Tüm farklı güçlerin güç fonksiyonu grafikleri. Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği Gösteri materyali Ders-ders Fonksiyon kavramı

özelliklere aşina mısın y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x vb. Tüm bu işlevler, güç işlevinin, yani işlevin özel durumlarıdır. y=xp, burada p belirli bir gerçek sayıdır.
Bir güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, esas olarak, gerçek bir üslü bir gücün özelliklerine ve özellikle de hangi değerlere sahip olduğuna bağlıdır. x ve p mantıklı x p. Farklı durumlara bağlı olarak benzer bir değerlendirmeye geçelim.
üs p.

1. dizin p=2nçift ​​doğal sayıdır.

y=x2n, nerede n bir doğal sayıdır, aşağıdakilere sahiptir

özellikleri:

• tanım alanı, tüm gerçek sayılardır, yani, R kümesidir;
• değerler kümesi - negatif olmayan sayılar, yani. y 0'dan büyük veya ona eşittir;
• işlev y=x2n hatta, çünkü x 2n=(- x) 2n
• fonksiyon aralıkta azalıyor x<0 ve aralıkta artan x>0.

Fonksiyon Grafiği y=x2nörneğin bir fonksiyonun grafiği ile aynı forma sahiptir y=x4.

2. Gösterge p=2n-1- tek doğal sayı
Bu durumda güç fonksiyonu y=x 2n-1, bir doğal sayı olduğu yerde aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - R'yi ayarlayın;
• değerler seti - R'yi ayarlayın;
• işlev y=x 2n-1 garip çünkü (- x) 2n-1=x 2n-1 ;
• fonksiyon tüm gerçek eksende artıyor.

Fonksiyon Grafiği y=x 2n-1, örneğin fonksiyonun grafiği ile aynı forma sahiptir. y=x 3 .

3. Gösterge p=-2n, nerede n- doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y=x -2n=1/x2n aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - x=0 dışında R'yi ayarlayın;
• değerler kümesi - pozitif sayılar y>0;
• fonksiyon y =1/x2n hatta, çünkü 1/(-x) 2n=1/x2n;
• fonksiyon x aralığında artıyor<0 и убывающей на промежутке x>0.

y fonksiyonunun grafiği =1/x2nörneğin, y fonksiyonunun grafiği ile aynı forma sahiptir. =1/x2.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Güç fonksiyonları. Özellikler. Grafikler"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

11. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11 "Trigonometri" sınıfları için etkileşimli kılavuz
10-11 "Logaritmalar" sınıfları için etkileşimli kılavuz

Güç fonksiyonları, tanım alanı.

Arkadaşlar, son dersimizde sayılarla rasyonel üslü sayılarla çalışmayı öğrendik. Bu derste, kuvvet fonksiyonlarını ele alacağız ve kendimizi üslerin rasyonel olduğu durumla sınırlayacağız.
Şu formun fonksiyonlarını ele alacağız: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Önce üssü $\frac(m)(n)>1$ olan fonksiyonları ele alalım.
Bize belirli bir $y=x^2*5$ fonksiyonu verilsin.
Son derste verdiğimiz tanıma göre: $x≥0$ ise, fonksiyonumuzun tanım kümesi $(x)$ ışınıdır. Fonksiyon grafiğimizi şematik olarak gösterelim.

$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 fonksiyonunun özellikleri 2. Ne çift ne de tek.
3. $$ artar,
b) $(2,10)$,
c) ışında $$.
Çözüm.
Çocuklar, 10. sınıfta bir segmentte bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini nasıl bulduğumuzu hatırlıyor musunuz?
Bu doğru, türevi kullandık. Örneğimizi çözelim ve en küçük ve en büyük değeri bulmak için algoritmayı tekrarlayalım.
1. Verilen fonksiyonun türevini bulun:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Türev, orijinal fonksiyonun tüm alanında bulunur, o zaman kritik nokta yoktur. Durağan noktaları bulalım:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ ve $x_2=\sqrt(64)=4$.
Verilen segmente yalnızca bir çözüm $x_2=4$ aittir.
Segmentin uçlarında ve ekstremum noktasında fonksiyonumuzun bir değerler tablosu oluşturalım:
Cevap: $y_(isim)=-862.65$ ile $x=9$; $x=4$ için $y_(max)=38,4$.

Örnek. Denklemi çözün: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Çözüm. $y=x^(\frac(4)(3))$ fonksiyonunun grafiği artarken, $y=24-x$ fonksiyonunun grafiği azalıyor. Beyler, siz ve ben biliyoruz: eğer bir fonksiyon artar ve diğeri azalırsa, o zaman sadece bir noktada kesişirler, yani tek bir çözümümüz var.
Not:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Yani, $х=8$ için $16=16$ eşitliğini elde ettik, denklemimizin çözümü bu.
Cevap: $x=8$.

Örnek.
Fonksiyonu çizin: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Çözüm.
Fonksiyonumuzun grafiği, $y=x^(\frac(3)(4))$ fonksiyonunun 3 birim sağa ve 2 birim yukarı kaydırılarak grafiğinden elde edilir.

Örnek. $y=x^(-\frac(4)(5))$ doğrusuna $x=1$ noktasındaki teğetin denklemini yazın.
Çözüm. Tanjant denklemi, bildiğimiz formülle belirlenir:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Bizim durumumuzda $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Türevini bulalım:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Hesaplayalım:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Teğet denklemi bulun:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Cevap: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Bağımsız çözüm için görevler

1. Parçadaki $y=x^\frac(4)(3)$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun:
a) $$.
b) $(4.50)$.
c) ışında $$.
3. Denklemi çözün: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Fonksiyonun grafiğini çizin: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $y=x^(-\frac(3)(7))$ doğrusuna $x=1$ noktasındaki teğetin denklemini yazın.

Ders: Doğal üslü güç fonksiyonu, grafiği

Argümanın bir miktar güce sahip olduğu fonksiyonlarla sürekli olarak uğraşıyoruz:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1, vb.

Güç Fonksiyonlarının Grafikleri

Şimdi, bir güç fonksiyonunun birkaç olası durumunu ele alacağız.

1) y = x 2 n .

Bu, şimdi üssün çift sayı olduğu fonksiyonları ele alacağımız anlamına gelir.

Özellik Özelliği:

1. Tüm gerçek sayılar aralık olarak kabul edilir.

2. İşlev, tüm pozitif değerleri ve sıfır sayısını alabilir.

3. İşlev eşittir, çünkü argümanın işaretine değil, yalnızca modülüne bağlıdır.

4. Olumlu bir argüman için fonksiyon artıyor ve negatif bir argüman için azalıyor.

Bu fonksiyonların grafikleri bir parabolü andırır. Örneğin, aşağıda y \u003d x 4 fonksiyonunun bir grafiği verilmiştir.

2) İşlevin tek bir üssü var: y \u003d x 2 n +1.

1. Fonksiyonun tanım kümesi gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.

2. Fonksiyon aralığı - herhangi bir gerçek sayının şeklini alabilir.

3. Bu işlev garip.

4. Fonksiyonun dikkate alındığı tüm aralık boyunca monotonik olarak artar.

5. Tek üslü tüm güç işlevlerinin grafiği, y \u003d x 3 işleviyle aynıdır.

3) Fonksiyonun bile negatif bir doğal üssü var: y \u003d x -2 n.

Negatif bir üssün üssü paydaya bırakmanıza ve üssün işaretini değiştirmenize izin verdiğini hepimiz biliyoruz, yani y \u003d 1 / x 2 n biçimini alırsınız.

1. Değişken paydada olduğu için bu fonksiyonun argümanı sıfır dışında herhangi bir değer alabilir.

2. Üs çift sayı olduğu için fonksiyon negatif değerler alamaz. Ve argüman sıfıra eşit olamayacağından, fonksiyonun sıfıra eşit değeri de hariç tutulmalıdır. Bu, fonksiyonun yalnızca pozitif değerler alabileceği anlamına gelir.

3. Bu fonksiyon eşittir.

4. Argüman negatifse fonksiyon monoton olarak artıyor, pozitifse azalıyor.

y \u003d x -2 fonksiyonunun grafiğinin görünümü:

4) Negatif tek üslü işlev y \u003d x - (2 n + 1) .

1. Bu işlev, sıfır sayısı hariç, bağımsız değişkenin tüm değerleri için mevcuttur.

2. İşlev, sıfır sayısı hariç tüm gerçek değerleri kabul eder.

3. Bu işlev garip.

4. Göz önünde bulundurulan iki aralıkta azalır.

y \u003d x -3 örneğini kullanarak negatif tek üslü bir fonksiyonun grafiğinin bir örneğini düşünün.

Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri

Üs sıfıra eşit olan güç fonksiyonu, p = 0

Güç fonksiyonunun üssü y = x p sıfıra, p = 0'a eşitse, o zaman güç fonksiyonu tüm x ≠ 0 için tanımlanır ve bire eşit sabittir:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Doğal tek üslü güç fonksiyonu, p = n = 1, 3, 5, ...

n = 1, 3, 5, ... doğal tek üslü bir y = x p = x n kuvvet fonksiyonunu düşünün. Böyle bir üs şu şekilde de yazılabilir: n = 2k + 1, burada k = 0, 1, 2, 3, .., negatif olmayan bir tam sayıdır. Aşağıda bu tür fonksiyonların özellikleri ve grafikleri bulunmaktadır.

Doğal tek üslü y = x n güç fonksiyonunun grafiği farklı değerlerüs n = 1, 3, 5, ....

Tanım alanı: –∞< x < ∞

Değer seti: –∞< y < ∞

Aşırı: hayır

dışbükey:

-∞'de< x < 0 выпукла вверх

0'da< x < ∞ выпукла вниз

Bükülme noktaları: x = 0, y = 0

Özel değerler:

x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1'de

x = 0 için y(0) = 0 n = 0

x = 1 için y(1) = 1 n = 1

Doğal çift üslü güç fonksiyonu, p = n = 2, 4, 6, ...

n = 2, 4, 6, ... doğal çift üslü bir y = x p = x n kuvvet fonksiyonunu düşünün. Böyle bir üs şu şekilde de yazılabilir: n = 2k, burada k = 1, 2, 3, .. .doğaldır. Bu fonksiyonların özellikleri ve grafikleri aşağıda verilmiştir.

Üs n = 2, 4, 6, ....'nin çeşitli değerleri için doğal çift üslü bir güç fonksiyonunun y = x n grafiği.

Tanım alanı: –∞< x < ∞

Değer seti: 0 ≤ y< ∞

Monoton:

x'te< 0 монотонно убывает

x > 0 için monoton artar

Aşırı uçlar: minimum, x = 0, y = 0

Dışbükeylik: dışbükey aşağı

Diz noktaları: hayır

Koordinat eksenli kesişim noktaları: x = 0, y = 0
Özel değerler:

x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1'de

x = 0 için y(0) = 0 n = 0

x = 1 için y(1) = 1 n = 1

Tamsayı negatif üslü güç fonksiyonu, p = n = -1, -2, -3, ...

Negatif bir tamsayı üslü y = x p = x n bir güç fonksiyonu düşünün n = -1, -2, -3, .... Eğer n = –k koyarsak, burada k = 1, 2, 3, ... bir doğal sayı, o zaman şu şekilde temsil edilebilir:

Üs n = -1, -2, -3, ....'nin çeşitli değerleri için negatif bir tamsayı üslü bir güç fonksiyonunun y = x n grafiği.

Tek üs, n = -1, -3, -5, ...

Aşağıda tek negatif üslü n = -1, -3, -5, ... y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

Tanım alanı: x ≠ 0

Değer seti: y ≠ 0

Parite: tek, y(–x) = – y(x)

Aşırı: hayır

dışbükey:

x'te< 0: выпукла вверх

x > 0 için: aşağı dışbükey

Diz noktaları: hayır

İşaret: x'te< 0, y < 0

x > 0, y > 0 için

Özel değerler:

x = 1 için y(1) = 1 n = 1

Çift üs, n = -2, -4, -6, ...

Aşağıda çift negatif üslü n = -2, -4, -6, ... y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

Tanım alanı: x ≠ 0

Değer seti: y > 0

Parite: çift, y(–x) = y(x)

Monoton:

x'te< 0: монотонно возрастает

x > 0 için: monoton azalan

Aşırı: hayır

Dışbükeylik: dışbükey aşağı

Diz noktaları: hayır

Koordinat eksenli kesişim noktaları: hayır

İşaret: y > 0

Özel değerler:

x = –1, y(–1) = (–1) n = 1'de

x = 1 için y(1) = 1 n = 1

Rasyonel (kesirli) üslü güç fonksiyonu

Rasyonel (kesirli) üslü bir y = x p güç fonksiyonunu düşünün; burada n bir tam sayıdır, m > 1 bir doğal sayıdır. Ayrıca n, m'nin ortak bölenleri yoktur.

Kesirli göstergenin paydası tektir

Kesirli üssün paydası tek olsun: m = 3, 5, 7, ... . Bu durumda, güç fonksiyonu x p, argümanın hem pozitif hem de negatif değerleri için tanımlanır. p üssü belirli sınırlar içindeyken, bu tür güç fonksiyonlarının özelliklerini ele alalım.

p negatif, p< 0

Rasyonel üs (tek payda m = 3, 5, 7, ... ile) sıfırdan küçük olsun: .

Güç Fonksiyonlarının Grafikleri üssün çeşitli değerleri için rasyonel bir negatif üs ile , burada m = 3, 5, 7, ... tektir.

Tek pay, n = -1, -3, -5, ...

n = -1, -3, -5, ... tek bir negatif tam sayı, m = 3, 5, 7 ... ise bir rasyonel negatif üslü y = x p güç fonksiyonunun özelliklerini sunuyoruz. tek doğal sayı

Tanım alanı: x ≠ 0

Değer seti: y ≠ 0

Parite: tek, y(–x) = – y(x)

Monotonluk: monoton olarak azalan

Aşırı: hayır

dışbükey:

x'te< 0: выпукла вверх

x > 0 için: aşağı dışbükey

Diz noktaları: hayır

Koordinat eksenli kesişim noktaları: hayır

x'te< 0, y < 0

x > 0, y > 0 için

Özel değerler:

x = –1, y(–1) = (–1) n = –1'de

x = 1 için y(1) = 1 n = 1

Çift pay, n = -2, -4, -6, ...

Kuvvet fonksiyonu özellikleri y = x p rasyonel negatif üslü , burada n = -2, -4, -6, ... çift bir negatif tam sayıdır, m = 3, 5, 7 ... tek bir doğal sayıdır.

Tanım alanı: x ≠ 0

Değer seti: y > 0

Parite: çift, y(–x) = y(x)

Monoton:

x'te< 0: монотонно возрастает

x > 0 için: monoton azalan

Aşırı: hayır

Dışbükeylik: dışbükey aşağı

Diz noktaları: hayır

Koordinat eksenli kesişim noktaları: hayır

İşaret: y > 0

p değeri pozitif, birden küçük, 0< p < 1

Güç fonksiyonu grafiği rasyonel bir üs ile (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Tek pay, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Tanım alanı: –∞< x < +∞

Değer seti: –∞< y < +∞

Parite: tek, y(–x) = – y(x)

Monotonluk: monoton artan

Aşırı: hayır

dışbükey:

x'te< 0: выпукла вниз

x > 0 için: yukarı dışbükey

Bükülme noktaları: x = 0, y = 0

Koordinat eksenli kesişim noktaları: x = 0, y = 0

x'te< 0, y < 0

x > 0, y > 0 için

Özel değerler:

x = –1, y(–1) = –1'de

x = 0 için y(0) = 0

x = 1 için y(1) = 1

Çift pay, n = 2, 4, 6, ...

Rasyonel üslü y = x p güç fonksiyonunun özellikleri 0 içinde olmak üzere sunulmuştur.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Tanım alanı: –∞< x < +∞

Değer seti: 0 ≤ y< +∞

Parite: çift, y(–x) = y(x)

Monoton:

x'te< 0: монотонно убывает

x > 0 için: monoton olarak artar

Aşırı uçlar: x = 0, y = 0'da minimum

Dışbükeylik: x ≠ 0'da yukarı doğru dışbükey

Diz noktaları: hayır

Koordinat eksenli kesişim noktaları: x = 0, y = 0

İşaret: x ≠ 0, y > 0 için

Güç fonksiyonunun y = x p alanında aşağıdaki formüller geçerlidir:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri

Üs sıfıra eşit olan güç fonksiyonu, p = 0

Güç fonksiyonunun üssü y = x p sıfıra eşitse, p = 0 , o zaman güç fonksiyonu tüm x ≠ 0 için tanımlanır ve bire eşit, sabittir:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Doğal tek üslü güç fonksiyonu, p = n = 1, 3, 5, ...

n = 1, 3, 5, ... doğal tek üslü bir y = x p = x n kuvvet fonksiyonunu düşünün. Böyle bir gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k + 1, burada k = 0, 1, 2, 3, ... negatif olmayan bir tam sayıdır. Aşağıda bu tür fonksiyonların özellikleri ve grafikleri bulunmaktadır.

Üs n = 1, 3, 5, ... 'nin çeşitli değerleri için doğal bir tek üslü bir güç fonksiyonunun y = x n grafiği.

Alan adı: -∞ < x < ∞
Çoklu değerler: -∞ < y < ∞
parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: Numara
dışbükey:
-∞'de< x < 0 выпукла вверх
0'da< x < ∞ выпукла вниз
kesme noktaları: x=0, y=0
x=0, y=0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1'de,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0 için y(0) = 0 n = 0
x = 1 için y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = 1 için fonksiyon kendisinin tersidir: x = y
n ≠ 1 için, ters fonksiyon n derecesinin bir köküdür:

Doğal çift üslü güç fonksiyonu, p = n = 2, 4, 6, ...

n = 2, 4, 6, ... doğal çift üslü bir y = x p = x n kuvvet fonksiyonunu düşünün. Böyle bir gösterge şu şekilde de yazılabilir: n = 2k, burada k = 1, 2, 3, ... bir doğal sayıdır. Bu fonksiyonların özellikleri ve grafikleri aşağıda verilmiştir.

Üs n = 2, 4, 6, ... 'nin çeşitli değerleri için doğal çift üslü bir güç fonksiyonunun y = x n grafiği.

Alan adı: -∞ < x < ∞
Çoklu değerler: 0 ≤ y< ∞
parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 için monoton azalır
x ≥ 0 için monoton artar
Aşırılıklar: minimum, x=0, y=0
dışbükey: aşağı dışbükey
kesme noktaları: Numara
Koordinat eksenli kesişim noktaları: x=0, y=0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1 için, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0 için y(0) = 0 n = 0
x = 1 için y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = 2 için, Kare kök:
n ≠ 2 için, n derecesinin kökü:

Tamsayı negatif üslü güç fonksiyonu, p = n = -1, -2, -3, ...

Negatif bir tamsayı üssü n = -1, -2, -3, ... olan bir güç fonksiyonu y = x p = x n düşünün. n = -k koyarsak, burada k = 1, 2, 3, ... bir doğal sayıdır, o zaman şu şekilde temsil edilebilir:

Üs n = -1, -2, -3, ... 'nin çeşitli değerleri için negatif bir tamsayı üslü bir güç fonksiyonunun y = x n grafiği.

Tek üs, n = -1, -3, -5, ...

Aşağıda tek negatif üslü n = -1, -3, -5, ... y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

Alan adı: x ≠ 0
Çoklu değerler: y ≠ 0
parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: Numara
dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вверх
x > 0 için : aşağı dışbükey
kesme noktaları: Numara
Koordinat eksenli kesişim noktaları: Numara
İşaret:
x'te< 0, y < 0
x > 0, y > 0 için
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = 1 için y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = -1 için,
n için< -2 ,

Çift üs, n = -2, -4, -6, ...

Aşağıda çift negatif üslü n = -2, -4, -6, ... y = x n fonksiyonunun özellikleri verilmiştir.

Alan adı: x ≠ 0
Çoklu değerler: y > 0
parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно возрастает
x > 0 için : monoton azalan
Aşırılıklar: Numara
dışbükey: aşağı dışbükey
kesme noktaları: Numara
Koordinat eksenli kesişim noktaları: Numara
İşaret: y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = 1 için y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:
n = -2 için,
n için< -2 ,

Rasyonel (kesirli) üslü güç fonksiyonu

Rasyonel (kesirli) üslü bir y = x p güç fonksiyonunu düşünün; burada n bir tam sayıdır, m > 1 bir doğal sayıdır. Ayrıca n, m'nin ortak bölenleri yoktur.

Kesirli göstergenin paydası tektir

Kesirli üssün paydası tek olsun: m = 3, 5, 7, ... . Bu durumda, güç fonksiyonu x p, hem pozitif hem de negatif x değerleri için tanımlanır. p üssü belirli sınırlar içindeyken, bu tür güç fonksiyonlarının özelliklerini göz önünde bulundurun.

p negatif, p< 0

Rasyonel üs (tek payda m = 3, 5, 7, ... ) sıfırdan küçük olsun: .

Üsün çeşitli değerleri için rasyonel bir negatif üslü üstel fonksiyonların grafikleri , burada m = 3, 5, 7, ... tektir.

Tek pay, n = -1, -3, -5, ...

Burada n = -1, -3, -5, ... tek bir negatif tam sayı, m = 3, 5, 7 ... bir rasyonel negatif üslü y = x p güç fonksiyonunun özellikleri tek doğal sayı

Alan adı: x ≠ 0
Çoklu değerler: y ≠ 0
parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak azalır
Aşırılıklar: Numara
dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вверх
x > 0 için : aşağı dışbükey
kesme noktaları: Numara
Koordinat eksenli kesişim noktaları: Numara
İşaret:
x'te< 0, y < 0
x > 0, y > 0 için
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = -1 için, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1 için y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = -2, -4, -6, ...

n = -2, -4, -6, ... çift bir negatif tam sayı, m = 3, 5, 7 ... tek bir doğal sayı olmak üzere, rasyonel bir negatif üslü y = x p güç fonksiyonunun özellikleri .

Alan adı: x ≠ 0
Çoklu değerler: y > 0
parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно возрастает
x > 0 için : monoton azalan
Aşırılıklar: Numara
dışbükey: aşağı dışbükey
kesme noktaları: Numara
Koordinat eksenli kesişim noktaları: Numara
İşaret: y > 0
Sınırlar:
; ; ;
Özel değerler:
x = -1 için, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1 için y(1) = 1 n = 1
Ters fonksiyon:

p değeri pozitif, birden küçük, 0< p < 1

Rasyonel üslü bir güç fonksiyonunun grafiği (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Tek pay, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Alan adı: -∞ < x < +∞
Çoklu değerler: -∞ < y < +∞
parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: Numara
dışbükey:
x'te< 0 : выпукла вниз
x > 0 için : dışbükey yukarı
kesme noktaları: x=0, y=0
Koordinat eksenli kesişim noktaları: x=0, y=0
İşaret:
x'te< 0, y < 0
x > 0, y > 0 için
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1 için y(-1) = -1
x = 0 için y(0) = 0
x = 1 için y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = 2, 4, 6, ...

Rasyonel üslü y = x p güç fonksiyonunun özellikleri 0 içinde olmak üzere sunulmuştur.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Alan adı: -∞ < x < +∞
Çoklu değerler: 0 ≤ y< +∞
parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 : монотонно убывает
x > 0 için: monoton artan
Aşırılıklar: x = 0, y = 0'da minimum
dışbükey: x ≠ 0'da yukarı doğru dışbükey
kesme noktaları: Numara
Koordinat eksenli kesişim noktaları: x=0, y=0
İşaret: x ≠ 0, y > 0 için
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1 için y(-1) = 1
x = 0 için y(0) = 0
x = 1 için y(1) = 1
Ters fonksiyon:

p üssü birden büyük, p > 1

Üsün çeşitli değerleri için rasyonel üslü (p > 1 ) bir güç fonksiyonunun grafiği , burada m = 3, 5, 7, ... tektir.

Tek pay, n = 5, 7, 9, ...

Rasyonel üssü birden büyük olan bir y = x p güç fonksiyonunun özellikleri: . n = 5, 7, 9, ... tek bir doğal sayı olduğunda, m = 3, 5, 7 ... tek bir doğal sayıdır.

Alan adı: -∞ < x < ∞
Çoklu değerler: -∞ < y < ∞
parite: tek, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton olarak artar
Aşırılıklar: Numara
dışbükey:
-∞'de< x < 0 выпукла вверх
0'da< x < ∞ выпукла вниз
kesme noktaları: x=0, y=0
Koordinat eksenli kesişim noktaları: x=0, y=0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1 için y(-1) = -1
x = 0 için y(0) = 0
x = 1 için y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Çift pay, n = 4, 6, 8, ...

Rasyonel üssü birden büyük olan bir y = x p güç fonksiyonunun özellikleri: . n = 4, 6, 8, ... çift bir doğal sayı olduğunda, m = 3, 5, 7 ... tek bir doğal sayıdır.

Alan adı: -∞ < x < ∞
Çoklu değerler: 0 ≤ y< ∞
parite:çift, y(-x) = y(x)
Monoton:
x'te< 0 монотонно убывает
x > 0 için monoton artar
Aşırılıklar: x = 0, y = 0'da minimum
dışbükey: aşağı dışbükey
kesme noktaları: Numara
Koordinat eksenli kesişim noktaları: x=0, y=0
Sınırlar:
;
Özel değerler:
x = -1 için y(-1) = 1
x = 0 için y(0) = 0
x = 1 için y(1) = 1
Ters fonksiyon:

Kesirli göstergenin paydası eşittir

Kesirli üssün paydası çift olsun: m = 2, 4, 6, ... . Bu durumda, argümanın negatif değerleri için güç işlevi x p tanımlanmaz. Özellikleri, irrasyonel üslü bir güç fonksiyonunun özellikleriyle örtüşür (bir sonraki bölüme bakın).

İrrasyonel üslü güç fonksiyonu

İrrasyonel bir üs p ile birlikte bir y = x p güç fonksiyonunu düşünün. Bu tür işlevlerin özellikleri, x argümanının negatif değerleri için tanımlanmadıkları için yukarıda ele alınanlardan farklıdır. Argümanın pozitif değerleri için, özellikler yalnızca p üssünün değerine bağlıdır ve p'nin tamsayı, rasyonel veya irrasyonel olmasına bağlı değildir.

y = x p üssünün farklı değerleri için p .

Negatif p ile güç fonksiyonu< 0

Alan adı: x > 0
Çoklu değerler: y > 0
Monoton: monoton olarak azalır
dışbükey: aşağı dışbükey
kesme noktaları: Numara
Koordinat eksenli kesişim noktaları: Numara
Sınırlar: ;
özel değer: x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Pozitif üs p > 0 ile güç fonksiyonu

Gösterge birden az 0< p < 1

Alan adı: x ≥ 0
Çoklu değerler: y ≥ 0
Monoton: monoton olarak artar
dışbükey: dışbükey yukarı
kesme noktaları: Numara
Koordinat eksenli kesişim noktaları: x=0, y=0
Sınırlar:
Özel değerler: x = 0 için y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Gösterge birden büyük p > 1

Alan adı: x ≥ 0
Çoklu değerler: y ≥ 0
Monoton: monoton olarak artar
dışbükey: aşağı dışbükey
kesme noktaları: Numara
Koordinat eksenli kesişim noktaları: x=0, y=0
Sınırlar:
Özel değerler: x = 0 için y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 için y(1) = 1 p = 1

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.