Construcția curbelor de model se realizează după cum urmează:

În primul rând, punctele aparținând curbei sunt determinate și apoi conectate folosind un model. Curbele de tipar includ așa-numitele secțiuni conice ale unei parabole, hiperbole, elipse obținute prin tăierea unui con circular cu un plan, evolventă, sinusoidă și altele

1. Construcția unei elipse.

2. Focalizare elipsă

3. Construirea unei parabole

6. Desenarea curbelor modelului.

O elipsă este o secțiune conică care aparține așa-numitelor curbe de model. Elipsa, hiperbola și parabola se obțin prin tăierea unui con circular cu un plan, sinusoid, evolvent și alte curbe.

Figura 41. Intersecția unui con cu un plan de-a lungul unei elipse (a) și a unei elipse (b).

Pentru a construi curbe de tipar (parabolă, elipsă, hiperbolă), se determină punctele care aparțin curbei și apoi toate punctele sunt conectate folosind un model. În cazul în care suprafața unui con circular este tăiată cu un plan înclinat -P, astfel încât planul înclinat intersectează toate generatoarele conului circular, atunci se formează o elipsă în planul de secțiune în sine (vezi Figura 41, a ).

O elipsă este o curbă plată închisă în care suma distanțelor fiecăruia dintre punctele sale - M la două puncte date F1 și F2 - este o valoare constantă. Această valoare constantă este egală cu axa majoră a elipsei MF1 + MF2 = AB Axa minoră a elipsei CD și axa majoră AB sunt reciproc perpendiculare și o axă o împarte pe cealaltă în jumătate.

Figura 42. Construcția unei elipse de-a lungul axelor


Astfel, axele împart curba elipsei în patru părți egale simetrice pe perechi. Dacă de la capetele axei minore CD, ca de la centre, descriem un arc de cerc cu raza egală cu jumătate din axa majoră a elipsei R=OA=OB, atunci o va intersecta în punctele F1 și F2. , care se numesc focare.

Figura 42 prezintă un exemplu de construcție a unei elipse de-a lungul axelor sale Pe axele AB și CD date, ca și pe diametre, construim două cercuri concentrice cu centrul în punctul O. Împărțim cercul mare într-un număr arbitrar de părți și conectăm. punctele rezultate cu linii drepte spre centrul O.

Din punctele de intersecție 1; 2; 3; 4; cu cercuri auxiliare desenăm segmente de linii orizontale și verticale până când acestea se intersectează în punctele E, F, K, M, care aparțin elipsei. Apoi, folosind un model, punctele construite ale unei curbe netede sunt conectate și rezultatul este o elipsă.

Construcția curbelor modelului, parabolă

Figura 43. Intersecția unui con cu un plan de-a lungul unei parabole. Construirea unei parabole folosind focus și directrix.

Dacă tăiați un con circular paralel cu una dintre generatricele sale cu un plan înclinat P, atunci se formează o parabolă în planul secțiunii (vezi Figura 43 a). Fiecare punct al parabolei este situat de la linia dreaptă dată -MN și de la focar -F la aceeași distanță.

Linia dreaptă MN este un ghid și este situată perpendicular pe axa parabolei Între ghidajul -MN și focarul -F, vârful parabolei A este situat chiar în mijloc pentru a construi o parabolă focalizare și un ghid dat, prin punctul de focalizare -F, desenați axa parabolei -X, ghidaj perpendicular -MN.

Împărțiți segmentul-EF în jumătate și obțineți vârful parabolei-A De la vârful parabolei la o distanță arbitrară, trageți linii drepte perpendiculare pe axa parabolei. Din punctul -F cu o rază egală cu distanța -L, de la linia dreaptă corespunzătoare la ghidaj, de exemplu CB, facem o linie dreaptă către aceasta. În acest caz, punctele C și B.

După ce am construit astfel mai multe perechi de puncte simetrice, tragem o curbă netedă prin ele folosind un model. Figura (43 c) prezintă un exemplu de construire a unei parabole tangente la două drepte OA și OB în punctele A și B. Segmentele OA și OB sunt împărțite în același număr de părți egale (de exemplu, împărțite în opt). După aceasta, punctele de împărțire rezultate sunt numerotate și conectate prin linii drepte 1-1; 2-2; 3-3 (vezi Figura 43, c) și așa mai departe. Aceste linii sunt tangente la curba parabolică. O curbă de parabolă tangentă netedă este apoi înscrisă în conturul format de liniile drepte.

Dacă tăiați conurile directe și inverse cu un plan paralel cu cele două generatrice ale sale sau, într-un caz particular, paralel cu axa, atunci în planul de secțiune veți obține o hiperbolă formată din două ramuri simetrice (vezi Figura 45, a) .

Figura 45. Intersecția unui con cu un plan de-a lungul unei hiperbole (a) și construcția unei hiperbole (b).

O hiperbolă (Figura 45,b) este o curbă plată în care diferența de distanțe de la fiecare dintre punctele sale la două puncte date F1 și F2, numite focare, este o valoare constantă și egală cu distanța dintre vârfurile sale a și b, de exemplu SF1-SF2=ab. O hiperbolă are două axe de simetrie - AB real și CD imaginar.

Două drepte KL și K1 L1 care trec prin centrul O al hiperbolei și ating ramurile acesteia la infinit se numesc asimptote. O hiperbolă poate fi construită din vârfurile date a și b și focarele F1 și F2. Determinăm vârfurile hiperbolei prin înscrierea unui dreptunghi într-un cerc construit la distanța focală (segmentul F1 și F2), ca pe diametru.

Pe axa reală AB din dreapta focarului F2 notăm arbitrar 1, 2, 3, 4, ... Din focarele F1 și F2 desenăm arce de cerc, mai întâi cu raza a-1, apoi b-1 până intersecție reciprocă de ambele părți ale axei reale a hiperbolei. În continuare, vom efectua intersecția reciprocă a următoarei perechi de arce cu raze a-2 și b-2 (punctul S) și așa mai departe.

Punctele de intersecție rezultate ale arcelor aparțin ramurii drepte a hiperbolei. Punctele ramurii stângi vor fi simetrice cu punctele construite în raport cu axa imaginară CD.

O sinusoidă este proiecția traiectoriei unui punct care se deplasează de-a lungul unei spirale cilindrice pe un plan paralel cu axa cilindrului. Mișcarea unui punct constă dintr-o mișcare uniform de rotație (în jurul axei cilindrului) și o mișcare uniform de translație (paralelă cu cilindrul).

Figura 46. Construcția unei sinusoide

O undă sinusoidală este o curbă plată care arată modificarea funcției sinusoidale trigonometrice în funcție de modificarea mărimii unghiului. pentru a construi o sinusoidă (Figura 46), prin centrul O al unui cerc cu diametrul D, se trasează o linie dreaptă OX și se trasează pe ea un segment O1 A egal cu lungimea cercului π D. Împărțim acest segment și cerc în același număr de părți egale. Din punctele obținute și numerotate tragem drepte reciproc perpendiculare. Vom conecta punctele de intersecție rezultate ale acestor linii folosind un model de curbă netedă.

Desenarea curbelor modelului

Curbele de tipar sunt construite prin puncte. Aceste puncte sunt conectate folosind modele, mai întâi desenând o curbă manual cu mâna. Principiul conectării punctelor individuale ale unei curbe este următorul:

Selectăm acea parte a arcului de model care coincide cel mai bine cu cel mai mare număr de puncte ale curbei conturate. În continuare, nu vom desena întregul arc al curbei care coincide cu modelul, ci doar partea din mijloc a acestuia. După aceasta, vom selecta o altă parte a modelului, dar astfel încât această parte să atingă aproximativ o treime din curba desenată și cel puțin două puncte ulterioare ale curbei și așa mai departe. Acest lucru asigură o tranziție lină între arcurile individuale ale curbei.

Îți RECOMANDĂM să repostezi articolul pe rețelele de socializare!

Construcția unei elipse

O elipsă este o curbă convexă plată închisă, suma distanțelor fiecărui punct dintre care la două puncte date, numite focare, situate pe axa majoră este constantă și egală cu lungimea axei majore. Construcția unui oval de-a lungul a două axe (Figura 23) se realizează după cum urmează:

• - traseaza linii axiale pe care se aseaza simetric segmentele AB si CD, egale cu axele majore si minore ale elipsei, fata de punctul de intersectie O;
• - construiți două cercuri cu raze egale cu jumătate din axele elipsei cu centrul în punctul de intersecție al axelor;
• - împarte cercul în douăsprezece părți egale. Împărțirea cercului se realizează așa cum se arată în paragraful 2.3;
• -prin punctele obtinute se traseaza raze de diametru;
• - se trasează drepte din punctele de intersecție a razelor cu cercurile corespunzătoare paralele cu axele elipsei până se intersectează în punctele situate pe elipsă;
• - punctele rezultate sunt conectate printr-o linie curbă netedă folosind modele. Când construiți o linie de curbă a modelului, este necesar să selectați și să poziționați modelul astfel încât să fie conectate cel puțin patru până la cinci puncte.

Există și alte moduri de a construi o elipsă.

Construirea unei parabole

O parabolă este o linie curbă plată, fiecare punct al cărei punct este echidistant de directricea DD 1 - o linie dreaptă perpendiculară pe axa de simetrie a parabolei și de la focarul F, un punct situat pe axa de simetrie. Distanța KF dintre directrice și focalizare se numește parametru parabolă p.

Figura 24 prezintă un exemplu de desenare a unei parabole de-a lungul vârfului O, a axei OK și a coardei CD. Construcția se realizează după cum urmează:

• - trageți o linie dreaptă orizontală pe care se marchează vârful O și se trasează axa OK;
• - prin punctul K se trasează o perpendiculară pe care se trasează simetric în sus și în jos lungimea coardei parabolei;
• - construiește un dreptunghi ABCD, în care o latură este egală cu axa și cealaltă egală cu coarda parabolei;
• - latura BC se împarte în mai multe părți egale, iar segmentul KC în același număr de părți egale;
• - din vârful parabolei O se trasează raze prin punctele 1, 2 etc., iar prin punctele 1 1, 2 1 etc.;
• - se trasează drepte paralele cu axele și se determină punctele de intersecție a razelor cu liniile paralele corespunzătoare, de exemplu, punctul de intersecție al razei O1 cu dreapta O1 1, care aparține parabolei;
• - punctele rezultate sunt conectate printr-o linie curbă netedă sub model. A doua ramură a parabolei este construită într-un mod similar.

Există și alte moduri de a construi o parabolă.

Cum se construiește o parabolă? Există mai multe moduri de a reprezenta grafic o funcție pătratică. Fiecare dintre ele are argumentele sale pro și contra. Să luăm în considerare două moduri.

Să începem prin a reprezenta o funcție pătratică de forma y=x²+bx+c și y= -x²+bx+c.

Exemplu.

Reprezentați grafic funcția y=x²+2x-3.

Soluţie:

y=x²+2x-3 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus. Coordonatele vârfurilor parabolei

Din vârful (-1;-4) construim un grafic al parabolei y=x² (ca de la originea coordonatelor. În loc de (0;0) - vârful (-1;-4). Din (-1; -4) mergem la dreapta cu 1 unitate și în sus cu 1 unitate, apoi la stânga cu 1 și în sus cu 1: 2 - dreapta, 4 - sus, 2 - stânga, 4 - sus; sus, 3 - stânga, 9 - sus Dacă aceste 7 puncte nu sunt suficiente, atunci 4 la dreapta, 16 la sus etc.).

Graficul funcției pătratice y= -x²+bx+c este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos. Pentru a construi un grafic, căutăm coordonatele vârfului și din acesta construim o parabolă y= -x².

Exemplu.

Reprezentați grafic funcția y= -x²+2x+8.

Soluţie:

y= -x²+2x+8 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramurile în jos. Coordonatele vârfurilor parabolei

Din partea de sus construim o parabolă y= -x² (1 - la dreapta, 1- jos; 1 - stânga, 1 - jos; 2 - dreapta, 4 - jos; 2 - stânga, 4 - jos, etc.):

Această metodă vă permite să construiți rapid o parabolă și nu provoacă dificultăți dacă știți să reprezentați grafic funcțiile y=x² și y= -x². Dezavantaj: dacă coordonatele vârfului sunt numere fracționale, nu este foarte convenabil să construiești un grafic. Dacă trebuie să cunoașteți valorile exacte ale punctelor de intersecție ale graficului cu axa Ox, va trebui să rezolvați suplimentar ecuația x²+bx+c=0 (sau -x²+bx+c=0), chiar dacă aceste puncte pot fi determinate direct din desen.

O altă modalitate de a construi o parabolă este prin puncte, adică puteți găsi mai multe puncte pe grafic și puteți trasa o parabolă prin ele (ținând cont că dreapta x=xₒ este axa ei de simetrie). De obicei, pentru aceasta iau vârful parabolei, punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate și 1-2 puncte suplimentare.

Desenați un grafic al funcției y=x²+5x+4.

Soluţie:

y=x²+5x+4 este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus. Coordonatele vârfurilor parabolei

adică vârful parabolei este punctul (-2,5; -2,25).

Cauta . În punctul de intersecție cu axa Ox y=0: x²+5x+4=0. Rădăcinile ecuației pătratice x1=-1, x2=-4, adică avem două puncte pe grafic (-1; 0) și (-4; 0).

În punctul de intersecție a graficului cu axa Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Am obținut punctul (0; 4).

Pentru a clarifica graficul, puteți găsi un punct suplimentar. Să luăm x=1, atunci y=1²+5∙1+4=10, adică un alt punct de pe grafic este (1; 10). Marcam aceste puncte pe planul de coordonate. Ținând cont de simetria parabolei față de dreapta care trece prin vârful ei, mai notăm două puncte: (-5; 6) și (-6; 10) și trasăm o parabolă prin ele:

Reprezentați grafic funcția y= -x²-3x.

Soluţie:

y= -x²-3x este o funcție pătratică. Graficul este o parabolă cu ramurile în jos. Coordonatele vârfurilor parabolei

Vârful (-1,5; 2,25) este primul punct al parabolei.

În punctele de intersecție ale graficului cu axa x y=0, adică rezolvăm ecuația -x²-3x=0. Rădăcinile sale sunt x=0 și x=-3, adică (0;0) și (-3;0) - încă două puncte pe grafic. Punctul (o; 0) este și punctul de intersecție al parabolei cu axa ordonatelor.

La x=1 y=-1²-3∙1=-4, adică (1; -4) este un punct suplimentar pentru trasare.

Construirea unei parabole din puncte este o metodă care necesită mai multă muncă în comparație cu prima. Dacă parabola nu intersectează axa Ox, vor fi necesare mai multe puncte suplimentare.

Înainte de a continua să construim grafice ale funcțiilor pătratice de forma y=ax²+bx+c, să luăm în considerare construcția graficelor de funcții folosind transformări geometrice. De asemenea, este cel mai convenabil să construiți grafice ale funcțiilor de forma y=x²+c folosind una dintre aceste transformări - translația paralelă.

Categorie: |

Construirea unei parabole este una dintre cele mai cunoscute operații matematice. Destul de des este folosit nu numai în scopuri științifice, ci și în scopuri pur practice. Să aflăm cum să efectuați această procedură folosind instrumentele aplicației Excel.

O parabolă este graficul unei funcții pătratice de următorul tip f(x)=ax^2+bx+c. Una dintre proprietățile sale remarcabile este faptul că o parabolă are forma unei figuri simetrice constând dintr-un set de puncte echidistante de directrice. În general, construirea unei parabole în Excel nu este mult diferită de construirea oricărui alt grafic din acest program.

Crearea unui tabel

În primul rând, înainte de a începe să construiți o parabolă, ar trebui să construiți un tabel pe baza căruia va fi creată. De exemplu, să luăm construcția unui grafic al unei funcții f(x)=2x^2+7.

Trasarea unui grafic

După cum am menționat mai sus, acum trebuie să construim graficul în sine.

Editarea unei diagrame

Acum puteți edita ușor graficul rezultat.

În plus, puteți efectua orice alte tipuri de editare a parabolei rezultate, inclusiv schimbarea numelui acesteia și a numelor axelor. Aceste tehnici de editare nu depășesc scopul lucrului în Excel cu alte tipuri de diagrame.

După cum puteți vedea, construirea unei parabole în Excel nu este fundamental diferită de construirea unui alt tip de grafic sau diagramă în același program. Toate acțiunile sunt efectuate pe baza unui tabel pre-generat. În plus, trebuie să țineți cont de faptul că diagrama de împrăștiere este cea mai potrivită pentru construirea unei parabole.

Elipsă. Dacă tăiați suprafața unui con circular cu un plan înclinat R astfel încât să-și intersecteze toate generatoarele, atunci se va obține o elipsă în planul de secțiune (Figura 65).

Figura 65

Elipsă(Figura 66) – o curbă plată închisă în care suma distanțelor de la oricare dintre punctele sale (de exemplu, de la un punct M ) până la două puncte date F 1 Și F 2 – focarele elipsei – există o valoare constantă egală cu lungimea axei sale majore AB (De exemplu, F 1 M + F 2 M = AB ).Segment de linie AB se numește axa majoră a elipsei, iar segmentul CD – axa sa minoră. Axele elipsei se intersectează în punct O- centrul elipsei, iar dimensiunea acesteia determină lungimile axelor majore și minore. Puncte F 1 Și F 2 situat pe axa mare AB simetric fata de punct O și sunt îndepărtate de la capetele axei minore (puncte CU Și D ) la o distanță egală cu jumătate din axa majoră a elipsei .

Figura 66

Există mai multe moduri de a construi o elipsă. Cel mai simplu mod este să construiți o elipsă de-a lungul celor două axe ale sale folosind cercuri auxiliare (Figura 67). În acest caz, este specificat centrul elipsei - punctul O iar prin el sunt trasate două drepte reciproc perpendiculare (Figura 67, a). Din punct de vedere DESPRE descrie două cercuri cu raze egale cu jumătate din axele majore și minore. Cercul mare este împărțit în 12 părți egale, iar punctele de diviziune sunt conectate la punct DESPRE . Liniile desenate vor împărți și cercul mai mic în 12 părți egale. Apoi, linii orizontale (sau linii drepte paralele cu axa majoră a elipsei) sunt trasate prin punctele de divizare ale cercului mai mic, iar linii verticale (sau linii drepte paralele cu axa mică a elipsei) sunt trase prin punctele de diviziune. a cercului mai mare. Punctele de intersecție a acestora (de exemplu, punctul M ) aparțin elipsei. Prin conectarea punctelor rezultate cu o curbă netedă, se obține o elipsă (Figura 67, b).

Figura 67

Parabolă. Dacă un con circular este tăiat de un plan R , paralel cu una dintre generatricele sale, atunci se va obține o parabolă în planul de secțiune (Figura 68).

Figura 68

Parabolă(Figura 69) – o curbă plată, fiecare punct al cărei punct este la aceeași distanță de o linie dreaptă dată DD 1 , numit directoare, și puncte F – focarul unei parabole. De exemplu, pentru un punct M segmente MN (distanta pana la directoare) si M.F. (distanța până la focalizare) sunt egale, adică MN = M.F. .

O parabolă are forma unei curbe deschise cu o axă de simetrie, care trece prin focarul parabolei - punctul F și este situat perpendicular pe director DD 1 .Acurate A , situată în mijlocul segmentului DE , numit vârful parabolei. Distanța de la focalizare la directrice - segment DE = 2´OA – notat printr-o literă R si suna parametrul parabolei. Cu cât parametrul este mai mare R , cu atât ramurile parabolei se îndepărtează mai puternic de axa acesteia. Un segment închis între două puncte ale unei parabole situate simetric față de axa parabolei se numește coardă(de exemplu, acord MK ).

Figura 69

Construirea unei parabole din directricea ei DD 1 și focalizarea F(Figura 70, a) . Prin punct F trageți axa parabolei perpendiculară pe directrice până când intersectează directricea în punctul DESPRE. Segment de linie DE = p împărțiți în jumătate și obțineți un punct A - vârful parabolei. Pe axa parabolei punctuale A stabiliți mai multe secțiuni care cresc treptat. Prin puncte de divizare 1, 2, 3 aceasta. D. trage linii drepte paralele cu directricea. Luând focarul parabolei ca centru, ei descriu arce cu o rază R1 =L1 1 ,rază R2 = L2 până când intersectează o dreaptă printr-un punct 2 , etc. Punctele rezultate aparțin parabolei. Mai întâi, acestea sunt conectate manual printr-o linie subțire netedă, apoi trasate de-a lungul modelului.

Construcția unei parabole de-a lungul axei sale, vârfului A și punctului intermediar M(Figura 70, b).Prin vârf A trageți o dreaptă perpendiculară pe axa parabolei și prin punct M – linie dreaptă paralelă cu axa. Ambele linii se intersectează într-un punct B . Segmente AB Și B.M. sunt împărțite în același număr de părți egale, iar punctele de împărțire sunt numerotate în direcțiile indicate de săgeți. Prin vârf A și puncte 1 , 2 , 3 , 4 conduc razele, iar din puncte eu , II , III ,IV – drepte paralele cu axa parabolei. La intersecția dreptelor marcate cu același număr, există puncte aparținând parabolei. Ambele ramuri ale parabolei sunt aceleași, așa că cealaltă ramură este construită simetric față de prima folosind acorduri.

Figura 70

Construcția unei parabole tangente la două drepte OA și OB în punctele A și B date pe acestea(Figura 71, b). Segmente O.A. Și OB împărțit în același număr de părți egale (de exemplu, în 8 părți). Punctele de împărțire rezultate sunt numerotate și punctele cu același nume sunt legate prin linii drepte. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 etc . d . Aceste linii sunt tangente la curba parabolică. Apoi, o curbă tangentă netedă – o parabolă – este înscrisă în conturul format de liniile drepte. .

Figura 71

Hiperbolă. Dacă tăiați conurile directe și inverse cu un plan paralel cu cele două generatrice ale sale sau, într-un caz particular, paralel cu axa, atunci în planul de secțiune veți obține o hiperbolă formată din două ramuri simetrice (Figura 72, a).

Hiperbolă(Figura 72, b) se numește curbă plană deschisă, care este un set de puncte, diferența de distanțe de la două puncte date fiind o valoare constantă.

Figura 72

Puncte constante F 1 Și F 2 sunt numite trucuri , iar distanța dintre ele este distanta focala . Segmente de linie ( F 1 M Și F 2 M ), conectarea oricărui punct ( M ) curba cu focare se numesc vectori cu rază hiperbole . Diferența dintre distanțele de punct și focalizare F 1 Și F 2 este o valoare constantă și egală cu distanța dintre vârfuri A Și b hiperbolă; de exemplu, pentru un punct M vom avea: F 1 M -F 2 M = ab. O hiperbolă este formată din două ramuri deschise și are două axe reciproc perpendiculare - valabil AB Și imaginar CD. Direct pq Și rs, trecând prin centru O ,sunt numite asimptote .

Construirea unei hiperbole folosind aceste asimptote pq Și rs, trucuri F 1 Și F 2 prezentat în Figura 72, b.

Axa reală AB o hiperbola este bisectoarea unghiului format de asimptote. Axa imaginară CD perpendicular AB și trece prin punct DESPRE. A avea trucuri F 1 Și F2, definiți vârfurile A Și b hiperbole, de ce pe un segment F 1 F 2 construiți un semicerc care intersectează asimptotele în puncte m Și P. Din aceste puncte, perpendicularele sunt coborâte pe axă AB iar la intersecția cu acesta obținem vârfuri A Și b hiperbolă.

Pentru a construi ramura dreaptă a unei hiperbole pe o linie AB în dreapta focalizării F 1 marca puncte arbitrare 1 , 2 , 3 , ..., 5. Puncte V Și V1 hiperbole se obțin dacă luăm segmentul a5 dincolo de rază și din punct F2 trageți un arc de cerc, care este marcat din punct F 1, raza egala cu b5. Punctele rămase ale hiperbolei sunt construite prin analogie cu cele descrise.

Uneori trebuie să construiți o hiperbolă ale cărei asimptote OH Și OY reciproc perpendicular (Figura 73). În acest caz, axele reale și imaginare vor fi bis Cu ectrice de unghi drept. Pentru a construi, unul dintre punctele hiperbolei este specificat, de exemplu, punctul A.

Figura 73

Prin punct A efectuează direct AK Și A.M. , paralel cu axele Oh Și ou .Din punct O re Cu concepte despre Cu ii dau direct Cu linii drepte A.M. Și AK la puncte 1 , 2 , 3 , 4 Și 1" , 2" , 3" , 4" . În continuare, segmentele verticale și orizontale sunt desenate din punctele de intersecție cu aceste linii până când se intersectează în punctele respective. I, II, III, IV etc. Punctele rezultate ale hiperbolei sunt conectate folosind un model . Puncte 1, 2, 3, 4 situate pe o linie verticală sunt luate în mod arbitrar .

Involuta unui cerc sau dezvoltarea unui cerc. Involuta unui cerc se numește curbă plată care este descrisă de fiecare punct al unei drepte dacă această linie dreaptă este rostogolită fără alunecare de-a lungul unui cerc staționar (traiectoria punctelor unui cerc format prin desfășurarea și îndreptarea acestuia) (Figura 74).

Pentru a construi o evolventă, este suficient să specificați diametrul cercului D și poziția inițială a punctului A (punct A 0 ). Prin punct A 0 trageți o tangentă la cerc și trasați pe ea lungimea cercului dat D . Segmentul rezultat și cercul sunt împărțite în același număr de părți și tangente la acesta sunt desenate într-o direcție prin punctele de despărțire ale cercului. Pe fiecare tangentă sunt așezate segmente luate de pe linia orizontală și egale corespunzător 1A 1 = A 0 1 , 2A 2 = V A 0 2 , 3A 3 = A 0 3 etc.; Punctele rezultate sunt conectate conform modelului.

Figura 74

spirala lui Arhimede- o curbă plată descrisă de un punct A , rotindu-se uniform în jurul unui punct fix – stâlpi DESPRE și în același timp depărtându-se uniform de el (Figura 75). Distanța parcursă de un punct la întoarcerea unei linii drepte cu 360° se numește pas în spirală. Punctele aparținând spiralei lui Arhimede sunt construite pe baza definiției curbei, precizând pasul și direcția de rotație.

Construcția unei spirale lui Arhimede folosind un pas dat (segment OA) și direcția de rotație în sensul acelor de ceasornic(Figura 75).Printr-un punct DESPRE trageți o linie dreaptă și marcați pasul spiralei pe ea O.A. și, luând-o ca rază, descrieți un cerc. Cercul și segmentul O.A. împărțit în 12 părți egale. Razele sunt trasate prin punctele de despărțire ale cercului O1 , O2 , O3 etc si asupra lor din punct DESPRE sunt așezate folosind arce, respectiv, 1/12, 2/12, 3/12 etc., din raza cercului. Punctele rezultate sunt conectate de-a lungul unui model cu o curbă netedă.

Spirala lui Arhimede este o curbă deschisă și, dacă este necesar, puteți construi orice număr de spire. Pentru a construi a doua viraj, descrieți un cerc cu o rază R = 2 OA și repetați toate construcțiile anterioare.

Figura 75

Undă sinusoidală.Undă sinusoidală se numește proiecția traiectoriei punctului în mișcare Cu Sunt cilindric Cu care helix, pe un plan paralel cu axa cilindrului . Mișcarea unui punct constă dintr-o mișcare uniformă de rotație (în jurul axei cilindrului) și o mișcare uniformă de translație (paralelă cu axa cilindrului) . O undă sinusoidală este o curbă plată care arată modificarea funcției sinusoidale trigonometrice în funcție de modificarea unghiului .

Pentru a construi o sinusoidă (Figura 76) prin centru DESPRE diametrul cercului D efectuează direct OH iar pe el este așezat un segment O 1 A , egală cu circumferința D. Acest segment și cercul sunt împărțite în același număr de părți egale. Din punctele obținute și numerotate se trasează drepte reciproc perpendiculare. Punctele de intersecție rezultate ale acestor linii sunt conectate folosind un model de curbă netedă.

Figura 76

Cardioid. Cardioid(Figura 77) apeluri Cu Sunt o traiectorie închisă a unui punct dintr-un cerc Cu care se rostogolește fără să alunece de-a lungul unui cerc staționar de aceeași rază .

Figura 77

Din centru DESPRE desenați un cerc cu o rază dată și luați un punct arbitrar pe el M. Prin acest punct sunt trase o serie de secante. Pe fiecare secante, pe ambele părți ale punctului de intersecție al acesteia cu cercul, sunt așezate segmente egale cu diametrul cercului M1. Da, secant III3MIII 1 intersectează cercul într-un punct 3 ;segmentele sunt concediate din acest punct 3III Și 3III 1, egal cu diametrul M1. Puncte III Și III 1 , aparțin cardioidului . În mod similar, Cu actual IV4MIV 1 re Cu cercul este într-un punct 4; segmentele sunt așezate din acest punct IV4 Și 4IV 1, egal cu diametrul M1, obține puncte IV Și IV 1 etc.

Punctele găsite sunt conectate printr-o curbă, așa cum se arată în Figura 77.

Curbe cicloidale. Cicloizi – linii curbe plane descrise de un punct aparținând unui cerc care se rostogolește fără alunecare de-a lungul unei linii drepte sau cerc . Dacă cercul se rostogolește în linie dreaptă, atunci punctul descrie o curbă numită cicloid.

Dacă un cerc se rostogolește de-a lungul altui cerc, fiind în afara lui (de-a lungul părții convexe), atunci punctul descrie o curbă numită epicicloid .

Dacă un cerc se rostogolește de-a lungul altui cerc, aflându-se în interiorul acestuia (de-a lungul părții concave), atunci punctul descrie o curbă numită hipocicloid . Se numește cercul pe care se află punctul producând . Se numește linia de-a lungul căreia se rostogolește cercul ghid .

Pentru a construi un cicloid(Figura 78) desenați un cerc cu o rază dată R ; luați punctul de plecare pe el A și trageți o linie de ghidare AB, de-a lungul căruia se rostogolește cercul .

Figura 78

Împărțiți cercul dat în 12 părți egale (puncte 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Dacă punctul A Schimbare Cu tit Cu Sunt într-o poziție A 12 , apoi segmentul AA 12 va fi egală cu lungimea circumferenţială dată Cu ty, adică . Desenați o linie de centre O – O 12 producând circumferenţial Cu ti, egal , și împărțiți-l în 12 părți egale. Obțineți puncte O 1 ,O2 ,O 3 ,..., O 12 , care sunt centrele cercului generator Cu tu . Din aceste puncte trageți într-un cerc Cu ty (sau arcuri în jur Cu tey) de o rază dată R , care ating linia AB la puncte 1,2, 3, ..., 12. Dacă din fiecare punct de contact trasăm pe cercul corespunzător o lungime a arcului egală cu cantitatea cu care punctul sa deplasat A , apoi obținem puncte aparținând cicloidei. De exemplu, pentru a obține un punct A 5 cicloizii urmează din centru O 5 trageți un cerc din punctul de contact 5 așezați un arc în jurul circumferinței A5, egal cu A5", sau din punct 5" trageți o linie dreaptă paralelă AB, până la intersecția din punct A 5 cu un cerc desenat . Toate celelalte puncte ale cicloidului sunt construite în mod similar. .

Epicicloidul este construit după cum urmează. Figura 79 arată raza cercului generator Cu A R cu centru O 0 , punct de start A pe ea și arcul ghidajului din jur Cu tu radio Cu A R 1 de-a lungul căruia se rostogolește Cu Sunt un cerc. Construcția unui epicicloid este similară cu construcția unui cicloid și anume: împărțiți un cerc dat în 12 părți egale (puncte 1" , 2" , 3" , ...,12"), fiecare parte a acestui cerc este îndepărtată dintr-un punct A de-a lungul unui arc AB de 12 ori (puncte 1 , 2 , 3 , ..., 12) și obțineți lungimea arcului AA 12 . Această lungime poate fi determinată folosind unghiul .

Mai departe de centru DESPRE raza egala cu OOO 0 , trageți o linie de centre ale cercului generator și, trasând razele 01 , 02 , 03 , ...,012 , a continuat până când se intersectează cu linia de centre, obțineți centre O 1, O 2, ..., O 12 cerc generator . Din aceste centre cu o rază egală cu R , desenează cercuri sau arce de cerc pe care se construiesc și Cu care puncte ale curbei; Deci, pentru a înțelege ideea A 4 s ar trebui verificat Cu arc în jur Cu raza tee-ului O4" până când intersectează un cerc desenat din centru O4. Alte puncte sunt construite în mod similar, care sunt apoi conectate printr-o curbă netedă .

Figura 79

Informații conexe.