Bir modül içeren doğrusal bir fonksiyonun çizilmesi. Modüllü Denklemler Nasıl Çözülür: Temel Kurallar

, Yarışma "Ders için sunum"

Ders için sunum

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgi amaçlıdır ve sunumun tam kapsamını temsil etmeyebilir. Bu işle ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Dersin amacı:

• modülün işaretini içeren fonksiyonların grafiklerinin yapımını tekrarlayın;
• doğrusal parçalı bir fonksiyonun grafiğini oluşturmanın yeni bir yöntemiyle tanışın;
• düzeltmek yeni yöntem sorunları çözerken.

Teçhizat:

• multimedya projektörü,
• posterler.

Dersler sırasında

Bilgi güncellemesi

Ekranda sunudan 1. slayt.

y=|x| fonksiyonunun grafiği nedir? ? (slayt 2).

(1 ve 2 koordinat açılarından oluşan bisektörler seti)

Fonksiyonlar ve grafikler arasında bir eşleşme bulun, seçiminizi açıklayın (3. slayt).

Resim 1

y=|f(x)| formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritmayı söyleyin. y=|x 2 -2x-3| fonksiyonu örneğinde (slayt 4)

Öğrenci: Bu fonksiyonun grafiğini oluşturmak için ihtiyacınız olan

Bir parabol oluşturun y=x 2 -2x-3

şekil 2

Figür 3

y=x 2 -2|x|-3 fonksiyon örneğini kullanarak y=f(|x|) formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritmayı söyleyin (6. slayt).

Bir parabol oluşturun.

Grafiğin x 0'daki kısmı kaydedilir ve y eksenine göre simetri içinde görüntülenir (slayt 7)

Şekil 4

y=|f(|x|)| biçimindeki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritmayı söyleyin. y=|x 2 -2|x|-3| (slayt 8).

Öğrenci: Bu fonksiyonun grafiğini oluşturmak için şunlara ihtiyacınız var:

Bir parabol oluşturmanız gerekiyor y \u003d x 2 -2x-3

y \u003d x 2 -2 | x | -3 oluşturuyoruz, grafiğin bir kısmını kaydediyoruz ve işletim sistemine göre simetrik olarak gösteriyoruz

OX'in üstündeki kısmı kaydediyoruz ve alt kısmı OX'e göre simetrik olarak gösteriyoruz (slayt 9)

Şekil 5

Bir sonraki görev defterlere yazılır.

1. Doğrusal parçalı bir fonksiyonun grafiğini çizin y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

Tahtaya yorum yapan öğrenci:

x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3 alt modül ifadelerinin sıfırlarını buluyoruz

Ekseni aralıklara bölme

Her aralık için fonksiyonu yazıyoruz.

x'te< -2, у=-х-4

-2x'te<1, у=х

1x'te<3, у = 3х-2

x 3'te, y \u003d x + 4

Doğrusal parçalı bir fonksiyonun grafiğini oluşturuyoruz.

Modül tanımını kullanarak bir fonksiyon grafiği oluşturduk (slayt 10).

Şekil 6

Doğrusal parçalı bir fonksiyon çizmenize izin veren “köşe yöntemi”ni dikkatinize sunuyorum (slayt 11). Çocuklar yapım algoritmasını bir deftere yazarlar.

köşe yöntemi

algoritma:

1. Her alt modül ifadesinin sıfırlarını bulun
2. Sıfırlara ek olarak, argümanın bir değerini sola ve sağa yazdığımız bir tablo yapalım.
3. Noktaları koordinat düzlemine koyalım ve seri bağlayalım

2. Bu yöntemi aynı fonksiyon üzerinde analiz edelim y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

Öğretmen tahtada, çocuklar defterlerinde.

Köşe yöntemi:

Her alt modül ifadesinin sıfırlarını bulun;

Sıfırlara ek olarak, argümanın bir değerini sola ve sağa yazdığımız bir tablo yapalım.

Noktaları koordinat düzlemine koyalım ve seri bağlayalım.

Doğrusal parçalı bir fonksiyonun grafiği, sonsuz uç bağlantıları olan kesik bir çizgidir (slayt 12).

Şekil 7

Hangi yöntem grafiği daha hızlı ve kolay hale getirir?

3. Bu yöntemi düzeltmek için aşağıdaki görevi gerçekleştirmeyi öneriyorum:

x'in hangi değerleri için y=|x-2|-|x+1| en büyük değeri alır.

Algoritmayı takip ediyoruz; öğrenci karatahta.

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3, noktaları seri bağlayın.

4. Ek görev

a'nın hangi değerleri için ||4+x|-|x-2||=a denkleminin iki kökü vardır.

5. Ödev

a) X'in hangi değerleri için y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| en küçük değeri alır.

b) y=||x-1|-2|-3| fonksiyonunu çizin .

, Yarışma "Ders için sunum"

Ders için sunum

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgi amaçlıdır ve sunumun tam kapsamını temsil etmeyebilir. Bu işle ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Dersin amacı:

• modülün işaretini içeren fonksiyonların grafiklerinin yapımını tekrarlayın;
• doğrusal parçalı bir fonksiyonun grafiğini oluşturmanın yeni bir yöntemiyle tanışın;
• sorunları çözmede yeni yöntemi pekiştirmek.

Teçhizat:

• multimedya projektörü,
• posterler.

Dersler sırasında

Bilgi güncellemesi

Ekranda sunudan 1. slayt.

y=|x| fonksiyonunun grafiği nedir? ? (slayt 2).

(1 ve 2 koordinat açılarından oluşan bisektörler seti)

Fonksiyonlar ve grafikler arasında bir eşleşme bulun, seçiminizi açıklayın (3. slayt).

Resim 1

y=|f(x)| formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritmayı söyleyin. y=|x 2 -2x-3| fonksiyonu örneğinde (slayt 4)

Öğrenci: Bu fonksiyonun grafiğini oluşturmak için ihtiyacınız olan

Bir parabol oluşturun y=x 2 -2x-3

şekil 2

Figür 3

y=x 2 -2|x|-3 fonksiyon örneğini kullanarak y=f(|x|) formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritmayı söyleyin (6. slayt).

Bir parabol oluşturun.

Grafiğin x 0'daki kısmı kaydedilir ve y eksenine göre simetri içinde görüntülenir (slayt 7)

Şekil 4

y=|f(|x|)| biçimindeki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritmayı söyleyin. y=|x 2 -2|x|-3| (slayt 8).

Öğrenci: Bu fonksiyonun grafiğini oluşturmak için şunlara ihtiyacınız var:

Bir parabol oluşturmanız gerekiyor y \u003d x 2 -2x-3

y \u003d x 2 -2 | x | -3 oluşturuyoruz, grafiğin bir kısmını kaydediyoruz ve işletim sistemine göre simetrik olarak gösteriyoruz

OX'in üstündeki kısmı kaydediyoruz ve alt kısmı OX'e göre simetrik olarak gösteriyoruz (slayt 9)

Şekil 5

Bir sonraki görev defterlere yazılır.

1. Doğrusal parçalı bir fonksiyonun grafiğini çizin y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

Tahtaya yorum yapan öğrenci:

x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3 alt modül ifadelerinin sıfırlarını buluyoruz

Ekseni aralıklara bölme

Her aralık için fonksiyonu yazıyoruz.

x'te< -2, у=-х-4

-2x'te<1, у=х

1x'te<3, у = 3х-2

x 3'te, y \u003d x + 4

Doğrusal parçalı bir fonksiyonun grafiğini oluşturuyoruz.

Modül tanımını kullanarak bir fonksiyon grafiği oluşturduk (slayt 10).

Şekil 6

Doğrusal parçalı bir fonksiyon çizmenize izin veren “köşe yöntemi”ni dikkatinize sunuyorum (slayt 11). Çocuklar yapım algoritmasını bir deftere yazarlar.

köşe yöntemi

algoritma:

1. Her alt modül ifadesinin sıfırlarını bulun
2. Sıfırlara ek olarak, argümanın bir değerini sola ve sağa yazdığımız bir tablo yapalım.
3. Noktaları koordinat düzlemine koyalım ve seri bağlayalım

2. Bu yöntemi aynı fonksiyon üzerinde analiz edelim y=|x+2|+|x-1|-|x-3|

Öğretmen tahtada, çocuklar defterlerinde.

Köşe yöntemi:

Her alt modül ifadesinin sıfırlarını bulun;

Sıfırlara ek olarak, argümanın bir değerini sola ve sağa yazdığımız bir tablo yapalım.

Noktaları koordinat düzlemine koyalım ve seri bağlayalım.

Doğrusal parçalı bir fonksiyonun grafiği, sonsuz uç bağlantıları olan kesik bir çizgidir (slayt 12).

Şekil 7

Hangi yöntem grafiği daha hızlı ve kolay hale getirir?

3. Bu yöntemi düzeltmek için aşağıdaki görevi gerçekleştirmeyi öneriyorum:

x'in hangi değerleri için y=|x-2|-|x+1| en büyük değeri alır.

Algoritmayı takip ediyoruz; öğrenci karatahta.

y=|x-2|-|x+1|

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

y(3)=1-4=3, noktaları seri bağlayın.

4. Ek görev

a'nın hangi değerleri için ||4+x|-|x-2||=a denkleminin iki kökü vardır.

5. Ödev

a) X'in hangi değerleri için y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| en küçük değeri alır.

b) y=||x-1|-2|-3| fonksiyonunu çizin .

y=|x| formunun işlevi.
Aralıktaki fonksiyonun grafiği - y \u003d -x fonksiyonunun grafiği ile.

Önce en basit durumu ele alalım - y=|x| işlevi. Modülün tanımı gereği, elimizde:

Böylece, x≥0 için y=|x| y \u003d x işleviyle çakışır ve x için Bu açıklamayı kullanarak, y \u003d | x | işlevini çizmek kolaydır (Şekil 1).

Bu grafiğin, y \u003d x fonksiyonunun grafiğinin OX ekseninin altında olmayan bölümünün ve OX ekseni etrafındaki ayna yansımasıyla elde edilen çizginin, o kısmının birleşimi olduğunu görmek kolaydır, OX ekseninin altında yer alır.
Bu yöntem aynı zamanda y=|kx+b| fonksiyonunun grafiğini çizmek için de uygundur.
Şekil 2'de y=kx+b fonksiyonunun grafiği gösteriliyorsa, y=|kx+b| fonksiyonunun grafiği de gösterilir. Şekil 3'te gösterilen çizgidir.

(!LANG:Örnek 1. y=||1-x 2 |-3| fonksiyonunu çizin.
y=1-x 2 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım ve buna "modül" işlemini uygulayalım (grafiğin OX ekseninin altında bulunan kısmı OX eksenine göre simetrik olarak yansıtılır).

Grafiği 3 ile aşağı kaydıralım.

"Modül" işlemini uygulayalım ve y=||1-x 2 |-3| fonksiyonunun son grafiğini alalım.

Örnek 2 y=||x 2 -2x|-3| fonksiyonunu çizin.
Dönüşüm sonucunda y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1| elde ederiz. y=(x-1) 2 -1 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım: bir y=x 2 parabol oluştur ve 1 sağa ve 1 aşağı kaydır.

Buna "modül" işlemini uygulayalım (grafiğin OX ekseninin altında bulunan kısmı OX eksenine göre simetrik olarak yansıtılır).

Grafiği 3 ile aşağı kaydıralım ve "modül" işlemini uygulayalım, sonuç olarak son grafiği elde edeceğiz.

Örnek 3 Fonksiyonu çizin.
Bir modülü genişletmek için iki durumu göz önünde bulundurmamız gerekir:
1)x>0, daha sonra modül "+" = işaretiyle açılır
2) x =

İlk durum için bir grafik oluşturalım.

Grafiğin x olan kısmını atalım.

İkinci durum için bir grafik oluşturalım ve benzer şekilde sonuç olarak x>0 olan kısmı atalım.

İki grafiği birleştirelim ve sonuncuyu elde edelim.

Örnek 4 Fonksiyonu çizin.
İlk önce fonksiyonun grafiğini oluşturalım, bunun için tamsayı kısmını seçmek uygun olur, elde ederiz. Değerler tablosuna dayanarak bir grafik elde ederiz.

Modül işlemini uygulayalım (grafiğin OX ekseninin altında bulunan kısmı OX eksenine göre simetrik olarak yansıtılır). Son grafiği alıyoruz

Örnek 5 y=|-x 2 +6x-8| fonksiyonunu çizin. İlk olarak, fonksiyonu y=1-(x-3) 2 olarak sadeleştirip grafiğini oluşturuyoruz.

Şimdi “modül” işlemini uyguluyoruz ve grafiğin OX ekseninin altındaki kısmını OX eksenine göre yansıtıyoruz.

Örnek 6 y=-x 2 +6|x|-8 fonksiyonunu çizin. Ayrıca fonksiyonu y=1-(x-3) 2 olarak sadeleştirip grafiğini oluşturuyoruz.

Şimdi “modül” işlemini uyguluyoruz ve grafiğin oY ekseninin sağındaki, soldaki kısmını yansıtıyoruz.

Örnek 7 Bir fonksiyon çiz . fonksiyonu çizelim

fonksiyonu çizelim

Sağa 3 birim ve yukarı 2 birim ile paralel transfer yapalım. Grafik şöyle görünecektir:

"Modül" işlemini uygulayalım ve grafiğin x=3 doğrusunun sağındaki kısmını sol yarım düzleme yansıtalım.

Modulo işareti belki de matematikteki en ilginç fenomenlerden biridir. Bu bağlamda, birçok okul çocuğu, bir modül içeren fonksiyonların grafiklerinin nasıl oluşturulacağı sorusuna sahiptir. Bu konuyu detaylı olarak inceleyelim.

1. Modül içeren çizim fonksiyonları

örnek 1

y = x 2 – 8|x| fonksiyonunu çizin + 12.

Çözüm.

Fonksiyonun paritesini tanımlayalım. y(-x) değeri, y(x) değeri ile aynıdır, dolayısıyla bu fonksiyon çifttir. O zaman grafiği Oy eksenine göre simetriktir. x ≥ 0 için y \u003d x 2 - 8x + 12 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturuyoruz ve negatif x için Oy'ye göre grafiği simetrik olarak gösteriyoruz (Şekil 1).

Örnek 2

Sonraki grafik y = |x 2 – 8x + 12|'dir.

– Önerilen işlevin aralığı nedir? (y ≥ 0).

- Grafik nasıl? (x ekseninin üzerinde veya ona dokunarak).

Bu, fonksiyonun grafiğinin aşağıdaki gibi elde edildiği anlamına gelir: y \u003d x 2 - 8x + 12 fonksiyonunu çizerler, grafiğin Ox ekseninin üzerinde kalan kısmını değiştirmeden ve grafiğin altında kalan kısmını bırakırlar. apsis ekseni, Öküz eksenine göre simetrik olarak görüntülenir (Şekil 2).

Örnek 3

y = |x 2 – 8|x| fonksiyonunu çizmek için + 12| dönüşümlerin bir kombinasyonunu gerçekleştirin:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Cevap: şekil 3.

Ele alınan dönüşümler her türlü fonksiyon için geçerlidir. Bir tablo yapalım:

2. Formülde "iç içe modüller" içeren çizim işlevleri

Modül içeren ikinci dereceden bir fonksiyonun örneklerini ve ayrıca y = f(|x|), y = |f(x)| biçimindeki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için genel kuralları zaten öğrendik. ve y = |f(|x|)|. Bu dönüşümler, aşağıdaki örneği ele alırken bize yardımcı olacaktır.

Örnek 4

y = |2 – |1 – |x||| biçiminde bir fonksiyon düşünün. İşlevi tanımlayan ifade "iç içe modüller" içerir.

Çözüm.

Geometrik dönüşümler yöntemini kullanıyoruz.

Bir ardışık dönüşüm zincirini yazalım ve ilgili çizimi yapalım (Şekil 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Simetri ve paralel öteleme dönüşümlerinin çizim için ana teknik olmadığı durumları ele alalım.

Örnek 5

y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 biçiminde bir fonksiyonun grafiğini oluşturun.

Çözüm.

Bir grafik oluşturmadan önce, işlevi tanımlayan formülü dönüştürüyoruz ve işlevin başka bir analitik tanımını alıyoruz (Şekil 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Modülü paydada genişletelim:

x > -2 için y = x - 2 ve x için< -2, y = -(x – 2).

Alan D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Aralık E(y) = (-4; +∞).

Grafiğin koordinat ekseniyle kesiştiği noktalar: (0; -2) ve (2; 0).

İşlev, (-∞; -2) aralığından tüm x için azalır, x için -2'den +∞'ye artar.

Burada modülün işaretini ortaya çıkarmamız ve her durum için fonksiyonu çizmemiz gerekiyordu.

Örnek 6

y = |x + 1| fonksiyonunu düşünün. – |x – 2|.

Çözüm.

Modülün işaretini genişletirken, alt modül ifadelerinin tüm olası işaret kombinasyonlarını dikkate almak gerekir.

Dört olası durum vardır:

(x + 1 - x + 2 = 3, x ≥ -1 ve x ≥ 2 ile;

(-x - 1 + x - 2 = -3, x ile< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, x ≥ -1 ve x için< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, x ile< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Ardından orijinal işlev şöyle görünecektir:

(3, x ≥ 2 için;

y = (-3, x'te< -1;

(2x – 1, -1 ≤ x ile< 2.

Grafiği Şekil 6'da gösterilen parçalı bir fonksiyonumuz var.

3. Formun fonksiyonlarının grafiklerini oluşturmak için algoritma

y = bir 1 |x – x 1 | + bir 2 |x – x 2 | + … + bir n |x – x n | + balta + b.

Önceki örnekte, modül işaretlerini genişletmek yeterince kolaydı. Daha fazla modül toplamı varsa, alt modül ifadelerinin tüm olası işaret kombinasyonlarını dikkate almak sorunludur. Bu durumda fonksiyonun grafiğini nasıl çizebiliriz?

Grafiğin bir çoklu çizgi olduğuna dikkat edin, apsisleri -1 ve 2 olan noktalarda köşeleri vardır. x = -1 ve x = 2 için, alt modül ifadeleri sıfıra eşittir. Pratik bir şekilde, bu tür grafikleri oluşturma kuralına yaklaştık:

y = a 1 |x – x 1 | şeklinde bir fonksiyonun grafiği + bir 2 |x – x 2 | + … + bir n |x – x n | + ax + b, sonsuz uç bağlantıları olan kesik bir çizgidir. Böyle bir çoklu çizgi oluşturmak için, tüm köşelerini (köşe apsisleri alt modül ifadelerinin sıfırlarıdır) ve her biri sol ve sağ sonsuz bağlantılarda bir kontrol noktası bilmek yeterlidir.

Bir görev.

y = |x| fonksiyonunu çizin + |x – 1| + |x + 1| ve en küçük değerini bulunuz.

Çözüm:

Alt modül ifadelerinin sıfırları: 0; -bir; 1. Çoklu çizginin köşeleri (0; 2); (-13); (13). Sağda (2; 6), solda (-2; 6) kontrol noktası. Bir grafik oluşturuyoruz (Şekil 7). min f(x) = 2.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Modüllü bir fonksiyonun grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.