http//:www.svkspb.nm.ru

Геометричні характеристики плоских перерізів

Площа: , dF - елементарний майданчик.

Статичний момент елемента площіdFщодо осі 0x
- добуток елемента площі на відстань "y" від осі 0x: dS x = ydF

Просумувавши (проінтегрувавши) такі твори по всій площі фігури, отримуємо статичні моментищодо осей y та x:
;
[см 3 м 3 т.д.].

Координати центру важкості:
. Статичні моменти щодо центральних осей(осей, що проходять через центр тяжкості перерізу) дорівнюють нулю. При обчисленні статичних моментів складної фігури її розбивають на прості частини, з відомими площами F i та координатами центрів тяжкості x i, y i. Статичний момент площі всієї фігури = сумі статичних моментів кожної її частини:
.

Координати центру важкості складної фігури:

М
оменты інерції перерізу

Осьовий(екваторіальний) момент інерції перерізу- сума творів елементарних майданчиків dF на квадрати відстаней до осі.

;
[см 4 м 4 т.д.].

Полярний момент інерції перерізу щодо деякої точки (полюса) – сума творів елементарних майданчиків на квадрати їх відстаней від цієї точки.
; [см 4 м 4 т.д.]. J y + J x = J p.

Відцентровий момент інерції перерізу- сума творів елементарних майданчиків з їхньої відстані від двох взаємно перпендикулярних осей.
.

Відцентровий момент інерції перерізу щодо осей, з яких одна або обидві збігаються з осями симетрії, дорівнює нулю.

Осьові та полярні моменти інерції завжди позитивні, відцентрові моменти інерції можуть бути позитивними, негативними або рівними нулю.

Момент інерції складної фігури дорівнює сумі моментів інерції складових її частин.

Моменти інерції перерізів простої форми

П
рямокутний переріз Коло

До


Ольце

Т
рекутник

р
автівковий

Прямокутний

т
рекутник

Ч чверть кола

J y = J x = 0,055 R 4

J xy =0,0165R 4

на рис. (-)

Півколо

М

оманти інерції стандартних профілів знаходяться з таблиць сортаменту:

Д
вутавр Швелер Куточок

М

оменты інерції щодо паралельних осей:

J x1 = J x + a 2 F;

J y1 = J y + b 2 F;

момент інерції щодо будь-якої осі дорівнює моменту інерції щодо центральної осі, паралельної даної, плюс добуток площі фігури на квадрат відстані між осями. J y1x1 = J yx + abF; ("a" і "b" підставлять у формулу з урахуванням їхнього знака).

Залежність між моментами інерції при повороті осей:

J x1 = J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 = J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 = (J x - J y) sin2 + J xy cos2 ;

Кут >0, якщо перехід від старої системи координат до нової відбувається проти годин. J y1 + J x1 = J y + J x

Екстремальні (максимальне та мінімальне) значення моментів інерції називаються головними моментами інерції. Осі, щодо яких осьові моменти інерції мають екстремальні значення, називаються головними осями інерції. Основні осі інерції взаємно перпендикулярні. Відцентрові моменти інерції щодо основних осей = 0, тобто. Основні осі інерції - осі, щодо яких відцентровий момент інерції = 0. Якщо з осей збігається чи обидві збігаються з віссю симетрії, всі вони головні. Кут, що визначає положення основних осей:
якщо  0 >0  осі повертаються проти годин.стор. Вісь максимуму завжди становить менший кут з тієї осі, щодо якої момент інерції має більше значення. Головні осі, що проходять через центр ваги, називаються головними центральними осями інерції. Моменти інерції щодо цих осей:

J max + J min = J x + J y. Відцентровий момент інерції щодо головних центральних осей інерції дорівнює 0. Якщо відомі головні моменти інерції, то формули переходу до повернутих осей:

J x1 = J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 = J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 = (J max - J min) sin2;

Кінцевою метою обчислення геометричних показників перерізу є визначення основних центральних моментів інерції та положення основних центральних осей інерції. Р адіус інерції -
; J x = Fi x 2 , J y = Fi y 2 .

Якщо J x та J y головні моменти інерції, то i x та i y - головні радіуси інерції. Еліпс, побудований на головних радіусах інерції як на півосях, називається еліпсом інерції. За допомогою еліпса інерції можна графічно знайти радіус інерції i x1 для будь-якої осі х 1 . Для цього треба провести дотичну до еліпсу, паралельну осі х 1 і виміряти відстань від цієї осі до дотичної. Знаючи радіус інерції, можна знайти момент інерції перерізу щодо осі х 1:
. Для перерізів, що мають більше двох осей симетрії (наприклад: коло, квадрат, кільце та ін.) осьові моменти інерції щодо всіх центральних осей рівні між собою J xy = 0, еліпс інерції звертається в коло інерції.

Моменти опору.

Осьовий момент опору- Відношення моменту інерції щодо осі до відстані від неї до найбільш віддаленої точки перерізу.
[див 3, м 3]

Особливо важливими є моменти опору щодо головних центральних осей:

прямокутник:
; коло: W x = W y =
,

трубчастий переріз (кільце): W x = W y =
де = d Н /d B .

Полярний момент опору - відношення полярного моменту інерції до відстані від полюса до віддаленої точки перерізу:
.

Для кола W р =
.

Осьовим (або екваторіальним) моментом інерції перерізу щодо деякої осі називається взята по всій його площі F сума творів елементарних майданчиків на квадрати відстаней від цієї осі, тобто.

Полярним моментом інерції перерізу щодо деякої точки (полюса) називається взята по всій його площі F сума творів елементарних майданчиків на квадрати відстаней від цієї точки, тобто.

Відцентровим моментом інерції перерізу щодо деяких двох взаємно перпендикулярних осей називається взята на всій його площі F сума творів елементарних майданчиків з їхньої відстані цих осей, тобто.

Моменти інерції виражаються і т.д.

Осьові і полярні моменти інерції завжди позитивні, оскільки у їхні вирази під знаки інтегралів входять величини майданчиків (завжди позитивні) і відстань цих майданчиків від даної осі чи полюса.

На рис. 9.5 а зображено переріз площею F і показані осі у і z. Осьові моменти інерції цього перерізу щодо осей у :

Сума цих моментів інерції

і, отже,

Таким чином, сума осьових моментів інерції перерізу щодо двох взаємно перпендикулярних осей дорівнює полярному моменту інерції цього перерізу щодо точки перетину зазначених осей.

Відцентрові моменти інерції можуть бути позитивними, негативними чи рівними нулю. Так, наприклад, відцентровий момент інерції перерізу, показаного на рис. 9.5, а щодо осей у і позитивний, так як для основної частини цього перерізу, розташованої в першому квадранті, значення , а отже, і позитивні.

Якщо змінити позитивний напрямок осі у або на зворотний (рис. 9.5,б) або повернути обидві осі на 90° (рис. 9.5, в), то відцентровий момент інерції стане негативним (абсолютна величина його не зміниться), так як основна частина перерізу тоді розташовуватиметься в квадранті, для точок якого координати у позитивні, а координати z негативні. Якщо змінити позитивні напрями обох осей на зворотні, це змінить ні знак, ні величину відцентрового моменту інерції.

Розглянемо фігуру, симетричну щодо однієї чи кількох осей (рис. 10.5). Проведемо осі так, щоб хоча б одна з них (у даному випадку вісь у) збігалася з віссю симетрії фігури. Кожній площадці розташованої праворуч від осі відповідає в цьому випадку така ж площадка розташована симетрично першої, але зліва від осі у. Відцентровий момент інерції кожної пари таких симетрично розташованих майданчиків дорівнює:

Отже,

Таким чином, відцентровий момент інерції перерізу щодо осей, з яких одна або обидві збігаються з осями симетрії, дорівнює нулю.

Осьовий момент інерції складного перерізу щодо деякої осі дорівнює сумі осьових моментів інерції складових його частин щодо цієї осі.

Аналогічно відцентровий момент інерції складного перерізу щодо будь-яких двох взаємно перпендикулярних осей дорівнює сумі відцентрових моментів інерції складових його частин щодо цих осей. Також і полярний момент інерції складного перерізу щодо деякої точки дорівнює сумі полярних моментів інерції складових його частин щодо тієї ж точки.

Слід пам'ятати, що не можна підсумовувати моменти інерції, обчислені щодо різних осей і точок.

При перевірці міцності частин конструкцій нам доводиться зустрічатися з перерізами досить складної форми, для яких не можна обчислити момент інерції таким простим шляхом, як ми користувалися для прямокутника і кола.

Таким перерізом може бути, наприклад, тавр (Рис.5 а) кільцевий переріз труби, що працює на вигин (авіаційні конструкції) (Рис.5, б), кільцевий переріз шийки валу або ще складніші перерізи. Всі ці перерізи можна розбити на найпростіші, як-от: прямокутники, трикутники, круги і т.д. Можна показати, що момент інерції такої складної фігури є сумою моментів інерції частин, куди ми її розбиваємо.

Рис.5.Перерізи типу тавр - а) та кільце б)

Відомо, що момент інерції будь-якої фігури щодо осі у— удорівнює:

де z- Відстань елементарних майданчиків до осі у—у.

Розіб'ємо взяту площу на чотири частини: , , і . Тепер при обчисленні моменту інерції можна згрупувати доданки в підінтегральної функції так, щоб окремо провести підсумовування для кожної з виділених чотирьох площ, а потім скласти ці суми. Розмір інтеграла від цього не зміниться.

Наш інтеграл розіб'ється на чотири інтеграли, кожен з яких охоплюватиме одну з площ, , і :

Кожен із цих інтегралів є моментом інерції відповідної частини площі щодо осі. у— у; тому

де - момент інерції щодо осі у — уплощі , - те саме для площі і т.д.

Отриманий результат можна формулювати так: момент інерції складної фігури дорівнює сумі моментів інерції складових її частин. Таким чином, нам необхідно вміти обчислювати момент інерції будь-якої фігури щодо будь-якої осі, що лежить у її площині.

Вирішення цього завдання і становить зміст справжньої та наступних двох співбесід.

Моменти інерції щодо паралельних осей.

Завдання — отримати найпростіші формули для обчислення моменту інерції будь-якої фігури щодо будь-якої осі — вирішуватимемо кілька прийомів. Якщо взяти серію осей, паралельних один одному, виявляється, що можна легко обчислити моменти інерції фігури щодо будь-якої з цих осей, знаючи її момент інерції щодо осі, що проходить через центр тяжіння фігури паралельно обраним осям.

Рис.1.Розрахункова модель визначення моментів інерції для паралельних осей.

Осі, що проходять через центр тяжіння, ми називатимемо центральними осями. Візьмемо (Мал.1) довільну фігуру. Проведемо центральну вісь Оу, момент інерції щодо цієї осі назвемо. Проведемо у площині фігури вісь паралельноосі уна відстані від неї. Знайдемо залежність між і - моментом інерції щодо осі. Для цього напишемо вирази для і . Розіб'ємо площу фігури на майданчики; відстані кожного такого майданчика до осей уі назвемо і . Тоді

З рис.1 маємо:

Перший із цих трьох інтегралів — момент інерції щодо центральної осі. Оу. Другий - статичний момент щодо тієї ж осі; він дорівнює нулю, тому що вісь упроходить через центр тяжкості постаті. Нарешті, третій інтеграл дорівнює площі фігури F. Таким чином,

(1)

т. е. момент інерції щодо будь-якої осі дорівнює моменту інерції щодо центральної осі, проведеної паралельно у даної, плюс добуток площі фігури на квадрат відстані між осями.

Отже, наше завдання тепер звелося до обчислення лише центральних моментів інерції; якщо ми їх знатимемо, то зможемо обчислити момент інерції щодо будь-якої іншої осі. З формули (1) випливає, що центральниймомент інерції є найменшимсеред моментів інерції щодо паралельних осей і для нього ми отримуємо:

Знайдемо також відцентровий момент інерції щодо осей, паралельних центральним, якщо відомий (Рис.1). Оскільки за визначенням

де: , то звідси випливає

Оскільки два останні інтеграли є статичні моменти площі щодо центральних осей Оуі Ozто вони звертаються в нуль і, отже:

(2)

Відцентровий момент інерції щодо системи взаємно перпендикулярних осей, паралельних центральним, дорівнює відцентровому моменту інерції щодо цих центральних осей плюс добуток із площі фігури, на координати її центру тяжкості щодо нових осей.

Залежність між моментами інерції під час повороту осей.

Центральних осей можна провести скільки завгодно. Постає питання, чи не можна висловити момент інерції щодо будь-якої центральної осі залежно від моменту інерції щодо однієї чи двох певнихосей. Для цього подивимося, як змінюватимуться моменти інерції щодо двох взаємно перпендикулярних осей при повороті на кут .

Візьмемо якусь фігуру і проведемо через її центр тяжіння Продві взаємно перпендикулярні осі Оуі Oz(Рис.2).

Рис.2.Розрахункова модель визначення моментів інерції для повернутих осей.

Нехай нам відомі осьові моменти інерції щодо цих осей, а також відцентровий момент інерції. Накреслимо другу систему координатних осей і нахилених до перших під кутом; позитивний напрямок цього кута вважатимемо при повороті осей навколо точки Пропроти годинникової стрілки. Початок координат Прозберігаємо. Виразимо моменти щодо другої системи координатних осей і через відомі моменти інерції і .

Напишемо висловлювання для моментів інерції щодо цих осей:

Аналогічно:

Для вирішення завдань можуть знадобитися формули переходу від одних осей до інших для відцентрового моменту інерції. При повороті осей (Рис.2) маємо:

де й обчислюються за формулами (14.10); тоді

Після перетворень отримаємо:

(7)

Таким чином, для того щоб обчислити момент інерції щодо будь-якої центральної осі, треба знати моменти інерції і щодо системи якихось двох взаємно перпендикулярних центральних осей Оуі Oz, відцентровий момент інерції щодо тих самих осей і кут нахилу осі до осі у.

Для обчислення величин > , доводиться так вибирати осі уі zі розбивати площу фігури такі складові, щоб мати змогу зробити це обчислення, користуючись лише формулами переходу від центральних осей кожної зі складових частин до осей, їм паралельним. Як це зробити на практиці, буде показано нижче на прикладі. Зауважимо, що при цьому обчисленні складні фігури треба розбивати на такі елементарні частини, для яких відомі величини центральних моментів інерції щодо системи взаємно перпендикулярних осей.

Зауважимо, що перебіг висновку та отримані результати не змінилися б, якби початок координат було взято не в центрі тяжкості перерізу, а в будь-якій іншій точці Про. Таким чином, формули (6) і (7) є формулами переходу від однієї системи взаємно-перпендикулярних осей до іншої, повернутої на деякий кут, незалежно від того, це центральні осі чи ні.

З формул (6) можна одержати ще одну залежність між моментами інерції при повороті осей. Склавши вирази для і отримаємо

тобто сума моментів інерції щодо будь-яких взаємно перпендикулярних осей уі zне змінюється за її повороті. Підставляючи останній вираз замість та їх значення, отримаємо:

де - відстань майданчиків dFвід крапки Про. Величина є, як відомо, полярним моментом інерції перерізу щодо точки Про.

Таким чином, полярний момент інерції перерізу щодо будь-якої точки дорівнює сумі осьових моментів інерції щодо взаємно перпендикулярних осей, що проходять через цю точку. Тому ця сума залишається постійною при повороті осей. Цю залежність (14.16) можна використовувати для спрощення обчислення моментів інерції.

Так, для кола:

Так як по симетрії для кола

що було одержано вище шляхом інтегрування.

Так само для тонкостінного кільцевого перерізу можна отримати:

Основні осі інерції та основні моменти інерції.

Як відомо, знаючи для цієї постаті центральні моменти інерції , і , можна обчислити момент інерції щодо будь-якої іншої осі.

При цьому можна за основну систему осей прийняти таку систему, коли формули істотно спрощуються. Саме, можна знайти систему координатних осей, для яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю. Справді, моменти інерції і завжди позитивні, як суми позитивних доданків, відцентровий момент

може бути і позитивним і негативним, оскільки доданки zydFможуть бути різного знака залежно від символів zі удля того чи іншого майданчика. Значить, він може дорівнювати нулю.

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції перетворюється на нуль, називаються головними осямиінерції. Якщо початок такої системи розміщено в центрі тяжкості фігури, то це будуть головні центральні осі. Ці осі ми будемо позначати і; для них

Знайдемо, під яким кутом нахилені до центральних осей у і z (фіг. 198) головні осі.

Рис.1.Розрахункова модель визначення положення основних осей інерції.

У відомому виразі для переходу від осей yzдо осей, для відцентрового моменту інерції дамо куту значення; тоді осі і , збігатимуться з головними, і відцентровий момент інерції дорівнюватиме нулю:

(1)

Цьому рівнянню задовольняють два значення, що відрізняються на 180°, або два значення, що відрізняються на 90°. Таким чином, це рівняння дає нам положення двох осей, Які складають між собою прямий кут. Це і будуть головні центральні осі і для яких .

Користуючись цією формулою, можна відомим , і отримати формули для головних моментів інерції і . Для цього знову скористаємося виразами для осьових моментів інерції загального стану. Вони визначають значення і якщо замість підставити

(2)

Отриманими співвідношеннями можна користуватися під час вирішення завдань. Одним із головних моментів інерції є, іншим.

Формули (2) можна перетворити на вигляд, вільний від значення . Виражаючи і через і підставляючи їх значення першу формулу (2), отримаємо, роблячи одночасно заміну з формули (1):

Замінюючи тут із формули (1) дріб на

отримуємо

(3)

До цього ж виразу можна дійти, роблячи подібне перетворення другої формули (3).

За основну систему центральних осей, від яких можна переходити до будь-якої іншої, можна взяти не Оуі Oz, а головні осі та ; тоді у формулах не фігуруватиме відцентровий момент інерції (). Позначимо кут, складений віссю , (Рис.2) з головною віссю через . Для обчислення , і , переходячи від осей і потрібно в раніше знайдених виразах для , і замінити кут через , а , і - через , і . В результаті отримуємо:

За своїм виглядом ці формули абсолютно аналогічні формулам для нормальних і дотичних напруг за двома взаємно-перпендикулярними майданчиками в елементі, що піддається розтягуванню у двох напрямках. Вкажемо лише формулу, що дозволяє із двох значень кута виділити те, що відповідає відхиленню першої головної осі (що дає max J) від початкового положення осі у:

Тепер можна остаточно формулювати, що треба зробити, щоб отримати можливість найпростішим чином обчислювати момент інерції фігури щодо будь-якої осі. Необхідно через центр тяжкості фігури провести осі Оуі Ozтак, щоб, розбиваючи фігуру на найпростіші частини, ми могли легко обчислити моменти, що проходить з відривом (рис.2) від центру тяжкості:

У багатьох випадках вдається одразу провести головні осі фігури; якщо фігура має вісь симетрії, це і буде одне з головних осей. Справді, при виведенні формули ми вже мали справу з інтегралом, що є відцентровим моментом інерції перерізу щодо осей уі z; було доведено, що якщо вісь Ozє віссю симетрії, цей інтеграл перетворюється на нуль.

Отже, в цьому випадку осі Оуі Ozє головнимицентральними осями інерції перерізу. Таким чином, вісь симетрії- Завжди головна центральна вісь; друга головнацентральна вісь проходить через центр тяжіння перпендикулярно до осі симетрії.

приклад.Знайти моменти інерції прямокутника (Рис.3) щодо осей і дорівнюють:

Моменти інерції щодо осей та рівні:

Відцентровий момент інерції дорівнює.

Спосіб обчислення моментів інерції складних перерізів ґрунтується на тому, що будь-який інтеграл можна розглядати як суму інтегралів і, отже, момент інерції будь-якого перерізу обчислювати як суму моментів інерції окремих його частин.

Тому для обчислення моментів інерції складний переріз розбивається на низку простих частин (фігур) з таким розрахунком, щоб їх геометричні характеристики можна було обчислити за відомими формулами або знайти за спеціальними довідковими таблицями.

У ряді випадків при розбивці на прості фігури для зменшення чи спрощення їх форми складний переріз доцільно доповнювати деякими площами. Так, наприклад, щодо геометричних характеристик перерізу, показаного на рис. 22.5 а, його доцільно доповнити до прямокутника , а потім з геометричних характеристик цього прямокутника відняти характеристики доданої частини . Аналогічно надходять і за наявності отворів (рис. 22.5 б).

Після розбивки складного перерізу на прості частини кожної з них вибирається прямокутна система координат, щодо якої треба визначити моменти інерції відповідної частини. Усі такі системи координат приймаються паралельними одна одній у тому, щоб потім шляхом паралельного перенесення осей можна було підрахувати моменти інерції всіх частин щодо системи координат, загальної всього складного перерізу.

Як правило, система координат кожної простої фігури приймається центральна, т. е. її початок збігається з центром тяжкості цієї фігури. У цьому випадку наступний підрахунок моментів інерції при переході до інших паралельних осей спрощується, оскільки формули переходу від центральних осей мають більш простий вигляд, ніж нецентральні.

Наступним етапом є обчислення площ кожної простої фігури, а також її осьових та відцентрових моментів інерції щодо осей обраної для неї системи координат. Статичні моменти щодо цих осей, як правило, дорівнюють нулю, тому що для кожної з частин перерізу ці осі зазвичай є центральними. У випадках коли це нецентральні осі, необхідно обчислювати статичні моменти.

Полярний момент інерції обчислюється лише для круглого (суцільного чи кільцевого) перерізу за готовими формулами; для перерізів інших форм ця геометрична характеристика немає будь-якого значення, оскільки за розрахунках вона використовується.

Осьові та відцентрові моменти інерції кожної простої фігури щодо осей її системи координат підраховуються за наявними для такої фігури формулами або таблицями. Для деяких фігур наявні формули та таблиці не дозволяють визначити необхідні осьові та відцентрові моменти інерції; у разі доводиться користуватися формулами початку нових осях (зазвичай випадку повороту осей).

У таблицях сортаменту величини відцентрових моментів інерції для куточків не вказано. Методику визначення таких моментів інерції розглянуто у прикладі 4.5.

У переважній більшості випадків кінцевою метою обчислення геометричних характеристик перерізу є визначення головних центральних моментів інерції і положення головних центральних осей інерції. Тому наступним етапом обчислення є визначення координат центру тяжкості заданого перерізу [за формулами (6.5) і (7.5)] в деякій довільній (випадковій) системі координат.

Потім за допомогою формул, що встановлюють залежності між моментами інерції для паралельних осей (див. § 5.5), визначаються моменти інерції кожної простої фігури щодо допоміжних, центральних осей. при цьому моменти інерції отворів або доданих майданчиків віднімаються.

Моментами інерції перерізів називаються інтеграли такого виду:

у;

- осьовий момент інерції перерізу щодо осі z;

- Відцентровий момент інерції перерізу;

- Полярний момент інерції перерізу.

3.2.1. Властивості моментів інерції перерізу

Розмірність моментів інерції - [довжина 4], зазвичай [ м 4] або [ см 4 ].

Осьові та полярні моменти інерції завжди позитивні. Відцентровий момент інерції може бути позитивним, негативним або рівним нулю.

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називаються головними осями інерціїперерізу.

Осі симетрії завжди головні. Якщо з двох взаємно перпендикулярних осей хоча одна є віссю симетрії, то обидві осі головні.

Момент інерції складеного перерізу дорівнює сумі моментів інерції елементів цього перерізу.

Полярний момент інерції дорівнює сумі осьових моментів інерції.

Доведемо останню властивість. У перерізі з площею Адля елементарного майданчика dAрадіус-вектор ρ та координати уі z(рис. 6) пов'язані за теоремою Піфагора: ρ 2 = у 2 + z 2 . Тоді

Мал. 6. Зв'язок полярних та декартових координат

елементарного майданчика

3.2.2. Моменти інерції найпростіших фігур

У прямокутному перерізі(рис. 7) виберемо елементарний майданчик dAз координатами yі zта площею dA = dydz.

Мал. 7. Прямокутний переріз

Осьовий момент інерції щодо осі у

.

Аналогічно отримуємо момент інерції щодо осі z:

Оскільки уі z- осі симетрії, то відцентровий момент D zy = 0.

Для коладіаметром dобчислення спрощуються, якщо врахувати кругову симетрію та використовувати полярні координати. Візьмемо як елементарний майданчик нескінченно тонке кільце з радіусом ρ і товщиною dρ (рис. 8). Його площа dA= 2πρ dρ. Тоді полярний момент інерції:

.

Мал. 8. Круглий переріз

Як показано вище, осьові моменти інерції щодо будь-якої центральної осі однакові та рівні

.

Момент інерції кільцязнаходимо як різницю моментів інерції двох кіл – зовнішнього (з діаметром D) та внутрішнього (з діаметром d):

Момент інерції I z трикутникавизначимо щодо осі, що проходить через центр тяжіння (рис. 9). Очевидно, ширина елементарної смужки, що знаходиться на відстані увід осі z, дорівнює

Отже,

Мал. 9. Трикутний перетин

3.3. Залежність між моментами інерції щодо паралельних осей

При відомих величинах моментів інерції щодо осей zі увизначимо моменти інерції щодо інших осей z 1 та y 1, паралельним заданим. Користуючись загальною формулою для осьових моментів інерції, знаходимо

Якщо осі zі yцентральні, то
, і

З отриманих формул видно, що моменти інерції щодо центральних осей (коли
) мають найменші значення в порівнянні з моментами інерції щодо будь-яких інших паралельних осей.

3.4. Головні осі та головні моменти інерції

При повороті осей на кут α відцентровий момент інерції стає рівним

.

Визначимо становище основних головних осей інерції u, vщодо яких

,

де α 0 – кут, на який треба розгорнути осі yі zщоб вони стали головними.

Оскільки формула дає два значення кута і
, то є дві взаємно перпендикулярні головні осі. Вісь максимуму завжди становить менший кут ( ) з тією з осей ( zабо y), щодо якої осьовий момент інерції має більше значення. Нагадаємо, що позитивні кути відкладаються від осі. z проти ходу годинникової стрілки.

Моменти інерції щодо головних осей називаються Основними моментами інерції.Можна показати, що вони

.

Знак плюс перед другим доданком відноситься до максимального моменту інерції, знак мінус – до мінімального.