gorizontal va vertikal chiziqlar segmentlarini chizamiz. Keyinchalik, naqsh yordamida silliq egri chiziqning qurilgan nuqtalari ulanadi va natijada ellips hosil bo'ladi.

Naqshli egri chiziqlarni yasash, parabola

43-rasm. Konusning parabola bo'ylab tekislik bilan kesishishi. Fokus va direktrisa yordamida parabola qurish.

Agar siz uning generatrislaridan biriga parallel ravishda aylana konusni qiya P tekisligi bilan kessangiz, u holda kesma tekisligida parabola hosil bo'ladi (43-rasmga qarang a parabola ochiq tekis egri chiziq). Parabolaning har bir nuqtasi berilgan to'g'ri chiziqdan -MN, fokusdan -F bir xil masofada joylashgan.

MN to'g'ri chiziq yo'naltiruvchi bo'lib, parabolaning o'qiga perpendikulyar bo'lgan yo'nalish -MN va fokus o'rtasida, A parabolaning tepasi to'g'ridan-to'g'ri o'rtada joylashgan fokus va berilgan yo'riqnoma, fokus nuqtasi -F orqali, -X, perpendikulyar yo'naltiruvchi -MN parabola o'qini torting.

EF segmentini yarmiga bo'ling va parabola-A cho'qqisini oling. Radiusi -L ga teng bo'lgan -F nuqtadan, mos keladigan to'g'ri chiziqdan yo'nalishgacha, masalan, CB, biz bunga to'g'ri chiziq qilamiz. Bunday holda, C va B nuqtalari.

Shunday qilib, bir nechta juft simmetrik nuqtalarni qurib, biz naqsh yordamida ular orqali silliq egri chizamiz. (43 c) A va B nuqtalarda ikkita OA va OB toʻgʻri chiziqqa parabola tangensini qurish misoli koʻrsatilgan. OA va OB segmentlari bir xil miqdordagi teng qismlarga boʻlingan (masalan, sakkizga boʻlingan). Shundan so'ng, hosil bo'lgan bo'linish nuqtalari raqamlanadi va 1-1 to'g'ri chiziqlar bilan bog'lanadi; 2-2; 3-3 (43-rasm, c ga qarang) va boshqalar. Bu chiziqlar parabolik egri chiziqqa tangens. Keyin tekis chiziqlar hosil qilgan konturga silliq tangens parabola egri chiziladi.

Agar siz to'g'ridan-to'g'ri va teskari konuslarni ikkita generatrisaga parallel yoki ma'lum bir holatda o'qga parallel ravishda kessangiz, kesma tekisligida siz ikkita nosimmetrik novdadan iborat giperbola olasiz (45-rasm, a-rasmga qarang). .

45-rasm. Konusning tekislik bilan giperbola bo'ylab kesishishi (a) va giperbolaning qurilishi (b).

Giperbola (45,b-rasm) tekis egri chiziq bo’lib, uning har bir nuqtasidan ikkita berilgan F1 va F2 nuqtalarigacha bo’lgan masofalar farqi o’zgarmas qiymat bo’lib, uning a va b cho’qqilari orasidagi masofaga teng bo’ladi. masalan SF1-SF2=ab. Giperbolada ikkita simmetriya o'qi bor - haqiqiy AB va xayoliy CD.

Giperbolaning O markazidan o'tuvchi va uning shoxlariga cheksizlikda tegib turgan ikkita KL va K1 L1 to'g'ri chiziq asimptotalar deyiladi. Berilgan a va b uchlari hamda F1 va F2 fokuslaridan giperbola qurish mumkin. Fokus uzunligida (F1 va F2 segmentida) qurilgan to'rtburchakni diametrdagi kabi chizib, giperbolaning uchlarini aniqlaymiz.

Haqiqiy AB o'qida F2 fokusning o'ng tomonida biz ixtiyoriy 1, 2, 3, 4, ... ni belgilaymiz F1 va F2 fokuslaridan dastlab radiusi a-1, keyin b-1 bo'lguncha aylana yoylarini chizamiz. giperbolaning haqiqiy o'qining ikkala tomonidagi o'zaro kesishish. Keyinchalik, a-2 va b-2 radiuslari (S nuqta) va boshqalar bilan keyingi juft yoylarning o'zaro kesishishini bajaramiz.

Olingan yoylarning kesishish nuqtalari giperbolaning o'ng shoxiga tegishlidir. Chap shoxchaning nuqtalari CD o'qiga nisbatan qurilgan nuqtalarga simmetrik bo'ladi.

Sinusoid - silindrsimon spiral bo'ylab harakatlanuvchi nuqta traektoriyasining silindr o'qiga parallel bo'lgan tekislikka proyeksiyasi. Nuqtaning harakati bir xil aylanma harakatdan (silindr o'qi atrofida) va bir xil translatsiya harakatidan (silindrga parallel) iborat.

46-rasm. Sinusoidning qurilishi

Sinus to'lqin - burchak kattaligining o'zgarishiga qarab trigonometrik sinus funktsiyasining o'zgarishini ko'rsatadigan tekis egri chiziq. sinusoid qurish uchun (46-rasm) D diametrli aylananing markazi O orqali OX to‘g‘ri chiziq chizamiz va uning ustiga aylana uzunligiga teng O1 A segmentini chizamiz. π D. Biz bu segmentni va doirani bir xil miqdordagi teng qismlarga ajratamiz. Olingan va raqamlangan nuqtalardan biz o'zaro perpendikulyar to'g'ri chiziqlar chizamiz. Ushbu chiziqlarning hosil bo'lgan kesishish nuqtalarini silliq egri naqsh yordamida bog'laymiz.

Naqshli egri chiziqlarni chizish

Naqshli egri chiziqlar nuqtalar bo'yicha tuzilgan. Bu nuqtalar naqshlar yordamida bog'lanadi, avval qo'lda qo'lda egri chiziladi. Egri chiziqning alohida nuqtalarini ulash printsipi quyidagicha:

Biz naqsh yoyining belgilangan egri chiziqning eng ko'p nuqtalari bilan eng mos keladigan qismini tanlaymiz. Keyinchalik, biz naqshga to'g'ri keladigan egri chiziqning butun yoyini emas, balki uning faqat o'rta qismini chizamiz. Shundan so'ng, biz naqshning boshqa qismini tanlaymiz, lekin bu qism chizilgan egri chiziqning taxminan uchdan biriga va egri chiziqning kamida ikkita keyingi nuqtasiga tegishi uchun va hokazo. Bu egri chiziqning alohida yoylari orasidagi silliq o'tishni ta'minlaydi.

Maqolani ijtimoiy tarmoqlarda qayta joylashtirishni TAVSIYA ETAMIZ!

Ellipsning qurilishi

Ellips - yopiq tekis qavariq egri chiziq bo'lib, uning har bir nuqtasining katta o'qda yotgan ikkita berilgan nuqtagacha bo'lgan masofalari yig'indisi o'zgarmas va katta o'qning uzunligiga teng. Ikki o'q bo'ylab ovalni qurish (23-rasm) quyidagicha amalga oshiriladi:

• - ellipsning katta va kichik o'qlariga teng bo'lgan AB va CD segmentlari O kesishgan nuqtadan simmetrik tarzda yotqizilgan eksenel chiziqlarni chizish;
• - markazi o‘qlarning kesishish nuqtasida bo‘lgan ellips o‘qlarining yarmiga teng radiusli ikkita aylana qurish;
• - aylanani o'n ikkita teng qismga bo'ling. Doira bo'linishi 2.3-bandda ko'rsatilganidek amalga oshiriladi;
• -olilgan nuqtalar orqali diametrli nurlar o'tkaziladi;
• - nurlarning kesishish nuqtalaridan ellips o‘qlariga parallel bo‘lgan mos aylanalar bilan ellipsda yotgan nuqtalarda bir-birini kesib o‘tguncha to‘g‘ri chiziqlar o‘tkaziladi;
• - olingan nuqtalar naqshlar yordamida silliq egri chiziq bilan bog'lanadi. Naqsh egri chizig'ini qurishda naqshni tanlash va joylashtirish kerak, shunda kamida to'rt-besh nuqta ulanadi.

Ellipsni qurishning boshqa usullari mavjud.

Parabola qurish

Parabola - tekis egri chiziq bo'lib, uning har bir nuqtasi DD 1 direktrisasidan - parabola simmetriya o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziq va F fokusdan simmetriya o'qida joylashgan nuqtadan teng masofada joylashgan. Direktrisa va fokus orasidagi KF masofa parabola parametri deyiladi p.

24-rasmda O cho'qqisi, OK o'qi va CD akkord bo'ylab parabolani chizish misoli keltirilgan. Qurilish quyidagicha amalga oshiriladi:

• - gorizontal to'g'ri chiziqni chizish, uning ustiga O tepasi belgilangan va OK o'qi chizilgan;
• - K nuqta orqali parabola akkordasining uzunligi simmetrik yuqoriga va pastga chizilgan perpendikulyar chiziladi;
• - bir tomoni parabola o'qiga, ikkinchi tomoni akkordaga teng bo'lgan ABCD to'rtburchakni qurish;
• - BC tomoni bir nechta teng qismlarga, KC segmenti esa bir xil miqdordagi teng qismlarga bo'linadi;
• - O parabolaning tepasidan nurlar 1, 2 va hokazo nuqtalar orqali, 1 1, 2 1 va hokazo nuqtalar orqali o'tkaziladi;
• - o'qlarga parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazing va mos keladigan parallel chiziqlar bilan nurlarning kesishish nuqtalarini aniqlang, masalan, O1 nurning parabolaga tegishli bo'lgan O1 1 to'g'ri chiziq bilan kesishish nuqtasi;
• - olingan nuqtalar naqsh ostida silliq kavisli chiziq bilan bog'langan. Parabolaning ikkinchi tarmog'i ham xuddi shunday tarzda qurilgan.

Parabolani qurishning boshqa usullari ham mavjud.

Parabolani qanday qurish mumkin? Kvadrat funksiya grafigini tuzishning bir necha usullari mavjud. Ularning har biri o'zining ijobiy va salbiy tomonlariga ega. Keling, ikkita usulni ko'rib chiqaylik.

y=x²+bx+c va y= -x²+bx+c ko‘rinishdagi kvadratik funksiya grafigini tuzishdan boshlaylik.

Misol.

y=x²+2x-3 funksiya grafigini tuzing.

Yechim:

y=x²+2x-3 kvadrat funktsiyadir. Grafik shoxlari yuqoriga ko'tarilgan paraboladir. Parabola cho'qqisining koordinatalari

(-1;-4) cho'qqidan y=x² (koordinatalarning kelib chiqishi kabi. (0;0) o'rniga - cho'qqi (-1;-4) grafigini quramiz. (-1); -4) o'ngga 1 birlikka va yuqoriga 1 birlikka, keyin chapga 1 va yuqoriga: 2 - o'ngga, 4 - yuqoriga, 2 - chapga, 3 - yuqoriga; chapga, 9 - yuqoriga Agar bu 7 ball etarli bo'lmasa, o'ngga 4, tepaga 16 va hokazo).

y= -x²+bx+c kvadrat funktsiyaning grafigi parabola bo'lib, uning shoxlari pastga yo'naltirilgan. Grafikni qurish uchun biz cho'qqining koordinatalarini qidiramiz va undan y= -x² parabolani tuzamiz.

Misol.

y= -x²+2x+8 funksiya grafigini tuzing.

Yechim:

y= -x²+2x+8 kvadrat funktsiya. Grafik shoxlari pastga ega paraboladir. Parabola cho'qqisining koordinatalari

Yuqoridan y= -x² parabola quramiz (1 - o'ngga, 1 - pastga; 1 - chapga, 1 - pastga; 2 - o'ngga, 4 - pastga; 2 - chapga, 4 - pastga va hokazo):

Bu usul tez parabola qurish imkonini beradi va y=x² va y= -x² funksiyalarning grafigini bilsangiz, qiyinchilik tug‘dirmaydi. Kamchilik: agar cho'qqining koordinatalari kasr sonlar bo'lsa, grafikni qurish juda qulay emas. Grafikning Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarining aniq qiymatlarini bilishingiz kerak bo'lsa, siz x²+bx+c=0 (yoki -x²+bx+c=0) tenglamasini qo'shimcha ravishda echishingiz kerak bo'ladi. bu nuqtalarni chizmadan bevosita aniqlash mumkin bo'lsa ham.

Parabolani qurishning yana bir usuli - nuqtalar yordamida, ya'ni grafikda bir nechta nuqtalarni topish va ular orqali parabola chizish mumkin (x=xₒ chiziq uning simmetriya o'qi ekanligini hisobga olgan holda). Odatda buning uchun ular parabola cho'qqisini, grafikning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarini va 1-2 qo'shimcha nuqtani oladilar.

y=x²+5x+4 funksiya grafigini chizing.

Yechim:

y=x²+5x+4 kvadrat funktsiyadir. Grafik shoxlari yuqoriga ko'tarilgan paraboladir. Parabola cho'qqisining koordinatalari

ya'ni parabolaning cho'qqisi nuqta (-2,5; -2,25).

qidirmoqdalar. Ox o'qi bilan kesishgan nuqtada y=0: x²+5x+4=0. Kvadrat tenglamaning ildizlari x1=-1, x2=-4, ya'ni grafikda ikkita nuqta (-1; 0) va (-4; 0) oldik.

Grafikning Oy o'qi bilan kesishgan nuqtasida x=0: y=0²+5∙0+4=4. Biz nuqtani oldik (0; 4).

Grafikni aniqlashtirish uchun siz qo'shimcha nuqta topishingiz mumkin. X=1 ni olaylik, u holda y=1²+5∙1+4=10, ya’ni grafikning boshqa nuqtasi (1; 10). Bu nuqtalarni koordinata tekisligida belgilaymiz. Parabolaning uning cho'qqisidan o'tuvchi chiziqqa nisbatan simmetriyasini hisobga olib, biz yana ikkita nuqtani belgilaymiz: (-5; 6) va (-6; 10) va ular orqali parabola chizamiz:

y= -x²-3x funksiya grafigini tuzing.

Yechim:

y= -x²-3x kvadratik funksiya. Grafik shoxlari pastga ega paraboladir. Parabola cho'qqisining koordinatalari

Cho'qqisi (-1,5; 2,25) parabolaning birinchi nuqtasidir.

Grafikning x o'qi bilan kesishgan nuqtalarida y=0, ya'ni -x²-3x=0 tenglamani yechamiz. Uning ildizlari x=0 va x=-3, ya'ni (0;0) va (-3;0) - grafikdagi yana ikkita nuqta. (o; 0) nuqta ham parabolaning ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtasidir.

x=1 y=-1²-3∙1=-4 da, ya’ni (1; -4) chizma tuzish uchun qo’shimcha nuqtadir.

Nuqtalardan parabolani yasash birinchisiga nisbatan ancha mehnat talab qiladigan usuldir. Agar parabola Ox o'qini kesib o'tmasa, qo'shimcha nuqtalar kerak bo'ladi.

y=ax²+bx+c ko‘rinishdagi kvadratik funksiyalarning grafiklarini qurishni davom ettirishdan oldin, geometrik o‘zgartirishlar yordamida funksiyalar grafiklarini qurishni ko‘rib chiqamiz. Shuningdek, y=x²+c ko‘rinishdagi funksiyalarning grafiklarini shu o‘zgartirishlardan biri — parallel ko‘chirish yordamida qurish ham eng qulaydir.

Kategoriya: |

Parabola qurish - bu matematik operatsiyalardan biri. Ko'pincha u nafaqat ilmiy maqsadlarda, balki sof amaliy maqsadlarda ham qo'llaniladi. Keling, Excel dastur vositalaridan foydalangan holda ushbu protsedurani qanday bajarishni bilib olaylik.

Parabola - bu quyidagi turdagi kvadrat funktsiyaning grafigi f(x)=ax^2+bx+c. Uning ajoyib xususiyatlaridan biri shundaki, parabola direktrisadan teng masofada joylashgan nuqtalar to'plamidan iborat simmetrik figura shakliga ega. Umuman olganda, Excelda parabolani qurish ushbu dasturdagi boshqa grafiklarni qurishdan unchalik farq qilmaydi.

Jadval yaratish

Avvalo, parabolani qurishni boshlashdan oldin, siz uning asosida yaratiladigan jadvalni qurishingiz kerak. Masalan, funksiya grafigini qurishni olaylik f(x)=2x^2+7.

Grafik chizish

Yuqorida aytib o'tilganidek, endi biz grafikning o'zini qurishimiz kerak.

Diagrammani tahrirlash

Endi siz olingan grafikni biroz tahrirlashingiz mumkin.

Bundan tashqari, siz hosil bo'lgan parabolani tahrirlashning boshqa har qanday turlarini, shu jumladan uning nomini va o'qlarning nomlarini o'zgartirishingiz mumkin. Ushbu tahrirlash usullari Excelda boshqa turdagi diagrammalar bilan ishlash doirasidan tashqariga chiqmaydi.

Ko'rib turganingizdek, Excelda parabolani qurish xuddi shu dasturda boshqa turdagi grafik yoki diagramma yaratishdan tubdan farq qilmaydi. Barcha harakatlar oldindan tuzilgan jadval asosida amalga oshiriladi. Bunga qo'shimcha ravishda, parabola qurish uchun tarqalish diagrammasi eng mos ekanligini hisobga olishingiz kerak.

Ellips. Agar siz dumaloq konusning sirtini eğimli tekislik bilan kessangiz R shunday qilib, u barcha generatorlarini kesib o'tadi, keyin kesma tekisligida ellips olinadi (65-rasm).

65-rasm

Ellips(66-rasm) - tekis yopiq egri chiziq bo'lib, uning har qanday nuqtasidan (masalan, nuqtadan) masofalar yig'indisi. M ) berilgan ikkita ballgacha F 1 Va F 2 - ellipsning o'choqlari - uning katta o'qi uzunligiga teng bo'lgan doimiy qiymat mavjud AB (Masalan, F 1 M + F 2 M = AB ).Chiziq segmenti AB ellipsning katta o'qi va segmenti deyiladi CD - uning kichik o'qi. Ellipsning o'qlari nuqtada kesishadi O- ellips markazi va uning o'lchami katta va kichik o'qlarning uzunligini aniqlaydi. Ballar F 1 Va F 2 asosiy o'qda joylashgan AB nuqtaga nisbatan simmetrik O va kichik o'qning uchlaridan chiqariladi (nuqtalar BILAN Va D ) ellipsning asosiy o'qining yarmiga teng masofaga .

66-rasm

Ellipsni qurishning bir necha yo'li mavjud. Eng oson yo'li - yordamchi doiralar yordamida uning ikki o'qi bo'ylab ellips qurishdir (67-rasm). Bunday holda, ellipsning markazi ko'rsatiladi - nuqta O va u orqali ikkita o'zaro perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkaziladi (67-rasm, a). Nuqtai nazardan HAQIDA radiusi katta va kichik o‘qlarning yarmiga teng bo‘lgan ikkita doirani tasvirlang. Katta doira 12 ta teng qismga bo'linadi va bo'linish nuqtalari nuqta bilan bog'lanadi HAQIDA . Chizilgan chiziqlar kichikroq doirani 12 ta teng qismga bo'ladi. Keyin kichikroq doiraning bo'linish nuqtalari orqali gorizontal chiziqlar (yoki ellipsning katta o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar) va bo'linish nuqtalari orqali vertikal chiziqlar (yoki ellipsning kichik o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar) o'tkaziladi. kattaroq doiradan. Ularning kesishish nuqtalari (masalan, nuqta M ) ellipsga tegishli. Olingan nuqtalarni silliq egri chiziq bilan bog'lash orqali ellips olinadi (67-rasm, b).

67-rasm

Parabola. Agar dumaloq konus tekislik bilan kesilsa R , uning generatrislaridan biriga parallel bo'lsa, u holda kesma tekisligida parabola olinadi (68-rasm).

68-rasm

Parabola(69-rasm) - har bir nuqtasi berilgan to'g'ri chiziqdan bir xil masofada joylashgan tekis egri chiziq DD 1 , chaqirildi direktor, va nuqtalar F - parabolaning fokusi. Masalan, bir nuqta uchun M segmentlar MN (direktorgacha bo'lgan masofa) va M.F. (fokusgacha bo'lgan masofa) teng, ya'ni. MN = M.F. .

Parabola bir simmetriya o'qi bo'lgan ochiq egri shakliga ega bo'lib, u parabola fokusi - nuqtadan o'tadi. F va direktorga perpendikulyar joylashgan DD 1 .Aniq A , segmentning o'rtasida yotgan OF , chaqirildi parabolaning tepasi. Fokusdan Directrixgacha bo'lgan masofa - segment OF = 2'OA - harf bilan belgilanadi R va qo'ng'iroq qiling parabola parametri. Parametr qanchalik katta bo'lsa R , parabolaning shoxlari o'z o'qidan qanchalik keskin uzoqlashadi. Parabola o'qiga nisbatan simmetrik joylashgan ikkita nuqta orasiga o'ralgan segment deyiladi. akkord(masalan, akkord MK ).

69-rasm

Uning DD 1 direktrisasidan va F fokusidan parabolani qurish(70-rasm, a) . Nuqta orqali F parabola o'qini direktrisaga perpendikulyar qilib, nuqtada direktrisa bilan kesishguncha chizamiz. HAQIDA. Chiziq segmenti OF = p yarmiga bo'ling va ball oling A - parabolaning tepasi. Parabola nuqta o'qida A asta-sekin o'sib boruvchi bir nechta bo'limlarni yotqiz. Bo'linish nuqtalari orqali 1, 2, 3 bu. D. direktrisaga parallel toʻgʻri chiziqlar oʻtkazing. Parabola fokusini markaz qilib olib, ular radiusli yoylarni tasvirlaydilar R 1 = L 1 1 ,radius R2 = L2 nuqta orqali chiziqni kesib o'tguncha 2 , va hokazo. Olingan nuqtalar parabolaga tegishli. Birinchidan, ular qo'lda nozik silliq chiziq bilan bog'lanadi, keyin naqsh bo'ylab chiziladi.

Parabolani uning o'qi, A cho'qqisi va M oraliq nuqtasi bo'ylab qurish(70-rasm, b).Ustki qismi orqali A parabola o'qiga perpendikulyar va nuqta orqali to'g'ri chiziq torting M - o'qiga parallel to'g'ri chiziq. Ikkala chiziq ham bir nuqtada kesishadi B . Segmentlar AB Va B.M. bir xil miqdordagi teng qismlarga bo'linadi va bo'linish nuqtalari o'qlar bilan ko'rsatilgan yo'nalishlarda raqamlanadi. Yuqori orqali A va nuqtalar 1 , 2 , 3 , 4 nurlarni o'tkazish va nuqtalardan I , II , III ,IV - parabola o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar. Xuddi shu raqam bilan belgilangan chiziqlar kesishmasida parabolaga tegishli nuqtalar mavjud. Parabolaning ikkala shoxlari ham bir xil, shuning uchun boshqa shoxlari akkordlar yordamida birinchisiga simmetrik tarzda qurilgan.

70-rasm

Ikkita OA va OB toʻgʻri chiziqqa berilgan A va B nuqtalarda parabola tangensini yasash(71-rasm, b). Segmentlar O.A. Va OB bir xil miqdordagi teng qismlarga bo'linadi (masalan, 8 qismga). Olingan bo'linish nuqtalari raqamlangan va bir xil nomdagi nuqtalar to'g'ri chiziqlar bilan bog'langan. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 va boshqalar . d . Bu chiziqlar parabolik egri chiziqqa tangens. Keyinchalik, tekis chiziqlar hosil qilgan konturga silliq tangens egri chiziq - parabola yoziladi. .

71-rasm

Giperbola. Agar siz to'g'ridan-to'g'ri va teskari konuslarni uning ikkita generatrisiga parallel yoki ma'lum bir holatda o'qiga parallel ravishda kessangiz, kesma tekisligida ikkita simmetrik novdadan iborat giperbolani olasiz (72-rasm, a).

Giperbola(72-rasm, b) nuqtalar to'plami bo'lgan ochiq tekislik egri chizig'i deyiladi, berilgan ikkita nuqtadan masofalar farqi doimiy qiymatdir.

72-rasm

Doimiy nuqtalar F 1 Va F 2 chaqiriladi nayranglar , va ular orasidagi masofa fokus uzunligi . Chiziq segmentlari ( F 1 M Va F 2 M ), har qanday nuqtani ulash ( M ) fokusli egri chiziq deyiladi radius vektorlari giperbolalar . Nuqta va fokus masofalari o'rtasidagi farq F 1 Va F 2 doimiy qiymat va cho'qqilar orasidagi masofaga teng A Va b giperbola; masalan, bir nuqta uchun M ega bo'ladi: F 1 M -F 2 M = ab. Giperbola ikkita ochiq novdadan iborat va ikkita o'zaro perpendikulyar o'qga ega - yaroqli AB Va xayoliy CD. To'g'ridan-to'g'ri pq Va rs, markazdan o'tadi O , deyiladi asimptotlar .

Ushbu asimptotlar yordamida giperbola qurish pq Va rs, nayranglar F 1 Va F 2 72-rasmda ko'rsatilgan, b.

Haqiqiy o'q AB giperbola - asimptotalardan hosil bo'lgan burchakning bissektrisasi. Xayoliy o'q CD perpendikulyar AB va nuqtadan o'tadi HAQIDA. Fokuslarga ega F 1 Va F2, uchlarini aniqlang A Va b giperbolalar, nima uchun segmentda F 1 F 2 nuqtalarda asimptotalarni kesib o'tuvchi yarim doira quring m Va P. Bu nuqtalardan o'qga perpendikulyarlar tushiriladi AB va u bilan kesishgan joyda biz cho'qqilarni olamiz A Va b giperbola.

Giperbolaning o'ng novdasini chiziqda qurish AB fokusning o'ng tomoniga F 1 ixtiyoriy nuqtalarni belgilang 1 , 2 , 3 , ..., 5. Ballar V Va V1 segmentni olsak giperbolalar olinadi a5 radiusdan tashqarida va nuqtadan F2 nuqtadan belgilangan doira yoyi chiziladi F 1, radiusga teng b5. Giperbolaning qolgan nuqtalari tasvirlanganlarga o'xshash tarzda qurilgan.

Ba'zan asimptotalari giperbolani qurishga to'g'ri keladi OH Va OY o'zaro perpendikulyar (73-rasm). Bu holda haqiqiy va xayoliy o'qlar bis bo'ladi Bilan to'g'ri burchakli elektrlar. Tuzish uchun giperbolaning nuqtalaridan biri ko'rsatiladi, masalan, nuqta A.

73-rasm

Nuqta orqali A bevosita amalga oshirish AK Va A.M. , o'qlarga parallel Oh Va ou .Nuqtadan O qayta Bilan haqidagi tushunchalar Bilan unga to'g'ridan-to'g'ri berishadi Bilan to'g'ri chiziqlar A.M. Va AK nuqtalarda 1 , 2 , 3 , 4 Va 1" , 2" , 3" , 4" . Keyinchalik, vertikal va gorizontal segmentlar ushbu chiziqlar bilan kesishgan nuqtalardan bir-biri bilan kesishmaguncha chiziladi. I, II, III, IV Giperbolaning hosil bo'lgan nuqtalari naqsh yordamida bog'lanadi . Ballar 1, 2, 3, 4 vertikal chiziqda joylashganlar o'zboshimchalik bilan olinadi .

Aylana involyutasi yoki doiraning rivojlanishi. Aylana involyutasi to'g'ri chiziqning har bir nuqtasi tomonidan tasvirlangan tekis egri chiziq deyiladi, agar bu to'g'ri chiziq statsionar aylana bo'ylab sirg'almasdan o'ralgan bo'lsa (uning joylashishi va to'g'rilanishi natijasida hosil bo'lgan doira nuqtalarining traektoriyasi) (74-rasm).

Evolventni qurish uchun aylananing diametrini ko'rsatish kifoya D va nuqtaning dastlabki holati A (nuqta A 0 ). Nuqta orqali A 0 aylanaga tangens chizing va unga berilgan doira uzunligini chizing D . Olingan segment va aylana bir xil miqdordagi qismlarga bo'linadi va unga teglar aylananing bo'linish nuqtalari orqali bir yo'nalishda chiziladi. Har bir tangensda gorizontal chiziqdan olingan va mos ravishda teng segmentlar yotqiziladi 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = V A 0 2 , 3A 3 = A 0 3 va hokazo.; Olingan nuqtalar naqsh bo'yicha ulanadi.

74-rasm

Arximed spirali- nuqta bilan tasvirlangan tekis egri chiziq A , sobit nuqta atrofida bir xilda aylanish - qutblar HAQIDA va shu bilan birga undan bir tekis uzoqlashish (75-rasm). To'g'ri chiziqni 360° ga burilganda nuqta bosib o'tgan masofa spiral qadam deyiladi. Arximed spiraliga tegishli nuqtalar aylanish bosqichi va yo'nalishini ko'rsatib, egri chiziqning ta'rifi asosida qurilgan.

Berilgan qadam (OA segmenti) va aylanish yo'nalishi bo'yicha soat yo'nalishi bo'yicha Arximed spiralini qurish(75-rasm).Nuqta orqali HAQIDA to'g'ri chiziq chizing va uning ustidagi spiral qadamni belgilang O.A. va uni radius sifatida olib, aylanani tasvirlang. Doira va segment O.A. 12 ta teng qismga bo'lingan. Radiuslar aylananing bo'linish nuqtalari orqali o'tkaziladi O1 , O2 , O3 va hokazo va ular ustida nuqtadan HAQIDA aylana radiusining mos ravishda 1/12, 2/12, 3/12 va boshqalar yoylari yordamida yotqiziladi. Olingan nuqtalar silliq egri chiziqli naqsh bo'ylab bog'lanadi.

Arximed spirali ochiq egri chiziq bo'lib, agar kerak bo'lsa, uning burilishlarining istalgan sonini qurishingiz mumkin. Ikkinchi burilishni qurish uchun radiusli doirani tasvirlang R = 2 OA va oldingi barcha konstruktsiyalarni takrorlang.

75-rasm

Sinus to'lqini.Sinus to'lqini harakatlanuvchi nuqta traektoriyasining proyeksiyasi deyiladi Bilan Men silindrsimonman Bilan qaysi spiral, silindr o'qiga parallel bo'lgan tekislikda . Nuqtaning harakati bir tekis aylanish harakati (silindr o'qi atrofida) va bir xil tarjima harakati (silindr o'qiga parallel) dan iborat. . Sinus to'lqin - burchakning o'zgarishiga qarab trigonometrik sinus funktsiyasining o'zgarishini ko'rsatadigan tekis egri chiziq. .

Markaz orqali sinusoid (76-rasm) qurish uchun HAQIDA doira diametri D bevosita amalga oshirish OH va uning ustiga segment yotqizilgan O 1 A , aylanaga teng D. Bu segment va doira bir xil miqdordagi teng qismlarga bo'linadi. Olingan va raqamlangan nuqtalardan o'zaro perpendikulyar to'g'ri chiziqlar chiziladi. Ushbu chiziqlarning hosil bo'lgan kesishish nuqtalari silliq egri naqsh yordamida ulanadi.

76-rasm

Kardioid. Kardioid(77-rasm) chaqiradi Bilan Men aylanadagi nuqtaning yopiq traektoriyasiman Bilan bir xil radiusli statsionar aylana bo'ylab sirpanishsiz aylanadi .

77-rasm

Markazdan HAQIDA berilgan radiusli doira chizing va unga ixtiyoriy nuqtani oling M. Bu nuqta orqali bir qator sekantlar chiziladi. Har bir sekantda, uning doira bilan kesishgan nuqtasining har ikki tomonida, aylananing diametriga teng segmentlar yotqizilgan. M1. Ha, sekant III3MIII 1 aylanani bir nuqtada kesib o‘tadi 3 ;segmentlar shu nuqtadan ishdan bo'shatiladi 3III Va 3III 1, diametriga teng M1. Ballar III Va III 1 , kardioidga tegishli . Xuddi shunday, Bilan joriy IV4MIV 1 qayta Bilan aylana bir nuqtada 4; segmentlar shu nuqtadan yotqiziladi IV4 Va 4IV 1, diametriga teng M1, ball oling IV Va IV 1 va hokazo.

Topilgan nuqtalar 77-rasmda ko'rsatilganidek, egri chiziq bilan bog'langan.

Tsikloidal egri chiziqlar. Tsikloidlar – tekis chiziq yoki aylana bo'ylab sirg'alib ketmasdan aylanaga tegishli nuqta bilan tasvirlangan tekis egri chiziqlar . Agar aylana to'g'ri chiziqda aylansa, nuqta chaqirilgan egri chiziqni tasvirlaydi sikloid.

Agar aylana boshqa doira bo'ylab, uning tashqarisida (qavariq qismi bo'ylab) aylansa, nuqta egri chiziqni tasvirlaydi. episikloid .

Agar aylana boshqa doira bo'ylab aylansa, uning ichida bo'lsa (konkav qism bo'ylab), u holda nuqta egri chiziqni tasvirlaydi. gipotsikloid . Nuqta joylashgan aylana deyiladi ishlab chiqarish . Doira aylanadigan chiziq deyiladi hidoyat .

Tsikloidni qurish uchun(78-rasm) berilgan radiusli doira chizing R ; unda boshlang'ich nuqtani oling A va yo'naltiruvchi chiziqni torting AB, uning bo'ylab aylana aylanadi .

78-rasm

Berilgan doirani 12 ta teng qismga bo'ling (nuqta 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Agar nuqta A o'zgartirish Bilan tit Bilan Men bir holatdaman A 12 , keyin segment AA 12 berilgan aylana uzunligiga teng bo'ladi Bilan ty, ya'ni. Markazlar chizig'ini chizish O - O 12 aylana bo'ylab ishlab chiqarish Bilan ti, teng , va uni 12 ta teng qismga bo'ling. Ballarni oling O 1 ,O2 ,O 3 ,..., O 12 , ular hosil qiluvchi doiraning markazlari hisoblanadi Bilan siz . Bu nuqtalardan aylana chizing Bilan ty (yoki atrofida yoylar Bilan tey) berilgan radiusda R , qaysi chiziqqa tegadi AB nuqtalarda 1,2, 3, ..., 12. Agar har bir aloqa nuqtasidan tegishli aylana bo'ylab nuqta harakat qilgan miqdorga teng yoy uzunligini chizamiz. A , keyin biz sikloidga tegishli nuqtalarni olamiz. Masalan, nuqta olish uchun A 5 markazdan sikloidlar keladi O 5 aloqa nuqtasidan doira chizish 5 aylana bo'ylab yoy qo'ying A5, ga teng A5", yoki nuqtadan 5" parallel to‘g‘ri chiziq chizamiz AB, nuqtadagi chorrahagacha A 5 chizilgan doira bilan . Tsikloidning boshqa barcha nuqtalari xuddi shunday qurilgan. .

Epitsikloid quyidagicha tuzilgan. 79-rasmda ishlab chiqaruvchi aylana radiusi ko'rsatilgan Bilan A R markaz bilan O 0 , boshlang'ich nuqtasi A uning ustida va atrofidagi yo'riqnomaning yoyi Bilan siz radio Bilan A R 1 u bo'ylab dumalaydi Bilan Men doiraman. Epitsikloidning qurilishi sikloidning qurilishiga o'xshaydi, ya'ni: berilgan doirani 12 ta teng qismga (nuqtalarga) bo'ling. 1" , 2" , 3" , ...,12"), bu doiraning har bir qismi bir nuqtadan ishdan bo'shatiladi A yoy bo'ylab AB 12 marta (nuqtalar 1 , 2 , 3 , ..., 12) va yoy uzunligini oling AA 12 . Bu uzunlik burchak yordamida aniqlanishi mumkin .

Markazdan uzoqroqda HAQIDA radiusga teng OOO 0 , hosil qiluvchi aylana markazlari chizig'ini va radiuslarini chizish 01 , 02 , 03 , ...,012 , markazlar chizig'i bilan kesishguncha davom etdi, markazlarni oling O 1, O 2, ..., O 12 hosil qiluvchi doira . ga teng radiusli bu markazlardan R , ular quradigan doiralar yoki aylana yoylarini chizish va Bilan egri chiziqning qaysi nuqtalari; Demak, fikrni tushunish uchun A 4 s tekshirilishi kerak Bilan atrofida yoy Bilan tee radiusi O4" markazdan chizilgan aylana bilan kesishguncha O4. Boshqa nuqtalar ham xuddi shunday qurilgan, keyin ular silliq egri chiziq bilan bog'lanadi .

79-rasm

Tegishli ma'lumotlar.