Determine qual linha no plano é dada pela equação. Equação de uma linha reta, tipos de equação de uma linha reta em um plano
Considere a função dada pela fórmula (equação)
Esta função, e portanto a equação (11), corresponde no plano a uma reta bem definida, que é o gráfico desta função (ver Fig. 20). Segue-se da definição do gráfico da função que esta linha consiste naqueles e apenas naqueles pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equação (11).
Deixe agora
A reta, que é o gráfico dessa função, consiste naqueles e somente naqueles pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equação (12). Isso significa que, se um ponto estiver na linha especificada, suas coordenadas satisfazem a equação (12). Se o ponto não estiver nessa linha, então suas coordenadas não satisfazem a equação (12).
A equação (12) é resolvida em relação a y. Considere uma equação contendo x e y que não é resolvida em relação a y, como a equação
Mostremos que a esta equação no plano corresponde uma recta, ou seja, uma circunferência de centro na origem das coordenadas e de raio igual a 2. Reescrevemos a equação na forma
Seu lado esquerdo é o quadrado da distância do ponto à origem (ver § 2, item 2, fórmula 3). Da igualdade (14) segue que o quadrado desta distância é 4.
Isso significa que qualquer ponto cujas coordenadas satisfaçam a equação (14) e, portanto, a equação (13), está localizado a uma distância de 2 da origem.
O lugar geométrico desses pontos é um círculo de centro na origem e raio 2. Esse círculo será a reta correspondente à equação (13). As coordenadas de qualquer um de seus pontos obviamente satisfazem a equação (13). Se o ponto não estiver no círculo que encontramos, então o quadrado de sua distância da origem será maior ou menor que 4, o que significa que as coordenadas de tal ponto não satisfazem a equação (13).
Vamos agora, no caso geral, dada a equação
no lado esquerdo está uma expressão contendo x e y.
Definição. A reta definida pela equação (15) é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem esta equação.
Isso significa que se a linha L é determinada pela equação, então as coordenadas de qualquer ponto de L satisfazem esta equação, e as coordenadas de qualquer ponto do plano situado fora de L não satisfazem a equação (15).
A equação (15) é chamada de equação de linha
Comente. Não se deve pensar que qualquer equação define qualquer reta. Por exemplo, a equação não define nenhuma linha. De fato, para quaisquer valores reais de e y, o lado esquerdo desta equação é positivo e o lado direito é igual a zero e, portanto, esta equação não pode satisfazer as coordenadas de nenhum ponto no plano
Uma reta pode ser definida em um plano não apenas por uma equação contendo coordenadas cartesianas, mas também por uma equação em coordenadas polares. A reta definida pela equação em coordenadas polares é o lugar geométrico dos pontos no plano cujas coordenadas polares satisfazem esta equação.
Exemplo 1. Construa a espiral de Arquimedes em .
Decisão. Vamos fazer uma tabela para alguns valores do ângulo polar e os valores correspondentes do raio polar.
Construímos um ponto no sistema de coordenadas polares, que obviamente coincide com o pólo; então, desenhando o eixo em ângulo com o eixo polar, construímos um ponto com uma coordenada positiva neste eixo; depois disso, construímos pontos de forma semelhante com valores positivos do ângulo polar e do raio polar (os eixos para esses pontos não são indicados na Fig. 30).
Como se sabe, qualquer ponto no plano é determinado por duas coordenadas em algum sistema de coordenadas. Os sistemas de coordenadas podem ser diferentes, dependendo da escolha da base e da origem.
Definição: A equação de uma reta é a relação y = f(x) entre as coordenadas dos pontos que compõem esta reta.
Observe que a equação da reta pode ser expressa de forma paramétrica, ou seja, cada coordenada de cada ponto é expressa por meio de algum parâmetro independente t. Um exemplo típico é a trajetória de um ponto em movimento. Nesse caso, o tempo desempenha o papel de parâmetro.
Diferentes tipos de equação de uma reta
Equação geral de uma reta.
Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem
Ah + Wu + C = 0,
além disso, as constantes A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo, ou seja, A 2 + B 2 ¹ 0. Essa equação de primeira ordem é chamada de equação geral da reta .
Dependendo dos valores constante A, B e C, os seguintes casos especiais são possíveis:
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - a linha passa pela origem
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Ox
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - a linha reta coincide com o eixo Oy
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - a linha reta coincide com o eixo Ox
A equação de uma reta pode ser representada em várias formas dependendo de quaisquer condições iniciais dadas.
Equação de uma reta que passa por dois pontos.
Sejam dados dois pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) no espaço, então a equação de uma reta passando por esses pontos:
Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igualado a zero. Em um plano, a equação de uma reta escrita acima é simplificada:
se x 1 ¹ x 2 e x \u003d x 1, se x 1 \u003d x 2.
A fração = k é chamada de inclinação da reta.
Equação de uma reta por um ponto e uma inclinação.
Se a equação geral da reta Ax + Vy + C = 0 levar à forma:
e denotam , então a equação resultante é chamada de equação de uma reta com inclinação k.
Equação de uma reta em segmentos.
Se na equação geral da reta Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0, então, dividindo por –С, obtemos: ou
O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente umaé a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo x, e b- a coordenada do ponto de interseção da reta com o eixo Oy.
Equação normal de uma reta.
Se ambas as partes da equação Ax + Vy + C = 0 forem divididas pelo número , que é chamado de fator de normalização, obtemos
xcosj + ysinj - p = 0 –
equação normal de uma reta.
O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que m × С< 0.
p é o comprimento da perpendicular caída da origem até a reta, e j é o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo Ox.
Ângulo entre linhas em um plano.
Se duas linhas são dadas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como
Duas retas são paralelas se k 1 = k 2 .
Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/k 2 .
Teorema. As retas Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelas quando os coeficientes A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB são proporcionais. Se também C 1 = lC, então as linhas coincidem.
As coordenadas do ponto de interseção de duas retas são encontradas como solução para um sistema de duas equações.
A distância de um ponto a uma linha.
Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for dado, então a distância até a linha Ax + Vy + C \u003d 0 é definida como
Aula 5
Introdução à análise. Cálculo diferencial de uma função de uma variável.
LIMITE DE FUNÇÃO
Limite de uma função em um ponto.
0 a - D a a + D x
Figura 1. Limite de uma função em um ponto.
Seja a função f(x) definida em alguma vizinhança do ponto x = a (isto é, no próprio ponto x = a, a função pode não ser definida)
Definição. O número A é chamado de limite da função f(x) para x®a se para qualquer e>0 existe um número D>0 tal que para todo x tal que
0 < ïx - aï < D
a desigualdade ïf(x) - Aï< e.
A mesma definição pode ser escrita de uma forma diferente:
Se a - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Escrevendo o limite de uma função em um ponto:
Definição.
Se f(x) ® A 1 para x ® a apenas para x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, então é chamado de limite da função f(x) no ponto x = a à direita.
A definição acima refere-se ao caso em que a função f(x) não é definida no ponto x = a em si, mas é definida em alguma vizinhança arbitrariamente pequena desse ponto.
Os limites A 1 e A 2 também são chamados unilateral fora da função f(x) no ponto x = a. Diz-se também que A limite de função f(x).
Equação de uma reta em um plano.
Como se sabe, qualquer ponto no plano é determinado por duas coordenadas em algum sistema de coordenadas. Os sistemas de coordenadas podem ser diferentes, dependendo da escolha da base e da origem.
Definição. equação de linhaé chamado de razão y=f(x ) entre as coordenadas dos pontos que compõem esta reta.
Observe que a equação da reta pode ser expressa de forma paramétrica, ou seja, cada coordenada de cada ponto é expressa por meio de algum parâmetro independentet.
Um exemplo típico é a trajetória de um ponto em movimento. Nesse caso, o tempo desempenha o papel de parâmetro.
Equação de uma reta em um plano.
Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem
Ah + Wu + C = 0,
além disso, as constantes A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo, ou seja, A 2 + B 2¹ 0. Esta equação de primeira ordem é chamada a equação geral de uma reta.
Dependendo dos valores das constantes A, B e C, os seguintes casos especiais são possíveis:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - a linha passa pela origem
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( Por + C \u003d 0) - uma linha reta é paralela ao eixo Ox
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) - uma linha reta paralela ao eixo Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - a linha coincide com o eixo Oy
A = C = 0, B ¹ 0 - a linha coincide com o eixo Ox
A equação de uma reta pode ser apresentada de várias formas, dependendo de quaisquer condições iniciais dadas.
A distância de um ponto a uma linha.
Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for dado, então a distância até a linha Ax + Vy + C \u003d 0 é definida como
.
Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular lançada do ponto M à reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:
(1)
Coordenadas x 1 e y 1 pode ser encontrado como uma solução para o sistema de equações:
A segunda equação do sistema é a equação de uma reta que passa por um dado ponto M 0 perpendicular a uma dada reta.
Se transformarmos a primeira equação do sistema para a forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
então, resolvendo, obtemos:
Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:
.
O teorema foi provado.
Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y=-3x+7; y = 2 x + 1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.
Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.
Encontrar: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, portanto as retas são perpendiculares.
Exemplo. Dados os vértices do triângulo A(0; 1), B(6;5),C (12; -1). Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.
No último artigo, consideramos os principais pontos sobre o tema da reta no plano. Agora vamos passar a estudar a equação de uma reta: considere qual equação pode ser chamada de equação de uma reta, e também que forma a equação de uma reta tem em um plano.
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Definição da equação de uma reta em um plano
Digamos que existe uma linha reta, que é dada em um sistema retangular de coordenadas cartesianas O x y.
Definição 1
Linha reta- isso é figura geométrica, que é formado por pontos. Cada ponto tem suas próprias coordenadas ao longo dos eixos de abscissas e ordenadas. A equação que descreve a dependência das coordenadas de cada ponto de uma reta no sistema cartesiano O xy é chamada de equação de uma reta sobre um plano.
De fato, a equação de uma reta em um plano é uma equação com duas variáveis, que são denotadas como x e y. A equação se transforma em uma identidade quando os valores de qualquer um dos pontos da linha reta são substituídos nela.
Vamos ver que forma terá a equação de uma reta em um plano. Este será o foco da próxima seção do nosso artigo. Observe que existem várias opções para escrever a equação de uma reta. Isso se explica pela presença de várias formas de traçar uma linha reta em um plano e também pelas diferentes especificidades das tarefas.
Vamos nos familiarizar com o teorema que define a forma da equação de uma reta em um plano no sistema de coordenadas cartesianas O x y .
Teorema 1
Uma equação da forma A x + B y + C = 0 , onde x e y são variáveis, e A, B e C são alguns números reais, dos quais A e B não são iguais a zero, define uma linha reta no Sistema de coordenadas cartesianas O x y . Por sua vez, qualquer reta no plano pode ser dada por uma equação da forma A x + By + C = 0 .
Assim, a equação geral de uma reta no plano tem a forma A x + B y + C = 0 .
Vamos explicar alguns aspectos importantes do tema.
Exemplo 1
Olha a foto.
A linha no desenho é determinada por uma equação da forma 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, pois as coordenadas de qualquer ponto que compõe essa linha satisfazem a equação acima. Ao mesmo tempo, um certo número de pontos no plano, definido pela equação 2 x + 3 y - 2 = 0, nos dá a reta que vemos na figura.
A equação geral de uma reta pode ser completa ou incompleta. Na equação completa, todos os números A, B e C são diferentes de zero. Em todos os outros casos, a equação é considerada incompleta. Uma equação da forma A x + B y = 0 define uma reta que passa pela origem. Se A é zero, então a equação A x + B y + C = 0 define uma reta paralela ao eixo x O x . Se B for igual a zero, então a linha é paralela ao eixo de ordenadas O y .
Conclusão: para um determinado conjunto de valores dos números A, B e C, usando a equação geral de uma linha reta, você pode escrever qualquer linha reta em um plano em um sistema de coordenadas retangulares O x y.
A reta dada por uma equação da forma A x + B y + C = 0 tem um vetor reta normal com coordenadas A , B .
Todas as equações de retas dadas, que consideraremos a seguir, podem ser obtidas a partir da equação geral de uma reta. O processo inverso também é possível, quando qualquer uma das equações consideradas pode ser reduzida à equação geral de uma reta.
Você pode entender todas as nuances do tópico no artigo "A equação geral de uma linha reta". No material fornecemos uma prova do teorema com ilustrações gráficas e uma análise detalhada de exemplos. É dada atenção especial às transições da equação geral de uma linha reta para equações de outros tipos e vice-versa.
A equação de uma reta em segmentos tem a forma x a + y b = 1 , onde aeb são alguns números reais que não são iguais a zero. Os valores absolutos dos números a e b são iguais ao comprimento dos segmentos que são cortados por uma linha reta nos eixos coordenados. O comprimento dos segmentos é medido a partir da origem das coordenadas.
Graças à equação, você pode desenhar facilmente uma linha reta no desenho. Para fazer isso, é necessário marcar os pontos a, 0 e 0, b em um sistema de coordenadas retangulares e, a seguir, conectá-los com uma linha reta.
Exemplo 2
Vamos construir uma linha reta, que é dada pela fórmula x 3 + y - 5 2 = 1. Marcamos dois pontos no gráfico 3 , 0 , 0 , - 5 2 , conecte-os.
Essas equações, tendo a forma y = k · x + b, devem ser bem conhecidas por nós do curso de álgebra. Aqui x e y são variáveis, k e b são alguns números reais, dos quais k é a inclinação. Nessas equações, a variável y é uma função do argumento x.
Vamos dar a definição da inclinação através da definição do ângulo de inclinação da reta ao sentido positivo do eixo O x .
Definição 2
Para denotar o ângulo de inclinação da reta em relação ao sentido positivo do eixo O x no sistema de coordenadas cartesianas, introduzimos o valor do ângulo α. O ângulo é medido a partir da direção positiva do eixo x até uma linha reta no sentido anti-horário. O ângulo α é considerado igual a zero se a reta for paralela ao eixo O x ou coincidir com ele.
A inclinação de uma linha reta é a tangente da inclinação dessa linha reta. É escrito da seguinte forma k = t g α . Para uma reta paralela ao eixo O y ou que coincida com ele, não é possível escrever a equação de uma reta com inclinação, pois a inclinação neste caso se transforma em infinito (não existe).
A reta, que é dada pela equação y = k x + b, passa pelo ponto 0, b no eixo y. Isso significa que a equação de uma reta com inclinação y \u003d k x + b define uma reta no plano que passa pelo ponto 0, b e forma um ângulo α com a direção positiva do eixo O x, e k \u003d t g α.
Exemplo 3
Vamos traçar uma linha reta, que é definida por uma equação da forma y = 3 · x - 1 .
Esta reta deve passar pelo ponto (0 , - 1) . O ângulo de inclinação α = a r c t g 3 = π 3 é igual a 60 graus no sentido positivo do eixo Ox. A inclinação é 3
Observe que, usando a equação de uma reta com uma inclinação, é muito conveniente procurar a equação de uma tangente ao gráfico de uma função em um ponto.
Mais material sobre o assunto pode ser encontrado no artigo "Equação de uma reta com uma inclinação". Além da teoria, há um grande número de exemplos gráficos e uma análise detalhada das tarefas.
Esse tipo de equação tem a forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, onde x 1, y 1, a x, a y são alguns números reais, dos quais a x e a y não são iguais a zero.
A reta dada pela equação canônica da reta passa pelo ponto M 1 (x 1 , y 1) . Os números a x e a y nos denominadores das frações são as coordenadas do vetor de direção da linha reta. Isso significa que a equação canônica de uma linha reta x - x 1 a x = y - y 1 a y no sistema de coordenadas cartesianas O x y corresponde a uma linha que passa pelo ponto M 1 (x 1 , y 1) e tem um vetor de direção a → = (a x , a y) .
Exemplo 4
Desenhe uma linha reta no sistema de coordenadas O xy, que é dado pela equação x - 2 3 = y - 3 1 . O ponto M 1 (2 , 3) pertence à reta, o vetor a → (3 , 1) é o vetor diretor dessa reta.
A equação da linha reta canônica da forma x - x 1 a x = y - y 1 a y pode ser usada nos casos em que a x ou a y é zero. A presença de zero no denominador torna a notação x - x 1 a x = y - y 1 a y condicional. A equação pode ser escrita da seguinte forma a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
No caso em que a x \u003d 0, a equação canônica de uma linha reta assume a forma x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y e define uma linha reta que é paralela ao eixo de ordenadas ou coincide com este eixo.
A equação canônica de uma linha reta, desde que a y \u003d 0, assuma a forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 0. Tal equação define uma linha reta paralela ao eixo x ou coincidente com ele.
Mais material sobre o tema da equação canônica de uma reta, veja aqui. No artigo, fornecemos várias soluções para problemas, bem como vários exemplos que permitem que você domine melhor o assunto.
Equações paramétricas de uma reta em um plano
Essas equações têm a forma x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ, onde x 1, y 1, a x, a y são alguns números reais, dos quais a x e a y não podem ser iguais a zero ao mesmo Tempo. Um parâmetro adicional λ é introduzido na fórmula, que pode assumir qualquer valor real.
O propósito da equação paramétrica é estabelecer uma relação implícita entre as coordenadas dos pontos de uma reta. Para isso, o parâmetro λ é introduzido.
Os números x , y são as coordenadas de algum ponto da reta. Eles são calculados por equações paramétricas de uma reta para algum valor real do parâmetro λ.
Exemplo 5
Vamos supor que λ = 0 .
Então x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, ou seja, o ponto com coordenadas (x 1, y 1) pertence à reta.
Chamamos a atenção para o fato de que os coeficientes a x e a y com o parâmetro λ neste tipo de equações são as coordenadas do vetor diretor da reta.
Exemplo 6
Considere equações paramétricas de retas da forma x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . A reta dada pelas equações do sistema de coordenadas cartesianas passa pelo ponto (x 1 , y 1) e tem um vetor diretor a → = (3 , 1) .
Para mais informações, consulte o artigo "Equações paramétricas de uma reta em um plano".
A equação normal de uma reta tem a forma A x + B y + C = 0 , onde os números A, B e C são tais que o comprimento do vetor n → = (A , B) é igual a um , e C ≤ 0 .
O vetor normal da reta, dado pela equação normal da reta no sistema de coordenadas retangular O xy, é o vetor n → = (A , B) . Esta linha passa a uma distância C da origem na direção do vetor n → = (A , B) .
Outra maneira de escrever a equação normal de uma linha reta é cos α x + cos β y - p = 0, onde cos α e cos β são dois números reais que são cossenos direcionais do vetor normal de comprimento unitário de uma linha reta. Isso significa que n → = (cos α , cos β) , a igualdade n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 é verdadeira, o valor p ≥ 0 e é igual à distância da origem à reta.
Exemplo 7
Considere a equação geral da reta - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . Esta equação geral da reta é a equação normal da reta, pois n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 e C = - 3 ≤ 0 .
A equação define uma linha reta no sistema de coordenadas cartesianas 0xy, cujo vetor normal tem coordenadas - 1 2 , 3 2 . A linha é removida da origem por 3 unidades na direção do vetor normal n → = - 1 2 , 3 2 .
Chamamos a atenção para o fato de que a equação normal de uma reta em um plano permite encontrar a distância de um ponto a uma reta em um plano.
Se na equação geral da reta A x + B y + C \u003d 0 os números A, B e C são tais que a equação A x + B y + C \u003d 0 não é uma equação normal da reta, então pode ser reduzido a uma forma normal. Leia mais sobre isso no artigo "Equação normal de uma reta".
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Considere uma relação da forma F(x, y)=0 ligando as variáveis x e no. A igualdade (1) será chamada equação com duas variáveis x, y, se esta igualdade não for verdadeira para todos os pares de números x e no. Exemplos de equação: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sen x + sen y - 1 = 0.
Se (1) é verdadeiro para todos os pares de números x e y, então é chamado identidade. Exemplos de identidade: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
A equação (1) será chamada a equação do conjunto de pontos (x; y), se esta equação é satisfeita pelas coordenadas x e no qualquer ponto do conjunto e não satisfazem as coordenadas de nenhum ponto que não pertença a este conjunto.
Um conceito importante na geometria analítica é o conceito da equação de uma reta. Deixe um sistema de coordenadas retangulares e alguma linha α.
Definição. A equação (1) é chamada de equação de linha α
(no sistema de coordenadas criado), se esta equação for satisfeita pelas coordenadas x e no qualquer ponto da linha α
, e não satisfazem as coordenadas de nenhum ponto que não esteja nesta linha.
Se (1) é a equação da reta α, então diremos que a equação (1) determina (conjuntos) linha α.
Linha α pode ser determinado não apenas por uma equação da forma (1), mas também por uma equação da forma
F(P, φ) = 0, contendo coordenadas polares.
- equação de uma linha reta com uma inclinação;
Seja dada uma linha reta, não perpendicular ao eixo, OH. Vamos ligar ângulo de inclinaçao linha dada ao eixo OH canto α para girar o eixo OH de modo que a direção positiva coincida com uma das direções da linha reta. A tangente do ângulo de inclinação de uma linha reta ao eixo OH chamado fator de inclinação esta linha reta e denotada pela letra Para.
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Derivamos a equação desta reta, se conhecemos sua Para e o valor no segmento OV, que ela corta no eixo OU.
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A equação (2) é chamada equação de uma reta com inclinação. Se K=0, então a reta é paralela ao eixo OH e sua equação é y = b.
- equação de uma reta que passa por dois pontos;
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. Esta é a equação se y 1 ≠ y 2, pode ser escrito como: Se y 1 = y 2, então a equação da reta desejada tem a forma y = y 1. Neste caso, a reta é paralela ao eixo OH. Se x 1 = x 2, então a reta que passa pelos pontos M 1 e M 2, paralelo ao eixo OU, sua equação tem a forma x = x 1.
- equação de uma reta que passa por um ponto dado com uma inclinação dada;
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e, inversamente, a equação (5) para coeficientes arbitrários A,B,C (E e B ≠ 0 simultaneamente) define alguma linha em um sistema de coordenadas retangular Ohu.
Prova.
Vamos primeiro provar a primeira afirmação. Se a linha não é perpendicular Oh, então é determinado pela equação do primeiro grau: y = kx + b, ou seja equação da forma (5), onde
A=k, B=-1 e C = b. Se a linha é perpendicular Oh, então todos os seus pontos têm a mesma abcissa igual ao valor α segmento cortado por uma linha reta no eixo Oh.
A equação desta reta tem a forma x = α, Essa. também é uma equação de primeiro grau da forma (5), onde A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. Estes provam a primeira asserção.
vamos provar declaração inversa. Seja dada a equação (5) e pelo menos um dos coeficientes E e B ≠ 0.
Se B ≠ 0, então (5) pode ser escrito como . inclinado 
, obtemos a equação y = kx + b, ou seja uma equação da forma (2) que define uma reta.
Se B = 0, então A ≠ 0 e (5) assume a forma . Denotando através α, Nós temos
x = α, ou seja equação de uma reta perpendicular Ox.
As linhas definidas em um sistema de coordenadas retangulares por uma equação de primeiro grau são chamadas linhas de primeira ordem.
Tipo de equação Ah + Wu + C = 0 está incompleto, ou seja, um dos coeficientes é igual a zero.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 e define uma reta passando pela origem.
2) B = 0 (A ≠ 0); a equação Ax + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 e define uma reta paralela Oh.
A equação (6) é chamada de equação de uma reta "em segmentos". Números uma e b são os valores dos segmentos que a reta corta nos eixos coordenados. Esta forma da equação é conveniente para a construção geométrica de uma linha reta.
- equação normal de uma reta;
Аx + Вy + С = 0 é a equação geral de alguma linha reta, e (5) x porque α + y sen α – p = 0(7)
sua equação normal.
Como as equações (5) e (7) definem a mesma reta, então ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 e
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) os coeficientes dessas equações são proporcionais. Isso significa que multiplicando todos os termos da equação (5) por algum fator M, obtemos a equação MA x + MB y + MS = 0, coincidindo com a equação (7) i.e.
MA = cos α, MB = sen α, MC = - P(8)
Para encontrar o fator M, elevamos ao quadrado as duas primeiras dessas igualdades e adicionamos:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sen 2 α \u003d 1
(9)