Formulați definiția unui trunchi de con al elementelor sale. Frustum

Suprafata conica este suprafața formată de toate liniile drepte care trec prin fiecare punct al unei curbe date și un punct în afara curbei (Fig. 32).

Această curbă se numește ghid , Drept - formare , punct - top suprafata conica.

Suprafață conică circulară dreaptă este suprafața formată din toate liniile drepte care trec prin fiecare punct al unui cerc dat și un punct de pe o dreaptă care este perpendicular pe planul cercului și trece prin centrul acestuia. În cele ce urmează vom numi pe scurt această suprafață suprafata conica (Fig. 33).

Con (con circular drept ) este un corp geometric delimitat de o suprafață conică și un plan care este paralel cu planul cercului de ghidare (Fig. 34).

Orez. 32 Fig. 33 Fig. 34

Un con poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei axe care conține unul dintre catetele triunghiului.

Cercul care cuprinde un con se numește al său bază . Vârful unei suprafețe conice se numește top con Segmentul care leagă vârful unui con de centrul bazei sale se numește înălţime con Segmentele care formează o suprafață conică se numesc formare con Axă a unui con este o linie dreaptă care trece prin vârful conului și centrul bazei acestuia. Secțiune axială numită secțiunea care trece prin axa conului. Dezvoltarea suprafeței laterale Un con se numește sector, a cărui rază este egală cu lungimea generatricei conului, iar lungimea arcului sectorului este egală cu circumferința bazei conului.

Formulele corecte pentru un con sunt:

Unde R– raza bazei;

H- inaltimea;

l– lungimea generatricei;

S baza– suprafata de baza;

partea S

S plin

V– volumul conului.

Trunchi de con numită porțiunea conului cuprinsă între bază și planul de tăiere paralel cu baza conului (Fig. 35).

Un trunchi de con poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui trapez dreptunghiular în jurul unei axe care conține latura trapezului perpendiculară pe baze.

Cele două cercuri care înconjoară un con se numesc al acestuia motive . Înălţime a unui trunchi de con este distanța dintre bazele sale. Segmentele care formează suprafața conică a unui trunchi de con se numesc formare . O linie dreaptă care trece prin centrele bazelor se numește axă trunchi de con. Secțiune axială numită secțiunea care trece prin axa unui trunchi de con.

Pentru un trunchi de con formulele corecte sunt:

(8)

Unde R– raza bazei inferioare;

r– raza bazei superioare;

H– înălțimea, l – lungimea generatricei;

partea S– suprafata laterala;

S plin– suprafata totala;

V– volumul unui trunchi de con.

Exemplul 1. Secțiunea transversală a conului paralelă cu baza împarte înălțimea într-un raport de 1:3, numărând de sus. Aflați aria suprafeței laterale a unui trunchi de con dacă raza bazei și înălțimea conului sunt de 9 cm și 12 cm.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 36).

Pentru a calcula aria suprafeței laterale a unui trunchi de con, folosim formula (8). Să găsim razele bazelor Cam 1 AȘi Aproximativ 1 Vși formând AB.

Luați în considerare triunghiuri similare SO2BȘi SO 1 A, coeficientul de similitudine, atunci

De aici

De atunci

Suprafața laterală a unui trunchi de con este egală cu:

Răspuns: .

Exemplul 2. Un sfert de cerc de rază este pliat într-o suprafață conică. Aflați raza bazei și înălțimea conului.

Soluţie. Cadranul cercului este dezvoltarea suprafeței laterale a conului. Să notăm r– raza bazei sale, H –înălţime. Să calculăm aria suprafeței laterale folosind formula: . Este egal cu aria unui sfert de cerc: . Obținem o ecuație cu două necunoscute rȘi l(formând un con). În acest caz, generatoarea este egală cu raza sfertului de cerc R, ceea ce înseamnă că obținem următoarea ecuație: , de unde Cunoscând raza bazei și a generatorului, găsim înălțimea conului:

Răspuns: 2 cm, .

Exemplul 3. Un trapez dreptunghiular cu un unghi ascuțit de 45 O, o bază mai mică de 3 cm și o latură înclinată egală cu , se rotește în jurul unei laturi perpendiculare pe baze. Aflați volumul corpului de revoluție rezultat.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 37).

Ca rezultat al rotației, obținem un trunchi de con; pentru a-i găsi volumul, calculăm raza bazei și înălțimii mai mari. În trapez O 1 O 2 AB vom conduce AC^O 1 B. B avem: asta înseamnă că acest triunghi este isoscel A.C.=B.C.= 3 cm.

Răspuns:

Exemplul 4. Un triunghi cu laturile de 13 cm, 37 cm și 40 cm se rotește în jurul unei axe externe, care este paralelă cu latura mai mare și situată la o distanță de 3 cm de aceasta (axa este situată în planul triunghiului). Găsiți aria suprafeței corpului de rotație rezultat.

Soluţie . Să facem un desen (Fig. 38).

Suprafața corpului de revoluție rezultat este formată din suprafețele laterale a două trunchiuri de con și suprafața laterală a unui cilindru. Pentru a calcula aceste suprafețe este necesar să se cunoască razele bazelor conurilor și ale cilindrului ( FIȘi O.C.), formând conuri ( B.C.Și A.C.) și înălțimea cilindrului ( AB). Singura necunoscută este CO. aceasta este distanța de la latura triunghiului la axa de rotație. Vom găsi DC. Aria triunghiului ABC de pe o latură este egală cu produsul dintre jumătatea laturii AB și altitudinea trasă de aceasta DC, pe de altă parte, cunoscând toate laturile triunghiului, calculăm aria lui folosind formula lui Heron.

Introducere

Orez. 1. Obiecte din viață care au forma unui ko-nu-sa trunchiat

De unde crezi că provin figurile noi în geometrie? Totul este foarte simplu: o persoană în viață a devenit cu obiecte asemănătoare și vine, ca și cum le-ar fi numit. Să ne uităm la dulapul pe care stau leii din circ, o bucată de morcovi care se culeg când suntem aproape -o parte din el, un vulcan activ și, de exemplu, lumina din fo-na-ri- ka (vezi fig. 1).

Trunchi de con, elementele sale și secțiunea axială

Orez. 2. Geo-met-ri-che-fi-gu-ry

Vedem că toate aceste figuri au o formă similară - atât de jos, cât și de sus sunt delimitate de cercuri, dar se îngustează spre sus (vezi Fig. 2).

Orez. 3. Din partea superioară a co-nu-sa

Arată ca un con. Doar că nu este suficientă liniște. Ne imaginăm mental că luăm un con și scoatem partea superioară dintr-un singur leagăn al unei săbii ascuțite (vezi Fig. 3).

Orez. 4. Trunchi de con

Aceasta este exact figura noastră, se numește trunchi de con (vezi Fig. 4).

Orez. 5. Se-che-nie, paralel-os-no-va-niyu ko-nu-sa

Să fie dat un con. Să creăm un plan, un plan paralel al axei acestui co-nu-sa și un con transversal (vezi. Fig. 5).

Acesta va împărți conul în două corpuri: unul dintre ele este un con de dimensiuni mai mici, iar al doilea se numește trunchi de con (vezi Fig. 6).

Orez. 6. Corpuri obținute într-o secțiune paralelă

Astfel, un trunchi de con este o parte a conului, conectată între corpul său principal și corpul principal paralel, dar plat. Ca și în cazul unui con, un trunchi de con poate avea ca bază un cerc - în acest caz se numește cerc. Dacă conul original a fost drept, atunci trunchiul de con se numește drept. Ca și în cazul lui ko-nu-sa-mi, ne vom uita la chei, dar drept circular trunchiat ko-nu-s sy, dacă nu este indicat în mod expres că vorbim de un co-nu-se trunchiat indirect sau în baza lui nu există cercuri.

Orez. 7. Rotirea unei capcane dreptunghiulare

Tema noastră globală este corpurile de rotație. Un trunchi de con nu este o excepție! Să ne amintim că pentru a obține un co-nu-sa, smo-mat-ri-va-li un triunghi dreptunghiular și îl rotim în jurul lui ka-te-ta? Dacă conul rezultat este tăiat cu un plan paralel cu axa, atunci nu va mai rămâne nicio linie dreaptă din triunghiul -mo-coal-trape-tion. Rotirea sa în jurul părții mai mici ne va oferi un trunchi de con. Să remarcăm din nou că vorbim, evident, doar despre o co-nu-se circulară directă (vezi Fig. 7).

Orez. 8. Os-no-va-niya trunchiat-no-go ko-nu-sa

Voi face câteva pregătiri. Baza jumătății-ko-nu-sa și a cercului, jumătate-cha-yu-shay în secțiunea platului ko-nu-sa, pe-ei numesc os-no-va-ni-ya-mi trunchiat ko-nu-sa (inferior și superior) (vezi Fig. 8).

Orez. 9. Ob-ra-zu-yu-schi trunchiat ko-nu-sa

Din butașii ra-zu-yu-shih jumătate din co-nu-sa, conectate între os-but-va-ni-mi trunchiat-but- go ko-nu-sa, ei numesc despre-ra- zu-yu-schi-mi trunchiat-no-go ko-nu-sa. Deoarece toate rezultatele educaționale sunt egale și toate rezultatele educaționale sunt de la aceeași sunt egale, atunci ob-ra-zu-yu trunchiați co-nu-sa sunt egali (nu confundați trunchiul și trunchiatul!). De aici urmează egalitatea tra-pe-ției axei secțiunii (vezi Fig. 9).

Din axa de rotație, închisă în interiorul trunchiului co-nu-sa, ei o numesc axa trunchiului axei ko-nu-sa. Acest re-cut, ra-zu-me-et-sya, unește centrii fundamentelor sale (vezi Fig. 10).

Orez. 10. Axa ko-nu-sa trunchiată

You-so-ta trunchiat ko-nu-sa este un per-pen-di-ku-lyar, pro-ve-den din punctul unuia dintre os-no-vaniya la o altă bază. Cel mai adesea, în calitatea ta, i-ai trunchiat axa.

Orez. 11. Ose-voe se-che-nie trunchiat-no-go-ko-nu-sa

Secțiunea axială a unei co-nu-sa trunchiate este secțiunea care trece prin axa acesteia. Are forma unui trapez, puțin mai târziu îi vom arăta egalitatea (vezi Fig. 11).

Zone ale suprafețelor laterale și totale ale unui trunchi de con

Orez. 12. Con cu simboluri introduse

Să găsim zona bo-co-voy în partea de sus a trunchiului ko-nu-sa. Fie bazele trunchiului co-nu-sa să aibă raze și , iar ob-ra-zu-yu să fie egale (vezi Fig. 12).

Orez. 13. Desemnarea ob-ra-zu-yu-shchei din-se-chen-no-th ko-nu-sa

Să găsim zona bo-ko-voy deasupra co-nu-sa trunchiată ca diferență în zona bo-ko-voy pe partea de sus-dar-ste-khod-no-go ko-nu-sa și din-se-chen-no-go. Pentru a face acest lucru, notăm prin formarea ko-nu-sa (vezi Fig. 13).

Atunci este-ko-mai.

Orez. 14. Triunghiuri similare

Tot ce a mai rămas este să-ți dai seama.

Să observăm că de la po-do-biy tri-corn-ni-kov, de la-la-da (vezi Fig. 14).

S-ar putea exprima împărțind-o în diferența dintre raze, dar nu avem nevoie de asta, pentru că în expresie este tocmai fi- gu-ri-ru-et pro-iz-ve- de-nie. Înlocuind în loc de acesta, avem în sfârșit: .

Acum nu este dificil să obțineți o formă pentru o suprafață completă. Pentru a face acest lucru, adăugați exact aria celor două cercuri ale bazelor: .

Sarcină

Orez. 15. Ilu-stration to for-da-che

Lăsați trunchiul de con să fie rotit de o capcană dreptunghiulară în jurul înălțimii sale. Linia de mijloc a trapezului este egală cu , iar latura mai mare este egală cu (vezi Fig. 15). Găsiți zona bo-co-voy pe vârful-no-sti al trunchiului ko-nu-sa.

Soluţie

Din formula știm că .

Formarea ko-nu-sa va fi o mare tra-pe-tion de o sută de ro-on-going, adică Ra-di-u-sy ko- well-sa - aceasta este baza tra- pe-tion. Nu le putem găsi. Dar nu avem nevoie de el: avem nevoie doar de suma lor, iar suma bazelor unui trapez este de două ori mai mare decât linia mediană, adică este egală cu . Apoi .

Asemănări între conuri trunchiate și piramide

Atenție la faptul că atunci când vorbim despre co-nu-se, vorbim despre asta între el și pi -ra-mi-doy - formulele erau analoge. Este la fel și aici, deoarece un trunchi de con este foarte asemănător cu un trunchiat pi-ra-mi-du, deci formulele pentru zonă sunt mari și complete top-not-stey trunchiate ko-nu-sa și pi-ra-mi -dy (și în curând vor fi formule pentru volum) analog-lo-gic- us.

Sarcină

Orez. 1. Illu-strat-tion to for-da-che

Ra-di-u-sy os-no-va-niy use-chen-no-go ko-nu-sa sunt egale cu și , iar ob-ra-zu-yu-shchaya este egal cu . Găsiți co-nu-sa trunchiat și aria axei sale (vezi Fig. 1).

Care emană dintr-un punct (vârful conului) și care trec printr-o suprafață plană.

Se întâmplă ca un con să fie o parte a unui corp care are un volum limitat și se obține prin combinarea fiecărui segment care leagă vârful și punctele unei suprafețe plane. Acesta din urmă, în acest caz, este baza conului, iar conul se spune că se sprijină pe această bază.

Când baza unui con este un poligon, este deja piramidă .

Con circular- acesta este un corp format dintr-un cerc (baza conului), un punct care nu se află în planul acestui cerc (partea superioară a conului și toate segmentele care leagă vârful conului cu punctele baza). Se numesc segmentele care leagă vârful conului și punctele cercului de bază formând un con. Suprafața conului este formată dintr-o bază și o suprafață laterală.

Suprafața laterală este corectă n-o piramidă de carbon înscrisă într-un con:

S n =½P n l n,

Unde P n- perimetrul bazei piramidei, și l n- apotema.

După același principiu: pentru suprafața laterală a unui trunchi de con cu raze de bază R 1, R 2și formând l obținem următoarea formulă:

S=(R1 +R2)1.

Conuri circulare drepte și oblice cu bază și înălțime egale. Aceste corpuri au același volum:

Proprietățile unui con.

• Când aria bazei are o limită, înseamnă că și volumul conului are o limită și este egal cu a treia parte a produsului dintre înălțimea și aria bazei.

Unde S- suprafata de baza, H- înălțime.

Astfel, fiecare con care se sprijină pe această bază și are un vârf care este situat pe un plan paralel cu baza are volum egal, deoarece înălțimile lor sunt aceleași.

• Centrul de greutate al fiecărui con cu un volum având limită este situat la un sfert din înălțimea de la bază.
• Unghiul solid la vârful unui con circular drept poate fi exprimat prin următoarea formulă:

Unde α - unghi de deschidere a conului.

• Suprafața laterală a unui astfel de con, formula:

și suprafața totală (adică suma suprafețelor laterale și ale bazei), formula:

S=πR(l+R),

Unde R- raza bazei, l— lungimea generatricei.

• Volumul unui con circular, formula:

• Pentru un trunchi de con (nu doar drept sau circular), volum, formulă:

Unde S 1Și S 2- zona bazelor superioare și inferioare,

hȘi H- distante de la planul bazei superioare si inferioare pana la varf.

• Intersecția unui plan cu un con circular drept este una dintre secțiunile conice.

Geometria este o ramură a matematicii care studiază structurile din spațiu și relațiile dintre ele. La rândul său, este format și din secțiuni, iar una dintre ele este stereometria. Presupune studiul proprietăților figurilor tridimensionale situate în spațiu: cub, piramidă, bilă, con, cilindru etc.

Un con este un corp din spațiul euclidian care este delimitat de o suprafață conică și de planul pe care se află capetele generatoarelor sale. Formarea sa are loc în timpul rotației unui triunghi dreptunghic în jurul oricăruia dintre picioarele sale, deci aparține corpurilor de revoluție.

Componentele unui con

Există următoarele tipuri de conuri: oblice (sau înclinate) și drepte. Oblic este unul a cărui axă nu se intersectează cu centrul bazei sale în unghi drept. Din acest motiv, înălțimea unui astfel de con nu coincide cu axa, deoarece este un segment care este coborât din partea superioară a corpului până în planul bazei sale la un unghi de 90°.

Conul a cărui axă este perpendiculară pe baza sa se numește drept. Axa și înălțimea într-un astfel de corp geometric coincid datorită faptului că vârful din acesta este situat deasupra centrului diametrului bazei.

Conul este format din următoarele elemente:

1. Cercul care este baza lui.
2. Suprafata laterala.
3. Un punct care nu se află în planul bazei, numit vârful conului.
4. Segmente care leagă punctele cercului bazei unui corp geometric și vârful acestuia.

Toate aceste segmente sunt generatoare de con. Ele sunt înclinate spre baza corpului geometric, iar în cazul unui con drept, proiecțiile lor sunt egale, deoarece vârful este echidistant de punctele cercului bazei. Astfel, putem concluziona că într-un con regulat (drept) generatoarele sunt egale, adică au aceeași lungime și formează aceleași unghiuri cu axa (sau înălțimea) și baza.

Deoarece într-un corp de rotație oblic (sau înclinat), vârful este deplasat față de centrul planului de bază, generatoarele dintr-un astfel de corp au lungimi și proiecții diferite, deoarece fiecare dintre ei se află la o distanță diferită de oricare două puncte ale cercul bazei. În plus, unghiurile dintre ele și înălțimea conului vor fi și ele diferite.

Lungimea generatricelor într-un con drept

După cum am scris mai devreme, înălțimea într-un corp geometric drept de revoluție este perpendiculară pe planul bazei. Astfel, generatoarea, înălțimea și raza bazei creează un triunghi dreptunghic în con.

Adică, cunoscând raza și înălțimea bazei, folosind formula din teorema lui Pitagora, puteți calcula lungimea generatricei, care va fi egală cu suma pătratelor razei și înălțimii bazei:

l 2 = r 2 + h 2 sau l = √r 2 + h 2

unde l este generatorul;

r - raza;

h - înălțime.

Generator într-un con înclinat

Pe baza faptului că într-un con oblic sau înclinat generatoarele nu au aceeași lungime, nu se va putea calcula fără construcții și calcule suplimentare.

În primul rând, trebuie să cunoașteți înălțimea, lungimea axei și raza bazei.

r 1 = √k 2 - h 2

unde r 1 este partea de rază dintre axă și înălțime;

k - lungimea axei;

h - înălțime.

Ca urmare a adunării razei (r) și a părții sale situate între axă și înălțime (r 1), puteți afla generatoarea completă generată a conului, înălțimea acestuia și o parte din diametru:

unde R este catetul unui triunghi format din înălțimea, generatorul și o parte din diametrul bazei;

r - raza bazei;

r 1 - parte din raza dintre axă și înălțime.

Folosind aceeași formulă din teorema lui Pitagora, puteți găsi lungimea generatricei conului:

l = √h 2 + R 2

sau, fără a calcula separat R, combinați cele două formule într-una singură:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Indiferent dacă conul este drept sau oblic și care sunt datele de intrare, toate metodele de găsire a lungimii generatricei se reduc întotdeauna la un singur rezultat - utilizarea teoremei lui Pitagora.

Secțiune conică

Axial este un plan care trece de-a lungul axei sau înălțimii sale. Într-un con drept, o astfel de secțiune este un triunghi isoscel, în care înălțimea triunghiului este înălțimea corpului, laturile sale sunt generatoarele, iar baza este diametrul bazei. Într-un corp geometric echilateral, secțiunea axială este un triunghi echilateral, deoarece în acest con diametrul bazei și generatoarele sunt egale.

Planul secțiunii axiale într-un con drept este planul simetriei acestuia. Motivul pentru aceasta este că vârful său este situat deasupra centrului bazei sale, adică planul secțiunii axiale împarte conul în două părți identice.

Deoarece înălțimea și axa nu coincid într-un corp volumetric înclinat, planul de secțiune axială poate să nu includă înălțimea. Dacă se pot construi multe secțiuni axiale într-un astfel de con, deoarece pentru aceasta trebuie îndeplinită o singură condiție - trebuie să treacă numai prin axă, atunci secțiunea axială a planului căreia îi va aparține înălțimea acestui con poate fi trasată numai unul, deoarece numărul de condiții crește și, după cum se știe, două drepte (împreună) pot aparține unui singur plan.

Arie a secțiunii transversale

Secțiunea axială a conului menționată anterior este un triunghi. Pe baza acestui lucru, aria sa poate fi calculată folosind formula pentru aria unui triunghi:

S = 1/2 * d * h sau S = 1/2 * 2r * h

unde S este aria secțiunii transversale;

d - diametrul bazei;

r - raza;

h - înălțime.

Într-un con oblic sau înclinat, secțiunea transversală de-a lungul axei este, de asemenea, un triunghi, astfel încât aria secțiunii transversale din acesta este calculată într-un mod similar.

Volum

Deoarece un con este o figură tridimensională în spațiul tridimensional, volumul său poate fi calculat. Volumul unui con este un număr care caracterizează acest corp într-o unitate de volum, adică în m3. Calculul nu depinde dacă este drept sau oblic (oblic), deoarece formulele pentru aceste două tipuri de corpuri nu diferă.

După cum s-a menționat mai devreme, formarea unui con drept are loc datorită rotației unui triunghi dreptunghic de-a lungul unuia dintre picioarele sale. Un con înclinat sau oblic se formează diferit, deoarece înălțimea sa este deplasată de centrul planului bazei corpului. Cu toate acestea, astfel de diferențe de structură nu afectează metoda de calcul al volumului său.

Calculul volumului

Orice con arată astfel:

V = 1/3 * π * h * r 2

unde V este volumul conului;

h - înălțime;

r - raza;

π este o constantă egală cu 3,14.

Pentru a calcula înălțimea unui corp, trebuie să cunoașteți raza bazei și lungimea generatricei sale. Deoarece raza, înălțimea și generatorul sunt combinate într-un triunghi dreptunghic, înălțimea poate fi calculată folosind formula din teorema lui Pitagora (a 2 + b 2 = c 2 sau în cazul nostru h 2 + r 2 = l 2, unde l este generatorul). Înălțimea va fi calculată luând rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catet:

a = √c 2 - b 2

Adică, înălțimea conului va fi egală cu valoarea obținută după luarea rădăcinii pătrate a diferenței dintre pătratul lungimii generatricei și pătratul razei bazei:

h = √l 2 - r 2

Calculând înălțimea folosind această metodă și cunoscând raza bazei sale, puteți calcula volumul conului. Generatorul joacă un rol important în acest caz, deoarece servește ca element auxiliar în calcule.

În mod similar, dacă înălțimea unui corp și lungimea generatricei sale sunt cunoscute, se poate afla raza bazei sale luând rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratul generatricei și pătratul înălțimii:

r = √l 2 - h 2

Apoi, folosind aceeași formulă ca mai sus, calculați volumul conului.

Volumul unui con înclinat

Deoarece formula pentru volumul unui con este aceeași pentru toate tipurile de corpuri de rotație, diferența de calcul este căutarea înălțimii.

Pentru a afla înălțimea unui con înclinat, datele de intrare trebuie să includă lungimea generatricei, raza bazei și distanța dintre centrul bazei și intersecția înălțimii corpului cu planul. a bazei sale. Știind acest lucru, puteți calcula cu ușurință acea parte a diametrului bazei care va fi baza unui triunghi dreptunghic (format din înălțime, generatoare și planul bazei). Apoi, folosind din nou teorema lui Pitagora, calculați înălțimea conului și, ulterior, volumul acestuia.

Orez. 1. Obiecte din viață care au forma unui trunchi de con

De unde crezi că provin formele noi în geometrie? Totul este foarte simplu: o persoană întâlnește obiecte similare în viață și vine cu un nume pentru ele. Luați în considerare un stand pe care stau leii într-un circ, o bucată de morcov care se obține atunci când tăiem doar o parte din acesta, un vulcan activ și, de exemplu, lumina de la o lanternă (vezi Fig. 1).

Orez. 2. Forme geometrice

Vedem că toate aceste figuri au o formă similară - atât dedesubt, cât și de deasupra, sunt limitate de cercuri, dar se îngustează în sus (vezi Fig. 2).

Orez. 3. Tăierea vârfului conului

Arată ca un con. Pur și simplu lipsește vârful. Să ne imaginăm mental că luăm un con și tăiem partea superioară a acestuia cu o leagăn de sabie ascuțită (vezi Fig. 3).

Orez. 4. Trunchi de con

Rezultatul este exact figura noastră, se numește trunchi de con (vezi Fig. 4).

Orez. 5. Secțiune paralelă cu baza conului

Să fie dat un con. Să desenăm un plan paralel cu planul bazei acestui con și care intersectează conul (vezi Fig. 5).

Acesta va împărți conul în două corpuri: unul dintre ele este un con mai mic, iar al doilea se numește trunchi de con (vezi Fig. 6).

Orez. 6. Corpurile rezultate cu secțiune paralelă

Astfel, un trunchi de con este o parte a unui con închis între baza sa și un plan paralel cu bază. Ca și în cazul unui con, un trunchi de con poate avea la bază un cerc, caz în care se numește circular. Dacă conul original a fost drept, atunci trunchiul de con se numește drept. Ca și în cazul conurilor, vom considera exclusiv trunchiurile circulare drepte, cu excepția cazului în care se precizează în mod expres că vorbim despre un trunchi de con indirect sau bazele sale nu sunt cercuri.

Orez. 7. Rotirea unui trapez dreptunghiular

Subiectul nostru global este corpurile revoluției. Trunchiul de con nu face excepție! Să ne amintim că pentru a obține un con am considerat un triunghi dreptunghic și l-am rotit în jurul unui picior? Dacă conul rezultat este intersectat de un plan paralel cu baza, atunci triunghiul va rămâne un trapez dreptunghiular. Rotirea sa în jurul părții mai mici ne va oferi un trunchi de con. Să remarcăm din nou că, desigur, vorbim doar despre un con circular drept (vezi Fig. 7).

Orez. 8. Bazele unui trunchi de con

Să facem câteva comentarii. Baza unui con complet și cercul rezultat dintr-o secțiune a conului de către un plan se numesc bazele unui trunchi de con (inferior și superior) (vezi Fig. 8).

Orez. 9. Generatoare de trunchi de con

Segmentele generatoarelor unui con complet, închise între bazele unui trunchi de con, se numesc generatoare ale unui trunchi de con. Deoarece toți generatorii conului inițial sunt egali și toți generatorii conului tăiat sunt egali, atunci generatorii conului trunchiat sunt egali (nu confundați cel tăiat cu cel trunchiat!). Aceasta implică faptul că secțiunea axială a trapezului este isoscelă (vezi Fig. 9).

Segmentul axei de rotație închis în interiorul unui trunchi de con se numește axa trunchiului de con. Acest segment, desigur, conectează centrele bazelor sale (vezi Fig. 10).

Orez. 10. Axa unui trunchi de con

Înălțimea unui trunchi de con este o perpendiculară trasată dintr-un punct al uneia dintre baze la cealaltă bază. Cel mai adesea, înălțimea unui trunchi de con este considerată a fi axa acestuia.

Orez. 11. Secțiune axială a unui trunchi de con

Secțiunea axială a unui trunchi de con este secțiunea care trece prin axa acestuia. Are forma unui trapez, puțin mai târziu vom demonstra că este isoscel (vezi Fig. 11).

Orez. 12. Con cu notații introduse

Să găsim aria suprafeței laterale a trunchiului de con. Fie bazele trunchiului de con să aibă raze și , iar generatoarea să fie egală (vezi Fig. 12).

Orez. 13. Desemnarea generatricei conului tăiat

Să găsim aria suprafeței laterale a trunchiului de con ca diferență între zonele suprafețelor laterale ale conului original și cea tăiată. Pentru a face acest lucru, să notăm prin generatoarea conului tăiat (vezi Fig. 13).

Atunci ce cauți.

Orez. 14. Triunghiuri similare

Tot ce rămâne este de exprimat.

Rețineți că din asemănarea triunghiurilor, de unde (vezi Fig. 14).

S-ar putea exprima , împărțind la diferența razelor, dar nu avem nevoie de asta, deoarece produsul pe care îl căutăm apare în expresia pe care o căutăm. Înlocuind , avem în sfârșit: .

Acum este ușor să obțineți o formulă pentru suprafața totală. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să adăugați aria celor două cercuri ale bazelor: .

Orez. 15. Ilustrație pentru problema

Să se obțină un trunchi de con prin rotirea unui trapez dreptunghiular în jurul înălțimii sale. Linia de mijloc a trapezului este egală cu , iar latura laterală mare este egală cu (vezi Fig. 15). Găsiți aria suprafeței laterale a trunchiului de con rezultat.

Soluţie

Din formula știm că .

Generatoarea conului va fi partea mai mare a trapezului original, adică razele conului sunt bazele trapezului. Nu le putem găsi. Dar nu avem nevoie de el: avem nevoie doar de suma lor, iar suma bazelor unui trapez este de două ori mai mare decât linia mediană, adică este egală cu . Apoi .

Vă rugăm să rețineți că atunci când am vorbit despre con, am făcut paralele între acesta și piramidă - formulele erau similare. La fel este și aici, deoarece un trunchi de con este foarte asemănător cu o trunchi de piramidă, deci formulele pentru zonele suprafețelor laterale și totale ale unui trunchi de con și piramidei (și în curând vor exista formule pentru volum) sunt similare.

Orez. 1. Ilustrație pentru problema

Razele bazelor trunchiului de con sunt egale cu și , iar generatoarea este egală cu . Găsiți înălțimea trunchiului de con și aria secțiunii sale axiale (vezi Fig. 1).