Cebirsel kesrin değeri denilen şey. Temel konseptler
Bir öğrenci liseye geçtiğinde matematik 2 konuya ayrılır: cebir ve geometri. Gittikçe daha fazla kavram var, görevler daha zor hale geliyor. Bazı insanlar kesirleri anlamakta güçlük çekerler. Bu konudaki ilk dersi kaçırdım ve işte. kesirler? Okul hayatı boyunca eziyet edecek bir soru.
Cebirsel kesir kavramı
Bir tanımla başlayalım. Altında cebirsel kesir P/Q ifadeleri anlaşılır, burada P pay ve Q paydadır. Bir sayı, sayısal bir ifade, sayısal-alfabetik bir ifade alfabetik bir girişin altına gizlenebilir.
Cebirsel kesirlerin nasıl çözüleceğini merak etmeden önce, böyle bir ifadenin bir bütünün parçası olduğunu anlamanız gerekir.
Kural olarak bütün 1'dir. Paydadaki sayı, birimin kaç parçaya bölündüğünü gösterir. Kaç tane eleman alındığını bulmak için paya ihtiyaç vardır. Kesirli çubuk, bölme işaretine karşılık gelir. Kesirli bir ifadenin matematiksel bir işlem "Bölme" olarak kaydedilmesine izin verilir. Bu durumda pay bölen, payda bölendir.
Ortak kesirler için temel kural
Öğrenciler okulda bu konuyu ele aldıklarında, pekiştirmek için örnekler verilir. Onları doğru bir şekilde çözmek ve zor durumlardan farklı yollar bulmak için, kesirlerin temel özelliğini uygulamanız gerekir.
Kulağa şöyle geliyor: Hem payı hem de paydayı aynı sayı veya ifadeyle (sıfır dışında) çarparsanız, sıradan bir kesrin değeri değişmez. Bu kuralın özel bir durumu, ifadenin her iki bölümünün aynı sayıya veya polinomlara bölünmesidir. Bu tür dönüşümlere özdeş eşitlikler denir.
Aşağıda cebirsel kesirlerde toplama ve çıkarma işlemlerinin nasıl çözüleceğini, kesirlerin çarpma, bölme ve indirgeme işlemlerinin nasıl yapılacağını ele alacağız.
Kesirlerle matematiksel işlemler
Cebirsel kesrin ana özelliğinin nasıl çözüleceğini, pratikte nasıl uygulanacağını düşünün. İki kesri çarpmanız, toplamanız, bölmeniz veya çıkarmanız gerekiyorsa, her zaman kurallara uymalısınız.
Dolayısıyla toplama ve çıkarma işlemi için ifadeleri ortak bir paydaya getirmek için ek bir faktör bulunmalıdır. Başlangıçta kesirler aynı Q ifadeleriyle verilirse, bu öğeyi çıkarmanız gerekir. Ortak bir payda bulunduğunda, cebirsel kesirler nasıl çözülür? Payları ekleyin veya çıkarın. Fakat! Unutulmamalıdır ki kesrin önünde “-” işareti varsa paydaki tüm işaretler ters çevrilir. Bazen herhangi bir ikame ve matematiksel işlem yapmamalısınız. Kesirin önündeki işareti değiştirmek yeterlidir.
Terim genellikle şu şekilde kullanılır: kesir azaltma. Bu şu anlama gelir: pay ve payda birlik dışında bir ifadeyle bölünürse (her iki kısım için de aynıdır), o zaman yeni bir kesir elde edilir. Bölünen ve bölen öncekinden daha küçüktür, ancak temel kesir kuralı nedeniyle orijinal örneğe eşit kalırlar.
Bu işlemin amacı, indirgenemez yeni bir ifade elde etmektir. Bu problem, pay ve paydanın en büyük ortak bölen tarafından azaltılmasıyla çözülebilir. İşlem algoritması iki noktadan oluşur:
- Bir kesrin her iki kısmı için OBEB'i bulma.
- Payı ve paydayı bulunan ifadeye bölmek ve bir öncekine eşit indirgenemez bir kesir elde etmek.
Aşağıdaki tablo formülleri göstermektedir. Kolaylık sağlamak için yazdırabilir ve bir defterde yanınızda taşıyabilirsiniz. Ancak gelecekte bir test veya sınav çözerken cebirsel kesirlerin nasıl çözüleceği sorusunda zorluk olmaması için bu formüllerin ezbere öğrenilmesi gerekir.
Çözümlü bazı örnekler
Teorik bir bakış açısıyla, cebirsel kesirlerin nasıl çözüleceği sorusu ele alınmaktadır. Makalede verilen örnekler, materyali daha iyi anlamanıza yardımcı olacaktır.
1. Kesirleri dönüştürün ve ortak bir paydaya getirin.
2. Kesirleri dönüştürün ve ortak bir paydaya getirin.
Teorik kısmı inceledikten ve pratik konuları düşündükten sonra, başka soru ortaya çıkmamalıdır.
Bu ders cebirsel kesir kavramını tartışır. Bir kişi en basit yaşam durumlarında kesirlerle karşılaşır: bir nesneyi birkaç parçaya bölmek gerektiğinde, örneğin bir pastayı on kişiye eşit olarak kesmek için. Elbette herkes pastadan pay alacak. Bu durumda, sayısal bir kesir kavramıyla karşı karşıyayız, ancak bir nesne bilinmeyen sayıda parçaya, örneğin x'e bölündüğünde bir durum mümkündür. Bu durumda, kesirli bir ifade kavramı ortaya çıkar. Tamsayı ifadeleriyle (değişkenli ifadelere bölme içermeyen) ve bunların özellikleriyle 7. sınıfta zaten tanıştınız. Daha sonra, değişkenlerin izin verilen değerlerinin yanı sıra rasyonel bir kesir kavramını ele alacağız.
Başlık:Cebirsel kesirler. Cebirsel kesirler üzerinde aritmetik işlemler
Ders:Temel konseptler
1. Cebirsel kesirlerin tanımı ve örnekleri
Rasyonel ifadeler ikiye ayrılır. tamsayı ve kesirli ifadeler.
Tanım. rasyonel kesir polinomların olduğu formun kesirli bir ifadesidir. - pay paydası.
Örnekler rasyonel ifadeler:
- kesirli ifadeler; tamsayı ifadeleridir. Örneğin ilk ifadede pay , payda ise .
Anlam cebirsel kesir, herhangi biri gibi cebirsel ifade, içerdiği değişkenlerin sayısal değerine bağlıdır. Özellikle, ilk örnekte kesrin değeri, değişkenlerin değerlerine ve ikincisinde ise yalnızca değişkenin değerine bağlıdır.
2. Cebirsel kesrin değerinin hesaplanması ve kesirlerle ilgili iki temel problem
İlk tipik görevi düşünün: değeri hesaplama rasyonel kesir de farklı değerler içinde yer alan değişkenlerdir.
Örnek 1. a), b), c) için bir kesrin değerini hesaplayın
Çözüm. Değişkenlerin değerlerini belirtilen kesirde değiştirin: a), b), c) - mevcut değil (çünkü sıfıra bölemezsiniz).
Cevap: 3; bir; bulunmuyor.
Gördüğümüz gibi iki tipik görevler herhangi bir kesir için: 1) kesri hesaplama, 2) bulma geçerli ve geçersiz değerler gerçek değişkenler.
Tanım. Geçerli Değişken Değerleri ifadenin anlam ifade ettiği değişkenlerin değerleridir. Değişkenlerin tüm kabul edilebilir değerlerinin kümesine denir ODZ veya alan adı.
3. Tek değişkenli kesirlerdeki değişkenlerin izin verilen (ODZ) ve geçersiz değerleri
Bu değerler için kesrin paydası sıfır ise, değişmez değişkenlerin değeri geçersiz olabilir. Diğer tüm durumlarda, kesir hesaplanabildiği için değişkenlerin değerleri geçerlidir.
Örnek 2. Kesirin değişkenin hangi değerlerinde anlamlı olmadığını belirleyin.
Çözüm. Bu ifadenin anlamlı olması için kesrin paydasının sıfıra eşit olmaması gerekli ve yeterlidir. Bu nedenle, yalnızca paydasının sıfıra eşit olacağı değişkenin değerleri geçersiz olacaktır. Kesrin paydası, yani lineer denklemi çözüyoruz:
Bu nedenle, değişkenin değeri için kesir anlamlı değildir.
Örneğin çözümünden, değişkenlerin geçersiz değerlerini bulma kuralı şöyledir - kesrin paydası sıfıra eşittir ve karşılık gelen denklemin kökleri bulunur.
Birkaç benzer örneğe bakalım.
Örnek 3. Kesirin değişkenin hangi değerlerinde anlamlı olmadığını belirleyin.
Çözüm. .
Cevap. .
Örnek 4. Kesirin değişkenin hangi değerlerinde anlamlı olmadığını belirleyin.
Çözüm..
Bu sorunun başka formülasyonları da var - bulmak için alan adı veya geçerli ifade değerleri aralığı (ODZ). Bunun anlamı - değişkenlerin tüm geçerli değerlerini bulun. Örneğimizde, bunların tümü hariç değerlerdir. Tanım alanı, sayısal eksende uygun bir şekilde tasvir edilmiştir.
Bunu yapmak için, şekilde gösterildiği gibi üzerinde bir nokta keseceğiz:
Böylece, kesir alanı 3 hariç tüm sayılar olacaktır.
Cevap..
Örnek 5. Kesirin değişkenin hangi değerlerinde anlamlı olmadığını belirleyin.
Çözüm..
Ortaya çıkan çözümü sayısal eksende gösterelim:
Cevap..
4. İzin verilen (ODZ) alanının ve kesirlerdeki değişkenlerin geçersiz değerlerinin grafiksel gösterimi
Örnek 6. Kesrin değişkenlerin hangi değerlerinde anlamlı olmadığını belirleyin.
Çözüm.. İki değişkenin eşitliğini elde ettik, sayısal örnekler vereceğiz: or, vb.
Bu çözümü Kartezyen koordinat sistemindeki bir grafik üzerinde çizelim:
Pirinç. 3. Bir fonksiyonun grafiği.
Bu grafikte yer alan herhangi bir noktanın koordinatları, kesrin kabul edilebilir değerleri alanına dahil değildir.
Cevap. .
5. "Sıfıra bölme" gibi bir durum
Ele alınan örneklerde sıfıra bölmenin meydana geldiği bir durumla karşı karşıya kaldık. Şimdi daha fazlası olduğunda durumu düşünün ilginç durum bölme tipi ile.
Örnek 7. Kesrin değişkenlerin hangi değerlerinde anlamlı olmadığını belirleyin.
Çözüm..
Kesirin ne zaman anlamlı olmadığı ortaya çıkıyor. Ancak durumun böyle olmadığı söylenebilir, çünkü: 
.
Son ifade için 8'e eşitse, orijinal ifade de hesaplanabilir ve bu nedenle için mantıklı görünebilir. Ancak, onu orijinal ifadenin yerine koyarsak, bir anlam ifade etmiyoruz.
Cevap..
Bu örneği daha ayrıntılı anlamak için aşağıdaki sorunu çözüyoruz: Belirtilen kesir hangi değerler için sıfıra eşittir?
(Payı sıfır olduğunda kesir sıfırdır) 
. Ancak orijinal denklemi bir kesir ile çözmek gerekir ve bu mantıklı değil çünkü değişkenin bu değeri ile payda sıfırdır. Yani bu denklemin sadece bir kökü var.
6. ODZ bulma kuralı
Böylece, bir kesrin kabul edilebilir değer aralığını bulmak için kesin kuralı formüle edebiliriz: bulmak ODZkesirler paydasını sıfıra eşitlemek ve elde edilen denklemin köklerini bulmak gerekli ve yeterlidir.
İki ana görevi düşündük: kesrin değerini hesaplama değişkenlerin belirtilen değerleri için ve bir kesrin kabul edilebilir değerlerinin alanını bulma.
Şimdi kesirlerle çalışırken ortaya çıkabilecek birkaç sorunu daha ele alalım.
7. Çeşitli görevler ve sonuçlar
Örnek 8. Değişkenin herhangi bir değeri için kesrin olduğunu kanıtlayın.
Kanıt. Pay pozitif bir sayıdır. . Sonuç olarak, hem pay hem de payda pozitif sayılardır, bu nedenle kesir de pozitif bir sayıdır.
Kanıtlanmış.
Örnek 9. Bulunduğu bilinmektedir.
Çözüm. Kesir terimini terime bölelim. Bu kesir için değişkenin geçersiz bir değerinin ne olduğunu dikkate alarak azaltma hakkımız var.
Cevap..
Bu dersimizde kesirlerle ilgili temel kavramları inceledik. Bir sonraki derste, bakacağız kesrin temel özelliği.
bibliyografya
1. Bashmakov M. I. Cebir 8. Sınıf. - M.: Aydınlanma, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir 8. - 5. baskı. - E.: Eğitim, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir 8. sınıf. Eğitim kurumları için ders kitabı. - E.: Eğitim, 2006.
1. Pedagojik fikirler festivali.
2. Eski okul.
3. İnternet portalı lib2.podelise. ru.
Ev ödevi
1. No. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir 8. - 5. baskı. - E.: Eğitim, 2010.
2. Alanı a) küme, b) küme, c) tüm sayısal eksen olan bir rasyonel kesir yazın.
3. Değişkenin tüm kabul edilebilir değerleri için kesrin değerinin negatif olmadığını kanıtlayın.
4. İfadenin kapsamını bulun. İpucu: İki durumu ayrı ayrı ele alın: alt kesrin paydası sıfıra eşit olduğunda ve asıl kesrin paydası sıfıra eşit olduğunda.
42. maddede, polinomların bölünmesi tam olarak yapılamıyorsa, bölümün, payın pay ve bölenin payda olduğu kesirli bir ifade olarak yazıldığı söylendi.
Kesirli ifadelere örnekler:
Kesirli bir ifadenin payı ve paydası kesirli ifadeler olabilir, örneğin:
Kesirli cebirsel ifadelerden, genellikle pay ve paydanın polinom olduğu (özellikle tek terimli) ifadelerle uğraşmak gerekir. Bu tür ifadelerin her birine cebirsel kesir denir.
Tanım. Payı ve paydası polinom olan bir kesir olan cebirsel ifadeye cebirsel kesir denir.
Aritmetikte olduğu gibi, cebirsel bir kesrin pay ve paydasına kesrin terimleri denir.
Gelecekte, cebirsel kesirler üzerindeki eylemleri inceledikten sonra, özdeş dönüşümlerin yardımıyla herhangi bir kesirli ifadeyi cebirsel bir kesre dönüştürebiliriz.
Cebirsel kesirlere örnekler:
Tüm bir ifadenin, yani bir polinomun kesir olarak yazılabileceğine dikkat edin, bunun için bu ifadeyi payda ve 1'i paydada yazmak yeterlidir.
2. Geçerli harf değerleri.
Yalnızca payda bulunan harfler herhangi bir değer alabilir (sorunun durumu tarafından ek kısıtlamalar getirilmezse).
Paydada yer alan harfler için sadece paydayı sıfıra çevirmeyen değerler geçerlidir. Bu nedenle, aşağıda her zaman bir cebirsel kesrin paydasının sıfıra eşit olmadığını varsayacağız.