การแก้ระบบอสมการเลขชี้กำลัง ระบบสมการเลขชี้กำลังและอสมการ

GBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 149 ของเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

สรุปบทเรียน

Novikova Olga Nikolaevna

2016

หัวข้อ: "ระบบสมการเลขชี้กำลังและอสมการ".

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

    เกี่ยวกับการศึกษา:

สรุปและรวบรวมความรู้เกี่ยวกับวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการที่มีอยู่ในระบบสมการและอสมการ

    กำลังพัฒนา: การเปิดใช้งาน กิจกรรมทางปัญญา; การพัฒนาทักษะการควบคุมตนเองและการประเมินตนเอง การวิเคราะห์ตนเองของกิจกรรม

    เกี่ยวกับการศึกษา: การพัฒนาทักษะในการทำงานอย่างอิสระ ตัดสินใจและหาข้อสรุป การศึกษาความทะเยอทะยานเพื่อการศึกษาด้วยตนเองและการพัฒนาตนเอง

ประเภทบทเรียน : รวมกัน.

ประเภทของบทเรียน: บทเรียนภาคปฏิบัติ

ระหว่างเรียน

ฉัน. เวลาจัดงาน(1 นาที)

การกำหนดเป้าหมายสำหรับชั้นเรียน: สรุปและรวบรวมความรู้เกี่ยวกับวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการที่มีอยู่ในระบบสมการและอสมการตามคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ครั้งที่สอง งานช่องปาก (1 นาที)

นิยามของสมการเลขชี้กำลัง
วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง
อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการเลขชี้กำลัง

สาม . การตรวจสอบ การบ้าน(3 นาที)

นักเรียนในสถานที่ของพวกเขา ครูตรวจสอบคำตอบและถามวิธีแก้สมการเชิงสาธิตและอสมการ №228-231(คี่)

ฉันวี. อัพเดทองค์ความรู้เบื้องต้น "ระดมสมอง": (3 นาที)

คำถามที่พิมพ์ไว้บนโต๊ะทำงานของนักเรียนคือ "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมการ ความไม่เท่าเทียมกัน" และนักเรียนจะได้รับคำตอบด้วยวาจาทันที

1. ฟังก์ชันใดที่เรียกว่าเลขชี้กำลัง

2. ขอบเขตของฟังก์ชันคืออะไร y= 0,5x?

3. โดเมนของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร?

4. ขอบเขตของฟังก์ชันคืออะไร y= 0,5x?

5. ฟังก์ชันมีคุณสมบัติอะไรบ้าง?

6. ภายใต้เงื่อนไขใดที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้น?

7. ภายใต้เงื่อนไขใดที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลดลง?

8. การเพิ่มหรือลดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

9. สมการใดที่เรียกว่าเลขชี้กำลัง

การวินิจฉัยระดับการพัฒนาทักษะการปฏิบัติ

ภารกิจที่ 10 เขียนวิธีแก้ปัญหาลงในสมุดบันทึก (7 นาที)

10. รู้คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นและลดลง แก้อสมการ

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . แก้สมการ: 3 x = 1

12 . คำนวณ 7.8 0 ; 9.8 0

13 . ระบุวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังและแก้สมการ:

หลังจากเสร็จสิ้นทั้งคู่ก็เปลี่ยนใบ ฉันชื่นชมซึ่งกันและกัน เกณฑ์บนกระดาน การตรวจสอบกับบันทึกบนแผ่นงานในไฟล์

ดังนั้นเราจึงทำซ้ำคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง

ครูคัดเลือกและประเมินผลงานของนักเรียน 2-3 คน

    เวิร์คช็อปโซลูชั่น ระบบ สมการเลขชี้กำลังและอสมการ: (23 นาที)

พิจารณาคำตอบของระบบสมการเลขชี้กำลังและอสมการตามคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เมื่อแก้ระบบสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและอสมการ เทคนิคเดียวกันนี้จะใช้เหมือนกับการแก้ระบบสมการพีชคณิตและอสมการ (วิธีการแทน การบวก วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่) ในหลายกรณี ก่อนที่จะใช้วิธีการแก้ปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่งหรืออย่างอื่น จำเป็นต้องแปลงสมการ (อสมการ) ของระบบแต่ละสมการให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด

ตัวอย่าง.

1.

วิธีการแก้:

ตอบ: (-7; 3); (1; -1).

2.

วิธีการแก้:

หมายถึง2 X= คุณ 3 y= วี จากนั้นระบบจะเขียนดังนี้:

มาแก้ระบบนี้โดยใช้วิธีการทดแทนกัน:

สมการ 2 X= -2 ไม่มีคำตอบเพราะ -2<0, а 2 X> 0.

ข)

ตอบ: (2;1).

№244(1)

คำตอบ: 1.5; 2

    สรุป. การสะท้อน. (5 นาที)

สรุปบทเรียน: วันนี้เราได้ทำซ้ำและสรุปความรู้เกี่ยวกับวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังและความไม่เท่าเทียมกันที่มีอยู่ในระบบตามคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในทางกลับกัน เด็กได้รับเชิญให้ใช้วลีต่อไปนี้เพื่อเลือกและดำเนินการต่อวลี

การสะท้อน:

    วันนี้ฉันพบว่า...

    มันยาก…

    ฉันเข้าใจ…

    ฉันได้เรียนรู้...

    ฉันทำได้)…

    เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่รู้ว่า...

    ทำให้ฉันประหลาดใจ...

    ฉันต้องการ…

    การบ้าน. (2 นาที)

เลขที่ 240-242 (คี่) น.86

ในบทนี้ เราจะพิจารณาการแก้สมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนมากขึ้น ระลึกถึงบทบัญญัติทางทฤษฎีหลักเกี่ยวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

1. ความหมายและคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งเป็นเทคนิคในการแก้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

เรียกคืนคำจำกัดความและคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่ใช้การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการทั้งหมด

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันของรูปแบบ โดยที่ฐานคือดีกรี และที่นี่ x เป็นตัวแปรอิสระ อาร์กิวเมนต์ y - ตัวแปรตามฟังก์ชัน


ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟแสดงเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นและลดลง ซึ่งแสดงให้เห็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ฐานที่มากกว่าหนึ่งและน้อยกว่าหนึ่ง แต่มากกว่าศูนย์ตามลำดับ

เส้นโค้งทั้งสองผ่านจุด (0;1)

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

โดเมน: ;

ช่วงของค่า: ;

ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก เพิ่มขึ้นเป็น ลดลงเป็น

ฟังก์ชันโมโนโทนิกรับค่าแต่ละค่าด้วยค่าอาร์กิวเมนต์เดียว

เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากศูนย์ รวม เป็นบวกอินฟินิตี้ ในทางตรงกันข้าม เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้ ฟังก์ชันจะลดลงจากอนันต์เป็นศูนย์รวม

2. คำตอบของสมการเลขชี้กำลังทั่วไป

จำวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด การแก้ปัญหาของพวกเขาขึ้นอยู่กับความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนเกือบทั้งหมดถูกลดขนาดลงในสมการดังกล่าว

ความเท่าเทียมกันของเลขชี้กำลังที่มีฐานเท่ากันนั้นเกิดจากคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง กล่าวคือ ความซ้ำซากจำเจ

วิธีการแก้ปัญหา:

ปรับฐานขององศาให้เท่ากัน

เท่ากับเลขชี้กำลัง

ไปที่สมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนมากขึ้นกัน เป้าหมายของเราคือลดแต่ละสมการให้ง่ายที่สุด

กำจัดรากทางด้านซ้ายและลดองศาเป็นฐานเดียวกัน:

ในการที่จะลดสมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนให้กลายเป็นสมการง่าย ๆ มักจะใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

ลองใช้คุณสมบัติดีกรี:

เราแนะนำการแทนที่ ให้แล้ว

เราคูณสมการผลลัพธ์ด้วยสองและโอนเทอมทั้งหมดไปทางซ้าย:

รูทแรกไม่เป็นไปตามช่วงเวลาของค่า y เราทิ้งมันไป เราได้รับ:

ลองนำองศาไปที่ตัวบ่งชี้เดียวกัน:

เราแนะนำการแทนที่:

ให้แล้ว . ด้วยการแทนที่นี้ เห็นได้ชัดว่า y ใช้ค่าบวกอย่างเคร่งครัด เราได้รับ:

เรารู้วิธีแก้สมการกำลังสองที่คล้ายกัน เราเขียนคำตอบ:

เพื่อให้แน่ใจว่าพบรากอย่างถูกต้อง คุณสามารถตรวจสอบตามทฤษฎีบทเวียตา กล่าวคือ หาผลรวมของรากและผลิตภัณฑ์ของรากนั้น และตรวจสอบด้วยสัมประสิทธิ์ของสมการที่สอดคล้องกัน

เราได้รับ:

3. เทคนิคการแก้สมการเลขชี้กำลังเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง

ให้เราศึกษาประเภทสมการเลขชี้กำลังที่สำคัญดังต่อไปนี้:

สมการประเภทนี้เรียกว่าเอกพันธ์ของดีกรีที่สองเทียบกับฟังก์ชัน f และ g ทางด้านซ้ายมีไตรนามสี่เหลี่ยมเทียบกับ f ที่มีพารามิเตอร์ g หรือ trinomial สี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับ g ที่มีพารามิเตอร์ f

วิธีการแก้ปัญหา:

สมการนี้สามารถแก้เป็นสมการกำลังสองได้ แต่ทำในทางกลับกันง่ายกว่า ควรพิจารณาสองกรณี:

ในกรณีแรกเราได้รับ

ในกรณีที่สอง เรามีสิทธิ์หารด้วยระดับสูงสุด และเราจะได้รับ:

คุณควรแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เราจะได้สมการกำลังสองสำหรับ y:

โปรดทราบว่าฟังก์ชัน f และ g สามารถกำหนดได้เอง แต่เราสนใจในกรณีที่ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

4. ตัวอย่างการแก้สมการเอกพันธ์

ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางด้านซ้ายของสมการ:

เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้รับค่าบวกอย่างเคร่งครัด เรามีสิทธิ์ที่จะหารสมการทันทีด้วย โดยไม่คำนึงถึงกรณีที่:

เราได้รับ:

เราแนะนำการแทนที่: (ตามคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง)

เราได้สมการกำลังสอง:

เรากำหนดรากตามทฤษฎีบทเวียตา:

รูทแรกไม่เป็นไปตามช่วงเวลาของค่า y เราทิ้งมัน เราจะได้รับ:

ลองใช้คุณสมบัติของดีกรีและลดองศาทั้งหมดเป็นฐานง่าย ๆ :

ง่ายต่อการสังเกตฟังก์ชัน f และ g:

วิธีแก้ระบบสมการ

เริ่มต้นด้วย ให้เราจำสั้น ๆ ว่าโดยทั่วไปแล้ววิธีการแก้ระบบสมการมีอยู่อย่างไร

มีอยู่ สี่วิธีหลักคำตอบของระบบสมการ:

    วิธีการทดแทน: ใช้สมการใด ๆ เหล่านี้และแสดง $y$ ในรูปของ $x$ จากนั้น $y$ จะถูกแทนที่ในสมการของระบบจากตำแหน่งที่พบตัวแปร $x.$ หลังจากนั้นเราสามารถได้อย่างง่ายดาย คำนวณตัวแปร $y.$

    วิธีการบวก: ในวิธีนี้ สมการหนึ่งหรือทั้งสองสมการจะต้องคูณด้วยตัวเลข ดังนั้นเมื่อรวมทั้งสองเข้าด้วยกันแล้ว ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะ "หายไป"

    วิธีการแบบกราฟิก: แสดงสมการทั้งสองของระบบบน พิกัดเครื่องบินและหาจุดตัดของพวกมัน

    วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่: ในวิธีนี้ เราจะทำการแทนที่นิพจน์บางอย่างเพื่อทำให้ระบบง่ายขึ้น จากนั้นจึงใช้วิธีการใดวิธีหนึ่งข้างต้น

ระบบสมการเลขชี้กำลัง

คำจำกัดความ 1

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเลขชี้กำลังเรียกว่าระบบสมการเลขชี้กำลัง

เราจะพิจารณาการแก้ระบบสมการเลขชี้กำลังโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

แก้ระบบสมการ

รูปที่ 1

วิธีการแก้.

เราจะใช้วิธีแรกในการแก้ปัญหาระบบนี้ ขั้นแรก ให้แสดง $y$ ในสมการแรกในรูปของ $x$

รูปที่ 2

แทนที่ $y$ ในสมการที่สอง:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

ตอบ: $(-4,6)$.

ตัวอย่าง 2

แก้ระบบสมการ

รูปที่ 3

วิธีการแก้.

ระบบนี้เทียบเท่ากับระบบ

รูปที่ 4

เราใช้วิธีที่สี่ในการแก้สมการ ให้ $2^x=u\ (u >0)$ และ $3^y=v\ (v >0)$ เราได้รับ:

รูปที่ 5

เราแก้ระบบผลลัพธ์ด้วยวิธีการบวก มาบวกสมการกัน:

\ \

จากสมการที่สอง จะได้ว่า

เมื่อกลับไปที่การแทนที่ ฉันได้รับระบบสมการเลขชี้กำลังใหม่:

รูปที่ 6

เราได้รับ:

รูปที่ 7

ตอบ: $(0,1)$.

ระบบอสมการเลขชี้กำลัง

คำจำกัดความ 2

ระบบอสมการที่ประกอบด้วยสมการเลขชี้กำลังเรียกว่าระบบอสมการเลขชี้กำลัง

เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของระบบอสมการเลขชี้กำลังโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 3

แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน

รูปที่ 8

วิธีการแก้:

ระบบอสมการนี้เทียบเท่ากับระบบ

รูปที่ 9

ในการแก้อสมการแรก ให้ระลึกถึงทฤษฎีบทสมมูลต่อไปนี้สำหรับอสมการเลขชี้กำลัง:

ทฤษฎีบทที่ 1ความไม่เท่าเทียมกัน $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $ โดยที่ $a >0,a\ne 1$ เทียบเท่ากับชุดของสองระบบ

\}