Trasarea unei funcții liniare care conține un modul. Cum se rezolvă ecuații cu modul: reguli de bază
, Concurs „Prezentare pentru lecție”
Prezentare pentru lecție
Inapoi inainte
Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Scopul lecției:
- repetă construcția graficelor de funcții care conțin semnul modulului;
- familiarizează-te cu o nouă metodă de construire a unui grafic al unei funcții liniar-pe bucăți;
- a repara metoda noua la rezolvarea problemelor.
Echipament:
- proiector multimedia,
- postere.
În timpul orelor
Actualizare de cunoștințe
Pe ecran slide 1 din prezentare.
Care este graficul funcției y=|x| ? (diapozitivul 2).
(set de bisectoare de 1 și 2 unghiuri de coordonate)
Găsiți o corespondență între funcții și grafice, explicați alegerea dvs. (diapozitivul 3).
Poza 1
Spuneți algoritmul pentru construirea graficelor de funcții de forma y=|f(x)| pe exemplul funcției y=|x 2 -2x-3| (diapozitivul 4)
Student: pentru a construi un grafic al acestei funcții, aveți nevoie
Construiți o parabolă y=x 2 -2x-3
Figura 2
Figura 3
Spuneți algoritmul pentru construirea graficelor de funcții de forma y=f(|x|) folosind exemplul funcției y=x 2 -2|x|-3 (diapozitivul 6).
Construiește o parabolă.
O parte a graficului la x 0 este salvată și afișată în simetrie față de axa y (diapozitivul 7)
Figura 4
Spuneți algoritmul pentru construirea graficelor de funcții de forma y=|f(|x|)| pe exemplul funcției y=|x 2 -2|x|-3| (diapozitivul 8).
Student: Pentru a construi un grafic al acestei funcții, aveți nevoie de:
Trebuie să construiți o parabolă y \u003d x 2 -2x-3
Construim y \u003d x 2 -2 | x | -3, salvăm o parte a graficului și o afișăm simetric în raport cu sistemul de operare
Salvăm partea de deasupra OX și afișăm partea inferioară simetric față de OX (diapozitivul 9)
Figura 5
Următoarea sarcină este scrisă în caiete.
1. Desenați un grafic al unei funcții liniar pe bucăți y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Student pe tablă comentând:
Găsim zerourile expresiilor submodulului x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Împărțirea axei în intervale
Pentru fiecare interval, scriem funcția
la x< -2, у=-х-4
la -2 x<1, у=х
la 1 x<3, у = 3х-2
la x 3, y \u003d x + 4
Construim un grafic al unei funcții liniar pe bucăți.
Am construit un grafic al funcției folosind definiția modulului (diapozitivul 10).
Figura 6
Vă aduc în atenție „metoda vârfurilor”, care vă permite să reprezentați o funcție liniară pe bucăți (diapozitivul 11). Copiii notează algoritmul de construcție într-un caiet.
Metoda vârfurilor
Algoritm:
- Aflați zerourile fiecărei expresii submodulului
- Să facem un tabel în care, pe lângă zerouri, scriem o valoare a argumentului în stânga și în dreapta
- Să punem punctele pe planul de coordonate și să le conectăm în serie
2. Să analizăm această metodă pe aceeași funcție y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Profesorul este la tablă, copiii sunt în caiete.
Metoda vârfurilor:
Aflați zerourile fiecărei expresii submodulului;
Să facem un tabel în care, pe lângă zerouri, scriem o valoare a argumentului în stânga și în dreapta
Să punem punctele pe planul de coordonate și să le conectăm în serie.
Graficul unei funcții liniar pe bucăți este o linie întreruptă cu legături extreme infinite (diapozitivul 12).
Figura 7
Ce metodă face graficul mai rapid și mai ușor?
3. Pentru a remedia această metodă, vă propun să efectuați următoarea sarcină:
Pentru ce valori ale lui x are funcția y=|x-2|-|x+1| ia cea mai mare valoare.
Urmăm algoritmul; student la tablă.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, conectați punctele în serie.
4. Sarcină suplimentară
Pentru ce valori ale lui a are două rădăcini ecuația ||4+x|-|x-2||=a.
5. Tema pentru acasă
a) Pentru ce valori ale lui X este funcția y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| ia cea mai mică valoare.
b) Trasează funcția y=||x-1|-2|-3| .
, Concurs „Prezentare pentru lecție”
Prezentare pentru lecție
Inapoi inainte
Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Scopul lecției:
- repetă construcția graficelor de funcții care conțin semnul modulului;
- familiarizează-te cu o nouă metodă de construire a unui grafic al unei funcții liniar-pe bucăți;
- consolidarea noii metode în rezolvarea problemelor.
Echipament:
- proiector multimedia,
- postere.
În timpul orelor
Actualizare de cunoștințe
Pe ecran slide 1 din prezentare.
Care este graficul funcției y=|x| ? (diapozitivul 2).
(set de bisectoare de 1 și 2 unghiuri de coordonate)
Găsiți o corespondență între funcții și grafice, explicați alegerea dvs. (diapozitivul 3).
Poza 1
Spuneți algoritmul pentru construirea graficelor de funcții de forma y=|f(x)| pe exemplul funcției y=|x 2 -2x-3| (diapozitivul 4)
Student: pentru a construi un grafic al acestei funcții, aveți nevoie
Construiți o parabolă y=x 2 -2x-3
Figura 2
Figura 3
Spuneți algoritmul pentru construirea graficelor de funcții de forma y=f(|x|) folosind exemplul funcției y=x 2 -2|x|-3 (diapozitivul 6).
Construiește o parabolă.
O parte a graficului la x 0 este salvată și afișată în simetrie față de axa y (diapozitivul 7)
Figura 4
Spuneți algoritmul pentru construirea graficelor de funcții de forma y=|f(|x|)| pe exemplul funcției y=|x 2 -2|x|-3| (diapozitivul 8).
Student: Pentru a construi un grafic al acestei funcții, aveți nevoie de:
Trebuie să construiți o parabolă y \u003d x 2 -2x-3
Construim y \u003d x 2 -2 | x | -3, salvăm o parte a graficului și o afișăm simetric în raport cu sistemul de operare
Salvăm partea de deasupra OX și afișăm partea inferioară simetric față de OX (diapozitivul 9)
Figura 5
Următoarea sarcină este scrisă în caiete.
1. Desenați un grafic al unei funcții liniar pe bucăți y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Student pe tablă comentând:
Găsim zerourile expresiilor submodulului x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Împărțirea axei în intervale
Pentru fiecare interval, scriem funcția
la x< -2, у=-х-4
la -2 x<1, у=х
la 1 x<3, у = 3х-2
la x 3, y \u003d x + 4
Construim un grafic al unei funcții liniar pe bucăți.
Am construit un grafic al funcției folosind definiția modulului (diapozitivul 10).
Figura 6
Vă aduc în atenție „metoda vârfurilor”, care vă permite să reprezentați o funcție liniară pe bucăți (diapozitivul 11). Copiii notează algoritmul de construcție într-un caiet.
Metoda vârfurilor
Algoritm:
- Aflați zerourile fiecărei expresii submodulului
- Să facem un tabel în care, pe lângă zerouri, scriem o valoare a argumentului în stânga și în dreapta
- Să punem punctele pe planul de coordonate și să le conectăm în serie
2. Să analizăm această metodă pe aceeași funcție y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Profesorul este la tablă, copiii sunt în caiete.
Metoda vârfurilor:
Aflați zerourile fiecărei expresii submodulului;
Să facem un tabel în care, pe lângă zerouri, scriem o valoare a argumentului în stânga și în dreapta
Să punem punctele pe planul de coordonate și să le conectăm în serie.
Graficul unei funcții liniar pe bucăți este o linie întreruptă cu legături extreme infinite (diapozitivul 12).
Figura 7
Ce metodă face graficul mai rapid și mai ușor?
3. Pentru a remedia această metodă, vă propun să efectuați următoarea sarcină:
Pentru ce valori ale lui x are funcția y=|x-2|-|x+1| ia cea mai mare valoare.
Urmăm algoritmul; student la tablă.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, conectați punctele în serie.
4. Sarcină suplimentară
Pentru ce valori ale lui a are două rădăcini ecuația ||4+x|-|x-2||=a.
5. Tema pentru acasă
a) Pentru ce valori ale lui X este funcția y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| ia cea mai mică valoare.
b) Trasează funcția y=||x-1|-2|-3| .
Funcția de forma y=|x|.
Graficul funcției pe interval - cu graficul funcției y \u003d -x.
Considerăm mai întâi cazul cel mai simplu - funcția y=|x|. Prin definiția modulului, avem:
Astfel, pentru x≥0 funcția y=|x| coincide cu funcția y \u003d x, iar pentru x Folosind această explicație, este ușor să reprezentați funcția y \u003d | x | (Fig. 1).
Este ușor de observat că acest grafic este uniunea acelei părți a graficului funcției y \u003d x, care nu se află sub axa OX, și linia obținută prin reflectarea în oglindă în jurul axei OX, acea parte a acesteia, care se află sub axa OX.
Această metodă este potrivită și pentru trasarea graficului funcției y=|kx+b|.
Dacă graficul funcției y=kx+b este prezentat în Figura 2, atunci graficul funcției y=|kx+b| este linia prezentată în figura 3.
(!LANG:Exemplu 1. Trasează funcția y=||1-x 2 |-3|.
Să construim un grafic al funcției y=1-x 2 și să îi aplicăm operația „modul” (partea din grafic situată sub axa OX este reflectată simetric față de axa OX).
Să deplasăm graficul în jos cu 3.
Să aplicăm operația „modul” și să obținem graficul final al funcției y=||1-x 2 |-3|
Exemplul 2 Trasează funcția y=||x 2 -2x|-3|.
Ca rezultat al transformării, obținem y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Să construim un grafic al funcției y=(x-1) 2 -1: construiți o parabolă y=x 2 și deplasați la dreapta cu 1 și în jos cu 1.
Să-i aplicăm operația „modul” (partea din grafic situată sub axa OX este reflectată simetric față de axa OX).
Să deplasăm graficul în jos cu 3 și să aplicăm operația „modul”, ca rezultat vom obține graficul final.
Exemplul 3 Trasează funcția.
Pentru a extinde un modul, trebuie să luăm în considerare două cazuri:
1)x>0, apoi modulul se va deschide cu semnul „+” =
2) x =
Să construim un grafic pentru primul caz.
Să renunțăm la partea din grafic, unde x
Să construim un grafic pentru al doilea caz și, în mod similar, să aruncăm partea în care x>0, ca rezultat, obținem.
Să combinăm cele două grafice și să obținem cel final.
Exemplul 4 Trasează funcția.
Mai întâi, să construim un grafic al funcției.Pentru aceasta, este convenabil să selectăm partea întreagă, obținem. Pe baza tabelului de valori, obținem un grafic.
Să aplicăm operația de modul (partea graficului situată sub axa OX este reflectată simetric față de axa OX). Primim diagrama finală
Exemplul 5 Trasează funcția y=|-x 2 +6x-8|. Mai întâi, simplificăm funcția la y=1-(x-3) 2 și construim graficul acesteia
Acum aplicăm operația „modul” și reflectăm partea graficului de sub axa OX, în raport cu axa OX
Exemplul 6 Trasează funcția y=-x 2 +6|x|-8. De asemenea, simplificăm funcția la y=1-(x-3) 2 și construim graficul acesteia
Acum aplicăm operația „modul” și reflectăm partea din grafic din dreapta axei oY, în partea stângă
Exemplul 7 Trasează o funcție 
. Să diagramăm funcția
Să diagramăm funcția
Să efectuăm un transfer paralel cu 3 segmente de unitate la dreapta și 2 în sus. Graficul va arăta astfel:
Să aplicăm operația „modul” și să reflectăm partea din grafic din dreapta dreptei x=3 în semiplanul stâng.
Semnul modulo este poate unul dintre cele mai interesante fenomene din matematică. În acest sens, mulți școlari se pun întrebarea cum să construiască grafice ale funcțiilor care conțin un modul. Să examinăm această problemă în detaliu.
1. Trasarea funcțiilor care conțin un modul
Exemplul 1
Trasează funcția y = x 2 – 8|x| + 12.
Soluţie.
Să definim paritatea funcției. Valoarea pentru y(-x) este aceeași cu valoarea pentru y(x), deci această funcție este pară. Apoi graficul său este simetric față de axa Oy. Construim un grafic al funcției y \u003d x 2 - 8x + 12 pentru x ≥ 0 și afișăm simetric graficul relativ la Oy pentru x negativ (Fig. 1).
Exemplul 2
Următorul grafic este y = |x 2 – 8x + 12|.
– Care este intervalul funcției propuse? (y ≥ 0).
- Cum este graficul? (Deasupra sau atingând axa x).
Aceasta înseamnă că graficul funcției se obține după cum urmează: ei prezintă funcția y \u003d x 2 - 8x + 12, lasă neschimbată partea graficului care se află deasupra axei Ox și partea din grafic care se află sub axa absciselor este afișată simetric față de axa Ox (fig. 2).
Exemplul 3
Pentru a reprezenta grafic funcția y = |x 2 – 8|x| + 12| efectuați o combinație de transformări:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Răspuns: figura 3.
Transformările considerate sunt valabile pentru toate tipurile de funcții. Să facem un tabel:
2. Trasarea funcțiilor care conțin „module imbricate” în formulă
Ne-am familiarizat deja cu exemple de funcție pătratică care conține un modul, precum și cu regulile generale de construire a graficelor de funcții de forma y = f(|x|), y = |f(x)| și y = |f(|x|)|. Aceste transformări ne vor ajuta atunci când luăm în considerare următorul exemplu.
Exemplul 4
Se consideră o funcție de forma y = |2 – |1 – |x|||. Expresia care definește funcția conține „module imbricate”.
Soluţie.
Folosim metoda transformărilor geometrice.
Să notăm un lanț de transformări succesive și să facem desenul corespunzător (Fig. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Să luăm în considerare cazurile în care simetria și transformările de translație paralelă nu sunt tehnica principală de trasare.
Exemplul 5
Construiți un grafic al unei funcții de forma y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.
Soluţie.
Înainte de a construi un grafic, transformăm formula care definește funcția și obținem o altă definiție analitică a funcției (Fig. 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Să extindem modulul la numitor:
Pentru x > -2, y = x - 2 și pentru x< -2, y = -(x – 2).
Domeniul D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Domeniul E(y) = (-4; +∞).
Puncte în care graficul se intersectează cu axa de coordonate: (0; -2) și (2; 0).
Funcția scade pentru tot x din intervalul (-∞; -2), crește pentru x de la -2 la +∞.
Aici a trebuit să dezvăluim semnul modulului și să trasăm funcția pentru fiecare caz.
Exemplul 6
Se consideră funcția y = |x + 1| – |x – 2|.
Soluţie.
Extinderea semnului modulului, este necesar să se ia în considerare toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulului.
Există patru cazuri posibile:
(x + 1 - x + 2 = 3, cu x ≥ -1 și x ≥ 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, cu x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, pentru x ≥ -1 și x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, cu x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Apoi funcția originală va arăta astfel:
(3, pentru x ≥ 2;
y = (-3, la x< -1;
(2x – 1, cu -1 ≤ x< 2.
Am obținut o funcție dată pe bucăți, al cărei grafic este prezentat în Figura 6.
3. Algoritm pentru construirea graficelor de funcții de forma
y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + topor + b.
În exemplul anterior, a fost destul de ușor să extinzi semnele modulului. Dacă există mai multe sume de module, atunci este problematic să luăm în considerare toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulelor. Cum putem reprezenta grafic funcția în acest caz?
Rețineți că graficul este o polilinie, cu vârfuri în puncte având abscisele -1 și 2. Pentru x = -1 și x = 2, expresiile submodulului sunt egale cu zero. Într-un mod practic, am abordat regula pentru construirea unor astfel de grafice:
Graficul unei funcții de forma y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b este o linie întreruptă cu legături de capăt infinite. Pentru a construi o astfel de polilinie, este suficient să cunoașteți toate vârfurile acesteia (abscisele vârfurilor sunt zerouri ale expresiilor submodulelor) și câte un punct de control pe legăturile infinite stânga și dreapta. 
O sarcină.
Trasează funcția y = |x| + |x – 1| + |x + 1| și găsiți-i cea mai mică valoare.
Soluţie:
Zerourile expresiilor submodulului: 0; -unu; 1. Vârfurile poliliniei (0; 2); (-13); (13). Punct de control în dreapta (2; 6), în stânga (-2; 6). Construim un grafic (Fig. 7). min f(x) = 2.
Aveti vreo intrebare? Nu știți cum să reprezentați grafic o funcție cu un modul?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.