Katı figürlerin alanları. Alan nasıl hesaplanır ve etiketlenir

Geometrideki sorunları çözmek için, bir üçgenin alanı veya bir paralelkenarın alanı gibi formülleri ve ayrıca konuşacağımız basit püf noktalarını bilmeniz gerekir.

Öncelikle şekillerin alanlarının formüllerini öğrenelim. Bunları özel olarak uygun bir tabloda topladık. Yazdırın, öğrenin ve uygulayın!

Tabii ki, tüm geometri formülleri tablomuzda yok. Örneğin matematikte profil sınavının ikinci bölümünde geometri ve stereometri problemlerini çözmek için üçgenin alanı için başka formüller de kullanılmaktadır. Size kesinlikle onlardan bahsedeceğiz.

Peki ya bir yamuk veya üçgenin alanını değil, karmaşık bir figürün alanını bulmanız gerekirse? Evrensel yollar var! Bunları FIPI görev bankasından örnekler kullanarak göstereceğiz.

1. Standart olmayan bir şeklin alanı nasıl bulunur? Örneğin, keyfi bir dörtgen? Basit bir teknik - hadi bu rakamı hepimizin bildiği parçalara ayıralım ve alanını bulalım - bu şekillerin alanlarının toplamı olarak.

Bu dörtgeni yatay bir çizgiyle ortak tabanları eşit olan iki üçgene bölün. Bu üçgenlerin yükseklikleri Ve . O zaman dörtgenin alanı, iki üçgenin alanlarının toplamına eşittir: .

Cevap: .

2. Bazı durumlarda, şeklin alanı herhangi bir alanın farkı olarak gösterilebilir.

Bu üçgende taban ve yüksekliğin neye eşit olduğunu hesaplamak o kadar kolay değil! Ancak alanının bir kenarı olan bir kare ile üç dik üçgenin alanları arasındaki farka eşit olduğunu söyleyebiliriz. Onları resimde görüyor musun? Biz: .

Cevap: .

3. Bazen bir görevde tüm şeklin değil, bir kısmının alanını bulmak gerekir. Genellikle sektörün alanından bahsediyoruz - dairenin bir parçası Yarıçap dairesi sektörünün alanını bulun , yay uzunluğu şuna eşittir: .

Bu resimde bir dairenin parçasını görüyoruz. Tüm dairenin alanı eşittir çünkü . Çemberin hangi kısmının tasvir edildiğini bulmak için kalır. Tüm dairenin uzunluğu ( beri ) olduğundan ve bu sektörün yayının uzunluğu bu nedenle, yayın uzunluğu tüm dairenin uzunluğundan birkaç kat daha azdır. Bu yayın dayandığı açı da tam bir daireden (yani derecelerden) kat daha azdır. Bu, sektör alanının tüm dairenin alanından birkaç kat daha az olacağı anlamına gelir.

Alan formülüÖklid düzleminde belirli bir şekil sınıfında tanımlanan ve 4 koşulu sağlayan gerçek değerli bir fonksiyon olan bir şeklin alanını belirlemek gerekir:

1. Pozitif - Alan sıfırdan küçük olamaz;
2. Normalleştirme - bir kenarı olan bir karenin alanı 1'dir;
3. Eşlik - uyumlu şekiller eşit alana sahiptir;
4. Toplanabilirlik - ortak iç noktaları olmayan 2 şeklin birleşiminin alanı, bu şekillerin alanlarının toplamına eşittir.

Geometrik şekillerin alanı için formüller.

geometrik şekil	formül	Çizim
Dışbükey bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının orta noktaları arasındaki mesafelerin eklenmesinin sonucu, yarı çevresine eşit olacaktır.
Daire sektörü. Bir daire sektörünün alanı, yayının ürününe ve yarıçapın yarısına eşittir.
daire segmenti. ASB segmentinin alanını elde etmek için, AOB üçgeninin alanını AOB sektörünün alanından çıkarmak yeterlidir.	S = 1 / 2 R(s - AC)
Bir elipsin alanı, elipsin büyük ve küçük yarı eksenlerinin uzunluklarının pi ile çarpımına eşittir.
Elips. Bir elipsin alanını hesaplamanın başka bir yolu da iki yarıçapıdır.
Üçgen. Taban ve yükseklik sayesinde. Yarıçapı ve çapı cinsinden bir dairenin alanı için formül.
Kare . Onun yanından. Karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir.
Kare. köşegeni sayesinde. Bir karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısıdır.
düzgün çokgen. Düzgün bir çokgenin alanını belirlemek için, onu yazılı dairenin merkezinde ortak bir tepe noktasına sahip olacak şekilde eşit üçgenlere bölmek gerekir.	S= r p = 1/2 r n a

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler yapmak, veri analizi yapmak ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekli olması durumunda - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen taleplere dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, yasa uygulama veya diğer kamu yararı amaçları için bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Onarımları kendiniz yapmayı planlıyorsanız, inşaat ve kaplama malzemeleri için bir tahminde bulunmanız gerekecektir. Bunu yapmak için, onarım yapmayı planladığınız odanın alanını hesaplamanız gerekecektir. Bu konudaki ana yardımcı, özel olarak tasarlanmış bir formüldür. Odanın alanı, yani hesaplanması, inşaat malzemeleri üzerinde çok para biriktirmenize ve serbest bırakılan mali kaynakları daha gerekli bir yöne yönlendirmenize olanak tanır.

Odanın geometrik şekli

Bir odanın alanını hesaplama formülü doğrudan şekline bağlıdır. Ev yapıları için en tipik olanı dikdörtgen ve kare odalardır. Ancak, yeniden geliştirme sırasında standart form bozulabilir. Odalar:

• dikdörtgen
• Kare.
• Karmaşık konfigürasyon (örneğin yuvarlak).
• Nişler ve çıkıntılar ile.

Her birinin kendi hesaplama özellikleri vardır, ancak kural olarak aynı formül kullanılır. Herhangi bir şekil ve büyüklükteki bir odanın alanı şu ya da bu şekilde hesaplanabilir.

Dikdörtgen veya kare oda

Dikdörtgen veya kare bir odanın alanını hesaplamak için okul geometri derslerini hatırlamak yeterlidir. Bu nedenle odanın alanını belirlemeniz sizin için zor olmamalı. Hesaplama formülü şöyle görünür:

S odalar=A*B, burada

A, odanın uzunluğudur.

B, odanın genişliğidir.

Bu değerleri ölçmek için normal bir mezura ihtiyacınız olacak. En doğru hesaplamaları elde etmek için duvarı her iki taraftan ölçmeye değer. Değerler yakınsamıyorsa, ortaya çıkan verilerin ortalamasını esas alın. Ancak, herhangi bir hesaplamanın kendi hataları olduğunu unutmayın, bu nedenle malzeme bir marjla satın alınmalıdır.

Karmaşık konfigürasyona sahip bir oda

Odanız "tipik" tanımına girmiyorsa, örn. daire, üçgen, çokgen şeklindeyse, hesaplamalar için farklı bir formüle ihtiyacınız olabilir. Böyle bir özelliğe sahip odanın alanını şartlı olarak dikdörtgen elemanlara bölmeyi deneyebilir ve standart şekilde hesaplamalar yapabilirsiniz. Bu sizin için mümkün değilse, aşağıdaki yöntemleri kullanın:

• Bir dairenin alanını bulma formülü:

S odası \u003d π * R 2, burada

R, odanın yarıçapıdır.

• Bir üçgenin alanını bulma formülü şöyledir:

S oda = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C))), burada

P, üçgenin yarım çevresidir.

A, B, C kenar uzunluklarıdır.

Dolayısıyla P \u003d A + B + C / 2

Hesaplama sürecinde herhangi bir zorluk yaşarsanız, kendinize işkence etmemek ve profesyonellere başvurmak daha iyidir.

Çıkıntılar ve nişler içeren oda alanı

Genellikle duvarlar, çeşitli nişler veya çıkıntılar şeklinde dekoratif unsurlarla dekore edilmiştir. Ayrıca varlıkları, odanızın bazı estetik olmayan unsurlarını saklama ihtiyacından kaynaklanıyor olabilir. Duvarınızda çıkıntıların veya nişlerin bulunması, hesaplamanın aşamalı olarak yapılması gerektiği anlamına gelir. Onlar. önce duvarın düz bir bölümünün alanı bulunur ve ardından buna bir niş veya çıkıntının alanı eklenir.

Duvarın alanı şu formülle bulunur:

S duvarlar \u003d P x C, burada

P - çevre

C - yükseklik

Ayrıca pencere ve kapıların varlığını da göz önünde bulundurmanız gerekir. Alanları sonuçtaki değerden çıkarılmalıdır.

Çok seviyeli tavanlı oda

Çok seviyeli bir tavan, ilk bakışta göründüğü kadar hesaplamaları karmaşıklaştırmaz. Basit bir tasarıma sahipse, nişler ve çıkıntılarla karmaşık duvarların alanını bulma ilkesine göre hesaplamalar yapılabilir.

Ancak tavan tasarımınız kavisli ve dalgalı elemanlara sahipse, o zaman döşeme alanını kullanarak alanını belirlemeniz daha uygundur. Bunun için ihtiyacınız var:

1. Duvarların tüm düz bölümlerinin boyutlarını bulun.
2. Zemin alanını bulun.
3. Dikey bölümlerin uzunluğunu ve yüksekliğini çarpın.
4. Ortaya çıkan değeri taban alanı ile toplayın.

Toplamı belirlemek için adım adım talimatlar

kat boşluğu

1. Odayı gereksiz şeylerden arındırın. Ölçüm sürecinde odanızın tüm alanlarına ücretsiz erişime ihtiyacınız olacak, bu nedenle buna engel olabilecek her şeyden kurtulmanız gerekiyor.
2. Odayı görsel olarak düzenli ve düzensiz şekillerden oluşan bölümlere ayırın. Odanız kesinlikle kare veya dikdörtgen bir şekle sahipse, bu adım atlanabilir.
3. Odanın keyfi bir düzenini yapın. Bu çizim, tüm verilerin her zaman parmaklarınızın ucunda olması için gereklidir. Ayrıca sayısız ölçülerde kafanızın karışmasına da fırsat vermeyecektir.
4. Ölçümler birkaç kez yapılmalıdır. Bu, hesaplamalarda hatalardan kaçınmak için önemli bir kuraldır. Ayrıca kullanıyorsanız, kirişin duvar yüzeyinde düz durduğundan emin olun.
5. Odanın toplam alanını bulun. Bir odanın toplam alanının formülü, odanın ayrı ayrı bölümlerinin tüm alanlarının toplamını bulmaktır. Onlar. S toplam = S duvarlar + S zeminler + S tavanlar

geometrik alan- bu şeklin boyutunu gösteren bir geometrik şeklin sayısal özelliği (yüzeyin bu şeklin kapalı bir konturuyla sınırlanan kısmı). Alanın büyüklüğü, içerdiği birim kare sayısı ile ifade edilir.

üçgen alan formülleri

1. Kenar ve yükseklik için üçgen alan formülü
   bir üçgenin alanı bir üçgenin bir kenarının uzunluğu ile bu kenara çizilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir
   
2. Üç kenarı verilen bir üçgenin alanı ve çevrelenmiş dairenin yarıçapı için formül
   
3. Üç kenarı verilen bir üçgenin alanı ve yazılı bir dairenin yarıçapı için formül
   bir üçgenin alanıüçgenin yarı çevresi ile yazılı dairenin yarıçapının çarpımına eşittir.
   
burada S üçgenin alanıdır,
- üçgenin kenar uzunlukları,
- üçgenin yüksekliği,
- kenarlar arasındaki açı ve,
- yazılı dairenin yarıçapı,
R - çevrelenmiş dairenin yarıçapı,

kare alan formülleri

1. Bir kenar uzunluğu verilen karenin alan formülü
   kare alan kenar uzunluğunun karesine eşittir.
2. Köşegenin uzunluğu verilen bir karenin alanı için formül
   kare alan köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.
   

   S=	1	2
   	2

burada S karenin alanıdır,
karenin kenar uzunluğu,
karenin köşegeninin uzunluğudur.

Dikdörtgen alan formülü

dikdörtgen alan bitişik iki kenarının uzunluklarının ürününe eşittir

burada S dikdörtgenin alanıdır,
dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır.

Paralelkenarın alanı için formüller

1. Kenar uzunluğu ve yüksekliği için paralelkenar alan formülü
   paralelkenar alan
2. İki kenar verilen bir paralelkenarın alanı ve aralarındaki açı formülü
   paralelkenar alan kenarlarının uzunluklarının aralarındaki açının sinüsü ile çarpımına eşittir.
   

   a b sina

burada S paralelkenarın alanıdır,
paralelkenarın kenarlarının uzunlukları,
paralelkenarın yüksekliği,
paralelkenarın kenarları arasındaki açıdır.

Eşkenar dörtgen alanı için formüller

1. Kenar uzunluğu ve yüksekliği verilen eşkenar dörtgen alan formülü
   eşkenar dörtgen alanı kenar uzunluğu ile bu kenara indirilen yüksekliğin uzunluğuna eşittir.
2. Kenar uzunluğu ve açı verilen bir eşkenar dörtgen alanı formülü
   eşkenar dörtgen alanı kenar uzunluğunun karesinin ürününe ve eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açının sinüsüne eşittir.
3. Köşegenlerinin uzunluklarından bir eşkenar dörtgen alanı formülü
   eşkenar dörtgen alanı köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.
S, eşkenar dörtgenin alanıdır,
- eşkenar dörtgenin kenarının uzunluğu,
- eşkenar dörtgen yüksekliğinin uzunluğu,
- eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açı,
1, 2 - köşegenlerin uzunlukları.

yamuk alan formülleri

1. Yamuk için Heron'un formülü

   S, yamuğun alanı olduğunda,
   - yamuğun tabanlarının uzunluğu,
   - yamuğun kenarlarının uzunluğu,