Площі об'ємних фігур. Як обчислити та позначити площу

Щоб розв'язати задачі з геометрії, треба знати формули - такі, як площа трикутника або площа паралелограма - а також прості прийоми, про які ми розповімо.

Для початку вивчимо формули площ фігур. Ми спеціально зібрали їх у зручну таблицю. Роздрукуйте, вивчіть та застосовуйте!

Звичайно, не всі формули геометрії є в нашій таблиці. Наприклад, для вирішення задач з геометрії та стереометрії у другій частині профільного ЄДІ з математики застосовуються інші формули площі трикутника. Про них ми обов'язково розповімо.

А що робити, якщо треба знайти не площу трапеції чи трикутника, а площу якоїсь складної фігури? Є універсальні методи! Покажемо їх на прикладах із банку завдань ФІПД.

1. Як знайти площу нестандартної фігури? Наприклад, довільного чотирикутника? Простий прийом - розіб'ємо цю фігуру на такі, про які ми знаємо, і знайдемо її площу - як суму площ цих постатей.

Розділимо цей чотирикутник горизонтальною лінією на два трикутники із загальною основою, що дорівнює . Висоти цих трикутників рівні та . Тоді площа чотирикутника дорівнює сумі площ двох трикутників: .

Відповідь: .

2. У деяких випадках площу фігури можна представити як різницю будь-яких площ.

Не так просто порахувати, чому рівні основа і висота в цьому трикутнику! Проте ми можемо сказати, що його площа дорівнює різниці площ квадрата зі стороною і трьох прямокутних трикутників. Бачите їх на малюнку? Отримуємо: .

Відповідь: .

3. Іноді у завданні треба знайти площу не всієї фігури, а її частини. Зазвичай мова тут йде про площу сектора - частини кола. Знайдіть площу сектора кола радіусу, довжина дуги якого дорівнює .

На цьому малюнку ми бачимо частину кола. Площа всього кола дорівнює, оскільки. Залишається дізнатися, яку частину кола зображено. Оскільки довжина всього кола дорівнює (оскільки ), а довжина дуги даного сектора дорівнює Отже, довжина дуги в раз менша, ніж довжина всього кола. Кут, на який спирається ця дуга, також у раз менше, ніж повне коло (тобто градусів). Значить, і площа сектора буде в раз менше, ніж площа всього кола.

Формула площінеобхідна для визначення площа фігури, яка є речовиннозначною функцією, визначеною на деякому класі фігур евклідової площини і задовольняє 4м умовам:

1. Позитивність — Площа не може бути меншою за нуль;
2. Нормування - квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
3. Конгруентність - конгруентні фігури мають рівну площу;
4. Адитивність - площа об'єднання 2х фігур без загальних внутрішніх точок дорівнює сумі площ цих фігур.

Формули площі геометричних фігур.

Геометрична фігура	Формула	Креслення
Результат складання відстаней між серединами протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнюватиме його напівпериметру.
Сектор кола. Площа сектора кола дорівнює добутку його дуги на половину радіусу.
Сегмент кола. Щоб отримати площу сегмента ASB, достатньо з площі сектора AOB відняти площу трикутника AOB.	S = 1/2 R(s - AС)
Площа еліпса дорівнює добутку довжин великої та малої півосей еліпса на число пі.
Еліпс. Ще один варіант як обчислити площу еліпса – через два його радіуси.
Трикутник. Через основу та висоту. Формула площі кола через його радіус та діаметр.
Квадрат. Через його бік. Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони.
Квадрат. Через його діагоналі. Площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
Правильний багатокутник. Для визначення площі правильного багатокутника необхідно розбити його на рівні трикутники, які мали б загальну вершину в центрі вписаного кола.	S= r·p = 1/2 r·n·a

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Якщо ви плануєте зробити ремонт самостійно, то у вас виникне необхідність скласти кошторис за будівельними та оздоблювальними матеріалами. Для цього вам потрібно буде розрахувати площу приміщення, в якому ви плануєте провести ремонтні роботи. Головним помічником у цьому виступає спеціально розроблена формула. Площа приміщення, а саме її розрахунок, дозволить вам заощадити чималі гроші на будівельних матеріалах і направити грошові ресурси, що вивільнилися, в більш потрібне русло.

Геометрична форма кімнати

Формула розрахунку площі приміщення залежить від її форми. Найбільш типовими для вітчизняних споруд є прямокутні та квадратні кімнати. Проте під час перепланування стандартна форма може спотворюватися. Кімнати бувають:

• Прямокутні.
• Квадратні.
• Складні конфігурації (наприклад, круглі).
• З нішами та виступами.

Кожна з них має свої особливості розрахунку, але, як правило, використовується та сама формула. Площа приміщення будь-якої форми та розміру, так чи інакше, піддається обчисленню.

Приміщення прямокутної або квадратної форми

Щоб розрахувати площу кімнати прямокутної чи квадратної форми, досить згадати шкільні уроки геометрії. Тому для вас не повинно скласти особливих труднощів визначити площу приміщення. Формула розрахунку має вигляд:

S кімнати = A * B, де

А – довжина приміщення.

В – ширина приміщення.

Для виміру цих величин вам знадобиться звичайна рулетка. Щоб отримати найточніші розрахунки, варто виміряти стіну з обох боків. Якщо значення не сходяться, візьміть за основу середнє значення даних, що вийшли. Але пам'ятайте, що будь-які розрахунки мають похибки, тому матеріал варто закуповувати із запасом.

Приміщення зі складною конфігурацією

Якщо ваша кімната не підпадає під визначення «типової», тобто. має форму кола, трикутника, багатокутника, то можливо для розрахунків вам знадобиться інша формула. Площу приміщення з такою характеристикою можна спробувати умовно поділити на прямокутні елементи та розрахувати стандартним шляхом. Якщо такої можливості у вас немає, тоді скористайтеся такими методиками:

• Формула знаходження площі кола:

S кімн.=π*R 2 де

R – радіус приміщення.

• Формула знаходження площі трикутника:

S кімн. = √ (P(P - A) х (Р - В) х (Р - С)), де

Р – напівпериметр трикутника.

А, В, С – довжини його сторін.

Звідси Р=А+В+С/2

Якщо в процесі розрахунку у вас виникли труднощі, то краще не мучити себе і звернутися до професіоналів.

Площа приміщення з виступами та нішами

Найчастіше стіни прикрашають декоративними елементами у формі всіляких ніш чи виступів. Також їх наявність може бути обумовлена ​​??необхідністю приховати деякі неестетичні елементи вашої кімнати. Наявність виступів або ніш на стіні означає, що розрахунок слід проводити поетапно. Тобто. спочатку знаходиться площа рівної ділянки стіни, а потім до неї додається площа ніші або виступу.

Площа стіни знаходиться за формулою:

S стін = Р х З, де

Р – периметр

С – висота

Також потрібно враховувати наявність вікон та дверей. Їх площу необхідно відібрати від значення, що вийшло.

Кімната з багаторівневою стелею

Багаторівнева стеля не так ускладнює розрахунки, як це здається на перший погляд. Якщо він має просту конструкцію, можна зробити розрахунки за принципом знаходження площі стін, ускладнених нішами і виступами.

Однак якщо конструкція вашої стелі має дуго- та хвилеподібні елементи, то доцільніше визначити його площу за допомогою площі підлоги. Для цього необхідно:

1. Знайти розміри всіх прямих ділянок стін.
2. Знайти площу підлоги.
3. Перемножити довжину та висоту вертикальних ділянок.
4. Підсумовувати значення, що вийшло, з площею підлоги.

Покрокова інструкція щодо визначення загальної

площі приміщення

1. Звільніть приміщення від непотрібних речей. У процесі вимірів вам знадобиться вільний доступ до всіх ділянок вашої кімнати, тому потрібно позбавитися всього, що може цьому перешкоджати.
2. Візуально розділіть кімнату на ділянки правильної та неправильної форми. Якщо ваше приміщення має строго квадратну або прямокутну форму, цей етап можна пропустити.
3. Зробіть довільну схему приміщення. Це креслення потрібне для того, щоб усі дані були у вас завжди під рукою. Також він не дасть вам можливості заплутатися у численних вимірах.
4. Вимірювання необхідно проводити кілька разів. Це важливе правило для виключення помилок у підрахунках. Також якщо ви використовуєте, переконайтеся, що промінь лежить рівно на поверхні стіни.
5. Знайдіть загальну площу приміщення. Формула загальної площі приміщення полягає у знаходженні суми всіх площ окремих ділянок кімнати. Тобто. S заг. = S стін + S підлоги + S стелі

Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.

Формули площі трикутника

1. Формула площі трикутника по стороні та висоті
   Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
   
2. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
   
3. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
   Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.
   
де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,

Формули площі квадрата

1. Формула площі квадрата по довжині сторони
   Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони.
2. Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
   Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
   

   S =	1	2
   	2

де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.

Формула площі прямокутника

Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін

де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.

Формули площі паралелограма

1. Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
   Площа паралелограма
2. Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
   Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.
   

   a · b · sin α

де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.

Формули площі ромба

1. Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
   Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти.
2. Формула площі ромба по довжині сторони та куту
   Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба.
3. Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
   Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей.
де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.

Формули площі трапеції

1. Формула Герону для трапеції

   Де S - Площа трапеції,
   - Довжини основ трапеції,
   - Довжини бічних сторін трапеції,