1 hangi açıya açılmış denir? Düz ve düz açı

Açı, tüm konu boyunca analiz edeceğimiz ana geometrik şekildir. Açının tanımı, ayar yöntemleri, gösterimi ve ölçümü. Çizimlerde köşeleri vurgulama ilkelerine bakalım. Teorinin tamamı resimlendirilmiştir ve çok sayıda görsel çizime sahiptir.

Tanım 1

Köşe– geometride basit ve önemli bir figür. Açı doğrudan bir ışının tanımına bağlıdır ve bu da bir nokta, bir düz çizgi ve bir düzlemin temel kavramlarından oluşur. Kapsamlı bir çalışma için konuları daha derinlemesine incelemeniz gerekir. düzlemde düz çizgi - gerekli bilgiler Ve uçak - gerekli bilgiler.

Açı kavramı, bu düzlem üzerinde tasvir edilen nokta, düzlem ve doğru kavramlarıyla başlar.

Tanım 2

Düzlemde verilen bir düz çizgi. Üzerinde belli bir O noktasını gösterelim. Düz bir çizgi, bir nokta ile her birinin bir adı olan iki parçaya bölünür. ışın ve O noktası – ışının başlangıcı.

Başka bir deyişle ışın veya yarı düz – başlangıç ​​noktasına, yani O noktasına göre aynı tarafta bulunan belirli bir çizginin noktalarından oluşan bir çizginin parçasıdır.

Kiriş tanımına iki varyasyonda izin verilir: Latin alfabesinin bir küçük harfi veya iki büyük harfi. Kiriş iki harfle tanımlandığında iki harften oluşan bir isme sahiptir. Çizime daha yakından bakalım.

Açı belirleme kavramına geçelim.

Tanım 3

Köşe belirli bir düzlemde bulunan ve ortak bir kökene sahip iki farklı ışının oluşturduğu bir şekildir. Açı tarafı bir ışındır tepe noktası– kenarların ortak kökeni.

Bir açının kenarlarının düz bir çizgi gibi davranabileceği bir durum vardır.

Tanım 4

Bir açının her iki tarafı da aynı düz çizgide olduğunda veya kenarları bir düz çizginin ek yarım çizgileri olarak hizmet ettiğinde, böyle bir açıya denir. genişletilmiş.

Aşağıdaki resim döndürülmüş bir köşeyi göstermektedir.

Düz bir çizgi üzerindeki nokta, bir açının tepe noktasıdır. Çoğu zaman O noktası ile gösterilir.

Matematikte bir açı “∠” işaretiyle gösterilir. Bir açının kenarları küçük Latin harfleriyle gösterildiğinde, açıyı doğru bir şekilde belirlemek için harfler kenarlara karşılık gelen bir sıra halinde yazılır. İki kenar k ve h olarak gösterilirse, açı ∠ k h veya ∠ h k olarak gösterilir.

Tanım büyük harflerle yazıldığında, açının kenarları sırasıyla O A ve O B olarak adlandırılır. Bu durumda açının, Latin alfabesinin üç harfinden oluşan, arka arkaya yazılan, ortada bir tepe noktası olan bir adı vardır - ∠ A O B ve ∠ B O A. Açıların isimleri veya harf işaretleri olmadığında sayı şeklinde bir işaret vardır. Aşağıda açıların farklı şekillerde gösterildiği bir resim bulunmaktadır.

Açı düzlemi iki parçaya böler. Açı döndürülmezse düzlemin bir kısmına denir. iç köşe alanı, diğeri - dış köşe alanı. Aşağıda düzlemin hangi kısımlarının dış, hangilerinin iç olduğunu açıklayan bir resim bulunmaktadır.

Bir düzlem üzerinde gelişmiş bir açıyla bölündüğünde, parçalarından herhangi biri gelişmiş açının iç bölgesi olarak kabul edilir.

Açının iç alanı, açının ikinci tanımına hizmet eden bir unsurdur.

Tanım 5

Açı ortak bir kökene ve bunlara karşılık gelen bir iç açı alanına sahip iki farklı ışından oluşan geometrik şekle denir.

Bu tanım, daha fazla koşula sahip olduğundan öncekine göre daha katıdır. Her iki tanımın ayrı ayrı ele alınması önerilmez çünkü açı, bir noktadan çıkan iki ışın kullanılarak dönüştürülen geometrik bir şekildir. Belirli bir açıyla eylemlerin gerçekleştirilmesi gerektiğinde tanım, ortak bir başlangıca ve bir iç alana sahip iki ışının varlığı anlamına gelir.

Tanım 6

İki açıya denir bitişik, ortak bir kenar varsa ve diğer ikisi ek yarım çizgilerse veya düz bir açı oluşturuyorsa.

Şekilde komşu açıların birbirinin devamı olması nedeniyle birbirini tamamladığı görülmektedir.

Tanım 7

İki açıya denir dikey Birinin kenarları diğerinin tamamlayıcı yarım çizgileriyse veya diğerinin kenarlarının devamıysa. Aşağıdaki resim dikey açıların bir görüntüsünü göstermektedir.

Düz doğrular kesiştiğinde 4 çift komşu ve 2 çift düşey açı elde edilir. Aşağıda resimde gösterilmektedir.

Makale eşit ve eşit olmayan açıların tanımlarını göstermektedir. Hangi açının büyük, hangisinin küçük olduğuna ve açının diğer özelliklerine bakalım. Üst üste bindirildiğinde tamamen çakışmaları durumunda iki rakam eşit kabul edilir. Aynı özellik açıların karşılaştırılması için de geçerlidir.

İki açı verilmiştir. Bu açıların eşit olup olmadığı sonucuna varmak gerekir.

İki açının köşelerinin ve birinci açının kenarlarının ikinci açının herhangi bir kenarı ile örtüştüğü bilinmektedir. Yani açılar üst üste bindirildiğinde tam bir tesadüf varsa, verilen açıların kenarları tamamen hizalanacak, açılar eşit.

Üst üste bindirildiğinde kenarlar hizalanmayabilir, ardından köşeler eşit olmayan, daha küçük diğeri diğerinden oluşur ve Daha tamamen farklı bir açı içeriyor. Aşağıda, üst üste bindirildiğinde hizalanmayan eşit olmayan açılar bulunmaktadır.

Doğru açılar eşittir.

Açıların ölçülmesi, açının ölçülecek tarafının ve iç alanının ölçülüp, birim açılarla doldurulması ve bunların birbirine uygulanmasıyla başlar. Döşenen açıların sayısını saymak gerekir, ölçülen açının ölçüsünü önceden belirlerler.

Açı birimi ölçülebilir herhangi bir açıyla ifade edilebilir. Bilim ve teknolojide kullanılan genel kabul görmüş ölçü birimleri vardır. Diğer başlıklarda uzmanlaşırlar.

En sık kullanılan kavram derece.

Tanım 8

Bir derece Bir doğru açının yüz seksende biri olan açıya denir.

Bir derecenin standart tanımı “°” olup, bir derece 1°'dir. Dolayısıyla bir düz açı, bir derecelik 180 adet açıdan oluşur. Mevcut tüm köşeler birbirine sıkıca yerleştirilmiştir ve bir öncekinin kenarları bir sonrakiyle aynı hizadadır.

Bir açıdaki derece sayısının açının ölçüsü olduğu bilinmektedir. Açılmamış bir açının bileşiminde 180 yığılmış açı bulunur. Aşağıdaki şekil, açının 30 kez, yani açılmanın altıda biri ve 90 kez, yani yarısı kadar döşendiği örnekleri göstermektedir.

Açıları doğru bir şekilde ölçmek için dakikalar ve saniyeler kullanılır. Açı değeri tam derece ataması olmadığında kullanılırlar. Bir derecenin bu kesirleri daha doğru hesaplamalara izin verir.

Tanım 9

Bir dakika içinde derecenin altmışta biri denir.

Tanım 10

Bir saniye içinde dakikanın altmışta biri denir.

Bir derece 3600 saniyeden oluşur. Dakikalar """, saniyeler ise """ olarak belirtilir. Belirleme şu şekilde gerçekleşir:

1° = 60" = 3600"" , 1" = (1 60)° , 1" = 60"" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600)° ,

ve 17 derece 3 dakika 59 saniyelik açının tanımı 17 ° 3 "59"dur.

Tanım 11

17 ° 3 "59 "" değerine eşit bir açının derece ölçüsünün belirlenmesine bir örnek verelim. Girişin başka bir formu vardır: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Açıları doğru bir şekilde ölçmek için iletki gibi bir ölçüm cihazı kullanın. ∠ A O B açısını ve 110 derecelik derece ölçüsünü belirtirken, "A O B açısı 110 dereceye eşittir" şeklinde daha uygun bir gösterim kullanılır: ∠ A O B = 110 °.

Geometride (0, 180] aralığından bir açı ölçüsü kullanılır ve trigonometride keyfi bir derece ölçüsü denir. dönme açıları. Açıların değeri her zaman gerçek sayı olarak ifade edilir. Dik açı- Bu 90 derecelik bir açıdır. Keskin köşe- 90 dereceden küçük bir açı ve köreltmek- Daha.

Dar açı (0, 90) aralığında ve geniş açı - (90, 180) ölçülür. Aşağıda üç tip açı açıkça gösterilmiştir.

Herhangi bir açının herhangi bir derece ölçüsü aynı değere sahiptir. Daha büyük bir açı, daha küçük bir açıya göre daha büyük bir derece ölçüsüne sahiptir. Bir açının derece ölçüsü, iç açıların mevcut tüm derece ölçülerinin toplamıdır. Aşağıda AOC, COD ve DOB açılarından oluşan AOB açısını gösteren şekil bulunmaktadır. Ayrıntılı olarak şu şekilde görünür: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.

Buna dayanarak şu sonuca varabiliriz toplam herkes komşu açılar 180 dereceye eşittir,çünkü hepsi düz bir açı oluşturuyor.

Bundan şu sonuç çıkıyor: herhangi dikey açılar eşittir. Bunu örnek olarak ele alırsak, A O B ve C O D açılarının dikey olduğunu (çizimde) buluruz, bu durumda A O B ve B O C, C O D ve B O C açı çiftlerinin bitişik olduğu kabul edilir. Bu durumda, ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° eşitliği ile ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° eşitliği benzersiz bir şekilde doğru kabul edilir. Dolayısıyla ∠ A O B = ∠ C O D'ye sahibiz. Aşağıda dikey yakalayıcıların görüntüsü ve tanımının bir örneği bulunmaktadır.

Derece, dakika ve saniyenin yanı sıra başka bir ölçü birimi de kullanılır. denir radyan. Çoğu zaman çokgenlerin açılarını belirtirken trigonometride bulunabilir. Radyan neye denir?

Tanım 12

Bir radyan açı bir dairenin yarıçapı yayın uzunluğuna eşit olan merkez açıya denir.

Şekilde radyan, bir nokta ile gösterilen bir merkezin bulunduğu, daire üzerinde iki noktanın birbirine bağlandığı ve O A ve O B yarıçaplarına dönüştürüldüğü bir daire olarak gösterilmiştir. Tanım gereği, bu A O B üçgeni eşkenardır, yani eşkenardır. A B yayının uzunluğu O B ve O A yarıçaplarının uzunluklarına eşittir.

Açının tanımı “rad” olarak alınır. Yani 5 radyan yazmak 5 rad olarak kısaltılır. Bazen pi adı verilen bir gösterimi bulabilirsiniz. Radyanlar belirli bir dairenin uzunluğuna bağlı değildir, çünkü rakamlar açı ve belirli bir açının tepe noktasında bulunan merkezle yayı ile belirli bir sınırlamaya sahiptir. Benzer sayılırlar.

Radyanlar derecelerle aynı anlama gelir, yalnızca büyüklükleri farklıdır. Bunu belirlemek için, merkez açının hesaplanan yay uzunluğunu yarıçapının uzunluğuna bölmek gerekir.

Pratikte kullanıyorlar dereceleri radyana ve radyanları dereceye dönüştürme daha rahat problem çözümü için. Bu makale, derece ölçüsü ile radyan arasındaki bağlantı hakkında bilgiler içerir; burada dereceden radyana ve tam tersi dönüşümleri ayrıntılı olarak inceleyebilirsiniz.

Çizimler, yayları ve açıları görsel ve uygun bir şekilde tasvir etmek için kullanılır. Bunu veya bu açıyı, yayı veya adı doğru bir şekilde tasvir etmek ve işaretlemek her zaman mümkün değildir. Eşit açılar aynı sayıda yay ile, eşit olmayan açılar ise farklı sayılarla gösterilir. Çizimde dar, eşit ve eşit olmayan açıların doğru gösterimi gösterilmektedir.

3'ten fazla köşenin işaretlenmesi gerektiğinde dalgalı veya pürüzlü gibi özel yay sembolleri kullanılır. O kadar önemli değil. Aşağıda atamalarını gösteren bir resim bulunmaktadır.

Açı sembolleri diğer anlamlara müdahale etmeyecek şekilde basit tutulmalıdır. Bir sorunu çözerken, çizimin tamamını karıştırmamak için yalnızca çözüm için gerekli açıların vurgulanması önerilir. Bu durum çözüme ve ispata engel olmayacağı gibi çizime estetik bir görünüm de kazandıracaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Açı, bir noktadan çıkan iki farklı ışından oluşan geometrik bir şekildir. Bu durumda bu ışınlara açının kenarları denir. Işınların başlangıç ​​noktası olan noktaya açının tepe noktası denir. Resimde noktanın tepe noktasıyla olan açısını görebilirsiniz. HAKKINDA ve taraflar k Ve M.

Açının kenarlarında A ve C noktaları işaretlenmiştir, bu açı AOC açısı olarak gösterilebilir. Ortada açının tepe noktasının bulunduğu noktanın adı bulunmalıdır. Başka tanımlamalar da vardır, O açısı veya km açısı. Geometride genellikle açı kelimesi yerine özel bir sembol yazılır.

Geliştirilmiş ve genişletilmemiş açı

Bir açının her iki tarafı da aynı doğru üzerinde bulunuyorsa bu açıya denir. genişletilmiş açı. Yani açının bir tarafı diğer tarafının devamıdır. Aşağıdaki şekil genişletilmiş O açısını göstermektedir.

Herhangi bir açının düzlemi iki parçaya böldüğüne dikkat edilmelidir. Açı açılmamışsa parçalardan birine açının iç bölgesi, diğerine ise bu açının dış bölgesi denir. Aşağıdaki şekil gelişmemiş bir açıyı göstermekte ve bu açının dış ve iç bölgelerini göstermektedir.

Gelişmiş bir açı olması durumunda, düzlemi böldüğü iki parçadan herhangi biri açının dış bölgesi olarak düşünülebilir. Bir noktanın açıya göre konumu hakkında konuşabiliriz. Bir nokta köşenin dışında (dış bölgede), kenarlarından birinde yer alabilir veya köşenin içinde (iç bölgede) bulunabilir.

Aşağıdaki şekilde A noktası O açısının dışında, B noktası açının bir tarafında ve C noktası açının içinde yer almaktadır.

Açıların ölçülmesi

Açıları ölçmek için iletki adı verilen bir cihaz vardır. Açı birimi derece. Her açının sıfırdan büyük belirli bir derece ölçüsü olduğuna dikkat edilmelidir.

Derece ölçüsüne bağlı olarak açılar birkaç gruba ayrılır.

Bu makalede temel geometrik şekillerden biri olan açı tartışılacaktır. Bu kavrama genel bir giriş yaptıktan sonra, böyle bir figürün belirli bir türüne odaklanacağız. Düz açı geometride önemli bir kavramdır ve bu makalenin ana konusu da bu olacaktır.

Geometrik Açıya Giriş

Geometride tüm bilimlerin temelini oluşturan çok sayıda nesne vardır. Açı bunlara atıfta bulunur ve ışın kavramı kullanılarak tanımlanır, o yüzden onunla başlayalım.

Ayrıca, açının kendisini belirlemeye başlamadan önce, geometrideki eşit derecede önemli birkaç nesneyi hatırlamanız gerekir - bu bir nokta, bir düzlemdeki düz bir çizgi ve düzlemin kendisidir. Düz çizgi, başlangıcı ve sonu olmayan en basit geometrik şekildir. Düzlem iki boyutlu bir yüzeydir. Geometride bir ışın (veya yarım çizgi), başlangıcı olan ancak sonu olmayan bir çizginin parçasıdır.

Bu kavramları kullanarak açının, tamamen belirli bir düzlemde yer alan ve ortak kökene sahip iki farklı ışından oluşan geometrik bir şekil olduğunu söyleyebiliriz. Bu tür ışınlara bir açının kenarları denir ve kenarların ortak başlangıcı köşe noktasıdır.

Açı türleri ve geometri

Açıların tamamen farklı olabileceğini biliyoruz. Bu nedenle, biraz aşağıda açı türlerini ve ana özelliklerini daha iyi anlamanıza yardımcı olacak küçük bir sınıflandırma olacaktır. Dolayısıyla geometride birkaç tür açı vardır:

1. Sağ açı. 90 derecelik bir değerle karakterize edilir, bu da kenarlarının her zaman birbirine dik olduğu anlamına gelir.
2. Keskin köşe. Bu açılar, boyutları 90 dereceden küçük olan tüm temsilcilerini içerir.
3. Geniş açı. Burada 90 ila 180 derece arasında değişen tüm açılar olabilir.
4. Açılmış köşe. Kesinlikle 180 derecelik bir boyuta sahiptir ve dıştan kenarları tek bir düz çizgi oluşturur.

Doğru açı kavramı

Şimdi döndürülmüş açıya daha detaylı bakalım. Bu, her iki tarafın da aynı düz çizgi üzerinde olduğu durumdur ve bu, şekilde biraz daha aşağıda açıkça görülebilmektedir. Bu, ters açıdan bakıldığında bir tarafının esasen diğerinin devamı olduğunu güvenle söyleyebileceğimiz anlamına gelir.

Böyle bir açının her zaman tepe noktasından çıkan bir ışın kullanılarak bölünebileceği gerçeğini hatırlamakta fayda var. Sonuç olarak geometride bitişik olarak adlandırılan iki açı elde ederiz.

Ayrıca açılmış açının çeşitli özellikleri vardır. Bunlardan ilkinden bahsetmek için “açıortay” kavramını hatırlamanız gerekiyor. Bunun herhangi bir açıyı tam olarak ikiye bölen bir ışın olduğunu hatırlayın. Açılmamış açıya gelince, açıortayı onu 90 derecelik iki dik açı oluşturacak şekilde böler. Bunu matematiksel olarak hesaplamak çok kolaydır: 180˚ (döndürülmüş açının derecesi): 2 = 90˚.

Döndürülmüş bir açıyı tamamen rastgele bir ışınla bölersek, sonuç olarak her zaman biri dar, diğeri geniş olmak üzere iki açı elde ederiz.

Döndürülmüş köşelerin özellikleri

Bu listede yaptığımız gibi, tüm ana özelliklerini bir araya getirerek bu açıyı dikkate almak uygun olacaktır:

1. Döndürülmüş açının kenarları antiparaleldir ve düz bir çizgi oluşturur.
2. Döndürülmüş açı her zaman 180˚'dir.
3. İki komşu açı birlikte her zaman düz bir açı oluşturur.
4. 360˚ olan bir tam açı, açılmış iki açıdan oluşur ve bunların toplamına eşittir.
5. Düz açının yarısı dik açıdır.

Dolayısıyla, bu tür açıların tüm bu özelliklerini bildiğimizden, bunları bir takım geometrik problemleri çözmek için kullanabiliriz.

Döndürülmüş açılarla ilgili sorunlar

Düz açı kavramını kavrayıp kavramadığınızı görmek için aşağıdaki birkaç soruyu yanıtlamayı deneyin.

1. Kenarları dikey bir çizgi oluşturuyorsa düz açının büyüklüğü nedir?
2. Birincisi 72˚, diğeri 118˚ ise iki açı bitişik olur mu?
3. Bir tam açı iki ters açıdan oluşuyorsa kaç dik açısı vardır?
4. Bir doğru açı, bir ışın tarafından derece ölçüleri 1:4 oranında olacak şekilde iki açıya bölünür. Ortaya çıkan açıları hesaplayın.

Çözümler ve cevaplar:

1. Döndürülmüş açı nasıl konumlandırılırsa konumlandırılsın, tanım gereği her zaman 180˚'ye eşittir.
2. Komşu açıların bir kenarı ortaktır. Bu nedenle, birlikte yaptıkları açının boyutunu hesaplamak için derece ölçülerinin değerini eklemeniz yeterlidir. Bu, 72 +118 = 190 anlamına gelir. Ancak tanım gereği ters açı 180˚'dir, bu da verilen iki açının bitişik olamayacağı anlamına gelir.
3. Doğru açı iki dik açı içerir. Ve tamamlanmış olanın iki açılmış çizgisi olduğundan, 4 düz çizgi olacağı anlamına gelir.
4. İstenilen açılara a ve b dersek bunların orantı katsayısı x olsun, yani a=x ve buna göre b=4x olur. Derece cinsinden döndürülen açı 180˚'dir. Ve bir açının derece ölçüsünün her zaman kenarları arasından geçen herhangi bir ışın tarafından bölündüğü açıların derece ölçülerinin toplamına eşit olduğu özelliklerine göre, x + 4x = 180˚ olduğu sonucuna varabiliriz. , yani 5x = 180˚ . Buradan şunu buluruz: x = a = 36˚ ve b = 4x = 144˚. Cevap: 36˚ ve 144˚.

Tüm bu soruları yönlendirmeler olmadan ve cevaplara bakmadan cevaplayabildiyseniz bir sonraki geometri dersine geçmeye hazırsınız demektir.

“Geometrinin temel kavramları” - Bir üçgenin eşitliğini test edin. Segmentler. Geometri. Bitişik ve dikey açılar. Paralel çizgilerin inşası. Bir üçgen inşaatı. Sonuçlar. Çizgiler paraleldir. Zirveler. En basit geometrik şekiller. Hangi şekle üçgen denir? Eşit segmentler eşit uzunluklara sahiptir. Açı, bir nokta ve iki ışından oluşan geometrik bir şekildir.

“Tablolarda geometri” - Uzaydaki bir noktanın koordinatları ve bir vektörün koordinatları Uzaydaki vektörlerin nokta çarpımı Hareket Silindir Koni Küre ve top Dikdörtgen paralel yüzlü bir dikdörtgenin hacmi Düz bir prizma ve silindirin hacmi Eğik bir prizmanın hacmi Bir piramidin hacmi Bir koninin hacmi Bir kürenin hacmi ve bir kürenin alanı. Geometri tabloları.

“Geometri 8. sınıf” - Her ifade daha önce kanıtlanmış olanlara dayanmaktadır. Her binanın bir temeli vardır. Teorem kavramı. Aksiyom, doğruluğu kanıtlanmadan kabul edilen bir ifadedir. Mantıksal kanıt yoluyla elde edilen her matematiksel ifade bir teoremdir. Yani teoremlerin üzerinden geçerek aksiyomlara ulaşabilirsiniz.

“Geometri bir bilimdir” - Geometri iki bölümden oluşur: planimetri ve stereometri. Pisagorcuların ayırt edici işareti hangi geometrik şekildi? Pisagorcular tüm evrenin nasıl bir şekle sahip olduğunu düşünüyordu? Cevap: 580 – 500 M.Ö çağ. Antik Yunan ne zaman ortaya çıktı? Giriiş. Cevap: “Düzlük”. Pisagorcular dünyanın yapısının açıklanmasını geometriyle yakından ilişkilendirdiler.

"Geometrik Terimler" - Koni. Piramit. Yarıçap ve merkez. Diyagonal. Geometri. Kare. Eşkenar dörtgen. Küp Yamuk. Geometrik terimlerin ortaya çıkışı. Nokta. Astar. Silindir. Hipotenüs ve bacak. Küre. Prizma. Geometrik terimlerin tarihinden.

“Ne geometri çalışmaları” - “Paralel” kelimesi Yunanca “parallelos” yani yan yana yürümek anlamına gelir. Geometri tarihi. Dönüşümler çoğunlukla benzerliklerle sınırlıydı. L=(P1+P2)/2 L – P1 çevresi – büyük bir karenin çevresi P2 – küçük bir karenin çevresi. Vdüz Antik Yunan'da Geometri. Geometri Muse, Louvre. Nereden geldiğini ve geometrinin ne olduğunu öğreneceğiz.

Konuda toplam 24 sunum bulunmaktadır.