Plotando uma função linear contendo um módulo. Como resolver equações com módulo: regras básicas
, Competição "Apresentação para a lição"
Apresentação para a aula
Para trás para a frente
Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.
O objetivo da lição:
- repita a construção de gráficos de funções contendo o sinal do módulo;
- familiarizar-se com um novo método de construção de um gráfico de uma função linear por partes;
- Consertar novo método ao resolver problemas.
Equipamento:
- projetor multimídia,
- cartazes.
durante as aulas
atualização de conhecimento
Na tela, slide 1 da apresentação.
Qual é o gráfico da função y=|x| ? (slide 2).
(conjunto de bissetrizes de 1 e 2 ângulos coordenados)
Encontre uma correspondência entre funções e gráficos, explique sua escolha (slide 3).
Imagem 1
Informe o algoritmo para construir gráficos de funções da forma y=|f(x)| no exemplo da função y=|x 2 -2x-3| (slide 4)
Aluno: para construir um gráfico dessa função, você precisa
Construir uma parábola y=x 2 -2x-3
Figura 2
Figura 3
Informe o algoritmo para construir gráficos de funções da forma y=f(|x|) usando o exemplo da função y=x 2 -2|x|-3 (slide 6).
Construir uma parábola.
Parte do gráfico em x 0 é salva e exibida em simetria em relação ao eixo y (slide 7)
Figura 4
Informe o algoritmo para construir gráficos de funções da forma y=|f(|x|)| no exemplo da função y=|x 2 -2|x|-3| (slide 8).
Aluno: Para construir um gráfico dessa função, você precisa:
Você precisa construir uma parábola y \u003d x 2 -2x-3
Construímos y \u003d x 2 -2 | x | -3, salvamos parte do gráfico e o exibimos simetricamente em relação ao sistema operacional
Salvamos a parte acima do OX e exibimos a parte inferior simetricamente em relação ao OX (slide 9)
Figura 5
A próxima tarefa é escrita em cadernos.
1. Desenhe um gráfico de uma função linear por partes y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Aluno no quadro-negro comentando:
Encontramos os zeros das expressões do submódulo x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Quebrando o eixo em intervalos
Para cada intervalo, escrevemos a função
em x< -2, у=-х-4
a -2 x<1, у=х
em 1 x<3, у = 3х-2
em x 3, y \u003d x + 4
Construímos um gráfico de uma função linear por partes.
Construímos um gráfico de função usando a definição do módulo (slide 10).
Figura 6
Chamo a atenção para o “método do vértice”, que permite plotar uma função linear por partes (slide 11). As crianças anotam o algoritmo de construção em um caderno.
Método de vértice
Algoritmo:
- Encontre os zeros de cada expressão de submódulo
- Vamos fazer uma tabela na qual, além dos zeros, escrevemos um valor do argumento à esquerda e à direita
- Vamos colocar os pontos no plano coordenado e conectá-los em série
2. Vamos analisar este método na mesma função y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
A professora está no quadro-negro, as crianças estão nos cadernos.
Método de vértice:
Encontre os zeros de cada expressão de submódulo;
Vamos fazer uma tabela na qual, além dos zeros, escrevemos um valor do argumento à esquerda e à direita
Vamos colocar os pontos no plano coordenado e conectá-los em série.
O gráfico de uma função linear por partes é uma linha quebrada com links extremos infinitos (slide 12).
Figura 7
Que método torna o gráfico mais rápido e fácil?
3. Para corrigir esse método, proponho executar a seguinte tarefa:
Para quais valores de x a função y=|x-2|-|x+1| assume o maior valor.
Seguimos o algoritmo; aluno no quadro-negro.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, conecte os pontos em série.
4. Tarefa adicional
Para quais valores de a a equação ||4+x|-|x-2||=a tem duas raízes.
5. Trabalho de casa
a) Para quais valores de X é a função y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| assume o menor valor.
b) Plote a função y=||x-1|-2|-3| .
, Competição "Apresentação para a lição"
Apresentação para a aula
Para trás para a frente
Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.
O objetivo da lição:
- repita a construção de gráficos de funções contendo o sinal do módulo;
- familiarizar-se com um novo método de construção de um gráfico de uma função linear por partes;
- consolidar o novo método de resolução de problemas.
Equipamento:
- projetor multimídia,
- cartazes.
durante as aulas
atualização de conhecimento
Na tela, slide 1 da apresentação.
Qual é o gráfico da função y=|x| ? (slide 2).
(conjunto de bissetrizes de 1 e 2 ângulos coordenados)
Encontre uma correspondência entre funções e gráficos, explique sua escolha (slide 3).
Imagem 1
Informe o algoritmo para construir gráficos de funções da forma y=|f(x)| no exemplo da função y=|x 2 -2x-3| (slide 4)
Aluno: para construir um gráfico dessa função, você precisa
Construir uma parábola y=x 2 -2x-3
Figura 2
Figura 3
Informe o algoritmo para construir gráficos de funções da forma y=f(|x|) usando o exemplo da função y=x 2 -2|x|-3 (slide 6).
Construir uma parábola.
Parte do gráfico em x 0 é salva e exibida em simetria em relação ao eixo y (slide 7)
Figura 4
Informe o algoritmo para construir gráficos de funções da forma y=|f(|x|)| no exemplo da função y=|x 2 -2|x|-3| (slide 8).
Aluno: Para construir um gráfico dessa função, você precisa:
Você precisa construir uma parábola y \u003d x 2 -2x-3
Construímos y \u003d x 2 -2 | x | -3, salvamos parte do gráfico e o exibimos simetricamente em relação ao sistema operacional
Salvamos a parte acima do OX e exibimos a parte inferior simetricamente em relação ao OX (slide 9)
Figura 5
A próxima tarefa é escrita em cadernos.
1. Desenhe um gráfico de uma função linear por partes y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
Aluno no quadro-negro comentando:
Encontramos os zeros das expressões do submódulo x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 3
Quebrando o eixo em intervalos
Para cada intervalo, escrevemos a função
em x< -2, у=-х-4
a -2 x<1, у=х
em 1 x<3, у = 3х-2
em x 3, y \u003d x + 4
Construímos um gráfico de uma função linear por partes.
Construímos um gráfico de função usando a definição do módulo (slide 10).
Figura 6
Chamo a atenção para o “método do vértice”, que permite plotar uma função linear por partes (slide 11). As crianças anotam o algoritmo de construção em um caderno.
Método de vértice
Algoritmo:
- Encontre os zeros de cada expressão de submódulo
- Vamos fazer uma tabela na qual, além dos zeros, escrevemos um valor do argumento à esquerda e à direita
- Vamos colocar os pontos no plano coordenado e conectá-los em série
2. Vamos analisar este método na mesma função y=|x+2|+|x-1|-|x-3|
A professora está no quadro-negro, as crianças estão nos cadernos.
Método de vértice:
Encontre os zeros de cada expressão de submódulo;
Vamos fazer uma tabela na qual, além dos zeros, escrevemos um valor do argumento à esquerda e à direita
Vamos colocar os pontos no plano coordenado e conectá-los em série.
O gráfico de uma função linear por partes é uma linha quebrada com links extremos infinitos (slide 12).
Figura 7
Que método torna o gráfico mais rápido e fácil?
3. Para corrigir esse método, proponho executar a seguinte tarefa:
Para quais valores de x a função y=|x-2|-|x+1| assume o maior valor.
Seguimos o algoritmo; aluno no quadro-negro.
y=|x-2|-|x+1|
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
y(3)=1-4=3, conecte os pontos em série.
4. Tarefa adicional
Para quais valores de a a equação ||4+x|-|x-2||=a tem duas raízes.
5. Trabalho de casa
a) Para quais valores de X é a função y =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| assume o menor valor.
b) Plote a função y=||x-1|-2|-3| .
Função da forma y=|x|.
O gráfico da função no intervalo - com o gráfico da função y \u003d -x.
Considere primeiro o caso mais simples - a função y=|x|. Pela definição do módulo, temos:
Assim, para x≥0 a função y=|x| coincide com a função y \u003d x, e para x Usando esta explicação, é fácil plotar a função y \u003d | x | (Fig. 1).
É fácil ver que este gráfico é a união daquela parte do gráfico da função y \u003d x, que não está abaixo do eixo OX, e a linha obtida pela reflexão do espelho sobre o eixo OX, aquela parte dele, que fica abaixo do eixo OX.
Este método também é adequado para traçar o gráfico da função y=|kx+b|.
Se o gráfico da função y=kx+b é mostrado na Figura 2, então o gráfico da função y=|kx+b| é a linha mostrada na Figura 3.
(!LANG:Exemplo 1. Plote a função y=||1-x 2 |-3|.
Vamos construir um gráfico da função y=1-x 2 e aplicar a operação "módulo" a ele (a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX é refletida simetricamente em relação ao eixo OX).
Vamos deslocar o gráfico para baixo em 3.
Vamos aplicar a operação "módulo" e obter o gráfico final da função y=||1-x 2 |-3|
Exemplo 2 Plote a função y=||x 2 -2x|-3|.
Como resultado da transformação, obtemos y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Vamos construir um gráfico da função y=(x-1) 2 -1: construa uma parábola y=x 2 e desloque 1 para a direita e 1 para baixo.
Vamos aplicar a operação "módulo" a ele (a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX é refletida simetricamente em relação ao eixo OX).
Vamos deslocar o gráfico para baixo em 3 e aplicar a operação "módulo", como resultado obteremos o gráfico final.
Exemplo 3 Plote a função.
Para expandir um módulo, precisamos considerar dois casos:
1)x>0, então o módulo abrirá com o sinal "+" =
2) x =
Vamos construir um gráfico para o primeiro caso.
Vamos descartar a parte do gráfico, onde x
Vamos construir um gráfico para o segundo caso e, da mesma forma, descartar a parte em que x>0, como resultado obtemos.
Vamos combinar os dois gráficos e obter o gráfico final.
Exemplo 4 Plote a função.
Primeiro vamos construir um gráfico da função, para isso é conveniente selecionar a parte inteira que obtemos. Com base na tabela de valores, obtemos um gráfico.
Vamos aplicar a operação de módulo (a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX é refletida simetricamente em relação ao eixo OX). Obtemos o gráfico final
Exemplo 5 Plote a função y=|-x 2 +6x-8|. Primeiro, simplificamos a função para y=1-(x-3) 2 e construímos seu gráfico
Agora aplicamos a operação “módulo” e refletimos a parte do gráfico abaixo do eixo OX, relativo ao eixo OX
Exemplo 6 Plote a função y=-x 2 +6|x|-8. Também simplificamos a função para y=1-(x-3) 2 e construímos seu gráfico
Agora aplicamos a operação “módulo” e refletimos a parte do gráfico à direita do eixo oY, à esquerda
Exemplo 7 Plotar uma função 
. Vamos plotar a função
Vamos plotar a função
Vamos realizar uma transferência paralela por 3 segmentos de unidade para a direita e 2 para cima. O gráfico ficará assim:
Vamos aplicar a operação "módulo" e refletir a parte do gráfico à direita da reta x=3 no semiplano esquerdo.
O sinal do módulo é talvez um dos fenômenos mais interessantes da matemática. Nesse sentido, muitos alunos têm dúvidas sobre como construir gráficos de funções contendo um módulo. Vamos examinar esta questão em detalhes.
1. Funções de plotagem contendo um módulo
Exemplo 1
Plote a função y = x 2 – 8|x| + 12.
Solução.
Vamos definir a paridade da função. O valor de y(-x) é o mesmo que o valor de y(x), então essa função é par. Então seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy. Construímos um gráfico da função y \u003d x 2 - 8x + 12 para x ≥ 0 e exibimos simetricamente o gráfico relativo a Oy para x negativo (Fig. 1).
Exemplo 2
O próximo gráfico é y = |x 2 – 8x + 12|.
– Qual é o alcance da função proposta? (y ≥ 0).
- Como está o gráfico? (Acima ou tocando o eixo x).
Isso significa que o gráfico da função é obtido da seguinte maneira: eles traçam a função y \u003d x 2 - 8x + 12, deixam inalterada a parte do gráfico que fica acima do eixo Ox e a parte do gráfico que fica embaixo o eixo das abcissas é exibido simetricamente em relação ao eixo Ox (Fig. 2).
Exemplo 3
Para plotar a função y = |x 2 – 8|x| + 12| realizar uma combinação de transformações:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| +12|.
Resposta: figura 3.
As transformações consideradas são válidas para todos os tipos de funções. Vamos fazer uma tabela:
2. Funções de plotagem contendo "módulos aninhados" na fórmula
Já conhecemos exemplos de uma função quadrática contendo um módulo, bem como as regras gerais para a construção de gráficos de funções da forma y = f(|x|), y = |f(x)| e y = |f(|x|)|. Essas transformações nos ajudarão ao considerar o exemplo a seguir.
Exemplo 4
Considere uma função da forma y = |2 – |1 – |x|||. A expressão que define a função contém "módulos aninhados".
Solução.
Usamos o método das transformações geométricas.
Vamos anotar uma cadeia de transformações sucessivas e fazer o desenho correspondente (Fig. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Vamos considerar os casos em que as transformações de simetria e translação paralela não são a principal técnica de plotagem.
Exemplo 5
Construa um gráfico de uma função da forma y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.
Solução.
Antes de construir um gráfico, transformamos a fórmula que define a função e obtemos outra definição analítica da função (Fig. 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Vamos expandir o módulo no denominador:
Para x > -2, y = x - 2, e para x< -2, y = -(x – 2).
Domínio D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Faixa E(y) = (-4; +∞).
Pontos de interseção do gráfico com o eixo de coordenadas: (0; -2) e (2; 0).
A função diminui para todo x do intervalo (-∞; -2), aumenta para x de -2 para +∞.
Aqui tivemos que revelar o sinal do módulo e plotar a função para cada caso.
Exemplo 6
Considere a função y = |x + 1| – |x – 2|.
Solução.
Expandindo o sinal do módulo, é necessário considerar todas as combinações possíveis de sinais das expressões do submódulo.
Existem quatro casos possíveis:
(x + 1 - x + 2 = 3, com x ≥ -1 ex ≥ 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, com x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, para x ≥ -1 e x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, com x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Então a função original ficará assim:
(3, para x ≥ 2;
y = (-3, em x< -1;
(2x – 1, com -1 ≤ x< 2.
Obtivemos uma função dada por partes, cujo gráfico é mostrado na Figura 6.
3. Algoritmo para construção de gráficos de funções da forma
y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + machado + b.
No exemplo anterior, foi fácil expandir os sinais do módulo. Se houver mais somas de módulos, é problemático considerar todas as combinações possíveis de sinais de expressões de submódulo. Como podemos representar graficamente a função neste caso?
Observe que o gráfico é uma polilinha, com vértices nos pontos tendo abcissas -1 e 2. Para x = -1 e x = 2, as expressões do submódulo são iguais a zero. De forma prática, abordamos a regra para construção de tais gráficos:
Gráfico de uma função da forma y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b é uma linha quebrada com links finais infinitos. Para construir tal polilinha, basta conhecer todos os seus vértices (as abcissas dos vértices são zeros das expressões do submódulo) e um ponto de controle cada um dos links infinitos esquerdo e direito. 
Uma tarefa.
Plote a função y = |x| + |x – 1| + |x + 1| e encontre seu menor valor.
Solução:
Zeros de expressões de submódulo: 0; -1; 1. Vértices da polilinha (0; 2); (-13); (13). Ponto de controle à direita (2; 6), à esquerda (-2; 6). Construímos um gráfico (Fig. 7). mín f(x) = 2.
Você tem alguma pergunta? Não sabe representar graficamente uma função com um módulo?
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